新苏教版数学(选修1-1)同步练测：2.4抛物线、2.5圆锥曲线的共同性质(含答案)

第二章《圆锥曲线与方程》测试题班级 姓名 座号 分数一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为31，则椭圆的方程是( )A.1442x +1282y =1B.362x +202y =1 C.322x +362y =1D.362x +322y =1 2.双曲线22a x -22by =1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为( )A. 2B.3C. 2D.23 3．平面内有两定点A 、B 及动点P ，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P 的轨迹是以A ．B 为焦点的椭圆”，那么（ ） A ．甲是乙成立的充分不必要条件 B ．甲是乙成立的必要不充分条件 C ．甲是乙成立的充要条件 D ．甲是乙成立的非充分非必要条件4．椭圆4 x 2+y 2=k 两点间最大距离是8，那么k =（ ）A ．32B ．16C ．8D ．45．已知方程11222=-+-k y k x 的图象是双曲线，那么k 的取值范围是（ ） Ａ．k ＜１ Ｂ．k ＞２ Ｃ．k ＜１或k ＞２ Ｄ．１＜k ＜２6．过抛物线y x 42=的焦点F 作直线交抛物线于()()222111,,,y x P y x P 两点，若621=+y y ，则21P P 的值为 （ ）A ．5B ．6C ．8D ．107．圆心在抛物线x y 22=（0>y ）上，并且与抛物线的准线及x 轴都相切的圆的方程是（ ）A ．221204x y x y +---= B ．22210x y x y ++-+=C ．22210x y x y +--+=D ．041222=+--+y x y x 8．已知方程0,,0(022>≠≠=++=+c b a ab c by ax ab by ax 其中和，它们所表示的曲线可能是（ ）Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 二、填空题（每题4分，共20分）9．探照灯的反射镜的纵截面是抛物线的一部分，灯口直径60cm ，灯深40cm ，则光源放置位置为灯轴上距顶点 处．10．点M 到x 轴的距离是它到y 轴距离的2倍，则点M 的轨迹方程是 ．11．过原点的直线l ，如果它与双曲线14322=-x y 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是 ．12．已知椭圆m x 2＋n y 2=1与双曲线p x 2－qy 2=1（m ，n ，p ，q ∈R ＋）有共同的焦点F 1、F 2，P 是椭圆和双曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|= ．三、解答题（本大题3小题，共40分） 13、 求适合下列条件的双曲线的标准方程：（１） 焦点在 x 轴上,虚轴长为12，离心率为 45； （２） 顶点间的距离为6，渐近线方程为x y 23±=．14、已知椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个等边三角形，焦点到同侧顶点的距离为3，求椭圆的方程。

[学习目标] 1.了解圆锥曲线的统一定义.2.能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题.知识点一 圆锥曲线的统一方程在平面直角坐标系中，有定点F (c,0)，定直线l ：x ＝a 2c (a >0，c >0)，圆锥曲线上任意一点P (x ，y )，定义点P 到点F 的距离为PF ，点P 到直线l 的距离为d ，则称PF d ＝e (e 为离心率，且e ＝c a)为圆锥曲线的统一方程.0<e <1时，它表示椭圆；e >1时，它表示双曲线；e ＝1时，它表示抛物线.知识点二 圆锥曲线的共同性质对于椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)和双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)中，与F (c,0)对应的准线方程是l ：x ＝a 2c ，与F ′(－c ，0)对应的准线方程是l ′：x ＝－a 2c；如果焦点在y 轴上，则两条准线方程为y ＝±a 2c.题型一 统一定义的简单应用例1 椭圆x 225＋y 29＝1上有一点P ，它到左准线的距离等于2.5，那么，P 到右焦点的距离为________.答案 8解析 如图所示，PF 1＋PF 2＝2a ＝10，e ＝c a ＝45， 而PF 12.5＝e ＝45，∴PF 1＝2， ∴PF 2＝10－PF 1＝10－2＝8.反思与感悟 椭圆的两个定义从不同角度反映了椭圆的特征，解题时要灵活运用.一般地，如果遇到有动点到两定点距离和的问题，应自然联想到椭圆的第一定义；如果遇到有动点到一定点及一定直线距离的问题，应自然联想到椭圆的第二定义；若两者都涉及，则要综合运用两个定义才行.跟踪训练1 若双曲线y 264－x 236＝1上一点P 到双曲线上焦点的距离是8，那么点P 到上准线的距离是________.答案 325解析 由8d ＝108，得d ＝325. 题型二 应用统一定义转化求最值例2 已知椭圆x 28＋y 26＝1内有一点P (1，－1)，F 是椭圆的右焦点，在椭圆上求一点M ，使MP ＋2MF 之值为最小.解 设d 为M 到右准线的距离.∵e ＝c a ＝12，MF d ＝12， ∴MF 12＝d ，即d ＝2MF (如图)， 故MP ＋2MF ＝MP ＋d ≥PM ′.显然，当P 、M 、M ′三点共线时，所求的值为最小，从而求得点M 的坐标为(2315，－1). 反思与感悟 本例中，利用椭圆的第二定义，将椭圆上点M 到焦点F 的距离转化为到准线的距离，再利用图形的形象直观，使问题得到简捷的解决.一般地，像本例这样的问题，若“MF ”含有系数，则应考虑用第二定义求解；若不含有系数，则应考虑用第一定义求解.跟踪训练2 已知点A (3,2)，F (2,0)，在双曲线x 2－y 23＝1上是否存在一点P ，使P A ＋12PF 的值。

圆锥曲线的共同性质（2）【学习目标】1. 求曲线的方程；2. 通过曲线的方程，研究曲线的性质．【自主学习】（认真自学课本P36-P37例3） 复习1：已知曲线C 的方程为 22y x = ，曲线C 上有点(1,2)A ，A 的坐标是不是22y x = 的解？点(0.5,)t 在曲线C 上,则t =___ ．复习2：曲线（包括直线）与其所对应的方程(,)0f x y =之间有哪些关系?【合作探究】例1 有一曲线,曲线上的每一点到x 轴的距离等于这点到(0,3)A 的距离的2倍，试求曲线的方程．小结：点(,)P a b 到x 轴的距离是 ；点(,)P a b 到y 轴的距离是 ；例2：(教材P36例3) 已知一条直线l 和它上方的一个点F ，点F 到l 的距离是2，一条曲线也在l 的上方，它上面的每一点到F 的距离减去到l 的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程．【目标检测】1．．已知(1,0)A ，(1,0)B -，动点满足2MA MB -=,则点M 的轨迹方程是 （ ）.A ．0(11)y x =-≤≤B ．0(1)y x =≥C ．0(1)y x =≤-D ．0(1)y x =≥2．曲线y =与曲线0y x +=的交点个数一定是 （ ）．A ．0个B ．2个C ．4个D ．3个3．若定点(1,2)A 与动点(,)P x y 满足4OP OA •=,则点P 的轨迹方程是 ．4. 已知点C 的坐标是(2,2)，过点C 的直线CA 与x 轴交于点A ，过点C 且与直线CA 垂直的直线CB 与y 轴交于点B ．设点M 是线段AB 的中点，求点M 的轨迹方程．【作业布置】任课教师自定。

2．5圆锥曲线的共同性质
抛物线可以看成平面内到定点(焦点)F的距离与定直线(准线)l的比值等于1(离心率)的动点的轨迹．
问题1：当比值大于0小于1时轨迹是什么？
提示：椭圆．
问题2：当比值大于1时轨迹是什么？
提示：双曲线．
圆锥曲线的共同定义为：平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离之比等于常数e的点的轨迹．
当0＜e＜1时，它表示椭圆；
当e＞1时，它表示双曲线；
当e＝1时，它表示抛物线．
其中e是离心率，定点F是圆锥曲线的焦点，定直线l是圆锥曲线的准线.
在圆锥曲线的定义中，定点F是焦点，定直线l是准线，而且知道抛物线只有一个焦点和一条准线．
问题：椭圆和双曲线有几个焦点、几条准线？
提示：椭圆和双曲线有两个焦点、两条准线．
椭圆、双曲线和抛物线的准线方程
1．关于圆锥曲线共同特征的认识
(1)从点的集合(或轨迹)的观点来看：它们都是平面内与一个定点和一条定直线的距离的比是常数e 的点的集合(或轨迹)，只是当0<e <1时为椭圆，当e ＝1时为抛物线，当e >1时为双曲线．
(2)从曲线形状的生成过程来看：圆锥曲线可看成不同的平面截圆锥面所得到的截面的周界，因此，椭圆(包括圆)、抛物线、双曲线又统称为圆锥曲线．
2．圆锥曲线共同特征的应用
设F 为圆锥曲线的焦点，A 为曲线上任意一点，d 为点A 到定直线的距离，由AF d
＝e 变形可得d ＝AF e
.由这个变形可以实现由AF 到d 的转化，借助d 则可以解决一些最值问题．
[对应学生用书P33]
[例1] 已知动点M (x ，y )到点F (2,0)与到定直线x ＝8的距离之比为1
2，求点M 的
轨迹．。

§2.5 圆锥曲线的共同性质学习目标 1.理解并会运用圆锥曲线的共同性质，解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题.2.了解圆锥曲线的统一定义，掌握圆锥曲线的离心率、焦点、准线等概念.知识点 圆锥曲线的共同性质思考 圆锥曲线有怎样的共同性质？如何研究圆锥曲线的共同性质？ 答案 如图，过点M 作MH ⊥l ，H 为垂足，由圆锥曲线的统一定义可知M ∈{M |FM ＝eMH }.取过焦点F ，且与准线l 垂直的直线为x 轴，F (O )为坐标原点，建立直角坐标系.设点M 的坐标为(x ，y )，则OM ＝x 2＋y 2.①设直线l 的方程为x ＝－p ，则MH ＝|x ＋p |.② 把①，②代入OM ＝eMH ， 得x 2＋y 2＝e |x ＋p |.两边平方，化简得(1－e 2)x 2＋y 2－2pe 2x －p 2e 2＝0.这就是圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)在直角坐标系中的共同性质.梳理 (1)圆锥曲线上的点到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在定直线l 上)的距离之比等于常数e .当0<e <1时，它表示椭圆；当e >1时，它表示双曲线；当e ＝1时，它表示抛物线.其中e 是圆锥曲线的离心率，定点F 是圆锥曲线的焦点，定直线l 是圆锥曲线的准线.(2)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的准线方程为x ＝±a 2c ，y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的准线方程为y ＝±a 2c .双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的准线方程为x ＝±a 2c ，双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的准线方程为y ＝±a 2c.1.若平面内动点P 到定点F 的距离和它到一条定直线l 的距离的比是一个常数e (e >0)，则动点P 的轨迹是圆锥曲线.( × )2.双曲线x 2－y 2＝1的准线方程为x ＝±22.( √ )3.x 225＋y 29＝1上的点到左准线的距离是92，则该点到右准线的距离是8.( √ ) 4.点M (x ，y )与定点F (4,0)的距离和它到直线l ：x ＝254的距离的比是常数45，则点M 的轨迹为x 225＋y 29＝1.( × )类型一 已知准线求圆锥曲线的方程例1 双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，两准线间的距离为4，且经过点A (26，3)，求双曲线的方程. 考点 准线题点 由准线等条件求曲线方程解 (1)若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧24a 2－9b 2＝1，2a 2c ＝4，∴a 2＝2c ，b 2＝c 2－a 2＝c 2－2c .代入24a 2－9b2＝1，整理得c 2－14c ＋33＝0，∴c ＝3或c ＝11.∴a 2＝6，b 2＝3或a 2＝22，b 2＝99. ∴双曲线的方程为x 26－y 23＝1或x 222－y 299＝1.(2)若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0).由已知得9a 2－24b2＝1.将a 2＝2c ，b 2＝c 2－2c 代入9a 2－24b2＝1得，2c 2－13c ＋66＝0，Δ<0，此方程无实数解. 综合(1)(2)可知，双曲线的方程为x 26－y 23＝1或x 222－y 299＝1. 反思与感悟 (1)在此类题中，两准线间的距离是一个定值2a2c，不论双曲线位置如何，均可使用.(2)已知准线方程(或准线间距离)求圆锥曲线方程，该条件使用方法有两个：①利用统一定义，②直接列出基本量a ，b ，c ，e 的关系式.跟踪训练1 已知A ，B 是椭圆x 2a 2＋y 2925a2＝1上的点，F 2是椭圆的右焦点，且AF 2＋BF 2＝85a ，AB的中点N 到椭圆左准线的距离为32，求此椭圆方程.考点 准线题点 由准线等条件求圆锥曲线方程 解 设F 1为左焦点，连结AF 1，BF 1， 则根据椭圆定义知，AF 1＋BF 1＝2a －AF 2＋2a －BF 2＝4a －(AF 2＋BF 2)＝4a －85a ＝125a .再设A ，B ，N 三点到左准线距离分别为d 1，d 2，d 3，由梯形中位线定理，得d 1＋d 2＝2d 3＝3. 而已知b 2＝925a 2，∴c 2＝1625a 2.∴离心率e ＝45，由统一定义AF 1＝ed 1，BF 1＝ed 2， ∴AF 1＋BF 1＝125a ＝e (d 1＋d 2)＝125，∴a ＝1，∴椭圆方程为x 2＋y 2925＝1.类型二 圆锥曲线统一定义的应用 命题角度1 求有关最值问题例2 已知A (4,0)，B (2,2)是椭圆x 225＋y 29＝1内的两个点，M 是椭圆上的动点.(1)求MA ＋MB 的最大值和最小值； (2)求MB ＋54MA 的最小值及此时点M 的坐标.考点 共同性质题点 运用圆锥曲线共同性质求最值解 (1)如图所示，由x 225＋y 29＝1得a ＝5，b ＝3，c ＝4.所以A (4,0)为椭圆的右焦点，F (－4,0)为椭圆的左焦点. 因为MA ＋MF ＝2a ＝10， 所以MA ＋MB ＝10－MF ＋MB .因为|MB －MF |≤BF ＝(－4－2)2＋(0－2)2＝210， 所以－210≤MB －MF ≤210. 故10－210≤MA ＋MB ≤10＋210， 即MA ＋MB 的最大值为10＋210， 最小值为10－210.(2)由题意得椭圆的右准线l 的方程为x ＝254.由图可知点M 到右准线的距离为MM ′， 由圆锥曲线的统一定义得MA MM ′＝e ＝45， 所以54MA ＝MM ′.所以MB ＋54MA ＝MB ＋MM ′.由图可知当B ，M ，M ′三点共线时，MB ＋MM ′最小， 即BM ′＝254－2＝174.当y ＝2时，由x 225＋229＝1，解得x ＝±553(负值舍去)，即点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫553，2. 故MB ＋54MA 的最小值为174，此时点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫553，2. 反思与感悟 (1)解答此类题时，应注意式子中的系数特点，依此恰当地选取定义. (2)圆锥曲线的统一定义，可以灵活地将曲线上点到焦点的距离与到相应准线的距离进行转化，从而简化解题过程.跟踪训练2 试在抛物线y 2＝4x 上求一点A ，使点A 到点B (3，2)与到焦点的距离之和最小. 考点 共同性质题点 运用圆锥曲线共同性质求最值解 由已知易得点B 在抛物线内，p2＝1，准线方程为x ＝－1，过点B 作C ′B ⊥准线l 于C ′，直线BC ′交抛物线于A ′，则A ′B ＋A ′C ′为满足题设的最小值.因为C ′B ∥x 轴，B 点的坐标为(3，2)， 所以A ′点的坐标为(x,2).又因点A ′在抛物线上，所以A ′(1,2)即为所求A 点，此时最小值为BC ′＝3＋1. 命题角度2 焦点弦问题例3 椭圆C 的一个焦点为F 1(2,0)，相应准线方程为x ＝8，离心率e ＝12.(1)求椭圆的方程；(2)求过另一个焦点且倾斜角为45°的直线截椭圆C 所得的弦长. 考点 共同性质题点 运用圆锥曲线共同性质研究焦点弦问题解 (1)设椭圆上任一点P (x ，y )，由统一定义得(x －2)2＋y 2|8－x |＝12，两边同时平方，得4[(x －2)2＋y 2]＝(8－x )2， 化简得x 216＋y 212＝1.(2)由(1)知椭圆的另一个焦点F 2(－2,0)，过F 2且倾斜角为45°的直线方程为y ＝x ＋2， 代入方程x 216＋y 212＝1，得7x 2＋16x －32＝0.设交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－167，AB ＝AF 2＋BF 2＝a ＋ex 1＋a ＋ex 2＝2a ＋e (x 1＋x 2)＝2×4＋12(x 1＋x 2)＝487.反思与感悟 (1)在此类题中，若用一般弦长公式，而不用统一定义，计算起来则复杂一些. (2)对于圆锥曲线焦点弦的计算，利用统一定义较为方便.跟踪训练3 已知椭圆的一个焦点是F (3,1)，相应于F 的准线为y 轴，l 是过点F 且倾斜角为60°的直线，l 被椭圆截得的弦AB 的长是165，求椭圆的方程.考点 共同性质题点 运用圆锥曲线共同性质研究焦点弦问题 解 设椭圆离心率为e ，M (x ，y )为椭圆上任一点，由统一定义MF d ＝e ，得(x －3)2＋(y －1)2|x |＝e ，整理得(x －3)2＋(y －1)2＝e 2x 2.① ∵直线l 的倾斜角为60°，∴直线l 的方程为y －1＝3(x －3)，② ①②联立得(4－e 2)x 2－24x ＋36＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝244－e 2，∴AB ＝e (x 1＋x 2)＝e ·244－e 2＝165， ∴e ＝12(负值舍去)，∴椭圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝14x 2，即(x －4)24＋(y －1)23＝1.1.椭圆x 225＋y 29＝1的准线方程是____________. 考点 准线 题点 求准线方程答案 x ＝±254解析 ∵a ＝5，b ＝3，∴c ＝4，∴准线方程为x ＝±254.2.如果椭圆的两个焦点将长轴三等分，那么这个椭圆的两准线间距离是焦距的________倍. 考点 准线题点 准线方程的运用 答案 9解析 ∵2c ＝13×2a ，∴c ＝13a ，即a ＝3c .∴两准线间距离为2a2c＝18c ，为2c 的9倍.3.若双曲线x 29－y 216＝1左支上的一点P 到左焦点的距离为15，则点P 到右准线的距离为________. 考点 共同性质题点 共同性质的简单运用 答案635解析 ∵a ＝3，b ＝4，∴c ＝5，∴e ＝53.∵PF 1＝15，∴PF 2＝PF 1＋2a ＝15＋6＝21， ∴P 到右准线的距离为d ＝PF 2e ＝635. 4.已知椭圆方程为x 216＋y 212＝1，右焦点为F ，A (2,1)为其内部一点，P 为椭圆上一动点，为使PA ＋2PF 最小，P 点坐标为__________.考点 共同性质题点 运用圆锥曲线共同性质求最值 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫2333，1 解析 由题意得a ＝4，b ＝23，∴c ＝2，e ＝c a ＝12.由统一定义知，2PF 即为P 到右准线的距离，因此，要使PA ＋2PF 最小，P 点除了应在y 轴的右侧外，还要使AP 垂直于准线，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，x 216＋y 212＝1，解得P 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2333，1. 5.在平面直角坐标系xOy 中，若中心在坐标原点的双曲线的一条准线方程为x ＝12，且它的一个顶点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为____________. 考点 准线题点 准线方程的运用 答案3x ±y ＝0解析 由题意设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，因为抛物线y 2＝－4x 的焦点坐标为(－1,0)，由此可得a ＝1.由a 2c ＝12，得c ＝2.所以b 2＝c 2－a 2＝3，于是双曲线的方程为x2－y 23＝1，其渐近线方程为3x ±y ＝0.1.在学习圆锥曲线的统一定义时，应注意与前面学过的椭圆、双曲线和抛物线的定义、标准方程、几何性质相联系，以提高自己综合应用知识的能力和解题的灵活性.2.在已知准线方程时，一般转化为a 2c的数量关系，结合其他条件求出基本量a ，b ，c .若是求方程，可由准线的位置来确定标准方程的类型.3.根据圆锥曲线的统一定义，可把圆锥曲线上的点到焦点的距离转化为到对应准线的距离，这是一个非常重要的转化方法，可简化解题过程.一、填空题 1.若椭圆的离心率为22，准线方程为x ＝±8，则椭圆的标准方程为____________. 考点 准线题点 由准线等条件求圆锥曲线方程 答案x 232＋y 216＝1 解析 由准线方程为x ＝±8，可知椭圆的焦点在x 轴上.设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0).由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝22，a 2c ＝8，解得⎩⎨⎧a ＝42，c ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝32－16＝16. 因此所求椭圆的标准方程为x 232＋y 216＝1. 2.已知椭圆x 2100＋y 236＝1上一点P 到椭圆的左准线的距离为10，则点P 到椭圆的右焦点的距离为________. 考点 准线题点 由准线等条件求圆锥曲线方程 答案 12 解析 椭圆x 2100＋y 236＝1的离心率e ＝45.根据椭圆的第二定义，得点P 到椭圆的左焦点的距离为10e ＝8.再根据椭圆的第一定义，得点P 到椭圆的右焦点的距离为20－8＝12.3.如果双曲线x 24－y 22＝1上一点P 到双曲线右焦点的距离是2，那么点P 到y 轴的距离是________. 考点 准线题点 准线方程的运用 答案463解析 由题意可知a ＝2，b ＝2，c ＝6，右准线方程为x ＝a 2c ＝46，e ＝c a ＝62.设P 到y 轴的距离为d ，则2d －46＝62，所以d ＝463. 4.与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，且其中一条准线的方程为x ＝185的双曲线的标准方程为____________. 考点 准线题点 由准线等条件求圆锥曲线方程 答案x 236－y 264＝1 解析 由题意，可设所求双曲线的方程为x 29λ－y 216λ＝1(λ>0).该双曲线的右准线方程为x ＝9λ5λ＝185，所以λ＝4，所以所求双曲线的标准方程为x 236－y264＝1.5.若双曲线x 28－y 2b2＝1的一条准线与抛物线y 2＝8x 的准线重合，则双曲线的离心率为________. 考点 准线题点 准线方程的运用 答案2解析 y 2＝8x 的准线方程为x ＝－2，因此，双曲线的一条准线方程为x ＝－2，则－a 2c＝－2.又a 2＝8，∴c ＝4.∴e ＝c a ＝422＝ 2.6.已知椭圆的一个焦点坐标为F 1(0，－22)，对应的准线方程为y ＝－924，且离心率e 满足23，e ，43成等比数列，则此椭圆的方程为________. 考点 准线题点 由准线等条件求圆锥曲线方程答案 x 2＋y 29＝1 解析 ∵23，e ，43成等比数列，∴e 2＝23×43，则e ＝223. 设P (x ，y )是椭圆上任意一点，根据椭圆的定义，得x 2＋(y ＋22)2⎪⎪⎪⎪⎪⎪y ＋924＝223，化简得9x 2＋y 2＝9，即x 2＋y 29＝1. 7.已知双曲线x 24－y 25＝1，F 为其右焦点，A (4,1)为平面上一点，P 为双曲线上任意一点，则PA ＋23PF 的最小值为________.考点 共同性质题点 运用圆锥曲线统一定义求最值答案 83解析 设P 到右准线的距离为PQ .因为e ＝32，所以23PF ＝PQ ， 即PA ＋23PF ＝PA ＋PQ . 而PA ＋PQ 的最小值为点A 到右准线的距离， 即4－a 2c ＝4－43＝83， 故PA ＋23PF 的最小值为83. 8.已知A (－1,0)，B (1,0)，点C (x ，y )满足：(x －1)2＋y 2|x －4|＝12，则AC ＋BC ＝________. 考点 共同性质题点 共同性质的运用答案 4解析 ∵点C 到B (1,0)的距离与它到直线x ＝4的距离之比为12， ∴点C 的轨迹是椭圆，且c a ＝12，a 2c＝4，∴a ＝2，c ＝1.∴点A 恰好是椭圆的另一个焦点，∴AC ＋BC ＝2a ＝4.9.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B .设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2，若d 2＝6d 1，则椭圆C 的离心率为________.考点 共同性质题点 共同性质的运用答案 33解析 依题意，d 2＝a 2c －c ＝b 2c. 又BF ＝c 2＋b 2＝a ，所以d 1＝bca. 由已知可得b 2c ＝6·bc a， 所以6c 2＝ab ，即6c 4＝a 2(a 2－c 2)，整理可得a 2＝3c 2，所以离心率e ＝ca ＝33. 10.已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交椭圆C 于点D ，且BF →＝2FD →，则椭圆C 的离心率为________.考点 共同性质题点 共同性质的运用答案 33 解析 设椭圆C 的焦点在x 轴上，如图所示，B (0，b )，F (c,0)，D (x D ，y D )，则BF ＝b 2＋c 2＝a .作DD 1⊥y 轴于点D 1， 则由BF →＝2FD →，得OF DD 1＝BF BD ＝23，所以DD 1＝32OF ＝3c 2，即x D ＝3c 2. 由圆锥曲线的统一定义，得FD ＝e ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c －3c 2＝a －3c 22a . 又由BF →＝2FD →，得a ＝2a －3c 2a， 整理得c 2a 2＝13，即e 2＝13， 所以e ＝－33(舍去)或e ＝33. 二、解答题11.已知椭圆x 225＋y 216＝1，P 为椭圆上的一点，F 1，F 2为左、右两个焦点，若PF 1∶PF 2＝2∶1，求点P 的坐标.考点 共同性质题点 共同性质的运用解 设点P 的坐标为(x ，y ).∵椭圆x 225＋y 216＝1，∴a ＝5，b ＝4，c ＝3. ∴e ＝35，准线方程为x ＝±253. 由圆锥曲线的统一定义知，PF 1＝ed 1＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋253＝35x ＋5， PF 2＝ed 2＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫253－x ＝5－35x . ∵PF 1∶PF 2＝2∶1， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫35x ＋5∶⎝ ⎛⎭⎪⎫5－35x ＝2∶1， 解得x ＝259，代入椭圆的方程，得y ＝±8149. ∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫259，8149或⎝ ⎛⎭⎪⎫259，－8149. 12.已知A ，B 为椭圆x 2a 2＋25y 29a 2＝1上的两点，F 2是椭圆的右焦点，若AF 2＋BF 2＝85a ，AB 的中点M 到椭圆的左准线的距离为32，试确定该椭圆的方程.考点 准线题点 由准线等条件求圆锥曲线方程解 由椭圆的方程，可得b ＝35a ，则c ＝45a ，e ＝45，两准线间的距离为52a . 设A ，B 两点到右准线的距离分别是d A ，d B ，则AF 2d A ＝BF 2d B ＝45， ∴AF 2＋BF 2＝45(d A ＋d B )＝85a ， ∴d A ＋d B ＝2a ，则AB 的中点M 到椭圆右准线的距离为a ，于是点M 到左准线的距离为52a －a ＝32，解得a ＝1， 故椭圆的方程为x 2＋25y 29＝1. 13.设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率e ＝22，点F 2到右准线l 的距离为 2.(1)求a ，b 的值；(2)设M ，N 是l 上的两个动点，F 1M →·F 2N →＝0，证明：当|MN →|取最小值时，F 2F 1→＋F 2M →＋F 2N →＝0.考点 共同性质题点 共同性质的运用(1)解 因为e ＝c a ，F 2到l 的距离d ＝a 2c－c ， 所以由题设得⎩⎪⎨⎪⎧ c a ＝22，a 2c －c ＝2，解得c ＝2，a ＝2.由b 2＝a 2－c 2＝2，得b ＝ 2.故a ＝2，b ＝ 2.(2)证明 由c ＝2，a ＝2得F 1(－2，0)，F 2(2，0)，l 的方程为x ＝22，故可设M (22，y 1)，N (22，y 2).由F 1M →·F 2N →＝0知(22＋2，y 1)·(22－2，y 2)＝0，得y 1y 2＝－6，所以y 1y 2≠0，y 2＝－6y 1. |MN →|＝|y 1－y 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 1＋6y 1＝|y 1|＋6|y 1|≥26， 当且仅当y 1＝±6时，上式取等号，此时y 2＝－y 1，所以，F 2F 1--→＋F 2M →＋F 2N →＝(－22，0)＋(2，y 1)＋(2，y 2)＝(0，y 1＋y 2)＝0.三、探究与拓展14.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且PF 1＝4PF 2，则此双曲线离心率e 的最大值为________.考点 共同性质题点 共同性质的运用答案 53解析 设P 点坐标为P (x 0，y 0)，由圆锥曲线的统一定义得e ＝PF 1x 0＋a 2c ＝PF 2x 0－a 2c， 把PF 1＝4PF 2代入则有x 0＋a 2c ＝4⎝⎛⎭⎪⎫x 0－a 2c ， 整理得5a 2c＝3x 0. ∵x 0≥a ，∴e ＝c a ≤53， ∴离心率e 的最大值为53. 15.已知椭圆x 225＋y 29＝1上不同的三点A (x 1，y 1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，95，C (x 2，y 2)与焦点F (4,0)的距离成等差数列.(1)求证：x 1＋x 2＝8；(2)若线段AC 的垂直平分线与x 轴交于点T ，求直线BT 的斜率. 考点 共同性质题点 共同性质的运用(1)证明 由已知得a ＝5，b ＝3，c ＝4，e ＝45. 因为AF ＝a －ex 1＝5－45x 1，CF ＝a －ex 2＝5－45x 2，BF ＝5－45×4＝95，且AF ＋CF ＝2BF ， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫5－45x 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5－45x 2＝185，即x 1＋x 2＝8. (2)解 因为A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)在椭圆上，所以x 2125＋y 219＝1，① x 2225＋y 229＝1，② 由①－②得y 21－y 22＝－925(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝－7225(x 1－x 2)(y 1≠y 2). 又因为线段AC 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，y 1＋y 22， 所以线段AC 的垂直平分线的方程为y －y 1＋y 22＝－x 1－x 2y 1－y 2(x －4).③ 又因为点T 在x 轴上，则设点T 的坐标为(x 0,0)，代入③得x 0－4＝y 21－y 222(x 1－x 2)，所以x 0－4＝－3625. 所以直线BT 的斜率k ＝－95x 0－4＝54. 故直线BT 的斜率为54.。

§2.5 圆锥曲线的共同性质课时目标 1.掌握圆锥曲线的共同性质，并能进行简单应用.2.会写出圆锥曲线的准线方程．1．圆锥曲线的共同性质：圆锥曲线上的点到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在定直线l 上)的距离之比是____________．__________时，它表示椭圆；________时，它表示双曲线；________时，它表示抛物线．2．对于椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a>b>0)和双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)中，与F(c,0)对应的准线方程是l ：__________，与F ′(－c ，0)对应的准线方程是l ′：________；如果焦点在y 轴上，则两条准线方程为：________.一、填空题1．中心在原点，准线方程为y ＝±4，离心率为12的椭圆的标准方程是________________． 2．椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，P 是椭圆上一点，若PF 1＝3PF 2，则P 点到左准线的距离是________．3．两对称轴都与坐标轴重合，离心率e ＝45，焦点与相应准线的距离等于94的椭圆的方程是__________．4．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的两个焦点到一条准线的距离之比为3∶2，则双曲线的离心率是________．5．双曲线的焦点是(±26，0)，渐近线方程是y ＝±32x ，则它的两条准线间的距离是____． 6．椭圆x 225＋y 29＝1上点P 到右焦点的距离的最大值、最小值分别为________． 7．已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a>0)的一条准线方程为x ＝32，则a ＝______，该双曲线的离心 率为______．8．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为________．二、解答题9．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a>0，b>0)的右支上存在与右焦点和左准线等距离的点，求离心率e 的取值范围．10．已知椭圆中心在原点，长轴在x 轴上，且椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，两条准线间的距离为8.(1)求椭圆方程；(2)若直线y ＝kx ＋2与椭圆交于A ，B 两点，当k 为何值时，OA ⊥OB(O 为坐标原点)?能力提升11.如图，已知点F （1,0），直线l :x=-1,P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP → QF → =FP → FQ →求动点P 的轨迹C 的方程.12．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率e ＝22，点F 2到右准线l 的距离为 2.(1)求a 、b 的值；（2）设M 、N 是l 上的两个动点，F 1M →·F 2N →＝0，证明：当|MN →|取最小值时，F 2F 1→＋F 2M →＋F 2N →＝0.1．圆锥曲线的共同性质揭示了三类曲线的联系，使焦点、离心率、准线构成一个和谐的整体．2．对直线和圆锥曲线的交点问题，可利用联立方程，设而不求，充分利用韦达定理来解决．§2.5 圆锥曲线的共同性质知识梳理1．一个常数e 0<e <1 e >1 e ＝12．x ＝a 2c x ＝－a 2c y ＝±a 2c 作业设计1.x 23＋y 24＝1 解析 由题意a 2c ＝4，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2， 解得a ＝2，c ＝1，b ＝ 3.2．6解析 a 2＝4，b 2＝3，c 2＝1，∴准线x ＝a 2c ＝41＝4， 两准线间距离为8，设P 到左准线的距离为d 1，P 到右准线的距离为d 2.∵PF 1∶PF 2＝3∶1.又∵PF 1d 1＝e ，PF 2d 2＝e ，∴d 1∶d 2＝3∶1. 又d 1＋d 2＝8，∴d 1＝8×34＝6. 3.x 225＋y 29＝1或y 225＋x 29＝1解析 由c a ＝45，b 2c ＝94，a 2＝b 2＋c 2 得a ＝5，c ＝4，b ＝3. 4.5 解析 由题意知c ＋a 2c c －a 2c＝32，即c 2＋a 2c 2－a 2＝32，左边分子、分母同除以a 2，得e 2＋1e 2－1＝32，解得e ＝ 5. 5.82613解析 由c ＝26，b a ＝32，c 2＝a 2＋b 2， 易求a ＝22，∴d ＝2×a 2c ＝2×826＝82613. 6．9,1解析 由PF a 2c－x 0＝e 推得PF ＝a －ex 0， 又－a ≤x 0≤a ，故PF 最大值为a ＋c ，最小值为a －c .7.3 233解析 由已知得a 2a 2＋1＝32， 化简得4a 4－9a 2－9＝0，解得a 2＝3.又∵a >0，∴a ＝3，离心率e ＝c a ＝3＋13＝233. 8.5解析 由双曲线和抛物线的对称性可知，双曲线的两条渐近线都与抛物线相切．再由双曲线方程可知其渐近线方程为y ＝±b a x ，将一条渐近线方程与抛物线方程联立得x 2－b ax ＋1＝0，令Δ＝0得，b 2a 2＝4，所以双曲线的离心率e ＝1＋b 2a2＝ 5. 9．解 设M (x 0，y 0)是双曲线右支上满足条件的点，且它到右焦点F 2的距离等于它到左准线的距离MN ，即MF 2＝MN ，由双曲线定义可知MF 1MN ＝e ，∴MF 1MF 2＝e . 由焦点半径公式得ex 0＋a ex 0－a＝e . ∴x 0＝a (1＋e )e 2－e .而x 0≥a ，∴a (1＋e )e 2－e≥a . 即e 2－2e －1≤0，解得1－2≤e ≤2＋1.但e >1，∴1<e ≤2＋1.10．解 (1)设椭圆方程为：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0) 由题意得：⎩⎨⎧ 13×2b ×32＝c 2·a 2c ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝3c a 2＝4c . 又a 2＝b 2＋c 2，∴c ＝1，b 2＝3，a 2＝4.∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程：⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 23＝1y ＝kx ＋2化简得：(3＋4k 2)x 2＋16kx ＋4＝0.则x 1＋x 2＝－16k 3＋4k 2，x 1·x 2＝43＋4k2. ∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4 ∴(1＋k 2)43＋4k 2＋2k ·－16k 3＋4k 2＋4＝0. 解得：k 2＝43，∴k ＝±233. 经检验满足Δ>0.∴当k ＝±233时，OA ⊥OB . 11．解 设点P (x ，y )，则Q (－1，y )， 由QP →·QF →＝FP →·FQ →得(x ＋1,0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )， 化简得C ：y 2＝4x .12．(1)解 因为e ＝c a ，F 2到l 的距离d ＝a 2c－c ， 所以由题设得⎩⎨⎧ c a ＝22，a 2c －c ＝2，解得c ＝2，a ＝2.由b 2＝a 2－c 2＝2，得b ＝ 2.(2)证明 由c ＝2，a ＝2得F 1(－2，0)、F 2(2，0)，l 的方程为x ＝22， 故可设M (22，y 1)、N (22，y 2)． F 1M →·F 2N →＝0知 (22＋2，y 1)(22－2，y 2)＝0，得y 1y 2＝－6，所以y 1y 2≠0，y 2＝－6y 1. |MN →|＝|y 1－y 2|＝⎪⎪⎪⎪y 1＋6y 1 ＝|y 1|＋6|y 1|≥26， 当且仅当y 1＝±6时，上式取等号，此时y 2＝－y 1，所以，F 2F 1→＋F 2M →＋F 2N →＝(－22，0)＋(2，y 1)＋(2，y 2) ＝(0，y 1＋y 2)＝0.。

圆锥曲线综合应用〔1〕——定点定值问题学习目标：1定点，定值的概念2会求动曲线上的定点;3能够利用曲线的方程及几何性质解决直线，圆，圆锥曲线的含有定值、定点的综合问题 4 用运动与变化的眼光去观察研究，抓住其中的等量关系和变量关系，特别关注一些不变的因素〔不变量、不变关系的特殊关系〕。

即动中有静，静中有动，动中窥静，化动为静，以静制动。

一自主学习单：
1．圆方程：，
那么它必过定点_______
2引切线，切点为，那么直线恒过一个定点坐标为_______
3在平面直角坐标系,椭圆:过点,其左右焦点分别为,,离心率为．1求椭圆的方程; 2假设,分别是椭圆的左右顶点,动点满足,且交椭圆于点．①求证:为定值;
②设与以为直径的圆的另一交点为,问直线是否过定点,并说明理由．。

圆锥曲线离心率问题【教学目标】1了解近几年各地高考对圆锥曲线离心率问题的考查内容 2 回顾圆锥曲线离心率问题求解的常用策略3学会解决问题时利用数形结合思想提高运算的效率，提升思维的品质． 【教学重点、难点】选择不同的角度寻求基本量a,b,c 的关 系式【知识回顾】1 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的右焦点，直线2by =与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ∠=，则该椭圆的离心率是__________．2 已知12,F F 是双曲线2222:1x y E a b-=的左、右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=，则双曲线E 的离心率为__________．3 椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点为F ，短轴的一个端点为B ，线段BF 延长线交椭圆于D ,且2BF FD =，则椭圆的离心率是__________．4 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F ，短轴的一个端点为M , 直线:340x y -=交椭圆E 于A ，B 两点，若4AF BF +=，点M 到直线的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是__________．5 已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，若右准线上存在一点B ，椭圆上且在第一象限内存在一点C ，使得四边形F ABC 是平行四边形，则椭圆E 的离心率e 的取值范围是__________．【例题评析】例1 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>左焦点1F 和右焦点2F ，上顶点A ，线段2AF 的中垂线交椭圆于点B ，若左焦点1F 在线段AB 上，则椭圆的离心率为__________．例2 如图，已知椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的右焦点为F （1，0），离心率为e ，设A ，B 是椭圆上关于原点对称的两点，AF 的中点为M ，BF 的中点为N ，原点O 在线段MN 为直径的圆上，设直线AB 的斜率为，若0<，求离心率e 的取值范围．【课堂小结】【评测训练】1 已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则该椭圆的离心率为__________．2 已知双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>：的右焦点为F ，过F 3C 于A 、B 两点，若4AF FB =，则双曲线C 的离心率为__________．3 已知椭圆22221(0)y x a b a b+=>>左右焦点为12,F F ，过1F 直线与椭圆交A 、B 两点，若20AB AF ⋅=，2AB AF =，则椭圆的离心率为__________．4 设A 为椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点，点A 关于原点的对称点为B ，F 为椭圆的右焦点，且AF ⊥BF ． 若∠ABF ∈ππ[,]124，求椭圆的离心率范围__________．5 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>左右焦点为12,F F ，上顶点为A ，线段1AF 延长线交椭圆于B ，M 是2AF 中点，2ABF ∆的内切圆与线段2AF 相切于M ，求椭圆离心率范围．6 如图，在平面直角坐标系xOy 中，21,F F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，顶点B 的坐标为）（b ,0，连接2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接C F 1．若AB C F ⊥1，求椭圆离心率．。

2.4抛物线2.5圆锥曲线的共同性质（苏教版选修1-1）一、填空题（本题共9小题，每小题5分，共45分）1.抛物线x 上一点P 到焦点的距离是2，则P 点坐标为.2.若抛物线（p >0）上一点到焦点和抛物线的对称轴的距离分别是10和6，则p 的值为.3.圆心在抛物线22y x =（0y >）上，并且与抛物线的准线及x 轴都相切的圆的方程是. 4.抛物线上的两点A 、B 到抛物线的焦点的距离之和为5，则线段AB 的中点到y 轴的距离是.5.对于抛物线, 我们称满足的点在抛物线的内部. 若点在抛物线的内部, 则直线与抛物线的公共点的个数是.6.已知以原点为顶点的抛物线，焦点在轴上，直线与抛物线交于两点．若为的中点，则抛物线的方程为．7.已知圆，抛物线的准线为l ，设抛物线上任一点P 到直线l 的距离为m ，则m +PC 的最小值为.8.已知抛物线上两点关于直线对称, 且－12, 那么的值等于.9.探照灯的反射镜的纵截面是抛物线的一部分，灯口直径60，灯深40，光源在抛物线的焦点处，则光源放置位置为灯轴上距顶点处. 二、解答题（本题共4小题，共55分）10.（本小题满分12分）求下列曲线的焦点坐标与准线方程：（1）x 2+2y 2=4；（2）2y 2-x 2=4；（3）x2+y=0．11.（本小题满分13分）如图，有一张长为8，宽为4的矩形纸片，按图示的方向进行折叠，使每次折叠后点都落在边上，此时将记为（图中为折痕，点也可以落在边上）．过作∥，交于点，求点的轨迹方程．12.（本小题满分14分）正方形的一条边在直线上，顶点、在抛物线上，求正方形的边长.13.（本小题满分16分）已知抛物线上两个动点及一个定点，是抛物线的焦点，且、、成等差数列，线段的垂直平分线与轴交于一点．（1）求点的坐标（用表示）；（2）过点与垂直的直线交抛物线于两点，若，求△的面积．2.4 抛物线2.5圆锥曲线的共同性质答题纸（苏教版选修1-1）得分：_________一、填空题1. 2. 3. 4.5.6. 7.8.9.二、解答题10.11.12.13.2.4抛物线2.5圆锥曲线的共同性质参考答案（苏教版选修1-1）1.解析：=x的准线为x=-，焦点为( ，0)，设，，由抛物线定义知=2，∴=2-=.由=，得=±.故P.2.2或18解析：设该点坐标为(x，y)，由题意知y=6，x+=10，∴=2p(10- )，解得p=2或18.3.221204x y x y+--+=解析：抛物线的焦点坐标为，由圆心在抛物线上，且与轴和该抛物线的准线都相切以及抛物线的定义可知，所求圆的圆心的横坐标，即圆心是，半径是1，故所求圆的方程为221204x y x y+--+=．4.2 解析：由抛物线定义得，A、B到准线x=-的距离之和也是5，从而线段AB的中点到准线的距离为，故AB中点到y轴的距离是-＝2.5.0解析：由与联立，消去，得，所以．因为，所以，直线和抛物线无公共点.6.解析：设抛物线的标准方程为，，，则，.两式相减可得，则，所以，解得，即所求抛物线方程为.7.解析：设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，当C、P、F三点共线时，m+PC取得最小值CF ，又C （-3，-4），F （2,0）所以 ＝ .8.32解析：由条件得、两点连线的斜率.由，得.又因为在直线上，即，即.因为、两点在抛物线上，所以.将代入得.9.解析：以灯轴所在直线为轴，顶点为原点，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，点在抛物线上，所以，所以，所以.因此，光源的位置为灯轴上距顶点cm 处.10.解：（1）将方程化为标准方程得： +＝1，∴a =2，b = ，∴=-=2，∴c = ，∴焦点坐标为（±，0），准线方程为x =±2.（2）将方程化为标准方程得：＝1，∴a = ，b =2，∴=+=6，∴c = ，∴焦点坐标为（0，±），准线方程为x =± .（3）由抛物线方程为=-y ，对比标准方程=-2py （p ＞0）可得2p =-1，p =-，∴焦点坐标为（0，-），准线方程为y =．11.解：如图，连接BT ，以边的中点为原点，边所在的直线为轴建立平面直角坐标系，则．因为,，根据抛物线的定义，点的轨迹是以点为焦点，为准线的抛物线的一部分．设，由，得定点到定直线的距离为4．所以抛物线的方程为．在折叠中，线段的长度在区间内变化，而，所以．故点的轨迹方程为．12.解：设直线的方程为,由消去得.设,,则,,所以又与的距离由四边形为正方形有解得或，所以正方形的边长为或.13.解：（1）设、，由点在抛物线上，得.①由、、成等差数列结合抛物线的定义得，得线段的垂直平分线方程为1212012().2y y x x y x x y y +--=---令，得②由①②得，所以．（2）由,,得．由抛物线的对称性，可设在第一象限，所以,．直线由得(18,12),(2,4),P Q-所以△的面积是64．。

2.5 圆锥曲线的共同性质[基础达标]1．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．解析：由圆锥曲线的共同性质得MF d ＝e ＝42＝2，d 为点M 到右准线x ＝1的距离，则d ＝2，所以MF ＝4.答案：42．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，右焦点为F,右准线为l ，短轴的一个端点为B .设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2,若d 2＝6d 1，则椭圆C 的离心率为________．解析：依题意，d 2＝a 2c －c ＝b 2c .又BF ＝c 2＋b 2＝a ，所以d 1＝bc a .由已知可得b 2c ＝6·bc a，所以6c 2＝ab ，即6c 4＝a 2(a 2－c 2)，整理可得a 2＝3c 2，所以离心率e ＝c a ＝33.答案：333．已知椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到右准线的距离为10，则点P 到它的左焦点的距离为________．解析：设F 1，F 2分别为椭圆的左，右焦点，P 到左准线的距离为d 1，P 到右准线的距离为d 2＝10，由圆锥曲线的统一定义知，PF 2d 2＝c a ＝35，解得PF 2＝6，又PF 1＋PF 2＝2a ＝10，解得PF 1＝4，故P 到它的左焦点距离为4.答案：4 4．如果双曲线x 24－y 22＝1上一点P 到双曲线右焦点的距离是2，那么点P 到y 轴的距离是________．解析：由双曲线方程可知a ＝2，b ＝2，c ＝6，e ＝62，设F 1，F 2分别为双曲线的左，右焦点，设P 点坐标为(x ，y )，由已知条件知P 点在右支上，且PF 2＝ex －a ＝2，解得x ＝463.答案：4635．设双曲线x 2a －y 2b＝1(a >0，b >0)的离心率为3，且它的一条准线与抛物线y 2＝4x 的准线重合，则此双曲线方程为________．解析：由题意得c a ＝3，a 2c ＝1，得a ＝3，c ＝3，则b 2＝6，所以此双曲线方程为x 23－y 26＝1.答案：x 23－y 26＝16．设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点，P 是其右准线上纵坐标为3c (c为半焦距)的点，且F 1F 2＝F 2P ，则椭圆的离心率是________．解析：如图有P (a 2c，3c )，设右准线交x 轴于H 点，∵F 2P ＝F 1F 2＝2c ，且PH ＝3c ， 故∠PF 2H ＝60°，∴F 2H ＝c ，OH ＝a 2c ＝2c ⇒e 2＝12⇒e ＝22或－22(舍)．答案：227．设椭圆的左焦点为F ，AB 为椭圆中过点F 的弦，试分析以AB 为直径的圆与椭圆的左准线的位置关系．解：设M 为弦AB 的中点(即以AB 为直径的圆的圆心)，A 1，B 1，M 1分别是A 、M 、B 在准线l 上的射影(如图)．由圆锥曲线的统一定义得AB ＝AF ＋BF ＝e (AA 1＋BB 1)＝2eMM 1.∵0<e <1，∴AB <2MM 1，即AB2<MM 1.∴以AB 为直径的圆与椭圆的左准线相离．8．在椭圆x 225＋y 29＝1上求一点P ，使它到左焦点F 1的距离是它到右焦点F 2距离的2倍，试求点P 的坐标．解：由题意可设P 点坐标为(x 0，y 0)，由椭圆的方程x 225＋y 29＝1，可得a ＝5，b ＝3，c ＝4，离心率e ＝45.所以PF 1＝a ＋ex 0＝5＋45x 0，PF 2＝a －ex 0＝5－45x 0.又PF 1＝2PF 2，解得x 0＝2512，代入椭圆方程得y 0＝±1194，故点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2512，±1194.[能力提升] 1．已知椭圆x 225＋y 216＝1外一点A (5,6)，l 为椭圆的左准线，P 为椭圆上动点，点P 到l的距离为d ，则PA ＋35d 的最小值为________．解析：如图，设F 为椭圆的左焦点，可知其坐标为F (－3,0)，根据圆锥曲线的统一定义有：PF d ＝e ＝35，即PF ＝35d ， 所以PA ＋35d ＝PA ＋PF ，可知当P ，F ，A 三点共线且P 在线段AF 上时，PA ＋PF 最小，最小值AF ＝10.故PA ＋35d 的最小值为10.答案：102．已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交椭圆C 于点D ，且BF →＝2FD →，则C 的离心率为________．解析：如图，BF ＝b 2＋c 2＝a ，作DD 1⊥y 轴于点D 1，则由BF →＝2FD →，得OF DD 1＝BF BD ＝23，所以DD 1＝32OF ＝32c ，即x D ＝3c 2，由圆锥曲线的统一定义得FD ＝e (a 2c －3c 2)＝a －3c22a；又由BF ＝2FD ，得a ＝2a －3c 2a，整理得3c 2＝a 2.解得e ＝－33(舍去)或e ＝33. 答案：333．已知A ，B 为椭圆x 2a 2＋25y 29a 2＝1上的两点，F 2是椭圆右焦点，若AF 2＋BF 2＝85a ，AB 的中点M 到椭圆的左准线的距离为32，试确定椭圆的方程．解：由椭圆的方程可得b ＝35a ，则c ＝45a ，e ＝45，两准线间的距离为52a ，设A ，B 两点到右准线的距离分别是d A ，d B ，则AF 2d A ＝BF 2d B ＝45，∴AF 2＋BF 2＝45(d A ＋d B )＝85a ，∴d A ＋d B ＝2a ，则AB 的中点M 到椭圆右准线的距离为a ，于是M 到左准线的距离为52a －a ＝32，解得a ＝1，故椭圆方程为x 2＋25y 29＝1.4．(创新题)已知椭圆x 225＋y 29＝1上不同的三点A (x 1，y 1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，95，C (x 2，y 2)与焦点F (4,0)的距离成等差数列．(1)求证：x 1＋x 2＝8；(2)若线段AC 的垂直平分线与x 轴交于点T ，求直线BT 的斜率．解：(1)证明：由已知得a ＝5，b ＝3，c ＝4，e ＝45.因为AF ＝a －ex 1＝5－45x 1，CF ＝a －ex 2＝5－45x 2，BF ＝5－45×4＝95，且AF ＋CF ＝2BF ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫5－45x 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5－45x 2＝185，即x 1＋x 2＝8.(2)因为A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)在椭圆上，所以x 2125＋y 219＝1，①x 2225＋y 229＝1.② 由①－②得y 21－y 22＝－925(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝－7225(x 1－x 2)．又因为线段AC 的中点为⎝⎛⎭⎪⎫4，y 1＋y 22，所以线段AC 的垂直平分线的方程为 y －y 1＋y 22＝－x 1－x 2y 1－y 2(x －4)．③又因为点T 在x 轴上，则设点T 的坐标为(x 0,0)，代入③得x 0－4＝y 21－y 22x 1－x 2，所以x 0－4＝－3625.所以直线BT 的斜率k ＝－95x 0－4＝54.故直线BT 的斜率为54.。

学业分层测评（十二)圆锥曲线的共同性质（建议用时:45分钟）［学业达标］一、填空题1。

双曲线错误!－y2＝1的右准线方程是________。

【解析】由方程可知a2＝2，b2＝1,∴c2＝3,即c＝错误!。

故双曲线的右准线方程是x＝错误!＝错误!。

【答案】x＝错误!2。

已知椭圆的离心率为错误!，准线方程为x＝±4，则椭圆的长轴长为________。

【解析】由错误!＝错误!，错误!＝4，得a＝错误!×错误!＝错误!×4＝2，故长轴长为2a＝4。

【答案】43.方程x－2y2＝0表示的曲线为________，焦点为________,准线方程为________。

【解析】化方程为标准形式y2＝错误!x，表示焦点在x正半轴上的抛物线，焦点坐标为错误!，准线x＝－错误!.【答案】抛物线错误!x＝－错误!4。

已知椭圆的两条准线方程为y＝±9，离心率为错误!,则此椭圆的标准方程为________。

【导学号:24830056】【解析】由题意得错误!⇒错误!从而b2＝a2－c2＝9－1＝8，∵椭圆的焦点在y轴上，∴所求方程为错误!＋错误!＝1。

【答案】错误!＋错误!＝15.已知椭圆两准线间的距离为8，虚轴长为23,焦点在x轴上,则此椭圆标准方程为________.【解析】依题得：错误!＝4,∴a2＝4c。

又∵2b＝2错误!，∴b＝错误!，b2＝3。

∴b2＋c2＝4c，∴c2－4c＋3＝0,(c－3)（c－1)＝0，∴c＝3或c＝1.当c＝3时，a2＝12。

椭圆方程为错误!＋错误!＝1。

当c＝1时，a2＝4,椭圆方程为错误!＋错误!＝1。

【答案】x24＋错误!＝1或错误!＋错误!＝16.如果双曲线错误!－错误!＝1上的一点P到左焦点的距离是10，那么P到右准线的距离为________.【解析】由双曲线方程知a2＝16，b2＝9,故c2＝25，所以e＝错误!，由双曲线定义知P到右焦点的距离为10±8＝2或18，由圆锥曲线的统一定义知，P到右准线的距离为2×错误!＝错误!或18×错误!＝错误!。

[基础达标]1．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________．解析：由圆锥曲线的共同性质得MF d ＝e ＝42＝2，d 为点M 到右准线x ＝1的距离，则d＝2，所以MF ＝4.答案：42．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，右焦点为F ,右准线为l ，短轴的一个端点为B .设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2,若d 2＝6d 1，则椭圆C 的离心率为________．解析：依题意，d 2＝a 2c －c ＝b 2c .又BF ＝c 2＋b 2＝a ，所以d 1＝bc a .由已知可得b 2c ＝6·bc a，所以6c 2＝ab ，即6c 4＝a 2(a 2－c 2)，整理可得a 2＝3c 2，所以离心率e ＝c a ＝33.答案：333．已知椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到右准线的距离为10，则点P 到它的左焦点的距离为________．解析：设F 1，F 2分别为椭圆的左，右焦点，P 到左准线的距离为d 1，P 到右准线的距离为d 2＝10，由圆锥曲线的统一定义知，PF 2d 2＝c a ＝35，解得PF 2＝6，又PF 1＋PF 2＝2a ＝10，解得PF 1＝4，故P 到它的左焦点距离为4.答案：44．如果双曲线x 24－y 22＝1上一点P 到双曲线右焦点的距离是2，那么点P 到y 轴的距离是________．解析：由双曲线方程可知a ＝2，b ＝2，c ＝6，e ＝62，设F 1，F 2分别为双曲线的左，右焦点，设P 点坐标为(x ，y )，由已知条件知P 点在右支上，且PF 2＝ex －a ＝2，解得x ＝463.答案：4635．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，且它的一条准线与抛物线y 2＝4x 的准线重合，则此双曲线方程为________．解析：由题意得c a ＝3，a 2c ＝1，得a ＝3，c ＝3，则b 2＝6，所以此双曲线方程为x 23－y 26＝1.答案：x 23－y 26＝16．设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点，P 是其右准线上纵坐标为3c (c为半焦距)的点，且F 1F 2＝F 2P ，则椭圆的离心率是________．解析：如图有P (a2c，3c )，设右准线交x 轴于H 点，∵F 2P ＝F 1F 2＝2c ，且PH ＝3c ， 故∠PF 2H ＝60°，∴F 2H ＝c ，OH ＝a 2c ＝2c ⇒e 2＝12⇒e ＝22或－22(舍)．答案：227．设椭圆的左焦点为F ，AB 为椭圆中过点F 的弦，试分析以AB 为直径的圆与椭圆的左准线的位置关系．解：设M 为弦AB 的中点(即以AB 为直径的圆的圆心)，A 1，B 1，M 1分别是A 、M 、B 在准线l 上的射影(如图)．由圆锥曲线的统一定义得AB ＝AF ＋BF ＝e (AA 1＋BB 1)＝2eMM 1.∵0<e <1，∴AB <2MM 1，即AB2<MM 1.∴以AB 为直径的圆与椭圆的左准线相离．8．在椭圆x 225＋y 29＝1上求一点P ，使它到左焦点F 1的距离是它到右焦点F 2距离的2倍，试求点P 的坐标．解：由题意可设P 点坐标为(x 0，y 0)，由椭圆的方程x 225＋y 29＝1，可得a ＝5，b ＝3，c ＝4，离心率e ＝45.所以PF 1＝a ＋ex 0＝5＋45x 0，PF 2＝a －ex 0＝5－45x 0.又PF 1＝2PF 2，解得x 0＝2512，代入椭圆方程得y 0＝±1194，故点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫2512，±1194. [能力提升]1．已知椭圆x 225＋y216＝1外一点A (5,6)，l 为椭圆的左准线，P 为椭圆上动点，点P 到l的距离为d ，则P A ＋35d 的最小值为________．解析：如图，设F 为椭圆的左焦点，可知其坐标为F (－3,0)，根据圆锥曲线的统一定义有：PF d ＝e ＝35，即PF ＝35d ， 所以P A ＋35d ＝P A ＋PF ，可知当P ，F ，A 三点共线且P 在线段AF 上时，P A ＋PF 最小，最小值AF ＝10.故P A ＋35d 的最小值为10.答案：102．已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交椭圆C 于点D ，且BF →＝2FD →，则C 的离心率为________．解析：如图，BF ＝b 2＋c 2＝a ，作DD 1⊥y 轴于点D 1，则由BF →＝2FD →，得OF DD 1＝BF BD ＝23，所以DD 1＝32OF ＝32c ，即x D ＝3c 2，由圆锥曲线的统一定义得FD ＝e (a 2c －3c 2)＝a －3c 22a；又由BF ＝2FD ，得a ＝2a －3c2a，整理得3c 2＝a 2.解得e ＝－33(舍去)或e ＝33.答案：333．已知A ，B 为椭圆x 2a 2＋25y 29a 2＝1上的两点，F 2是椭圆右焦点，若AF 2＋BF 2＝85a ，AB的中点M 到椭圆的左准线的距离为32，试确定椭圆的方程．解：由椭圆的方程可得b ＝35a ，则c ＝45a ，e ＝45，两准线间的距离为52a ，设A ，B 两点到右准线的距离分别是d A ，d B ，则AF 2d A ＝BF 2d B ＝45，∴AF 2＋BF 2＝45(d A ＋d B )＝85a ，∴d A ＋d B ＝2a ，则AB 的中点M 到椭圆右准线的距离为a ，于是M 到左准线的距离为52a－a ＝32，解得a ＝1，故椭圆方程为x 2＋25y 29＝1.4．(创新题)已知椭圆x 225＋y 29＝1上不同的三点A (x 1，y 1)，B ⎝⎛⎭⎫4，95，C (x 2，y 2)与焦点F (4,0)的距离成等差数列．(1)求证：x 1＋x 2＝8；(2)若线段AC 的垂直平分线与x 轴交于点T ，求直线BT 的斜率．解：(1)证明：由已知得a ＝5，b ＝3，c ＝4，e ＝45.因为AF ＝a －ex 1＝5－45x 1，CF ＝a －ex 2＝5－45x 2，BF ＝5－45×4＝95，且AF ＋CF ＝2BF ，所以⎝⎛⎭⎫5－45x 1＋⎝⎛⎭⎫5－45x 2＝185，即x 1＋x 2＝8. (2)因为A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)在椭圆上，所以x 2125＋y 219＝1，① x 2225＋y 229＝1.② 由①－②得y 21－y 22＝－925(x 1＋x 2)(x 1－x 2) ＝－7225(x 1－x 2)．又因为线段AC 的中点为⎝⎛⎭⎪⎫4，y 1＋y 22，所以线段AC 的垂直平分线的方程为 y －y 1＋y 22＝－x 1－x 2y 1－y 2(x －4)．③又因为点T 在x 轴上，则设点T 的坐标为(x 0,0)， 代入③得x 0－4＝y 21－y 222(x 1－x 2)，所以x 0－4＝－3625.所以直线BT 的斜率k ＝－95x 0－4＝54.故直线BT 的斜率为54.。

课题：圆锥曲线单元复习---------解析几何中的定点与定值问题教材:苏教版《数学》（选修1-1）授课人：仪征市第二中学 俞仁宗一、教学习目标：1知识与技能：（1） 通过设点处理强化坐标运算，合理水消元手段；（2）熟悉定点问题的常见算处理方法，2过程与方法：掌握解决恒成立等问题的基本方法，培养学生的合理运算能力；3情感态度与价值观：深刻体会方程思想、转化思想的运用及强化学生对解题流程的分析及把控能力。

二、教学重点与难点：重点：定点与定值问题的常见方法；难点：合理消元手段、运算能力的培养。

三、教学方法与手段 :采用引导—发现式 , 合作--讨论式教学方法，配合多媒体、投影等辅助教学。

四教学过程问题1：在平面直角坐标系o 中，已知椭圆T 的方程为x22+y 2=1,设A,B,M 是椭圆T 上的三点（异于椭圆顶点），且存在锐角θ，使OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =cos θOA ⃗⃗⃗⃗⃗ sin θOB ⃗⃗⃗⃗⃗ 1求证：直线OA 与OB 的斜率之积为定值；2求OA 2OB 2的值。

1、学生合作交流；2、小组代表发言；3、学生总结。

小结：题型一、设点坐标强化坐标运算、整体运算、消元思想1、设曲线上的动点坐标，利用动点在曲线上进行坐标运算、以及整体运算、和消元思想。

变式训练:1、设M为双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0上的任意一点，则点M到双曲线的两条渐近线的距离之积为____________2、已知x212y24k1,k2k1∙k2X28y240,2是椭圆的一个顶点，过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点，设两直线的斜率分别为k1,k2,且k1+k2=8,求直线AB恒过定点的坐标。

1、学生合作交流；2、小组代表发言；3、学生总结。

小结：题型二、特值法（再证明）、设动直线方程、解动点坐标等方法处理定点问题2、通过设动直线方程再利用条件，寻找动直线中的字母关系（与b）；或者解出动点坐标，再求出动直线方程，通过化简求出定点；或者利用两个特殊位置先求出定点，再证明变式训练：在平面直角坐标系o中，椭圆C；x 218y29=1,过点M(0，−1)的动直线l与椭圆C交于A,B两点，试判断以AB为直径的圆是否恒过定点，说明理由。