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数学中的化归思想

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数学中的化归思想

文章摘要： 化归思想在于把未知的问题转化为在已知的知识内可解的问题

的一种重要的思想方法。在中考中几乎都要用到化归思想。化归的目的在于通过

不断的转化将不熟悉、不规范、复杂的问题化归为熟悉、规范、模式化、简单的

问题。总之，数学中的一切问题的解决都离不开化归思想。

关键词：未知 熟悉 化难为易 化繁为简

数学知识很重要，但更重要的是以数学知识为载体所体现出来的数学思想和方法。化归思想是一种重要的数学思想，包括转化和归结。所谓化归思想就是化未知为已知，化繁为

简，化难为易。如将分式方程化为整式方程，将高次方程化为低次方程，将二元方程组化为

一元方程，将四边形问题化为三角形问题等等。实现这种转化和归结的方法有；换元法、待

定系数法、配方法、整体代入法以及化动为静、由具体到抽象等等方法。

化归思想是一种非常重要的数学思想，抓住数学思想方法，善于运用数学思想方

法，是提高和解决数学问题的根本所在，所谓化归思想，就是转化和归结，化未知为已知，化繁为简，化难为易。

化归思想在于把未知的问题转化为在已知的知识内可解的问题的一种重要的

思想方法。在中考中几乎都要用到化归思想。化归的目的在于通过不断的转化将

不熟悉、不规范、复杂的问题化归为熟悉、规范、模式化、简单的问题。总之，数学中的一切问题的解决都离不开化归思想。

从所举例子可以看出，化归的中心思想是善于对所要解决的问题进行变形，而所说的变

形并不是一种无目的的活动。因此，我们应始终“盯住目标”。即应始终考虑怎样才能达到

解决原来问题的目的。例如，怎样才能求出问题中的未知量？怎样才能证明问题中的结论？

这就需要我们在确定化归的方向和方法时，既要保持一定的灵活性，多作些必要的尝试，又

应有一定的韧性，即只要还有一线希望，就不要轻易放弃已有的工作。知识的丰富和发

展是离不开化归这一思想方法的，它使后继的知识找到发展的根基，找到解决问

题的方向。然而，化归意识并不是教给学生一个模式就能解决问题，而是需要通

过长期的培养，逐渐形成的。 在数学教学中，要善于挖掘教材中蕴含的化归思想方法，注意不断总结化归法解题的一般原理、提炼蕴含其中的思想方法，把化归思想方法的教学融于各个环节之中，让学生切

实感受到化归思想方法的存在形式及其发挥的作用。这就需要我们在利用“化归”时

注意它的“双重身份”，切忌面对新的数学问题生搬硬套原来的解题模式、方法，

要灵活地运用这种思想方法。在问题解决过程中领悟化归思想方法；在知识的归纳总结过程中概括化归思想方法。培养学生的化归意识,既有利于使学生主动地获取知识，

又有利于培养学生应用数学知识解决问题的能力。在教学过程中让学生逐渐悟出数学中常常把新知识转化已知知识、把一般转化为特殊的解决问题的思路和方法。 如何培养学生的化归思想，使学生逐步形成化归意识呢？首先，充分应用教

材为我们提供的丰富材料；其次，提供适当问题，在问题解决中逐步掌握化归思

想在问题解决中的解题策略。所谓解题策略是指寻找解题思路的指导思想，就是

为了实现解题目标而采取的指导方针。化归思想既可用于沟通数学各分支学科的联系，

从宏观上实现学科间的转化，又能调动各种方法和技术，从微观上解释各种具体问题；而解

决问题时可以多层次使用化归方法，使问题达到容易解决。化归思想，就是在处理问题时，

把待解决或难解决的问题，通过某种转化，归结为一类已经解决或比较容易解决的问题，最

终求得原问题的解答。也正因为如此，数学中实现化归的方法就更显得精彩多样，依据问题

的性质不同，采用的化归方法也不同。因此，掌握化归思想的原则，把握化归的方向是根本

所在。熟悉化、简单化、直观化、和谐化是一切转化应遵循的基本原则，而化未知为已知，

化难为易，化繁为简是化归的方向。[4]

在中学数学教学中，在向学生展示知识的发生、发展 过程中，应尽力向学生渗透化归

思想，培养学生运用化归思想的能力，充分发挥化归思想方法的指导作用。这对于学生形成

良好的思维品质大有益处，也是进一步落实素质教育，培养学生们的创新能力所必需的。

参考文献：

1、彭启科《化归思想方法探讨》科教论坛

2、《中学数学月刊》苏州大学

3、刘志伟《转化与化归思想在解题中的应用》高校理科研究

4、肖雪《把数学思想方法的训练贯穿于教学始终》

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高中数学总结归纳 概率问题中的数学思想

高中数学总结归纳 概率问题中的数学思想

高考数学复习总结归纳点拨

1 概率问题中的数学思想

一、化归思想

1．运用公式()()1PAPA进行化归

例1 一枚硬币连掷3次，求至少出现一次正面的概率．

解：设A表示事件“掷3次硬币，3次均出现反面”，根据题意，易知1()8PA，而()()1PAPA，故7()1()8PAPA．

点评：点评：含有“至多”、“至少”等类型的概率问题，从正面突破比较困难或者比较繁琐时，可考虑其反面，即对立事件，然后应用对立事件的性质()1()PAPA进一步求解．

2．将一些复杂事件的概率化归为基本事件的概率

例2 一个口袋中装有大小相同的２个白球和３个黑球，从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，求两球恰好颜色不同的概率．

解：记“摸出一球，放回后再摸出一个球，两球恰好颜色不同”为事件Ａ，而摸出一个球得白球的概率是20.45，摸出一球得黑球的概率是30.65，故“有放回地摸两次，颜色不同”是指“先白再黑”或“先黑再白”．

()0.40.60.60.40.48PA∴．

二、分类讨论思想

例3 袋中装有白球和黑球各３个，从中任取２个，取到黑球的概率是多少？

分析：取到黑球包括两种情况：“一个黑球、一个白球”、“两个黑球”，因此，需分情况讨论．

解：设“取到一个黑球、一个白球”为事件A，“取到两个黑球”为事件B，“取到黑球”为事件C，则()()PCPABU．

由题意易知，从袋中任取2个球，共有65215种可能结果，“取到一个黑球、一高考数学复习总结归纳点拨

2 个白球”有339种可能结果，“取到两个黑球”有3223种可能结果．

故93()155PA，31()155PB．

又事件A与事件B互斥，故4()()()5PCPAPB．

评注：分类讨论时，需注意做到不重不漏．

三、方程思想

例４ 为了调查某野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查人员某天逮住这种动物1200只，作标记后放回，经过一星期后，又逮到这种动物1000只，其中有作过标记的100只，按概率的方法估算，保护区内有多少只这种动物？

数学思想方法及例题

数学思想方法及例题

数学思想方法及例题

一、化归思想

“化归”就是将未知的问题转化成我们已经解决的问题，将复杂的问题转化成简单的问题，也就是将 “未知”的问题“已知化”，“复杂”的问题“简单化”．化归思想是解决问题的常见思想方法．

【例1】△ABC为等边三角形，三边的长均已在图中标出，求的值．

分析：因为△ABC为等边三角形，故AB=BC=CA，所以2x-8=x+6＝3y+2，稍加组合可得2x-8=x+6，可以求出x的值，然后回代又可求出y的值．

解：因为△ABC为等边三角形，故AB=BC=CA，所以2x-8=x+6＝3y+2，

又因为2x-8=x+6，解得，x＝14，将x＝14代入x+6＝3y+2，

解得，y＝6，将x＝14 y＝6代入

点评：本题利用“化归”的思想，将三角形的三边的长转化成一元一次方程，此处应注意的是方程的组合，不同的组合可能得到的是二元一次方程组，从而加大了计算量和解答难度．

二、分类讨论思想

有时将问题看成一个整体时，则无从下手，若分而治之，各个击破，则能柳暗花明，分类讨论正是这一种思想，也是一种重要是数学思想方法，为了解决问题，将问题说涉及的是对象不遗漏地分成若干类问题，然后逐一解决，从而最终解决整个问题的目的．

【例2】（五城市联赛题）若ab>0，求的值．

分析：因为ab>0，则a>0，b>0或a<0，b<0，于是将问题分成两种情况进行讨论，不难得到结果．

解：因为ab>0，则a>0，b>0或a<0，b<0，

①

当a>0，b>0时，，，

＝＝1+1-1＝1．

② 当a<0，b<0时，，，

＝＝－1－1－1＝－3．

故当ab>0， ＝1或－3．

点评：在分类讨论时，应注意不遗漏地将问题所涉级的各种情况作出讨论，最后应总结各种讨论的结果．

三、整体思想

与分解，分步处理问题相反，整体思想是将问题看成一个完整的整体，从大处着眼，由整体入手，突出对问题的整体结构的分析和改造，把一些彼此孤立实际上紧密联系的量作为整体考虑．在整体思想中，往往能够找到问题的捷径．

初中数学转化与化归思想——消元

初中数学转化与化归思想——消元

第 1 页 共 2 页 转化与化归思想——消元

转化与化归的思想

所谓化归与转化的思想是指在研究数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略.一般情况下，都要将未解决的问题化归转化为已解决的问题。

化归与转化的思想方法是数学中最基本的思想方法，同时也是在解决数学问题过程中无处不存在的基本思想方法。数形结合的思想体现了数与形的相互转化；函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，因此以上三种思想方法都是转化思想的具体体现，各种变换的方法及分析法、反证法、特定系数法、构造法等都是转化的手段。

化归与转化的原则是：将不熟悉和难解的问题转化为熟知的易解的或已经解决的问题：将抽象的问题转化为具体的直观的问题；将复杂的问题转化为简单的问题；将一般性的问题转化为特殊的问题，将实际问题转化为数学问题，使问题便于解决。

解题方法指导

1．运用化归与转化的思想解题需明确三个问题：

(1)明确化归对象，即对什么问题转化；

2)认清化归目标，即化归到何处去；

(3)把握化归方法，即如何进行化归；

2．运用化归与转化的思想解题的途径：

(1)借助函数进行转化；

(2)借助方程（组）进行转化；

(3)借助辅助命题进行转化；

(4)借助等价变换进行转化；

(5)借助特殊的数与式的结构进行转化；

(6)借助几何特征进行转化。

消元

例 用加减法解方程组34165633xyxy

分析：这两个方程中未知数的系数既不相反也不相同，直接加减不能消元，试一试，能否对方程变形，使得两个方程中某个未知数的系数相反或相同。 ①②

第 2 页 共 2 页 解：①×3,得 9x+12y=48 ③

②×2,得 10x-12y=66 ④

③＋④,得 19x=114

x=6

把x=6代入①，得3×6+4y=16

4y=-2, y=-12

所以，这个方程组的解是612xy

化归思想在初中数学教学中的应用探究

化归思想在初中数学教学中的应用探究

化归思想在初中数学教学中的应用探究

引言

化归思想是数学中非常重要的一种思维方式，也是数学教学中常常强调的一种能力。化归思想是指将原来较为复杂的问题转化为较为简单的问题，从而使问题的解决变得更加容易。在初中数学教学中，化归思想的应用不仅能够帮助学生更好地理解和解决数学问题，还能培养学生的逻辑思维能力和创新意识。本文将从化归思想在初中数学教学中的应用角度展开探究。

一、化归思想在初中数学教学中的意义

1.1 帮助学生理解问题

初中数学学科内容涉及广泛，涵盖了代数、几何、函数等多个领域，其中不乏复杂而抽象的问题。化归思想的应用可以帮助学生将原问题转化为更为简单的形式，从而更好地理解和解决问题。

1.2 培养学生解决问题的能力

化归思想要求学生能够灵活运用各种数学知识和方法，将原问题转化为更为容易解决的形式。在这个过程中，学生需要不断地思考和创新，从而培养了他们的解决问题的能力。

1.3 培养学生的逻辑思维能力

化归思想的应用需要学生进行多种转化和推理，促使他们从逻辑上思考问题，提高了学生的逻辑思维能力。

1.4 激发学生的学习兴趣

通过化归思想的应用，学生能够更快地解决问题，更好地理解数学知识，从而激发他们对数学学习的兴趣，提高学习主动性。

二、化归思想在初中数学教学中的具体应用

2.1 代数问题的化归

在初中数学中，代数问题的处理通常是较为抽象和复杂的。通过化归思想，可以将一些抽象的代数关系转化为具体的数学模型，然后再进行求解。对于一个包含未知数的方程，可以适当进行变形或代换，转化为更为容易解决的形式，这样可以帮助学生更好地理解代数方程的求解过程。 2.2 几何问题的化归

在几何问题中，化归思想的应用也非常重要。在解决几何证明问题时，可以通过化归思想将原问题转化为已知的几何定理或结论，从而更容易完成证明过程。