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二次函数(第2课时)

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1 26.1 二次函数（第2课时）

教学任务分析

教

学

目

标

知识技能 1.会画出kaxy2这类函数的图象.

2.通过与2axy比较，让学生掌握kaxy2这类函数图象与2axy的图象的关系．

3.通过与2axy比较，掌握kaxy2这类函数的性质．

数学思考

1.通过学生对kaxy2的图象和性质的研究，让学生体会研究这类问题的方法．

2.通过师生利用几何画板作函数图象，体现现代教育技术形象化表示数学内容的优势.

3.通过学生作图作业的展示，给学生提供成果展示机会，培养学生的交流能力及学习数学的自信心.

解决问题 能应用kaxy2这类函数图象与2axy的图象的关系解决简单的数学问题．

情感态度 1.通过学生对kaxy2的图象和性质的学习使学生初步体验到数学是一个充满着观察、实验、归纳、类比和猜测的探索过程.

2.通过学生自主探索实践，促进学生数学思维能力、创造能力的培养与提高，从而提高学习数学知识的兴趣．

教学重点 探究kaxy2这类函数的图象和2axy的图象的关系．

教学难点 kaxy2这类函数的图象和性质的应用

2 教 学 流 程 安 排

活动流程图 活动内容和目的

活动1 创设情境 引出问题

教师提出2xy与12xy的图象之间的关系的问题，引导学生思考，培养学生的求知欲.

活动2 动手操作 探索关系

通过在同一坐标系里画出三个函数的图象，探索kaxy2这类函数图象与2axy的图象的关系．

活动3 归纳总结 得出性质

归纳总结kaxy2这类函数图象与2axy的图象的关系和kaxy2这类函数的性质．

活动4 运用新知 深化理解

运用kaxy2这类函数图象与2axy的图象的关系和kaxy2这类函数的性质解决一些数学问题．

活动5 当堂练习 检查反馈

活动6 课堂小结 布置作业

师生共同归纳本节课的主要内容．

教学过程设计

问题与情境 师生行为 设计意图

[活动1]

问题：

同学们还记得一次函数xy2与12xy的图象的关系吗？

你能由此推测二次函数2xy与12xy的图象之间的关系吗？

2xy与12xy的图象之间又有何关系？ 教师提出问题，学生独立思考回答．通过这个问题引出本节的内容．

教师关注：

学生是否了解一次函数xy2与12xy的图象的关系．

设计知识“最近发展区”——一次函数的图象之间的关系，类比探究二次函数． 3 [活动2]

在同一坐标系里画出下列函数的图象

1.2xy

2.12xy

3.12xy 1.教师提出问题

学生利用描点法画出三个函数的图象．

2.展示学生所画的图象．

3.用几何画板演示三个图象．

教师关注：

（1）学生能否规范地用描点法画图象；

（2）学生能否使用几何画板这一软件．

1.创设学生自主探索学习的情境和机会，通过学生自主探究活动学习数学.

2.为学生提供成果展示机会，培养学生的交流能力及学习数学的自信心.

3.充分利用现代教育技术，增加师生互动、形象化表示数学内容、有效处理复杂的数学运算等方面的优势.

[活动3]

问题：

1.当自变量x取同一数值时，函数2xy和12xy的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？

2.观察这两个函数2xy和12xy，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有哪些是相同的？又有哪些不同？ 教师引导学生观察分析函数2xy和12xy的关系．学生独立思考，自主解决问题．

教师关注：

（1）学生能否参与对问题的分析、讨论过程；

（2）学生能否从表格和图象上观察到两个函数的关系．

通过这些由特殊到一般的探究性学习，使学生初步体验到数学是一个充满着观察、实验、归纳、类比和猜测的探索过程．从中获得一些研究函数问题的方法和经验，为以后的学习做好准备． 4 [活动4]

问题

1.你能说出函数2xy和12xy的图象之间的关系吗？

2.如果要得到抛物线42xy，应将抛物线12xy作怎样的平移？

3.你能说出函数2axy和kaxy2（a、k是常数，a≠0）的图象之间的关系吗？

4.kaxy2（a、k是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下：

开口方向 对称轴 顶点坐标

0a 向上

0a 向下

5.一条抛物线的开口方向、对称轴与221xy相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点（1，1），求这条抛物线的函数关系式．

学生思考后回答，师生共同归纳得到

1.2xy，12xy，12xy形状完全相同(开口大小、方向相同)，只是顶点的位置不同．

2.抛物线42xy是由抛物线12xy向上平移5个单位得到的．事实上抛物线42xy和抛物线12xy分别是由抛物线2xy向上平移4个单位，向下平移1个单位得到的．

3.得到规律：把2axy的图象向上平移k个单位可以得到kaxy2的图象，把2axy的图象向下平移k个单位可以得到kaxy2的图象（a、k是常数，a≠0），简称“上加下减”.

5解：由题意可得，所求函数开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为（0，－2），因此所求函数关系式可看作)0(22aaxy，又抛物线经过点（1，1），所以，2112a，解得3a．故所求函数关系式为

让学生讨论、交流，在问题的解决中深化对知识的理解. 5 232xy．

教师关注：

（1）学生能否用语言表达出两个图象的关系；

（2）学生能否从特殊到一般和从一般到特殊解决问题．

[活动5]

课堂练习 1.在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：

221xy，2212xy，

2212xy．

观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置．你能说出抛物线kxy221的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？

2．抛物线9412xy的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线241xy向 平移 个单位得到的．

3．函数332xy，当x

时，函数值y随x的增大而减小．当x 时，函数取得最 值，最 值y= ． 检查学习效果．

[活动6]

归纳小结

布置作业 引导学生回顾本节解决问题的过程，谈出学习的体会和收获．

教师关注：

（1）学生对本节知识的理解程度；

（2）用鼓励的语言进行评价．

[本课课外作业]

加深学生对知识的理解，促进学生对所学知识的反思、巩固、提高，使每个学生都有不同的发展和提高． 6 A组

1．已知函数231xy，

3312xy， 2312xy．

（1）分别画出它们的图象；

（2）说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；

（3）试说出函数5312xy的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标．

2.不画图象，说出函数3412xy的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明它是由函数241xy通过怎样的平移得到的．

3.若二次函数22axy的图象经过点（－2，10），求a的值．这个函数有最大还是最小值？是多少？

B组

4.已知二次函数7)1(82kxkxy，当k为何值时，此二次函数以y轴为对称轴？写出其函数关系式．

教学设计说明

本节内容是在学生学习了一次函数、反比例函数、2axy函数的基础上学习的．这节课的主要内容是：通过画出具体的函数图象，与2axy类比，探讨kaxy2这类函数图象与2axy的图象的关系并且得到kaxy2这类函数的性质．

本节课从学生已有的一次函数知识入手，通过动手画图，课件演示、问题递进、例题的学习由特殊到一般，再由一般到特殊研究kaxy2的图象和性质．通过组织学生积极参与和教师的有效指导，实现知识和能力、过程和方法、情感态度和价值观三维目标的全面落实．

合集下载

二次函数(第6课时) 教案

二次函数(第6课时) 教案

26.1 二次函数（6）

教学目标：

1．使学生掌握用描点法画出函数y＝ax2＋bx＋c的图象。

2．使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。

3．让学生经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质。

重点难点：

重点：用描点法画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标是教学的重点。

难点：理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x＝－b2a、(－b2a，4ac－b24a)是教学的难点。

教学过程：

一、提出问题

1．你能说出函数y＝－4(x－2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？

(函数y＝－4(x－2)2＋1图象的开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标是(2，1)。

2．函数y＝－4(x－2)2＋1图象与函数y＝－4x2的图象有什么关系?

(函数y＝－4(x－2)2＋1的图象可以看成是将函数y＝－4x2的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的)

3．函数y＝－4(x－2)2＋1具有哪些性质?

(当x＜2时，函数值y随x的增大而增大，当x＞2时，函数值y随x的增大而减小；当x＝2时，函数取得最大值，最大值y＝1)

4．不画出图象，你能直接说出函数y＝－12x2＋x－52的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?

[因为y＝－12x2＋x－52＝－12(x－1)2－2，所以这个函数的图象开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－2)]

5．你能画出函数y＝－12x2＋x－52的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗?

二、解决问题

由以上第4个问题的解决，我们已经知道函数y＝－12x2＋x－52的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。根据这些特点，可以采用描点法作图的方法作出函数y＝－12x2＋x－52的图象，进而观察得到这个函数的性质。

《二次函数》第一课时教案设计

《二次函数》第一课时教案设计

《二次函数》第一课时教案设计

教学目标与要求:

（1）知识与技能：使学生理解二次函数的概念，掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法。

（2）过程与方法：复习旧知，通过实际问题的引入，经历二次函数概念的探索过程，提高学生解决问题的能力．

（3）情感、态度与价值观：通过观察、交流，归纳等数学活动加深对二次函数概念的理解，发展学生的数学思维，增强学好数学的愿望与信心．

教学重点：对二次函数概念的理解。

教学难点：由实际问题确定函数解析式

课前准备：导学案 ,PPT课件

教学过程：

教师活动 学生活动 设计意图

活动一 复习旧知 引出课题

1. 我们已经学习了那些函数？它们的图像是什么？

2. 出示图片（课件）：打篮球，拱桥，喷泉，跳绳等。

3. 引出课题：喷水池喷出的水，河上

路线都会形成一条曲线，这些曲线

是否能用函数关系式来表示？它们

的形状是怎样画出来的？现在我们

开始探讨新一章的内容-----二次函

数，这节课我们一起研究什么样的

函数是二次函数（板书课题：二次

函数）

1.学生回忆已经学过的知识，并交流

2.学生观察图片

复习旧知，为类比、探究二次函数的概念做好铺垫

创设问题情境，让学生从生活中发现数学问题，激发学生学习数学的兴趣

活动二 提出问题 探索关系

1、正方体的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为x，表面积为y，显然对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数，他们的具体关系怎样表示？

2、多边形的对角线数d与边数n有什么关系？

3、某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量。如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？

活动三 归纳抽象 形成概念

1.认真观察以上出现的三个函数解析式，分别说出哪些是常数、自变量和函数．

2.这些函数有什么共同点？

3.归纳二次函数的概念（板书）

《二次函数的应用》(第2课时)示范公开课教学设计【北师大版九年级数学下册】

《二次函数的应用》(第2课时)示范公开课教学设计【北师大版九年级数学下册】

第二章 二次函数

2.4 二次函数的应用

第2课时

一、教学目标

1．经历计算最大利润问题的探索过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学是应用价值．

2．能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值，增强解决问题的能力．

二、教学重点及难点

重点：1．探索销售中的最大利润问题．

2．能分析并表示实际问题中变量之间的二次函数关系，运用二次函数的相关知识解决实际问题中的最大（小）值，提高解决实际问题的能力．

难点：运用二次函数的知识解决实际问题．

三、教学用具

多媒体课件、直尺或三角板。

四、相关资源

《生产服装》动画，，.

五、教学过程

【情境导入】

【情景演示】生成服装，描写工厂生产服装的场景。

服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元．根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示单价每降价0.1元，愿意多经销500件．请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多？同学们，你们能解决这个问题吗？这就是我们今天要研究的内容——何时获得最大利润．

师生活动：教师出示问题，引出本节课所学内容．

设计意图：通过问题情境引出本节课要研究的内容，激发学生的学习兴趣．

【探究新知】

教师引导学生分析问题中的数量关系，设出未知数，将销售量、销售额、获得的利润用含未知数的式子表示出来，然后利用二次函数模型确定获得的最大利润．

设厂家批发单价是x元时可以获利最多，获得的最大利润为y元．

那么销售量可表示为1350005000.1x件．所以销售额为1350005000.1xx；

所获利润135000500(10)0.1xyx．

整理，得y=-5000(x-14)(x-10)=-5000(x2-24x+140)=-5000(x-12)2+20000．

∵a=-5000＜0，∴二次函数有最大值．当x=12时，y最大值=20000．

确定二次函数的表达式(第2课时)教学设计 (2)

确定二次函数的表达式(第2课时)教学设计 (2)

第二章 二次函数

《确定二次函数的表达式（第2课时）》

教学设计说明

一、学生知识状况分析

在前几节课，学生已经分别学习了二次函数的图象与性质，确定二次函数的表达式（第1课时）．在此基础上，通过对待定系数法进一步探讨二次函数的表达式的确定方法．

二、教学任务分析

本节课是北师大版义务教育教科书九年级（下）第二章《二次函数》第三节的第2课时，主要是通过对用待定系数法求二次函数表达式的探究,掌握求表达式的方法.能灵活的根据条件恰当地选取选择表达式，体会二次函数表达式之间的转化.

教学目标

知识目标：经历确定二次函数表达式的过程，体会求二次函数表达式的思想

方法，培养数学应用意识.

技能目标：会用待定系数法求二次函数的表达式.

情感目标：逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯.

教学重点

求二次函数的解析式.

教学难点

根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式，求出函数解析式,解决实际问题.

三、教法学法

“问题情境—建立模型—应用与拓展”，让学生积极探索，并和同伴进行交流，勇于发表自己的观点，从交流中发现新知识.

四、教学过程

本节课设计了五个环节：第一环节：情境引入；第二环节：问题解决；第三环节：反馈练习；第四环节：课时小结；第五环节：作业布置．

第一环节：情境引入

（从现实情境和已有知识经验出发，讨论求二次函数表达式的方法）

1.二次函数解析式有哪几种表达方式？

一般式：y=ax2+bx+c

顶点式：y=a(x-h)2+k

交点式：y=a(x-x1)(x-x2)

2.如何求二次函数的解析式？

已知二次函数图象上三个点的坐标，可用待定系数法求其解析式.

第二环节：问题解决

例1已知一个二次函数的图象经过（-1，10），（1，4），（2，7）三点，

求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标．

分析：（1）本题可以设函数的表达式为？