河北省永年县第一中学2018学年高二数学寒假作业三：不等式 Word版含答案

2018届高三数学寒假作业 综合试卷（3）数学Ⅰ满分160分，考试时间120分钟一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知集合{1,}A a =，{1,3,4}B =，且{1,3}A B = ，则实数a 的值为 ．2．i 是虚数单位，复数z 满足3ii 4iz -=，则||z ＝ ． 3．对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为200， 右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长 度在区间[25，30）的为一等品，在区间[20，25）和[30，35）的为 二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为 ．4．某学校高三有A ，B 两个自习教室，甲、乙、丙三名同学随机选择其中一个 教室自习，则他们在同一自习教室上自习的概率为 ．5．执行如图所示的流程图，会输出一列数，则这列数中的第3个数是 ．6．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x +10，且它的一个焦点在直线l 上，则双曲线C 的方程为 ．7．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S 3－3S 2＝12，则数列{a n }的公差是 ． 8．已知一个圆锥的底面积为2π，侧面积为4π，则该圆锥的体积为 ． 9．在平面直角坐标系中，过原点O 的直线l 与曲线2ex y -=交于不同的两点A ，B ，分别过A ，B 作x 轴的垂线，与曲线y ＝ln x 分别交于点C ，D ，则直线CD 的斜率为 ． 10．若cos(π6－θ)＝33，则cos(5π6＋θ)－sin 2(θ－π6)＝ ．11．在△ABC 中，已知AC =4，C =4π，B ∈(4π，2π)，点D 在边BC 上，且AD =BD =3，则AB AD ⋅ = ．12．已知圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，直线l ：34170x y +-=．若在直线l 上任取一点M 作圆C 的切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ，则AB 的长度取最小值时直线AB 的方程为 ．13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2A C =，2c =，244a b =-，则a ＝ ．14．已知函数2+1, 1,()(), 1,a x x f x x a x ⎧-⎪=⎨->⎪⎩≤ 函数()2()g x f x =- ，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则实数a 的取值范围是 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 已知向量a ＝3(sin ,)4x ，b ＝(cos x ，－1)．（1）当a ∥b 时，求cos 2x －sin 2x 的值；（2）设函数f (x )＝2(a ＋b )·b ，已知3()24f α=，(,)2απ∈π，求sin α的值．16．（本小题满分14分）已知△ABD 和△BCD 是两个直角三角形，2BAD BDC π∠=∠=，E 、F 分别是边AB 、AD 的中点，现将△ABD 沿BD 边折起到A 1BD 的位置，如图所示，使平面A 1BD ⊥平面BCD ． （1）求证：EF ∥平面BCD ；（2）求证：平面A 1BD ⊥平面A 1CD ；（3）请你判断，A 1C 与BD 是否有可能垂直，做出判断并写明理由．E 17． (本小题满分14分) 如图，有一块矩形草坪ABCD，AB =100米，BC =三条小路OE 、EF 和OF ，要求O 是AB 的中点，点E 在边BC 上，点F 在边AD 上，且∠EOF =90°； （1）设∠BOE =α，试求OEF ∆的周长l 关于α的函数解析式，并求出此函数的定义域；（2）经核算，三条路每米铺设费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用．18．（本小题满分16分）椭圆M ：22221(0)x y a b ab+=>>的焦距为(0,2)P 关于直线y x =-的对称点在椭圆M 上．（1）求椭圆M 的方程；（2）如图，椭圆M 的上、下顶点分别为A ，B ，过点P 的直线l 与椭圆M 相交于两个不同的点C ，D ．①求OC OD ⋅的取值范围；②当AD 与BC 相交于点Q 时，试问：点Q 的纵坐标是否是定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．19．（本小题满分16分）已知函数()1e xaf x x =-+（a ∈R ，e 为自然对数的底数) ． （1）若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值； （2）求函数f (x )的极值；（3）当a ＝1的值时，若直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )没有公共点，求k 的最大值．20．（本小题满分16分）已知数列{a n }满足a 1＝a （a ＞0，a ∈N *），a 1＋a 2＋…＋a n －pa n ＋1＝0（p ≠0，p ≠－1，n ∈N *）．（1）求数列{a n }的通项公式a n ；（2）若对每一个正整数k ，若将a k ＋1，a k ＋2，a k ＋3按从小到大的顺序排列后，此三项均能构成等差数列，且公差为d k ．①求p 的值及对应的数列{d k }．②记S k 为数列{d k }的前k 项和，问是否存在a ，使得S k ＜30对任意正整数k 恒成立？若存在，求出a 的最大值；若不存在，请说明理由．数学Ⅱ（附加题）满分40分 考试时间30分钟21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，每小题10分．若多做，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． B ．（选修4－2：矩阵与变换） 已知矩阵1235-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ． （1）求逆矩阵A －1； （2）若矩阵X 满足AX ＝31⎡⎤⎢⎥⎣⎦，试求矩阵X ．C ．选修4－4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．若直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ-=（1）把直线l 的极坐标方程化为直角坐标系方程；（2）已知P 为椭圆C ：22139x y +=上一点，求P 到直线l 的距离的最小值．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是31，每次测试时间间隔恰当，每次测试通过与否互相独立． （1）求该学生考上大学的概率．（2）如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为X ，求X 的分布列及X 的数学期望．23．（本小题满分10分）【16高考新课标】已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1、l 2分别交C 于A 、B 两点，交C 的准线于P 、Q 两点．（1）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；（2）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．2018届高三数学寒假作业 综合试卷（4）答案数学Ⅰ满分160分，考试时间120分钟一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知集合{1,}A a =，{1,3,4}B =，且{1,3}A B = ，则实数a 的值为 ．3解：由{1,3}A B = 可知1∈A 且3∈A ，有a ＝3．2．i 是虚数单位，复数z 满足3ii 4iz -=，则||z ＝ ．5 解：由题意得24i 3i 43i z =+=-+，那么||5z =．3．对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为200，右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长 度在区间[25，30）的为一等品，在区间[20，25）和[30，35）的为 二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为 ．50 解：三等品总数[1(0,050.03750.0625)5]20050n =-++⨯⨯=．4．某学校高三有A ，B 两个自习教室，甲、乙、丙三名同学随机选择其中一个 教室自习，则他们在同一自习教室上自习的概率为 ．14解：22222814P ==⨯⨯=． 5．执行如图所示的流程图，会输出一列数，则这列数中的第3个数是 ．30解：A ＝3，N ＝1，输出3；A ＝6，N ＝2，输出6；A ＝30，N ＝3，输出30；则这列数中的第3个数是30．6．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x +10，且它的一个焦点在直线l 上，则双曲线C 的方程为 ．221520x y -=解：由双曲线的渐近线方程by x a =±可知b ＝2a ；又由题意c ＝5，那么a ，双曲线方程为221520x y -=． 7．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S 3－3S 2＝12，则数列{a n }的公差是 ．4解：方法1：2S 3－3S 2=112(33)3(2)312a d a d d +-+==，则d ＝4．方法2：因为112n S n a d n -=+，则32232S S -=2d =，得到d ＝4．8．已知一个圆锥的底面积为2π，侧面积为4π，则该圆锥的体积为 ．解：设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则22,4r rl π=π=，解得r l =h =以21133V r h=π=π⨯=．9．在平面直角坐标系中，过原点O的直线l与曲线2e xy-=交于不同的两点A，B，分别过A，B作x轴的垂线，与曲线y＝ln x分别交于点C，D，则直线CD的斜率为．1解：设121(,)xA x-e，B222(,)xx-e，则由点O，A，B共线可知122212x xx x--=e e，可化为1212x xxx-=e，得到1122lnxx xx-=，故有11221212lnln lnCDxx x xkx x x x-==--1=．10．若cos(π6－θ)＝33，则cos(5π6＋θ)－sin2(θ－π6)＝．设t=π6－θ，有cos t＝33．那么cos(5π6＋θ)－sin2(θ－π6)＝cos(π t) sin2 t＝ 2+33．11．在△ABC中，已知AC=4，C=4π，B∈(4π，2π)，点D在边BC上，且AD=BD=3，则AB AD⋅=．解：如图，AD=BD，∴∠DAB=∠B；∵B∈(4π，2π)，∴0＜∠BDA＜2π．在△ACD中，AC=4，AD=3，C=4π，由正弦定理得：sin sinAD ACC ADC=∠4sin ADC=∠，∴sin∠ADC，∴cos∠BDA＝13．∴21=()()3393AB AD DB DA DA DB DA DA⋅-⋅-=-⋅+=-⨯⨯+＝6．12．已知圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，直线l：34170x y+-=．若在直线l上任取一点M作圆C的切线MA，MB，切点分别为A，B，则AB的长度取最小值时直线AB的方程为．68190x y+-=解：当AB的长度最小时，圆心角∠ACB最小，设为2θ，则由cos ACCMθ=1CM=可知当θ最小时，cosθ最大，即CM最小，那么，CM⊥l，可知43AB lk k==-，设直线AB的方程为34x y m+=．又由CM＝2可知，点C到直线AB的距离为12，即34125m+-=，解得192m=或92；经检验192m=，则直线AB的方程为68190x y+-=．13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2A C=，2c=，244a b=-，则a＝．解：在△ABC中，由余弦定理24444cos2b b b C-=+-，即24(1c o s2)80b b C-++=，故228cos 80b b C -+=2sin C=，即cos C =，所以2(1)802b b b --+=，解得4b =，所以24412a b =-=，a =14．已知函数2+1, 1,()(), 1,a x x f x x a x ⎧-⎪=⎨->⎪⎩≤ 函数()2()g x f x =- ，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则实数a 的取值范围是 ．解：由题意当()()y f x g x =-[]2()10f x =-=时，即方程()1f x =有4个解． 又由函数1y a x =-+与函数2()y x a =-的大致形状可知，直线1y =与函数2+1, 1,()(), 1,a x x f x x a x ⎧-⎪=⎨->⎪⎩≤的左右两支曲线都有两个交点，如下图示． 那么，有2(1)1,(1)1,(1)1a f f ->->⎧⎪⎨⎪⎩≤ ，即20,1,21,a a a a ><>-⎧⎪⎨⎪⎩或≤解得23a <≤．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知向量a ＝3(sin ,)4x ，b ＝(cos x ，－1)．（1）当a ∥b 时，求cos 2x －sin 2x 的值； （2）设函数f (x )＝2(a ＋b )·b ，已知3()24f α=，(,)2απ∈π，求sin α的值．解：（1）因为a ∥b ，所以34cos x ＋sin x ＝0，所以tan x ＝－34．故cos 2x －sin 2x ＝cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝1－2tan x 1＋tan 2x ＝85．（2）223()2()222sin cos 2(cos 1)2f x x x x =+⋅=⋅+=-++a b b a b b 3sin 2cos22x x =++3)42x π++．因为3()24f α=，所以33())2424f ααπ++=，即sin()4απ+=又(,)2απ∈π，所以3444αππ5π<+<，故cos()4απ+=，所以sin sin[()])cos())4444ααααππππ=+-=+-+=+=．E16．（本小题满分14分）已知△ABD 和△BCD 是两个直角三角形，2BAD BDC π∠=∠=，E 、F 分别是边AB 、AD 的中点，现将△ABD 沿BD 边折起到A 1BD 的位置，如图所示，使平面A 1BD ⊥平面BCD ． （1）求证：EF ∥平面BCD ； （2）求证：平面A 1BD ⊥平面A 1CD ；（3）请你判断，A 1C 与BD 是否有可能垂直，做出判断并写明理由． 解：（1）证明：因为E 、F 分别是边AB 、AD 的中点， 所以EF ∥BD ．因为EF ⊄平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，所以EF ∥平面BCD ． （2）证明：因为平面A 1BD ⊥平面BCD ， 平面A 1BD ∩平面BCD ＝BD ， CD ⊂平面BCD ， CD ⊥BD ，所以CD ⊥平面A 1BD ．因为A 1B ⊂平面A 1BD ，所以CD ⊥A 1B ．因为A 1B ⊥A 1D ，A 1D ∩CD ＝D ，所以A 1B ⊥平面A 1CD ． 因为A 1B ⊂平面A 1BC ，所以平面A 1BC ⊥平面A 1CD ． （3）解：结论： A 1C 与BD 不可能垂直．理由如下：假设A 1C ⊥BD ，因为CD ⊥BD ，A 1C ∩CD ＝C ， 所以BD ⊥平面A 1CD ， 因为A 1D ⊂平面A 1CD ，所以BD ⊥A 1D 与A 1B ⊥A 1D 矛盾． 故A 1C 与BD 不可能垂直．17． (本小题满分14分) 如图，有一块矩形草坪ABCD ，AB =100米，BC =三条小路OE 、EF 和OF ，要求O 是AB 的中点，点E 在边BC 上，点F 在边AD 上，且∠EOF =90°； （1）设∠BOE =α，试求OEF ∆的周长l 关于α的函数解析式，并求出此函数的定义域；（2）经核算，三条路每米铺设费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用． 解：（1）Rt △BOE 中，OB =50， ∠B =90°，∠BOE =α，∴OE =50cos α． Rt △AOF 中，OA =50， ∠A =90°，∠AFO =α，∴OF =50sin α．又∠EOF =90°，∴EF==50cos sin αα， ∴505050cos sin cos sin l OE OF EF αααα=++=++即50(sin cos 1)cos sin l αααα++=．当点F 在点D 时，这时角α最小，求得此时α=π6； 当点E 在C 点时，这时角α最大，求得此时α=π3．故此函数的定义域为ππ[,]63．（2）由题意知，要求铺路总费用最低，只要求△OEF 的周长l 的最小值即可．由（1）得，50(sin cos 1)cos sin l αααα++=，ππ[,]63α∈设sin cos t αα+=，则21sin cos 2t αα-⋅=，∴250(sin cos 1)50(1)1001cos sin 12t l t t αααα+++===--． 由，5ππ7π12412α≤+≤t ≤≤11t ≤-≤，1111t ≤-，当π4α=，即BE=50时，min 1)l =，所以当BE =AE =50米时，铺路总费用最低，最低总费用为1)元．18．（本小题满分16分）椭圆M ：22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为(0,2)P 关于直线y x =-的对称点在椭圆M 上． （1）求椭圆M 的方程；（2）如图，椭圆M 的上、下顶点分别为A ，B ，过点P 的直线l 与椭圆M 相交于两个不同的点C ，D ．①求OC OD ⋅的取值范围；②当AD 与BC 相交于点Q 时，试问：点Q 的纵坐标是否是定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．解：（1）因为点(0,2)P 关于直线y x =-的对称点为(2,0)-， 且(2,0)-在椭圆M 上，所以2a =．又2c =c =，则222431b a c =-=-=．所以椭圆M 的方程为2214x y +=．（2）①当直线l 的斜率不存在时，(0,1),(0,1)C D -，所以OC OD ⋅＝－1．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2y kx =+，1122(,),(,)C x y D x y ． 222,1,4y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得22(14)16120k x kx +++=，由0∆>，可得243k >，且1212221612,1414k x x x x k k +=-=++， 所以1212OC OD x x y y ⋅=+21212217(1)2()4114k x x k x x k =++++=-++，所以1314OC OD -<⋅< ，综上13[1,)4OC OD ⋅∈- ．②由题意得，AD ：2211y y x x -=+，BC ：1111y y x x +=-， 联立方程组，消去x 得121221233kx x x x y x x ++=-，又121243()kx x x x =-+，解得12y =-．故点Q 的纵坐标为定值12． 19．（本小题满分16分）已知函数()1e xaf x x =-+（a ∈R ，e 为自然对数的底数) ． （1）若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值；（2）求函数f (x )的极值；（3）当a ＝1的值时，若直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )没有公共点，求k 的最大值． 解：（1）由()1e xa f x x =-+，得()1e x a f x '=-．又曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，得f '(x )＝0，即10ea-=，解得a ＝e ． （2）()1e xaf x '=-． ①当a ≤0时，f '(x )＞0，f (x )为(－∞，+∞)上的增函数，所以函数f (x )无极值． ②当a ＞0时，令f '(x )＝0，得e x ＝a ，x ＝ln a ． x ∈(－∞，ln a )，f '(x )＜0；x ∈( ln a ，+∞)，f '(x )＞0．所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在( ln a ，+∞)上单调递增，故f (x )在x ＝ln a 处取得极小值，且极小值为f (ln a )＝ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极小值；当a ＞0， f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，无极大值．（3）当a ＝1时，1()1e x f x x =-+ 令()()()()111e xg x f x kx k x =--=-+， 则直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )没有公共点， 等价于方程g (x )＝0在R 上没有实数解． 假设k ＞1，此时g (0)＝1＞1，1111()101e k g k -=-+<-， 又函数g (x )的图象连续不断，由零点存在定理，可知g (x )＝0在R 上至少有一解，与“方程g (x )＝0在R 上没有实数解”矛盾，故k ≤1．又k ＝1时，()1e xg x =＞0，知方程g (x )＝0在R 上没有实数解． 所以k 的最大值为1． 解法二： （1）（2）同解法一． （3）当a ＝1时，1()1e xf x x =-+． 直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )没有公共点，等价于关于x 的方程111e xkx x -=-+在R 上没有实数解， 即关于x 的方程：()11ex k x -=（*）在R 上没有实数解． ①当k ＝1时，方程（*）可化为10e x =，在R 上没有实数解． ②当k ≠0时，方程（*）化为1e 1x x k =-．令g (x )＝x e x ，则有g '(x )＝(1+x )e x x e x ． 令g '(x )＝0，得x ＝－1， 当x 变化时，如下表：当x ＝－1时，min 1()eg x =-，同时当x 趋于+∞时，g (x )趋于+∞， 从而g (x )的取值范围为[1e -，+∞)．所以当11(,)1e k ∈-∞--时，方程（*）无实数解， 解得k 的取值范围是(1－e ，1)．综上，得k 的最大值为1．20．（本小题满分16分）已知数列{a n }满足a 1＝a （a ＞0，a ∈N *），a 1＋a 2＋…＋a n －pa n ＋1＝0（p ≠0，p ≠－1，n ∈N *）．（1）求数列{a n }的通项公式a n ；（2）若对每一个正整数k ，若将a k ＋1，a k ＋2，a k ＋3按从小到大的顺序排列后，此三项均能构成等差数列，且公差为d k ．①求p 的值及对应的数列{d k }．②记S k 为数列{d k }的前k 项和，问是否存在a ，使得S k ＜30对任意正整数k 恒成立？若存在，求出a 的最大值；若不存在，请说明理由．解：（1）因为a 1＋a 2＋…＋a n －pa n ＋1＝0，所以n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1－pa n ＝0， 两式相减，得a n ＋1a n ＝p ＋1p (n ≥2)，故数列{a n }从第二项起是公比为p ＋1p 的等比数列．又当n ＝1时，a 1－pa 2＝0，解得a 2＝ap ，从而a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n ＝1 ，a p ⎝⎛⎭⎫p ＋1p n －2 ，n ≥2 .（2）①由（1）得a k ＋1＝a p ⎝⎛⎭⎫p ＋1p k －1， a k ＋2＝a p ⎝⎛⎭⎫p ＋1p k ，a k ＋3＝a p ⎝⎛⎭⎫p ＋1p k ＋1，若a k ＋1为等差中项，则2a k ＋1＝a k ＋2＋a k ＋3，即p ＋1p ＝1或p ＋1p ＝－2，解得p ＝－13；此时a k ＋1＝－3a (－2)k －1，a k ＋2＝－3a (－2)k ，所以d k ＝|a k ＋1－a k ＋2|＝9a ·2k －1．若a k ＋2为等差中项，则2a k ＋2＝a k ＋1＋a k ＋3，即p ＋1p＝1，此时无解；若a k ＋3为等差中项，则2a k ＋3＝a k ＋1＋a k ＋2，即p ＋1p ＝1或p ＋1p ＝－12，解得p ＝－23，此时a k ＋1＝－3a 2⎝⎛⎭⎫－12k －1，a k ＋3＝－3a 2⎝⎛⎭⎫－12k ＋1，所以d k ＝|a k ＋1－a k ＋3|＝9a 8·⎝⎛⎭⎫12k －1． 综上所述，p ＝－13，d k ＝9a ·2k －1或p ＝－23， d k ＝9a 8·⎝⎛⎭⎫12k －1．②当p ＝－13时，S k ＝9a (2k －1)．则由S k ＜30，得a ＜103 2k－1， 当k ≥3时，103 2k－1 ＜1，所以必定有a ＜1，所以不存在这样的最大正整数． 当p ＝－23时，S k ＝9a 4⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12k ， 则由S k ＜30，得a ＜403⎣⎡1－⎝⎛⎭⎫12k ]，因为403⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12k ＞403，所以a ＝13满足S k ＜30恒成立；但当a ＝14时，存在k ＝5，使得a ＞403⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12k 即S k ＜30，所以此时满足题意的最大正整数a ＝13．数学Ⅱ（附加题）满分40分 考试时间30分钟21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，每小题10分．若多做，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． B ．（选修4－2：矩阵与变换） 已知矩阵1235-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ． （1）求逆矩阵A －1； （2）若矩阵X 满足AX ＝31⎡⎤⎢⎥⎣⎦，试求矩阵X ．解：（1）设A －1＝a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1235-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦=325325a b a b c d a d +--⎡⎤⎢⎥+--⎣⎦=1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦． ∴3125030251a b a b c d c d +=⎧⎪--=⎪⎨+=⎪⎪--=⎩解得5231a b c d =-⎧⎪=⎪⎨=-⎪⎪=⎩∴A －1＝5231-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦, （2）135231331118---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦X A ．C ．选修4－4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．若直线l的极坐标方程为sin()4πρθ-=（1）把直线l 的极坐标方程化为直角坐标系方程；（2）已知P 为椭圆C ：22139x y +=上一点，求P 到直线l 的距离的最小值．解：（1）直线l的极坐标方程sin 4ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,sin cos θρθ= 即sin cos 4ρθρθ-=,所以直线l 的直角坐标方程为40x y -+=;（2）P 为椭圆2213x y C +=:上一点,设3sin )P αα,,其中[02)α∈π,,则P 到直线l的距离d =所以当0cos(60)1α+=-时,d 的最小值为【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是31，每次测试时间间隔恰当，每次测试通过与否互相独立． （1）求该学生考上大学的概率．（2）如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为X ，求X 的分布列及X 的数学期望． 解：（1）记“该生考上大学”的事件为事件A ，其对立事件为A ，则 1455122()C ()()()333P A =+1455122131()1[C ()()()]333243P A ∴=-⋅+=- （2）参加测试次数X 的可能取值为2，3，4，5．P (X ＝2)＝211()39=， 121214(3)C 33327P X ==⋅⋅⋅=， 1231214(4)C ()33327P X ==⋅⋅⋅=， 1344122(5)C ()()333P X ==⋅⋅++1627． 故X 的分布列为：1441638()234592727279E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．答：该生考上大学的概率为131243；所求数学期望是389．23．（本小题满分10分）【16高考新课标】已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1、l 2分别交C 于A 、B 两点，交C 的准线于P 、Q 两点．（1）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；（2）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程． 解：由题设F (12，0)．设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0， 且A (22a ，0)，B (22b ，b )，P (－12，a )，Q (－12，b )，R (－12，2a b +)．记过A 、B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a+b )y +ab ＝0． （1）由于F 点在线段AB 上，故1+ab ＝0． 记AR 得斜率为k 1，FQ 得斜率为k 2，则k 1＝22211a b a b abb k a a ab a a---====-=+-， ∴AR ∥FQ ．（2）设与x 轴的交点为D (x 1，0)， 则2,2121211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=--=-=∆∆． 由题设可得221211ba x ab -=--，所以01=x （舍去），11=x . 设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )． 当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(12≠-=+x x yb a .而y ba =+2，所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为12-=x y .。

2018年高二数学寒假作业（人教A 版必修5）不等式一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若011<<b a ，则下列不等式：①a ＋b<ab ②|a|>|b| ③a<b ④2>+ba ab 中，正确的不等式有( ) A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．③④2．已知a > 0，b > 0，a 、b 的等差中项是12，且11x a y b a b =+=+，，则x + y 的最小值是( ) A ．6 B ．5 C ．4D ．3 3．设M ＝2a(a －2)＋3，N ＝(a －1)(a －3)，a ∈R ，则有( )A ．M ＞NB ．M ≥NC ．M ＜ND ．M ≤N4．若)0,0(1>>=+b a b a ，则ba 11+ 的最小值为( ) A. 2 B. 4 C. 8 D. 165．下列命题中正确的是( )A ．若a b >，则22ac bc >B ．若0ab >，a b >，则11a b< C ．若a b >，c d >，则a c b d ->-D ．若a b >，c d <，则a b c d > 6．实数,a b 满足01a b <<<，则下列不等式正确的是( )A ．b a a b <B ．b b a b --<C ．a b a b --<D ．b b b a < 7．若方程ax 2+bx+c=0的两实根为x 1、x 2,集合S={x|x>x 1},T={x|x>x 2},P={x|x<x 1},Q={x|x<x 2},则不等式ax 2+bx+c>0(a>0)的解集为( )A ．(S ∪T)∩(P ∪Q)B ．(S ∩T)∩(P ∩Q)C ．(S ∪T)∪(P ∪Q)D ． (S ∩T)∪(P ∩Q)8．函数y ）A ．{|1}x x ≤B ．{|0}x x ≥C ．{|10}x x x ≥或≤D ．{|01}x x ≤≤9．当x>1时，不等式11x a x +≥-恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，3]10．若不等式220ax bx ++>的解集是1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a b +的值为( ) A ．－10 B ． －14 C ． 10 D ． 1411．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上(其中m ，n ＞0)，则12m n +的最小值等于( ) A ．16 B ．12 C ．9 D ．812．已知不等式222xy ax y ≤+，若对任意[]1,2x ∈及[]2,3y ∈，该不等式恒成立，则实数a 的范围是( )A ．3519a -≤≤-B ．31a -≤≤-C ．3a ≥-D ．1a ≥-二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．不等式0)1(122≥---x x x x 的解集为 。

2018年高二数学寒假作业（人教A 版必修5）不等关系与不等式(时间：40分钟)一、选择题1．(2016·赣中南五校联考)对于任意实数a ，b ，c ，d ，有以下四个命题： ①若ac 2>bc 2，则a >b ； ②若a >b ，c >d ，则a ＋c >b ＋d ； ③若a >b ，c >d ，则ac >bd ； ④若a >b ，则1a >1b。

其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2．(2016·东北三省三校一模)设a ，b ∈R ，若p ：a <b ，q ：1b <1a<0，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．(2016·河南六市一模)若1a <1b<0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |4．设a >b >0，下列各数小于1的是( ) A ．2a －bB.⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －bD.⎝ ⎛⎭⎪⎫b a a －b5．已知0<a<b，且a＋b＝1，下列不等式成立的是( )A．log2a>0 B．2a－b>1C．2ab>2 D．log2(ab)<－26．如果a，b，c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是( ) A．ab>ac B．c(b－a)>0C．cb2<ab2D．ac(c－a)>07．设0<b<a<1，则下列不等式成立的是( )A．ab<b2<1 B．log 12b<log12a<0C．2b<2a<2 D．a2<ab<18．设a，b为实数，则“0<ab<1”是“b<1a”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件二、填空题9．若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值范围是________。

高二数学寒假作业（二）一、选择题，每小题只有一项是正确的。

1.“1x >”是“11x<”的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.命题“Z x ∈，使022≤++m x x ”的否定是（ ） A.Z x ∈，使m x x ++22＞0 B. 不存在Z x ∈，使m x x ++22＞0 C. Z x ∈，使022≤++m x x D. Z x ∈，使m x x ++22＞03.在各项均为正数的等比数列}{n a 中,,12=a 4682a a a +=,则6a 的值是（ ）A. 1B. 2C. 4．若a 、b 、c b a R >∈,，则下列不等式成立的是A ．b a 11< B ．22b a > C ．1122+>+c b c a D ．||||c b c a > 5.已知A （1，－2，11），B （4，2，3），C （6，－1，4）为三角形的三个顶点，则ABC ∆是A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 等腰三角形6.已知(121)-，，A 关于面xOy 的对称点为B ，而B 关于x 轴的对称点为C ，则BC =（ ） Ａ．(0)，4，2 Ｂ．(0)，4，0 Ｃ．(042)--，， Ｄ．(2)，0，-27.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．)+∞D ． )+∞ 8.已知双曲线22221x y a b-=的一个焦点与抛物线214x y =的焦点重合，且双曲线的渐近线方程为2y x =±，则该双曲线的方程为 （ ）A 、224515y x -= B 、22154x y -= C 、22154y x -= D 、225514y x -= 9.设直线l ：y ＝2x ＋2，若l 与椭圆2214y x +=的交点为A 、B ，点P 为椭圆上的动点，则使△PAB1的点P 的个数为 （ ）A 、0B 、1C 、2D 、3二、填空题10.”）使（“01ax 1,1-x 2≥-∈∃为真命题，则a 的取值范围是____▲______. 11.等比数列{}n a 的各项均为正数，且1651=a a ，则 2122232425log +log +log +log +log =a a a a a ________ 。

2018年高二数学寒假作业（人教A 版必修5）不等关系与不等式1．已知a ，b 为非零实数，且a <b ，则下列不等式一定成立的是( )A ．a 2<b 2B ．ab 2>a 2bC.1ab 2<1a 2bD.b a <a b2．设M ＝x 2，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系是( )A ．M >NB ．M ＝NC ．M <ND ．与x 有关3．已知0<a <b <1，则( )A.1b >1aB.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a<⎝ ⎛⎭⎪⎫12bC ．(lg a )2<(lg b )2 D.1lg a >1lg b4．如果a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中不一定成立的是( )A ．ab >acB ．bc >acC ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )<05．已知a ，b 为实数，则“a >b >1”是“1a －1<1b －1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知－1<a <0，A ＝1＋a 2，B ＝1－a 2，C ＝11＋a ，比较A ，B ，C 的大小结果为() A ．A <B <C B ．B <A <CC ．A <C <BD ．B <C <A7．已知a<0，－1<b<0，那么下列不等式成立的是( )A ．a>ab>ab 2B ．ab 2>ab>aC ．ab>a>ab 2D ．ab>ab 2>a8．已知a ，b ∈R ，下列命题正确的是( )A ．若a>b ，则|a|>|b|B ．若a>b ，则1a <1bC ．若|a|>b ，则a 2>b 2D ．若a>|b|，则a 2>b 29．若a ，b 是任意实数，且a>b ，则下列不等式成立的是( )A ．a 2>b 2 B.b a <1 C ．lg(a －b)>0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13a <⎝ ⎛⎭⎪⎫13b10．下面四个条件中，使a>b 成立的充分而不必要条件是( )A ．a>b ＋1B ．a>b －1C ．a 2>b 2D ．a 3>b 311．若a>b>0，则下列不等式中一定成立的是( )A ．a ＋1b >b ＋1a B.b a >b ＋1a ＋1C ．a －1b >b －1a D.2a ＋b a ＋2b >a b12．已知a ＋b >0，则a b 2＋b a 2与1a ＋1b的大小关系是________。

高三数学练习作业一、选择题（每小题5分，共60分）1．任何一个算法都离不开的基本结构为（ ）A 逻辑结构B 条件结构C 环结构D 顺序结构2．在下列各数中，最大的数是（ ）A 、)9(85B 、)6(210C 、)4(1000D 、)2(111113.将两个数a ＝2007，b ＝2008交换使得a ＝2008，b ＝2007下列语句正确的一组是（ ）41(2,3),(3,2),(,)2A B C m --三点共线 则m 的值为（ ）Ａ 21 Ｂ 21- Ｃ 2- Ｄ 2 5 圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ ）A 023=-+y xB 043=-+y xC 043=+-y xD 023=+-y x6 圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ）A 2B 21+C 221+D 221+7．为了在运行下面的程序之后得到输出16，键盘输入x 应该是（ ）INPUT xIF x<0 THENy=(x+1)*(x+1)ELSEy=(x-1)*(x-1)END IFPRINT yENDA 、 3或-3B 、 -5C 、5或-3D 、 5或-58. 用秦九韶算法计算多项式654323567983512)(x x x x x x x f ++++-+=在4-=x 时的值时,3V 的值为 ( )A. －845B. 220C. －57D. 349下面为一个求20个数的平均数的程序,在横线上应填充的语句为A ．i<=20B ．i<20C ．i>=20D ．i>2010 两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为（） A 4 BCD5(,)12+∞二．填空题（每小题5分，共20分．）13 302= _______ )3(14．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是____________15．过点O(0,0)引圆C:22(2)(2)1x y -+-=的两条切线OA,OB ，A,B 为切点，则直线AB 的方程是______________．16 直线l 过点），（02-，l 与圆x y x 222=+有两个交点时，斜率k 的取值范围是_____________三．解答题17已知点A （-4，-5），B （6，-1），求以线段AB 为直径的圆的方程。

作业范围:必修第三章不等式
姓名学校班级
时间: 分钟分值分
第Ⅰ卷
一、选择题(本卷共小题，每小题分，共分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
．若，则下列不等式成立的是（）
．．
．．
】学年湖南岳阳县一中高二月月考数学（理）试卷
【答案】
考点：不等式性质.
【题型】选择题
【难度】较易
．不等式的解集为（）
．．
．．
】学年山东桓台二中高二月月考数学试卷
【答案】
【解析】，，，则不等式的解集为. 考点：一元二次不等式解法.
【题型】选择题
【难度】较易
．变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（）
．．．．
】【百强校】届山东德州宁津县一中高三上月考二数学（文）试卷
【答案】
考点：线性规划．
【题型】选择题
【难度】较易
．设，则下列不等式成立的是（）
．．
．．
】学年湖南岳阳县一中高二月月考数学（文）试卷
【答案】
【解析】由可设，代入选项验证可知成立. 考点：不等式性质.
【题型】选择题
【难度】较易。

2018年高二数学寒假作业（人教A版必修5）基本不等式(时间：40分钟)一、选择题1．已知a，b∈(0,1)且a≠b，下列各式中最大的是( )A．a2＋b2B．2abC．2ab D．a＋b2．下列命题中正确的是( )A．函数y＝x＋1x的最小值为2B．函数y＝x2＋3x2＋2的最小值为2C．函数y＝2－3x－4x(x>0)的最小值为2－4 3D．函数y＝2－3x－4x(x>0)的最大值为2－4 33．若0<x<32，则y＝x(3－2x)的最大值是( )A.916B.94C．2 D.9 84．设x>0，y>0，且2x＋y＝6，则9x＋3y有( ) A．最大值27 B．最小值27 C．最大值54 D．最小值545．若log4(3a＋4b)＝log2ab，则a＋b的最小值是( ) A．6＋2 3 B．7＋2 3 C．6＋4 3 D．7＋4 36．设a>0，若关于x的不等式x＋ax－1≥5在(1，＋∞)上恒成立，则a的最小值为( )A．16 B．9 C．4 D．2 二、填空题7．当x≥4时，x＋4x－1的最小值为________。

8．若a>0，b>0，a＋b＝1，则ab＋1ab的最小值为________。

9．已知x>－1，则函数y＝x2＋7x＋10x＋1的值域为________。

三、解答题10．已知lg(3x)＋lg y＝lg(x＋y＋1)，(1)求xy的最小值；(2)求x＋y的最小值。

11．(2016·常州期末调研)某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m宽的通道，如图。

设矩形温室的室内长为x(单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位：m2)。

高三数学假期作业1 一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个正方体其两面涂有油漆的概率是 （ ） A ．121 B ． 101C ．253D ．12512 2在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于4S的概率是 （ ） (A)14 (B)12 (C)34 (D)233某市组织一次高三调研考试,考试后统计的数学成绩服从正态分布,其密度函数为(80)2200()()x f x ex R --=∈,则下列命题中不正确的是 ( )A. 该市这次考试的数学平均成绩为80分B. 分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C. 分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D. 该市这次考试的数学成绩标准差为104、将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为,b c ，则方程20x bx c ++=有实根的概率为（ ）A1936 B 12 C 59 D 17365 6件产品中有4件合格品， 2件次品．为找出2件次品，每次任取一个检验，检验后不再放回，恰好经过4次检验找出2件次品的概率为（ ） A53 B ．31 C ．154 D ．516从1,2,3,4,5,6这6个数字中, 任取2个数字相加, 其和为偶数的概率是 ______ . 7将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数以第一次向上点数为横坐标x ，第二次向上的点数为纵坐标y 的点(x,y)在圆x 2+y 2=15的内部的概率为_____8一次单元测试由50个选择题构成，每个选择有4个选项，其中恰有一个是正确的答案，每题选择正确得3分，不选或选错得0分，满分150分.学生甲选对任一题的概率为0.8,则该生在这次测试中成绩的期望值是_________,标准差是_____________.9 10产品中有4件次品，从中任意取出2件，在所取得的产品中发现一件次品，则另一件也是次品的概率为___________10某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响. 已知某学生选修甲 而不选修乙和丙的概率为0.08，选修甲和乙而不选修丙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用ξ表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积. （I ）记“函数2()f x x x ξ=+⋅为R 上的偶 函 数”为事件A ，求事件A 的概率； （Ⅱ）求ξ的分布列和数学期望.11一个袋中有大小相同的标有1，2，3，4，5，6的6个小球，某人做如下游戏，每次从袋-中拿一个球（拿后放回），记下标号。

数学寒假作业（一）测试范围：解三角形使用日期：腊月十九 测试时间：120分钟一、选择题(本大题共12个小题，每个小题5分，共60分，每小题给出的四个备选答案中，有且仅有一个是符合题目要求的)1．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A. 6 B ．2 C. 3 D. 22．在△ABC 中，若AB ＝3－1，BC ＝3＋1，AC ＝6，则B 等于( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°3．在△ABC 中，A ＝45°，AC ＝4，AB ＝2，那么cos B ＝( ) A.31010 B ．－31010 C.55D ．－554．等腰△ABC 底角B 的正弦与余弦的和为62，则它的顶角是( ) A ．30°或150° B ．15°或75° C ．30° D ．15°5．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α、β的关系为( ) A ．α>β B ．α＝β C ．α＋β＝90°D ．α＋β＝180°6．(2012·天津理，6)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )A.725 B ．－725 C ．±725D.24257．△ABC 的三边分别为2m ＋3，m 2＋2m ，m 2＋3m ＋3(m >0)，则最大内角度数为( ) A ．150° B ．120° C ．90°D ．135°8．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A 与B 的大小关系为( ) A ．A >B B ．A <B C ．A ≥B D ．A ，B 的大小关系不能确定9．△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则ba ＝( )A ．2 3B ．2 2 C. 3D. 210．在△ABC 中，a 2＋b 2－ab ＝c 2＝23S △ABC ，则△ABC 一定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形11．在△ABC 中，若|AB →|＝2，|AC →|＝5，AB →·AC →＝－5，则S △ABC ＝( )A.532B. 3C.52 D ．512．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( ) A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13．三角形一边长为14，它对的角为60°，另两边之比为85，则此三角形面积为________．14．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________.15.如图，已知梯形ABCD 中，CD ＝2，AC ＝19，∠BAD ＝60°，则梯形的高为__________．16．在△ABC 中，cos 2A 2＝b ＋c2c ，则△ABC 的形状为________．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，若tan A ＝3，cos C ＝55.(1)求角B 的大小；(2)若c ＝4，求△ABC 面积．18．(本题满分12分)在△ABC 中，已知a ＝6，A ＝60°，b －c ＝3－1，求b 、c 和B 、C .19．(本题满分12分)如图，某海轮以30n mile/h 的速度航行，在点A 测得海面上油井P 在南偏东60°，向北航行40min 后到达点B ，测得油井P 在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再航行80min 到达C 点，求P 、C 间的距离．20．(本题满分12分)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C . (1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．21．(本题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知cos2C ＝－14.(1)求sin C 的值；(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C ，求b 及c 的长．22．(本题满分14分)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3cos(B－C)－1＝6cos B cos C.(1)求cos A的值；(2)若a＝3，△ABC的面积为2，求b、c.家长签字：日期：数学寒假作业（一）答案1、[答案] D2、[答案] C[解析] cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝12，∴B ＝60°.3、[答案] D4、[答案] A5、[答案] B[解析] 仰角和俯角都是水平线与视线的夹角，故α＝β.6、[答案] A7、[答案] B8、解析：由正弦定理a sin A ＝bsin B ，∴a >b .∴A >B .答案：A 9、[答案] D[解析] ∵a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，∴由正弦定理，得sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，∴sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A ，∴sinB ＝2sin A ，∴sin B sin A ＝ 2.由正弦定理，得ba ＝sin Bsin A ＝ 2.10、[答案] B[解析] 由a 2＋b 2－ab ＝c 2得：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴∠C ＝60°，又23S △ABC ＝a 2＋b 2－ab ，∴23×12ab ·sin60°＝a 2＋b 2－ab ，得2a 2＋2b 2－5ab ＝0，即a ＝2b 或b ＝2a . 当a ＝2b 时，代入a 2＋b 2－ab ＝c 2得a 2＝b 2＋c 2；当b ＝2a 时，代入a 2＋b 2－ab ＝c 2得b 2＝a 2＋c 2.故△ABC 为直角三角形．11、[答案] A[解析] AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝10cos A ＝－5，∴cos A ＝－12，∴sin A ＝32，∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|·sin A ＝532.12、[答案] D[解析] 由条件知，△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形，假设△A 2B 2C 2是锐角三角形，由⎩⎪⎨⎪⎧ sin A 2＝cos A 1＝sin π2－A1sin B 2＝cos B 1＝sin π2－B1sin C 2＝cos C 1＝sinπ2－C1，得⎩⎪⎨⎪⎧A 2＝π2－A 1B 2＝π2－B1C 2＝π2－C1，那么，A 2＋B 2＋C 2＝π2，这与三角形内角和为180°相矛盾，故假设不成立， 即△A 2B 2C 2是钝角三角形，故选D.13、[答案] 403[解析] 设另两边长为8x 和5x ，则cos60°＝64x 2＋25x 2－14280x 2得x ＝2，另两边长为16和10，此三角形面积为S ＝12×16×10·sin60°＝40 3. 14、[答案]102[解析] ∵tan A ＝13，∴sin A ＝1010，由正弦定理，得AB ＝BC ·sin C sin A ＝102. 15、[答案] 332[解析] 解法一：∵∠BAD ＝60°，∴∠ADC ＝180°－∠BAD ＝120°.∵CD ＝2，AC ＝19，∴19sin120°＝2sin ∠CAD ，∴sin ∠CAD ＝5719. ∴sin ∠ACD ＝sin(60°－∠CAD )＝35738.∴AD ＝AC ·sin ∠ACD sin D＝19×35738sin120°＝3.∴h ＝AD ·sin60°＝332. 解法二：在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD cos120°，∴AD 2＋2AD －15＝0.∴AD ＝3 (AD ＝－5舍去)．∴h ＝AD sin60°＝332.16、[答案] 直角三角形[解析] ∵cos 2A 2＝1＋cos A 2＝b ＋c 2c ＝12＋b2c ，∴cos A ＝b c .由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∴b 2＋c 2－a 22bc ＝bc ，∴a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 为直角三角形．17、[解析] (1)∵cos C ＝55，∴sin C ＝255，∴tan C ＝2.∵tan B ＝－tan(A ＋C )＝－tan A ＋tan C 1－tan A tan C ＝－3＋21－3×2＝1，又0<B <π，∴B ＝π4.(2)由正弦定理，得b sin B ＝c sin C ，∴b ＝c ×sin B sin C ＝4×22255＝10.∵B ＝π4，∴A ＝3π4－C .∴sin A ＝sin(3π4－C )＝sin 3π4cos C －cos 3π4sin C ＝22×55－(－22)×255＝31010.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×10×4×31010＝6. 18、[解析] 由余弦定理，得6＝b 2＋c 2－2bc cos60°，∴b 2＋c 2－bc ＝6 ①由b －c ＝3－1平方得：b 2＋c 2－2bc ＝4－2 3 ② ①、②两式相减得bc ＝2＋2 3.由⎩⎨⎧b －c ＝3－1bc ＝2＋23，解得⎩⎨⎧b ＝3＋1c ＝2，由正弦定理，得sin B ＝b sin Aa ＝3＋1sin60°6＝6＋24.∵6<3＋1，∴B ＝75°或105°.∵a 2＋c 2>b 2，∴B 为锐角， ∴B ＝75°，从而可知C ＝45°.[点评] 求角B 时，若先求得sin C ＝c sin A a ＝22，∵a >c ，∴C ＝45°，从而得B ＝75°. 若用余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝6－24，∴B ＝75°. 19、[解析] AB ＝30×4060＝20，BC ＝30×8060＝40.在△ABP 中，∠A ＝120°，∠ABP ＝30°，∠APB ＝30°， ∴BP ＝ABsin ∠APB ·sin ∠BAP ＝20sin30°sin120°＝20 3. 在Rt △BCP 中，PC ＝BC 2＋BP 2＝402＋2032＝207.∴P 、C 间的距离为207nmile.20、[解析] (1)由已知，根据正弦定理，得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故cos A ＝－12，A ＝120°.(2)由a 2＝b 2＋c 2＋bc ，得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C .又sin B ＋sin C ＝1，故sin B ＝sin C ＝12.因为0°<B <90°，0°<C <90°，故B ＝C . 所以△ABC 是等腰的钝角三角形．21、[解析] (1)∵cos2C ＝1－2sin 2C ＝－14，0<C <π，∴sin C ＝104.(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，由正弦定理a sin A ＝csin C ，得c ＝4. 由cos2C ＝2cos 2C －1＝－14及0<C <π，得cos C ＝±64.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得b 2±6b －12＝0(b >0)，解得b ＝6或26，∴⎩⎨⎧b ＝6c ＝4，或⎩⎨⎧b ＝26c ＝4.22、[解析] (1)由3cos(B －C )－1＝6cos B cos C ，得3(cos B cos C －sin B sin C )＝－1，即cos(B ＋C )＝－13，∴cos A ＝－cos(B ＋C )＝13.(2)∵0<A <π，cos A ＝13，∴sin A ＝223.由S △ABC ＝22，得12bc sin A ＝22， ∴bc ＝6.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴9＝(b ＋c )2－2bc (1＋cos A )＝(b ＋c )2－16， ∴b ＋c ＝5. 由⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝5bc ＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3c ＝2.。

数学寒假作业（二）测试范围：数列使用日期：腊月二十一 测试时间：120分钟一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a n ＝cos n π，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列 2．在数列2,9,23,44,72，…中，第6项是( ) A ．82 B ．107 C ．100 D ．833．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝2，S 4＝10，则S 6等于( ) A ．12 B ．18 C ．24 D ．424．数列{a n }中，a 1＝1，对所有n ≥2，都有a 1a 2a 3…a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝( ) A.6116 B.259 C.2516 D.31155．已知{a n }为等差数列，a 2＋a 8＝12，则a 5等于( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．76．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n)，则a n ＝( )A ．2＋ln nB ．2＋(n －1)ln nC ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n7．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99.以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．188．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．99．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4等于( ) A ．7 B ．8 C ．15 D ．1610．如果数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝( )A ．2n ＋1－1 B ．2n －1 C ．2n －1D ．2n＋111．含2n ＋1个项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为( ) A.2n ＋1n B.n ＋1n C.n －1n D.n ＋12n12．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n ·a n －1a n －1－a n ＝a n ·a n ＋1a n －a n ＋1，那么此数列的第10项为( )A.1210 B.129 C.110 D.15二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上) 13．等比数列{a n }中，a 3＝12， a 5＝48，那么a 7＝________.14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋1，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________. 15．已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为A n ，B n ，且满足A n B n ＝2n n ＋3，则a 1＋a 2＋a 12b 2＋b 4＋b 9＝________.16．在数列{a n }中，a 1＝1，(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1(n ≥2)，S n 是其前n 项的和，则S n 等于________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)公差d ≠0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4是a 3与a 7的等比中项，且S 8＝32，求S 10的大小．18．(12分)等差数列{a n }中，a 4＝10，且a 3，a 6，a 10成等比数列，求数列{a n }前20项的和S 20.19．(12分)已知数列{a n }的首项a 1＝3，通项a n ＝2np ＋nq (n ∈N *，p ，q 为常数)，且a 1，a 4，a 5成等差数列，求：(1)p ，q 的值；(2)数列{a n }的前n 项和S n 的公式．20．(12分)设{a n }为等比数列，{b n }为等差数列，且b 1＝0，c n ＝a n ＋b n ，若{c n }是1,1,2，…，求数列{c n }的前10项的和．21．(12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N *.(1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列；(2)求{a n }的通项公式．22．(12分)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，a ∈N *.(1)求数列{a n }的通项；(2)设b n ＝n a n，求数列{b n }的前n 项和S n .家长签字： 日期：数学寒假作业（二）答案1、答案 D2、答案 B3、答案 C解析 思路一：设公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝2，4a 1＋6d ＝10，解得a 1＝14，d ＝32.则S 6＝6a 1＋15d ＝24.思路二：S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也成等差数列，则2(S 4－S 2)＝S 6－S 4＋S 2，所以S 6＝3S 4－3S 2＝24.4、答案 A5、答案 C解析 由等差数列的性质可知a 2、a 5、a 8也成等差数列，故a 5＝ a 2＋a 82＝6，故选C.6、答案 A解析 依题意得a n ＋1－a n ＝lnn ＋1n ，则有a 2－a 1＝ln 21，a 3－a 2＝ln 32，a 4－a 3＝ln 43，…，a n －a n －1＝ln n n －1，叠加得a n －a 1＝ln(21·32·43·…·nn －1)＝ln n ，故a n ＝2＋ln n ，选A.7、答案 B解析 ∵a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99， ∴3a 3＝105,3a 4＝99，即a 3＝35，a 4＝33. ∴a 1＝39，d ＝－2，得a n ＝41－2n .令a n ＝0且a n ＋1<0，n ∈N *，则有n ＝20.故选B. 8、答案 A解析 设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 4＋a 6＝－6，∴a 5＝－3，∴d ＝a 5－a 15－1＝2，∴a 6＝－1＜0，a 7＝1＞0，故当等差数列{a n }的前n 项和S n 取得最小值时，n 等于6.9、答案 C解析 由4a 1＋a 3＝4a 2⇒4＋q 2＝4q ⇒q ＝2，则S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋2＋4＋8＝15.故选C.10、答案 B 11、答案 B 12、答案 D 解析 ∵a n ·a n －1a n －1－a n ＝a n ·a n ＋1a n －a n ＋1，∴{a n ·a n －1a n －1－a n }为常数列．∴a n ·a n －1a n －1－a n ＝a 2·a 1a 1－a 2＝2，∴a n ·a n －1＝2a n －1－2a n .∴1a n －1a n －1＝12，∴{1a n }为等差数列，1a 1＝12，d ＝12.∴1a n ＝12＋(n －1)·12＝n 2.∴a n ＝2n，∴a 10＝15.13、解析：由题意可知a 3，a 5，a 7成等比数列，∴a 25＝a 3·a 7，∴a 7＝48212＝192.14、解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1. 又当n ＝1时，a 1＝S 1＝2不满足a n ＝2n －1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2 n ＝1，2n － 1n ≥2.15、解析：a 1＋a 2＋a 12b 2＋b 4＋b 9＝3a 1＋12d 13b 1＋12d 2＝a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝9×a 1＋a 929×b 1＋b 92＝A 9B 9＝2×99＋3＝32. 16、解析：∵(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1， ∴a n a n －1＝n －1n ＋1，∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n －1n ＋1·n －2n ·n －3n －1·…·24·13·1＝2n n ＋1＝2(1n －1n ＋1)．∴S n ＝2(1－1n ＋1)＝2n n ＋1.17、解：根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d 2＝a 1＋2d a 1＋6d ，8a 1＋28d ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2.所以S 10＝S 8＋a 9＋a 10＝32＋2a 1＋17d ＝60.18、解析 设数列{a n }的公差为d ，则a 3＝a 4－d ＝10－d ，a 6＝a 4＋2d ＝10＋2d .a 10＝a 4＋6d ＝10＋6d .由a 3，a 6，a 10成等比数列，得a 3a 10＝a 26. 即(10－d )(10＋6d )＝(10＋2d )2， 整理得10d 2－10d ＝0，解得d ＝0或d ＝1. 当d ＝0时，S 20＝20a 4＝200；当d ＝1时，a 1＝a 4－3d ＝10－3×1＝7. 于是S 20＝20a 1＋20×192d ＝20×7＋190＝330.19、解：(1)由a 1＝3，得2p ＋q ＝3，又a 4＝24p ＋4q ，a 5＝25p ＋5q ，且a 1＋a 5＝2a 4，得3＋25p ＋5q ＝25p ＋8q ，解得p ＝1，q ＝1. (2)由(1)得a n ＝2n＋n ，S n ＝(2＋22＋…＋2n )＋(1＋2＋…＋n )＝2n ＋1－2＋n n ＋12.20、解析 ∵c 1＝a 1＋b 1，即1＝a 1＋0，∴a 1＝1.又⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝c 2，a 3＋b 3＝c 3，即⎩⎪⎨⎪⎧q ＋d ＝1， ①q 2＋2d ＝2. ②②－2×①，得q 2－2q ＝0. 又∵q ≠0，∴q ＝2，d ＝－1.c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 10＝(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10)＋(b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10) ＝a 11－q 101－q ＋10b 1＋10×92d ＝210－1＋45·(－1)＝978.21．(12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N *.(1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式．21、解析 (1)b 1＝a 2－a 1＝1，当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝a n －1＋a n2－a n ＝－12(a n －a n －1)＝－12b n －1， ∴{b n }是以1为首项，－12为公比的等比数列．(2)由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝(－12)n －1，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝1＋1＋(－12)＋…＋(－12)n －2＝1＋112n －1112＝1＋23＝53－23(－12)n －1，当n ＝1时，53－23(－12)1－1＝1＝a 1.∴a n ＝53－23(－12)n －1(n ∈N *)．22、解：(1)a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13(n ≥2)，3n －1a n ＝n 3－n －13＝13(n ≥2)，a n ＝13n (n ≥2)．验证n ＝1时也满足上式，∴a n ＝13n (n ∈N *)．(2)b n ＝n ·3n，S n ＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n ·3n3S n ＝1·32＋2·33＋…＋(n －1)·3n ＋n ·3n ＋1上述两式相减得： －2S n ＝3＋32＋33＋3n －n ·3n ＋1＝3－3n ＋11－3－n ·3n ＋1.即S n ＝n2·3n ＋1－14·3n ＋1＋34.。

数学寒假作业（六）测试范围：导数使用日期：正月初四 测试时间：120分钟一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．下列求导运算正确的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3x log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x2．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1是减函数的区间为( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(0，2)D ．(－∞，0)3．函数y ＝ax 3＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝( )A.18B.14C.1627D.4274．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．55．曲线y ＝sin x x在点M (π，0)处的切线方程为( ) A ．x ＋πy －π＝0 B ．πx ＋y －π＝0 C ．x －πy －π＝0 D ．πx －y －π＝06．给出下列四个命题：①函数f (x )＝x 2－5x ＋4(－1≤x ≤1)的最大值为10，最小值为－94； ②函数f (x )＝2x 2－4x ＋1(－2＜x ＜4)的最大值为1，最小值为－1；③函数f (x )＝x 3－12x (－3＜x ＜3)的最大值为16，最小值为－16；④函数f (x )＝x 3－12x (－2＜x ＜2)既无最大值，也无最小值．其中正确命题的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．过点(－1，0)作抛物线y ＝x 2＋x ＋1的切线，则其中一条切线为( )A ．2x ＋y ＋2＝0B ．3x －y ＋3＝0C ．x ＋y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝08．已知函数y ＝xf ′(x )的图象如右图所示[其中f ′(x )是函数f (x )的导函数]，则y ＝f (x )的图象大致是下面四个图象中的( )9．若0＜x ＜π2，则2x 与3sin x 的大小关系( ) A ．2x ＞3sin x B ．2x ＜3sin x C ．2x ＝3sin x D ．与x 的取值有关10．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) A.94e 2 B ．3e 2 C ．e 2 D.e 2211．函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在x ＝1a处有极值，则ac ＋2b 的值为( ) A ．－3 B ．0 C ．1 D ．312．曲线y ＝x 3上一点B 处的切线l 交x 轴于点A ，△OAB (O 是原点)是以A 为顶点的等腰三角形，则切线l 的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上)13．y ＝x cos x 在x ＝π3处的导数值是_________． 14．函数f (x )＝x 3－3x ＋1在闭区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是__________、_________．15．若曲线y ＝h (x )在点P (a, h (a ))处的切线方程为2x ＋y ＋1＝0，则h ′(a )与0的大小关系是h ′(a )________0(填“>”、“<”、“＝”)．16．已知函数f (x )＝3x ＋a x ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)求函数f (x )＝x 3－3x 2＋6x －2，x ∈[－1，1]的最值．18．(12分)已知曲线f(x)＝x3＋x2＋x＋3在x＝－1处的切线恰好与抛物线y2＝2px(p ＞0)相切，求抛物线方程和抛物线上的切点坐标．19．(12分)设函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1处取得极值－2，试用c表示a和b，并求f(x)的单调区间．20．(12分)已知函数f(x)＝23x⎝⎛⎭⎪⎫x2－3ax－92(a∈R)．(1)若函数f(x)图象上点P(1，m)处的切线方程为3x－y＋b＝0，求m的值；(2)若函数f(x)在(1，2)内是增函数，求a的取值范围．21．(12分)已知函数f(x)＝13x3＋a－22x2－2ax－3，g(a)＝16a3＋5a－7.(1)a＝1时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f (x )在区间[－2，0]上不单调，且x ∈[－2，0]时，不等式f (x )＜g (a )恒成立，求实数a 的取值范围．22．(12分)已知函数f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R )． (1)求f (x )的单调区间；(2)当x ＞1时，12x 2＋ln x ＜23x 3是否恒成立，并说明理由．家长签字： 日期数学寒假作业（六）答案1、B2、C3、D4、D 解析：依题意，得f ′(－3)＝30－6a ＝0，则a ＝5.5、A 解析：先求导，y ′＝（sin x ）′x －x ′sin x x 2＝x cos x －sin x x 2， 根据导数的几何意义得到切线的斜率k ＝y ′|x ＝π＝－1π，代入直线的点斜式方程，得 y －0＝－1π(x －π)，即x ＋πy －π＝0. 6、B 解析：分别计算四个函数的最值，得知③④正确．7、D 解析：y ′＝2x ＋1，设切点坐标为(x 0，y 0)，则切线的斜率为2x 0＋1，且y 0＝x 20＋x 0＋1，于是切线方程为y －x 20－x 0－1＝(2x 0＋1)(x －x 0)，因为点(－1，0)在切线上，可解得x 0＝0或－2，代入可验证D 正确．8、C 解析：由函数y ＝xf ′(x )的图象可知：当x ＜－1时，xf ′(x )＜0，f ′(x )＞0，此时f (x )递增；当－1＜x ＜0时，xf ′(x )＞0，f ′(x )＜0，此时f (x )递减；当0＜x ＜1时，xf ′(x )＜0，f ′(x )＜0，此时f (x )递减；当x ＞1时，xf ′(x )＞0，f ′(x )＞0，此时f (x )递增．9、D 解析：令f (x )＝2x －3sin x ，则f ′(x )＝2－3cos x .当cos x >23时，f ′(x )＜0；当cos x ＝23时，f ′(x )＝0；当cos x <23时，f ′(x )＞0. 即当0＜x ＜π2时，f (x )先递减再递增，而f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π－3＞0. 故f (x )的值与x 取值有关，即2x 与sin x 的大小关系与x 取值有关．10、D 解析：可以求得切线方程是y －e 2＝e 2(x －2)，则得切线与两坐标轴的交点分别是(1，0)以及(0，－e 2)，所以，所求三角形的面积为e 22. 11、A 解析：f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由题可知f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝3a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋2b 1a＋c ＝0， ∴3a ＋2b a＋c ＝0，∴ac ＋2b ＝－3，故选A. 12、C 解析：设B (x 0，x 30)，由于y ′＝3x 2，故切线l 的方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，令y ＝0得点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 03，0，由|OA |＝|AB |，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 032＝⎝⎛⎭⎪⎫x 0－2x 032＋(x 30－0)2， 当x 0＝0时，题目中的三角形不存在，故得x 40＝13，故x 20＝33，直线l 的斜率为3x 20＝3， 故直线l 的倾斜角为60°.13、解析：直接计算，即知所求的导数值为12－36π. 答案：12－36π 14、解析：由f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1.当x ＜－1时，f ′(x )＞0；当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当x ＞1时，f ′(x )＞0.故f (x )的极大值、极小值分别为f (－1)＝3，f (1)＝－1，而f (－3)＝－17，f (0)＝1.故函数f (x )＝x 3－3x ＋1在[－3，0]上的最大值、最小值分别是3、－17.答案：3 －1715、解析：∵曲线y ＝h (x )在点P (a ，h (a ))处的切线的斜率为h ′(a )，而已知切线方程为2x ＋y ＋1＝0，即斜率为－2，故h ′(a )＝－2，∴h ′(a )＜0.答案：<16、解析：由题可知，函数f (x )＝3x ＋a x ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递减，所以其导函数f ′(x )＝3（x ＋2）－（3x ＋a ）（x ＋2）2＝6－a （x ＋2）2在(－2，＋∞)上小于零，解得a ＞6. 答案：(6，＋∞)17、解析：f ′(x )＝3x 2－6x ＋6＝3(x 2－2x ＋2)＝3(x －1)2＋3＞0，∵f ′(x )在[－1，1]内恒大于0，∴f ′(x )在[－1，1]上为增函数．故x ＝－1时，f (x )min ＝－12；x ＝1时，f (x )max ＝2.即f (x )的最小值为－12，最大值为2.18、解析：∵f (－1)＝2，∴曲线y ＝f (x )上的切点为A (－1，2)．∵f ′(x )＝3x 2＋2x ＋1，∴f ′(－1)＝2.∴切线方程为y －2＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋4.设抛物线上的切点为B (x 0，y 0)，显然抛物线上的切点在抛物线的上支．抛物线上支的方程为y ＝2px ，则y ′＝2p 2x， ∴y ′|x ＝x 0＝2p2x 0＝2，得p ＝8x 0.① 又∵点B 在切线上，∴2px 0＝2x 0＋4.②由①②求得p ＝16，x 0＝2，∴y 0＝8.故所求抛物线方程为y 2＝32x ，所求的切点为(2，8)．19、解析：依题意有f (1)＝－2，f ′(1)＝0，而f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，故⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＋b ＋c ＝－2，3＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝c ，b ＝－2c －3. 从而f ′(x )＝3x 2＋2cx －(2c ＋3)＝(3x ＋2c ＋3)(x －1)．令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－2c ＋33. 由于f (x )在x ＝1处取得极值，故－2c ＋33≠1，即c ≠－3. (1)若－2c ＋33<1，即c >－3， 则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－2c ＋33时，f ′(x )＞0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2c ＋33，1时，f ′(x )＜0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0.从而f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－2c ＋33和[1，＋∞)；单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2c ＋33，1.(2)若－2c ＋33＞1，即c ＜－3，同上可得，f (x )的单调增区间为(]－∞，1，⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2c ＋33，＋∞；单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫1，－2c ＋33. 20、解析：(1)∵f (x )＝23x 3－2ax 2－3x ， ∴f ′(x )＝2x 2－4ax －3.则过P (1，m )的切线斜率为k ＝f ′(1)＝－1－4a .又∵切线方程为3x －y ＋b ＝0，∴－1－4a ＝3.即a ＝－1.∴f (x )＝23x 3＋2x 2－3x . ∵P (1，m )在f (x )的图象上，∴m ＝－13. (2)∵函数f (x )在(1，2)内是增函数，∴f ′(x )＝2x 2－4ax －3≥0对于一切x ∈(1，2)恒成立，即4ax ≤2x 2－3，∴a ≤x 2－34x， 由于x 2－34x在(1，2)上单调递增， ∴x 2－34x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，58，即a ≤－14. ∴a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－14. 21、解析：(1)当a ＝1时，f (x )＝13x 3－12x 2－2x －3，定义域为R ， f ′(x )＝x 2－x －2＝(x －2)(x ＋1)．令f ′(x )＞0，得x ＜－1，或x ＞2.所以函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－1)，(2，＋∞)．(2)f ′(x )＝x 2＋(a －2)x －2a ＝(x ＋a )(x －2)．令f ′(x )＝0，得x ＝2，或x ＝－a .∵函数f (x )在区间[－2，0]上不单调，∴－a ∈(－2，0)，即0＜a ＜2.又∵在(－2，－a )上，f ′(x )＞0，在(－a ，0)上，f ′(x )＜0，当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：∴f (x )在[－2，0]上有唯一的极大值点x ＝－a .∴f (x )在[－2，0]上的最大值为f (－a )．∴当x ∈[－2，0]时，不等式f (x )＜g (a )恒成立，等价于f (－a )＜g (a )．∴－13a 3＋a －22×a 2＋2a 2－3＜g (a )． ∴16a 3＋a 2－3＜16a 3＋5a －7. ∴a 2－5a ＋4＜0，解得1＜a ＜4.综上所述，a 的取值范围是(1，2)．22、解析：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，由题意得f ′(x )＝x －a x (x ＞0)，∴当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．当a ＞0时，f ′(x )＝x －a x ＝x 2－a x ＝（x －a ）（x ＋a ）x. ∴当0＜x ＜a 时，f ′(x )＜0，当x ＞a ，f ′(x )＞0.∴当a ＞0时，函数f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )． (2)设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x (x ＞1) 则g ′(x )＝2x 2－x －1x. ∵当x ＞1时，g ′(x )＝（x －1）（2x 2＋x ＋1）x＞0， ∴g (x )在(1，＋∞)上是增函数．∴g (x )＞g (1)＝16＞0. 即23x 3－12x 2－ln x ＞0， ∴12x 2＋ln x ＜23x 3， 故当x ＞1时，12x 2＋ln x ＜23x 3恒成立．。

高三数学寒假作业：不等式即。

解得：。

8.答案：9.答案：410.答案：18三范例剖析例1 已知集合(Ⅰ)若，求实数的值;(Ⅱ)若，求实数的取值范围.变式1. 已知关于的不等式的解集为M.(1)当时，求集合M;(2)若且，求实数的取值范围.例2 设，若，求证：(1)且;(2)方程在内有两个实根.变式2. 设a，b，c为正实数，求证：.例3 对1个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为)为08,要求洗完后的清洁度是099.有两种方案可供选择,方案甲一次清洗方案乙两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为(13).设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是用y质量的水第二次清洗后的清洁度是其中是该物体初次清洗后的清洁度(Ⅰ)分别求出方案甲以及c=0.95时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少(Ⅱ)若采用方案乙,当a为某定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量,使总用水量最少?并讨论a取不同数值时对最少总用水量多少的影响，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米. 为了广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，求AC最短为多少米?且当AC最短时，BC长度为多少米?四巩固训练1.已知函数表示a,b中的较大者.则不等式的解集为2.若不等式对于任意的实数x都成立,则实数a的取值范围是 .3.设M是△ABC内一点，且，BAC=30o，定义f(M)=(m，n，p)，其中m、n、p分别是△MBC、△MCA、△MAB的面积，若f(M)=(，x，y)，则的最小值为4.已知:若，则的范围是5.已知函数则不等式的解集为6.已知是不相等的两个正数，在之间插入两组数：和，( ，且，使得成等差数列，成等比数列.吴老师给出下列四个式子：①;②; ③;④;⑤.其中一定成立的是 ;一定不成立的是 .(只需填序号)以上就是查字典数学网高中频道为您整理的2019届高三数学寒假作业：不等式，欢迎大家进入高考频道了解2019年信息，帮助同学们学业有成!。

数学寒假作业（五）测试范围：圆锥曲线使用日期：腊月二十七 测试时间：120分钟一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2→| ＝( )A.32B. 3C.72 D ．42．抛物线的顶点和椭圆x 225＋y 29＝1的中心重合，抛物线的焦点和椭圆x 225＋y 29＝1的右焦点重合，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝16xB ．y 2＝8xC ．y 2＝12xD ．y 2＝6x3．双曲线x 2－y 2m ＝1的离心率大于2的充分必要条件是( )A ．m ＞12 B ．m ≥1 C ．m ＞1 D ．m ＞24．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 236－y 2108＝1B.x 29－y 227＝1C.x 2108－y 236＝1D.x 227－y 29＝15．(2013·惠州一调)已知实数4，m ，9构成一个等比数列，则圆锥曲线x 2m ＋y 2＝1的离心率为( )A.306B.7C.306或7D.56或76．在y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1，3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是( )A ．(－2，1)B ．(1，2)C ．(2，1)D ．(－1，2)7．已知F 1(－1，0)，F 2(1，0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1B.x 23＋y 22＝1C.x 24＋y 23＝1D.x 25＝y 24＝18．(2013·新课标全国卷Ⅰ)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．49．动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过点( )A ．(4，0)B ．(2，0)C ．(0，2)D ．(0，－2)10．已知F 是抛物线y ＝14x 2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是( )A ．x 2＝y －12 B ．x 2＝2y －116 C ．x 2＝2y －1 D ．x 2＝2y －211．椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到两焦点的距离之积为m ，则m 取最大值时，P 点坐标是( )A ．(5，0)或(－5，0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，332或⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－332C ．(0，3)或(0，－3) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫532，32或⎝ ⎛⎭⎪⎫－532，3212．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为双曲线左支上一点，若|PF 2|2|PF 1|的最小值为8a ，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(1，2)C ．(1，3]D ．(1，2]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上) 13．抛物线y 2＝8x 上一个点P (P 在x 轴上方)到焦点的距离是8，此时P 点的坐标是________．14．与椭圆x 24＋y 23＝1具有相同的离心率且过点(2，－3)的椭圆的标准方程是____________．15．若直线y ＝32x 与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的交点在实轴上的射影恰好为双曲线的焦点，则双曲线的离心率是________．16．抛物线y 2＝x 上存在两点关于直线y ＝m (x －3)对称，则m 的范围是_________________．三、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在 x 轴上，虚轴长为12，离心率为 54； (2)顶点间的距离为6，渐近线方程为y ＝±32x .18．(12分) 已知椭圆C 的焦点F 1(－22，0)和F 2(22，0)，长轴长为6，设直线y ＝x ＋2交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标．19．(12分)中心在原点，焦点在x 轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴与双曲线的实半轴之差为4，离心率之比为3∶7.求这两条曲线的方程．20. (12分)已知动点P 与平面上两定点A (－2，0)、B (2，0)连线的斜率的积为定值－12.(1)试求动点P 的轨迹方程C ；(2)设直线l ：y ＝kx ＋1与曲线C 交于M 、N 两点，当|MN |＝423时，求直线l 的方程．21．(12分)设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，抛物线C 2：x 2＋by ＝b 2.(1)若C 2经过C 1的两个焦点，求C 1的离心率；(2)设A (0，b )，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，54b ，又M ，N 为C 1与C 2不在y 轴上的两个交点，若△AMN 的垂心为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34b ，且△QMN 的重心在C 2上，求椭圆C 1和抛物线C 2的方程．22．(12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝63.过点A (0，－b )和B (a ，0)的直线与原点的距离为32. (1)求椭圆的方程；(2)已知定点E (－1，0)，若直线y ＝kx ＋2(k ≠0)与椭圆交于C ，D 两点，问：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点，请说明理由．家长签字：日期：数学寒假作业（五）答案1、C2、A3、C 解析：由e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝1＋m 1＝1＋m ＞2，m ＞1.4、B5、C6、B7、C 解析：依题意可设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－b 2a ，又|AB |＝b 2a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ＝2b 2a ＝3，∴2b 2＝3a .又a 2－b 2＝c 2＝1，∴a ＝2，b ＝ 3.故C 的方程为x 24＋y 23＝1.8、C 解析：设P (a ，b )为抛物线上在第一象限内的点，则a ＋2＝42，得a ＝32，因为点P (a ，b )在抛物线上，所以b ＝26，所以S △POF ＝12×2×26＝23，故选C.9、B 解析：直线x ＋2＝0是抛物线的准线，又动圆圆心在抛物线上，由抛物线的定义知，动圆必过抛物线的焦点(2，0)．10、C 解析：由y ＝14x 2⇒x 2＝4y ，焦点F (0，1)，设PF 中点Q (x ，y )、P (x 0，y 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝0＋x 0，2y ＝1＋y 0，4y 0＝x 20，∴x 2＝2y －1. 11、C 解析：|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，∴|PF 1|·|PF 2|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF 1||PF 2|22＝25. 当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝5时，取得最大值，此时P 点是短轴端点，故选C.12、C 解析：|PF 2|2|PF 1|＝（|PF 1|2a ）2|PF 1|＝|PF 1|＋4a 2|PF 1|＋4a ≥8a ，当|PF 1|＝4a 2|PF 1|，即|PF 1|＝2a 时取等号． 又|PF 1|≥c －a ，∴2a ≥c －a .∴c ≤3a ，即e ≤3.∴双曲线的离心率的取值范围是(1，3]． 13、答案：()6，4314、答案：x 28＋y 26＝1或3y 225＋4x 225＝1 15、答案：216、解析：设抛物线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝m (x －3)对称，A ，B 中点M (x ，y )，则当m ＝0时，有直线y ＝0，显然存在点关于它对称．当m ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝x 1，y 22＝x 2⇒y 1－y 2x 1－x 2＝1y 1＋y 2＝12y ＝－1m ，所以y ＝－m 2，所以M 的坐标为(52，－m 2)，∵M 在抛物线内，则有52＞(m2)2，得－10＜m ＜10且m ≠0，综上所述，m ∈(－10，10)．答案：(－10，10)17、解析：(1)焦点在x 轴上，设所求双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝12，c a ＝54，b 2＝c 2－a 2.解得a ＝8，b ＝6，c ＝10.所以焦点在x 轴上的双曲线的方程为x 264－y 236＝1.(2)当焦点在x 轴上时，设所求双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝6，b a ＝32.解得a ＝3，b ＝92.所以焦点在x 轴上的双曲线的方程为 x 29－y 2814＝1.同理可求当焦点在y 轴上双曲线的方程为y 29－x 24＝1. 故所求双曲线的方程为x 29－y 2814＝1或y 29－x 24＝1.18、解析：由已知条件得椭圆的焦点在x 轴上，其中c ＝22，a ＝3，从而b ＝1，所以其标准方程是 x 29＋y 2＝1.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 2＝1，y ＝x ＋2，消去y 得，10x 2＋36x ＋27＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 线段的中点为M (x 0，y 0)，那么：x 1＋x 2＝－185，x 0＝x 1＋x 22＝－95.所以y 0＝x 0＋2＝15.也就是说线段AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，15.19、解析：设椭圆的方程为x 2a 21＋y 2b 21＝1，双曲线的方程为 x 2a 22－y 2b 22＝1，半焦距c ＝13，由已知得：a 1－a 2＝4，c a 1∶c a 2＝3∶7，解得：a 1＝7，a 2＝3.所以：b 21＝36，b 22＝4，故所求两条曲线的方程分别为：x 249＋y 236＝1 ，x 29－y 24＝1.20、解析：(1)设点P (x ，y )，则依题意有y x ＋2·yx －2＝－12，整理得x 22＋y 2＝1.由于x ≠±2，所以求得的曲线C 的方程为x 22＋y 2＝1(x ≠±2)．(2)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋1，消去y 得：(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0.解得x 1＝0, x 2＝－4k1＋2k 2(x 1，x 2分别为M ，N 的横坐标)．由|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k 1＋2k 2＝432，解得：k ＝±1.所以直线l 的方程x －y ＋1＝0或x ＋y －1＝0.21．(12分)设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，抛物线C 2：x 2＋by ＝b 2. (1)若C 2经过C 1的两个焦点，求C 1的离心率；(2)设A (0，b )，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，54b ，又M ，N 为C 1与C 2不在y 轴上的两个交点，若△AMN 的垂心为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34b ，且△QMN 的重心在C 2上，求椭圆C 1和抛物线C 2的方程．21、解析：(1)由已知椭圆焦点(c ，0)在抛物线上， 可得c 2＝b 2，由a 2＝b 2＋c 2＝2c 2， 有c 2a 2＝12⇒e ＝22.(2)由题设可知M 、N 关于y 轴对称， 设M (－x 1，y 1)，N (x 1，y 1)(x 1＞0)， 由△AMN 的垂心为B ，有BM →·AN →＝0⇒－x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1－34b (y 1－b )＝0 由点N (x 1，y 1)在抛物线上，x 21＋by 1＝b 2，解得y 1＝－b4，或y 1＝b (舍去)，故x 1＝52b ，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52b ，－b 4，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫52b ，－b 4，得△QMN 重心坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫3，b 4.由重心在抛物线上得3＋b 24＝b 2， ∴b ＝2，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，－12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，－12， 又∵M ，N 在椭圆上，得a 2＝163，椭圆方程为x 2163＋y 24＝1，抛物线方程为x 2＋2y ＝4.22、解析：(1)直线AB 方程为：bx －ay －ab ＝0.依题意⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝63，ab a 2＋b 2＝32，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝1.∴椭圆方程为x 23＋y 2＝1.(2)假若存在这样的k 值，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2＋3y 2－3＝0，得 (1＋3k 2)x 2＋12kx ＋9＝0.∴Δ＝(12k )2－36(1＋3k 2)＞0.① 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－12k1＋3k 2，x 1·x 2＝91＋3k 2.② 而y 1·y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4.要使以CD 为直径的圆过点E (－1，0)，当且仅当CE ⊥DE 时，则y 1x 1＋1·y 2x 2＋1＝－1.即y 1y 2＋(x 1＋1)(x 2＋1)＝0. ∴(k 2＋1)x 1x 2＋(2k ＋1)(x 1＋x 2)＋5＝0.③将②式代入③整理解得k ＝76.经验证k ＝76使①成立．综上可知，存在k ＝76，使得以CD 为直径的圆过点E .。

高二数学不等式证明试题答案及解析1.如果用反证法证明“数列的各项均小于2”，那么应假设（）A．数列的各项均大于2B．数列的各项均大于或等于2C．数列中存在一项D．数列中存在一项，【答案】D【解析】各项均小于2，的否定是存在一项大于或等于2，所以选D【考点】反证法2.用反证法证明命题“”,其反设正确的是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由于“a、b全为0（a、b∈R）”的否定为：“a、b至少有一个不为0”，故选 B．【考点】反证法.3.设为三角形的三边，求证：【答案】见解析【解析】本题用直接法不易找到证明思路，用分析法，要证该不等式成立，因为，所以，只需证该不等式两边同乘以转化成的等价不等式a(1+b)(1+c)+ b(1+a)(1+c)> c(1+a)(1+b)成立，用不等式性质整理为a+2ab+b+abc>c成立，用不等式性质及三角不等式很容易证明此不等式成立.试题解析：要证明：需证明： a(1+b)(1+c)+ b(1+a)(1+c)> c(1+a)(1+b) 5分需证明:a(1+b+c+bc)+ b(1+a+c+ac)> c(1+a+b+ab) 需证明a+2ab+b+abc>c 10分∵a,b,c是的三边∴a>0,b>0,c>0且a+b>c,abc>0,2ab>0∴a+2ab+b+abc>c∴成立。

14分【考点】分析法证明不等式；三角形两边之和大于第三边.4.已知：证明：．【答案】分析法或综合法【解析】证法一（用分析法）：，（2分）要证，（4分）只须证：，（6分）即只须证：，（8分），成立，即成立，∴原不等式成立。

（10分）证法二（用综合法）：∵（4分）∵，，∴，（6分）∴，（8分）∴，∴，原不等式成立。

（10分）【考点】不等式的证明方法，分析法、综合法。

点评：中档题，不等式的证明方法，通常考虑“差比法”“分析法”“综合法”“反证法”“放缩法”“换元法”“数学归纳法”等。

永年区三中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 设向量，满足：||=3，||=4， =0．以，，﹣的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．62． 以过椭圆+=1（a ＞b ＞0）的右焦点的弦为直径的圆与其右准线的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定3． 设集合，，则（ ）{}|22A x R x =∈-≤≤{}|10B x x =-≥()R A B = ðA. B. C. D. {}|12x x <≤{}|21x x -≤<{}|21x x -≤≤{}|22x x -≤≤【命题意图】本题主要考查集合的概念与运算，属容易题.4． 已知x ＞1，则函数的最小值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．15． 在极坐标系中，圆的圆心的极坐标系是( )。

AB C D6． 在正方体8个顶点中任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是等腰直角三角形的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．7． 某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则其侧视图的面积是（ ）A ．B ．C ．1D ．　8． 若关于的不等式的解集为或，则的取值为（ ）2043x a x x +>++31x -<<-2x >A ． B ． C ． D ．1212-2-9． 若直线与曲线：没有公共点，则实数的最大值为（ ）:1l y kx =-C 1()1ex f x x =-+kA ．－1B ．C ．1D 12【命题意图】考查直线与函数图象的位置关系、函数存在定理，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力．10．已知α是△ABC 的一个内角，tan α=，则cos （α+）等于（ ）A ．B ．C ．D ．　11．常用以下方法求函数y=[f （x ）]g （x ）的导数：先两边同取以e 为底的对数（e ≈2.71828…，为自然对数的底数）得lny=g （x ）lnf （x ），再两边同时求导，得•y ′=g ′（x ）lnf （x ）+g （x ）•[lnf （x ）]′，即y ′=[f （x ）]g （x ）{g ′（x ）lnf （x ）+g （x ）•[lnf （x ）]′}．运用此方法可以求函数h （x ）=x x （x ＞0）的导函数．据此可以判断下列各函数值中最小的是（ ）A ．h （）B ．h （）C ．h （）D ．h （）12．α是第四象限角，，则sin α=（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．设集合A={x|x+m ≥0}，B={x|﹣2＜x ＜4}，全集U=R ，且（∁U A ）∩B=∅，求实数m 的取值范围为 ．14．函数在区间上递减，则实数的取值范围是．2()2(1)2f x x a x =+-+(,4]-∞15．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，异面直线A 1B 与AC 所成的角是 °．16．已知函数y=f （x ），x ∈I ，若存在x 0∈I ，使得f （x 0）=x 0，则称x 0为函数y=f （x ）的不动点；若存在x 0∈I ，使得f （f （x 0））=x 0，则称x 0为函数y=f （x ）的稳定点．则下列结论中正确的是 ．（填上所有正确结论的序号）①﹣，1是函数g （x ）=2x 2﹣1有两个不动点；②若x 0为函数y=f （x ）的不动点，则x 0必为函数y=f （x ）的稳定点；③若x 0为函数y=f （x ）的稳定点，则x 0必为函数y=f （x ）的不动点；④函数g （x ）=2x 2﹣1共有三个稳定点；⑤若函数y=f （x ）在定义域I 上单调递增，则它的不动点与稳定点是完全相同．17．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若6a=4b=3c ，则cosB= ．18．（sinx+1）dx 的值为 ．三、解答题19．若点（p ，q ），在|p|≤3，|q|≤3中按均匀分布出现．（1）点M （x ，y ）横、纵坐标分别由掷骰子确定，第一次确定横坐标，第二次确定纵坐标，则点M （x ，y ）落在上述区域的概率？（2）试求方程x 2+2px ﹣q 2+1=0有两个实数根的概率．20．已知椭圆E 的长轴的一个端点是抛物线y 2=4x 的焦点，离心率是．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）已知动直线y=k （x+1）与椭圆E 相交于A 、B 两点，且在x 轴上存在点M ，使得与k 的取值无关，试求点M 的坐标．21．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知二次函数为偶函数且图象经过原点，()f x 其导函数的图象过点．()'f x ()12，（1）求函数的解析式；()f x（2）设函数，其中m 为常数，求函数的最小值．()()()'g x f x f x m =+-()g x 22．由四个不同的数字1，2，4，x 组成无重复数字的三位数．（1）若x=5，其中能被5整除的共有多少个？（2）若x=9，其中能被3整除的共有多少个？（3）若x=0，其中的偶数共有多少个？（4）若所有这些三位数的各位数字之和是252，求x ．23．（本小题满分12分）已知两点及，点在以、为焦点的椭圆上，且、、)0,1(1-F )0,1(2F P 1F 2F C 1PF 21F F 构成等差数列．2PF （I ）求椭圆的方程；C （II ）设经过的直线与曲线C 交于两点，若，求直线的方程．2F m P Q 、22211PQ F P F Q =+m 24．已知圆C ：（x ﹣1）2+y 2=9内有一点P （2，2），过点P 作直线l 交圆C 于A ，B 两点．（1）当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程；（2）当弦AB被点P平分时，求直线l的方程．永年区三中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1． 【答案】B【解析】解：∵向量ab=0，∴此三角形为直角三角形，三边长分别为3，4，5，进而可知其内切圆半径为1，∵对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，但5个以上的交点不能实现．故选B【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系．可采用数形结合结合的方法较为直观．2． 【答案】C【解析】解：设过右焦点F 的弦为AB ，右准线为l ，A 、B 在l 上的射影分别为C 、D连接AC 、BD ，设AB 的中点为M ，作MN ⊥l 于N 根据圆锥曲线的统一定义，可得==e ，可得∴|AF|+|BF|＜|AC|+|BD|，即|AB|＜|AC|+|BD|，∵以AB 为直径的圆半径为r=|AB|，|MN|=（|AC|+|BD|）∴圆M 到l 的距离|MN|＞r ，可得直线l 与以AB 为直径的圆相离故选：C【点评】本题给出椭圆的右焦点F ，求以经过F 的弦AB 为直径的圆与右准线的位置关系，着重考查了椭圆的简单几何性质、圆锥曲线的统一定义和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．3． 【答案】B【解析】易知，所以，故选B.{}{}|10|1B x x x x =-≥=≥()R A B = ð{}|21x x -≤<4．【答案】B【解析】解：∵x＞1∴x﹣1＞0由基本不等式可得，当且仅当即x﹣1=1时，x=2时取等号“=”故选B5．【答案】B【解析】，圆心直角坐标为（0,-1），极坐标为，选B。