优化赢在人教1高中数学选修精品课件3 抛物线1

(2)不同点： ①焦点在 x 轴上时，方程的右端为±2px，左端为 y2；焦点 在 y 轴上时，方程的右端为±2py，左端为 x2. ②开口方向与 x 轴(或 y 轴)的正半轴相同时，焦点在 x 轴(或 y 轴)正半轴上，方程右端取正号；开口方向与 x 轴(或 y 轴)的负 半轴相同时，焦点在 x 轴(或 y 轴)负半轴上，方程右端取负号．
_－__p2_，___0__
x2＝2py(p>0)
__0_，___p2__
x2＝－2py(p>0)
__0_，__－__p2__
准线方程
_x_＝__－__p2_
__x_＝__p2__ __y_＝__－__p2_ __y_＝__p2__
2.抛物线标准方程的特点 (1)是关于 x，y 的二元二次方程． (2)p 的几何意义是 焦点到准线 的距离．
(二)基本知能小试
1．抛物线 y2＝－8x 的焦点坐标是
()
A．(2,0)
B．(－2,0)
C．(4,0)
D．(－4,0)
解析：抛物线 y2＝－8x 的焦点在 x 轴的负半轴上，且p2＝2，
因此焦点坐标是(－2,0)．
答案：B
2．抛物线 y2＝8x 的焦点到准线的距离是
A．1
B．2
C．4
D．8
()
[析题建模]
解：(1)如图，以经过点 B 且垂直于 l(垂足为 K)的直线为 y 轴，线段 BK 的中点 O 为原点，建立直角坐标系 xOy，则 B(0,2)，A(2,4)． 因为曲线形公路 PQ 上任意一点到 B 地的距离等于到高铁线 l 的距离，所以 PQ 所在的曲线是以 B(0,2)为焦点，l 为准线的抛 物线． 设抛物线方程为 x2＝2py(p>0)，则 p＝4， 故曲线形公路 PQ 所在曲线的方程为 x2＝8y.

焦点的距离为 = +

,这一公式的应用会给我们求解抛物线上的点

到定点、定直线的距离有关的最值问题时带来方便.
典型例题
分析计算能力
典例3 设点是抛物线 = 上的一个动点.求点到(−, )的距离与点
到直线 = −的距离之和的最小值.
思路 当、、三点共线时,距离之和最小,由两点间的距离公式即可得解.
坐标,根据条件列出等式求解,有时需要依据条件进行转化.
利用抛物线的定义判断轨迹形状,求轨迹方程时,务必要认真审题,寻找题设中
的等量关系并转化为符合抛物线定义结构的形式,再利用抛物线的定义求解.
解题时要注重挖掘题目中的隐含条件,做出准确的判断,以防漏解而致错.
典型例题
推测解释能力、分析计算能力
典例5 平面上一动点到定点(, )的距离比点到轴的距离大1,求动点
语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题.
2.以抛物线为数学模型的实例很多,如拱桥、隧道、喷泉等,应用抛物线解决
问题主要体现在:①建立平面直角坐标系,求抛物线的标准方程;②利用已求方
程求点的坐标.
要点辨析
3.求解抛物线实际应用题的步骤
建系
建立适当的坐标系
假设
设出合适的抛物线标准方程
计算
准方程.
(2)要结合图形分析,灵活运用平面图形的性质简化运算.
典型例题
方程的右端取正号;开口方向与轴(或轴)的负半轴相同,即焦点在轴(或
轴)的负半轴上,方程的右端取负号.
要点辨析
1.若已知抛物线的焦点坐标或准线方程,则可设出抛物线的标准方程,求出
的值即可得解.若焦点位置无法确定,则需分类讨论.特别地,已知抛物线上一
点的坐标,一般能求出两个标准方程.

2
=

− .
2
新知探索
设(, )是抛物线上任意一点，点到准线的距离为.由抛物线的定义，抛物
l
线是点的集合= {||| = }.
l
因为|| =

2

2

2
( − )2 + 2 ， = | + |，

2
所以 ( − )2 + 2 = | + |.
将上式两边同时平方并化简，得 2 = 2( > 0).
课堂小结
2.抛物线标准方程的几种形式：
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
2 = 2( > 0)

( , 0)
2

=−
2
2 = −2(
> 0)

(− , 0)
2

=
2
课堂小结
2.抛物线标准方程的几种形式：
图形
标准方程
2
= 2( > 0)
2
= −2(
> 0)
焦点坐标
因为点(−4, 0 )在抛物线上，所以16 = −50 ，
即0 =
16
− ，所以的长为5
5
所以管柱的长为1.8 .
−
16
5
= 1.8().
课堂小结
1.抛物线的定义：
(1)定义：平面内与一个定点和一条定直线(不经过点)的距离相等的点
的轨迹叫做抛物线.
(2)焦点：定点.
(3)准线：定直线.
16
16
2
所以16 = −2 × (−5)，2 = ，所以抛物线方程为 = − (−4 ≤ ≤ 4).

(3)令 x＝0 得 y＝－5；令 y＝0 得 x＝－15. ∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)． ∴所求抛物线的标准方程为 x2＝－20y 或 y2＝－60x.
1．用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
2．求抛物线的标准方程时需注意的三个问题 (1)把握开口方向与方程一次项系数的对应关系； (2)当抛物线的位置没有确定时，可设方程为 y2＝mx(m≠0)或 x2 ＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论不同情况的次数； (3)注意 p 与p2的几何意义．
()
(3)以(0,1)为焦点的抛物线的标准方程为 x2＝4y．
()
[提示] (1)× (2)× (3)√
2．抛物线 y2＝8x 的焦点到准线的距离是( )
A．1
B．2
C．4
D．8
C [由 y2＝8x 得 p＝4，即焦点到准线的距离为 4.]
3．抛物线 x＝4y2 的准线方程是( )
A．y＝12
B．y＝－1
[跟进训练] 1．根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： (1)准线方程为 y＝23； (2)焦点在 y 轴上，焦点到准线的距离为 5； (3)经过点(－3，－1)； (4)焦点为直线 3x－4y－12＝0 与坐标轴的交点．
[解] (1)因为抛物线的准线交 y 轴于正半轴，且p2＝23，则 p＝43， 所以所求抛物线的标准方程为 x2＝－83y.
焦点坐标
__F__0_，_p2___
准线方程
__y_＝_－__p2__
_x_2＝__－__2_p_y_(p_>_0_)_
__F_0_，__－_2_p__ __y_＝__p2___
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹一定

当且仅当

∴△ 与△

,即


=
=
时,等号成立.


面积之和的最小值是
.




+


≥
×

=

,

9.已知抛物线 2 = 2( > 0)的焦点为,为坐标原点,为抛物线上一点,且
|| = 4||,△ 的面积为4 3,则抛物线方程为() B

，即直线的斜率为±


或

= −
，故C正确；
(−, )，(−, )，∴ ⋅ = + = − = ，从而∠ = ∘ ，故
A正确；
( + , )，
∴ ⋅ = ( + ) + − ⋅ ( + ) + = + =
在第一象限,则(, ),联立൝
得


= ,
△
所以
△
=
||| |
||| |
= .
5.设抛物线 2 = 2( > 0)的焦点为，点(0,2).若线段的中点在抛物线上，则
3 2
2
=____，到该抛物线准线的距离为____.
解得 = ,∴ = .

(

) = ,
2
14.直线过抛物线: 2 = 2( > 0)的焦点(1,0),且与交于,两点,则 =___,
1
1
1
+
=___.
||
||

[解析]由题意知

= ,从而 = ,

(1)椭圆的离心率范围为0<e<1 ;(2) 双曲线的离心率的范围是e>1 ;(3)当e=1 时，它的轨迹是什么? 抛物线我们已经学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线，今天我们类比椭圆、 双曲线的研究过程与方法，研究另一类圆锥曲线——抛物线.
情景导入
02抛物线及其标准方程 P A R T 0 N E
抛物线及其标准方程
,准线为
为F
抛物线及其标准方程 从上述过程可以看到，抛物线上任意一点的坐标(x,y)都是方程①的解，以方 程①的解为坐标的点(x,y)与抛物线的焦点 的距离和它到准线 的 距离相等，即以方程①的解为坐标的点都在抛物线上，我们把方程①叫做抛物线 的标准方程，它表示焦点在x轴正半轴上，焦点是 ,准线是 的抛物线 .
将点(一2,3)代入抛物线方程y 得
抛物线及其标准方程
∴满足条件的抛物线的标准方程为(2)直线x—y+2=0 与两坐标轴的交点为(一2,0),(0,2). 若抛物线的焦点为(一2,0),设其方程为y²=—2px(p>0).
抛物线及其标准方程
抛物线及其标准方程 在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系我们得到了不同形 式的标准方程，抛物线的标准方程有哪些不同的形式?请探究之后填写下表. 图像 标准方程 焦点坐标 准线方程 y²=2px(p>0) F(2,0) x=-2 y²=-2px(p>0) F(-2,0) x=2 x²=2py(p>0) F(0,2) y=-2 x²=-2py(p>0) F(0,-2 y=2
抛物线及其标准方程
抛物线及其标准方程 求轨迹方程C P_ 建立直角坐标系?使方程形式足够简洁 !
设M(x,y) 是抛物线上一点，则M 到F的距离为则M到直线l的距离为所以上式两边平方，整理可得y²= 2px ①

则|PF|＝x0＋p2＝x0＋3＝9， ∴x0＝6，∴y0＝±6 2.
• 4．分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：
• (1)准线方程为2y＋4＝0，________.
• (2)过点(3，－4)，________.
• (3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上，________.
[答案] (1)x2＝8y 或 y2＝－60x
[解析] ∵p2＝7，∴p＝14， ∵抛物线的焦点在 x 轴上的正半轴上， ∴抛物线的标准方程为 y2＝28x.
• 3．在抛物线y2＝12x上，与焦点的距离等于9的点的坐标是 ________．
[答案] (6，±6 2)
[解析] 设抛物线的焦点 F(3,0)，准线 x＝－3，抛物线上 的点 P，满足|PF|＝9，设 P(x0，y0)，
• 1．平面内与一个定点F和一条定直线l(定点不在定直线 距上离)_相__等_______的点的轨迹叫做抛物线定，点__F________叫做抛物线的 焦点定，直__线__l ______叫做抛物线的准线．
• 2．从定义可以看出，抛物线不是双曲线的一支，双曲线有渐近线， 而抛物线没有．
• 对抛物线定义的理解应注意定点不在定直线上，否则，动点的轨 迹是一直条线________．
• [方法规律总结] 求抛物线的焦点及准线的步骤： • (1)把解析式化为抛物线标准方程形式； • (2)明确抛物线开口方向； • (3)求出抛物线标准方程中参数p的值； • (4)写出抛物线的焦点坐标或准线方程．
跟踪训练
(1)抛物线 C：y＝－x82的焦点坐标为________； (2)抛物线 x2＝－y 的准线方程为________． [答案] (1)(0，－2) (2)y＝14
• (2)根据动圆过点A，且与直线l相切，可知圆心到点A的距离等于 它到直线l的距离，由抛物线定义知动圆圆心的轨迹是抛物线．

x p
y02
2 p
.
2p 2
联立可得点B的纵坐标为y
p2
.
y0
DB
所以DB// x轴。
例4.已知拋物線y=x2,動弦AB的長為2，求AB中 點縱坐標的最小值。
y
M
AF
o
解：设A(x , y ), B(x y ), AB中点M (x, y)
11
22
B
2 MN
AD BC ,
MN
p y 1 y,
证明：以抛物线的对称 轴为x轴，它的顶点为原点，
建立直角坐标系。设抛 物线的方程为 y2 2 px,
点A的坐标为( y02 2p
抛物线的准线是
, y0),则直线OA的方程为y x p
2p y0
x,
y
A
2 联立可得点D的纵坐标为y
p2
.
因为点F的坐标是(
p
y0
,0),所以直线A
F的
2
OF
x
方程为 y y0
焦點F，且與拋物線相交於A，B兩點，求線 段AB的長。
解这题,你有什么方法呢?
法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大);
法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般);
法三:设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定理,计 算弦长.
例2、已知過拋物線 y2 2 px( p 0) 的焦點F的
直線交拋物線於 A(x1, y1)、B(x2, y2)兩點。
（1）x1 x2 是否為定值？y1 y2 呢？
（2）|
1 FA
|
|
1 FB
|
是否為定值？
y
A ( x1, y1)

D.8
解析 本题在理解抛物线的性质以及椭圆的性质的基础上,列方程计算求解.
由
= ( > )知抛物线的焦点坐标是

而椭圆


则

=
+


= 的焦点坐标为(± , ),
,故 = .答案.

,

,
题型2 抛物线的综合应用
典例2、[推测解释能力、分析计算能力]已知椭圆的中心在坐标原


∴ || ⋅ + = ||, || =

,同理||
−
=

,
+
题型4 抛物线焦点弦问题
典例4、 [简单问题解决能力]已知为抛物线: = 的焦点,过作
两条互相垂直的直线 , ,直线 与交于、两点,直线 与交于
可得 − + = ,
= ,
所以 + = ,从而− + = ,故 = −, = .
代入的方程得 = , =

.故||

=

.

人教A版同步教材名师课件
抛物线
---典型例题
考情分析
小题考查圆锥曲线的定义、几何图形、标准方程及简单的几何性质,
大题考查圆锥曲线与直线或圆的联立问题,考查圆锥曲线与其他知识
(如函数、数列、不等式、向量、导数等)相结合的问题等,在备考中
应关注最值、定点或定值问题.
抛物线的定义及其标准方程是高考每年必考之点,有时单独考查,有

为 的直线与的交点为, ,与轴的交点为.

(1)若|| + || = ,求的方程;
(2)若 = ,求||.

6
p 4
[由抛物线的方程得2＝2＝2，再根据抛物线的定义，
可知所求距离为 4＋2＝6.]
4．如图是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4
米．水位下降 1 米后，水面宽________米．
2 6
[建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为 x2＝－
2py，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得 p＝1，所以 x2＝－2y.当 y
(2)已知抛物线的焦点在 y 轴上，可设方程为 x2＝2my(m≠0)，由焦点
到准线的距离为 5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两
条，它们的标准方程分别为 x2＝10y 和 x2＝－10y.
(3)∵点(－3，－1)在第三象限，
∴设所求抛物线的标准方程为
y2＝－2px(p>0)或 x2＝－2py(p>0)．
(－9)＝10，得 p＝2，故抛物线方程为 y2＝－4x.
由点 M(－9，y)在抛物线上，得 y＝±6，故点 M 的坐标为(－9,6)或(－
9，－6)．
6.若位于 y 轴右侧的动点 M 到
1


F2，0的距离比它到


1
y 轴的距离大2.
求点 M 的轨迹方程．
[解]由于位于 y 轴右侧的动点 M 到
题，并求出抛物线的标准方程。
如图所示，以直线 为 轴，线段的垂直平分线为轴，建立
平面直角坐标系，此时，抛物线的焦点为F

,0
2
设M , 是抛物线上一点，则M到F的距离为
=
( −
2
) + 2 ,
2
则M到直线的距离为 +