遂宁市高中2021届第四学期期末教学水平监测数学（理科）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1.函数()ln 2cos f x x =+的导数为（ ） A.1sin 2x - B. sin x - C. sin xD.1sin 2x + 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数运算法则和常见函数的导数公式求导即可.【详解】解：因为常数的导数为0，cos x 的导数为sin x -， 所以()'sin f x x =-. 故选：B.【点睛】本题考查导数的求导公式，是基础题.2.命题“2000,0x x ∃≤≥”的否定是（ ）A. 20,0x x ∀≤<B. 20,0x x ∀≤≥C. 2000,0x x ∃>>D. 2000,0x x ∃<<【答案】A 【解析】 【分析】根据特称命题的否定形式，即可求解.【详解】解：命题“2000,0x x ∃≤≥”的否定形式为：“20,0x x ∀≤<”.故选：A.【点睛】本题考查命题的否定形式，注意全称量词与特称量词的转换，属于基础题.3.随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加.抽样发现赤峰市某家庭2019年全年的收入与2015年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番.同时该家庭的消费结构随之也发生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如下折线图：则下列结论中正确的是（ ）A. 该家庭2019年食品的消费额是2015年食品的消费额的一半B. 该家庭2019年教育医疗的消费额是2015年教育医疗的消费额的1.5倍C. 该家庭2019年休闲旅游的消费额是2015年休闲旅游的消费额的六倍D. 该家庭2019年生活用品的消费额与2015年生活用品的消费额相当 【答案】C 【解析】 【分析】先对折线图信息的理解及处理，再结合数据进行简单的合情推理逐一检验即可得解. 【详解】由折线图可知：不妨设2015年全年的收入为t ，则2019年全年的收入为2t ，对于A ，该家庭2019年食品的消费额为0.2×2t =0.4t ，2015年食品的消费额为0.4×t =0.4t ，故A 错误， 对于B ，该家庭2019年教育医疗的消费额为0.2×2t =0.4t ，2015年教育医疗的消费额为0.3×t =0.3t ，故B 错误，对于C ，该家庭2019年休闲旅游的消费额是0.3×2t =0.6t ，2015年休闲旅游的消费额是0.1×t =0.1t ，故C 正确， 对于D ，该家庭2019年生活用品的消费额是0.15×2t =0.3t ，该家庭2015年生活用品的消费额是0.15×t =0.15t ，故D 错误， 故选：C.【点睛】本题解题关键是掌握折线图基础知识，结合所给数据进行简单的合情推理，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 4.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为y x =，则此双曲线的离心率为（ ）A. 2B.2C. 3D.3【答案】B【解析】 【分析】先根据渐近线的斜率得1ba=，再利用离心率公式求解即可. 【详解】解：因为双曲线是焦点在x 轴上的双曲线，一条渐近线方程为y x =，所以1ba=，所以离心率e ==.故选：B.【点睛】本题考查双曲线的性质，是基础题. 5.已知a ，b 为实数，则“a 3＜b 3”是“2a ＜2b ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】利用函数3y x =，2xy =的单调性，结合充分条件和必要条件的性质判断即可.【详解】函数3y x =在R 上单调递增，则33b a a b <⇔< 函数2xy =在R 上单调递增，则22a b a b <⇔< 则“33a b <”是 “22a b <”的充要条件 故选：C【点睛】本题主要考查了判断充要条件，涉及了利用函数的单调性比较大小，属于中档题.6.曲线()3f x x x =-在点(1,(1))f --处的切线方程为（ ）A. 220x y ++=B. 220x y +-=C. 220x y -+=D. 220x y --=【答案】C 【解析】 【分析】对函数进行求导,利用导数的几何意义求出切线的斜率,再用点斜式求出切线方程,最后化成一般式即可.【详解】()2'31x f x =-,故切线的斜率为()'12f -=.又()10f -=.所以曲线()3f x x x =--在点()()1,1f --处的切线方程为21)(y x =+.即220x y -+=.故选:C【点睛】本题考查了导数的几何意义,考查了求函数的切线方程,考查了直线的点作斜式方程以及一般方程.7.椭圆2221x my -=的一个焦点坐标为(0,，则实数m =（ ）A. 2B.25C. 23-D. 25-【答案】D 【解析】 【分析】将椭圆的方程化为标准方程，结合该椭圆的焦点坐标得出关于实数m 的方程，解出即可.【详解】椭圆的标准方程为221112x y m+=-，由于该椭圆的一个焦点坐标为(0,， 所以焦点在y 轴上，其中2211,2a b m =-=，所以2221122c a b m =-=--= 解得25m =- 故选：D.【点睛】本题考查利用椭圆的焦点坐标求参数，解题时要将椭圆方程化为标准方程，同时要注意确定椭圆的焦点位置，考查运算求解能力，属于基础题.8.若()2ln f x x m x =+在()2,+∞是增函数，则实数m 的取值范围为（ ）A. [8,)-+∞ B. (8,)-+∞ C. (,8)-∞- D. ](,8-∞-【答案】A 【解析】 【分析】先求导，再根据题意得()'0f x ≥在()2,+∞恒成立，转化为220x m +≥在()2,+∞恒成立问题求解即可..【详解】解：对()2ln f x x m x =+求导得：()22'2m x m f x x x x+=+=，因为若()2ln f x x m x =+在()2,+∞是增函数，所以()'0f x ≥在()2,+∞恒成立，即：220x m +≥在()2,+∞恒成立，所以()228maxm x ≥-=-.故选：A.【点睛】本题考查利用函数单调性求参数问题，是中档题.9.执行如图所示的程序框图，若输入[]1,3t ∈-，则输出s 的取值范围是（ ）A. 2,1e -⎡⎤⎣⎦B. []1,eC. []01，D. 2,e e -⎡⎤⎣⎦【答案】C 【解析】分析：题设中的算法是结合t 的范围计算分段函数的函数值.详解：由题设有13,1log ,1t e t s t t -⎧<=⎨≥⎩， 当11t -≤<时，21e s -≤<； 当13t ≤≤时，01s ≤≤，从而当13t -≤≤时，01s ≤≤，选C.点睛：本题考察算法中的选择结构，属于基本题. 解题时注意判断的条件及其每个分支对应的函数形式. 10.阿基米德（公元前287年---212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号.抛物线上任意两点A 、B 处的切线交于点P ，称△PAB 为“阿基米德三角形”，当线段AB 经过抛物线焦点F 时，△PAB 具有以下特征：（1）P 点必在抛物线的准线上；（2）△PAB 为直角三角形，且PA PB ⊥;（3）PF AB ⊥.若经过抛物线24y x =焦点的一条弦为AB ，阿基米德三角形为△PAB ，且点P 的纵坐标为4，则直线AB 的方程为（ ）A. x -2y -1=0B. 2x +y -2=0C. x+2y -1=0D. 2x -y -2=0【答案】A 【解析】 【分析】线段AB 经过抛物线y 2＝4x 焦点，由“阿基米德三角形”的特征可得P 点坐标，从而得直线PF 的斜率，又PF ⊥AB ，即得直线AB 斜率，由点斜式可求直线AB 的方程．【详解】抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为（1，0），准线方程为：x ＝﹣1， 线段AB 经过抛物线y 2＝4x 焦点，由△P AB 为“阿基米德三角形”， 可得P 点必在抛物线的准线上，则点P （﹣1，4）， 直线PF 的斜率为：4011---＝﹣2， 又∵PF ⊥AB ，∴直线AB 的斜率为12， ∴直线AB 的方程为：y ﹣0＝1(1)2x -，即x ﹣2y ﹣1＝0， 故选：A ．【点睛】本题主要考查了抛物线的定义以及抛物线的性质，考查直线方程的求解，考查学生分析问题的能力，是中档题．11.已知椭圆2222:1(0)x y T a b a b +=>>长半轴为2，且过点M (0，1).若过点M 引两条互相垂直的两直线12l l 、，若P 为椭圆上任一点，记点P 到两直线的距离分别为12d d 、 ）A. 2B.3C. 5D.163【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得a b ， 的值，进而求出椭圆的方程，分两直线12,l l 的斜率存在和不存在，设直线两直线12,l l 的方程，设P 的坐标，由点到直线的距离公式求出12,d d 的表达式，进而求出2212+d d 的表达式，由P 在椭圆上可得其横纵坐标的关系及纵坐标的取值范围，可得2212+d d 的最大值，从而得答案.【详解】由题意可得21a b ==，,则椭圆的方程为2214x y +=，设(),P x y（1）若直线12,l l 中有一条直线的斜率不存在时，则另一条直线的斜率为0. 设直线1l 的方程为0x =，则直线2l 的方程为1y =由(),P x y 在椭圆2214x y +=上，则2244x y =-所以()2222221211+15323533d d x y y y y ⎛⎫=+-=--=-+++ ⎪⎝⎭，11y -≤≤故当13y =-时，2212+d d 有最大值1633. （2）当直线12,l l 的斜率都存在，且不为0,时 设直线1l 的方程为1y kx =+，即10kx y -+= 则直线2l 的方程为11y x k=-+，即0x ky k +-=所以12d d ==所以()()2222221221+211kx y x ky k d d x y y k-+++-==+-++2224421532y y y y y =-+-+=--由（1故选：B【点睛】本题考查求椭圆的方程及点到直线的距离公式，属于中档题． 12.已知函数ln ()x f x a x =-，3(ln )()ln x ax g x x-=，若方程()()f x g x =有2不同的实数解，则实数a 的取值范围是（ ） A. (,e)-∞B. 10,e ⎛⎫⎪⎝⎭C. (,0)(e,)-∞+∞D. (e,)+∞【答案】B【解析】 【分析】由()()f x g x =得(ln 3)(ln )0x x x ax --=有2不同的实数解，等价于ln 3x x =或lnxa x=有两个不同的实数解，分析得到ln 3x x =没有实数解，即lnxa x=有两个不同的实数解，利用导数分析即得实数a 的取值范围.【详解】由()()f x g x =得ln x a x -=3(ln )ln x ax x-， 去分母整理得(ln 3)(ln )0x x x ax --=有2不同的实数解， 所以ln 30x x -=或ln 0x ax -=，所以ln 3x x =或lnxa x =， 设ln ()(0),xh x x x=> 所以21ln ()xh x x-'=， 当0x e <<时，()0h x '>，函数()h x 单调递增， 当x e >时，()0h x '<，函数()h x 单调递减. 所以min 1()()3h x h e e ==<，所以ln 3x x=没有实数解. 所以方程lnxa x=有两个不同的实数解. 当0x →时，()0h x <；当x →+∞时，()0.h x >要方程lnx a x =有两个不同的实数解，必须10a e<<. 故选：B.【点睛】本题主要考查利用研究函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.抛物线24x y =的焦点坐标是__________．【答案】()0,1 【解析】 【分析】由抛物线的标准方程，可直接写出其焦点坐标.【详解】因为抛物线方程为24x y =，所以焦点在y 轴上，且焦点为()0,1. 故答案为()0,1【点睛】本题主要考查由抛物线的方程求焦点坐标的问题，属于基础题型. 14.在6(12)x -的展开式中，2x 的系数为__________________.（用数字作答) 【答案】60. 【解析】试题分析：因为16(2)r r r T C x +=-，所以2x 的系数为226(2)60.C -=考点：二项式定理【方法点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略（1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可.（2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.15.两对夫妇各带一个小孩乘坐6个座位的游览车，游览车每排只有一个座位.为安全起见，车的首尾两座一定要坐两位爸爸，两个小孩一定要相邻.那么，这6人的排座方法种数为____（用数字作答） 【答案】24 【解析】 【分析】利用捆绑法结合分步乘法计数原理计算即可.【详解】先排两位爸爸，必须一首一尾，有222A =种排法；两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有222A =种排法； 将两个小孩看成一个元素与两位妈妈进行全排列，有336A =种排法；则共有22624⨯⨯=种排法 故答案为：24【点睛】本题主要考查了相邻问题的排列问题，属于中档题.16.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，过点F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线l ，垂足为H ，垂线l 与双曲线的另一条渐近线相交于点P ，O 为坐标原点.若POF 为等腰三角形，则双曲线的离心率为__________． 【答案】2或23 【解析】 【分析】由双曲线方程可得渐近线方程b y x a=± ①当1ba >时，结合等腰三角形三线合一可知FOH POH ∠=∠，从而求得3FOH π∠=，由此得到tan 3b a π=； ②当01b a<<时，由等腰三角形性质及垂直关系可求得6POF π∠=，由此得到tan 6b a π=；在两种情况下，结合双曲线222b c a =-可构造关于离心率的方程，解方程求得离心率. 【详解】由题意知，双曲线渐近线方程为by x a=± ①当1ba>时，如下图所示：POF ∠为钝角，∆POF 为等腰三角形 OF OP ∴= FH OH ⊥ FOH POH ∴∠=∠2FOH POH π∠+∠= 3FOH π∴∠=tan 33b a π∴==，即22222213b c a e a a-==-=，解得：2e = ②当01ba<<时，如下图所示：OFP ∠为钝角，∆POF 为等腰三角形 OF PF ∴= FPO FOP ∴∠=∠又FH OH ⊥，FOH POF ∠=∠ 6POF π∴∠=3tan 6b a π∴==，即222222113b c a e a a -==-=，解得：33e =综上所述：双曲线的离心率为223故答案为：223【点睛】本题考查双曲线离心率的求解问题，关键是能够根据等腰三角形的性质确定渐近线倾斜角的大小，进而根据双曲线的几何性质构造关于,a c 的齐次方程，从而求得离心率.三、解答题：（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.17.已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F ，C 上一点(3,)m 到焦点的距离为5．（1）求C 的方程；（2）过F 作直线l ，交C 于A ，B 两点，若直线AB 中点的纵坐标为-1，求直线l 的方程．【答案】（1）28y x =（2）480x y +-=【解析】 【分析】()1法一：利用已知条件列出方程组，求解即可法二：利用抛物线2:2(0)C y px p =>的准线方程，由抛物线的定义列出方程，求解即可()2法一：由()1可得抛物线焦点F 的坐标，设出A B ，两点的坐标，利用点差法，求出线段AB 中点的纵坐标为1-，得到直线的斜率，求出直线方程法二：设直线l 的方程为2x my =+，联立直线与抛物线方程，设出A B ，两点的坐标，通过线段AB 中点的纵坐标为1-，求出m 即可【详解】法一:抛物线C : 22(0)y px p =>的焦点F 的坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭,由已知2235m p ⎧=⨯= 解得4p =或16p =-∵0p >, ∴4p =∴C 的方程为28y x =.法二:抛物线2:2(0)C y px p =>的准线方程为,2p x =-由抛物线的定义可知352p ⎛⎫--= ⎪⎝⎭解得4p = ∴C 的方程为28y x =.2.法一:由(1)得抛物线C 的方程为28y x =,焦点()2,0F设,A B 两点的坐标分别为()()1122,,,A x y B x y ,则21122288y x y x ⎧=⎨=⎩两式相减,整理得2121218y y x x y y -=-+∵线段AB 中点的纵坐标为1- ∴直线l 的斜率()2188412AB k y y ===-+-⨯直线l 的方程为()042y x -=--即480x y +-= 分法二:由(1)得抛物线C 的方程为28y x =,焦点()2,0F设直线l 的方程为2x my =+由282y xx my ⎧=⎨=+⎩消去x ,得28160y my --=设,A B 两点的坐标分别为()()1122,,,A x y B x y ,∵线段AB 中点的纵坐标为1-∴()128122m y y --+==-解得14m =-直线l 的方程为124x y =-+即480x y +-= 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线相交的综合问题，对于涉及到中点弦的问题，一般采用点差法能直接求出未知参数，或是将直线方程设出，设直线方程时要注意考虑斜率的问题，此题可设直线l 的方程为2x my =+，就不需要考虑斜率不存在，将直线方程与抛物线方程联立，利用条件列出等量关系，求出未知参数．18.已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值． （1）求,a b 的值与函数()f x 的单调区间；（2）若对[1,2]x ∈-,不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围． 【答案】解：（1）1,22a b =-=-，递增区间是（﹣∞，23-）和（1，+∞），递减区间是（23-，1）．（2）1,2c c <->或【解析】 【分析】（1）求出f '（x ），由题意得f '（23-）＝0且f '（1）＝0联立解得a 与b 的值，然后把a 、b 的值代入求得f （x ）及f '（x ），讨论导函数的正负得到函数的增减区间；（2）根据（1）函数的单调性，由于x ∈[﹣1，2]恒成立求出函数的最大值为f （2），代入求出最大值，然后令f （2）＜c 2列出不等式，求出c 的范围即可．【详解】（1）()32f x x ax bx c =+++，f '（x ）＝3x 2+2ax +b由()2124'0393'1320f a b f a b ⎧⎛⎫-=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=++=⎩解得，122a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩f '（x ）＝3x 2﹣x ﹣2＝（3x +2）（x ﹣1），函数f （x ）的单调区间如下表：x （﹣∞,23-） 23-（23-，1） 1 （1，+∞） f '（x ） + 0﹣ 0 + f （x ）极大值极小值所以函数f （x ）的递增区间是（﹣∞，23-）和（1，+∞），递减区间是（23-，1）． （2）因为()[]3212122f x x x x c x =--+∈-，，，根据（1）函数f （x ）的单调性，得f （x ）在（﹣1，23-）上递增，在（23-，1）上递减，在（1，2）上递增， 所以当x 23=-时，f （x ）2227=+c 为极大值，而f （2）＝22227c c +>+，所以f （2）＝2+c 为最大值． 要使f （x ）＜2c 对x ∈[﹣1，2]恒成立，须且只需2c ＞f （2）＝2+c ． 解得c ＜﹣1或c ＞2．【点睛】本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，属于中档题． 19.流行性感冒（简称流感）是流感病毒引起的急性呼吸道感染，是一种传染性强、传播速度快的疾病．其主要通过空气中的飞沫、人与人之间的接触或与被污染物品的接触传播．流感每年在世界各地均有传播，在我国北方通常呈冬春季流行，南方有冬春季和夏季两个流行高峰．儿童相对免疫力低，在幼儿园、学校等人员密集的地方更容易被传染．某幼儿园将去年春期该园患流感小朋友按照年龄与人数统计，得到如下数据：（1）求y 关于x 的线性回归方程；（2）计算变量x 、y 的相关系数r （计算结果精确到0.01），并回答是否可以认为该幼儿园去年春期患流感人数与年龄负相关很强？（若[]0.75,1r ∈，则x 、y 相关性很强；若[)0.3,0.75r ∈，则x 、y 相关性一般；若[]0,0.25r ∈，则x 、y 相关性较弱．）57.47≈．参考公式：()()()1122211ˆn niii ii i nniii i x x y y x y nxybx x xnx====---==--∑∑∑∑，相关系数()()niix x y y r --=∑．【答案】（1） 3.229.8y x =-+；（2）相关系数0.97-，可以认为该幼儿园去年春期患流感人数与年龄负相关很强． 【解析】【分析】（1）结合已知数据和参考公式求出a 、ˆb这两个系数，即可得回归方程； （2）根据相关系数的公式求出r 的值，再结合r 的正负性与r 的大小进行判断即可． 【详解】（1）由题意得，2345645x ++++==，2222171410175y ++++==，()()()()()()()()()51522222212515001327ˆ 3.221012iii ii x x y y b x x ==---⨯+-⨯+⨯+⨯-+⨯-===--+-+++-∑∑，ˆ17 3.2429.8a y bx=-=+⨯=， 故y 关于x 的线性回归方程为 3.229.8y x =-+；（2）()()0.97niix x y y r --===≈-∑，0r ∴<，说明x 、y 负相关，又[]0.75,1r ∈，说明x 、y 相关性很强．因此，可以认为该幼儿园去年春期患流感人数与年龄负相关很强．【点睛】本题考查线性回归方程求法、相关系数的计算与性质，考查学生对数据的分析能力和运算能力，属于基础题．20.2020年新年伊始，新型冠状病毒来势汹汹，疫情使得各地学生在寒假结束之后无法返校，教育部就此提出了线上教学和远程教学，停课不停学的要求也得到了家长们的赞同．各地学校开展各式各样的线上教学，某地学校为了加强学生爱国教育，拟开设国学课，为了了解学生喜欢国学是否与性别有关，该学校对100名学生进行了问卷调查，得到如下列联表：（1）请将上述列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系？（2）针对问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢国学的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立国学宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，设这两人中女生人数为X ，求X 的分布列和数学期望． 参考数据：2.07222()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．【答案】（1）列联表见解析；能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系．（2）分布列见解析；4()3E X = 【解析】 【分析】（1）根据总数为100，结合已知数据即可补充完整列联表；根据公式，求得2K 的观测值，结合参考数据，即可容易判断；（2）求得分层抽样的抽样比，计算出6人中男生和女生人数，利用概率计算公式即可求得分布列，结合分布列求得()E X .【详解】（1）补充完整的列联表如下：计算得22100(20104030)16.6710.82860405050K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系． （2）喜欢国学的共60人，按分层抽样抽取6人，则每人被抽到的概率均为110， 从而需抽取男生2人，女生4人， 故X 的所有可能取值为0，1，2．22261(0)15C C P X ===，1142268(1)15C C P X C ===，242662(2)155C P X C ====，故X 的分布列为：数学期望1824()012151553E X =⨯+⨯+⨯=． 【点睛】本题考查2K 的计算，离散型随机变量的分布列和数学期望，涉及分层抽样，属综合中档题.21.已知1F ，2F 是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右两个焦点，过2F 的直线与C 交于P ，Q 两点（P 在第一象限），1PF Q ∆的周长为8，C 的离心率为12. （1）求C 的方程；（2）设1A ，2A 为C 的左右顶点，直线1PA 的斜率为1k ，2QA 的斜率为2k ，求21213k k -的取值范围. 【答案】（1）22143x y +=（2）1,04⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】（1）根据椭圆定义可知，1PF Q ∆周长为4a ，结合已知求出,a c ，即可求解；（2）若直线PQ 斜率不存在时，求出,P Q 坐标，以及12,k k 值，并有 213k k =；当直线PQ 斜率存在时，设出方程与椭圆方程联立，根据韦达定理，得出,P Q 两点坐标关系，求出213k k =，213k k =，再求出1k 取值范围，将21213k k -表示为1k 的二次函数，转化求二次函数的取值范围，即可求得结论. 【详解】解：（1）由条件得2224812a c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以C 的方程为22143x y +=.（2）由（1）得()12,0A -，()22,0A ，()21,0F ， 当直线PQ 的斜率不存在时，31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，31,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，112k =，21332k k ==. 当直线PQ 的斜率存在时，此时直线PQ 的斜率不为0，设直线PQ 的方程为()()10y k x k =-≠，设()11,P x y ，()22,Q x y ，由()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得()22223484120k xk x k +-+-=，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+， ∴()()21211222y x k k y x +=-()()()()()()2112211121221112223122x x x x x x x x x x x x x x -+++--==---++- 212212121833434634k x k k x k --+==--+.∴213k k =. 因为点P 在第一象限，所以()1211,A A BA k k k ∈，（B 为椭圆的上顶点）∴1k ⎛∈ ⎝⎭，∴222121111111,03244k k k k k ⎛⎫⎡⎫-=-=--∈- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆与直线的位置关系，考查参数取值问题，解题的关键要从特殊位置12,k k 关系，得出一般位置12,k k 关系，然后等价转化为熟悉函数的值取值范围，属于较难题. 22.已知函数()()()22ln ln 0f x ax a x a a x=-+-->.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，求()()12f x f x +的最小值. 【答案】（1）见解析（2）22ln 2e--. 【解析】 【分析】（1）先求()f x '，通过讨论a 的范围，确定导函数的符号，从而判断函数的单调性； （2）由（1）知，()f x 有两个极值点时，0a >且2a ≠，不妨设11x =和22x a=，表示出()()12(2)ln2ln 2a f x f x a a +=+-，令()(2)ln 2ln 2xh x x x =+-，求()h x 的最小值即可得解. 【详解】（1）0x >，0a >，()22222(2)2a ax a x a x f x x x +-++=-+='2(1)(2)x ax x --=， 由()0f x '=得1x =或2x a=， ①若02a <<，则21>a，由()0f x '<得21x a <<；()0f x '>得01x <<或2x a >，所以，若02a <<，则()f x 在()0,1递增，在21,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增； ②若2a =，则21a，()()22210x f x x -'=≥，()f x 在定义域()0,∞+递增；③若2a >，则21a <，由()0f x '<得21x a <<；()0f x '>得20x a<<或1x >， 所以，若2a >，则()f x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在2,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，在()1,+∞递增. （2）由（1）知，()f x 有两个极值点时，0a >且2a ≠，不妨设11x =和22x a=， ()()112ln f x f a a ==--，()222(2)ln ln 2a f a a a a f x ⎛⎫==-++- ⎪⎝⎭，所以()()12(2)ln2ln 2af x f x a a +=+-，设()(2)ln2ln 2xh x x x =+-， 则()(2)(ln ln 2)2ln h x x x x =+--，()ln ln 21h x x '=-+，由()0h x '<得20x e <<，()h x 在20,e ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减， 由()0h x '>得2x e >，()h x 在2,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增. 所以当0x >时，min 22()2ln 2h x h e e ⎛⎫==--⎪⎝⎭. 所以，当0a >且2a ≠时，()()12f x f x +的最小值为22ln 2e--. 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数研究函数的极值和最值，考查了转化与化归的思想.。
