固体物理 课后习题解答(黄昆版)第二章
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黄昆 固体物理 习题解答
第二章 晶体的结合
2.1 证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为α = 2 2n
解：设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这
样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号），用 r 表示相
邻离子间的距离，于是有
α = ∑ ′ ( 1)
=
2[ 1 1 1 1
− + − + ...]
rjrij r 2r 3r 4r
前边的因子 2 是因为存在着两个相等距离 的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，
i
1 1 1 故对一边求和后要乘 2，马德隆常数为
2 3 4 α = 2[1− + − + ...]
2 3 4
x x x
Qln(1 + x) = −x + − + ...
当 x=1 时，有1 2 3 4 1 1 1
...
− + − + = ln
2
∴ =α 2 2n
2 3 4
2.2 讨论使离子电荷加倍所引起的对 Nacl 晶格常数及结合能的影响
（排斥势看作不变）
α 2
e C
解： u r
( ) = −
α 2 +
r r n
α2
nC
1
du e nC e nC
由 | = − = 0 解得 =+ r e −1
r 2 n+1 2 n 1 0 ( ) (= 2)n
dr 0 r
0 r
0 r
0 r
0
nC
1
1 α e
于是当 e 变为 2e 时，有 r −1 = 4 −1 r e
( )
0 (2 ) (= 2) n n 0
= − α
2
1 4α e
结合能为 u r
( ) e(1− ) 当 e 变为 2e 时，有
0
4α e2 r
0
1 n
n
u e
(2 ) = − r (2 ) (1 − ) = u e( ) 4 −
n 1
n
0
u r
( )
= − α+β
m n
2.3 若一晶体两个离子之间的相互作用能可以表示为
计算: 1) 平衡间距 r0
解答（初稿）作者 季正华 - 1 - r r 黄昆 固体物理 习题解答
2) 结合能 W（单个原子的）
3) 体弹性模量
4) 若取
m
=
2, n = 10, r
0
=
0.3 ,
= 4 eV
计算α β, 的值
解：1) 平衡间距 r0的计算
N α β
dU
=
mα
nβ
U r
( ) = (− +
m n ) dr 0 − r m+1 + r n+1 = 0
晶体内能
nβ
1 2 r r 平衡条件 r r
0 即 0 0
r0= ( )n m
所以 mα
2) 单个原子的结合能
W = −1u( )r u r( ) (0= − α+β
m n
)
r
nβ
1
r r 0=( ) n m
2 0
β
−m r r
0 α
m
W = 1 α (1− )( )
m nn m
2 n mα
3） 体弹性模量
K = ∂2U
(2)V⋅V0
∂V 0
晶体的体积V = NAr3—— A 为常数，N 为原胞数目
N
α β
U r ( ) = (− + m n )
晶体内能
∂=
α 2
nβ r r
U ∂U r∂ N m − 1
∂
V ∂ ∂
r V = 2 ( rm+1 rn+1 ) NAr2 3
∂2 = ∂ ∂ mα nβ
U N r [( − ) 1 ] ∂
V 2 2 ∂ ∂
V r r m+1 rn+1 3 NAr2
∂2U
∂2
U
N
1[ 2α
m
n 2β
mα n β
K = (2)V ⋅V
0 ∂
V2 = 2 9V2 − rm + rn − rm + rn ]
体弹性模量
由平衡条件
∂U ∂V
= 0
N mα
− V V
0
nβ
1 0
= 0 0 0 0 0
∂V 2 ( rm+1 rn+1 ) 3NAr2
V V0
解答（初稿）作者 季正华 0 0 0
- 2 -
α=nβ
∂2U
N 黄昆 固体物理 习题解答
m2α n2β
m
r0m r0n ∂V2 V V
0 = 1[−
2 9V02 r0m + r0n ]
体弹性模量
K = ∂2U
(2)V⋅V0 ∂2U
=
mn
(−U )
∂
V 0 ∂
V 2
V V9V 2 0
mn
K = U0V
90
4）若取 m
=
β 1
2, n = 10, r
0
=
0.3 , 0
= 4 eV
β −m 0
计算 α β,的值
r = n
( ) −
n m W = 1 α (1− )( )
m nn m
0 α
m 2 α
n m
β =Wr10 α = r2β+
W
2 0 0
[r10
0 2 ]
β =
1.2 ×10-95eV ⋅m10
3
α =
−
7.5 ×1019eV ⋅ m2
2.4 经过 sp 杂化后形成的共价键，其方向沿着立方体的四条对角线
的方向，求共价键之间的夹
角。
解： sp3轨道杂化过程形成的共
价键如右图所示：
由于形成的是正四面体结构，容
易通过几何知识解出键角为
109°28′ (请读者自己推导求解)
2.5 假设Ⅲ-Ⅴ族化合物中，Ⅲ族、Ⅴ族原子都是电中性的（q*＝0），
求出其电离度 fi。
λ2
解：对于Ⅲ族原子的有效电荷为
解答（初稿）作者 季正华 q* = −(3 81+
- 3 - λ 2 ) 0 解出 λ2= 3 / 5 黄昆 固体物理 习题解答
根据卡尔森（Coulson）定义的电离度，Ⅲ-Ⅴ族化合物（q*＝0）的电离
=
p − p
=
1
− λ2
= 1 3/ 5=1/ 4 0.25
f i A B + λ2
度为 p + p 1 1 3/ 5
A B
2.6 用林纳德－琼斯势计算 Ne 在体心立方和面心立方结构中的结合
能之比值。
σ12
σ6⎤
=
1
⎡
σ12
−
σ
6
⎤
u r u r N (4 ) An( ) A ( )
解： ( ) 4= ε ⎡( )− ( ) , ( ) ⎢ ⎥⎦
⎢
⎣ r r ⎦ 2 ⎣ r l r
⎛ du r
( )
⎞ = ⇒ =
6
A
σ 6 ⇒ = −
1
ε
A2
⎜ ⎟ 0 r
0 2 12 u
0 N 6
A
⎝
ω r ⎠r
2 A6
′
2 2 12
u r
( ) A A 12.25 / 9.11
bcc = 0 bcc = ( 6 ) /( 6)= = 0.957
ω fcc u r
( )0fcc A 12 ′
A
12 2
14.45 /12.13
2.7 对 于 H2， 从 气 体 的 测 量 得 到 的 林 纳 德 － 琼 斯 势 参 数 为
o
ε = − σ =
50 1013J , 2.96 A 计算H2结合成面心立方固体分子氢时的结合能
（以千焦耳每摩尔为单位），每个氢分子可以当作球形来处理，结合
能的实验值为 0.751
/
，试与计算值进行比较。
解： 以 H2为基团，组成 fcc 结构的晶体，如略去动能，分子间按 Lennard
—Jones 势相互作用，则晶体的总相互作用能为：
⎡
σ
12
σ
6 ⎤
U = 1 N • ∑
(4 ) ⎢ ′
P −12 ⎛ ⎞
⎜ ⎟ − ∑ ′ P −6 ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎥
ij ⎝ ⎠ ij ⎝ ⎠ 4
