第三讲 直角三角形的边角关系讲义

直角三角形的边角关系（讲义）一、知识点睛1． 在Rt △ABC 中，∠C =90°，sin A =________，cos A =________，tan A =________．2． 在Rt △ABC 中，∠C =90°，锐角A 越大，正弦sin A ______，余弦cos A ______，正切tan A ______． 3． 特殊角的三角函数值：60°45°30°α正切 tan α余弦 cos α正弦 sin α 4． 计算三角函数值，关键在于_______或______直角三角形．二、精讲精练1. 下列说法正确的是（ ）A ．在△ABC 中，若∠A 的对边是3，一条邻边是5，则tan A 35=B ．将一个三角形的各边扩大3倍，则其中一个角的正弦值也扩大3倍C ．在锐角三角形ABC 中，已知∠A =60°，那么cos A 12=D ．一定存在一个锐角A ，使得sin A =1.23 2. △ABC 中，∠C =90°，AB =8，cos A 34=，则AC 的长是_______． 3. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，根据下列条件填空： （1）a =2，b =1，则sin A =__________； （2）a =4，tan A =1.5，则b =_________； （3）3a，则sin A =__________．4. 在锐角三角形ABC|tan 0B =，则∠C =_______． 5. △ABC 中，∠A ，∠B 均为锐角，且有|tan B+(2sin A -20=，则△ABC 是（ ）A ．直角（不等腰）三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰（不等边）三角形D ．等边三角形6. 已知∠A为锐角，且cos 2A >，则∠A 的值（ ） A ．小于45° B ．小于30°C ．大于45°D ．大于30°ACB7. 当45°<∠A <90°时，下列不等式中正确的是（ ）A ．tan cos sin A A A >>B ．cos tan sin A A A >>C ．sin tan cos A A A >>D ．tan sin cos A A A >>8. 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，︒=∠30C ，2BC =+1tan 2B =，那么AD 的长是（ ）A ．12B ．1 C．12+ D．1+C D BA第8题图 第9题图9. 如图，在△ABC 中，cosB =sinC 35=，AC =5，则△ABC 的面积是（ ）A ．212B ．12C ．14D ．2110. 计算：22sin 302sin 60tan 45tan 60cos 30︒+︒+︒-︒+︒20sin30(cos60)(sin 45tan30)2tan 60-︒-︒+︒-︒-︒AB C11. 如图，已知P 是正方形ABCD 内一点，△PBC 为正三角形，则tan ∠PAB 的值是（ ） A．B．2CDPD CB A第11题图 第12题图12. 如图，D 是△ABC 中AC 边上一点，CD =2AD ，AE ⊥BC 于点E ，若BD =8，sin ∠CBD 34=，则AE 的长为___________．13. 如图，A ，B ，C 三点在正方形网格 线的交点处，将△ACB 绕着点A 逆 时针旋转得到△AC′B′，若A ，C ，B′ 三点共线，则tan ∠B ′CB =________．14. 如图，在△ABC 中，∠A =90°，D 是AB 边上一点，∠ACD =37°，∠BCD =26°30′，AC=60，求AD ，CD 及AB 的长．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8）DCBA15. 如图，在△ABC 中，∠B =37°，∠C =67.5°，AB =10，求BC 的长．（结果精确到0.1，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan67.5°≈2.41，tan22.5°≈0.41）BCA67.5°37°图EDCB AC'B'BCA16. 如图，在△ABC 中，∠CAB =120°，AB =4，AC =2，AD ⊥BC 于点D ，求AD的长．DCBA三、回顾与思考 知识点睛1．斜边的对边A ∠、斜边的邻边A ∠，的邻边的对边A A ∠∠．2．越大，越小，越大． 3．4精讲精练1．C2．63．（1）552； （2）38； （3）21． 4．75° 5．D 6．A7．D8．B9．A10．2；35+11．A12．913．214．AD =45；CD =75；AB =120． 15．10.516．7212直角三角形的边角关系（随堂测试）1. 在△ABC 中，∠A ，∠B 为锐角，且21|sin cos 02A B ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则这个三角形是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形2. 如图，在△ABC 中，AB =AC =1，∠A =36°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，则AD 的长是_____________，cos A 的值是_____________．（结果保留根号）D CB AFEDCBA第2题图 第3题图3. 小明在学习“锐角三角函数”时发现，将如图所示的矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点E 处，展开后，再沿过点E 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，这样就可以求出67.5°角的正切值是（ ） ABC ．2.5 D【参考答案】1．D23．B直角三角形的边角关系（作业）1. 在Rt △ABC 中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A 的正弦值（ ） A ．扩大2倍B ．缩小2倍C ．没有变化D ．不确定2. 在Rt △ABC 中，若∠C =90°，AC =1，BC =2，则下列结论中正确的是（ ）A．sin B =B ．2cos 5B =C ．tan 2B =D ．1cos 5B =3. 在△ABC 中，∠A ，∠B 均为锐角，且21|sin |cos 02A B ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则这个三角形是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形4. 若∠A 为锐角，且cos A 的值大于12，则∠A （ ）A ．大于30°B ．小于30°C ．大于60°D ．小于60°5. 已知β为锐角，且tan 3β<≤β的取值范围是（ ） A ．3060β︒︒≤≤ B ．3060β︒<︒≤ C ．3060β︒<︒≤ D ．30β<︒6. 如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC ，垂足为E ，设∠ADE =α，若3cos 5α=，AB =4，则AD 的长为（ ）A ．3B ．163C ．203D ．165 ED C BA E DB A第6题图 第7题图7. 如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，若3cos 5A =，BE =2，则tan ∠DBE =_________．8. 在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，若AB =6，BC =2，则cos A =______．9. 在△ABC 中，∠A =120°，若AB =4，AC =2，则sin B =______．10.如图，在△ABC中，AB=A C，∠A=45°，AC的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，连接C D．如果A D=1，那么tan∠BCD=______．EDCBA第10题图第11题图11.如图，在△ABC中，若∠C=90°，3sin5B=，AD平分∠CAB，则sin∠CAD=______．12.如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin A的值为（）A．12B．C．10D．513.计算：（1）26tan30602tan45︒︒+︒；（2）cos30sin45sin60cos45︒-︒︒-︒；（3）)206011tan453-︒⎛⎫-+ ⎪︒⎝⎭；（4tan60︒．B CADCB A14.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tan B=cos∠DAC．（1）求证：AC=BD；（2）若12sin13C=，BC=12，求AD的长．15.如图，在△ABC中，∠A=26.6°，∠B=45°，AC=52，求AB的长.（参考数据：tan26.6°≈0.50）16.如图，已知第一象限内的点A在反比例函数2 yx =点B在反比例函数kyx=的图象上，且OA⊥OB，tan A=（）A．-3 B．-6 C．D．-17.若(-3，1y)，(1，2y)，(2，3y)三点均在反比例函数||2kyx--=则下列结论中正确的是（）A．123y y y>>B．132y y y>>C．312y y y>>D．231y y y>>CBA45°26.6°D CBA【参考答案】1．C 2．A 3．D 4．D 5．C6．B7．28．3229101 11．5512．B13．（1）25； （2）1； （3）7； （4）-1．14．（1）证明略； （2）8． 15．616．B17．B测量类应用题（讲义）一、知识点睛1.正切常用来描述山坡的坡度．坡度也叫_________，指的是坡面的___________与____________的比．2.测量类应用题常见类型有：测量物体的高度、船是否会触礁，侧重于_____________和_____________．①解直角三角形，需要在________和________集中处，寻找或构造_________，利用三角函数，表达线段长、建等式；②结果判断指的是根据题意确定符合要求的标准或范围，计算结果与标准对比来确定符合题意的结果．二、精讲精练1.如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高2m的影子CE；而当光线与地面的夹角是45°时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13m的距离（B，F，C 在一条直线上）．（1）求教学楼AB的高度；（2）学校要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离（结果保留整数）．（参考数据：sin22°≈38，cos22°≈1516，tan22°≈25）DFAB CE22°45°2.如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块宣传牌CD．小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度i=1AB=10米，AE=15米，求这块宣传牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数≈1.414，3≈1.732）BCDE60°45°3.如图所示，A，B两地之间有条河，原来从A地到B地需要经过桥DC，沿A D C B→→→到达．现在新建了桥EF，可直接沿直线AB从A地到达B 地．已知BC=11km，∠A=45°，∠B=37°，桥DC和AB平行，则现在从A地到B地比原来少走多少路程？（结果精确到0.1km1.41，sin37︒≈0.60，cos37︒≈0.80）4.如图，海上有一灯塔P，在它周围6海里内有暗礁．一艘海轮以18海里/时的速度由西向东航行，行至A点处测得灯塔P在它的北偏东60°的方向上，继续向东行驶20分钟后，到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45°的方向上，如果海轮不改变方向继续前进，有没有触礁的危险？PA B东北5.如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB长为4米．（说明：两问的计算结果均精确到0.1米，参考数据：.24≈2.45）（1）求新传送带AC的长度；（2）若需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．6.如图所示，山坡上有一棵与地面垂直的大树AB，一场大风过后，大树被刮倾斜后从点C处折断倒在山坡上，树的顶部D恰好接触到坡面AE上．已知山坡的坡角∠AEF=23°，量得树干倾斜角∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60°，AD=4m．（1）求∠CAE的度数；（2）求这棵大树折断前的高度．（结果精确到个位，参考数≈1.4≈1.7≈2.4）D23°60°CB38°A7.已知B港口位于A观测点北偏东53.2°方向，且其到A观测点正北方向的距离BD的长为16km，一艘货轮从B港口以40km/h的速度沿如图所示的BC 方向航行，15min后到达C处，现测得C处位于A观测点北偏东79.8°方向，求此时货轮与A观测点之间的距离AC的长．（精确到0.1km，参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin79.8°≈0.98，cos79.8°≈0.18，tan26.6°≈0.50≈1.41）东观测点港口CABD三、回顾与思考【参考答案】知识点睛1．坡比，铅直高度，水平宽度．2．解直角三角形，结果判断．①线段，角度，直角三角形．精讲精练1．（1）教学楼AB的高度为12m；（2）A，E之间的距离为27m．2．这块宣传牌CD的高度为2.7米．3．比原来少走4.9km．4．没有触礁的危险．5．（1）新传送带AC的长度为5.7米；（2）需要挪走，理由略．6．（1）75°；（2）这棵大树折断前的高度为10米．7．13.4km．测量类应用题（随堂测试）1.如图，某海滨浴场东西走向的海岸线可近似地看作直线l．救生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的B处有人发出求救信号，他立即沿AB方向径直前往救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙，乙马上从C处入海，径直向B处游去．甲在乙入海10秒后赶到海岸线上的D处，再向B处游去，若CD=40米，B在C北偏东35°的方向上，甲、乙的游泳速度均为2米/秒，则谁先到达B处？请说明理由．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）【参考答案】1．乙先到达B处，理由略．测量类应用题（作业）1.如图，一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方向航行，在A处测得灯塔C位于北偏西30°的方向上，轮船继续航行2小时后到达B处，在B处测得灯塔C位于北偏西60°的方向上．当轮船到达灯塔C的正东方向上的D求轮船与灯塔C的距离．（结果保留根号）解：由题意得∠CAD=30°，∠CBD=60°，∴______________，∴BC=AB=__________．在__________中，∠CBD=60°，BC=40，______________________，∴CD=BC·sin∠CBD=_______________．因此，当轮船到达D处时，与灯塔C的距离为__________．2. 某市正在进行商业街改造，商业街起点在古民居P 的南偏西60°方向上的A处，现已改造至古民居P 南偏西30°方向上的B 处，A 与B 相距150m ，且B 在A 的正东方向．为不破坏古民居的风貌，按照有关规定，在古民居周围100m 以内不得修建现代化商业街．若工程队继续向正东方向修建200m 商业街到C 处，则对于从B 到C 的商业街改造是否违反有关规定？3. 三楚第一山——东方山是黄石地区的佛教圣地，也是国家AAA 级游览景区，它的主峰海拔约为600米．如图，主峰AB 上建有一座电信信号发射架BC ，在山脚P 处测得峰顶的仰角为α，发射架顶端的仰角为β，其中3tan 5α=，5tan 8β=，求发射架BC 的高度．4. 如图，为了测量某山AB 的高度，小明先在山脚C 点测得山顶A 的仰角为45°，然后沿坡度为1的斜坡走100米到达D 点，在D 点测得山顶A 的仰角为30°，求山AB 的高度．（结果精确到0.1≈1.73）45°DCBA30°5.小亮和课外兴趣小组的伙伴们在课外活动中观察大吊车的工作过程，绘制了如图所示的平面图形．已知吊车吊臂的支点O距离地面的高度OO′=2米，当吊臂顶端由A′点降落至A点（吊臂长度不变）时，所吊装的重物（大小忽略不计）从B′处恰好放到地面上的B处，紧绷着的吊缆AB=A′面O′B于点B，A′B′垂直地面O′B于点C，吊臂长度OA′=OA=201sin2A'=．（1）求此重物在水平方向移动的距离BC；（2）求此重物在竖直方向移动的距离B′C．（结果保留根号）6.如图，直线122y x=-+与x轴交于点C，与y轴交于点D，以CD为边作矩形C D A B，点A在x轴上．若双曲线kyx=（0k<，0x>）经过点B，与直线C D交于点E，EM⊥x轴于点M，则S四边形BEMC=__________．7. 如图所示，R t △A B O 的顶点A 是双曲线1ky x =与直线 2(1)y x k =--+在第二象限内的交点，AB ⊥x 轴于点B ，且S △ABO 32=．（1）求这两个函数的解析式；（2）根据函数图象可知，当12y y >时，x 的取值范围是 __________________；（3）求直线与双曲线的两个交点A ，C 的坐标以及△AOC 的面积．【参考答案】1．解：由题意得∠CAD =30°，∠CBD =60°， ∴∠ACB =30°， ∴BC =AB =20×2=40．在Rt △CBD 中，∠CBD =60°，BC =40，sin CDCBD BC ∠=， ∴CD =BC ·sin ∠CBD=40=． 因此，当轮船到达D 处时，与灯塔C的距离为． 2．不违反有关规定．3．发射架BC 的高度为25米． 4．山AB 的高度为236.5米． 5．（1）6米；（2）(12310-)米．6．277．（1）13y x=-，22y x =-+；（2）10x -<<或3x >；（3）A (-1，3)，C (3，-1)，△AOC 的面积为4．。

直角三角形边角关系知识点《直角三角形边角关系那点事儿》嘿，朋友们！今天咱来聊聊直角三角形边角关系这个有趣的知识点。

那可是相当有料啊！咱先说说直角三角形，它就像是几何世界里的一位厉害角色，有个直角在那摆着呢，威风凛凛。

说到这直角三角形的边角关系，那就是各种神奇的比值在里面捣腾。

什么正弦、余弦、正切，一开始听到这些名字的时候，我心想：“哎呀妈呀，这都是啥呀！”但嘿，你别说，慢慢学进去还挺有意思。

先讲正弦吧，它就好比是三角形里的一个小精灵，总是和角度紧紧相连。

知道一个角的正弦值，咱就能知道这个角对应的边和斜边的关系啦。

余弦呢，也不甘示弱，它和正弦一起，就像一对好兄弟，一个管这边，一个管那边，把直角三角形安排得明明白白。

正切就更有意思啦，它是两条直角边的比值，简单粗暴，让我们一眼就能看出这两条边之间的关系。

有时候我就想，这些比值就像是直角三角形的秘密密码，掌握了它们，我们就能轻松揭开直角三角形的神秘面纱。

学这个知识点的时候，我可是没少费劲。

记得有一次做习题，我对着一道题冥思苦想半天，就是算不出来。

那时候我就感觉自己像是在迷宫里转圈，怎么都找不到出口。

后来经过老师指点，我才恍然大悟，原来我把一个比值给弄错了。

哎呀，当时那个懊恼啊，不过好在我从错误中吸取了教训，从此以后对这些比值更加小心对待啦。

还有一次，我和同学们一起讨论直角三角形的边角关系，大家你一言我一语，讨论得热火朝天。

有的说正弦最重要，有的说余弦才是关键，争得面红耳赤。

最后还是老师出来总结，说它们都很重要，缺一不可，这才平息了我们的争论。

总之呢，直角三角形边角关系这个知识点虽然有时候会让我们头疼，但它也充满了乐趣和挑战。

就像攀登一座高峰，过程虽然艰苦，但当你登顶的那一刻，看着美丽的风景，就会觉得一切都值得啦。

所以啊，朋友们，不要害怕直角三角形边角关系这个知识点，大胆去探索，去发现它的美吧！相信我，你会在这个过程中收获很多乐趣和知识的！加油哦！。

第三讲三角形的角与边一、基础知识本讲重点介绍三角形的边、角不等关系,包括同一个三角形中的边、角不等关系以及不同三角形中的边、角不等关系.1.边与边的关系(1)在同一个三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边（三边满足什么条件时，三角形必然存在？）；(2)勾股定理:即在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方.2.角与角的关系(1)三角形的内角和为180︒；(2)直角三角形中两锐角互余;(3)三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角；(4)三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和.3.边和角的关系(1)在同一个三角形中,大边对大角,大角对大边;(2)在两个三角形中,如果有两条边对应相等,那么夹角大的所对的边也大;反之也成立,即在两个三角形中,如果有两条边对应相等,那么第三边大,则所对的角也大.4.不等式变形时常用的性质(1)若a>b,c>d,则a+c>b+d;(2)若a>b,c>d,则a-d>b-c;(3)若a>b,c>0,则ac>bc;若a>b,c<0,则ac<bc;(4)若a>b>0,则11 a b <;(5)总量大于任何一个部分量.5.三角形中的不等关系根源:(1)两点之间线段最短;(2)垂线段最短.二、例题第一部分边的问题例1. (★★希望杯训练题)将三边长为a,b,c的三角形记作(a,b,c).写出周长为20,各边长为正整数的所有不同的三角形.例2. (★★★ 2000年希望杯竞赛题）一个三角形的三条边的长分别是a,b,c（a,b,c都是质数），且a+b+c=16，则这个三角形是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.直角三角形或等腰三角形例3. (★★★1998年江苏省竞赛题)在不等边三角形中,如果有一条边长等于另两条边长的平均值,那么最大边上的高与最小边上的高的比值的取值范围是( )A.31 4k<<B.113k<<C.12k<< D.112k<<例4. (★★★1997年北京市竞赛题)等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm 两部分,则这个等腰三角形的底边的长为( )A.17cmB.5cmC.17cm或5cmD.无法确定例5. (★★★)如图3-1,已知P为三角形ABC内一点,求证:1()2AB AC BC PA PB PC AB AC BC++<++<++.例6. (★★★第三十二届美国邀请赛试题)不等边三角形ABC的两条高长度为4和12,若第三条高的长也是整数,试求它的长.例7. (★★★)若三角形ABC 的三边长是a,b,c,且满足:444224442244422,,a b c b c b c a a c c a b a b =+-=+-=+-,则ABC ∆是( )A.钝角三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形第二部分 角的问题例8. (★★)如图3-4,在三角形ABC 中,042A ∠= ,ABC ∠和ACB ∠的三等分线分别交于D,E,求BDC ∠的度数.例9. (★★★1999年重庆市竞赛题)三角形的三个内角分别为,,αβγ,且αβγ≥≥,2αγ=.则β的取值范围是( )A.003645β≤≤B.004560β≤≤C.006090β≤≤D.004572β≤≤例10. (★★★)如图3-7,延长四边形ABCD 对边AD,BC 交于F ；DC,AB 交于E,若AED ∠,AFB ∠平分线交于O,求证:1()2EOF EAF BCD ∠=∠+∠第三部分边角综合24,例11. (★★★ 2000年江苏省竞赛题)在锐角三角形ABC中,AB>BC>AC,且最大内角比最小内角大0 的取值范围是( ).则A例12. (★★★★)如图3-2,在三角形ABC中，AB>AC>BC,P为三角形内任意一点,连结AP并延长交BC于点D.求证:(1)AB+AC>AD+BC;(2)AB+AC>AP+BP+CP.例13. （★★★★）如图，在三角形ABC中，角A=90度，AD垂直于BC，求证：AB+AC<AD+BC例14.（★★★★）如图，在三角形ABC中，AC>AB,在CA上截取CD=AB,E,F分别是BC,AD的中点，连接EF 并延长交BA的延长线于G,求证：AF=AG例15. (★★★★★)设三角形的三个内角度数分别为A,B,C,相应的对边长分别为a,b,c,求证:60 aA bB cCa b c︒++≥++三、练习题1. (★★)设m,n,p均为自然数,满足m n p≤≤,且m+n+p=15,试问以m,n,p为边长的三角形有多少个?2.(★★ 1998年山东省竞赛题) 已知三角形三边的长均为整数,其中某两条边长之差为5,若此三角形周长为奇数,则第三边长的最小值为( )** B.7 C.6 D.43.(★★★)一个三角形的周长为偶数,其中的两条边长分别为4和2003,则满足上述条件的三角形的个数为( )A.1个B.3个C.5个D.7个4.（★ 2002，云南省中考题）两根木棒的长分别是7cm和10cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，若第三根木棒的长是acm，则a的取值范围是( ).5. (★)ABC 的一个内角的大小是040,且A B ∠=∠,那么C ∠的外角的大小是( )A.140︒B.80︒或100︒C.100︒或140︒D.80︒或140︒6. (★★★)如图3-5,在ABC ∆中,90ACB ︒∠=,D,E 为AB 上的两点,若AE=AC,45DCE ︒∠=则图中与BC 等长的线段是( ) A.CD B.BD C.CE D.AE-BE7. (★★★)如图3-6,在ABC ∆中,B ∠的平分线与C ∠的外角平分线相交于D,40D ︒∠=.则A ∠等于( )A.50︒B. 60︒C. 70︒D.80︒8. (★★ 第12届希望杯竞赛题)如图3-9,127.5︒∠=,295︒∠=,338.5︒∠=求4∠的大小.9. (★★★第5届希望杯竞赛题)如图3-8,BE 是ABD ∠的平分线,CF 是ACD ∠的平分线,BE 与CF 交于G,若140BDC ︒∠=,110BGC ︒∠=,求A ∠的度数.10. （★★★★）如图，三角形ABC 中，AB=BC=CA,AE=CD,AD,BE 相交于P,BQ 垂直于AD 于Q ，求证：BP=2PQ课外小故事五枚金币有个叫阿巴格的人生活在内蒙古草原上.有一次，年少的阿巴格和他爸爸在草原上迷了路，阿巴格又累又怕，到最后快走不动了.爸爸就从兜里掏出5枚硬币，把一枚硬币埋在草地里，把其余4枚放在阿巴格的手上，说：“人生有5枚金币，童年、少年、青年、中年、老年各有一枚，你现在才用了一枚，就是埋在草地里的那一枚，你不能把5枚都扔在草原里，你要一点点地用，每一次都用出不同来，这样才不枉人生一世.今天我们一定要走出草原，你将来也一定要走出草原.世界很大，人活着，就要多走些地方，多看看，不要让你的金币没有用就扔掉.”在父亲的鼓励下，那天阿巴格走出了草原.长大后，阿巴格离开了家乡，成了一名优秀的船长.珍惜生命，就能走出挫折的沼泽.。

直角三角形的边角关系知识点总结
嘿，宝子们！今天咱就来好好唠唠直角三角形的边角关系知识点，这可真是超级重要的呢！
咱先说说正弦吧。

正弦就是一个角的对边与斜边的比值哟！比如说，在
一个直角三角形里，那个角就像是我们努力的方向，对边就是我们朝着这个方向前进的距离，斜边呢就是总的路程。

就像你考试想拿高分，那高分就是你的“角”，你努力学习的成果就是对边，而整个学习的过程就是斜边呀！
还有余弦呢！余弦是邻边与斜边的比值。

可以把它想象成在一个团队里，邻边就是你身边一起努力的小伙伴，斜边依然是整个团队的力量。

是不是一下子就好理解啦？
正切就更有意思啦！正切是对边与邻边的比值。

就像是一场比赛中你的
速度和竞争对手速度的比较。

好比你和朋友一起跑步，你跑过的距离和你旁边朋友跑过的距离之比，这就是正切呀！
在直角三角形中，这些边角关系可太有用啦！知道这些，咱就能解决好
多实际问题呢！比如说，工程师盖房子的时候，就需要用这些知识来确保房子的结构稳定呀！
学习直角三角形的边角关系就像是打开了一扇通往数学奇妙世界的大门！能让我们更清楚地看到世界的规律和美好。

大家一定要好好掌握哟！我的观点就是，直角三角形的边角关系是数学中非常重要且有趣的一部分，我们一定要深入理解和运用它！。

《解直角三角形》讲义一、直角三角形的基本概念直角三角形是指有一个角为 90 度的三角形。

在直角三角形中，直角所对的边称为斜边，其余两条边称为直角边。

我们通常用符号“Rt△”来表示直角三角形。

例如，Rt△ABC 表示三角形 ABC 是直角三角形。

二、解直角三角形的定义解直角三角形，就是由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程。

三、直角三角形的边角关系1、正弦（sin）：在直角三角形中，锐角的正弦等于对边与斜边的比值。

例如，在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，∠A 的正弦表示为 sinA ＝BC/AB。

2、余弦（cos）：锐角的余弦等于邻边与斜边的比值。

对于∠A，cosA ＝ AC/AB。

3、正切（tan）：锐角的正切等于对边与邻边的比值。

∠A 的正切为 tanA ＝ BC/AC。

这些三角函数的值只与角度的大小有关，而与三角形的大小无关。

四、特殊角的三角函数值我们需要牢记一些特殊角（30°、45°、60°）的三角函数值，这在解题中经常会用到。

1、 30°角：sin30°＝ 1/2，cos30°＝√3/2，tan30°＝√3/3。

2、 45°角：sin45°＝√2/2，cos45°＝√2/2，tan45°＝ 1。

3、 60°角：sin60°＝√3/2，cos60°＝ 1/2，tan60°＝√3。

五、解直角三角形的依据1、三边之间的关系（勾股定理）：a²＋ b²＝ c²（其中 a、b 为直角边，c 为斜边）2、两锐角之间的关系：∠A ＋∠B ＝ 90°3、边角之间的关系：sinA ＝ a/c，cosA ＝ b/c，tanA ＝ a/b 等六、解直角三角形的类型1、已知两条直角边 a、b，求斜边 c 及两个锐角。

直角三角形的边角关系知识点1. 直角三角形的一个重要知识点就是勾股定理呀！你看，就像一个稳固的架子，两直角边的平方和等于斜边的平方，这好神奇的呢！比如说，一个直角三角形的两条直角边分别是 3 和 4，那斜边不就可以通过 3 的平方加上 4 的平方等于 25，开个根号得到 5，对吧。

2. 还有呢，直角三角形中锐角的正弦值。

哎呀，这就像一把钥匙，可以打开很多解题的大门哟！比如在一个直角三角形中，一个锐角的对边是 5，斜边是 13，那这个锐角的正弦值不就是 5 除以 13 嘛。

3. 直角三角形里锐角的余弦值也很重要呀！就像是给你指引方向的指南针呢！像是一个直角三角形中，一个锐角相邻的直角边是 12，斜边是 13，那这个锐角的余弦值就是 12 除以 13 呀。

4. 那锐角的正切值呢，这可不能落下呀！它就像一个小火箭，能快速让你找到答案呢！比如一个直角三角形中，一个锐角的对边是6，相邻直角边是8，正切值不就是 6 除以 8 嘛。

5. 直角三角形中还有互为余角的三角函数关系呢！哇哦，这可太有意思了，就像好朋友互相帮助一样。

比如一个锐角的正弦值和它的余角的余弦值是相等的呢。

6. 斜边与直角边的比例关系也很关键呢！这就像找到了一个巧妙的规律！例如，一个斜边是 10，直角边是 5 的直角三角形，它们之间的比例不就很明显嘛。

7. 直角三角形特殊角的三角函数值，那可是必须要知道的呀！好比是特别的宝藏。

比如 30 度角的正弦值是二分之一，是不是很特别。

8. 你知道吗，直角三角形中角和边是相辅相成的呀！这就像一对好搭档。

边的长度变化，角也会跟着变呢。

9. 直角三角形的这些知识点真的非常有用呀，在生活中很多地方都能用得到，不管是建房子还是算距离，都离不开它们呢！所以一定要好好掌握啊！。

直角三角形的边角关系直角三角形是一种特殊的三角形，其中一条边与另外两条边直角相交。

在直角三角形中，边角关系非常重要，它们描述了三角形的性质和特点。

本文将详细介绍直角三角形中的边角关系。

首先，我们来讨论直角三角形中的两个锐角，也就是除了直角以外的两个角。

这两个锐角的和等于90度，因为三角形中所有角的和为180度。

所以我们可以得到一个重要的关系式：锐角1 + 锐角2 = 90度。

此外，直角三角形中的两条直角边（非斜边）之间也存在一些特殊的关系。

这两条直角边分别称为直角边1和直角边2。

根据勾股定理，直角三角形的斜边的长度等于两条直角边长度的平方和的平方根。

换句话说，斜边的长度等于直角边1的长度的平方加上直角边2的长度的平方的平方根。

这个关系式可以表示为：斜边的长度 = sqrt(直角边1的长度^2 + 直角边2的长度^2)。

除了以上提到的关系外，直角三角形中的边角关系还包括边长比和三角函数。

由于直角三角形中的一个角是90度，所以可以使用三角函数（正弦、余弦、正切）来描述角与边的关系。

在直角三角形中，角A、B、C分别对应三条边a、b、c。

根据三角函数，我们可以得到以下边角关系：1. 正弦定理：sin(A) = a / c，sin(B) = b / c，sin(C) =a / b；2. 余弦定理：cos(A) = b / c，cos(B) = a / c，cos(C) =b / a；3. 正切定理：tan(A) = a / b，tan(B) = b / a，tan(C) =a / b。

除了边角关系外，直角三角形中还有一些重要的性质。

例如，直角三角形中的任意两条边（包括斜边和直角边）的比值都是有理数，即可以表示为两个整数的比。

这是由于直角三角形中的边长之间存在一些整数关系，例如3-4-5三角形、6-8-10三角形等。

综上所述，直角三角形的边角关系包括锐角的和为90度、直角边之间的关系、边长比和三角函数。

这些关系不仅可以帮助我们计算直角三角形的边长和角度，还可以应用于日常生活和实际问题中。

直角三角形的边角关系定理嘿，朋友！咱们今天来聊聊直角三角形的边角关系定理，这可是个相当有趣又实用的知识呢！你想想看，直角三角形就像是一个稳定的小家庭。

直角是家长，两条直角边和斜边就是家庭成员。

那它们之间的关系，就像是家庭成员之间紧密又特别的联系。

咱们先来说说正弦定理。

正弦就好比是家庭成员之间的亲密度指标。

对于一个直角三角形，如果角 A 的正弦值等于对边 a 除以斜边 c，那这就像是 A 和斜边 c 的亲密程度用 a 来衡量。

你说神奇不神奇？难道不像咱们生活中，和不同亲人的关系有不同的衡量方式？再说说余弦定理。

这就好像是家庭成员之间的距离感。

角 A 的余弦值是邻边 b 除以斜边 c，这就好像是 A 和斜边 c 的距离感用 b 来体现。

这是不是有点像你和家里不同人的相处，有时候感觉近，有时候感觉远？还有正切定理，那简直就是家庭成员之间的互动强度。

角 A 的正切值是对边 a 除以邻边 b，这就像是 A 在这个小家庭里和不同成员互动的强烈程度。

你可能会问，知道这些定理有啥用啊？那用处可大了去啦！比如说，你要盖房子，得计算房梁的长度和角度吧？这时候直角三角形的边角关系定理就能派上用场。

又比如说，你要测量一座山的高度，或者一条河的宽度，只要能构建出直角三角形，利用这些定理，就能轻松算出答案。

想象一下，工程师们在建造大桥的时候，如果不懂得这些定理，那大桥能坚固吗？能横跨江河吗？再想想航海家们在茫茫大海上，如果不能准确计算角度和距离，能顺利到达目的地吗？所以说，直角三角形的边角关系定理，不仅仅是书本上的知识，更是我们生活中解决实际问题的好帮手。

咱们可得好好掌握它，让它为我们的生活服务，不是吗？总之，直角三角形的边角关系定理是非常重要且实用的，我们要用心去理解和运用，让它成为我们解决问题的有力武器。

直角三角形边角关系讲义(初稿)一、 概念部分 1、基本概念 正弦：在Rt ∆ABC （如图），锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的正弦，记为A sin ，caA A =∠=斜边的对边sin 。

余弦：在Rt ∆ABC （如图），锐角A的余弦，记为A cos ，cbA A =∠=斜边的邻边cos 。

正切：在Rt ∆ABC （如图），锐角A 的对边与邻边的比叫做A ∠的正切，记为A tan ，baA A A =∠∠=的邻边的对边tan 。

余切：在Rt ∆ABC （如图），锐角A 的邻边与对边的比叫做A ∠的余切，记为A cot ，abA A A =∠∠=的对边的邻边cot 。

2、巧记概念：按正弦、余弦、正切、余切的顺序记八个字：对斜邻斜对邻邻对。

3、根据正弦、余弦、正切、余切的定义，在Rt ∆ABC 中， 90=∠C ，有sinA=cosB ，sinB=cosA ，tanA=cotB ，tanB=cotA 。

4、正弦、余弦、正切的值与梯子倾斜程度之间的关系：sinA 的值越大，梯子越陡； cosA 的值越小，梯子越陡； tanA 的值越大，梯子越陡。

5、在Rt ∆ABC 中，︒=∠90C ，a 、b 、c 分别是A ∠、B ∠、C ∠的对边，那么ca A =sin ， c b A =cos ， b a A =tan ， abA =cot 可以变形为A c a s in ∙=，A c b cos ∙=，A b a tan ∙=或A a c sin =，Ab c cos =等等，在解题中可以根据条件正确选用。

6、注意：①、在初中，正弦、余弦、正切、余切的定义都是在直角三角形中给出的，不能在任意三角形中套用定义。

②、sinA 、cosA 、tanA 、cotA 分别表示正弦、余弦、正切、余切的数学表达符号，是一个整体，不能理解为sin 与A 、cos 与A 、tan 与A 、cot 与A 的乘积。

③sinA 、cosA 、tanA 、cotA 是一个完整的符号，它表示A ∠的正弦、余弦、正切、余切，记号里习惯省去角的符号“∠”，但当角用三个大写字母或数字表示时，角的符号“∠”不能省略。