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第11章动量矩定理习题

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11)动量矩定理

11)动量矩定理

动量矩定理
质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数
等于作用力对同一点的矩
第十一章 动量矩定理
2、质点系的动量矩定理
根据质点动量矩定理：
e i d M O mi vi M O Fi M O Fi dt e i d 对于质点系： M O mi vi M O Fi M O Fi dt i 内力总是成对出现： M O Fi 0
时圆盘和人静止，求圆盘的角速度和角加速度
z
v
B
R
O
r

第十一章 动量矩定理

§11-3 刚体绕定轴的转动微分方程
z
F1
O1
定轴转动刚体的动量矩： L J z z
Fn
d 根据动量矩定理： J z M z Fi dt d d 2 Jz J z J z 2 M z F dt dt
第十一章 动量矩定理
将 mi vi mvC 和 vi vC vir 代入： rC mi vi ri mi vi rC mvC ri mi vC vir rC mvC mi ri vC ri mi vir
C
A

e
r
P
第十一章 动量矩定理
3、相对于质心的动量矩定理
dLO d e ri rC ri rC mvC LC ri Fi dt dt e e 右边 rC Fi ri Fi drC dLC d 左边 mvC rC mvC dt dt dt e dLC vC mvC rC maC maC Fi dt e dLC rC Fi dt

理论力学课后习题答案

理论力学课后习题答案

理论力学(盛冬发)课后习题答案c h11(总18页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第11章 动量矩定理一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”)1. 质点系对某固定点(或固定轴)的动量矩，等于质点系的动量对该点(或轴)的矩。

(×)2. 质点系所受外力对某点(或轴)之矩恒为零，则质点系对该点(或轴)的动量矩不变。

(√)3. 质点系动量矩的变化与外力有关，与内力无关。

(√)4. 质点系对某点动量矩守恒，则对过该点的任意轴也守恒。

(√)5. 定轴转动刚体对转轴的动量矩，等于刚体对该轴的转动惯量与角加速度之积。

(×)6. 在对所有平行于质心轴的转动惯量中，以对质心轴的转动惯量为最大。

(×)7. 质点系对某点的动量矩定理e 1d ()d nOO i i t ==∑L M F 中的点“O ”是固定点或质点系的质心。

(√)18. 如图所示，固结在转盘上的均质杆AB ，对转轴的转动惯量为20A J J mr =+2213ml mr =+，式中m 为AB 杆的质量。

(×)9. 当选质点系速度瞬心P 为矩心时，动量矩定理一定有e 1d()d nP P i i t ==∑L M F 的形式，而不需附加任何条件。

(×)10. 平面运动刚体所受外力对质心的主矩等于零，则刚体只能做平动；若所受外力的主矢等于零，刚体只能作绕质心的转动。

(×)图二、填空题1. 绕定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与角速度的乘积。

2. 质量为m ，绕z 轴转动的回旋半径为ρ，则刚体对z 轴的转动惯量为2ρm J z =。

3. 质点系的质量与质心速度的乘积称为质点系的动量。

24. 质点系的动量对某点的矩随时间的变化规律只与系统所受的外力对该点的矩有关，而与系统的内力无关。

5. 质点系对某点动量矩守恒的条件是质点系所受的全部外力对该点之矩的矢量和等于零，质点系的动量对x 轴的动量矩守恒的条件是质点系所受的全部外力对x 轴之矩的代数和等于零。

第11章 动量矩定理

第11章 动量矩定理

M z Q(v1r1 cos1 v2r2 cos2 )
例 3 （书上例 11-7，动量矩守恒。）
质量为 m1 = 5kg，半径 r = 30cm 的均质圆盘，可绕铅直轴 z 转
动，在圆盘中心用铰链 D 连接一质量 m2 = 4kg 的均质细杆
AB，AB = 2r，可绕 D 转动。当 AB 杆在铅直位置时，圆盘的
三、 刚体 1. 平动刚体
11-1
LO r MvC
2. 转动刚体（对定轴或平面上定点）
Lz I z
LO IO
3. 平面运动刚体
对质心 C： LC IC
对定点 O： LO mO (MvC ) IC
对瞬心 C＇： LC IC
11.2 动量矩定理
一、 质点动量矩定理
由牛顿第二定律： ma F
l 3g
而 aC
2
4
则
W 3g W
NA W g
4
4
IV. 绳子剪断前后 A 反力的变化：
WW W ΔN A N A N A0
42 4
例 2 例 11-5 （较典型题目）
作业：11-18
11.4 质点系相对动点的动量矩定理(*)
此部分较难，特别是公式推导不易理解。主要掌握两种：①对质心的动量矩定理；②平
m2 g
转速为 n = 90rpm。试求杆转到水平位置，碰到销钉 C 而相对
静止时，圆盘的转速。
解：系统对 z 轴动量矩守恒。
初时系统动量矩： Lz I z盘 1 m1r 2 4
末时系统动量矩： Lz Iz盘 Iz杆 1 m1r2 1 m2 (2r)2
4
12
Lz Lz
11-4
1 4
m1r 2

理论力学：第11章 动量矩定理

理论力学：第11章 动量矩定理
对定点 O： LO mO (MvC ) IC
对瞬心 C＇： LC IC
11.2 动量矩定理
一、 质点动量矩定理
由牛顿第二定律： ma F
易证：
dmO (mv )
dt

mO
(F)
微分形式动量矩定理
其中 O 为定点。

或
dmO (mv) mO (dS )
LH

P vr
b
1
Q r2
Q vC
r
b
sin



1
Q r2
g 2 2 g
g 2 2g

(P

2Q)r

P
b b
(1

sin

)
vC g
系统外力对 H 的力矩：
11-3
ΣmH
(F
(e)
)

m

P
r

b


Q
b

Q
sin
绳子剪断前为静力学问题，易求反力。
绳子剪断后为定轴转动动力学问题，用质心运动定理求： MaC
F (e)
但需要先求出 aC ，用刚体定轴转动微分方程可求： Iz mz (F (e) )
11-5
解：I. 绳子剪断前，受力如图(a)。 W
由对称性： N A0 2
II. 绳子剪断瞬时，受力、运动如图(b)。
11-2
欲用动量矩定理求 aC ， aC 只跟三个运动物体有关，并且有一个“轴”O，如图。 但其中的 N 如何处理？
事实上，滚子沿斜面法向是静平衡的， N = Q cosα。 解：① 求加速度 aC 。

动量矩定理

动量矩定理

思 考 题9-1. 质点系的动量按公式i i c m m ==∑I v v 计算，那么质点系的动量矩是否也可以按公式()()o o i i o c m m ==∑L M v M v 计算？为什么？9-2. 花样滑冰运动员利用手臂伸张和收拢来改变旋转速度，试说明其原因。

9-3. 坐在转椅上的人不接触地面，能否使转椅转动？为什么？9-4. 为什么直升飞机要有尾桨？如果没有尾桨，直升飞机飞行时将会怎样？ 9-5.传动系统中J 1、J 2为轮I 、轮II 的转动惯量，轮I 的角加速度按式1112M J J α=+对吗？9-6. 质量为m 的均质圆盘，平放在光滑的水平面上，受力情况如图所示，设开始时，圆盘静止，图中R =2r 。

试说明各圆盘将如何运动。

思考题9-6图思考题9-5图习题9-4图习 题9-1 如图所示，已知均质杆的质量为M ，对1z 轴的转动惯量为1J ，求杆对2z 的转动惯量2J 。

9-2 均质直角折杆尺寸如图所示，其质量为3m ，求其对轴O 的转动惯量。

9-3 质量为m 的点在平面Oxy 内运动，其运动方程为：tb y ta x ωω2sin cos ==式中a 、b 和ω为常量。

求质点对原点O 的动量矩。

9-4 如图所示，质量为m 的偏心轮在水平面上作平面运动。

轮子轴心为A ，质心为C ，AC = e ；轮子半径为R ，对轴心A 的转动惯量为J A ；C 、A 、B 三点在同一铅直线上。

（1）当轮子只滚不滑时，若v A 已知，求轮子的动量和对地面上B 点的动量矩。

（2）当轮子又滚又滑时，若v A 、ω已知，求轮子的动量和对地面上B 点的动量矩。

习题9-2图习题9-1图习题9-5图习题9-7图9-5如图所示水平圆板可绕z 轴转动，在圆板上有一质点M 作圆周运动，已知其速度的大小为常量，等于v 0，质点M 的质量为m ，圆的半径为r ，圆心到z 轴的距离为l ，M 点在圆板的位置由ϕ角确定，如图所示。

理论力学第十一章动量矩定理

理论力学第十一章动量矩定理

JO
d 2
dt 2
mga
即：
d 2
dt 2
mga
JO
0
解： 令 2 mga
JO
——固有频率
得
2 0
通解为 O sin(
mgat )
JO
周期为 T 2 2 JO
mga
例11-3 用于测量圆盘转动惯量的三线摆中，
三根长度相等（l）的弹性线，等间距悬挂被测量的圆盘。
已知圆盘半径为 R、重量为W。
dt
dt dt
v dr dt
r d(mv) d(r mv)
dt
dt
dLO dt
MO F
矢量式
质点对固定点的动量矩对时间的导数等于作 用于质点上的力对该点的矩。
★ 质点系的动量矩定理
0
d
dt
i
ri mivi
i
MO (Fii )
i
MO (Fie )
MO (Fie )
i
F2
z
F1
LO rC mvC LC
dLO d
dt dt
rC mvC LC
ri Fie (rC + ri) Fie
rC Fie ri Fie
③
即
drC dt
mvC
rC
d dt
mvC
dLC dt
rC
Fie
dLC dt
由于
① ① drC dt
② vC ,
drC dt
mvC
★ 相对质心的动量矩
LC MC mivi ri mivi
vi vC vir
LC = rimivC rimivir
其中
ri mivC ( miri)vC 0 （rC

动量矩定理作业参考答案及解答

答案： α =
g (顺时针), 2r
FOx = 0,
1 FOy = mg (↑) 2
6．如题图所示，有一轮子，轴的直径为 50mm，无初速的沿倾角θ=20°的轨道
滚下，设只滚不滑，5s 内轮心滚过的距离为 s=3m。试求轮子对轮心的惯性半径。
s
提示：本题用刚体平面运动微分方程求解。注意到轮心加速度可由式 1 s = at 2 求得，且轮心加速度 a 与轮子角加速度α关系 a = rα ，其中 r 为轮轴的 2 半径。 解：
a mg
Ff × r = mρ α
2
由以上两式消去 Ff 得 ρ 2 =
r ( g sin θ − a )
α
=
r 2 t 2 g sin θ − r 2 = 8113(mm) 2 2s
ρ= & 90mm
r 2 t 2 g sin θ − r 2 = 8113(mm) 2 , ⇒ 2s
答案： ρ 2 =
整个系统对轴 O 的动量矩守恒
p 1 p LO = L1 + L2 = r 2 1 ω + 2 r (ωr − at ) = 0 2 g g
解得
ω=
2aP2 t , r (2 P2 + P1 )
α=
2aP2 dω = dt r (2 P2 + P1 )
答案： ω =
2aP2 t , r (2 P2 + P1 )
vB
A
ωB
B
D
1 1）对杆分析，杆对轴 A 的动量矩 L A1 = m2 R 2ω 3 2）对轮分析
ω B R = ωl
ωB =
齿轮对轮心 B 的动量矩为 齿轮对轴 A 的动量矩为
ωl

第11章动量矩定理资料


11.1 质点和质点系的动量矩
11.1.2 质点系的动量矩 质点系对点O的动量矩 —各质点对点O的动量矩的矢量和。
n
即
LO MO (mivi )
i 1
质点系对z轴的动量矩 —各质点对z轴的动量矩的代数和。
即
LZ MZ (mivi )
质点系对点O的动量矩矢在通过该点的z轴上的投影等于 质点系对于该轴的动量矩。
MO (F (e) ) (m1 m2 )gr
m1
vA m1g
vB
m2
m2g
由质点系对O轴的动量矩定理，有：
(m1
m2
1 2
m)r
2
d
dt
(m1
m2
)
gr
d
dt
2(m1 m2 )g (2m1 2m2 m)r
11.2 动量矩定理
例：已知：猴A重=猴B重，猴B
从静止开始以相对绳速度v上爬，
猴A不动，问猴B向上爬时，猴A
11.2 动量矩定理
例: 已知: m 1 m 2 、 m 、 r 。求轮的角加速度。
解：取整体为研究对象，以逆时针为正。
LO m1vAr m2vBr Joω
FOy
而 vA vB ωr
JO
1 2
mr2
FOx mg
故 LO m1r 2ω m2r 2ω Joω
(m1
m2
1 2
m)r 2
将如何运动？（轮重不计）
解：取系统
MO(F(e)) 0
系统对2
猴A与猴B向上的绝对速度是一样
11.3 刚体绕定轴的转动微分方程
主动力：F1 ，F2 ，……，Fn 轴承约束力：FN1 ，FN2
若轴承摩擦忽略不计，由质点系对z轴的动量矩定理，有

和11章例题动量定理动量矩定理


5
5
cos cos(450 ) 3 ,
sin sin(450 ) 1 ,
10
K2 mvC2
滑块B：
10
5 ml(
3
i
2
10
K3 mvC3 mvC31i
1
j)
2
ml
(3
i
1 j)
10 4
K3 2ml i 3
总动量： K K1 K2 K3
K1 K2
式中：
A
m π R2
JO
R 0
(2π
r Adr
r2)
2π
A
R4 4
即
JO
1 2
mR2
1
26
（4）匀质圆柱，半径为R,质量为M 。
对质心z轴的转动惯量
Jz
1 2
MR2
（5）匀质实心球，半径为R,质量为M 。
对质心z轴的转动惯量
z
z
R
y
x
C
Jx
Jy
Jz
2 5
MR2
x
y
CR
1
27
四. 平行移轴定理 刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平行的
（1）杆与圆盘固结在一起；
（2）杆与圆盘不固结，盘相对于杆的角速度- ；
（3）行星轮机构，轮O固结不动。
（1）
（2） 1
（3）
20
解：（1）杆与圆盘固结： 盘作定轴转动
JO
1 2
mr2
ml 2
1 2
m(r2
2l2 )
GO
JO
1 2
m(r2
2l2 )
转向：顺时针
（2）杆与圆盘不固结，盘相对于杆的角速度- ；

动量矩定理

第十一章 动量矩定理
Theorem of Angular Momentum
Law of Moment of Momentum
问题的提出： 图示定轴转动刚体，质心C过转轴，恒有
p mvC 0
可见： 动量只能反映刚体随质心运动的强弱， 不能反映刚体绕质心转动运动强弱。
C
本章基本内容：
1. 质点、质点系对点和轴的的动量矩概念及计算； 2. 质点、质点系对于固定点、固定轴及质心的动量矩定理； 3. 刚体定轴转动、刚体平面运动的微分方程及其应用。 4. 转动惯量概念及计算。
质点的动量 mv 对 x 轴之矩 ：
Lx
M x (mv) MO (mv)x
LO
x
y mvz z mvy
Ly
M y (mv) MO (mv)y
LO
y
z mvx
x mvz
Lz
M z (mv)
MO (mv)z
LO
z
x mvy y mvx
质点的动量 mv 对 x 轴之矩 —— 代数量。 其正负由右手法则确定。
zi y( y)
xi (xi)
Jz
?
mh2
由质心坐标的计算公式，有
mi yi myC 0
J z J z mh2
(11-20)

—— 转动惯量的平行轴定理
几点说明：
① 轴 z 与轴z′ 必须平行； ② z 轴必须过质心 C ；
③ 过质心 C 的转动惯量最小。
如： 均质杆，质量 m
Jz
1 12
ml2
—— 质点动量对某固定点O 的矩 将上式两边对时间求导，有
dLO d (r mv) dr mv r d (mv)
dt
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第11章 动量矩定理习题
1.是非题（对画√，错画×）
11-1.质点系动量矩定理∑n
i e i o o )(=dt d
1
=F M L 中的矩心点对任意点都成立。

（ ） 11-2.质点系动量矩的变化与为外力有关，与内力无关。

（ ）
11-3.质点系对某点动量矩守恒，则对过该点的任意轴也守恒。

（ ） 11-4.当质点的动量与某轴平行，则质点对该轴的动量矩恒为零。

（ ） 11-5.质心轴转动惯量是所有平行于质心轴转动惯量的最大值。

（ ） 2.填空题（把正确的答案写在横线上）
11-6.如图所示，在铅垂平面内，均质杆OA 可绕点O 自由转动，均质圆盘可绕点A 自由转动，当杆OA 由水平位置无初速释放时，已知杆长为l ，质量为m ；圆盘半径为R ，质量为M 。

则杆OA 对点O 的动量矩=o L ；圆盘对点O 的动量矩=o L ；圆盘对点A 的动量矩=A L 。

11-7.如图所示，两轮的转动惯量相同，为o J ，图（a ）中绳的一端挂重物，图(b)中绳的一端受一力，且P F =，则图（a ）的角加速度=α ；图（b ）的角加速度
α
题11-6图
(b)
F
题11-7图
3.简答题
11-8.如图所示的传动系统中，1J 、2J 为轮Ⅰ、轮Ⅱ的转动惯量，若以整体为质点系，则由质点动量矩定理求得轮Ⅰ的角加速度为2
11
1J J M +=
α，对吗？
Ⅰ
Ⅱ
题11-8图
11-9.质量为m 的均质圆盘，平放在光滑的水平面上，受力如图所示，初始静止，2
R
r ，下面圆盘作何种运动？
(a)
(b)
(c)
题11-9图
11-10.花样滑冰运动员通过伸展和收缩手臂和另一条腿来改变旋转的速度。

其理论依据是什么？为什么？
4.计算题
11-11.下面各图中，各物体的质量均为m ，几何尺寸如图所示，试求系统对点O 的动量矩。

m
2
(1)(2)(3)(4)
(5)
(6)
题11-11图
11-12.质量为m的质点在平面oxy内运动，其运动方程为
t
ω
cos
a
x=t
ω
sin
a
y2
=
其中a、b、ω为常数，试求质点对坐标原点O的动量矩。

11-13.半径为R，质量为m的均质圆盘与长为l、质量为M的均质杆铰接，如图所示。

杆以角速度ω绕轴O转动，圆盘以相对角速度
r
ω绕点A转动，（1）ω
ω
r
=；（2）ω
ω
r
-
=，试求系统对转轴O的动量矩。

题11-13图题11-14图
11-14.两小球C、D质量均为m，用长为l2的均质杆连接，杆的质量为M，杆的中点固定在轴AB上，CD与轴AB的夹角为θ，如图所示。

轴以角速度ω转动，试求系统对转
轴AB 的动量矩。

11-15.一半径为R 、质量为1m 的均质圆盘，可绕通过其中心O 的铅直轴无摩擦的旋转。

一质量为2m 的人在盘上点B 按规律22
1
at s =沿着半径为r 的圆周行走，如图所示。

初始
静止，求圆盘的角速度和角加速度。

v
11-16.质点A 在有心力F 的作用下，绕中心O 沿椭圆运动，已知质点在短半轴时的速
度301=v cm/s ，短半轴与长半轴有3
b
a =，如图所示。

试求质点运动到长半轴时的速度。

11-17.以小球M 系于线MOA 的一端，，此线穿过一铅垂管道，如图所示。

小球M 绕轴沿半径R MC =的水平圆运动，转速为1201=n r/min 。

今将线OA 慢慢拉下，则小球M
在半径2
R
C M =
'的水平圆上运动，试求该瞬时小球的转速。

M
题11-17图题11-18图
11-18.飞轮对转轴O 的转动惯量为o J ，以角速度o ω绕轴O 转动，制动时闸块给轮以
正压力N F ，闸块与轮之间的摩擦系数为f ，轮的半径为R ，如图所示，轴承的摩擦不计。

试求制动时的时间。

11-19.如图所示两轮的半径为1R 、2R 。

质量分别为1m 、2m 。

两轮用胶带连接，各绕两平行的固定轴转动，若在第一轮上作用主动力矩M ，若在第二轮上作用阻力矩M '。

视圆轮为均质圆盘，胶带与轮间无滑动，胶带质量不计，试求第一轮的角加速度。

题11-19图J 2
题11-20图
11-20.如图所示点绞车，提升一重为P 的重物，在其主动轴上作用一不变的力矩M 。

已知主动轴和从动轴的转动惯量分别为1J 、2J ，传动比1
2z z
i =，吊索缠绕在鼓轮上，鼓轮
半径为R ，轴承的摩擦不计。

试求重物的加速度。

11-21.两质量分别为1m 、2m 的重物系于不可伸长的绳索下端，如图所示。

两绳的上部分别缠绕在半径为1r 和2r 的鼓轮上，两鼓轮在同一轴上。

若两个鼓轮的转动惯量为J ，
题图
11-22.如图所示均质杆AB 长为l ，重为1P ，B 端固结一重为2P 的小球，杆的D 与铅垂悬挂的弹簧相连以使杆保持水平位置。

已知弹簧的刚度系数为k ，给小球以微小的初位移o δ，然后自由释放，试求杆AB 的运动规律。

11-23.重物A 的质量为1m 系在绳子上，绳子跨过不计质量的固定滑轮D 上，并缠绕在鼓轮B 上，如图所示。

由于重物A 下降，使轮C 沿水平轨道作纯滚动而不滑动。

设鼓轮的半径为r ，轮C 的半径为R ，两者固联在一起，总质量为2m ，对于水平轴O 的惯性半径为ρ。

试求重物A 的加速度。

题11-24图
11-24.半径为r、质量为m的均质圆轮沿水平直线作纯滚动，如图所示。

设轮的惯性半径为ρ，作用在圆轮上有一不变力偶矩M，试求轮心的加速度。

若轮对地面的静滑动摩擦系数为f，问力偶矩M满足什么条件不至于使圆轮滑动。

11-25.如图所示的均质圆柱体，质量为m，半径为r，放在倾角为o
60的斜面上，一细绳缠绕在圆柱体上，其一段固定在A点，绳与斜面平行，若圆柱体与斜面间的摩擦因数为
1
f,试求圆柱体沿斜面落下时质心的加速度。

题11-25图题11-26图
11-26.均质圆柱体A的质量为m，在轮的外缘上缠以细绳，绳的一端B固定，如图所示。

当BC铅垂时圆柱下降，设初始轮心的速度为零，试求轮心下降为h时，轮心的加速度和绳的拉力。

m，受水平力F作用，沿水平面运动，板与平面间的动摩11-27.如图所示板的质量为
1
m的均质实心圆柱体，此圆柱体在板上只滚不滑动，试擦系数为f。

在板上放一质量为
2
求板的加速度。

题11-27图。