函数及其表示(周练)

§2.1 函数及其表示1．函数的基本概念 (1)函数的定义设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A . (2)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(3)函数的三要素：定义域、对应关系和值域． (4)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 2．映射的概念设A ，B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射． 3．函数解析式的求法求函数解析式常用方法有待定系数法、换元法、配凑法、消去法． 4．常见函数定义域的求法 (1)分式函数中分母不等于零． (2)偶次根式函数被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域为R .(4)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x ，定义域均为R .(5)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z .(6)函数f (x )＝x α的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f (x )＝x 2x 与g (x )＝x 是同一个函数．( × ) (2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( × )(3)若函数f (x )的定义域为{x |1≤x <3}，则函数f (2x －1)的定义域为{x |1≤x <5}．( × )(4)f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2 (－1≤x ≤1)x ＋1 (x >1或x <－1)，则f (－x )＝⎩⎨⎧1－x 2 (－1≤x ≤1)－x ＋1 (x >1或x <－1).( √ ) (5)函数f (x )＝x 2＋4＋1的值域是{y |y ≥1}．( × ) (6)函数是特殊的映射．( √ ) 2．(2013·江西)函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( )A ．(0,1)B ．[0,1)C ．(0,1]D ．[0,1]答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0x ≥0得，函数定义域为[0,1)．3．(2012·安徽)下列函数中，不满足．．．f (2x )＝2f (x )的是 ( )A ．f (x )＝|x |B ．f (x )＝x －|x |C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x答案 C解析 将f (2x )表示出来，看与2f (x )是否相等． 对于A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )； 对于B ，f (2x )＝2x －|2x |＝2(x －|x |)＝2f (x )； 对于C ，f (2x )＝2x ＋1≠2f (x )； 对于D ，f (2x )＝－2x ＝2f (x )，故只有C 不满足f (2x )＝2f (x )，所以选C. 4．(2012·福建)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (g (π))的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．π答案 B解析 根据题设条件，∵π是无理数，∴g (π)＝0， ∴f (g (π))＝f (0)＝0. 5．给出四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②f (x )＝x －2＋2－x 是函数；③函数y ＝2x (x ∈N )的图象是一条直线；④函数的定义域和值域一定是无限集合． 其中正确命题的序号有________． 答案 ①②解析 对于①函数是映射，但映射不一定是函数； 对于②f (x )是定义域为{2}，值域为{0}的函数； 对于③函数y ＝2x (x ∈N )的图象不是一条直线；对于④由于函数的关系可以用列表的方法表示，有些用列表法表示的函数的定义域和值域都不是无限集合.题型一 函数的概念 例1 有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x ≥0)－1 (x <0)表示同一函数；②函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； ③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；④若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝0. 其中正确判断的序号是________．思维启迪 可从函数的定义、定义域和值域等方面对所给结论进行逐一分析判断． 答案 ②③解析 对于①，由于函数f (x )＝|x |x 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x ≥0)－1 (x <0)的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于②，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域内的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，如果x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于③，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数；对于④，由于f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f (0)＝1. 综上可知，正确的判断是②③.思维升华 函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应关系是就效果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)．(1)下列四个图象中，是函数图象的是( )A ．(1)B ．(1)(3)(4)C ．(1)(2)(3)D ．(3)(4)(2)下列各组函数中，表示同一函数的是( )A ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2C ．f (x )＝x 2－1x －1，g (x )＝x ＋1D ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2－1 答案 (1)B (2)A解析 (1)由一个变量x 仅有一个f (x )与之对应，得(2)不是函数图象．故选B. (2)A 中，g (x )＝|x |，∴f (x )＝g (x )． B 中，f (x )＝|x |(x ∈R )，g (x )＝x (x ≥0)， ∴两函数的定义域不同．C 中，f (x )＝x ＋1 (x ≠1)，g (x )＝x ＋1(x ∈R )， ∴两函数的定义域不同．D 中，f (x )＝x ＋1·x －1(x ＋1≥0且x －1≥0)，f (x )的定义域为{x |x ≥1}； g (x )＝x 2－1(x 2－1≥0)，g (x )的定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}． ∴两函数的定义域不同．故选A.题型二 求函数的解析式例2 (1)如果f (1x )＝x1－x，则当x ≠0且x ≠1时，f (x )等于( )A.1xB.1x －1C.11－xD.1x －1 (2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________.(3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f (1x)·x －1，则f (x )＝________.思维启迪 (1)令t ＝1x ，反解出x ，代入f (1x )＝x1－x ，求f (t )的表达式．(2)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，结合条件列出关于x 的方程求参数a ，b .(3)用1x代替x ，通过解方程组求f (x )．答案 (1)B (2)2x ＋7 (3)23x ＋13解析 (1)令t ＝1x ，得x ＝1t ，∴f (t )＝1t 1－1t ＝1t －1，∴f (x )＝1x －1.(2)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7， ∴f (x )＝2x ＋7.(3)在f (x )＝2f (1x )x －1中，用1x代替x ，得f (1x )＝2f (x )1x －1，将f (1x )＝2f (x )x－1代入f (x )＝2f (1x )x －1中，可求得f (x )＝23x ＋13.思维升华 函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法； (2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式；(4)消去法：已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．(1)已知f (x ＋1x )＝x 2＋1x 2，求f (x )的解析式．(2)已知f (x )满足2f (x )＋f (1x)＝3x ，求f (x )的解析式．解 (1)∵f (x ＋1x )＝x 2＋1x 2＝(x ＋1x)2－2，且x ＋1x ≥2或x ＋1x ≤－2,∴f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2)．(2)∵2f (x )＋f (1x )＝3x ，①把①中的x 换成1x，得2f (1x )＋f (x )＝3x.②①×2－②得3f (x )＝6x －3x，∴f (x )＝2x －1x(x ≠0)．题型三 求函数的定义域例3 (1)函数f (x )＝ln (2＋x －x 2)|x |－x 的定义域为( )A ．(－1,2)B ．(－1,0)∪(0,2)C ．(－1,0)D ．(0,2)(2)已知函数f (x )的定义域为[1,2]，则函数g (x )＝f (2x )(x －1)0的定义域为________．思维启迪 函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；抽象函数的定义域要注意自变量的取值和各个字母的位置．答案 (1)C (2)[12，1)解析 (1)f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧2＋x －x 2>0，|x |－x ≠0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <2，x <0，∴－1<x <0，∴f (x )的定义域为(－1,0)．(2)要使函数g (x )＝f (2x )(x －1)0有意义，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧1≤2x ≤2x －1≠0，∴12≤x <1，故函数g (x )的定义域为[12，1)． 思维升华 (1)求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集．(2)已知f (x )的定义域是[a ，b ]，求f [g (x )]的定义域，是指满足a ≤g (x )≤b 的x 的取值范围，而已知f [g (x )]的定义域是[a ，b ]，指的是x ∈[a ，b ]．(1)已知函数f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (x ＋12)＋f (x －12)的定义域是________． (2)函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为________________________________________________________________________．答案 (1)[12，32] (2)(－1,1)解析 (1)因为函数f (x )的定义域是[0,2]，所以函数g (x )＝f (x ＋12)＋f (x －12)中的自变量x 需要满足⎩⎨⎧0≤x ＋12≤2，0≤x －12≤2，解得：12≤x ≤32，所以函数g (x )的定义域是[12，32]．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0－x 2－3x ＋4>0，得－1<x <1.题型四 分段函数例4 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3(2)设函数y ＝f (x )在R 上有定义．对于给定的正数M ，定义函数f M (x ) ＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤M ，M ，f (x )>M ，则称函数f M (x )为f (x )的“孪生函数”．若给定函数f (x )＝2－x 2，M ＝1，则f M (0)的值为 ( )A ．2B ．1 C. 2 D ．－ 2思维启迪 (1)应对a 分a >0和a ≤0进行讨论，确定f (a )． (2)可以根据给定函数f (x )和M 确定f M (x )，再求f M (0)． 答案 (1)A (2)B解析 (1)由题意知f (1)＝21＝2.∵f (a )＋f (1)＝0， ∴f (a )＋2＝0.①当a >0时，f (a )＝2a,2a ＋2＝0无解；②当a ≤0时，f (a )＝a ＋1，∴a ＋1＋2＝0，∴a ＝－3. (2)由题设f (x )＝2－x 2≤1，得 当x ≤－1或x ≥1时， f M (x )＝2－x 2；当－1<x <1时，f M (x )＝1.∴f M (0)＝1.思维升华 (1)应用分段函数时，首先要确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应关系代入计算求解，特别要注意分段区间端点的取舍，当自变量的值不确定时，要分类讨论． (2)若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1(－1≤x <0)，－x ＋1(0<x ≤1)，则f (x )－f (－x )>－1的解集为 ( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．[－1，－12)∪(0,1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．[－1，－12]∪(0,1)答案 B解析 ①当－1≤x <0时，0<－x ≤1，此时f (x )＝－x －1，f (－x )＝－(－x )＋1＝x ＋1， ∴f (x )－f (－x )>－1化为－2x －2>－1，解得x <－12，则－1≤x <－12.②当0<x ≤1时，－1≤－x <0，此时，f (x )＝－x ＋1，f (－x )＝－(－x )－1＝x －1， ∴f (x )－f (－x )>－1化为－2x ＋2>－1， 解得x <32，则0<x ≤1.故所求不等式的解集为[－1，－12)∪(0,1]．分段函数意义理解不清致误典例：(5分)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________． 易错分析 本题易出现的错误主要有两个方面：(1)误以为1－a <1,1＋a >1，没有对a 进行讨论直接代入求解． (2)求解过程中忘记检验所求结果是否符合要求致误． 解析 当a >0时，1－a <1,1＋a >1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a <0时，1－a >1,1＋a <1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34.答案 －34温馨提醒 (1)分类讨论思想在求函数值中的应用：对于分段函数的求值问题，若自变量的取值范围不确定，应分情况求解．(2)检验所求自变量的值或范围是否符合题意求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求.方法与技巧1．在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同．2．定义域优先原则：函数定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义域上进行．3．函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、消去法． 4．分段函数问题要分段求解． 失误与防范求分段函数应注意的问题：在求分段函数的值f (x 0)时，首先要判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集.A 组 专项基础训练一、选择题1．函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋4－x 2的定义域为( )A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2]答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0ln (x ＋1)≠04－x 2≥0，得－1<x ≤2，且x ≠0.2．(2012·江西)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))等于( )A.15 B ．3 C.23 D.139 答案 D解析 由题意知f (3)＝23，f ⎝⎛⎭⎫23＝⎝⎛⎭⎫232＋1＝139，∴f (f (3))＝f ⎝⎛⎭⎫23＝139.3．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )答案 B解析 可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案．4．已知函数f (x )满足f (2x ＋|x |)＝log 2x |x |，则f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝log 2xB ．f (x )＝－log 2xC ．f (x )＝2－xD ．f (x )＝x －2答案 B解析 根据题意知x >0，所以f (1x )＝log 2x ，则f (x )＝log 21x＝－log 2x .5．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝[x10] B ．y ＝[x ＋310]C ．y ＝[x ＋410]D ．y ＝[x ＋510]答案 B解析 方法一 取特殊值法，若x ＝56，则y ＝5，排除C ，D ； 若x ＝57，则y ＝6，排除A ，选B.方法二 设x ＝10m ＋α(0≤α≤9，m ，α∈N )，当0≤α≤6时，[x ＋310]＝[m ＋α＋310]＝m ＝[x10]，当6<α≤9时，[x ＋310]＝[m ＋α＋310]＝m ＋1＝[x10]＋1，所以选B.二、填空题6．下表表示y 是x 的函数，则函数的值域是________.x 0<x <5 5≤x <1010≤x <1515≤x ≤20y2345答案 {2,3,4,5}解析 函数值只有四个数2、3、4、5，故值域为{2,3,4,5}．7．已知f (x －1x )＝x 2＋1x 2，则f (3)＝________.答案 11解析 ∵f (x －1x )＝x 2＋1x 2＝(x －1x )2＋2，∴f (x )＝x 2＋2(x ≠0)，∴f (3)＝32＋2＝11.8．若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________． 答案 [－1,0]解析 由题意知2x 2＋2ax －a －1≥0恒成立．∴x 2＋2ax －a ≥0恒成立，∴Δ＝4a 2＋4a ≤0，∴－1≤a ≤0.三、解答题9．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.求函数f (x )的解析式．解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝0，∴c ＝0，即f (x )＝ax 2＋bx .又∵f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1.∴(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝(b ＋1)x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝b ＋1a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝12b ＝12. ∴f (x )＝12x 2＋12x . 10．某人开汽车沿一条直线以60 km/h 的速度从A 地到150 km 远处的B 地．在B 地停留1 h后，再以50 km/h 的速度返回A 地，把汽车与A 地的距离x (km)表示为时间t (h)(从A 地出发开始)的函数，并画出函数的图象．解x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t 0≤t ≤52150 52<t ≤72150－50(t －72) 72<t ≤132. 图象如右图所示． B 组 专项能力提升 1．已知a ，b 为两个不相等的实数，集合M ＝{a 2－4a ，－1}，N ＝{b 2－4b ＋1，－2}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于 ( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 D解析 由已知可得M ＝N ，故⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－4a ＝－2，b 2－4b ＋1＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a ＋2＝0，b 2－4b ＋2＝0， 所以a ，b 是方程x 2－4x ＋2＝0的两根，故a ＋b ＝4.2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4x ＋6，x ≤0－x ＋6，x >0，则不等式f (x )<f (－1)的解集是 ()A ．(－3，－1)∪(3，＋∞)B ．(－3，－1)∪(2，＋∞)C ．(－3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(－1,3)答案 A解析 f (－1)＝3，f (x )<3，当x ≤0时，x 2＋4x ＋6<3，解得x ∈(－3，－1)；当x >0时，－x ＋6<3，解得x ∈(3，＋∞)，故不等式的解集为(－3，－1)∪(3，＋∞)，故选A.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≥0，－2x ，x <0，则关于x 的方程f (f (x ))＋k ＝0，给出下列四个命题： ①存在实数k ，使得方程恰有1个实根；②存在实数k ，使得方程恰有2个不相等的实根；③存在实数k ，使得方程恰有3个不相等的实根；④存在实数k ，使得方程恰有4个不相等的实根．其中正确命题的序号是________．(把所有满足要求的命题序号都填上)答案 ①②解析依题意，知函数f (x )>0，又f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧ee x ，x ≥0，e －2x ，x <0， 依据y ＝f (f (x ))的大致图象(如右图所示)，知存在实数k ，使得方程f (f (x ))＋k ＝0恰有1个实根或恰有2个不相等的实根；不存在实数k ，使得方程恰有3个不相等的实根或恰有4个不相等的实根．4.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫 作刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．解 (1)由题意及函数图象，得⎩⎨⎧402200＋40m ＋n ＝8.4602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0， 所以y ＝x 2200＋x 100(x ≥0)． (2)令x 2200＋x 100≤25.2， 得－72≤x ≤70.∵x ≥0，∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．5．运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米(50≤x ≤100)(单位：千米/小时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2＋x 2360)升，司机的工资是每小时14元． (1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．解 (1)行车所用时间为t ＝130x(h)， y ＝130x ×2×(2＋x 2360)＋14×130x，x ∈[50,100]． 所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50,100]． (2)y ＝2 340x ＋1318x ≥2610，当且仅当2 340x ＝1318x ， 即x ＝1810时，上述不等式中等号成立．故当x ＝1810时，这次行车的总费用最低，最低费用为2610元．。

高二数学函数及其表示试题答案及解析1.下列四组中的f（x），g（x），表示同一个函数的是（）．A．f（x）＝1，g（x）＝x0B．f（x）＝x－1，g（x）＝－1C．f（x）＝x2，g（x）＝（）4D．f（x）＝x3，g（x）＝【答案】D【解析】A:函数的定义域为,函数的定义域为，所以定义域不相同，B:函数的定义域为,函数的定义域为，所以定义域不相同,C:函数的定义域为,函数的定义域为，所以定义域不相同.【考点】函数的三要素.2.下列式子中不能表示函数y＝f(x)的是（ )．A．x＝y2＋1B．y＝2x2＋1C．x－2y＝6D．x＝【答案】A【解析】因为函数的概念包含两条：①非空数集A,B；②对于任意,都有唯一的;而选项A中，当时，，不满足函数的概念；故选A.【考点】函数的概念.3.设是的两个非空子集，如果存在一个从到的函数满足：(i)；(ii)对任意，当时，恒有.那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下4对集合.①；②；③；④，其中，“保序同构”的集合对的对应的序号是(写出所有“保序同构”的集合对的对应的序号).【答案】②③④.【解析】“保序同构”的集合是指存在一函数满足：（1）.S是的定义域，T是值域，（2）. 在S上递增.对于①，若任意，当时，可能有，不是恒有成立，所以①中的两个集合不一定是保序同构，对于②，取符合保序同构定义，对于③，取函数符合保序同构定义，对于④，取符合保序同构定义，故选②③④.【考点】新概念信息题，单调函数的概念，蕴含映射思想.4.下列各组函数中，表示同一函数的是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意，对于A,定义域不同，故不成立，对于B，由于定义域和对应法则相同，因此成立，对于C，由于定义域不同，前者是x>1，后者是-1 1 ，故错误，对于D，由于定义域不同，前者是R，后者是，故选B.【考点】同一函数点评：本题考查函数的三要素：定义域、对应法则、值域，只有三要素完全相同，才能判断两个函数是同一个函数，这是判定两个函数为同一函数的标准．5.下列函数中,与函数相同的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意，由于函数，那么对于A，由于对应关系不一样，定义域相同不是同一函数，对于B,由于，对应关系式不同，不成立，对于D，由于定义域相同，对应法则不同，不是同一函数，排除法选C.【考点】同一个函数的概念点评：本题考查了两个函数图象是否相同，即是否为同一个函数的判断方法．6.已知为实数，（1）若，求在上最大值和最小值；（2）若在和上都是递增的，求的取值范围。

高一数学必修一 函数及其表示[根底训练A 组] 一、选择题1．判断以下各组中的两个函数是同一函数的为〔 〕⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ；⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(，2)(x x g =；⑷()f x =()F x = ⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f 。

A ．⑴、⑵B ．⑵、⑶C ．⑷D ．⑶、⑸2．函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点数目是〔 〕 A ．1B ．0C ．0或1D ．1或23．集合{}{}421,2,3,,4,7,,3A k B a a a ==+，且*,,a N x A y B ∈∈∈使B 中元素31y x =+和A 中的元素x 对应，那么,a k 的值分别为〔 〕 A ．2,3B ．3,4C ．3,5D ．2,54．22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，假设()3f x =，那么x 的值是〔 〕A ．1B ．1或32C ．1，32或5．为了得到函数(2)y f x =-的图象，可以把函数(12)y f x =-的图象适当平移，这个平移是〔 〕A ．沿x 轴向右平移1个单位B ．沿x 轴向右平移12个单位 C ．沿x 轴向左平移1个单位 D ．沿x 轴向左平移12个单位6．设⎩⎨⎧<+≥-=)10()],6([)10(,2)(x x f f x x x f 那么)5(f 的值为〔 〕A ．10B ．11C ．12D ．13二、填空题1．设函数.)().0(1),0(121)(a a f x xx x x f >⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥-=若那么实数a 的取值围是。

2．函数422--=x x y 的定义域。

3．假设二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(2,0),(4,0)A B -，且函数的最大值为9，那么这个二次函数的表达式是。

函数及其表示练习题一．选择题（共30小题）1．（2014•湖南）已知函数f （x ）=x 2+e x﹣（x ＜0）与g （x ）=x 2+ln （x+a ）的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，） B ． （﹣∞，）C ． （﹣，）D ． （﹣，）2．（2014•湖南）已知f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f （x ）﹣g （x ）=x 3+x 2+1，则f （1）+g （1）=（ ） A ． ﹣3 B ． ﹣1 C ． 1 D ． 3 3．（2014•聊城二模）函数f （x ）=（1﹣cosx ）sinx 在[﹣π，π]的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ．4．（2014•福建）若函数y=log a x （a ＞0，且a ≠1）的图象如图所示，则下列函数正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2014•江西）在同一直角坐标系中，函数y=ax 2﹣x+与y=a 2x 3﹣2ax 2+x+a （a ∈R ）的图象不可能的是（ ） A ．B ．C ．D ．6．（2014•浙江）在同一直角坐标系中，函数f （x ）=x a（x ≥0），g （x ）=log a x 的图象可能是（ ）7．（2014•广西）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f（9）=（）A．﹣2 B．﹣1 C．0D．18．（2014•宜春模拟）如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数：①f（x）=sinxcosx，②f（x）=sin2x+2，③f（x）=2sin（x+），④f（x）=sinx﹣cosx，其中属于“同簇函数”的是（）A．①②B ．①④C．②③D．③④9．（2014•遵义二模）设函数f（x）=|log a x|（0＜a＜1）的定义域为[m，n]（m＜n），值域为[0，1]，若n﹣m的最小值为，则实数a的值为（）A．B．或C．D．或10．（2014•蚌埠二模）下列函数满足|x|≥|f（x）|的是（）A． f（x）=e x﹣1 B． f（x）=ln（x+1）C． f（x）=tanx D． f（x）=sinx 11．（2014•潍坊模拟）已知函数f（x）=e|lnx|﹣|x﹣|，则函数y=f（x+1）的大致图象为（）A．B．C．D．12．（2014•遂宁一模）函数f（x）=xln|x|的图象大致是（）A．B．C．D．13．（2014•漳州一模）已知函数，则函数y=f（x）的大致图象为（）14．（2014•临沂三模）函数的图象大致为（ ） A ．B ．C ．D ．15．（2014•河东区一模）若方程f （x ）﹣2=0在（﹣∞，0）内有解，则y=f （x ）的图象是（ ） A ． B ． C ． D ．16．（2014•乌鲁木齐三模）已知函数f （x ）在定义域R 上的值不全为零，若函数f （x+1）的图象关于（1，0）对称，函数f （x+3）的图象关于直线x=1对称，则下列式子中错误的是（ ） A ． f （﹣x ）=f （x ） B ． f （x ﹣2）=f （x+6） C ． f （﹣2+x ）+f （﹣2﹣x ）=0D ． f （3+x ）+f （3﹣x ）=017．（2014•西藏一模）函数y=x+cosx 的大致图象是（ ） A ． B ． C ． D ．18．（2014•凉山州一模）函数y=的图象大致是（ ） A ．B ．C ．D ．19．（2014•海南模拟）已知偶函数y=f（x）满足条件f（x+1）=f（x﹣1），且当x∈[﹣1，0]时，f（x）=3x +，则f （lo5）的值等于（）A．﹣1 B．C．D ． 120．（2014•房山区二模）对任意两实数a，b，定义运算“*”：a*b=，关于函数f（﹣x）=e﹣x*e x，给出下列四个结论：①函数f（x）的最小值是e；②函数f（x）为偶函数；③函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；④函数f（x）的图象与直线y=ex没有公共点；其中正确结论的序号是（）A．①③B．②③C．①④D．②④21．（2014•洛阳二模）已知函数f（n）=n2cos（nπ），且a n=f（n）+f（n+1），则a1+a2+a3+…+a100=（）A．0B．﹣100 C．100 D．1020022．（2014•河西区三模）已知实数a≠0，函数，若f（1﹣a）=f（1+a），则a的值为（）A．B．C．D．23．（2014•江西二模）函数的图象可能是（）A．B．C．D．24．（2014•呼和浩特一模）若实数x、y满足|x﹣1|+lny=0，则y关于x的函数的图象大致形状是（）A．B．C．D．25．（2014•滨州二模）函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．26．（2014•济宁二模）函数f（x）=1﹣x+lgx的图象大致是（）A．B．C．D．27．（2014•吉安二模）如图，已知线段AB=，当点A在以原点O为圆心的单位圆上运动时，点B在x轴上滑动，设∠AOB=θ，记S（θ）为三角形AOB的面积，则S（θ）在[﹣，0）∪（0，]上的大致图象是（）A．B．C．D．28．（2014•崇明县二模）某同学对函数f（x）=进行研究后，得出以下五个结论：①函数y=f（x）的图象是轴对称图形；②函数y=f（x）对任意定义域中x值，恒有|f（x）|＜1成立；③函数y=f（x）的图象与x轴有无穷多个交点，且每相邻两交点间距离相等；④对于任意常数N＞0，存在常数b＞a＞N，函数y=f（x）在[a，b]上单调递减，且|b﹣a|≥1；⑤当常数k满足k≠0时，函数y=f（x）的图象与直线y=kx有且仅有一个公共点．其中所有正确结论的个数是（）A．5B．4C．3D．229．（2014•河北区三模）已知函数f（x）=．下列命题：①函数f（x）的图象关于原点对称；②函数f（x）是周期函数；③当x=时，函数f（x）取最大值；④函数f（x）的图象与函数y=的图象没有公共点．其中正确命题的序号是（）A．①③B．②③C．①④D．②④30．（2014•焦作一模）已知函数，则f（﹣4）+f（﹣3）+f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=（）A．0B．1C．D．函数及其表示（2014年09月14日）参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）1．（2014•湖南）已知函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．B．（﹣∞，）C．（﹣，）D．（﹣，）（﹣∞，）考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得：存在x0∈（﹣∞，0），满足x02+e x0﹣=（﹣x0）2+ln（﹣x0+a），结合函数g（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）图象和性质，可得g（0）=﹣lna＞0，进而得到答案．解答：解：由题意可得：存在x0∈（﹣∞，0），满足x02+e x0﹣=（﹣x0）2+ln（﹣x0+a），即e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）=0有负根，∵当x趋近于负无穷大时，e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）也趋近于负无穷大，且函数g（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）为增函数，∴g（0）=﹣lna＞0，∴lna＜ln，∴a＜，∴a的取值范围是（﹣∞，），故选：B点评：本题考查的知识点是函数的图象和性质，函数的零点，函数单调性的性质，函数的极限，是函数图象和性质较为综合的应用，难度大．2．（2014•湖南）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x3+x2+1，则f（1）+g（1）=（）A．﹣3 B．﹣1 C．1D．3考点：函数解析式的求解及常用方法；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：将原代数式中的x替换成﹣x，再结合着f（x）和g（x）的奇偶性可得f（x）+g（x），再令x=1即可．解答：解：由f（x）﹣g（x）=x3+x2+1，将所有x替换成﹣x，得f（﹣x）﹣g（﹣x）=﹣x3+x2+1，根据f（x）=f（﹣x），g（﹣x）=﹣g（x），得f（x）+g（x）=﹣x3+x2+1，再令x=1，计算得，f（1）+g（1）=1．故答案选C．点评：本题属于容易题，是对函数奇偶性的考查，在高考中，函数奇偶性的考查一般相对比较基础，学生在掌握好基础知识的前提下，做题应该没有什么障碍．本题中也可以将原代数式中的x直接令其等于﹣1也可以得到计算结果．3．（2014•聊城二模）函数f（x）=（1﹣cosx）sinx在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：由函数的奇偶性可排除B，再由x∈（0，π）时，f（x）＞0，可排除A，求导数可得f′（0）=0，可排除D，进而可得答案．解答：解：由题意可知：f（﹣x）=（1﹣cosx）sin（﹣x）=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，故可排除B，又因为当x∈（0，π）时，1﹣cosx＞0，sinx＞0，故f（x）＞0，可排除A，又f′（x）=（1﹣cosx）′sinx+（1﹣cosx）（sinx）′=sin2x+cosx﹣cos2x=cosx﹣cos2x，故可得f′（0）=0，可排除D，故选C点评：本题考查三角函数的图象，涉及函数的奇偶性和某点的导数值，属基础题．4．（2014•福建）若函数y=log a x（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数正确的是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：根据对数函数的图象所过的特殊点求出a的值，再研究四个选项中函数与图象是否对应即可得出正确选项．解答：解：由对数函数的图象知，此函数图象过点（3，1），故有y=log a3=1，解得a=3，对于A，由于y=a﹣x是一个减函数故图象与函数不对应，A错；对于B，由于幂函数y=x a是一个增函数，且是一个奇函数，图象过原点，且关于原点对称，图象与函数的性质对应，故B正确；对于C，由于a=3，所以y=（﹣x）a是一个减函数，图象与函数的性质不对应，C错；对于D，由于y=log a（﹣x）与y=log a x的图象关于y轴对称，所给的图象不满足这一特征，故D错．故选B．点评：本题考查函数的性质与函数图象的对应，熟练掌握各类函数的性质是快速准确解答此类题的关键．5．（2014•江西）在同一直角坐标系中，函数y=ax2﹣x+与y=a2x3﹣2ax2+x+a（a∈R）的图象不可能的是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：讨论a的值，当a=0时，知D可能，当a≠0时，x+的对称轴x=，利用求导函数求出函数y=a2x3﹣2ax2+x+a的极值点为x=与x=，比较对称轴与两极值点之间的关系，知对称轴介于两极值点之间，从而得到不符合题意的选项．解答：解：当a=0时，函数y=ax2﹣x+的图象是第二，四象限的角平分线，而函数y=a2x3﹣2ax2+x+a的图象是第一，三象限的角平分线，故D符合要求；当a≠0时，函数y=ax2﹣x+图象的对称轴方程为直线x=，由y=a2x3﹣2ax2+x+a可得：y′=3a2x2﹣4ax+1，令y′=0，则x1=，x2=，即x1=和x2=为函数y=a2x3﹣个极值点，对称轴x=介于x1=和x2=两个极值点之间，故A、C符合要求，B不符合，故选：B点评：本题考查的知识点是函数的图象，其中熟练掌握二次函数的图象和性质，三次函数的极值点等知识点是解答的关键．6．（2014•浙江）在同一直角坐标系中，函数f（x）=x a（x≥0），g（x）=log a x的图象可能是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：结合对数函数和幂函数的图象和性质，分当0＜a＜1时和当a＞1时两种情况，讨论函数f（x）=x a（x≥0），g（x）=log a x的图象，比照后可得答案．解答：解：当0＜a＜1时，函数f（x）=x a（x≥0），g（x）=log a x的图象为：此时答案D满足要求，当a＞1时，函数f（x）=x a（x≥0），g（x）=log a x的图象为：无满足要求的答案，综上：故选D点评：本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握对数函数和幂函数的图象和性质，是解答的关键．7．（2014•广西）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f（9）=（）A．﹣2 B．﹣1 C．0D．1考点：函数的值；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．偶性的性质，得到f（x+8）=f（x），即可得到结论．解答：解：∵f（x+2）为偶函数，f（x）是奇函数，∴f（﹣x+2）=f（x+2）=﹣f（x﹣2），即f（x+4）=﹣f（x），f（x+8）=f（x），则f（8）=f（0）=0，f（9）=f（1）=1，∴f（8）+f（9）=0+1=1，故选：D．点评：本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴是解决本题的关键．8．（2014•宜春模拟）如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数：①f（x）=sinxcosx，②f（x）=sin2x+2，③f（x）=2sin（x+），④f（x）=sinx﹣cosx，其中属于“同簇函数”的是（）A．①②B．①④C．②③D．③④考点：判断两个函数是否为同一函数．专题：函数的性质及应用．分析：利用三角函数的倍角公式、两角和差的正弦公式、平移变换，再根据“同簇函数”的意义即可得出．=sinxcosx=，②f（x）=sin2x+2，③f（x）=2sin（x+），④f（x）=sinx﹣cosx=2=，∴只有③经过相右平移个单位可得④．因此③④为“同簇函数”．故选：D．点评：本题考查了三角函数的倍角公式、两角和差的正弦公式、平移变换、新定义，属于基础题．9．（2014•遵义二模）设函数f（x）=|log a x|（0＜a＜1）的定义域为[m，n]（m＜n），值域为[0，1]，若n﹣m的最小值为，则实数a的值为（）A．B．或C．D．或考点：函数的定义域及其求法；函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数函数的单调性，以及值域为[0，1]，n﹣m要最小值，从而建立关于m，n的方程式，的值．解答：解：函数f（x）=|log a x|在（0，1）递减，在[1，+∞）递增∵值域为[0，1]，n﹣m要最小值∴定义域为[a，1]或[1，]∵﹣1=＞1﹣a∴n﹣m=1﹣a=即a=故选C．点评：熟练掌握分类讨论的思想方法和对数函数的单调性是解题的关键．10．（2014•蚌埠二模）下列函数满足|x|≥|f（x）|的是（）A．f（x）=e x﹣1 B．f（x）=ln（x+1）C．f（x）=tanx D．f（x）=sinx考点：函数的值域．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：对于前三个选项，可举例子用说明其不成立，由排除法得出正确选项解答：解：对于A，当x=2时，|2|≥|e2﹣1|，不成立，故A错；对于B，当x=﹣0.9时，0.9≥|ln0.1|=ln10不成立，故B错；对于C，当x=时，以C 错故选：D点评：本题考查正弦函数、正切函数及两个基本神道初等函数的性质，由于D 选项正面入手较繁，而前三个选项较易排除，选用排除法可以大大简化计算11．（2014•潍坊模拟）已知函数f （x ）=e |lnx|﹣|x ﹣|，则函数y=f （x+1）的大致图象为（ ） A ． B ． C ． D ．考点： 函数的图象与图象变化．专题： 函数的性质及应用．分析： 化简函数f （x ）的解析式为，而f （x+1）的图象可以认为是把函数f （x ）的图象向左平移1个单位得到的，由此得出结论．解答： 解：∵函数f （x ）=e |lnx|﹣|x ﹣|，∴当 x ≥1 时，函数f （x ）=x ﹣（x﹣）=．当 0＜x ＜1时，函数f （x ）=﹣（﹣x+）=．函数y=f（x+1）的图象可以认为是把函数f（x）的图象向左平移1个单位得到的，故选A．点评：本小题主要考查函数与函数的图象的平移变换，函数y=f（x+1）的图象与函数f（x）的图象间的关系，属于基础题．12．（2014•遂宁一模）函数f（x）=xln|x|的图象大致是（）A．B．C．D．考点：函数的图象与图象变化；对数函数的图像与性质．专题：计算题．分析：由于f（﹣x）=﹣f（x），得出f（x）是奇函数，其图象关于原点对称，由图象排除C，D，利用导数研究根据函数的单调性质，又可排除选项B，从而得出正确选项．解答：解：∵函数f（x）=xln|x|，可得f（﹣x）=﹣ff（x）是奇函数，其图象关于原点对称，排除C，D，又f′（x）=lnx+1，令f′（x）＞0得：x＞，得出函数f（x）在（，+∞）上是增函数，排除B，故选A点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题13．（2014•漳州一模）已知函数，则函数y=f（x）的大致图象为（）A．B．C．D．考点：函数的图象与图象变化．专题：数形结合．分析：由函数不是奇函数图象不关于原点对称，排除A、C，由x＞0时，函数值恒正，排除D．解答：解：函数y=f（x）是一个非奇非偶函数，图象不关于原点对称，故排除选项A、又当x＞0时，函数值大于0恒成立，故排除D，故选B．点评：本题考查函数图象的特征，通过排除错误的选项，从而得到正确的选项．排除法是解选择题常用的一种方法．14．（2014•临沂三模）函数的图象大致为（）A．B．C．D．考点：函数的图象与图象变化．专题：函数的性质及应用．分析：求出函数的定义域，通过函数的定义域，判断函数的奇偶性及各区间上函数的符号，进而利用排除法可得答案．解答：解：函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且f（﹣x）==﹣=﹣f（x）故函数为奇函数，图象关于原点对称，故A错误由分子中cos3x的符号呈周期性变化，故函数的符号也呈周期性变化，故C错误；不x∈（0，）时，f（x）＞0，故B错误故选：D点评：本题考查函数的图象的综合应用，对数函数的单调性的应用，考查基本知识的综合应用，考查数形结合，计算能力．判断图象问题，一般借助：函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、以及函数的图象的变化趋势等等．15．（2014•河东区一模）若方程f（x）﹣2=0在（﹣∞，0）内有解，则y=f（x）的图象是（）A．B．C．D．考点：函数的图象与图象变化．专题：作图题；数形结合；转化思想．分析：根据方程f（x）﹣2=0在（﹣∞，0）内有解，转化为函数f（x）的图象和直线y=2在（﹣∞，0）上有交点．解答： 解：A ：与直线y=2的交点是（0，2），不符合题意，故不正确；B ：与直线y=2的无交点，不符合题意，故不正确；C ：与直线y=2的在区间（0，+∞）上有交点，不符合题意，故不正确；D ：与直线y=2在（﹣∞，0）上有交点，故正确．故选D ．点评：考查了识图的能力，体现了数形结合的思想，由方程的零点问题转化为函数图象的交点问题，体现了转化的思想方法，属中档题．16．（2014•乌鲁木齐三模）已知函数f （x ）在定义域R 上的值不全为零，若函数f （x+1）的图象关于（1，0）对称，函数f （x+3）的图象关于直线x=1对称，则下列式子中错误的是（ ）A ． f （﹣x ）=f （x ）B ． f （x ﹣2）=f （x+6）C ． f （﹣2+x ）+f （﹣2﹣x ）=0D ． f （3+x ）+f （3﹣x ）=0考点： 函数的图象与图象变化．专题： 函数的性质及应用．分析： 由已知条件求得f （4﹣x ）=﹣f （x ） …①、f（x+4）=f （4﹣x ） …②、f （x+8）=f （x ） …③．再利用这3个结论检验各个选项是否正确，从而得出结论．解答：解：∵函数f（x+1）的图象关于（1，0）对称，∴函数f（x）的图象关于（2，0）对称，令F（x）=f（x+1），则F（x）=﹣F（2﹣x），故有f（3﹣x）=﹣f（x+1），f（4﹣x）=﹣f（x）…①．令G（x）=f（3﹣x），∵其图象关于直线x=1对称，∴G（2+x）=G（﹣x），即f（x+5）=f（3﹣x），∴f（x+4）=f（4﹣x）…②．由①②得，f（x+4）=﹣f（x），∴f（x+8）=f（x）…③．∴f（﹣x）=f（8﹣x）=f（4+4﹣x），由②得f[4+（4﹣x）]=f[4﹣（4﹣x）]=f（x），∴f（﹣x）=f（x），∴A对．由③得f（x﹣2+8）=f（x﹣2），即f（x﹣2）=f（x+6），∴B对．由①得，f（2﹣x）+f（2+x）=0，又f（﹣x）=f（x），∴f（﹣2﹣x）+f（﹣2+x）=f（2﹣x）+f（2+x）=0，∴C对．若f（x+3）+f（3﹣x）=0，则f（6+x）=﹣f（x），∴f（12+x）=f（x），由③可得f（12+x）=f（4+x），又f（x+4）=﹣f（x），∴f（x）=﹣f（x），∴f（x）=0，与题意矛盾，∴D错，故选：D．点评：本题主要考查函数的奇偶性、单调性、周期性的应用，函数的图象及图象变换．17．（2014•西藏一模）函数y=x+cosx的大致图象是（）A．B．C．D．考点：函数的图象与图象变化；函数的图象．专题：计算题；数形结合．分析：先研究函数的奇偶性知它是非奇非偶函数，从而排除A、C两个选项，再看此函数与直线y=x的交点情况，即可作出正确的判断．解答：解：由于f（x）=x+cosx，∴f（﹣x）=﹣x+cosx，∴f（﹣x）≠f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x），故此函数是非奇非偶函数，排除③④；又当x=时，x+cosx=x，即f（x）的图象与直线y=x的交点中有一个点的横坐标为，排除①．故选B．点评：本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力，属于中档题．18．（2014•凉山州一模）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．考点：函数的图象与图象变化．专题：函数的性质及应用．分析：求出函数的定义域，通过函数的定义域，判断函数的奇偶性及各区间上函数的符号，进而利用排除法可得答案．解答：解：函数f（x）=y=的定义域为（﹣∞，﹣）∪（﹣，0）∪（0，）∪（，+∞），四个图象均满足；又∵f（﹣x）===f（x），故函数为偶函数，故函数图象关于y轴对称，四个图象均满足；当x∈（0，）时，y==＜0，可排除B，D答案；当x∈（，+∞）时，y==＞0，可排除C答案；故选：A点评：本题考查函数的图象的综合应用，对数函数的单调性的应用，考查基本知识的综合应用，考查数形结合，计算能力．判断图象问题，一般借助：函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、以及函数的图象的变化趋势等等．19．（2014•海南模拟）已知偶函数y=f（x）满足条件f（x+1）=f（x﹣1），且当x∈[﹣1，0]时，f（x）=3x+，则f （lo5）的值等于（）A．﹣1 B．C．D．1考点：函数解析式的求解及常用方法；函数的值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：通过已知条件判断求出函数的周期，判断对数值的范围，利用偶函数与周期转化自变量的值满足已知函数表达式，求出函数值即可．解答：解：∵偶函数y=f（x）满足条件f（x+1）=f（x﹣1），∴f（x+2）=f（x），周期为：2，∵当x∈[﹣1，0]时，f（x）=3x+，∴lo5=﹣∈（﹣2，﹣1），2﹣∈（0，1）f（lo5）=f（2﹣）=f（﹣2）===1．故选D．点评：本题考查函数的周期奇偶性以及函数的解析式的应用，考查计算能力．20．（2014•房山区二模）对任意两实数a，b，定义运算“*”：a*b=，关于函数f（﹣x）=e﹣x*e x，给出下列四个结论：①函数f（x）的最小值是e；②函数f（x）为偶函数；③函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；④函数f（x）的图象与直线y=ex没有公共点；其中正确结论的序号是（）A．①③B．②③C．①④D．②④考点：函数解析式的求解及常用方法；函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：求出函数f（x）的解析式，求出函数的最小值判断①的正误；利用奇偶性定义判断②的正误；利用函数的单调性判断③的正误；利用函数的图象的交点判断④的正误．解答：解：由题意得，函数f（﹣x）=e﹣x*e x=∴f（x）=对于①，∵f（0）=e0=1，∴f（x）的最小值是1，∴①错误；对于②，∵f（﹣x）=e﹣x*e x=e x*e﹣x=f（x），∴f（x）为偶函数，∴②正确；对于③，当x＞0时，f（x）=e x是增函数，∴③正确；对于④，构造函数g（x）=e x﹣ex，其中x＞0，当x=1时，g（x）=0，∴函数g（x）有零点，∴函数f（x）与y=ex有公共点，∴④错误．所以，正确的结论有②③．故选：B．点评：本题考查了新定义的函数的性质以及应用问题，解题时应综合分析题目中的条件和结论，寻找解答问题的途径，是中档题．21．（2014•洛阳二模）已知函数f（n）=n2cos（nπ），且a n=f（n）+f（n+1），则a1+a2+a3+…+a100=（）A．0B．﹣100 C．100 D．10200考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；数列的求和；数列递推式．专题：压轴题．分析：先求出分段函数f（n）的解析式，进一步给出数列的通项公式，再使用分组求和法，求解．解答：解：∵，由a n=f（n）+f（n+1）=（﹣1）n•n2+（﹣1）n+1•（n+1）2=（﹣1）n[n2﹣（n+1）2]=（﹣1）n+1•（2n+1），得a1+a2+a3+…+a100=3+（﹣5）+7+（﹣9）+…+199+（﹣201）=50×（﹣2）=﹣100．故选B点评：本小题是一道分段数列的求和问题，综合三角知识，主要考查分析问题和解决问题的能力．22．（2014•河西区三模）已知实数a≠0，函数，若f（1﹣a）=f（1+a），则a的值为（）A．B．C．D．考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：计算题；分类讨论．分析：由a≠0，f（1﹣a）=f（1+a），要求f（1﹣a），与f（1+a），需要判断1﹣a与1+a与1的大小，从而需要讨论a与0的大小，代入可求解答：解：∵a≠0，f（1﹣a）=f（1+a）当a＞0时，1﹣a＜1＜1+a，则f（1﹣a）=2（1﹣a）+a=2﹣a，f（1+a）=﹣（1+a）﹣2a=﹣1﹣3a∴2﹣a=﹣1﹣3a，即a=﹣（舍）当a＜0时，1+a＜1＜1﹣a，则f（1﹣a）=﹣（1﹣a）﹣2a=﹣1﹣a，f（1+a）=2（1+a）+a=2+3a∴﹣1﹣a=2+3a即综上可得a=﹣故选A点评：本题主要考查了分段函数的函数值的求解，解题的关键是把1﹣a与1+a与1的比较，从而确定f（1﹣a）与f（1+a），体现了分类讨论思想的应用．23．（2014•江西二模）函数的图象可能是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：根据分数函数的性质进行化简判断即可．解答：解：∵=，∴对应的图象为B．故选：B．点评：本题主要考查函数图象的识别和判断，根据分数函数的性质是解决本题的关键，比较基础．24．（2014•呼和浩特一模）若实数x、y满足|x﹣1|+lny=0，则y关于x的函数的图象大致形状是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：由恒等变形得出，y关于x的函数解析式，由类指数函数的性质，即判断函数的单调性和最值，可得出答案．解答：解：|x﹣1|+lny=0⇔lny=﹣|x﹣1|⇔y=e﹣|x﹣1|⇔，∴当x≥1时，单调递减，当x＜1时，单调递增，且当x=1时函数有最大值y=1，当x→﹣∞，x→+∞时，y→0，结合以上分析，知答案为D．故选：D．点评：本题考查了，等价变形，极限思想，分类讨论思想，利用函数的单调性和最值判断函数的图象，是常考的题型．属于基础题．25．（2014•滨州二模）函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：先研究函数的性质，可以发现它是一个奇函数，再研究函数在原点附近的函数值的符号，从而即可得出正确选项．解答：解：此函数是一个奇函数，故可排除B，D两个选项；又当自变量从原点左侧趋近于原点时，函数值为负，图象在X轴下方，当自变量从原点右侧趋近于原点时，函数值为正，图象在x轴上方，故可排除B，A选项符合，故选A．点评：本题考查由函数的性质确定函数图象，其研究规律一般是先研究单调性与奇偶性，再研究某些特殊值．26．（2014•济宁二模）函数f（x）=1﹣x+lgx的图象大致是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数的单调性，和极大值，就能判断函数的图象．解答：解：定义域为（0，+∞），=，∴当x∈（0，lge），时f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（lge，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x=lge时，f（x）取得极大值也是最大值，f（lge）=1﹣lge+lg（ge）=＞0，∴f（x）的图象为A．故选；A．点评：考查函数的单调性，极值和最值．属于基础题．27．（2014•吉安二模）如图，已知线段AB=，当点A在以原点O为圆心的单位圆上运动时，点B在x轴上滑动，设∠AOB=θ，记S（θ）为三角形AOB的面积，则S（θ）在[﹣，0）∪（0，]上的大致图象是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：可利用特殊值法来做．根据已知，分别给出θ的一些值，求出对应的x（θ）的值，再结合图象判断即可．解答：解：∵S（θ）为三角形AOB的面积，∴S（θ）≥0，可以排除A，又当θ=，或时，S（θ）=＞0，可以排除B，当θ=，S（θ）=S（），当θ=，=，当，S（θ）=S（=，易知，S（θ）的图象为非线性的，可以排除D，所以选C．故选：C．点评：本题考查了选择题中利用特殊值法求图象，做题时要认真观察．28．（2014•崇明县二模）某同学对函数f（x）=进行研究后，得出以下五个结论：①函数y=f（x）的图象是轴对称图形；②函数y=f（x）对任意定义域中x值，恒有|f（x）|＜1成立；③函数y=f（x）的图象与x轴有无穷多个交点，且每相邻两交点间距离相等；④对于任意常数N＞0，存在常数b＞a＞N，函数y=f（x）在[a，b]上单调递减，且|b﹣a|≥1；⑤当常数k满足k≠0时，函数y=f（x）的图象与直线y=kx有且仅有一个公共点．其中所有正确结论的个数是（）A．5B．4C．3D．2考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：抓住函数f（x）的图象与性质来求解．解答：解：①f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且f（﹣x）=f（x），所以f（x）为偶函数，故①正确；②根据正弦值在单位圆中的定义可知，|sinx|＜|x|，即在x∈（0，1]时，有，又因为|sinx|≤1，所以在x＞1时，有．又因为f（x）为偶函数，所以在其定义域内有，故②正确；③函数f（x）的图象与x轴的交点坐标为（kπ，0）（k≠0），∴交点（﹣π，0）与（π，0）的距离为2π，而其余任意两点之间的距离为π，故③错误；④令，h2（x）=sinx，两函数在上均单调递减，且均为正值，∴f（x）在上单调递减，对于任意常数N＞0，存在常数b ＞a＞N，a，b∈，函数f（x）在[a，b]上单调递减，且|b﹣a|≥1，故④正确；⑤f（x）的大致图象如图所示，y=kx与f（x）的图象可能有2个交点，故⑤错误．故正确的为①②④，为3个，故选：C．点评：本题考查了函数的图象与性质，有一定的难度，且易错，只有冷静分析，方可得到正解．29．（2014•河北区三模）已知函数f（x）=．下列命题：①函数f（x）的图象关于原点对称；②函数f（x）是周期函数；③当x=时，函数f（x）取最大值；④函数f（x）的图象与函数y=的图象没有公共点．其中正确命题的序号是（）A．①③B．②③C．①④D．②④考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：研究函数相应性质，逐一判断．解答：解：函数定义域为R，且f（﹣x）=﹣f（x），即函数为奇函数，故①正确；y=sinx是周期函数，而y=x2+1不是周期函数，故f（x）不是周期函数，即②错误；，，故不是最值，即③错误；因为，当x＞0时，，故，f（x）＜0；当x＞0时，，故，f（x）＞0．即函数f（x）的图象与函数y=的图象没有公共点，④正确．故选：C．点评：本题考查了函数的奇偶性、周期性、最值与图象问题，属中档题，须逐一研究之．30．（2014•焦作一模）已知函数，则f（﹣4）+f（﹣3）+f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=（）A．0B．1C．D．考点：函数的值．专题：计算题．分析：本题应考查题设中所给条件的规律，由定义在R上的函数f（x）满足x﹣x=0，f（x）+f（﹣x）=1，可以看出，当自变量的和为0时，其函数值和为1，可用此规律解题，由此问题得解．解答：解：因为，所以==1，所以f（﹣4）+f（﹣3）+f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=4+=．故选C．点评：本题考点是求函数的值，考查根据函数的特性观察出规律，利用规律求值的能力，本题对观察能力要求较高．。

2.1 函数及其表示一、选择题1．下列各组函数中表示相同函数的是( ) A ．y ＝5x 5与y ＝x 2 B ．y ＝lne x 与y ＝e ln xC ．y ＝x －1x ＋3x －1与y ＝x ＋3D ．y ＝x 0与y ＝1x解析 对于A ，两函数的对应法则不同； 对于B ，两函数的定义域不同； 对于C ，两函数的定义域不同；对于D ，两函数的定义域都为{x |x ∈R ，x ≠0}，对应法则都可化为y ＝1(x ≠0)． 答案 D2．已知f ：x →s in x 是集合A (A ⊆[0,2π])到集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫0，12的一个映射，则集合A 中的元素最多有( )A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个 解析当sin x ＝12时，x ＝π6，5π6.所以，集合A 中的元素最多有5个． 答案 B3．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )．解析 (筛选法)根据函数的定义，观察得出选项B. 答案 B【点评】 本题解题利用的是筛选法，即根据题设条件筛选出正确选项，这种方法在选择题中经常应用.4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于( )．A.12B.45 C ．2 D ．9 解析 f (f (0))＝f (2)＝4＋2a 由已知4a ＝4＋2a ，解得a ＝2. 答案 C5．已知函数f (x )的图象是两条线段(如图，不含端点)，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝( )．A ．－13 B.13C ．－23 D.23解析 由图象知，f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1 －1＜x ＜0，x －1 0＜x ＜1.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝13－1＝－23，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－23＋1＝13.答案 B6．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎨⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b ＞1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，x ∈R.若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )． A ．(－∞，－2]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32B ．(－∞，－2]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－34C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，14∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞解析 当(x 2－2)－(x －x 2)≤1，即－1≤x ≤32时，f (x )＝x 2－2；当x 2－2－(x －x 2)＞1，即x ＜－1或x ＞32时，f (x )＝x －x 2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2⎝⎛⎭⎪⎫－1≤x ≤32，x －x 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＜－1或x ＞32，f (x )的图象如图所示，c ≤－2或－1＜c ＜－34.答案 B7.设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y 和其所用的时间x 的函数的图象为（ ）解析 注意本题中选择项的横坐标为小王从出发到返回原地所用的时间，纵坐标是经过的路程，故选D. 答案 D 二、填空题8. 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3x0≤x ≤1，x 2－4x ＋4x >1，则不等式1<f (x )<4的解集为________．解析 由题意⎩⎨⎧0≤x ≤1，1<3x<4或⎩⎨⎧x >1，1<x 2－4x ＋4<4，解得0<x ≤1或3<x <4.答案 (0,1]∪(3,4)9．已知函数f (x )、g (x )分别由下表给出：x 1 2 3 f (x )131x 1 2 3 g (x )321则f [g (1)]的值为________；满足f [g (x )]>g [f (x )]的x 的值是________． 解析 g (1)＝3 f [g (1)]＝1 g [f (1)]＝3g(2)＝2 f[g(2)]＝3 g[f(2)]＝1g(3)＝1 f[g(3)]＝1 g[f(3)]＝3因此满足f(g(x))>g(f(x))的x＝2.答案 1 210.已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)=2log f(x)的定义域是______.解析要使函数有意义，须f(x)＞0，由f(x)的图象可知,当x∈(2,8］时，f(x)＞0.答案 (2,8］11．函数f(x)的定义域为A，若x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称f(x)为单函数．例如，函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数．下列命题：①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；②若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；③若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，它至多有一个原象；④函数f(x)在某区间上具有单调性，则f(x)一定是单函数．其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号)解析对①，f(x)＝x2，则f(－1)＝f(1)，此时－1≠1，则f(x)＝x2不是单函数，①错；对②，当x1，x2∈A，f(x1)＝f(x2)时有x1＝x2，与x1≠x2时，f(x1)≠f(x2)互为逆否命题，②正确；对③，若b∈B，b有两个原象时．不妨设为a1，a2可知a1≠a2，但f(a1)＝f(a2)，与题中条件矛盾，故③正确；对④，f(x)＝x2在(0，＋∞)上是单调递增函数，但f(x)＝x2在R上就不是单函数，④错误；综上可知②③正确．答案②③12．在计算机的算法语言中有一种函数[x]叫做取整函数(也称高斯函数)，表示不超过x的最大整数，例如[2]＝2，[3.3]＝3，[－2.4]＝－3，设函数f(x)＝2x1＋2x－12，则函数y ＝[f (x )]＋[f (－x )]的值域为________． 解析 f (x )＝2x ＋1－11＋2x －12＝12－11＋2x，f (－x )＝12－11＋2－x ，当x >0时，f (x )∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12， f (－x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，此时[f (x )]＋[f (－x )]的值为－1；当x <0时，同理[f (x )]＋[f (－x )]的值为－1；当x ＝0时，[f (x )]＋[f (－x )]的值为0，故值域为{－1,0}． 答案 {－1,0} 三、解答题13．求下列函数的定义域： (1)f (x )＝lg 4－x x －3；(2)y ＝25－x 2－lg cos x ； (3)y ＝lg(x －1)＋lg x ＋1x －1＋19－x. 解 (1)⎩⎨⎧4－x ＞0x －3≠0，⇒x ＜4且x ≠3，故该函数的定义域为(－∞，3)∪(3,4)．(2)⎩⎨⎧25－x 2≥0，cos x ＞0，即⎩⎨⎧－5≤x ≤5，2k π－π2＜x ＜2k π＋π2，k ∈Z ，故所求定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－5，－3π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2∪⎝⎛⎦⎥⎤3π2，5. (3)⎩⎪⎨⎪⎧x －1＞0，x ＋1x －1＞0，9－x ＞0，即⎩⎨⎧x ＞1，x ＞1，x ＜9或x ＜－1，解得1＜x ＜9.故该函数的定义域为(1,9)．14. 设x ≥0时，f(x)=2;x ＜0时，f(x)=1，又规定：g(x)= ()()3f x 1f x 22---(x ＞0)，试写出y=g(x)的解析式，并画出其图象.解析 当0＜x ＜1时，x-1＜0,x-2＜0,∴g(x)= 312-=1.当1≤x ＜2时，x-1≥0，x-2＜0,∴g(x)= 61522-=;当x ≥2时，x-1＞0，x-2≥0,∴g(x)= 622-=2.故g(x)=1(0x 1)5(1x 2),22(x 2)⎧⎪⎪≤⎨⎪≥⎪⎩＜＜＜ 其图象如图所示.15．已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎨⎧x －1， x >0，2－x ， x <0，(1)求f [g (2)]与g [f (2)]． (2)求f [g (x )]与g [f (x )]的表达式． 解 (1)g (2)＝1，f [g (2)]＝f (1)＝0.f (2)＝3，g [f (2)]＝g (3)＝2. (2)当x >0时，f [g (x )]＝f (x －1)＝(x －1)2－1＝x 2－2x ； 当x <0时，f [g (x )]＝f (2－x )＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3. 即f [g (x )]＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x >0，x 2－4x ＋3，x <0.g [f (x )]＝⎩⎨⎧x 2－2，x <－1，或x >1，3－x 2，－1<x <1.16．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(1,0)，向量c 满足a ·c ＝0且|a |＝|c |，b ·c >0. (1)求向量c ；(2)映射f ：(x ，y )→(x ′，y ′)＝x ·a ＋y ·c ，若将(x ，y )看作点的坐标，问是否存在直线l ，使得直线l 上任意一点P 在映射f 的作用下仍在直线l 上？若存在，求出l 的方程，若不存在，说明理由．解析 (1)设c ＝(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＋y ＝0，x 2＋y 2＝2，x >0⇒⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1，∴c ＝(1，－1)．(2)假设直线l 存在，∴xa ＋yc ＝(x ＋y ，x －y )， ∵点(x ＋y ，x －y )在直线l 上， 因此直线l 的斜率存在且不为零， 设其方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，∴x －y ＝k (x ＋y )＋b ，即(1＋k )y ＝(1－k )x －b ，与y ＝kx ＋b 表示同一直线， ∴b ＝0，k ＝－1± 2.∴直线l 存在，其方程为y ＝(－1±2)x .。

1．函数与映射(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，其中所有x组成的集合A称为函数y＝f(x)的定义域；将所有y组成的集合叫做函数y＝f(x)的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．4．常见函数定义域的求法【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对于函数f ：A →B ，其值域是集合B .( × )(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( × ) (3)映射是特殊的函数．( × )(4)若A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x |，其对应是从A 到B 的映射．( × ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( × )1．下列函数中，不满足．．．f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝－x答案 C解析 将f (2x )表示出来，看与2f (x )是否相等． 对于A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )； 对于B ，f (2x )＝2x －|2x |＝2(x －|x |)＝2f (x )； 对于C ，f (2x )＝2x ＋1≠2f (x )； 对于D ，f (2x )＝－2x ＝2f (x )，故只有C 不满足f (2x )＝2f (x )，所以选C. 2．函数f (x )＝1(log 2x )2－1的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤0，12∪[2，＋∞) 答案 C解析 要使函数f (x )有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧x >0，(log 2x )2－1>0，解得x >2或0<x <12.故f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞)． 3．(2015·课标全国Ⅱ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2(2－x )，x ＜1，2x －1， x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)等于( )A ．3B ．6C ．9D ．12 答案 C解析 因为－2＜1，log 212＞log 28＝3＞1，所以f (－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝1＋log 24＝3，f (log 212)＝22log 121－＝22log 12×2－1＝12×12＝6，故f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9，故选C.4．(教材改编)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )答案 B解析 A 中函数定义域不是[－2,2]，C 中图象不表示函数，D 中函数值域不是[0,2]，故选B. 5．给出下列四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②f (x )＝x －2＋2－x 是函数；③函数y ＝2x (x ∈N )的图象是一条直线；④函数的定义域和值域一定是无限集合． 其中真命题的序号有________． 答案 ①②解析 对于①函数是映射，但映射不一定是函数；对于②f (x )是定义域为{2}，值域为{0}的函数；对于③函数y ＝2x (x ∈N )的图象不是一条直线；对于④函数的定义域和值域不一定是无限集合.题型一 函数的概念例1 有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x ≥0)－1 (x <0)表示同一函数；②函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； ③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；④若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝0. 其中正确判断的序号是________． 答案 ②③解析 对于①，由于函数f (x )＝|x |x 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎨⎧1 (x ≥0)－1 (x <0)的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于②，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域内的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，如果x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于③，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数；对于④，由于f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f (0)＝1. 综上可知，正确的判断是②③.思维升华函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应关系是就结果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)．(1)下列四组函数中，表示同一函数的是()A．y＝x－1与y＝(x－1)2B．y＝x－1与y＝x－1 x－1C．y＝4lg x与y＝2lg x2D．y＝lg x－2与y＝lg x100(2)下列所给图象是函数图象的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4答案 (1)D (2)B解析 (1)A 中两函数对应关系不同；B 、C 中的函数定义域不同，答案选D.(2)①中当x >0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象，②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象，故选B.题型二 函数的定义域命题点1 求给定函数解析式的定义域 例2 (1)函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为( ) A ．(－3,0] B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1](2)函数f (x )＝lg (x ＋1)x －1的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．[－1,1)∪(1，＋∞)答案 (1)A (2)C解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－2x≥0，x ＋3>0，解得－3<x ≤0，所以函数f (x )的定义域为(－3,0]，故选A.(2)要使函数f (x )＝lg (x ＋1)x －1有意义，需满足x ＋1>0且x －1≠0，得x >－1，且x ≠1，故选C.命题点2 求抽象函数的定义域例3 (1)若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 016]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是( )A ．[0,2 015]B ．[0,1)∪(1,2 015]C ．(1,2 016]D ．[－1,1)∪(1,2 015](2)若函数f (x 2＋1)的定义域为[－1,1]，则f (lg x )的定义域为( ) A ．[－1,1] B ．[1,2] C ．[10,100] D ．[0，lg 2]答案 (1)B (2)C解析 (1)令t ＝x ＋1，则由已知函数的定义域为[1，2 016]，可知1≤t ≤2 016.要使函数f (x ＋1)有意义，则有1≤x ＋1≤2 016，解得0≤x ≤2 015，故函数f (x ＋1)的定义域为[0,2 015]．所以使函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2 015，x －1≠0，解得0≤x <1或1<x ≤2 015.故函数g (x )的定义域为[0,1)∪(1,2 015]．故选B.(2)因为f (x 2＋1)的定义域为[－1,1]，则－1≤x ≤1，故0≤x 2≤1，所以1≤x 2＋1≤2.因为f (x 2＋1)与f (lg x )是同一个对应关系，所以1≤lg x ≤2，即10≤x ≤100，所以函数f (lg x )的定义域为[10,100]．故选C.命题点3 已知定义域求参数范围例4 若函数f (x )R ，则a 的取值范围为________． 答案 [－1,0]解析 因为函数f (x )的定义域为R ，所以222＋－x ax a－1≥0对x ∈R 恒成立，即222＋－x ax a≥20，x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0. 思维升华 简单函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)抽象函数：①无论是已知定义域还是求定义域，均是指其中的自变量x 的取值集合； ②对应f 下的范围一致．(3)已知定义域求参数范围，可将问题转化，列出含参数的不等式(组)，进而求范围．(1)已知函数f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (x ＋12)＋f (x －12)的定义域是________．(2)函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为___________________________．答案 (1)[12，32] (2)(－1,1)解析 (1)因为函数f (x )的定义域是[0,2]，所以函数g (x )＝f (x ＋12)＋f (x －12)中的自变量x 需要满足⎩⎨⎧0≤x ＋12≤2，0≤x －12≤2，解得：12≤x ≤32，所以函数g (x )的定义域是[12，32]．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，得－1<x <1.题型三 求函数解析式例5 (1)已知f (2x＋1)＝lg x ，则f (x )＝________.(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________. (3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f (1x )·x －1，则f (x )＝________.答案 (1)lg2x －1(x >1) (2)2x ＋7 (3)23x ＋13解析 (1)(换元法)令t ＝2x ＋1(t >1)，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1)． (2)(待定系数法) 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ， 即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7. (3)(消去法)在f (x )＝2f (1x )x －1中，用1x 代替x ，得f (1x )＝2f (x )1x－1，将f (1x )＝2f (x )x －1代入f (x )＝2f (1x )x －1中，可求得f (x )＝23x ＋13.思维升华 函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法； (2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式；(4)消去法：已知f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．(1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________.(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.(3)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则f (x )＝__________________. 答案 (1)x 2－1(x ≥1) (2)－12x (x ＋1)(3)23lg(x ＋1)＋13lg(1－x ) (－1<x <1) 解析 (1)设x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝t －1. 代入f (x ＋1)＝x ＋2x ， 得f (t )＝t 2－1(t ≥1)， ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(2)当－1≤x ≤0时，0≤x ＋1≤1， 由已知f (x )＝12f (x ＋1)＝－12x (x ＋1)．(3)当x ∈(－1,1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)．① 以－x 代替x 得，2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．② 由①②消去f (－x )得，f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1)．2．分类讨论思想在函数中的应用典例 (1)(2014·课标全国Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，13x ，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．(2)(2015·山东)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤23，1 B ．[0,1] C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞D ．[1, ＋∞)解析 (1)当x <1时，e x －1≤2，解得x ≤1＋ln 2， ∴x <1.当x ≥1时，13x ≤2，解得x ≤8，∴1≤x ≤8. 综上可知x ∈(－∞，8]． (2)由f (f (a ))＝2f (a )得，f (a )≥1.当a <1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a <1.当a ≥1时，有2a ≥1，∴a ≥0，∴a ≥1. 综上，a ≥23，故选C.答案 (1)(－∞，8] (2)C温馨提醒 (1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，然后选定相应关系式代入求解．(2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．(3)当自变量含参数或范围不确定时，要根据定义域分成的不同子集进行分类讨论．[方法与技巧]1．在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同．2．定义域优先原则：函数定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义域上进行．3．函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、消去法．4．分段函数问题要分段求解．[失误与防范]1．复合函数f[g(x)]的定义域也是解析式中x的范围，不要和f(x)的定义域相混．2．分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论．A组专项基础训练(时间：30分钟)1．下列各组函数中，表示同一函数的是()A．f(x)＝x，g(x)＝(x)2B．f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2C．f(x)＝x2，g(x)＝|x|D．f(x)＝0，g(x)＝x－1＋1－x答案C解析在A中，定义域不同，在B中，解析式不同，在D中，定义域不同．2．已知函数f(x)＝11－x2的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∪(∁R N)等于()A ．{x |x <1}B ．{x |x ≥1}C ．∅D ．{x |－1≤x <1}答案 A解析 M ＝(－1,1)，N ＝(－1，＋∞)，故M ∪(∁R N )＝{x |x <1}，故选A.3．已知f (x )为偶函数，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝2sin x ，当x ∈[2，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f ⎝⎛⎭⎫－π3＋f (4)等于( )A ．－3＋2B ．1C ．3 D.3＋2 答案 D解析 因为f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin π3＝3， f (4)＝log 24＝2，所以f ⎝⎛⎭⎫－π3＋f (4)＝3＋2. 4．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为( ) A ．g (x )＝2x 2－3x B ．g (x )＝3x 2－2x C ．g (x )＝3x 2＋2x D ．g (x )＝－3x 2－2x答案 B解析 (待定系数法)设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∵g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2，c ＝0，∴g (x )＝3x 2－2x ，选B.5．已知函数f (x )满足f (2x ＋|x |)＝log 2x |x |，则f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝log 2xB ．f (x )＝－log 2xC ．f (x )＝2－x D ．f (x )＝x －2答案 B解析 根据题意知x >0，所以f (1x )＝log 2x ，则f (x )＝log 21x ＝－log 2x .6．已知函数f (x )＝log 21x ＋1，f (a )＝3，则a ＝________.答案 －78解析 由题意可得log 21a ＋1＝3，所以1a ＋1＝23，解得a ＝－78.7．已知函数y ＝f (2x )的定义域为[－1,1]，则y ＝f (log 2x )的定义域是________． 答案 [2，4]解析 ∵函数f (2x )的定义域为[－1,1]， ∴－1≤x ≤1，∴12≤2x ≤2.∴在函数y ＝f (log 2x )中，12≤log 2x ≤2，∴2≤x ≤4.8．(2015·浙江)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg (x 2＋1)，x ＜1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________． 答案 0 22－3解析 ∵f (－3)＝lg [(－3)2＋1]＝lg 10＝1， ∴f (f (－3))＝f (1)＝0，当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x －3≥22－3，当且仅当x ＝2时，取等号，此时f (x )min ＝22－3<0；当x ＜1时，f (x )＝lg(x 2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x ＝0时，取等号，此时f (x )min ＝0.∴f (x )的最小值为22－3.9．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求函数f (x )的解析式． 解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝0， ∴c ＝0，即f (x )＝ax 2＋bx . 又∵f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1. ∴(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝(b ＋1)x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x .10．根据如图所示的函数y ＝f (x )的图象，写出函数的解析式．解 当－3≤x <－1时，函数y ＝f (x )的图象是一条线段(右端点除外)，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，将点(－3,1)，(－1，－2)代入，可得f (x )＝－32x －72；当－1≤x <1时，同理可设f (x )＝cx ＋d (c ≠0)， 将点(－1，－2)，(1,1)代入，可得f (x )＝32x －12；当1≤x <2时，f (x )＝1.所以f (x )＝⎩⎨⎧－32x －72，－3≤x <－1，32x －12，－1≤x <1，1，1≤x <2.B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11．若函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________．答案 [0,3)解析 因为函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，所以ax 2＋2ax ＋3＝0无实数解，即函数y ＝ax 2＋2ax ＋3的图象与x 轴无交点．当a ＝0时，函数y ＝13的图象与x 轴无交点；当a ≠0时，则Δ＝(2a )2－4·3a <0，解得0<a <3. 综上所述，a 的取值范围是[0,3)． 12．若函数f (x )＝x 2－1x 2＋1，则(1)f (2)f (12)＝________；(2)f (3)＋f (4)＋…＋f (2 017)＋f (13)＋f (14)＋…＋f (12 017)＝________.答案 (1)－1 (2)0解析 (1)∵f (x )＋f (1x )＝x 2－1x 2＋1＋1－x21＋x 2＝0，∴f (x )f (1x )＝－1(x ≠±1)，∴f (2)f (12)＝－1. (2)∵f (3)＋f (13)＝0，f (4)＋f (14)＝0，…，f (2 017)＋f (12 017)＝0，∴f (3)＋f (4)＋…＋f (2 017)＋f (13)＋…＋f (12 017)＝0.13．已知函数f (x )＝4|x |＋2－1的定义域是[a ，b ]，(a ，b ∈Z )，值域是[0,1]，则满足条件的整数数对(a ，b )共有________个． 答案 5解析 由0≤4|x |＋2－1≤1，即1≤4|x |＋2≤2，得0≤|x |≤2，满足条件的整数数对有(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(0,2)，(－1,2)，共5个．14．具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是________．答案 ①③解析 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x<1，0，1x＝1，－x ，1x>1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.15．如图1是某公共汽车线路收支差额y 元与乘客量x 的图象．(1)试说明图1上点A 、点B 以及射线AB 上的点的实际意义；(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图2、3所示．你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？ (3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？ (4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？解(1)点A表示无人乘车时收支差额为－20元，点B表示有10人乘车时收支差额为0元，线段AB上的点表示亏损，AB延长线上的点表示赢利．(2)图2的建议是降低成本，票价不变，图3的建议是提高票价．(3)斜率表示票价．(4)图1、2中的票价是2元．图3中的票价是4元．。

2021年高考数学一轮总复习 2.1函数及其表示练习一、选择题1．下列函数中，与函数y ＝x 相同的函数是( )A ．y ＝x 2xB ．y ＝(2x 3)23C ．y ＝lg10xD ．y ＝2log 2x解析 y ＝x 2x ＝x (x ≠0)；y ＝(x 32)23＝x (x ≥0)；y ＝lg10x ＝x (x ∈R )；y ＝2log 2x ＝x (x ＞0)．答案 C2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＞0，x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析 依题意，f (a )＝－f (1)＝－21＝－2， ∵2x＞0，∴f (a )＝a ＋1＝－2，故a ＝－3， ∴选A. 答案 A3．若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x，则当x ≠0且x ≠1时，f (x )＝( )A.1xB.1x －1C.11－xD.1x－1解析 令1x ＝t ，t ≠0且t ≠1，则x ＝1t，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x，所以f (t )＝1t 1－1t， 化简得：f (t )＝1t －1，即f (x )＝1x －1(x ≠0且x ≠1)． 答案 B4．(xx·安徽名校联考)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 4x x ＞0，3xx ≤0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝( )A ．9 B.19 C ．－9D ．－19解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝log 4116＝－2， ∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝f (－2)＝3－2＝19，选B.答案 B5．(xx·江西卷)已知函数f (x )＝5|x |，g (x )＝ax 2－x (a ∈R )，若f [g (1)]＝1，则a ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．－1解析 由题意可知f [g (1)]＝1＝50，得g (1)＝0，则a －1＝0，即a ＝1.故选A. 答案 A6．(xx·太原市测评)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋2，－1≤x ≤0，x 2－2x ，0<x ≤1，若f (2m －1)<12，则m 的取值范围是( )A ．m >12B ．m <12C ．0≤m <12D.12<m ≤1 解析 由题得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤2m －1≤0，12m ＋1<12，或⎩⎪⎨⎪⎧0<2m －1≤1，2m －12－22m －1<12，解得12<m ≤1，选D.答案 D二、填空题7．已知f (2x ＋1)＝3x －2，且f (a )＝4，则a 的值是________． 解析 令2x ＋1＝t ，则x ＝t －12，∴f (t )＝3t －32－2，即f (x )＝32x －72，又32a －72＝4，∴a ＝5.答案 58．(xx·湖北荆门月考)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 3x ＋1，x >6，3x －6－1，x ≤6满足f (n )＝－89，则f (n＋4)＝________.解析 当n >6时，f (n )＝－log 3(n ＋1)＝－89，解得n ＝389－1<3－1＝2<6，不合题意．当n ≤6时，f (n )＝3n －6－1＝－89，解得n ＝4，则f (n ＋4)＝f (4＋4)＝f (8)＝－log 3(8＋1)＝－log 39＝－2. 答案 －29．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，x ，x <0，φ(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x 2，x <0，则当x <0时，f (φ(x ))＝________.解析 由于f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，x ，x <0，φ(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x 2，x <0，则当x <0时，φ(x )＝－x 2.因为x <0，所以－x 2<0.所以f (φ(x ))＝f (－x 2)＝－x 2. 答案 －x 2三、解答题10．已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >0，2－x ，x <0.(1)求f (g (2))和g (f (2))的值； (2)求f (g (x ))和g (f (x ))的解析式． 解 (1)由已知，g (2)＝1，f (2)＝3， 因此f (g (2))＝f (1)＝0，g (f (2))＝g (3)＝2.(2)当x >0时，g (x )＝x －1， 故f (g (x ))＝(x －1)2－1＝x 2－2x ；当x <0时，g (x )＝2－x ，故f (g (x ))＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3.所以f (g (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x >0，x 2－4x ＋3，x <0.当x >1或x <－1时，f (x )>0， 故g (f (x ))＝f (x )－1＝x 2－2； 故－1<x <1时，f (x )<0， 故g (f (x ))＝2－f (x )＝3－x 2.所以g (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x >1或x <－1，3－x 2，－1<x <1.11．如图(1)是某公共汽车线路收支差额y 元与乘客量x 的图象．(1)试说明图(1)上点A 、点B 以及射线AB 上的点的实际意义；(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图(2)、(3)所示．你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？ (4)图(1)、图(2)、图(3)中的票价分别是多少元？解 (1)点A 表示无人乘车时收支差额为－20元，点B 表示有10人乘车时收支差额为0元，线段AB 上的点表示亏损，AB 延长线上的点表示赢利．(2)图(2)的建议是降低成本，票价不变，图(3)的建议是提高票价． (3)斜率表示票价．(4)图(1)、(2)中的票价是2元．图(3)中的票价是4元．培 优 演 练1．设f (x )＝lg2＋x 2－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 的定义域为( ) A ．(－4,0)∪(0,4) B ．(－4，－1)∪(1,4) C ．(－2，－1)∪(1,2) D ．(－4，－2)∪(2,4)解析 ∵2＋x 2－x >0，∴－2<x <2，∴－2<x 2<2且－2<2x <2，取x ＝1，则2x ＝2不合题意(舍去)，故排除A ，取x ＝2，满足题意，排除C 、D ，故选B.答案 B2．(xx·西城模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c x ≤0，2x >0，若f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，则方程f (x )＝x 的解集为________．解析 当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c ， 因为f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，则⎩⎪⎨⎪⎧－22－2b ＋c ＝c ，－12－b ＋c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝－2，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －2x ≤0，2x >0.当x ≤0时，由f (x )＝x ，得x 2＋2x －2＝x ， 解得x ＝－2或x ＝1(1>0，舍去)． 当x >0时，由f (x )＝x ，得x ＝2. 所以方程f (x )＝x 的解集为{－2,2}． 答案 {－2,2}3．给定k ∈N *，设函数f ：N *→N *满足：对于任意大于k 的正整数n ，f (n )＝n －k . (1)设k ＝1，则其中一个函数f 在n ＝1处的函数值为________．(2)设k ＝4，且当n ≤4时，2≤f (n )≤3，则不同的函数f 的个数为________． 解析 (1)本题定义函数有两个条件，一是定义域和值域都是正整数，二是对于任意大于k 的正整数n ，f (n )＝n －k .那么n ＝1时只要满足值域是正整数即可，所以答案是a (a 为正整数)．(2)因为k ＝4，所以n >4时都一一对应，只要对n ≤4的进行定义，又因为f (n )＝2或f (n )＝3，所以f (1)＝2或3，f (2)＝2或3，f (3)＝2或3，f (4)＝2或3，所以f 的个数为：2×2×2×2＝16.答案 (1)a (a 为正整数) (2)164．如果对任意实数x ，y ，都有f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，且f (1)＝2， (1)求f (2)，f (3)，f (4)的值． (2)求f 2f 1＋f 4f 3＋f 6f 5＋…＋f 2 010f 2 009＋f 2 012f 2 011＋f 2 014f 2 013＋f 2 016f 2 015的值．解 (1)因为对任意实数x ，y ，都有f(x＋y)＝f(x)·f(y)，且f(1)＝2，所以f(2)＝f(1＋1)＝f(1)·f(1)＝22＝4，f(3)＝f(2＋1)＝f(2)·f(1)＝23＝8，f(4)＝f(3＋1)＝f(3)·f(1)＝24＝16.(2)由(1)知f2f1＝2，f4f3＝2，f6f5＝2，…，f 2 016f 2 015＝2.故原式＝2×1 008＝2 016.21221 52E5 勥'34616 8738 蜸28811 708B 炋33723 83BB 莻z39443 9A13 験"39889 9BD1 鯑38719 973F 霿25239 6297 抗P%p。

高一数学周练（函数及其表示）一．选择题（将正确答案的序号填入下列表格中）题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）A ．3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y B ．111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y C ．x x f =)(，2)(x x g = D ．343()f x x x =-，3()1F x x x =-2．函数(1)y x x x =-+的定义域为（ ）A ．}0|{≥x xB ．}1|{≥x xC ．}0{}1|{ ≥x xD ．}10|{≤≤x x3．已知集合{}{}421,2,3,,4,7,,3A k B a a a ==+，且*,,a N x A y B ∈∈∈使B 中元素 31y x =+和A 中的元素x 对应，则,a k 的值分别为（ ）A ．2,3B ．3,4C ．3,5D ．2,54．已知22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f x =，则x 的值是（ ）A ．1B ．1或32 C ．1，32或3± D ．35．已知函数y f x =+()1定义域是[]-23，，则y f x =-()21的定义域是（ ）A ．[]052， B ．[]-14， C ．[]-55， D ．[]-37，6．设⎩⎨⎧<+≥-=)10()],6([)10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为（ ）A ．10B ．11C ．12D ．137．函数224y x x =--+的值域是（ ）A ．[2,2]-B ．[1,2]C ．[0,2]D ．[2,2]-8．若函数234y x x =--的定义域为[0,]m ,值域为25[4]4--，，则m 的取值范围是（）A ．(]4,0B ．3[]2，4 C ．3[3]2， D ．3[2+∞，）二．填空题1．若函数234(0)()(0)0(0)x x f x x x π⎧->⎪==⎨⎪<⎩，则=-)))1(((f f f ．2．设函数a a f x xx x x f >⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥-=)().0(1),0(121)(若，则实数a 的取值范围是 ． 3．已知)0(1)]([,21)(22≠-=-=x xx x g f x x g ，那么)21(f 等于 ． 4．已知2211()11x x f x x--=++，则()f x 的解析式为 ． 三．解答题1．求函数11122--+-=x x x y 的定义域．2．作出下列函数的图像 （1）xx x x f ||)(2-= （2）12)(2--=x x x f3．设12,x x 是关于x 的一元二次方程22(1)10x m x m --++=的两个实根，又2212y x x =+，求()y f m =的解析式及此函数的定义域和值域．。

课时作业4 函数及其表示一、选择题1．函数f (x )＝log 2(1－2x )＋1x ＋1的定义域为( D )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12C ．(－1,0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12D ．(－∞,－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12解析:由1－2x >0,且x ＋1≠0,得x <12且x ≠－1,所以函数f (x )＝log 2(1－2x )＋1x ＋1的定义域为(－∞,－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12. 2．(晋豫省际大联考)下列各组函数中,表示同一函数的是( D ) A ．y ＝(x )2与y ＝x 2 B ．y ＝lne x 与y ＝e kx C ．y ＝x 2－1x ＋1与y ＝x －1D ．y ＝lg(x ＋1)－1与y ＝lg x ＋110解析:对于A,y ＝(x )2的定义域为[0,＋∞),y ＝x 2的定义域为R ,则A 不正确；对于B,y ＝lne x＝x ,y ＝e kx,则B 不正确；对于C,y ＝x 2－1x ＋1的定义域为(－∞,－1)∪(－1,＋∞),y ＝x －1的定义域为R ,则C 不正确；对于D,y ＝lg(x ＋1)－1的定义域为(－1,＋∞),y ＝lg x ＋110＝lg(x ＋1)－1的定义域为(－1,＋∞),则D 正确,故选D.3．已知函数f (x )的定义域为[0,2],则函数g (x )＝f (2x )＋8－2x 的定义域为( A )A ．[0,1]B ．[0,2]C ．[1,2]D ．[1,3]解析:由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，8－2x≥0，解得0≤x ≤1,故选A. 4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，f (x ＋1)，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43的值等于( B )A ．－2B ．4C ．2D ．－4解析:由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝2×43＝83, f ⎝⎛⎭⎪⎫－43＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝2×23＝43, 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝4.5．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＝2x －5,且f (a )＝6,则a 等于( A ) A.74 B ．－74 C.43D ．－43解析:令t ＝12x －1,则x ＝2t ＋2,f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1,则4a －1＝6,解得a ＝74.6．(江西抚州质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －22m ＋1，x ≤3，log 2(x －3)，x >3，其中m ∈R ,则f (3＋4m )＝( A ) A ．2m B ．6 C ．mD ．2m 或6解析:因为3＋4m >3,所以f (3＋4m )＝log 24m ＝2m ,故选A.7．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，2(x －1)，x ≥1.若f (a )＝f (a ＋1),则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( C )A ．2B ．4C ．6D ．8解析:当0<a <1时,a ＋1>1,f (a )＝a ,f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ,∵f (a )＝f (a ＋1),∴a ＝2a ,解得a ＝14或a ＝0(舍去)．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6.当a ≥1时,a ＋1≥2,∴f (a )＝2(a －1),f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ,∴2(a －1)＝2a ,无解．综上,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝6.8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0，g (x )为定义在R 上的奇函数,且当x <0时,g (x )＝x 2－2x －5,若f (g (a ))≤2,则实数a 的取值范围是( A )A ．(－∞,－1]∪[0,22－1]B ．[－1,22－1]C ．(－∞,－1]∪(0,3]D ．[－1,3]解析:∵g (x )是定义在R 上的奇函数,∴g (0)＝0,若x >0,则－x <0,g (－x )＝x 2＋2x －5,∵g (－x )＝－g (x ),∴g (x )＝－x 2－2x ＋5,x >0,由题意,知f (－2)＝2,∴f (g (a ))≤2即为f (g (a ))≤f (－2)．又f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0，∴g (a )≥－2,∴⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，a 2－2a －5≥－2或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－a 2－2a ＋5≥－2或a ＝0, ∴a ≤－1或0≤a ≤22－1.故选A. 二、填空题9．设函数f (x )＝⎩⎨⎧1x，x >1，－x －2，x ≤1，则f (f (2))＝－52,函数f (x )的值域是[－3,＋∞)．解析:∵f (2)＝12,∴f (f (2))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12－2＝－52.当x >1时,f (x )∈(0,1),当x ≤1时,f (x )∈[－3,＋∞),∴f (x )∈[－3,＋∞)． 10．已知函数f (x )满足f (5x )＝x ,则f (2)＝log 52.解析:因为f (5x )＝x ,令5x ＝t ,则x ＝log 5t ,所以f (t )＝log 5t ,所以f (2)＝log 52.11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0,则实数a 的值等于－3.解析:∵f (1)＝2>0,且f (1)＋f (a )＝0,∴f (a )＝－2<0,故a ≤0.依题知a ＋1＝－2,解得a ＝－3.12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x ＋1，x <2，若f (f (1))>3a 2,则a 的取值范围是(－1,3)．解析:由题知,f (1)＝2＋1＝3,f (f (1))＝f (3)＝9＋6a ,若f (f (1))>3a 2,则9＋6a >3a 2,即a 2－2a －3<0,解得－1<a <3.13．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －1，x ≥0，f (x ＋2)，－6≤x <0，则方程f (x )＝3的根的个数为( B )A ．5B ．4C ．1D ．无数多个解析:画出函数f (x )的图象,如图所示．画出函数g (x )＝3的图象,观察可得,函数f (x )与函数g (x )的交点的个数为4,则方程f (x )＝3的根的个数为4.14．(四川内江一中高三第一模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －1)，x ≥0，－f (－x )，x <0，则满足f (x )＋f (x －1)<2的x 的取值范围是(－∞,2)．解析:(1)当x ≥1时,f (x )＋f (x －1)＝x (x －1)＋(x －1)(x －2)<2,解得0<x <2,即1≤x <2；(2)当0≤x <1时,f (x )＋f (x －1)＝x (x －1)＋x (1－x )＝0<2,满足题意； (3)当x <0时,f (x )＋f (x －1)＝x (－x －1)＋x (1－x )＝－2x 2<2恒成立, 综上,x 的取值范围是(－∞,2)．尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x ，x ≥1，则满足f [f (a )]＝2f (a )的a 的取值范围是( C )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1 B ．[0,1] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．[1,＋∞)解析:由已知函数和f [f (a )]＝2f (a ),得f (a )≥1.若a <1,则3a －1≥1,解得a ≥23,此时23≤a <1；若a ≥1,则2a≥1,解得a ≥0,此时a ≥1.综上可知a ≥23,即a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞. 16．(广东佛山学情调研)定义在R 上的函数满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝1,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 5＝12f (x ),且当0≤x 1<x 2≤1时,f (x 1)≤f (x 2),则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 018＝116.解析:f ⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝12,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1125＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝14,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1625＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1125＝18,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 125＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1625＝116,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫110＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫150＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫110＝14,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1250＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫150＝18,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11 250＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1250＝116,因为0≤x 1<x 2≤1时,f (x 1)≤f (x 2),则11 250≤12 018≤13 125,得116＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11 250≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 018≤f ⎝⎛⎭⎪⎫13 125＝116,所以f ⎝⎛⎭⎪⎫12 018＝116.。

B. /(x) = J- 2x“ 与 g(x) = x• J_2xC J(x)=尢与 g(x) = (Vx)2A. [0,12 C.{0,2,6,1 D.{2,6,122.函数“r 2_lA")p 与 g(g + l人教新课标数学必修I 1.2函数及其表示练习题(1 )一、选择题(7x5, = 35，)1.下列各组函数表示同_函数的是()D. /(x) = x 2 -2x-1 与g(/) = " - 2/-1丄的定义域是A.{x|x > o}B.{x|x > 0或兀< -1} 3.函数 y = x 2 - x(-1 < x < 4, x e Z )的值域是4.已知映射f:A — B ，其中集合4 = {—3,—2,—1,1,2,3,4},集合B 中的元素都是4中的元 素在映射f ：AiB 下的对应的元素.且对任意的aEA,f(a) = |a|,则集合B 中的元素的个数 是 ()A.4B.5C.6D.35.二次函数y=x--2x + 2的值域是( )A.RB.0C.[0,+oo)D.[l,+oo)6.若函数y = f (x)的定义域为[-6,2],则函数y = /•(低)的定义域为 ( )A.[-4,4]B.[-2,2]C.[0,V2]D.[0,4]7. 已知函数f(x) = / +1,则/[/(_!)]的值等于 ()A.2B.3C.4D.5二填空题(4x5'= 20')1 99•已知〃)=市他"+ 2,则/(» f[g(2)] =1 0函数f(x) = ^n±±的定义域为x + 21 1l-X8已知曲)=1一2养［曲)匸=(“0),则几02 ------------------------------------------- •已知定义在［0,+8)上的函数f(x)=［节2(* - 2)，x-(0<x<2).三、解答题(5x9'= 45') 12.已知函数f(x) = x2+2x-3,求/(2),/(-V2),/(o)的值.13.已知二次函数于(x),当x = 2时有最大值16,它的图像截x轴所得线段长为8 ,求f(.x).14.画岀函数f(x) = |2x-l|的图像.15.某山海拔7500加,海平面温度为25°C,气温是高度的函数，而且高度每升高100加,温度就下降0.6° C.请你用解析式表示出气温T随高度x变化的函数关系,并指出函数的定义域和值域.参考答案1.D2.C3.C4.A5.D6.D7.D8.3 10. (x|x > 一4且x H-2)212.5,—2逅—1,/+2a —3 13./(.r) --x2 3+4.r+ 12 14.图略315. T(.r) - 25 ----------- x 定义域[0,7500] 值域[-20,25]。

高中数学练习：函数及其表示基础巩固(时间:30分钟)(6-x)的定义域是( D )1。

函数g(x)=+log2(A){x|x>6} (B){x|-3<x<6}(C){x|x>-3} (D){x|-3≤x<6}解析:由解得-3≤x<6，故函数的定义域为{x|-3≤x<6}。

故选D。

2。

设f(x)=则f(f(-2))等于( C )(A)-1 (B) (C) (D)解析:因为-2<0，所以f(-2)=2-2=>0，所以f(f(-2))=f()=1-=1-=。

故选C。

3。

如果f()=，则当x≠0且x≠1时，f(x)等于( B )(A)(x≠0且x≠1) (B)(x≠0且x≠1)(C)(x≠0且x≠1) (D)-1(x≠0且x≠1)解析:令t=，t≠0，则x=，则f()=可化为f(t)==(t≠1)，所以f(x)=(x≠0，x≠1)。

故选B。

4。

(全国Ⅱ卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是( D )(A)y=x (B)y=lg x(C)y=2x(D)y=解析:由y=10lg x定义域值域均为(0，+∞)，与D符合。

故选D。

5。

下列函数中，与y=x相同的函数是( B )(A)y=(B)y=lg 10x(C)y=(D)y=()2+1解析:对于A，与函数y=x的对应关系不同;对于B，与函数y=x的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数;对于C，与函数y=x的定义域不同;对于D，与函数y=x的定义域不同。

故选B。

6。

(西安联考)已知函数f(x)=-x2+4x，x∈[m，5]的值域是[-5，4]，则实数m的取值范围是( C )(A)(-∞，-1) (B)(-1，2](C)[-1，2] (D)[2，5]解析:因为f(x)=-x2+4x=-(x-2)2+4，所以当x=2时，f(2)=4，由f(x)=-x2+4x=-5，解得x=5或x=-1，所以要使函数在[m，5]的值域是[-5，4]，则-1≤m≤2，故选C。

高考数学复习函数及其表示专题训练（含答案）函数称号出自数学家李善兰的著作«代数学»，下面是函数及其表示专题训练，请考生及时练习。

一、选择题.以下函数中，与函数y=定义域相反的函数为().A.y=B.y=C.y=xexD.y=解析函数y=的定义域为{x|x0，xR}与函数y=的定义域相反，应选D.答案 D.假定一系列函数的解析式相反，值域相反，但定义域不同，那么称这些函数为同族函数，那么函数解析式为y=x2+1，值域为{1,3}的同族函数有().A.1个B.2个C.3个D.4个解析由x2+1=1，得x=0.由x2+1=3，得x=，所以函数的定义域可以是{0，}，{0，-}，{0，，-}，故值域为{1,3}的同族函数共有3个.答案 C.假定函数y=f(x)的定义域为M={x|-22}，值域为N={y|02}，那么函数y=f(x)的图象能够是().解析依据函数的定义，观察得出选项B.答案 B.函数f(x)=假定a，b，c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，那么abc的取值范围是().A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)解析 a，b，c互不相等，无妨设ag[f(x)]的x的值是________.解析 g(1)=3，f[g(1)]=f(3)=1，由表格可以发现g(2)=2，f(2)=3，f(g(2))=3，g(f(2))=1.答案 1 2.函数f(x)=那么满足不等式f(1-x2)f(2x)的x的取值范围是________.解析由题意有或解得-11时，函数g(x)是[1,3]上的减函数，此时g(x)min=g(3)=2-3a，g(x)max=g(1)=1-a，所以h(a)=2a-1;当01时，假定x[1,2]，那么g(x)=1-ax，有g(2)g(1);假定x(2,3]，那么g(x)=(1-a)x-1，有g(2)2x+m，即x2-3x+1m，对x[-1,1]恒成立.令g(x)=x2-3x+1，那么效果可转化为g(x)minm，又由于g(x)在[-1,1]上递减，所以g(x)min=g(1)=-1，故m-1.函数及其表示专题训练及答案的全部内容就是这些，查字典数学网预祝考生可以取得优秀的效果。

函数及其表示一、选择题（共22小题；共110分）1. 已知函数f(x)的定义域为R．当x<0时，f(x)=x3−1；当−1≤x≤1时，f(−x)=−f(x)；当x>12时，f(x+12)=f(x−12)．则f(6)=( )A. −2B. −1C. 0D. 22. 已知实数对(x,y)，设映射f:(xy)→(x+y2,x−y2)，并定义∣(x,y)∣=√x2+y2，若∣∣f[f(f(x,y))]∣∣=8，则∣(x,y)∣的值为( )A. 4√2B. 20C. 8√2D. 16√23. 下列函数中，与函数y=x表示同一函数的是( )A. y=√x2B. y=x2xC. y=a log a x（a>0且a≠1）D. y=log a a x（a>0且a≠1）4. 下图是王老师锻炼时所走的离家距离（S）与行走时间（t）之间的函数关系图，若用黑点表示王老师家的位置，则王老师行走的路线可能是( )A. B.C. D.5. 以固定的速度向如图所示的瓶子中注水，则水深ℎ与时间t的函数关系是( )A. B.C. D.6. 定义在 [1,+∞) 上的函数 f (x ) 满足：（1）f (2x )=2f (x )；（2）当 2≤x ≤4 时，f (x )=1−∣x −3∣，则集合 A ={x ∣f (x )=f (61)} 中的最小元素是 ( ) A. 13B. 11C. 9D. 67. 已知实数对 (x,y )，设映射 f:(x,y )→(x+y 2,x−y 2)，并定义 ∣(x,y )∣=√x 2+y 2，若∣∣f[f(f (x,y ))]∣∣=4，则 ∣(x,y )∣ 的值为 ( ) A. 4√2B. 8√2C. 16√2D. 32√28. 设 f (x ) 是一个函数，使得对所有整数 x 和 y 都有 f (x +y )=f (x )+f (y )+6xy +1 和 f (x )=f (−x )，则 f (3) 等于 ( ) A. 26 B. 27C. 52D. 539. 设函数 y =f (x ) 的定义域为 {x ∣x >0}，且 f (xy )=f (x )+f (y )，f (8)=3，则 f(√2) 等于( )A. 12 B. 1 C. −1D. −12 10. 设 f:x →x 2 是集合 A 到集合 B 的映射，如果 B ={1,2}，那么 A ∩B 可能是 ( )A. ∅B. ∅ 或 {1}C. {1}D. ∅ 或 {2}11. 已知 f (x −1x )=x 2+1x2，则函数 f (x −1) 的表达式为 ( )A. f (x −1)=(x −1)2+1(x−1)2 B. f (x −1)=(x −1x )2+1(x−1x)2C. f (x −1)=x 2−2x +3D. f (x −1)=x 2−2x +112. 若函数 f (x ) 满足关系式 f (x )+2f (1x)=3x ，则 f (2) 的值为 ( )A. 1B. −1C. −32D. 3213. 设函数 f (x )(x ∈R ) 为奇函数，f (1)=12，f (x +2)=f (x )+f (2)，则 f (5)= ( )A. 0B. 1C. 52D. 514. 若 f (x )=x−1x，则方程 f (4x )=x 的根是 ( )A. x =−2B. x =2C. x =−12D. x =1215. 函数 f (x )={1,x 为有理数,0,x 为无理数,被称为狄利克雷函数，是以德国著名数学家狄利克雷的名字命名的，则关于函数 f (x ) 有如下四个命题：① f(f (x ))=0； ② 函数 f (x ) 是偶函数；③ 任取一个不为零的有理数 T ，f (x +T )=f (x ) 对任意的 x ∈R 恒成立；④ 存在三个点 A(x 1,f (x 1))，B(x 2,f (x 2))，C(x 3,f (x 3))，使得 △ABC 为等边三角形． 其中真命题的序号是 ( ) A. ①②④B. ②③④C. ②③D. ③④16. 已知函数 f (x )={(x +1)2,x ≤−1,2x +2,−1<x <1,1x −1,x ≥1.若 f (a )>1，则 a 的取值范围是 ( ) A. (−∞,−2)∪(−12,+∞)B. (−12,12)C. (−∞,−2)∪(−12,1)D. (−2,−12)∪(1,+∞)17. 设 m 为不小于 2 的正整数，对任意 n ∈Z ，若 n =qm +r （其中 q,r ∈Z ，且 0≤r <m ），则记 f m (n )=r ，如 f 2(3)=1,f 3(8)=2．下列关于该映射 f m :Z →Z 的命题中，不正确的是 ( )A. 若 a,b ∈Z ，则 f m (a +b )=f m (a )+f m (b )B. 若 a,b,k ∈Z ，且 f m (a )=f m (b )，则 f m (ka )=f m (kb )C. 若 a,b,c,d ∈Z ，且 f m (a )=f m (b ),f m (c )=f m (d )，则 f m (a +c )=f m (b +d )D. 若 a,b,c,d ∈Z ，且 f m (a )=f m (b ),f m (c )=f m (d )，则 f m (ac )=f m (bd )18. 已知 f (1,1)=1，f (m,n )∈N ∗（m 、n ∈N ∗），且对任意 m 、n ∈N ∗ 都有： ① f (m,n +1)=f (m,n )+2；② f (m +1,1)=2f (m,1)． 给出以下三个结论： （1）f (1,5)=9； （2）f (5,1)=16； （3）f (5,6)=26．其中正确的个数为 ( ) A. 3B. 2C. 1D. 019. 若定义在 R 上的函数 y =f (x )，其图象是连续不断的，且存在常数 λ(λ∈R )，使得 f (x +λ)+λf (x )=0 对任意的实数 x 都成立，则称 f (x ) 是一个" λ 的相关函数"，则下列结论正确的是 ( )A. f (x )=0 是常数函数中唯一一个" λ 的相关函数"B. f (x )=x 2 是一个" λ 的相关函数"C. f (x )=e −x 是一个 " λ 的相关函数"D. “12 的相关函数”至少有一个零点20. 函数 f (x ) 的定义域为 D ，若对于任意 x 1,x 2∈D ，当 x 1<x 2 时，都有 f (x 1)≤f (x 2) 则称函数f (x ) 在 D 上为非减函数．设函数 f (x ) 在 [0,1] 上为非减函数，且满足以下三个条件：① f (0)=0；② f (x 3)=12f (x )；③ f (1−x )=1−f (x )．则 f (13)+f (18) 等于 ( )A. 34B. 12C. 1D. 2321. 设 S,T 是 R 的两个非空子集，如果存在一个从 S 到 T 的函数 y =f (x ) 满足： ① T ={f (x )∣x ∈S }；②对任意 x 1,x 2∈S ，当 x 1<x 2 时，恒有 f (x 1)<f (x 2)；那么称这两个集合"保序同构"，以下集合对不是"保序同构"的是 ( ) A. A =N ∗，B =N B. A ={x ∣−1≤x ≤3}，B ={x ∣x =−8 或 0<x ≤10}C. A ={x ∣0<x <1}，B =RD. A =Z ，B =Q22. 已知函数 f (x ) 满足 f (x +2)=1+f (x )1−f (x )(x ∈R )，f (2)=12，则 f (2004) 等于 ( )A. 12B. 1C. 2D. 3二、填空题（共6小题；共30分）23. 下列对应中为函数的有 ．（填序号） ① A =B =N ∗，对任意的 x ∈A ，f:x →∣x −2∣； ② A =R ，B ={y ∣y >0}，对任意的 x ∈A ，f:x →1x 2；③ A =B =R ，对任意的 x ∈A ，f:x →3x −2；④ A ={(x,y )∣x,y ∈R }，B =R ，对任意的 (x,y )∈A ，f:(x,y )→x +y ． 24. 对任意的正整数 m 、 n ，定义 f (m,n ) 同时满足下列条件：① f (m,1)=1；②若 m <n ，则 f (m,n )=0；③ f (m +1,n )=n [f (m,n )+f (m,n −1)]，则 f (3,2) 的值是 ；f (n,n ) 的表达式为 （用含 n 的代数式表示）． 25. 若 f ：A 中元素 (x,y ) 对应 B 中的元素 (x +y,x −y )，则 B 中元素 与 A 中元素 (1,2)对应，A 中元素 与 B 中元素 (1,2) 对应．26. 已知 f (2x +1)=3x −4，f (a )=4，那么实数 a = ． 27. 下列各组函数中，表示同一函数的是 ． ① f (x )=x ，g (x )=(√x)2； ② f (x )=x 2，g (x )=(x +1)2； ③ f (x )=√x 2，g (x )=∣x ∣；④ f (x )=0，g (x )=√x −1+√1−x ．28. 定义在 R 上的函数 f (x ) 满足 f (x +y )=f (x )+f (y )+2xy (x,y ∈R )，f (1)=2，则 f (−3) 等于 ．三、解答题（共5小题；共65分）29. 已知函数 f (x )=−x 2−2x ，g (x )={x +14x ,x >0,x +1,x ≤0.（1）求 g [f (1)] 的值；（2）若方程 g [f (x )]−a =0 有 4 个实数根，求实数 a 的取值范围．30. 已知定义在 R 上的恒不为 0 的函数 y =f (x ) 满足 f (x 1+x 2)=f (x 1)⋅f (x 2)，试证明：（1）f (0)=1 及 f (x 1−x 2)=f (x 1)f (x 2)；（2）f (nx )=[f (x )]n (n ∈N +,n ≥2)； （3）若 x >0 时，f (x )>1，则函数 f (x ) 在 R 上是增函数．31. 已知：函数 f (x )=ax 2−bx +c ，若 f (x ) 的顶点坐标为 (1,2)，且 f (0)=3．（1）求 a ，b ，c 的值； （2）若 x ∈[−1,2]，求函数 f (x ) 值域．32. 设函数 f (x )=ax 2+bx +c ，且 f (1)=−a2，3a >2c >2b ．求证：（1）a >0，且 −3<b a<−34；（2）函数 f (x ) 在区间 (0,2) 内至少有一个零点； （3）设 x 1，x 2 是函数 f (x ) 的两个零点，则 √2≤|x 1−x 2|<√574．33. 若 f (x ) 是定义在 (0,+∞) 上的增函数，且对一切 x >0，满足 f (xy )=f (x )−f (y )（1）求 f (1) 的值；（2）请举出一个符合条件的函数 f (x )；（3）若 f (6)=1，解不等式 f (x +5)−f (1x )<2．。

函数及其表示综合训练B组及答案一、选择题1设函数，则的表达式是（）A BC D2函数满足则常数等于（）A BC D3已知，那么等于（）A BC D4已知函数定义域是，则的定义域是（）A BC D5函数的值域是（）A BC D6已知，则的解析式为（）A BC D二、填空题1若函数，则=2若函数，则=3函数的值域是4已知，则不等式的解集是5设函数，当时，的值有正有负，则实数的范围三、解答题1设是方程的两实根,当为何值时,有最小值?求出这个最小值2求下列函数的定义域（1）（2）（3）3求下列函数的值域（1）（2）（3）4作出函数的图象（数学1必修）第一章（中）综合训练B组参考答案一、选择题1B∵∴；2B3A令4A；5C；6C令二、填空题1;2令；34．当当∴；5得三、解答题1.解：2.解：（1）∵∴定义域为（2）∵∴定义域为（3）∵∴定义域为3.解：（1）∵，∴值域为（2）∵∴∴值域为（3）的减函数，当∴值域为4.解：（五点法：顶点，与轴的交点，与轴的交点以及该点关于对称轴对称的点）（数学1必修）第一章（中） [提高训练C组]一、选择题1B2D设，则，而图象关于对称，得，所以3D4C作出图象的移动必须使图象到达最低点5A作出图象图象分三种：直线型，例如一次函数的图象：向上弯曲型，例如二次函数的图象；向下弯曲型，例如二次函数的图象；6C作出图象也可以分段求出部分值域，再合并，即求并集二、填空题1.当当23当时，取得最小值4设把代入得5由得三、解答题1.解：令，则，当时，2.解：显然，而（*）方程必有实数解，则，∴3解：∴得，或∴4解：显然，即，则得,∴。