三角形中的三角函数问题

1 第十三讲 三角形中的三角函数

【知识梳理】

1.恒等式：在ABC中：,222ABCABCABC

结论：(1) sin()sin,cos()cosABCABC ；

(2)sincos,cossin2222ABCABC；

(3)tantantantantantan1222222ABBCCA；

(4) tantantantantantanABCABC(非直角三角形).

2. 等价关系：在ABC中：

(1) sinsinABabAB，sinsinABabAB；

(2)ABC为锐角三角形最大角的余弦值为正较小两边的平方和大于最大边的平方.

sincosAB且sincosBC且sincosCA.

(3)ABC为钝角三角形最大角的余弦值为负较小两边的平方和小于最大边的平方.

3.正弦定理：2sinsinsinabcRABC(R为三角形外接圆的半径).

变形：(1)sinsinsinabcABC；

(2)sin,sin,sin222abcABCRRR；

(3)2sin,2sin,2sinaRAbRBbRC；

点拨：已知两边及一边的对角，求解三角形时，可能无解、一解、两解.

4.余弦定理：2222222cos,cos2bcaabcbcAAbc…

5.面积公式：12aSah1sin2abC2sinsin12sinBCaA1()2rabc

（r为内切圆半径）.

6.射影定理：coscos,coscos,coscosabCcBbaCcAcaBbA

点拨：求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常用正、余弦定理实现边角互化。

【典例精析】

例1．在ABC中,已知1cos24C．

(I)求sinC的值； (Ⅱ)当2a，2sinsinAC时，求,bc的长．

三角函数和解三角形典型题及常见题汇总

三角函数是数学中重要的分支之一，它与解三角形问题密切相关。本文将对三角函数的基本概念进行介绍，并通过解典型题和常见题的方式，帮助读者更好地理解和应用三角函数。

一、三角函数的基本概念

1. 正弦函数（sine function）：对于一个角α，它的正弦值（sinα）等于其对边与斜边的比值，可以表示为sinα = 对边/斜边。

2. 余弦函数（cosine function）：对于一个角α，它的余弦值（cosα）等于其邻边与斜边的比值，可以表示为cosα = 邻边/斜边。

3. 正切函数（tangent function）：对于一个角α，它的正切值（tanα）等于其对边与邻边的比值，可以表示为tanα = 对边/邻边。

二、解三角形典型题

1. 已知两边及夹角（SSA）：当已知一个三角形的两边和夹角时，可以利用正弦定理求解第三边的长度。具体步骤是：

a) 使用正弦定理：sinA/a = sinB/b = sinC/c，其中A、B、C分别表示三个角的度数，a、b、c分别表示这些角所对应的边长。

b) 带入已知数据，求解未知边的长度。

2. 已知两个边及对应角（SSS）：当已知一个三角形的两个边及其夹角时，可以利用余弦定理求解第三边的长度。具体步骤是： a) 使用余弦定理：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC，其中a、b、c分别表示三角形的边长，C表示对应的角度。

b) 带入已知数据，求解未知边的长度。

三、常见题汇总

1. 解三角形：已知三个角或两个角及一边的情况下，求解三角形的边长和角度。

2. 三角函数的图像与性质：通过画图并观察三角函数的周期、对称轴、最大最小值等性质。

3. 三角方程的求解：根据给定的三角方程，使用三角函数的性质和恒等式进行推导和求解。

4. 三角函数的应用：在物理、工程等领域中，通过三角函数可以描述和求解各种周期性现象，如电流的变化、振动的周期等。

用心 爱心 专心 高中数学例谈三角函数中的几种取舍问题

三角函数中的两角和与差、倍角、半角公式，是进行恒等变换的工具。近几年的高考中经常出现求值问题，下面举例说明求值中的几种取舍，来帮助大家提高解题能力。

一、利用三角形中A

例1 在△ABC中，53Asin，135Bcos，那么cosC的值为（ ）

A. 65166556或 B. 6556 C. 6516 D. 6517

解：由135Bcos，得Asin1312Bcos1Bsin2，则B>A。由于△ABC中，0135Bcos，所以B为锐角，可知A为锐角，可得54Acos。

∴6516BcosAcosBsinAsin)]BA(cos[Ccos，应选C。

二、利用条件对结果进行取舍

例2 已知20，又53sin，54)cos(，则cosβ的值为（ ）

A. －1 B. －1或257 C. 257 D. 257

解：由53sin，20，得54cos。由20，得232。而54)cos(，所以53)sin(。sincos)cos()cos(Bcos（α＋β）sinα，代入可得1cos257cos或。由20，知1cos，产生矛盾应舍去，故257cos，应选C。

三、利用条件的位置轮换进行取舍

例3 已知20，且0sinsinsincoscoscos，则β－α的值为（ ）

A. 3 B. 32 C. 34 D. 3432或

解：由coscoscos，得222coscoscos2coscos ①

静●　解题技巧与方法　２０１５＠　蓦　善　数　题　高考常　及复　策略　◎陈有发（防城港市实验高级中学，广西　防城港５３８０２１）　【摘要】三角函数与解三角形专题包括三角函数、三角　恒等变换和解三角形三部分有机结合，也是近年来高考中　常见的考点之一．常见的题型有求角度或三角函数值以及　最值问题、求边长问题、求面积问题以及最值问题、判断三　角形的形状及三角中的三角函数问题．解题思路是利用正　弦定理、余弦定理进行边角转化，同时需要借助诱导公式、　三角函数变换、三角形边角关系、辅助角公式等知识共同解　决问题．在高考中，这部分题目大多属于中等难度题，应尽　可能获得满分．以下通过今年的高考真题给予举例分析．　【关键词】三角形；余弦定理；边角；诱导公式；变换　一、求角度或三角函数值以及最值问题　例１　（２０１５天津卷）在ＡＡＢＣ中，内角Ａ，曰，Ｃ的对边分　别为０，ｂ，ｃ．已知ＡＡＢＣ的面积为３　１５，ｂ—ｃ＝２，ｃｏｓＡ；一÷．　（１）求ａ和ｓｉｎＣ的值・（２）求ｃ。ｓ（２Ａ　詈）的值・　解题思路（１）利用同角三角函数的基本关系ｓｉｎ　Ａ＋　ＣＯＳ　Ａ＝１可得ｓｉｎＡ＝　，再根据三角形的面积公式ｓ　一ｉ　Ｉ　ｂｃｓｉｎＡ，得ｂｃ＝２４，结合已知条件ｂ—ｃ＝２解得ｂ＝６，ｃ　＝４．再利用余弦定理Ｄ　＝ｂ　＋ｃ　一２ｂｃｃｏｓＡ，可解得ｎ＝８，再　结合正弦定理—：　：　，最终解决ｓｉｎＣ：　堕．（２）利用二　ｓｌｎｄ　Ｓ１ｎＬ　６　倍角公式ｃｏｓ２Ａ＝１—２ｓｉｎ　Ｃ以及两角和的余弦公式ＣＯＳ　（２Ａ＋詈）＝ｃ。ｓ２Ａ。ｃ。ｓ詈一ｓｉｎ２Ａ。ｓｉｎ詈，最后得到答案．　知识点本题主要考查同角三角函数的基本关系，二　倍角的正弦、余弦公式，两角和的余弦公式以及正弦定理、　余弦定理、三角形的面积公式等基础知识，考查基本运算求　解能力．　二、求边长问题　例２（２０１５山东卷）ＡＡＢＣ中，角Ａ，Ｂ，Ｃ所对的边分　别为ｎ，ｂ，ｃ．已知ｃ０ｓＢ：　，ｓｉｎ（　＋曰）＝　，ｏｃ＝２．３－，求　ｓｉｎＡ和ｃ的值．　解题思路（１）先利用同角三角函数的基本关系ｓｉｎ２Ｂ　＋ｃｏ　Ｂ：１结合已知条件ｃ０　Ｂ：　可求得ｓｉｎＢ：　，利用　三角形内角和定理以及两角和正弦公式ｓｉｎＡ＝ｓｉｎ（Ｂ＋Ｃ）　●厅　＝ｓｉｎＢｃｏｓＣ＋ｃｏｓＢｓｉｎＣ，从而求得ｓｉｎＡ＝　，接下来由正弦　定理　＝＿『Ｃ　，求出。与ｃ的关系，从而解得ｃ＝１．　Ｓｌｎ／ｌ　ＳｌｎＬ　知识点本题主要考查同角三角函数的基本关系、三　角形内角和定理、两角和的正弦公式及正弦定理的应用，考　查考生的运算求解能力．　三、给条件求面积问题以及最值问题　例３　（２０１５全国卷１）已知Ⅱ，ｂ，ｃ分别为△ＡＢＣ内角　Ａ，曰，Ｃ的对边，ｓｉｎ２Ｂ＝２ｓｉｎＡｓｉｎＣ．　（１）若０＝ｂ，求ｃｏｓＢ；　（２）设Ｂ＝９０。，口＝√２，求ＡＡＢＣ的面积．　＾　Ｌ　解题思路首先根据正弦定理　２Ｒ，　将角换成边ｓｉｎＡ＝　，ｓｉｎＢ　ｏ，ｓｉｎＣ　结合已知条件　ｓｉｎ　Ｂ＝２ｓｉｎＡｓｉｎＣ，可得ｂ　＝２ａｃ，再利用勾股定理０　＋ｃ　＝　ｂ　，解得ｃ＝ｎ＝Ａ－，最后根据三角形面积公式Ｓ　＝　１　２－ａｃｓｉｎＢ求解．　知识点本题主要考查正弦定理、余弦定理及三角形　面积公式、勾股定理等基础知识，考查学生的运算能力、逻　辑思维能力．　四、判断三角形的形状　例４（２０１３陕西卷）设ＡＡＢＣ内角４，曰，Ｃ所对的边　分另０为０，ｂ，ｃ，若ｂｃｏｓＣ＋ｃｃｏｓＢ＝ａｓｉｎＡ，贝０ＡＡＢＣ是（　）　Ａ．直角三角形　Ｂ．直角三角形　Ｃ．直角三角形　Ｄ．直角三角形　解题思路根据正弦定理把已知条件ｂｃｏｓＣ＋ｃｃｏｓＢ＝　ａｓｉｎＡ中的边化为角的正弦得ｓｉｎ（Ｂ＋Ｃ）＝ｓｉｎＢｃｏｓＣ＋　ｓｉｎＣｃｏｓＢ，再利用两角和的正弦公式化简求得ｓｉｎＡ＝１，从而　判断出三角形的形状．　通过对２０１５年全国各省高考题分析可发现，从题型上　来讲，有关三角函数与解三角形的内容占总分的１５％，不论　文理，都是考查的热点和重点之一，主要考查的知识点有正　弦定理、余弦定理及三角形面积公式、勾股定理、同角三角　函数的基本关系、三角形内角和定理、两角和（差）的正弦　（余弦）公式、二倍角公式等知识，因此在教学或学生学习方　面都必须掌握此知识点的结合，为了更好地备考高考，因此　广大学子们有必要专题练习该题型，以便在高考中立于不　败之地．相关练习如下：　１．（求三角函数值题型）（２０１５湖南卷理）设ＡＡＢＣ的　内角Ａ，Ｂ，Ｃ所对的边分别为口，ｂ，ｃ，０＝ｂｔａｎＡ，且Ｂ为钝角．　求ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＣ的取值范围．　２．（求边题型）（２０１５重庆卷）设ＡＡＢＣ的内角Ａ，Ｂ，Ｃ　１　所对的边分别为０，ｂ，ｃ，且０＝２，ｃｏｓＣ＝一÷，３ｓｉｎＡ＝２ｓｉｎＢ，　则Ｃ＝一　３．（求面积题型）（２０１５陕西卷）ＡＡＢＣ的内角Ａ，　，Ｃ　所对的边分别为ｏ，ｂ，ｃ．向量ｍ＝（ｏ，　ｂ）与　＝（ｃｏｓＡ，　ｓｉｎＢ）平行．　（１）求Ａ；（２）若０＝√７，ｂ＝２，求ＡＡＢＣ的面积．　４．（判断三角形的形状题型）（２０１３四川模拟）在ＡＡＢＣ　中，若ｓｉｎＡ—ｓｉｎＡｃｏｓＣ＝ｃｏｓＡｓｉｎＣ，则△ＡＢＣ是（　）　Ａ．正三角形　Ｂ．等腰三角形　ｃ．直角三角形　Ｄ．等腰直角三角形　数学学习与研究２０１６．２１　．廷．