考点41 直线与圆锥曲线的位置关系

考点41 直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1.（2011·浙江高考理科·Ｔ8）已知椭圆22122:1x y C a b +=（a >b >0）与双曲线222:14y C x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分， 则（ ） （A ）2132a =（B ）2a =13 （C ）212b = （D ）2b =2 【精讲精析】C 2的一条渐近线为2=y x ,设该渐近线与椭圆22122:1x y C a b+=（a >b >0）的交点分别为1122(,2),(,2)C x x D x x ,则22221143a OC x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,即22145a x =,又由11(,2)C x x 在22122:1x y C a b +=上,所以有221414545a b+=①, 又由椭圆22122:1x y C a b +=（a >b >0）与双曲线222:14y C x -=有公共的焦点可得225a b -=②,由①②解得212b =,2112a =,故选C. 二、解答题2.（2011·福建卷理科·Ｔ17）已知直线l ：y=x+m ，m∈R.（I ）若以点M （2,0）为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程； （Ⅱ）若直线l 关于x 轴对称的直线为l '，问直线l '与抛物线C ：x 2=4y 是否相切？说明理由.【思路点拨】（I ）由题意画出图形，结合图形求出圆的半径，然后写出圆的标准方程；（Ⅱ）由l 的方程求得l '的方程，将l '的方程与抛物线C 的方程联立，得一元二次方程，然后依据对应判别式∆的正负，来判定两者能否相切.【精讲精析】方法一：（I ）依题意，点P 的坐标为(0,)m . 因为,MP l ⊥所以1.0210m⨯=--- 解得2m =，即点P 坐标为(0,2).从而圆的半径||r MP ===故所求圆的方程为22(2)8x y -+=.(Ⅱ)因为直线l 的方程为y x m =+，所以直线l '的方程为y x m =--.由2,4y x m x y=--⎧⎨=⎩得2440x x m ++=. 2416(14)4.m m ⨯=-∆=-当1m =，即0∆=时，直线l '与抛物线C 相切； 当1m ≠，即0∆≠时，直线l '与抛物线C 不相切.综上，当1m =时，直线l '与抛物线C 相切；当1m ≠时，直线l '与抛物线C 不相切. 方法二：（I ）设所求圆的半径为r ，则圆的方程可设为222(2)x y r -+=. 依题意，所求圆与直线:0l x y m -+=相切于点(0,)P m ，则224,,m r r ⎧+=⎪=解得2,=⎧⎪⎨=⎪⎩m r 所以所求圆的方程为22(2)8x y -+=. （II ）同方法一.3. （2011·福建卷文科·Ｔ18）如图，直线l ：y=x+b 与抛物线C ：x 2=4y 相切于点A. （1）求实数b 的值；（2）求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程.【思路点拨】（1）直线与抛物线方程联立，然后根据相切即判别式0∆＝，解之得b 的值； （2）求出A 点坐标，找出圆心和半径，写出圆的标准方程即可.【精讲精析】(1)由24=+⎧⎨=⎩y x b x y ，，得2440x x b --=. ()*因为直线l 与抛物线C 相切，所以2(4)4(4)0b ∆=--⨯-=， 解得1b =-.(2)由（1）可知1b =-，故方程()*即为2440x x -+=， 解得2x =.将其代入24x y =，得 1.y = 故点A （2,1）.因为圆A 与抛物线C 的准线相切，所以圆A 的半径r 等于圆心A 到抛物线的准线1y =-的距离，即|1(1)|2r =--=， 所以圆A 的方程为22(2)(1) 4.x y -+-=4.（2011·江苏高考·Ｔ18）如图，在平面直角坐标系xOy 中，M ，N 分别是椭圆12422=+y x 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P ，A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k. （1）当直线PA 平分线段MN 时，求k 的值； （2）当k =2时，求点P 到直线AB 的距离d ； （3）对任意k >0，求证：PA ⊥PB.【思路点拨】本题考查的是直线与椭圆的位置关系，解决本题的关键是正确的联立方程结合已知进行转化求解.【精讲精析】（1）由题意知，2,2==b a ，故)2,0(),0,2(--N M ,所以线段MN 的中点的坐标为)22,1(--，由于直线PA 平分线段MN ，故直线PA 过线段MN 的中点，又直线PA 过坐标原点，所以22122=--=k . （2）直线PA 的方程为x y 2=，代入椭圆方程得124422=+x x ，解得32±=x ，因此)34,32(),34,32(--A P ,于是)0,32(C ,直线AC 的斜率为13232340=++，所以直线AB 的方程为032=--y x ，因此3222323432=--=d . （3）解法一：将直线PA 的方程kx y =代入12422=+y x ，解得2212k x +±=，记2212k+=μ，则),(),,(k A k P μμμμ--，于是),0,(μC 故直线AB 的斜率为20k k =++μμμ，直线AB 的方程为)(2μ-=x ky ，代入椭圆方程得0)23(2)2(22222=+--+k x k x k μμ，解得222)23(kk x ++=μ或μ-=x ，因此)2,2)23((2322kk k k B +++μμ，于是直线PB 的斜率为k kk kk k k 12)23(222231-=-++-+=μμμμ， 因此11-=k k ，所以PB PA ⊥.解法二：设()2211,),,(y x B y x P ，则2121,0,0x x x x ≠>>，()0,),,(111x C y x A --.设直线PB ，AB 的斜率分别为21,k k .因为C 在直线AB 上，所以1121110(y )y kk x (x )2x 2--===--- ，从而()()1212112121212211+----⋅--⋅=+=+x x y y x x y y k k k k044)2()2(122212221222121222221222122=--=-+-+=+--=x x x x y x y x x x y y ，因此11-=k k ，所以PB PA ⊥.5.（2011·北京高考理科·T19）已知椭圆22:14x G y +=，过点(,0)m 作圆221x y +=的切线l 交椭圆于A,B 两点.（Ⅰ）求椭圆G 的焦点坐标和离心率；（Ⅱ）将|AB|表示为m 的函数，并求|AB|的最大值.【思路点拨】（Ⅰ）根据标准方程可求出焦点坐标及离心率；（Ⅱ）先讨论切线l 斜率不存在的两种情况，当斜率存在时，联立切线方程与椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式可表示出|AB|，再求|AB|的最大值. 【精讲精析】（Ⅰ）由已知得2,1a b ==，所以c ==G的焦点坐标为(，离心率为c e a ==（Ⅱ）由题意知，||1m ≥.当m=1时，切线l 的方程为x=1，点A,B的坐标分别为，此时||AB = 当m=-1时，同理可得||AB =当|m|>1时，设切线l 的方程为()y k x m =-.由22()14=-⎧⎪⎨+=⎪⎩y k x m x y ，，得22222(14)8440k x k mx k m +-+-=. 设A,B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y . 又由l 与圆221x y +=1=，即2221m k k =+.所以||AB ====. 由于当1m =±时，||AB =2|||233||||==≤++m AB m m m 所以，当且仅当m =||2AB =.所以|AB|的最大值为2.6.（2011·北京高考文科·T19）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>右焦点为，斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A,B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为(3,2)P -. （Ⅰ）求椭圆G 的方程； （Ⅱ）求PAB ∆的面积.【思路点拨】（Ⅰ）利用a,b,c 的关系及离心率求出a,b ，代入标准方程；（Ⅱ）联立直线方程与椭圆方程，然后利用根与系数的关系，设而不求，整体代入. 【精讲精析】（Ⅰ）由已知得3c c a ==，解得a =又2224b a c =-=，所以椭圆G 的方程为221124x y +=.（II ）设直线l 的方程为y x m =+，由221124=+⎧⎪⎨+=⎪⎩y x m x y ，得，22463120x mx m ++-=①.设A,B 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y 12()x x <，AB 中点为00(,)E x y ，则120003,244x x m mx y x m +==-=+=. 因为AB 是等腰PAB ∆的底边，所以PE AB ⊥.所以PE 的斜率241334mk m -==--+，解得2m =. 此时方程①为24120x x +=，解得123,0x x =-=，所以121,2y y =-=.所以||AB =.此时，点(3,2)P -到直线AB ：20x y -+=的距离d ==，所以PAB ∆的面积19||22S AB d =⋅=. 7.（2011·江西高考理科·Ｔ20）000(,)()P x y x a ≠±是双曲线E ：22221(0,0)xy a b a b-=>>上一点，M ，N 分别是双曲线E 的左、右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15.（1）求双曲线的离心率；（2）过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC OA OB =λ+，求λ的值.【思路点拨】（1）表示出直线PM ，PN 的斜率，根据直线PM ，PN 的斜率之积为15，得22a 5b =，进而求得离心率.（2）首先根据直线与双曲线的位置关系结合OC OA OB =λ+，将C 点坐标用A,B 两点坐标表示，再将C 点坐标代入双曲线方程，即得λ的关系式，从而求得λ的值. 【精讲精析】2222000002222222222000022222112212212x y x y ,y )(x a)11a b a by y 1c ,a 5b ,c a b 6b ,e x a x a 5a x 5y 5b ,(2)4x 10cx 35b 0,A(x ,y ),B x ,y )y x c,5c x x ,2OC 35b x x 4≠±-=-=⋅===+===-+⎧-=-+=⎨=-⎩⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (1)点P(x 在双曲线上，有，由题意又有可得则联立得设（，则设31233312222222331212222222112212122222211221122x x x (x ,y ),OC OA OB,y y y C x 5y 5b ,x x )5(y y )5b (x 5y )(x 5y )2(x x 5y y )5b A(x ,y ),B x ,y )x 5y =5b x 5y =λ+⎧==λ+⎨=λ+⎩-=λ+-λ+=λ-+-+λ-=-- ，即，又为双曲线上一点，即有（，化简得：.又（在双曲线上，所以，22211221212121212122=5b .A(x ,y ),B x ,y )x x 5y y =x x -5x c)(x c)4x x 5c(x x )5c 10b +4=0=0=-4.---=-++-=λλλλ又（在直线上有（得：，解出或8.（2011·江西高考文科·Ｔ19）已知过抛物线()022>=p px y 的焦点，斜率为22的直线交抛物线于()11,,A x y ()22,B x y （12x x <）两点，且9=AB ．（1）求该抛物线的方程；（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若λ+=，求λ的值．【思路点拨】（1）首先将直线方程与抛物线方程联立，可得12x x 与的和，再结合抛物线的定义可求出p 的值.（2）结合第一问所求，解出A,B 坐标，结合条件式解出C 点的坐标，将其代入抛物线方程可得λ的值. 【精讲精析】（1）直线AB 的方程是222py ),y 2px 4x 5px p 0,2=-=-+=与联立，从而有所以4521px x =+，由抛物线定义得：921=++=p x x AB ，所以p=4， 从而抛物线方程是x y 82=.（2）由p=4，,05x 422=+-p px 化简得0452=+-x x ，又x 1<x 2,从而,4,121==x x 24,2221=-=y y ,从而A(1,22-),B(4,24).设3,3OC (x y )(1,(4,==-+λ =)2422,41(λλ+-+，又因为3238x y =，即)221 ⎡⎤λ-=⎣⎦8（41+λ），即14)12(2+=-λλ，解得02λ=λ=或.9.（2011·陕西高考文科·T17）设椭圆C : ()222210x y a b a b +=>>过点（0，4），离心率为35．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标． 【思路点拨】（Ⅰ）由椭圆过已知点和椭圆离心率可以列出方程组，解方程组即可，也可以分步求解；（Ⅱ）直线方程和椭圆方程组成方程组，可以求解，也可以利用根与系数关系，然后利用中点坐标公式求解． 【精讲精析】（Ⅰ）将点（0，4）代入C 的方程得2161b=,∴b=4, 又35c e a == 得222925a b a -=，即2169125a -=，∴5a =， ∴C 的方程为2212516x y +=．（Ⅱ）过点()3,0且斜率为45的直线方程为()435y x =-， 设直线与Ｃ的交点为A ()11,x y ，B ()22,x y ，将直线方程()435y x =-代入Ｃ的方程，得 ()22312525x x -+=，即2380x x --=，解得132x =，232x +=， ∴AB 的中点坐标12322x xx +==，()1212266255y y y x x +==+-=-，即所截线段的中点坐标为36(,)25-．10.（2011·浙江高考理科·Ｔ21）已知抛物线1:C 2x ＝y ，圆2:C 22(4)1x y +-=的圆心为点M ． （Ⅰ）求点M 到抛物线1C 的准线的距离；（Ⅱ）已知点P 是抛物线1C 上一点（异于原点），过点P 作圆2C 的两条切线，交抛物线1C 于A ，B 两点，若过M ，P 两点的直线l 垂直于AB ，求直线l 的方程.【思路点拨】（Ⅰ）利用抛物线的几何性质可直接解决；（Ⅱ）考查直线与抛物线、圆的位置关系等基础知识，利用“过M ，P 两点的直线l 垂直于AB ”这一几何条件建立关系式即可解出． 【精讲精析】（Ⅰ）解：由题意可知，抛物线的准线方程为：1,4y =-所以圆心M （0,4）到准线的距离是174．（Ⅱ）解：设P(x 0, x 02)，A （211,x x ）,B （222,x x ），由题意得00120,1,x x x x ≠≠±≠,设过点P 的圆C 2的切线方程为y-x 02=k(x- x 0)，即200=-+y kx kx x ， ①21=，即222220000(1)2(4)(4)10x k x x k x -+-+--=．设PA ，PB 的斜率分别为1212,()k k k k ≠，则12,k k 是上述方程的两根，所以20012202(4)1x x k k x -+=-，2201220(4)11x k k x --⋅=- 将①代入2y x =得22000x kx kx x -+-=，由于0x 是此方程的根，故110220,,x k x x k x =-=-所以222001212120021202(4)22,1--==+=+-=---ABx x x x k x x k k x x x x x 而2004MPx k x -=.由MP ⊥AB,得2200002002(4)4(2)()11AB MPx x x k k x x x --⋅=-⋅=--，解得20235=x ， 即点P的坐标为23()5，所以直线l的方程为4115y x =±+. 11.（2011·浙江高考文科·Ｔ22）如图，设P 是抛物线1:C 2x y =上的动点，过点P 做圆2C ：22(3)1x y ++=的两条切线，交直线l ：3y =-于,A B 两点.（Ⅰ）求2C 的圆心M 到抛物线 1C 准线的距离；（Ⅱ）是否存在点P ，使线段AB 被抛物线1C 在点P 处的切线平分，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【思路点拨】（Ⅰ）题利用抛物线的几何性质可直接求解；（Ⅱ）写出三切线方程，求出,,A B 及抛物线1C 在点P 处的切线与3y =-交点的坐标即可找出关于点P 坐标的关系．【精讲精析】（Ⅰ）由题意可知，抛物线C 1的准线方程为：1,4y =- 所以圆心M 到抛物线C 1准线的距离为111(3).44---= (Ⅱ）设点P 的坐标为(200,x x )，抛物线C 1在点P 处的切线交直线l 于点D ． 再设A,B,D 的横坐标分别为,,A B D x x x , 过点P (200,x x )的抛物线C 1的切线方程为：20002().y x x x x -=- ①当01x =时，过点(1,1)P 与圆2C 相切的直线方程PA 为：151(1)8y x -=-. 可得17,1,1,215A B D A B D x x x x x x ===-+≠． 当01x =-时，过点(1,1)P -与圆2C 相切的直线方程PB 为：151(1)8y x -=-+， 可得171,,1,215A B D A B D x x x x x x =-==+≠． 所以2010x -≠． 设切线PA ，PB 的斜率为12,k k ，则2010:(),PA y x k x x -=- ② 2020:(),PB y x k x x -=- ③将3y =-分别代入①，②，③得22200000012012333(0);;(,0),2D A B x x x x x x x x x k k x k k -++=≠=-=-≠从而20012112(3)().A B x x x x k k +=-++21=，即22222010010(1)2(3)(3)10x k x x k x --+++-=. 同理，22222020020(1)2(3)(3)10x k x x k x --+++-=，- 11 - 所以12,k k 是方程222220000(1)2(3)(3)10x k x x k x --+++-=的两个不相等的根，从而20012202(3)1x x k k x ++=-，2201220(3)11x k k x +-⋅=-. 因为2A B D x x x +=， 所以220001203112(3)(),x x x k k x --++=即120111k k x +=. 从而20022002(3)1,(3)1+=+-x x x x进而得4008,x x ==综上所述，存在点P 满足题意，点P的坐标为(.。

直线与圆锥曲线知识点与题型归纳总结知识点精讲一、直线l 与圆锥曲线C 的位置关系的判断判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时,通常将直线l 的方程0Ax By c ++= 代入圆锥曲线C 的方程(),0F x y = ,消去y (也可以消去x )得到关系一个变量的一元二次方程,,即()0,0Ax By c F x y ++=⎧⎪⎨=⎪⎩ ,消去y 后得20ax bx c ++=(1)当0a =时,即得到一个一元一次方程,则l 与C 相交,且只有一个交点,此时,若C 为双曲线,则直线l 与双曲线的渐近线平行;若C 为抛物线,则直线l 与抛物线 的对称轴平行(2) 当0a ≠时,0∆> ,直线l 与曲线C 有两个不同的交点; 0∆=,直线l 与曲 线C 相切,即有唯一的公共点(切点); 0∆< ,直线l 与曲线C 二、圆锥曲线的弦连接圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦直线():,0l f x y = ,曲线():F ,0,A,B C x y =为l 与C 的两个不同的交点,坐标分别为()()1122,,,A x y B x y ,则()()1122,,,A x y B x y 是方程组()(),0,0f x y F x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 的两组解, 方程组消元后化为关于x 或y 的一元二次方程20Ax Bx c ++=(0A ≠) ,判别式24B AC ∆=- ,应有0∆> ,所以12,x x 是方程20Ax Bx c ++=的根,由根与系数关系(韦达定理)求出1212,B Cx x x x A A+=-= , 所以,A B 两点间的距离为12AB x =-==即弦长公式,弦长 公式也可以写成关于y 的形式)120AB y y k =-=≠三, 已知弦AB 的中点,研究AB 的斜率和方程(1) AB 是椭圆()22221.0x y a b a b+=>的一条弦,中点()00,M x y ,则AB 的斜率为2020b x a y - ,运用点差法求AB 的斜率;设()()()112212,,A x y B x y x x ≠ ,,A B 都在椭圆 上,所以22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ,两式相减得22221212220x x y y a b --+=所以()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=即()()()()22121202212120y y b x x b x x x a y y a y -+=-=--+，故2020AB b x k a y =-（1） 运用类似的方法可以推出；若AB 是双曲线()22221.0x y a b a b-=>的弦，中点()00,M x y ，则2020ABb x k a y =；若曲线是抛物线()220y px p => ，则0AB p k y =题型归纳及思路提示题型1 直线与圆锥曲线的位置关系思路提示（1）直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定：通常的方法是直线与圆锥曲线方程联立方程消元后得到一元二次方程，其中0∆> ；另一方面就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到。

直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点，具体如下：①直线与圆锥曲线的相离关系，常通过求二次曲线上的点到已知直线的距离的最大值或最小值来解决．②直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于圆或椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其相切或与双曲线的渐近线平行；对于抛物线，表示直线与其相切或直线与其对称轴平行．③直线与圆锥曲线有两个相异的公共点，表示直线与圆锥曲线相割，此时直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦．(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程，代入二次曲线的方程消元后所得的一元二次方程的解的情况来判断．直线l 方程为Ax ＋By ＋C ＝0，圆锥曲线方程为f (x ，y )＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，f (x ，y )＝0消元(x 或y )， 如消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0.若f (x ，y )＝0表示椭圆，上述方程中a ≠0，若f (x, y )＝0表示双曲线或抛物线， 上述方程中a ＝0或a ≠0.①若a ＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线平行(或重合)；当圆锥曲线是抛物线时，直线l 与抛物线的对称轴平行(或重合)．②若a ≠0，设Δ＝b 2－4ac .a ．Δ>0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；b ．Δ＝0时，直线和圆锥曲线相切于一点；c ．Δ<0时，直线和圆锥曲线没有公共点．直线与圆锥曲线的位置关系重点是相交：相交――→转化联立方程组有两组不等的实数解――→转化一元二次方程有两个不等实数解――→转化判别式大于零．2．弦长的求法求弦长――→转化求两点间的距离――→综合运用⎩⎪⎨⎪⎧消元，解方程组，一元二次方程根与系数的关系.(1)弦长：(直线与圆锥曲线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2))，直线斜率为k ，一般地，弦长公式|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝1＋1k2|y 1－y 2|＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]. (2)若弦过焦点：可用焦半径公式来表示弦长，简化运算． 如x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)， |AB |＝2a －e(x 1＋x 2) (过右焦点)， |AB |＝2a ＋e(x 1＋x 2) (过左焦点)．如抛物线y 2＝2px (p >0)， |AB |＝x 1＋x 2＋p .3．中点弦问题设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上不同的两点，且x 1≠x 2，x 1＋x 2≠0，M (x 0，y 0)为AB 的中点，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b21，x 22a 2＋y22b 21.两式相减可得y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－b 2a 2，即k AB ·y 0x 0＝－b 2a2．类似地，可得圆锥曲线为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1时，有k AB ·y 0x 0＝b 2a2．圆锥曲线为抛物线y 2＝2px (p >0)时，有k AB ＝py 0．探究点1 直线与圆锥曲线的交点问题例1 已知双曲线C ：2x 2－y 2＝2与点P (1, 2)，求过点P 的直线l 的斜率的取值范围，使l 与C 分别有一个公共点，两个公共点，没有公共点．例1 [解答] (1)当l 垂直x 轴时，此时直线与双曲线相切，有一个公共点．(2)当l 不与x 轴垂直时，设直线l 的方程为y －2＝k(x －1)代入双曲线C 的方程中，整理得(2－k 2)x 2＋2(k 2－2k)x －k 2＋4k －6＝0, (*) 当k 2＝2，即k ＝±2时， (*)为一次方程，显然只有一解； 当k 2≠2时，Δ＝4(k 2－2k)2－4(2－k 2)(－k 2＋4k －6)＝48－32k.令Δ＝0，可解得k ＝32；令Δ＞0，即48－32k ＞0，此时k ＜32；令Δ＜0，即48－32k ＜0，此时k ＞32.∴当k ＝±2或k ＝32或k 不存在时，l 与C 只有一个公共点；当k ＜－2或－2＜k ＜2或2＜k ＜32时，l 与C 有两个公共点；当k ＞32时，l 与C 没有公共点．[点评] (1)为了设出直线方程，先讨论斜率是否存在．当斜率存在时，设出方程并与双曲线方程组成方程组，消去y 得到关于x 的方程．当二次项系数为零时，直线与渐近线平行与双曲线只有一个交点；当二次项系数不为零时，若Δ＝0，则有一个切点；若Δ>0，则有两个交点；Δ<0，则没有交点．(2)有关直线和圆锥曲线的范围问题，常常使用Δ来体现范围．探究点2 中点弦问题例2 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (0,2)，离心率e ＝63.(1)求椭圆的方程；(2)直线l ：y ＝kx －2(k ≠0)与椭圆相交于不同的两点M 、N ，且满足MP →＝PN →，AP →·MN →＝0，求直线l 的方程．[解答] (1)设c ＝a 2－b 2，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝63，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，6a 2＝9a 2－9b 2，∴a 2＝3b 2＝12，即椭圆方程为x 212＋y 24＝1.(2)∵MP →＝PN →，AP →·MN →＝0，∴AP ⊥MN ，且点P 是线段MN 的中点， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 212＋y 241，消去y ，得x 2＋3(kx －2)2＝12， 即(1＋3k 2)x 2－12kx ＝0，(*)，由k ≠0，得方程(*)中Δ＝(－12k)2＝144k 2>0，显然方程(*)有两个不相等的实数根．设M(x 1，y 1)、N(x 2，y 2)，线段MN 的中点P(x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝12k 1＋3k 2∴x 0＝x 1＋x 22＝6k1＋3k 2， ∴y 0＝kx 0－2＝6k 2－2(1＋3k 2)1＋3k 2＝－21＋3k 2即P ⎝⎛⎫6k 1＋3k 2，－21＋3k 2.∵k ≠0，∴直线AP 的斜率为k 1＝－21＋3k 2－26k1＋3k2＝－2－2(1＋3k 2)6k.由MN →⊥AP →，得－2－2(1＋3k 2)6k ·k ＝－1，∴2＋2＋6k 2＝6，解得k ＝±33，故直线方程为y ＝±33x －2.探究点3 相交弦长与面积问题例3 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，焦点到相应准线的距离为22.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点到直线l 的距离为32，求△AOB 面积的最大值．例3 [解答] (1)∵e ＝c a ＝63，a 2c －c ＝22，解得a ＝3，c ＝2，∴b 2＝3－2＝1， 椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)当AB ⊥x 轴时，⎝⎛⎭⎫3223＋y 2＝1，得y 2＝34，AB ＝ 3. 当AB 不垂直x 轴时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，则|m|1＋k2＝32，得m 2＝34k 2＋34. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0，∴x 1＋x 2＝－6km 3k 2＋1，x 1x 2＝3(m 2－1)3k 2＋1， |AB|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·36k 2m 2(3k 2＋1)2－12(m 2－1)3k 2＋1＝12(k 2＋1)(3k 2＋1－m 2)(3k 2＋1)2＝3(k 2＋1)(9k 2＋1)(3k 2＋1)2＝3＋12k29k 4＋6k 2＋1 ＝3＋129k 2＋1k2＋6≤3＋122×3＋6＝2(k ≠0)，当且仅当9k 2＝1k 2，即k ＝±33时，|AB|max ＝2，当k ＝0时，AB ＝3，综上所述|AB|max ＝2.∴当|AB|最大时，△AOB 面积最大值S ＝12×32×2＝32.变式题：从椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，且它的长轴端点A 及短轴端点B 的连线AB 平行于OM .(1)求椭圆的离心率；(2)当QF 2⊥AB 时，延长QF 2与椭圆交于另一点P ，若△F 1PQ 的面积为203(Q是椭圆上的点)，求此时椭圆的方程． [解答] (1)如图，由题意知x M ＝－c ， 故y M ＝b 2a .又△F 1OM ∽△OAB ，c a ＝b 2a b ⇒b ＝c ⇒e ＝22. (2)设椭圆方程为x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)，由(1)知a 2＝2b 2，方程变为x 2＋2y 2＝2b 2.设直线PQ 方程为y －0＝2(x －b)，联立方程组，得5x 2－8bx ＋2b 2＝0， x 1＋x 2＝8b 5，x 1x 2＝2b 25.|PQ|＝|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝26b5∵|y 2－y 1|＝|2(x 2－x 1)|＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝43b5S △F 1PQ ＝12×||PQ ×||－22b 3＝203⇒b 2＝25，∴a 2＝50，∴椭圆方程为x 250＋y 225＝1.探究点4 弦的定比分点问题例4 已知椭圆x 25＋y 29＝1，焦点F (0,2)，又点A ，B 在椭圆上，而且AF →＝2FB →，求直线AB 的斜率．例4 [解答] AF →＝2FB →⇒A ，F ，B 三点共线． 设AB 方程为y ＝kx ＋2，与椭圆方程联立，得 (9＋5k 2)x 2＋20kx －25＝0， x 1＋x 2＝－20k 9＋5k 2，x 1x 2＝－259＋5k2.又AF →＝2FB →⇒⎩⎪⎨⎪⎧x1＝－2x 2，2－y 1＝2y 2－4，所以－x 2＝－20k 9＋5k 2，－2x 22＝－259＋5k 2，消去x 2，解得k ＝±33. 探究点5 综合应用问题例5 已知双曲线C ：x 21－λ－y 2λ＝1(0＜λ＜1)的右焦点为B ，过点B 作直线交双曲线C的右支于M 、N 两点，试确定λ的范围，使OM →·ON →＝0，其中点O 为坐标原点． [解答] 设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，由已知易求B(1,0)． 当MN 垂直于x 轴时，MN 的方程为x ＝1.设M(1，y 0)，N(1，－y 0)(y 0＞0)，由OM →·ON →＝0，得y 0＝1，∴M(1,1)，N(1，－1)． 又M(1,1)，N(1，－1)在双曲线上， ∴11－λ－1λ＝1⇒λ2＋λ－1＝0⇒λ＝－1±52. ∵0＜λ＜1，∴λ＝5－12. 当MN 不垂直于x 轴时，设MN 的方程为y ＝k(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 21－λ－y 2λ＝1，y ＝k (x －1)，得：[λ－(1－λ)k 2]x 2＋2(1－λ)k 2x －(1－λ)(k 2＋λ)＝0. 由题意知λ－(1－λ)k 2≠0，∴x 1＋x 2＝－2k 2(1－λ)λ－(1－λ)k 2，x 1x 2＝－(1－λ)(k 2＋λ)λ－(1－λ)k 2，∴y 1y 2＝k 2(x 1－1)(x 2－1)＝k 2λ2λ－(1－λ)k 2，∵OM →·ON →＝0，且M 、N 在双曲线右支上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1x 2＋y 1y 2＝0，x 1＋x 2＞0，x 1x 2＞0⇒⎩⎨⎧k 2＝λ(1－λ)λ2＋λ－1，k 2＞λ1－λ⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ(1－λ)λ2＋λ－1＞λ1－λ，λ2＋λ－1＞0⇒5－12＜λ＜23.综上知5－12≤λ＜23. 变式题：已知点P 1(x 0，y 0)为双曲线x 28b 2－y 2b 21(b 为正常数)上任一点，F 2为双曲线的右焦点，过P 1作右准线的垂线，垂足为A ，连结F 2A 并延长交y 轴于点P 2.(1)求线段P 1P 2的中点P 的轨迹E 的方程；(2)设轨迹E 与x 轴交于B 、D 两点，在E 上任取一点Q (x 1，y 1)(y 1≠0)，直线QB 、QD 分别交y 轴于M 、N 两点．求证：以MN 为直径的圆过两定点．[解答] (1)由已知得F 2(3b,0)，A ⎝⎛⎭⎫83b ，y 0，则直线F 2A 的方程为y ＝－3y0b (x －3b)，令x＝0，得y ＝9y 0，即P 2(0,9y 0)．于是直线QB 的方程为：y ＝y 1x 1＋2b(x ＋2b)，直线QD 的方程为y ＝y 1x 1－2b(x －2b)，可得M ⎝⎛⎭⎪⎫0，2by 1x 1＋2b ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2by 1x 1－2b . 则以MN 为直径的圆的方程为： ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2by 1x 1＋2b ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋2by 1x 1－2b ＝0.令y ＝0得x 2＝2b 2y 21x 21－2b 2，而Q(x 1，y 1)在x 22b 2－y 225b 2＝1上，则x 21－2b 2＝225·y 21，于是x ＝±5b ， 即以MN 为直径的圆过两定点(－5b,0)，(5b,0)．规律总结本节问题的研究集中体现了解析几何的基本思想和方法，要求有较强的分析问题和解决问题的能力，有些问题涉及代数、三角、几何等多方面的知识，因此在复习中要注意各部分之间的联系和综合利用知识解决问题的能力．1．直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，通过消元最终归结为讨论一个一元二次方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0的实数解的个数问题．应特别注意要分A ＝0和A ≠0的两种情况讨论，只有A ≠0时，才可用判别式来确定解的个数. 当直线平行于抛物线的对称轴时，直线与抛物线只有一个公共点．这些情况在解题中往往容易疏忽，要特别注意，对于选择、填空题，用数形结合往往快速简捷．2．斜率为k 的直线被圆锥曲线截得弦AB ，若A 、B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝|x 1－x 2|·1＋k 2＝|y 1－y 2|·1＋1k 2(k ≠0)，利用这个公式求弦长时，应注意应用韦达定理．3．与焦点弦长有关的问题，要注意应用圆锥曲线的定义．4．在给定的圆锥曲线f (x ，y )＝0中，求中点为(m ，n )的弦AB 所在直线方程时，一般可设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，利用A 、B 在曲线上，得f (x 1，y 1)＝0，f (x 2，y 2)＝0及x 1＋x 2＝2m ，y 1＋y 2＝2n ，故可求出斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2，最后由点斜式写出直线AB 的方程．5．求圆锥曲线的方程时，通常利用待定系数法．。

直线和圆锥曲线的位置关系知识点一：直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离.判断的方法均是把直线方程代入曲线方程中，判断方程解的个数，从而得到直线与曲线公共点的个数，最终得到直线与曲线的位置关系.一般利用二次方程判别式来判断有无解，有几个解.1．直线0=++C By Ax 椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的位置关系： 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x 或y 一元二次方程，其判别式为∆.(1)⇔>∆0直线和椭圆相交⇔直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；(2)⇔=∆0直线和椭圆相切⇔直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；(3)⇔<∆0直线和椭圆相离⇔直线和椭圆无公共点．2．直线0=++C By Ax 和双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的位置关系： 将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的方程.（一）若为一元一次方程，则直线和双曲线的渐近线平行，直线和双曲线只有一个交点，但不相切不是切点；（二）若为一元二次方程，则(1)若0>∆，则直线和双曲线相交，有两个交点(或两个公共点)；(2)若0=∆，则直线和双曲线相切，有一个切点；(3)若0<∆，则直线和双曲线相离，无公共点．注意：（1）⇒>∆0直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0>∆，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0>∆是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；（2）当直线与双曲线的渐近线不平行时，⇔=∆0直线与双曲线相切；（3）如说直线和双曲线有一个公共点，则要考虑两种情况：一个切点和一个交点；当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，但只有一个交点；（4）过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 外一点),(00y x P 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P 为原点时不存在这样的直线；3．直线0=++C By Ax 和抛物线)0(22>=p px y 的位置关系：将直线的方程与抛物线的方程联立成方程组，消元转化为关于x 或y 方程.（一）若方程为一元一次方程，则直线和抛物线的对称轴平行，直线和抛物线有一个交点，但不相切不是切点；（二）若为一元二次方程，则(1)若0>∆，则直线和抛物线相交，有两个交点(或两个公共点)；(2)若0=∆，则直线和抛物线相切，有一个切点；(3)若0<∆，则直线和抛物线相离，无公共点.注意：（1）⇒>∆0直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0>∆，当直线与抛物线的对称轴重合或平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0>∆也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件.（2）当直线与抛物线的对称轴不重合或平行时，⇔=∆0直线与抛物线相切；（3）如说直线和抛物线有一个公共点，则要考虑两种情况：一个切点和一个交点；当直线与抛物线的轴平行时，直线与抛物线相交，也只有一个交点；（4）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线.知识点二：圆锥曲线的弦1.直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦.当直线的斜率k 存在时，直线b kx y +=与圆锥曲线相交于),(),,(2211y x B y x A ，两点，把直线方程代入曲线方程中，消元后所得一元二次方程为02=++c bx ax .则弦长公式：2121x x k AB -+=其中aa c ab x x x x x x ∆=--=-+=-4)(4)(22122121 当k 存在且不为零时, 弦长公式还可以写成：21211y y k AB -+=. 注意：当直线的斜率不存在时，不能用弦长公式解决问题，21y y AB -=.2.焦点弦：若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦；抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦公式α221sin 2p p x x AB =++=，其中α为过焦点的直线的倾斜角.3.通径：若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴，此时焦点弦也叫通径.椭圆和双曲线的通径为ab AB 22=，抛物线的通径p AB 2=. 知识点三：圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解. ①在椭圆12222=+b y a x 中，以),(00y x P 为中点的弦所在直线的斜率0202y a x b k -=；②在双曲线12222=-b y a x 中，以),(00y x P 为中点的弦所在直线的斜率0202y a x b k =； ③在抛物线)0(22>=p px y 中，以),(00y x P 为中点的弦所在直线的斜率0y p k =. 注意：因为0>∆是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0>∆！知识点四：求曲线的方程1. 定义：在直角坐标系中，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标),(y x 所满足的方程0),(=y x f 表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这就是坐标法.2. 坐标法求曲线方程的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何因素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.通过坐标法，把点和坐标、曲线和方程联系起来，实现了形和数的统一.用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何对象，然后对坐标和方程进行代数讨论；最后再把代数运算结果“翻译”成相应的几何结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”. 3．求轨迹方程的常用方法：直接法、定义法、代入法、参数法等.规律方法指导1．直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究.因为直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.2．直线与圆锥曲线的位置关系，是高考考查的重中之重.主要涉及弦长、弦中点、对称、参量的取值范围、求曲线方程等问题.解题中要充分重视韦达定理和判别式的应用.3．当直线与圆锥曲线相交时涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式）；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”.4．解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时，对消元后的一元二次方程，必须讨论二次项的系数和判别式，有时借助于图形的几何性质更为方便.。

直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看：要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。

(2)从代数角度看：设直线L的方程与圆锥曲线的方程联立得到ax°+bx+c=0.①.若a=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L与双曲线的渐进线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线L与抛物线的对称轴平行或重合。

1、圆锥曲线的范围问题有两种常用方法：（1）寻找合理的不等式，常见有△＞0和弦的中点在曲线内部；（2）所求量可表示为另一变量的函数，求函数的值域。

2、圆锥曲线的最值、定值及过定点等难点问题。

直线与圆锥曲线的位置关系：(1)从几何角度来看，直线和圆锥曲线有三种位置关系：相离、相切和相交，相离是直线和圆锥曲线没有公共点，相切是直线和圆锥曲线有唯一公共点，相交是直线与圆锥曲线有两个不同的公共点，并特别注意直线与双曲线、抛物线有唯一公共点时，并不一定是相切，如直线与双曲线的渐近线平行时，与双曲线有唯一公共点，但这时直线与双曲线相交；直线平行（重合）于抛物线的对称轴时，与抛物线有唯一公共点，但这时直线与抛物线相交，故直线与双曲线、抛物线有唯一公共点时可能是相切，也可能是相交，直线与这两种曲线相交，可能有两个交点，也可能有一个交点，从而不要以公共点的个数来判断直线与曲线的位置关系，但由位置关系可以确定公共点的个数．(2)从代数角度来看，可以根据直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组解的个数确定位置关系．设直线l的方程与圆锥曲线方程联立得到ax2+bx+c=0．①若a=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行或重合．②若当Δ>0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交．当Δ=0时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切．当Δ<0时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离．直线与圆锥曲线相交的弦长公式：若直线l与圆锥曲线F(x，y)=0相交于A，B两点，求弦AB的长可用下列两种方法：(1)求交点法：把直线的方程与圆锥曲线的方程联立，解得点A，B 的坐标，然后用两点间距离公式，便得到弦AB的长，一般来说，这种方法较为麻烦．(2)韦达定理法：不求交点坐标，可用韦达定理求解．若直线l的方程用y=kx+m或x=n表示．。

规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点：:101l y kx =+⇒过定点（，）:(1)1l y k x =+⇒-过定点（，0）:2(1)1l y k x -=+⇒-过定点（，2）证明直线过定点，也是将满足条件的直线整理成以上三种形式之一，再得出结论。

练习：1、过点P(3,2) 和抛物线232--=x x y 只有一个公共点的直线有（ ）条。

A ．4B ．3C ．2D ．1分析：作出抛物线232--=x x y ，判断点P(3,2)相对抛物线的位置。

解：抛物线232--=x x y 如图，点P （3，2）在抛物线的内部，根据过抛物线内一点和抛物线的对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点，可知过点P(3,2) 和抛物线232--=x x y 只有一个公共点的直线有一条。

故选择D规律提示：含焦点的区域为圆锥曲线的内部。

（这里可以用公司的设备画图）一、过一定点P 和抛物线只有一个公共点的直线的条数情况：（1）若定点P 在抛物线外，则过点P 和抛物线只有一个公共点的直线有3条：两条切线，一条和对称轴平行或重合的直线；（2）若定点P 在抛物线上，则过点P 和抛物线只有一个公共点的直线有2条：一条切线，一条和对称轴平行或重合的直线；（3）若定点P 在抛物线内，则过点P 和抛物线只有一个公共点的直线有1条：和抛物线的对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点。

二、过定点P 和双曲线只有一个公共点的直线的条数情况：（1）若定点P 在双曲线内，则过点P 和双曲线只有一个公共点的直线有2条：和双曲线的渐近线平行的直线和双曲线只有一个公共点；（2）若定点P 在双曲线上，则过点P 和双曲线只有一个公共点的直线有3条：一条切线，2条和渐近线平行的直线；（3）若定点P 在双曲线外且不在渐近线上，则过点P 和双曲线只有一个公共点的直线有4条：2条切线和2条和渐近线平行的直线；（4）若定点P 在双曲线外且在一条渐近线上，而不在另一条渐近线上，则过点P 和双曲线只有一个公共点的直线有2条：一条切线，一条和另一条渐近线平行的直线；（5）若定点P 在两条渐近线的交点上，即对称中心，过点P 和双曲线只有一个公共点的直线不存在。

高 二 数 学 期 末 复 习 三（圆锥曲线综合问题）一、知识回顾1．直线与圆锥曲线的位置关系：在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，有“函数方程思想”和“数形结合思想”两种思路，等价转化求解.注意：①直线与圆锥曲线相交的必要条件是他们构成的方程组有实数解，当出现一元二次方程时，务必“0∆>”，尤其是在应用韦达定理解决问题时，必须先有“0∆>”.②直线与抛物线(相交不一定交于两点)、双曲线位置关系(相交的四种情况)的特殊性，应谨慎处理.2．弦长公式：若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标，则22|||AB x x -，若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则12|||AB y y =-=，若弦AB 所在直线方程设为x ky b =+，则AB 12y -。

注意：焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和，或统一（第二）定义求解。

3．圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

在椭圆12222=+by a x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率0202y a x b k -=；在双曲线22221x y a b-=中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率0202y a x b k =；在抛物线22(0)y px p =>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率)0(00≠=y y pk 。

注意：如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率”为桥梁转化.4.常见的寻求曲线方程的方法(待定系数法、定义法、直译法、代点法、参数法、交轨法等), 以及如何利用曲线的方程讨论曲线的几何性质，这是解析几何的两类基本问题，也是解析几何的基本出发点.注意：①如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化.②在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.二、典型例题例1．（1）椭圆284722=+y x 上的点到直线01623=--y x 的最短距离为13138； （2）过抛物线x y 22=焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，已知ΔABO 重心的横坐标为3（O 为坐标原点），则|AB|=___10____（3*）已知直线1+-=x y 与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在直线02:=-y x l 上，则此椭圆的离心率为22（4*）若椭圆11022=+m y x 与双曲线122=-b y x 有相同的焦点，且),310(y P 椭圆与双曲线的一个交点，则椭圆与双曲线的方程分别为,11022=+y x 1822=-y x 。

直线与圆锥曲线的位置关系总结归纳(1)直线与圆锥曲线的位置关系总结归纳直线和圆锥曲线是几何学中常见的两种基本图形，它们的位置关系十分复杂。

在学习和研究数学问题时，了解它们的位置关系具有重要意义。

下面将总结归纳直线和圆锥曲线的位置关系。

一、直线与椭圆的位置关系1. 直线不经过椭圆：直线与椭圆没有交点，此时直线和椭圆之间没有任何位置关系。

2. 直线与椭圆相切于一点：直线与椭圆相切于一点，此时直线与椭圆的位置关系为切线。

3. 直线与椭圆相交于两点：直线与椭圆相交于两个点，此时直线与椭圆的位置关系是两个交点的连线。

4. 直线穿过椭圆：直线与椭圆相交于四个点，此时直线与椭圆的位置关系是四个交点的连线。

二、直线与双曲线的位置关系1. 直线不经过双曲线：直线与双曲线没有交点，此时直线和双曲线之间没有任何位置关系。

2. 直线与双曲线相切于一点：直线与双曲线相切于一点，此时直线与双曲线的位置关系为切线。

3. 直线与双曲线相交于两点：直线与双曲线相交于两个点，此时直线与双曲线的位置关系是两个交点的连线。

4. 直线穿过双曲线：直线与双曲线相交于四个点，此时直线与双曲线的位置关系是四个交点的连线。

三、直线与抛物线的位置关系1. 直线不经过抛物线：直线与抛物线没有交点，此时直线和抛物线之间没有任何位置关系。

2. 直线与抛物线相切于一点：直线与抛物线相切于一点，此时直线与抛物线的位置关系为切线。

3. 直线与抛物线相交于一个点：直线与抛物线相交于一个点，此时直线与抛物线的位置关系为交点。

4. 直线穿过抛物线：直线与抛物线相交于两个点，此时直线与抛物线的位置关系是两个交点的连线。

通过以上总结，我们可以看出，直线和圆锥曲线的位置关系与它们之间的交点有关，交点的个数和位置决定了它们的位置关系。

这对于学习和研究圆锥曲线成立方程、性质等问题非常有帮助。

1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c ＝0)．(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|.【知识拓展】过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l与抛物线y2＝2px只有一个公共点，则l与抛物线相切．(×)(2)直线y＝kx(k≠0)与双曲线x2－y2＝1一定相交．(×)(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点．(√)(4)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切．(√)。

（1）了解圆锥曲线的简单应用. （2）理解数形结合的思想.一、直线与圆锥曲线的位置关系 1．曲线的交点在平面直角坐标系xOy 中，给定两条曲线12,C C ，已知它们的方程为12:(,)0,:(,)0C f x y C g x y ==，求曲线12,C C 的交点坐标，即求方程组(,)0(,)0f x y g x y =⎧⎨=⎩的实数解.方程组有几组实数解，这两条曲线就有几个交点.若方程组无实数解，则这两条曲线没有交点. 2．直线与圆锥曲线的交点个数的判定设直线:0l Ax By C ++=，圆锥曲线:(,)0C f x y =，把二者方程联立得到方程组，消去()y x 得到一个关于()x y 的方程220(0)ax bx c ay by c ++=++=. （1）当0a ≠时，0∆>⇔方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线有两个交点； 0∆=⇔方程有两个相同的实数解，即直线与圆锥曲线有一个交点；0∆<⇔方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点.（2）当a =0时，方程为一次方程，若b ≠0，方程有一个解，此时直线与圆锥曲线有一个交点； 若b =0,c ≠0，方程无解，此时直线与圆锥曲线没有交点. 3．直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线相交时，直线与椭圆有两个公共点，与双曲线、抛物线有一个或两个公共点.（1）直线与椭圆有两个交点⇔相交；直线与椭圆有一个交点⇔相切；直线与椭圆没有交点⇔相离. （2）直线与双曲线有两个交点⇔相交.当直线与双曲线只有一个公共点时，除了直线与双曲线相切外，还有可能是直线与双曲线相交，此时直线与双曲线的渐近线平行. 直线与双曲线没有交点⇔相离. （3）直线与抛物线有两个交点⇔相交.当直线与抛物线只有一个公共点时，除了直线与抛物线相切外，还有可能是直线与抛物线相交，此时直线与抛物线的对称轴平行或重合. 直线与抛物线没有交点⇔相离. 二、圆锥曲线中弦的相关问题 1．弦长的求解（1）当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解；（2）当直线的斜率存在时，斜率为k 的直线l 与圆锥曲线C 相交于1122(,),(,)A x y B x y 两个不同的点，则弦长212121||(0)AB k x x y y k =+-=-≠. （3）当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长. 2．中点弦问题（1）AB 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的弦，1122(,),(,)A x y B x y ，弦中点M (x 0，y 0)，则AB 所在直线的斜率为2020b x k a y =-，弦AB 的斜率与弦中点M 和椭圆中心O 的连线的斜率之积为定值22b a -.（2）AB 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的弦，1122(,),(,)A x y B x y ，弦中点M (x 0，y 0)，则AB 所在直线的斜率为2020b x k a y =，弦AB 的斜率与弦中点M 和双曲线中心O 的连线的斜率之积为定值22b a .（3）在抛物线22(0)y px p =>中，以M (x 0，y 0) 为中点的弦所在直线的斜率0pk y =.考向一 直线与圆锥曲线位置关系的判断及应用1．判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.2．依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时,联立方程并消元，得到一元方程,此时注意观察方程的二次项系数是否为0,若为0,则方程为一次方程；若不为0,则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解.典例1 已知椭圆，直线:y ＝x ＋m ．(1)若与椭圆有一个公共点，求的值；(2)若与椭圆相交于P ,Q 两点，且|PQ |等于椭圆的短轴长，求m 的值．典例2 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(1,0)F ，抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点为M ． （1）若过点M 的直线l 与抛物线C 有且只有一个交点，求直线l 的方程； （2）若直线MF 与抛物线C 交于A ，B 两点，求OAB △的面积．【解析】（1）由题意知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(1,0)F ，抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点为M ，所以2p =，(0,1)M ，1．已知直线y kx =与双曲线22416x y -=．当k 为何值时，直线与双曲线： （1）有两个公共点； （2）有一个公共点； （3）没有公共点．考向二 直线与圆锥曲线的弦长问题直线与圆锥曲线的弦长问题有三种解法：（1）过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题．（2）将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长． （3）它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系.典例3 已知抛物线：（），焦点为，直线交抛物线于，两点，为的中点，且．（1）求抛物线的方程； （2）若，求x AB的最小值．∴，即，∴， ∴，，典例4 已知椭圆：（）的右焦点为，且椭圆上一点到其两焦点，的距离之和为．（1）求椭圆的标准方程； （2）设直线：（）与椭圆交于不同的两点，，且，若点满足，求的值．【解析】（1）由已知得，则，又，∴，∴椭圆的方程为221124x y +=． （2）由221124y x m x y ⎧=++=⎪⎨⎪⎩得①.∵直线与椭圆交于不同的两点、，∴，得，设、，则，，当时，， 此时，线段的中垂线方程为，即，令，得．当时，，此时，线段的中垂线方程为，即．令，得．综上所述，的值为或．2．直线1y ax =+与双曲线2231x y -=相交于A ，B 两点． （1）当2a =时，求线段AB 的长；（2）若以AB 为直径的圆经过坐标原点，求实数a 的值．考向三 圆锥曲线中的定点、定值问题定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究.同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等.典例5 如图，已知点E(m,0)(m＞0)为抛物线y2＝4x内一个定点，过E作斜率分别为k1，k2的两条直线交抛物线于点A，B，C，D，且M，N分别是AB，CD的中点．（1）若m＝1，k1k2＝－1，求△EMN面积的最小值；（2）若k1＋k2＝1，求证：直线MN过定点．典例6 已知椭圆E:22221(0)x ya ba b+=>>与y轴的正半轴相交于点M,点F1,F2为椭圆的焦点,且12△MF F是边长为2的等边三角形,若直线l:y=kx+2与椭圆E交于不同的两点A,B.（1）直线MA,MB的斜率之积是否为定值?若是,请求出该定值,若不是,请说明理由；（2）求△ABM的面积的最大值.【解析】（1）因为12△MF F是边长为2的等边三角形,所以2c=2,b =c,a=2,所以a=2,b =,所以椭圆E :+=1,点M (0,).将直线l:y=kx+2代入椭圆E的方程,整理得(3+4k2)x2+16kx+36=0.(*)设A(x1,y1),B(x2,y2),则由(*)式可得Δ=(16k)2-4(3+4k2)×36=48(4k2-9)>0,所以k∈(-∞,-)∪(,+∞),x1+x2=,x1x2=23634k+.则直线MA,MB的斜率之积为k MA·k MB=(12121212kx kxy yx x x x+-=()122123x xkx x++=+2222233493613636434k kk kk⎛⎫-⋅+⎪+-⎝⎭=+=+=+,3．已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e=2.（1）求双曲线C的标准方程；（2）若直线:l y kx m=+与双曲线C相交于,A B两点（,A B均异于左、右顶点），且以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，求证：直线l过定点，并求出定点的坐标.4．已知椭圆2222:1(0)x yE a ba b+=>>的离心率为，右焦点与抛物线的焦点重合，左顶点为，过的直线交椭圆于两点，直线与直线交于两点.（1）求椭圆的方程；（2）试计算是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由.1．直线=与椭圆=的位置关系为A．相交B．相切C．相离D．不确定2．已知直线与双曲线的右支有两个交点，则的取值范围为A．B．C．D．3．设为抛物线：的焦点，过作倾斜角为30°的直线交于、两点，则A．B．16C．32 D．4．若平行四边形内接于椭圆，直线的斜率，则直线的斜率A．B．C．D．5．过双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的右顶点A作倾斜角为135°的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C,若22AB BC=,则双曲线的渐近线方程为A．(+1)x+y=0 B．(+1)y-x=0C．(+1)x±y=0 D．(+1)y±x=06．已知O是坐标原点，F是椭圆+=1的一个焦点，过F且与x轴垂直的直线与椭圆交于M,N两点，则cos ∠MON的值为A．513B．513-C D．7．直线过抛物线的焦点且与抛物线交于两点，若线段的长分别为，则的最小值是A．10 B．98．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点．若AB 的中点坐标为(1,1)-，则E 的方程为A ．221189x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．2214536x y +=9．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线截椭圆所得弦长为，则此双曲线的离心率为 A ． B ． C ．D ．10．过抛物线上的焦点，作直线与抛物线交于，两点，已知，则A ．2B ．3C ．D ．11．若椭圆与直线有公共点，则该椭圆离心率的取值范围是 A ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭ B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭12．如图,过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ,交其准线于点C ,若|BC |=2|BF |,且|AF |=3,则此抛物线的方程为A ．29y x = B ．26y x = C ．23y x =D ．y 2=x13．已知椭圆C :+=1,过点M (1,0)的直线l 与椭圆C 交于点A ,B ,若=2,则直线l 的斜率为A ．114±B ．114C ．14±D ．1414．若直线y =kx -1与抛物线y 2=4x 有且只有一个公共点,则k 的值为_________.15．如图，已知斜率为1的直线l 过椭圆C ：22184y x +=的下焦点，交椭圆C 于A ，B 两点，则弦AB 的长等于__________．16．如果双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率为___________.17．直线与椭圆分别交于点，，线段的中点为，设直线的斜率为，直线的斜率为，则的值为__________．18．过抛物线C :y 2=x 上一点A (1,1)作两条互相垂直的直线，分别交抛物线于P ,Q (异于点A )两点,则直线PQ恒过定点_________.19．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率3e =，焦距是．（1）求椭圆的方程；（2）若直线2(0)y kx k =+≠与椭圆交于C 、D 两点，5CD =，求k 的值．20．已知抛物线上的点P 到点的距离与到直线的距离之差为，过点的直线交抛物线于两点.（1）求抛物线的方程； （2）若的面积为，求直线的方程.21．设A 、B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右项点，双曲线的实轴长为（1）求双曲线的方程；（2）已知直线2y x =-与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D 使OM ON tOD +=，求t 的值及点D 的坐标．22．已知抛物线22(0)y px p =>上的点(3,)T t 到焦点F 的距离为4．（1）求t ，p 的值；（2）设A ，B 是抛物线上分别位于x 轴两侧的两个动点，且5OA OB ⋅=，其中O 为坐标原点．求证：直线AB 过定点，并求出该定点的坐标．23221y b=（0a >，0b >）上，且双曲线的一条渐近线的方程是0y +=．（1）求双曲线C 的方程；（2）若过点(0,1)且斜率为k 的直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围； （3）设（2）中直线l 与双曲线C 交于A B 、两个不同的点，若以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求实数k 的值．24．已知椭圆以，为焦点，且离心率.（1）求椭圆的方程； （2）过点，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点、，求的取值范围；（3）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为、，是否存在直线，满足（2）中的条件且使得向量与垂直？如果存在，写出的方程；如果不存在，请说明理由.25．已知抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点F 顶点均在圆22:1O x y +=上．（1）求抛物线1C 和椭圆2C 的标准方程；（2）过点F 的直线交抛物线1C 于,A B 不同的两点，交y 轴于点N ，已知1NA AF λ=，2NB BF λ=，求证：12λλ+为定值．26．已知椭离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直线:0l x y -=与以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M 是椭圆的上顶点，过点M 分别作直线MA 、MB 交椭圆于A 、B 两点，设两直线的斜率分别为k 1、k 2，且124k k +=，证明：直线AB 过定点1(,1)2--．1．（2018新课标全国Ⅰ理科）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(2,0)-且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅=A ．5B ．6C ．7D ．82．（2018新课标全国Ⅱ理科）已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ．23 B ．12C ．13D ．143．（2018新课标全国Ⅰ理科）已知双曲线22:13x C y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若OMN △为直角三角形，则||MN = A ．32B ．3C ．D ．44．（2018新课标全国Ⅲ理科）已知点(1,1)M -和抛物线2:4C y x =，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB ∠=︒，则k =________________．5．（2018新课标全国Ⅱ理科）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．6．（2018新课标全国Ⅰ理科）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0)．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠．7．（2018新课标全国Ⅲ理科）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点（1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．8．（2018北京理科）已知抛物线2:2C y px =经过点(1,2)P ．过点(0,1)Q 的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）设O 为原点，QM QO λ=，QN QO μ=，求证：11λμ+为定值．9．（2018江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △，求直线l 的方程．10．（2018天津理科）设椭圆22221x y a b +=(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为BA 的坐标为(,0)b ，且FB AB ⋅=（1）求椭圆的方程；（2）设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q ．若sin 4AQ AOQ PQ=∠(O 为原点)，求k 的值．11．（2017新课标全国Ⅲ理科）已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2，0）的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；(4,2)P -12．（2017新课标全国I 理科）已知椭圆C ：22221()0x y a ba b +=>>，四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，2），P 4（1，2）中恰有三点在椭圆C 上． （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点．3．【解析】（1）设双曲线的标准方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，由已知得22,c b a ==又222a b c +=，解得2,1a b ==，所以双曲线的标准方程为2214x y -=. （2）设1122(,),(,)A x y B x y ，由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得222(14)84(1)0k x mkx m ---+=，则222212221226416(14)(1)08144(1)14m k k m mk x x k m x x k ∆⎧⎪=+-+>⎪⎪+=⎨-⎪⎪-+=⎪-⎩， 2212121212()()()y y kx m kx m k x x mk x x m =++=+++=222414m k k--，4．【解析】（1）由题意知，右焦点，即，且，解得，所以椭圆的方程为.（2）由（1）知，当直线的斜率不存在时，即直线的方程为，易知，所以直线.令，可知：,1．【答案】A【解析】由题意得直线=恒过定点,而点在椭圆=的内部,所以直线与椭圆相交.选A．2．【答案】D【解析】∵双曲线的渐近线方程为y x=±，∴当﹣1＜k≤1时，直线与双曲线的右支只有1个交点；当k≤﹣1时，直线与双曲线的右支没有交点.把1y kx=-代入得22(1)250k x kx-+-=，令22420(1)0k k∆=+-=，解得k=或k=﹣（舍去）．∴直线与双曲线的右支有两个交点时，1＜k＜．故选D．3．【答案】C【解析】由题意知，AB所在直线的方程为，联立消元得，设，则，所以，故选C．4．【答案】B5．【答案】C【解析】由题意知直线过点A(a,0),且斜率k=tan 135°=-1,则直线的方程为x+y-a=0.将该直线方程分别与两渐近线方程联立,解得B(,),C(,-),则有22222222(,)a b a bBCa b a b=---,(,)ab abABa b a b=++-.因为,所以ab a b -= +化简得+1,则双曲线的渐近线方程为(+1)x±y=0.故选C. 6．【答案】B【解析】由题意,a2=4,b2=3,故c===1.不妨设M(1,y0),N(1,-y0),所以+=1,解得y0=±32,所以|MN|=3,|OM|=|ON.由余弦定理知222222()()35cos 213OM ON MNMON OM ON+-+-∠===-,故选B. 7．【答案】B8．【答案】A【解析】由题意设()()1122,,,A x y B x y ，所以22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，整理得12121222120x x y y y y a x x b +-++⨯=-；因为AB 的中点坐标为()1,1-，所以12122,2x x y y +=+=-； 因为1212101132AB y y k x x ---===--，所以2221202a b-+⨯=，所以222a b =；因为3c ==2218,9a b ==．所以E 的方程为221189x y +=．故选A ．9．【答案】B【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线不妨设为：，则220 14bx ay x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得x y ==⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩.一条渐近线截椭圆所得弦长为，可得222244443a b a b +=+，即，解得．故选B ．10．【答案】B11．【答案】B【解析】联立方程得，消去y 化简得，由题意得.故该椭圆离心率的取值范围是，故选B ．12．【答案】C是23y x =,选C.13．【答案】C【解析】由题意可得,直线l 的斜率存在且不为0,不妨设直线l :y =k (x-1),则由2228y kx k x y =-⎧⎨+=⎩消去y 化简得,(1+2k 2)x 2-4k 2x +2k 2-8=0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则由根与系数的关系可得x 1+x 2=22412k k +,x 1x 2=222812k k-+. 因为=2,所以x 1+2x 2=3,所以x 2=223212k k ++,x 1=,所以x 1x 2=·,化简得k 2=,解得k =±,故选C.14．【答案】-1或0【解析】当k =0时,数形结合知,直线与抛物线有一个公共点; 当k ≠0时,将直线方程与抛物线方程联立得214y kx y x=-⎧⎨=⎩,得y 2-y -=0,因而Δ=+=0,即k =-1. 从而k =-1或0.16．【答案】【解析】已知双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程，整理得，∵渐近线与抛物线相切，，即.故答案为. 17．【答案】【解析】设，中点，则，把点代入椭圆的方程，整理得，两式相减得()2222121202x x y y -+-=，整理得()()()()221212122212121212y y y y y y x x x x x x -+-==---+， 即.18．【答案】(2,-1)19．【解析】（1）由题意得2c =，所以22c =，又3c a =，所以23a =，21b =， 所以椭圆的方程为2213x y +=．（2）设11(,)C x y ，22(,)D x y ，将2y kx =+代入2213x y +=，整理得22(13)1290k x kx +++=，所以22(12)36(13)0k k ∆=-+> ①，1221213k x x k +=-+，122913x x k ⋅=+，又CD =1212()y y k x x -=-，所以5=，又22221212122221236()()4(13)13k x x x x x x k k-=+-=-++， 代入上式，整理得42712270k k --=，即22(79)(3)0k k +-=， 解得297k =-（舍去）或23k =，即k =经验证，k =故k =． 20．【解析】（1）设，由定义知，，，故抛物线的方程为.（2）设，由（1）知.若直线的斜率不存在，则方程为，故直线的方程为或.21．【解析】（1）由实轴长为a =y x =，即0bx ±=，=又2222,3c b a b =+∴=，所以双曲线的方程为221123x y -=． （2）设112200(,),(,),(,)M x y N x y D x y ， 则120120,x x tx y y ty +=+=，由2122228401123y x x x x x y ⎧=-⎪⎪⇒-+=⇒+=⎨⎪-=⎪⎩所以1212)412y y x x +=+-=，所以00x y =又22001123x y -=，所以003x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 所以4t =，所以D ．22．【解析】（1）由抛物线的定义得，342p+=，解得2p =，23．【解析】（1）由题意知，22121a b b a⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得22131a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩．因此，所求双曲线C 的方程是，即2231x y -=． （2）∵直线l 过点(0,1)且斜率为k ，∴直线l 的方程为1y kx =+．由22311x y y kx ⎧-=⎨=+⎩得22(3)220k x kx ---=． ∵直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，∴22230(2)4(3)(2)0k k k ∆⎧-≠⎪⎨=---->⎪⎩，解得((3,3)(3,6)k ∈-．（3）设直线l 与双曲线C 的交点为1122(,)(,)A x y B x y 、，由（2）可得1221222323k x x k x x k ⎧+=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，24．【解析】（1）设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距长分别为、、.由题设知：. 由，得，则.∴椭圆的方程为.（2）过点，斜率为的直线：，即：.与椭圆的方程联立，消去得①，由与椭圆有两个不同的交点，知，解得k <或k >∴k 的取值范围是2,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （3）设()11,P x y 、()22,Q x y ，可知1x 、2x 是①的两根，∴不存在满足题设条件的.25．【解析】（1）由21:2(0)C y px p =>的焦点(,0)2p F 在圆22:1O x y +=上得214p =，则2p =. 所以抛物线1C 的标准方程为24y x =.由椭上、下焦点(0,),(0,)c c -及左、右顶点(,0),(,0)b b -均在圆22:1O x y +=上，可解得1b c ==，则a =故椭圆2C 的标准方程为2212y x +=. （2）设直线AB 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则(0,)N k -．由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩消去y ，得2222(24)0k x k x k -++=， 则216160k ∆=+>，21212224,1k x x x x k++==. 由1NA AF λ=，2NB BF λ=，得111(1)x x λ-=，222(1)x x λ-=， 整理得121212,11x xx x λλ==--， 故12121212121212()21111()x x x x x x x x x x x x λλ+-+=+==----++. 故12λλ+为定值1-.26．【解析】（1）易知等轴双曲线的离心率为2，则椭圆的离心率为12ce a==，此时直线AB 的方程为12x =-，显然过点1(,1)2--． ②若直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y kx m =+，易知1m ≠±．设1122(,),(,)A x y B x y ，由2222y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222(12)4220k x kmx m +++-=， 则122412kmx x k+=-+，21222212m x x k -=+.（1） ∵124k k +=，∴1212114y y x x --+=， 即1212114kx m kx m x x +-+-+=，即12122(1)4x x k m x x ++-=.把（1）代入得21km k m -=+，则2(1)k m =+，故12km =-. 则直线AB 的方程为12k y kx =+-，即1()12y k x =+-， 故直线AB 过定点1(,1)2--．1．【答案】D2．【答案】D【解析】因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以2122PF F F c ==，由AP 得2tan PAF ∠=2sin PAF ∠=，2cos PAF ∠=，由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠，所以2225sin()3c a c PAF ==+-∠，所以4a c =，14e =，故选D ． 3．【答案】B【解析】由题可知双曲线C 的渐近线的斜率为，且右焦点为(2,0)F ，从而可得30FON ∠=︒，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒，可以得出直线MN 的方程为2)y x =-，分别与两条渐近线y x =和y x =联立，求得M，3(,2N ，所以||3MN ==，故选B ． 4．【答案】2【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，所以22121244y y x x -=-，所以1212124y y k x x y y -==-+，取AB 的中点00(,)M'x y ，分别过点A ，B 作准线1x =-的垂线，垂足分别为A '，B'，因为90AMB ∠=︒，所以111||||(||||)(||||)222MM'AB AF BF AA BB'==+=+'，因为M'为AB 的中点，所以MM'平行于x 轴，因为1()1,M -，所以01y =，则122y y +=，所以2k =． 5．【解析】（1）由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->．设1221(,),(,)A y x y x B ，6．【解析】（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x =1．由已知可得，点A的坐标为或(1,，所以AM的方程为y x =+y x =． （2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒．当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠．当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，则12x x <MA ，MB 的斜率之和为212122MA MB x x y yk k +=+--． 由1122,y k k x y k x k =-=-得121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x kk k -+++=--．将(1)y k x =-代入2212x y +=得2222(21)4220k x k x k +-+-=．所以21221222422,2121x x x k k k x k -+==++，则3131322244128423()4021k k k k kk k k k x x x x --++-++==+． 从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠． 综上，OMA OMB ∠=∠．7．【解析】（1）设1221(,),(,)A y x y x B ，则222212121,14343y x y x +=+=．两式相减，并由1221y x y k x -=-得1122043y x y k x +++⋅=．由题设知12121,22x y x y m ++==，于是34k m =-．由题设得302m <<，故12k <-． （2）由题意得(1,0)F ，设33(,)P x y ，则331122(1,)(1,)(1,)(0,0)y x x y x y -+-+-=． 由（1）及题设得3321213()1,()20y y x x y x m =-+==-+=-<． 又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1,)2P -，3||2FP =．于是1||(22xFA x ===-，同理2||22x FB =-，所以121||||4()32FA FB x x +=-+=，故2||||||FP FA FB =+，即||,||,||FA FP FB 成等差数列．8．【解析】（1）因为抛物线22y px =经过点(1,2)P ，所以42p =，解得2p =，所以抛物线的方程为24y x =．由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为1(0)y kx k =+≠．由241y x y kx ⎧=⎨=+⎩可得22(24)10k x k x +-+=． 依题意22(24)410k k ∆=--⨯⨯>，解得0k <或01k <<． 又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点(1,2)-．从而3k ≠-．9．【解析】（1）因为椭圆C 的焦点为12(),F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>．又点1)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=，所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+． 由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*）因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=． 因为00,0x y >，所以001x y =．因此点P的坐标为．10．【解析】（1）设椭圆的焦距为2c ，由已知有2259c a =，又由a 2=b 2+c 2，可得2a =3b ． 由已知可得，FB a =，AB =，由FB AB ⋅=ab =6，从而a =3，b =2，所以椭圆的方程为22194x y +=．（2）设点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 的坐标为（x 2，y 2）．由已知有y 1>y 2>0，故12sin PQ AOQ y y ∠=-．又因为2sin y AQ OAB =∠，而∠OAB =π4，故2AQ =．由sin 4AQ AOQ PQ =∠，可得5y 1=9y 2． 由方程组22194y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去x，可得1y =．易知直线AB 的方程为x +y –2=0，由方程组20y kx x y =⎧⎨+-=⎩，，消去x ，可得221ky k =+．由5y 1=9y 2，可得5（k +1）=25650110k k -+=，解得12k =，或1128k =． 所以k 的值为111228或． 11．【解析】（1）设1122(,),(,)A x y B x y ，:2l x my =+．由（1）可得12124,4y y x x =-=．所以2210m m --=，解得1m =或12m =-． 当1m =时，直线l 的方程为20x y --=，圆心M 的坐标为(3,1)，圆MM 的方程为22(3)(1)10x y -+-=． 当12m =-时，直线l 的方程为240x y +-=，圆心M 的坐标为91(,)42-，圆M的半径为4，圆M 的方程为229185()()4216x y -++=． 【名师点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况.中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证0∆>或说明中点在曲线内部.12．【解析】（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ，4P 两点． 又由222211134a b a b +>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上． 因此222111314b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故C 的方程为2214x y +=．而12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+1212122(1)()kx x m x x x x +-+=． 由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=，即222448(21)(1)04141m km k m k k --+⋅+-⋅=++，解得12m k +=-， 当且仅当1m >-时0∆>，于是l ：12m y x m +=-+，即11(2)2m y x ++=--， 所以l 过定点（2，1-）．【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况．另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简．。