滋谈简单谈住回 模型与
数谈住回归簇型的递择
口吕光明 金钰
在我们进行经济建模分析时，经常会
遇到这样的问题：对于样本数据，我们是选
用简单线性回归模型，还是选用对敷线性
回归模型。显然，对于这种选择，我们不能
主观臆定，只能从客观上对这两种模型进
行对比分析，找出最优的回归模型形式。本
文拟对这两种模型的选择问题作初步探讨
现以二元回归分折为倒，谈谈简单线
性与对数线性回归模型的选择问题 假设
在一定经济理论下的经济变量关系为ｇ＝ｆ
（Ｘ，Ｙ）。我们采集的数据为（ ，Ｙ．，％），ｉ＝
１，２，…，ｎ。设简单线性回归模型与对敷线
性回归模型的形式如下：
１．简单线性回归模型；Ｚ＝ａｏ＋ａ Ｘ＋
ａ。Ｙ＋ｇ。在模型的经济分析中，简粤线性
回归模型中自变量的系数ａ反映的是自变
量每增加或减少一个单位，所带动的因变
量变化的数量
２．对敷线性回归模型：ＩｎＺ＝艮－４－
ＡＩｎＸ－４－＆ＩｎＹ＋￡，它实际是指数回归模型
ｚ＝ ｅＩ的变形形式。对敷线性回归
模型中自变量的系数ｐ测度的是因变量对
相应自变量的弹性，也就是给定自变量的百
分比变化所引起的因变量的百分比变化。
下面我们使用ＭＷＤ检验法来选择简
单线性与对敷线性回归模型。ＭｗＤ检验
法是经济计量学家麦金农（Ｍａｃｋｉｎｎｏｎ）、
怀特（Ｗｈｉｔｅ）和戴维森（Ｄａｖｉｄｓｏｎ）共同提 出的，是使用一种称为ＭＷＤ检验，对简单
线性与对敷线性回归模型的选择作出判
断。它的具体过程如下：
１．提出零假设Ｈ ：简单线性模型和备
择假设Ｈ ：对敷线性模型Ｉ
２．估计简单线性回归模型，得翻饵归 方程为 ｚ一 。＋ｉ ｘ＋ｉ。Ｙ，井求出ｚ的估计
值，记为ｚ； ３．估计对敷线性回归模型，得到回归
方程为：Ｉｎｚ＝氏－４－ｐＩＩｎｘ＋ Ｉｎｙ，井求出
＾ Ｉｎｚ的估计值，记为Ｉｎｚ｝ ＾ ＾ ４．计算附加统计量ｌｍ＝Ｉｎｚ－－Ｉｎｚ； ５．作ｚ对ｘ，Ｙ和ｍ的回归，得翻回归
2 经典线性回归模型
§2.1 概念与记号
1．线性回归模型是用来描述一个特定变量y与其它一些变量x1，…，xp之间的关系。
2． 称特定变量y为因变量 （dependent variable）、 被解释变量 （explained variable）、
响应变量（response variable）、被预测变量（predicted variable）、回归子
（regressand）。
3．称与特定变量相关的其它一些变量x1，…，xp为自变量（independent variable）、
解释变量（explanatory variable）、控制变量（control variable）、预测变量
（predictor variable）、回归量（regressor）、协变量（covariate）。
4．假定我们观测到上述这些变量的n组值：( )
ip i i x x y , , ,
1 L (i=1，…，n)。称
这n组值为样本（sample）或数据（data）。
§2.2 经典线性回归模型的假定
假定 2.1（线性性(linearity)）
i ip p i i x x y e b b b + + + + = L
1 1 0 (i=1，…，n)。 （2.1）
称方程（2.1）为因变量y对自变量x1，…，xp的线性回归方程（linear regression
equation），其中 ( ) p ， k
k , , 1 0 L = b 是待估的未知参数（unknown parameters），
( ) n i
i , , 1 L = e 是满足一定限制条件的无法观测的误差项（unobserved errorterm） 。称自
变量的函数
ip p i x x b b b + + + L
1 1 0 为回归函数（regression function）或简称为回归
（regression）。称
0 b 为回归的截距(ntercept)，称 ( ) p k
线性回归分析与线性模型2
回归分析的基本问题是：如何从表1.1那样的数据出发找出（1.1）式中的函
数f使得（1.1）中的随机项e在某种意义下最小？
函数f的可选范围太广了，难以下手。如果预先假定f是线性函数：
12011(,,,)
pppfxxxbbxbx=+++LL
（均可知），则模型（1.1）变成
01,,,
pbbbL
011ppybbxbxe=++++L
称之为线性回归模型。结合表1.1的数据可得如下关系式：
1011121211
201212222
01122 pp
pp
nnnpnpybbxbxbxe
ybbxbxbxe
ybbxbxbxe=+++++
=+++++
=+++++L
L
MM
L2
nM
)
称之为线性模型
线性回归分析的基本问题就是如何确定使得（1.4）中的e在某种
意义下最小。 01,,,
pbbbL
线性函数是极特殊的多元函数，但线性回归分析却是回归分析里最重要的组
成部分。这是为什么呢？原因有二：①线性回归模型在数学上有成熟的处理方法，
线性代数的工具可以发挥其强大的威力，这一点在本章中将充分表现出来。②实
际当中不仅是经常遇到线性回归模型，而且许多非线性回归模型经过适当的变换
可以化为线性回归模型。这一点现作如下解释。
例1.1 在彩色显影中，根据以往的经验，染料光学密度y与析出银的光学密
度x之间有下面类型的关系
/(0ByAeB−∞≈>
其中A，B未知。这里y与x之间不是线性关系，但令1
*ln,*yyx
x==，则
*ln*yAB≈−x
即与*y*x有近似的线性关系。
一般地，一元多项式回归模型常可化为多元线性回归模型，如设 011p
pybbxbxe=++++L
则只要令(1,2,,j
j)xxjp==L，就有
011,
ppybbxbxe=++++L
即多元线性回归模型。
例5.2 低钴定膨胀合金由铁、镍、钴、铜组成。在控制杂质含量及一定的
工艺条件下，其膨胀特性被合金成分所确定。我国某课题组（1975年）的研究
多元线性回归模型
一、单选题
1.可决定系数2R是指（C ）
A、剩余平方和占总离差平方和的比重
B、总离差平方和占回归平方和的比重
C、回归平方和占总离差平方和的比重
D、回归平方和占剩余平方和的比重
2.调整的多重可决定系数2R和2R多重可决定系数之间的关系是（D）
A、2211nRRnk B、22111nRRnk
C、2211(1)1nRRnk D、2211(1)1nRRnk
3.在由30n的一组样本估计的、包含3个解释变量的线性回归模型中，计算的多重可决定系数为0.8500，则调整后的可决定系数为（D）
A、0.8603 B、0.8389 C、0.8655 D、0.8327
4.设k为模型中参数的个数，则回归平方和为（C）
A、21()niiYY B、21ˆ()niiiYY
C、21ˆ()niiYY D、21()niiYY
5.最常用的统计检验准则包括拟合优度检验、变量的显著性检验和（A）
A、方程的显著性检验 B、多重共线性检验
C、异方差检验 D、预测检验
6.设k为回归模型中参数的个数（不含截距项），n为样本容量，RSS为残差平方和，ESS为回归平方和，则对总体回归模型进行显著性检验时构造的F统计量为（B）
A、ESSFTSS B、//(1)ESSkFRSSnk
C、/1/(1)ESSkFTSSnk D、RSSFTSS 7.根据可决定系数2R和F统计量的关系可知，当21R时有（C）
A、1F B、1F C、F D、0F
