矩阵及其运算

矩阵基本运算及应用

201700060牛晨晖

在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。在电力系统方面，矩阵知识已有广泛深入的应用，本文将在介绍矩阵基本运算和运算规则的基础上，简要介绍其在电力系统新能源领域建模方面的应用情况，并展望随机矩阵理论等相关知识与人工智能电力系统的紧密结合。

1矩阵的运算及其运算规则

1.1矩阵的加法与减法

1.1.1运算规则

设矩阵，，

则

简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！

注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的．

1.1.2运算性质

满足交换律和结合律

交换律 ；

结合律 ．

1.2矩阵与数的乘法

1.2.1 运算规则

数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每一个元素，记为或．

特别地，称称为的负矩阵．

1.2.2 运算性质

满足结合律和分配律

结合律： (λμ)A=λ(μA) ； (λ+μ)A =λA+μA．

分配律： λ (A+B)=λA+λB． 1.2.3典型举例

已知两个矩阵

满足矩阵方程，求未知矩阵．

解 由已知条件知

1.3矩阵与矩阵的乘法

1.3.1运算规则

设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵：

(1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即．

(2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和． 1.3.2典型例题

设矩阵

计算

解 是的矩阵．设它为

可得结论1：只有在下列情况下，两个矩阵的乘法才有意义，或说乘法运算是可行的：左矩阵的列数＝右矩阵的行数； 结论2 在矩阵的乘法中，必须注意相乘的顺序．即使在与均有意义时，也未必有=成立．可见矩阵乘法不满足交换律；结论3 方阵A和它同阶的单位阵作乘积，结果仍为A，即．

矩阵的定义及其运算规则

1、矩阵的定义

一般而言，所谓矩阵就是由一组数的全体，在括号（）内排列成m行n 列（横的称行，纵的称列）的一个数表，并称它为m×n阵。

矩阵通常是用大写字母A 、B …来表示。例如一个m 行n 列的矩阵可以简记为：，或

。即： （2-3）

我们称（2-3）式中的为矩阵A的元素，a的第一个注脚字母 ，表示矩阵的行数，第二个注脚字母j（j＝1，2，…，n）表示矩阵的列数。

当m＝n时，则称为n阶方阵，并用表示。当矩阵（aij）的元素仅有一行或一列时，则称它为行矩阵或列矩阵 。设两个矩阵，有相同的行数和相同的列数，而且它们的对应元素一一相等，即，则称该两矩阵相等，记为A＝B。

2、三角形矩阵

由i＝j的元素组成的对角线为主对角线，构成这个主对角线的元素称为主对角线元素。

如果在方阵中主对角线一侧的元素全为零，而另外一侧的元素不为零或不全为零，则该矩阵叫做三角形矩阵。例如，以下矩阵都是三角形矩阵：

， ，， 。

3、单位矩阵与零矩阵 在方阵中，如果只有的元素不等于零，而其他元素全为零，如：

则称为对角矩阵，可记为。如果在对角矩阵中所有的彼此都相等且均为1，如： ，则称为单位矩阵。单位矩阵常用E来表示，即：

当矩阵中所有的元素都等于零时，叫做零矩阵，并用符号“0”来表示。

4、矩阵的加法

矩阵A＝（aij）m×n和B＝（bij）m×n相加时，必须要有相同的行数和列数。如以C＝（cij）m ×n表示矩阵A及B的和，则有：

式中：。即矩阵C的元素等于矩阵A和B的对应元素之和。

由上述定义可知，矩阵的加法具有下列性质（设A、B、C都是m×n矩阵）：

（1）交换律：A＋B＝B＋A

（2）结合律：（A＋B）＋C＝A＋（B＋C）

5、数与矩阵的乘法

章节 第2章 课题 矩阵及其运算

计划课时数 10 授课班级 04级计算机系专升本10-13班

教学目的 理解矩阵的概念、熟练掌握矩阵的各种运算;理解逆矩阵的概念；熟悉矩阵可逆的充要条件；掌握两种［定义、伴随矩阵］求逆方法；熟悉矩阵的分块运算。

教学重点 矩阵的乘法；方阵的行列式；伴随矩阵; 逆矩阵的概念；求逆方法；分块求逆方法。

教学难点 矩阵乘法不满足交律以及由此的问题；矩阵可逆性的讨论；分块求逆方法

教学方法和手段 讲授 习题课 答疑

备注

教 学 内 容 批注

第二章 矩阵及其运算

矩阵是将一组有序的数据视为“整体量”进行表述和运算，使得问题简洁和易于了解本质。矩阵不仅是解线性方程组的有力工具，而且是线性空间内线性变换的表现形式，因此有关矩阵的理论构成了线性代数的基本内容。

本章介绍矩阵的概念；矩阵的线性运算、矩阵乘法；逆矩阵及矩阵的初等变换；分块矩阵及其运算等内容。

§1 矩阵

1、矩阵的概念

054132yxyx

0541322121xxxx

5432A 054132B

定义 由nm个数).,2,1;,,2,1(njmiaij排成m行n列的数表：

称为一个nm矩阵，简记为nmijaA，其中ija表示位于数表中第i行第j列的数，称为矩阵A的),(ji元（或者元素）。常用大写英文黑体字母来表示矩阵，如XCBA,,,,等。元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。本书中若无特殊说明，一般是指实矩阵。

两个矩阵的行数相等，列数也相等时，称它们为同型矩阵。

如果矩阵nmijaA和nmijbB是同型矩阵，且它们的对应元素相等，即

mnmmnnaaaaaaaaa212222111211教 学 内 容 批注

欧阳索引创编 2021.02.02

欧阳索引创编 2021.02.02 矩阵基本运算及应用

欧阳家百（2021.03.07）

201700060牛晨晖

在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。

矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。在电力系统方面，矩阵知识已有广泛深入的应用，本文将在介绍矩阵基本运算和运算规则的基础上，简要介绍其在电力系统新能源领域建模方面的应用情况，并展望随机矩阵理论等相关知识与人工智能电力系统的紧密结合。

1矩阵的运算及其运算规则

1.1矩阵的加法与减法

1.1.1运算规则

设矩阵，，

则

简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！注意：只有对于两个行数、欧阳索引创编 2021.02.02

欧阳索引创编 2021.02.02 列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的．

1.1.2运算性质

满足交换律和结合律 交换律 ； 结合律

．

1.2矩阵与数的乘法

1.2.1运算规则数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每一个元素，记为或．