东北三省三校高三数学第一次联合模拟考试试题 文(扫描

1 东北三省三校2017届高三数学第一次联合模拟考试试题 文（扫描版）

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东北师大附中三省三校联考一模数学（文科）答案

第Ⅰ卷

一、选择题： 3 1——6 ACAABD 7——12 BCADAB

13． 8 14． 14 15．

212 16．

22nnna

17．解：

（Ⅰ）sin()sinABCABCQsinsinBsinacAabC ——1分

由正弦定理得acababc， ——2分

即222bacac ——4分

结合余弦定理，有1cos,(0,)2BB，3B． ——6分

（Ⅱ）法一：

223sin3bRb ——8分

所以，22232cos23bacacacacac（当且仅当ac时取等）

——10分

所以133sin234Sac ——12分

（Ⅱ）1332sin2sin2sin3sinsin()2443SacBacACAA，

23133sin(cossin)(3sincossin)222AAAAAA

331133(sin2cos2)sin(2)2222264AAA．——10分

270,23666AAQ，

2,62A即3A时，S取到最大值334． ——12分

18．解：（Ⅰ）设在“支持”的群体中抽取n个人，其中年龄在30岁以下的人被抽取x人．

由题意n30090019260120，得60n．则4543nx人．

所以在“支持”的群体中，年龄在30岁以下的人有45人被抽取． ——4分

（Ⅱ）设所选的人中，有m人年龄在30岁以下．则632140280280m，4m． 4 1A

A 1C

1B

B

C

D

E

即从30岁以下抽取4人，另一部分抽取2人．分别记作214321,,,,,BBAAAA．——6分

则从中任取2人的所有基本事件为）（）（）（）（）（2111413121,,,,,,,,,BABAAAAAAA）（）（）（）（22124232,,,,,,,BABAAAAA

),(,,,,,,,,,,212414231343BBBABABABAAA）（）（）（）（）（．共15个 ——8分

其中至少有1人在30岁以上的基本事件有9个．

分别是）（）（2111,,,BABA）（）（2212,,,BABA),(,,,,,,,,2124142313BBBABABABA）（）（）（）（．

——10分

所以在这6人中任意选取2人，至少有1人在30岁以上的概率为53159．——12分

19．（Ⅰ）证明：ABCQ为正三角形，点D为AC的中点，BDAC，BD面11ACCA，从而BDDE． ——2分

连接1EC，Q14AAAE，12ABAA，2111595,,2,52242EAEDECCD，

则222111,ECEDCDEDCD， ——4分

又1CDBDDIDE平面1BDC. ——6分

（Ⅱ）Q12AAAE，112,5EDCDCE，132CDES，

——8分

由（Ⅰ）知BD面11ACCA，所以BD为三棱锥1BCDE的高 ——10分

所以111113333322CEBDBCDECDEVVSBD. ——12分

20．解：（Ⅰ）由题意，max11,()22322PABceSababa，且222abc.

解得1,3,2cba.

椭圆的标准方程为13422yx. ——4分 5 （Ⅱ）假设存在定点)0,(mD，使得向量DNDM为定值n.

①当直线l的斜率不为0时，椭圆C左焦点)0,1(1F，设直线l的方程为1tyx.联立113422tyxyx，消去x，得096)43(22tyyt.

设),(),,(2211yxNyxM，则439,436221221tyyttyy. ——6分

),(),,(2211ymxDNymxDM.

21221212121)())((yymxxmxxyymxmxDNDM2122121)2)(()1)(1(yymyytmtyty

221212)1()()1()1(myytmyyt

22222222)1(439)156()1(43)1(643)1(9mttmmtmttt. ——8分

若DNDM为定值n，则493156m，即811m，此时64135n. ——10分

②当直线l的斜率为0时，6413582785),0,811(),02(),02(DNDMDBA，，，亦符合题意；

——11分

存在点)0,811(D，使得向量DNDM为定值64135n. ——12分

21．解：（Ⅰ）)0(2222)(2xxaxxaxxxf ——1分

.令22)(2axxxh，162a

① 当0a时，0ax，0)()(xxhxf，函数)(xf在),0(上单调递增；

——2分

② 当40a时，0162a，所以0)(xh，函数()fx在(0,)上单调递增；

——3分

③ 当4a时，0162a，

令0)(xh，得221216160,044aaaaxx，

'12'12()0(0,)(,)()0(,)fxxxxfxxxxU

所以，()fx在10,x和2x上单调递增，在12(,)xx单调递减

综上，1o当1a时，函数()fx在(0,)上单调递增； 6 2o当1a时，()fx在10,x和2x上单调递增，在12(,)xx单调递减 ——6分

（注：如果在每种情况中已说明函数在哪个区间上的单调性，不写综上不扣分；如果每种情况只解出不等式，最后没写综上扣1分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，)0,2[a时，函数()fx在区间(0,1]上单调递增，所以当(0,1]x时，函数()fx的最大值是af3)1(，对任意的)0,2[a，

都存在0(0,1]x，使得不等式23)()1(220aaxfamea成立，

即对任意的)0,2[a，23)()1(22max0aaxfamea都成立.

即对任意的)0,2[a，不等式014)1(22aaamea都成立.

记14)1(2)(2aaameaha，则)1)(2(242)2(2)(aameaaameah.

8分

)1,1[),0,2[2eeaa，且20a.

①当1m时，10,()0ameha，即)0,2[a时，)(ah单调递减.

0)(ah，只需0)0(h，解得21m，1[,1]2m. ——9分

②当1m时，令0)(ah得2a或maln，因为)0,2[a，所以0)2(2a.

（ⅰ）当21me时，)0,2[lnm，当(2,ln)am时，'()0ha；

当(ln,0)am时，'()0ha，03ln2ln)ln()(2minmmmhah，

解得),1(3eem ，2(1,)me. ——10分

（ⅱ）当2me时，因为20a，所以211aee，所以1ame，所以'()0ha，则)(ah

在[2,0)上单调递增，得025)2(2meh，即252em.225[,)2eme.——11分

综上，m的取值范围是)25,21[2e. ——12分

22．选修4—4：坐标系与参数方程

解：（Ⅰ）直线1C： 2sin3cos()3R ——3分

曲线2C的普通方程为22(3)(2)1xy. ——5分

（Ⅱ）3C: )(3R，即3yx. ——6分

圆2C的圆心到直线3C的距离32122d. ——9分

所以212134AB. ——10分

23．选修4—5：不等式选讲

解：（Ⅰ）因为()()()fxxaxbxaxbab， ——3分 7 当且仅当bxa时，等号成立，所以()fx的最小值为4ba. ——5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知4ba，由柯西不等式得22211()(49)(23)164923abab.

——7分

即221116()4913ab，当且仅当331221ba，即1336,1316ba时，等号成立.

所以，229141ba的最小值为1613． ——10分

另法：因为4ba，所以4ba，则

2222211(4)133264(04)494936aaaaaba ——7分

当1613a时，229141ba取最小值，最小值为1613． ——10分