2014年江苏高考数学卷及答案
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2014年普通高等学校招生全国统一考试（XX卷）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．
1. 已知集合A={4,3,1,2}，}3,2,1{B，则BA▲.
2. 已知复数2)i25(z(i为虚数单位),则z的实部为▲.
3. 右图是一个算法流程图,则输出的n的值是▲.
4. 从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的
乘积为6的概率是▲.
5. 已知函数xycos与)2sin(xy(0≤),它们的图象
有一个横坐标为3的交点,则的值是▲.
6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图
所示,则在抽测的60株树木中,有▲株树木的底部周长小于100cm.
7. 在各项均为正数的等比数列}{na中,,12a4682aaa,则6a的值是▲.
8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为1S，2S，体积分别
为1V，2V，若它们的侧面积相等，且4921SS，则21VV
的值是▲.
9. 在平面直角坐标系xOy中,直线032yx被圆
4)1()2(22yx截得的弦长为▲.
10. 已知函数,1)(2mxxxf若对于任意]1,[mmx,
都有0)(xf成立,则实数m的取值范围是▲.
11. 在平面直角坐标系xOy中，若曲线xbaxy2(a，b
为常数)过点)5,2(P，且该曲线在点P处的切线与直线0327yx平行，则ba的值是▲.
12. 如图，在平行四边形ABCD中，已知8AB，5AD，PDCP3，2BPAP，则ADAB的值是▲.
13. 已知)(xf是定义在R上且周期为3的函数,当)3,0[x时,|212|)(2xxxf.若函数axfy)(在区间]4,3[上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是▲.
14. 若△ABC的内角满足CBAsin2sin2sin,则Ccos的最小值是▲.
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.(本小题满分14分)已知),2(,55sin.
(1)求)4sin(的值； 开始
0n
1nn
202n
输出n
结束
（第3题） N
Y
组距频率
100 80 90 110 120 130 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030
底部周长/cm
（第6题）
A B D C P
（第12题） (2)求)265cos(的值.
16.(本小题满分14分)
如图，在三棱锥ABCP中，D，E，F分别为棱ABACPC,,的中点.已知ACPA,,6PA
.5,8DFBC
求证: (1)直线//PA平面DEF；
(2)平面BDE平面ABC.
17.(本小题满分14分)
如图,在平面直角坐标系xOy中,21,FF分别是椭圆)0(12322babyax的左、右焦点，顶点B的坐标为),0(b，连结2BF并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连结CF1.
(1)若点C的坐标为)31,34(,且22BF,求椭圆的方程；
(2)若,1ABCF求椭圆离心率e的值.
18.(本小题满分16分)
如图,为了保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,
同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河
岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上
并与BC相切的圆.且古桥两端O和A到该圆上
任意一点的距离均不少于80m. 经测量，点A位
于点O正北方向60m处, 点C位于点O正东方向
170m处(OC为河岸),34tanBCO.
(1)求新桥BC的长；
(2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大？
（第16题）PDCEFBA170 m 60 m
东 北
O A B
M
C
（第18题） F1 F2 O x y
B
C
A
(第17题) 19.(本小题满分16分)
已知函数xxxfee)(,其中e是自然对数的底数.
(1)证明:)(xf是R上的偶函数；
(2)若关于x的不等式)(xmf≤1emx在),0(上恒成立，XX数m的取值范围；
(3)已知正数a满足：存在),1[0x，使得)3()(0300xxaxf成立.试比较1ea与1ea的大小，并证明你的结论.
20.(本小题满分16分)
设数列}{na的前n项和为nS.若对任意正整数n，总存在正整数m，使得mnaS，则称}{na是“H数列”.
(1)若数列}{na的前n项和nnS2(nN),证明:}{na是“H数列”;
(2)设}{na 是等差数列,其首项11a,公差0d.若}{na 是“H数列”,求d的值；
(3)证明：对任意的等差数列}{na，总存在两个“H数列”}{nb和}{nc，使得nnncba
(nN)成立.
参考答案
15.（1）∵α∈（，π），= ∴= ∴=+=
（2）=12=，=2= =+=+（）=
16.（1）∵D,E,分别为PC,AC,的中点
∴DE∥PA
又∵DE平面PAC，PA平面PAC
∴直线PA∥平面DEF
（2）∵E,F分别为棱AC,AB的中点，且
BC=8，由中位线知EF=4
∵D,E,分别为PC,AC,的中点，且PA=6，由中位线知DE=3，又∵DF=5
∴DF²=EF²+DE²=25，∴DE⊥EF，又∵DE∥PA，∴PA⊥EF，又∵PA⊥AC，又∵AC EF=E，AC平面ABC，EF平面ABC，∴PA⊥平面ABC，∴DE⊥平面ABC，∵DE平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC
17.（1）∵BF2 = ，将点C（，）代入椭圆22221(0)xyabab，
∴221611(0)99abab，且c²+b²=a²∴a= ，b=1, ∴椭圆方程为2212xy
（2）直线BA方程为y=x+b,与椭圆22221(0)xyabab联立得
x²x=0. ∴点A（，），∴点C（，），F1（）
直线CF1 斜率k= ，又∵F1C⊥AB ，∴·=
∴=1，∴e=
18. （1）过点B作BE⊥OC于点E，过点A作AD⊥BE于点F。∵tan∠BCO=，设BC=5x ，
CE=3x ，BE=4x ，∴OE=，AF=170 ，，EF=AO=60 ，BF=4x60
又∵AB⊥BC ，且∠BAF+∠ABF=90°，
∠CBE+∠BOC=90°，∴∠ABF +∠CBE=90°，∴∠CBE +∠BAF=90°，
∴tan∠BAF= = = ，∴x=30 ，BC=5x=150m∴新桥BC的长为150m。
（2）以OC方向为x轴，OA为y轴建立直角坐标系。设点M（0，m），点A（0,60），B（80,120），C（170,0）直线BC方程为y=（x），
即4x+3y∴半径R= ，又因为古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，∴RAM 80 且R80 ，∴ 80 ， 80，
∴35 ，∴R= 此时圆面积最大。∴当OM=10时圆形保护区面积最大。
19. （1）∵x()fx=+=()fx，∴()fx是R上的偶函数
（2）∵()fx+2=21 ，∴()fx，∴m（()fx）1，∴m= ，
令()gx= ，()gx= ，∴x时()gx
()gx单调减，x时()gx()gx单调增，∴()gxmin=(ln2)g= ，若关于x 的不等式m()fx+m1在（0，+）上恒成立，则只要m()gxmin恒成立 ，∴m 。∴m（]。
（3）由题正数a满足:存在x0[1，+），使得0(x)f（x0 3 +3x0）成立。即+（x0 3 +3x0）令()hx=+（x3 +3x），即()hxmin0。hx- = +3a ，当x[1，+）时，hx0 ，()hxmin =(1)h=e+ -2a0 ，∴a + 。 要比较与的大小，两边同时取以e为底的对数。只要比较a-1与（e-1）lna的大小。令y = a-1-( e-1）lna ，
y= 1- ，∵a + + e-1，∴a（ + ）时yy单调减，a（）时yy单调增，又∵ + ，当a=1时，y=0，∴当a= + 时，y0，当a=e时，y=0。∴a=e-1时，y0。 ∴当 + 时，y0，此时a-1（e-1）lna ，即。
当a=e时y0，此时a-1（e-1）lna ，即。
当ae时y0，此时a-1（e-1）lna ，即。
20. （1）证明：∵= ，∴==（n），又==2= ，∴（n）。∴存在m=n+1使得
（2）=1+（n-1）d ，若{}是“H数列”则对任意的正整数n,总存在正整数m,使得 。=1+（m-1）d成立。化简得m= +1+，且d0 ，又m ， ，d，且为整数。
（3）证明：假设成立且设都为等差数列，则n+=+（-1）， =++1，∴= （）同理= （）取==k 由题==+（-1）++（-1）=（）+（n-1）（）=（n+k-1））可得{}为等差数列。即可构造出两个等差数列{}和{}同时也是“H数列”满足条件。
