编号032
§9.1.2
线性回归方程
目标要求 1、结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义．
2、结合具体实例，了解模型参数的统计意义．
3、结合具体实例，了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法．
4、结合具体实例，会使用相关的统计软件．
5、针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测．
学科素养目标
本章内容是在学生已经学习过必修课程中的统计知识和概率知识的基础上，通过对典型案例的研究，了解和使用一些常用统计分析方法，进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策中的作用，从而形成运用统计的观点认识客观事物的习惯．
在本章教学中，应突出对学生应用意识的培养，不能只限于要求学生会解书本上的习题，还要关注学生应用与解决实际问题的能力．应引导、鼓励学生从现实生活中发现问题，并能自觉地运用所学的统计方法加以理解，应尽量给学生提供一定的实践活动机会，可结合数学建模活动，选择一个案例，要求学生亲自实践．
重点难点
重点：一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法；
难点：用一元线性回归模型进行预测．
教学过程
基础知识点
1．线性回归模型
我们将y＝___________称为线性回归模型．
2．线性回归方程与最小二乘法
(1)线性回归方程：直线＝__________称为线性回归方程．其中__称为回归截距，__称为回归系数，__称为回归值．
(2)，的计算公式
＝i＝1n （xi－x）（yi－y）i＝1n （xi－x）2 ＝________________ ，＝______________.
【课前小题演练】
题1．关于回归分析，下列说法错误的是( )
A．回归分析是研究两个具有相关关系的变量的方法
B．散点图中，解释变量在x轴，响应变量在y轴
C．回归模型中一定存在随机误差
D．散点图能明确反映变量间的关系
题2．根据如下样本数据：
x 2 3 4 5 6
环球雅思学科教师辅导讲义
讲义编号： 组长签字： 签字日期：
学员编号： 年 级： 高二 课时数：3
学员姓名： 辅导科目： 数学 学科教师：闫建斌
课 题 线性回归方程
授课日期及时段 2014-2-11 18:00-20:00精品文档，你值得期待
教学目标 线性回归方程基础
重点、难点
教 学 内 容
1、本周错题讲解
2、知识点梳理
1．线性回归方程
①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系
②制作散点图，判断线性相关关系
③线性回归方程：abxy（最小二乘法）
最小二乘法：求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方最小的方法
1221niiiniixynxybxnxaybx 注意：线性回归直线经过定点),(yx 2．相关系数（判定两个变量线性相关性）：niniiiniiiyyxxyyxxr11221)()())((
注：⑴r>0时，变量yx,正相关；r <0时，变量yx,负相关；
⑵①||r 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；
②||r 接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。
3．线形回归模型：
⑴随机误差e：我们把线性回归模型eabxy，其中ba,为模型的未知参数，e称为随机误差。
随机误差abxyeiii
⑵残差eˆ：我们用回归方程axbyˆˆˆ中的yˆ估计abx，随机误差)(abxye，所以yyeˆˆ是e的估计量，故axbyyyeiiiiiˆˆˆˆ，eˆ称为相应于点),(iiyx的残差。
线性回归方程
1.【2014高考全国2第19题】某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：
年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012
2013
年份代号t 1 2 3 4 5 6
7
人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2
5.9
（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
121niiiniittyybtt，ˆˆaybt
2.【2016年全国3】下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.
注：年份代码1–7分别对应年份2008–2014.
（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明； （Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.
附注：
参考数据：719.32iiy，7140.17iiity，721()0.55iiyy，≈2.646.
参考公式：12211()()()(yy)niiinniiiittyyrtt，
回归方程yabt中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
121()()()niiiniittyybtt，=.aybt
3.【2015全国1】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费ix和年销售量1,2,,8iyi数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
（I）根据散点图判断，yabx与ycdx，哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；
例1 下面是水稻产量与施化肥量的一组观测数据：
施化肥量 15 20 25 30 35 40 45
水稻产量 320 330 360 410 460 470 480
（1）将上述数据制成散点图；
（2）你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗？水稻产量会一直随施化肥量的增加而增长吗？
例2 （14分）随着我国经济的快速发展，城乡居民的生活水平不断提高，为研究某市家庭平均收入与月平均生活支出
的关系，该市统计部门随机调查了10个家庭，得数据如下：
家庭编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
xi（收入）千元 0.8 1.1 1.3 1.5 1.5 1.8 2.0 2.2 2.4
2.8
yi（支出）千元 0.7 1.0 1.2 1.0 1.3 1.5 1.3 1.7 2.0 2.5
（1）判断家庭平均收入与月平均生活支出是否相关？ （2）若二者线性相关，求回归直线方程.
例3 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨）与相应的生产能耗y（吨）标准煤的几组对照数据.
x 3 4 5 6
y 2.5 3 4
4.5
（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程yˆ=bˆx+aˆ；
（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5)
1.科研人员为了全面掌握棉花新品种的生产情况，查看了气象局对该地区年降雨量与年平均气温的统计数据（单位分别是mm,℃)，并作了统计.
年平均气温 12.51 12.84 12.84
13.69 13.33 12.74 13.05
年降雨量 748 542 507 813 574 701 432
（1）试画出散点图； （2）判断两个变量是否具有相关关系.
