八年级数学上册第3章勾股定理单元综合测试(新版)苏科版

初二数学上册第三章勾股定理单元测试一、选择题（24分）1.一直角三角形的斜边长比一直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（）A、4B、8C、10D、122.直角三角形的一直角边长是7cm，另一直角边与斜边长的和是49cm，则斜边的长（）A、18cmB、20cmC、24cmD、25cm3. 在△ABC中，三边长满足b ²-a ²=c ²，则互余的一对角是（）A、∠A与∠BB、∠C与∠AC、∠B与∠CD、∠A、∠B、∠C4. 一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是（）A、12米B、13米C、14米D、15米5.在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为（）A、42B、32C、42或32D、37或336. 已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A、3cm²B、4cm²C、6cm²D、12cm²第6题第8题第12题二、填空题（24分）7. △ABC中，AB=10，BC=16，BC边上的中线AD=6，则AC=8. 如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，•所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形F的边长为8cm，则正方形A、B、C、D的面积的和是cm2.9.直角三角形的周长为12cm，斜边长为5cm，则直角三角形的面积是.10.在RT△ABC中，∠ACB=90°，且c+a=9,c-a=4，则b= .11.在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，则斜边AB= .斜边B上的高线长为.12. 如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的、若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是______.三、解答题（10+10+10+10+12=52分）13. 已知：如图，AD=4，CD=3，∠ADC=90°，AB=13，∠ACB=90°，•求图形中阴影部分的面积、14. 在平静的湖面上，有一枝荷花，高出水面1米、一阵风吹过来，荷花被吹到一边，花朵齐及水面、已知荷花移动的水平距离为2米，问这里的水深多少米？15. 如图，一张长方形纸片宽AB＝8 cm，长BC＝10 cm、现将纸片折叠，使顶点D落在BC边上的点F处(折痕为AE)，求EC的长、16. 如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC 边上的点，且DE⊥DF.（1）请说明：DE=DF；（2）请说明：BE2+CF2=EF2；（3）若BE=6，CF=8，求△DEF的面积.（直接写结果）17. 如图所示，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点、（1）求证：△ACE≌△BCD；（2）若AD=5，BD=12，求DE的长参考答案1.C2.D3.B4.D5.C .6.C7.108. 649.6cm² 10.6 11. 10 4.8 12.7613.14. 如图，设这里水深为xm在Rt△ABC中，（x+1）2=22+x2解之得：x=1.5米、15.解:设CE=x则DE=8-x易知DE=EF AD=AF(折叠度变)直角△ADF AB=8AF=AD=10由勾股定理BF=6CF=10-6=4在直角△CFE中，CD=4，CE=x，EF=DE=8-x由勾股定理: x²+4²=(8-x) ²x+16=x-16x+64 1x=3即EC=3cm16. （1）连接AD因为△ABC是等腰直角三角形，且D为斜边BC中点所以，AD⊥BC且AD平分∠BAC，AD=BD=CD所以，∠DAE=∠C=45°又已知DE⊥DF所以，∠EDA+∠FDA=90°而，∠CDF+∠FDA=90°所以，∠EDA=∠CDF那么，在△ADE和△CDF中：∠DAE=∠DCF（∠C）=45°（已证）DA=DC（已证）∠EDA=∠CDF（已证）所以，△ADE≌△CDF所以，AE=CF，DE=DF.（2）因为AE=CF，AB=AC所以AB-AE=AC-CF即BE=AFRt△AEF中，∠A=90度所以所以.（3）△DEF的面积为25 .17. 证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∴AC=BC，EC=D C、∵∠ACE=∠DCE﹣∠DCA，∠BCD=∠ACB﹣∠DCA，∠ACB=∠ECD=90°，∴∠ACE=∠BC D、在△ACE和△BCD中，∴△ACE≌△BCD（SAS）、（2）解：又∠BAC=45°∴∠EAD=∠EAC+∠BAC=90°，即△EAD是直角三角形，∴DE===13、。

第三章勾股定理数学八年级上册-单元测试卷-苏科版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，等边△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中顶点，，则顶点C的坐标为（）A. B. C. D.2、如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，交射线于点，交射线于点，再分别以、为圆心，的长为半径，两弧在的内部交于点，作射线，若，则两点之间距离为（）A.10B.12C.13D.3、如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm、BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B 与点A重合，折痕为DE，则BE的长为( )A.4cmB.5cmC.6cmD.10cm4、如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH.连结EG，BD相交于点O，BD与HC相交于点P.若GO=GP，则的值是（）A. B. C. D.5、如图，直线AB、CD、BC分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB=6cm，OC=8cm，则BE+CG的长等于（）A.13B.12C.11D.106、如图以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点处，则点表示的数是（）A. B. C. D.7、绍兴是著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为（）A.4mB.5mC.6mD.8m8、如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（）A.y=  B.y=C.y=D.y=9、以下列线段a、b、c的长为边，能构成直角三角形的是（）A.a=3，b=4，c=6B.a=1，b= ，c=C.a=5，b=6，c=8 D.a= ，b=2，c=10、若为△ABC的三边，且，则△ABC的形状不可能是（）．A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.直角三角形11、如图，在正方形ABCD中，AD=5，点E、F是正方形ABCD内的两点，且AE=FC=3，BE=DF=4，则EF的长为（）A. B. C. D.12、三角形的三边长ａ,ｂ,ｃ满足2ａｂ=(ａ+ｂ)2－ｃ2,则此三角形是（）A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等边三角形13、如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC中点，点F是边CD上的任意一点，当△AEF的周长最小时，则DF的长为（）A.1B.2C.3D.414、将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（）A.3cmB.6cmC.3 cmD.6 cm15、底面周长为12cm，高为8cm的圆柱体上有一只小蚂蚁要从A点爬到B点，则蚂蚁爬行的最短距离是（）cm．A.10B.8C.5D.4二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的表示的数为________．17、如图，为直角三角形，其中，则的长为________。

第三章勾股定理数学八年级上册-单元测试卷-苏科版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（）A.a = 3， b = 4， c = 6B.a = 6， b = 9， c = 10C.a = 8，b = 15， c = 17D.a = 13， b = 14， c = 152、如图是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．其中最大的直角三角形两直角边长分别为2，3，则正方形A，B，C，D的面积之和为（）A.13B.26C.47D.943、如图，在以O为圆心的两个同心圆中，A为大圆上任意一点，过A作小圆的割线AXY，若AX•AY=4，则图中圆环的面积为（）A.16πB.8πC.4πD.2π4、如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD．已知DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则弦BC的弦心距等于（）A. B. C.4 D.35、如图,在矩形ABCD中,DE⊥AC+于E,∠EDC:∠EDO=1:2,且AC=10,则DE的长度是A.3B.5C.D.6、如图，为等腰直角三角形，OA1＝1，以斜边OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3，再以OA3为直角边作等腰直角三角形OA3A4，…，按此规律作下去，则OA n的长度为（）A.（）nB.（）n﹣1C.（）nD.（）n﹣17、直角三角形的两条边长分别是5和12，则斜边上的中线长是（）A.6B.6.5C.6或6.5D.6或2.58、如图1，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个半径为1cm的圆形，使之恰好围成图2所示的一个圆锥，则圆锥的高为（）A. cmB.4cmC. cmD. cm9、在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（）A.5，6，7B.5，12，13C.1，4，9D.5，11，1210、下列各数中，是勾股数的是（）A.0.3，0.4，0.5B.6，8，10C. ，，D.10，15，1811、如图，已知△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3 上，且 l1，l2 之间的距离为 1，l2，l3 之间的距离为 3，则 AC 的长是（）A. B. C. D.512、如图，在△中，，将△绕点顺时针旋转，得到△，连接，若，，则线段的长为（）A. B. C.   D.13、如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点是上一动点，，则的最小值是（）A.10B.7C.5D.414、如图，周长为16的菱形ABCD中，点E，F分别在AB，AD边上，AE=1，AF=3，P为BD 上一动点，则线段EP+FP的长最短为（）A.3B.4C.5D.615、若△ABC三边长口，b，c满足+l| b-a-1|+(c-5)2=0，则△ABC是( )A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形二、填空题(共10题，共计30分)16、如图中，由一个直角三角形和两个正方形组成，如果大正方形的面积为41，AB=5，则小正方形的面积为________．17、在等腰直角中，，，如果以的中点为旋转中心，将这个三角形旋转180°，点落在点处，则的长度为________.18、如图，在锐角△ABC中，AB＝，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD，AB上的动点，则BM＋MN的最小值是________．19、如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C的对角线A1C和OB1交于点M1；以M1A1为对角线作第二个正方形A2A1B2 M1，对角线A1 M1和A2B2交于点M2；以M2A1为对角线作第三个正方形A3A1B3 M2，对角线A1 M2和A3B3交于点M3；……，依次类推，这样作的第n个正方形对角线交点的坐标为M n________．20、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是边AC的中点，点E，F在边AB上，当△DEF是等腰三角形，且底角的正切值是时，△DEF腰长的值是________．21、如图，AB是⊙O的直径，AB=2，点C在⊙O上，∠CAB=30°，D为的中点，P是直径AB上一动点，则PC+PD的最小值为________．22、若直角三角形的两直角边长分别为，，则斜边的长为________cm．23、如图，在中，，，，垂足为，点，分别是线段，上的动点，且，则线段的最小值为________.24、如图，在菱形ABCD中，∠BAD=45°，DE是AB边上的高，BE=2，则AB的长是________．25、如图，在△ABC中，AB=BC=4，S△ABC=4 ，点P、Q、K分别为线段AB、BC、AC上任意一点，则PK+QK的最小值为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，在每个小正方形的边长为1的方格纸中有线段AB和CD，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上。

《勾股定理》单元检测一、选择题(每小题3分,共30分)1.下列各组数据中,能作为直角三角形三边长的是()A.2,3,4B.5,7,9C.8,15,17D.4,5,62.如图所示的各直角三角形中,其中边长x=5的个数是()A.1B.2C.3D.43.如图,一艘巡逻船由A港沿北偏西60°方向航行5海里至B岛,然后再沿北偏东30°方向航行4海里至C岛,则A,C两港相距()A.4海里B.海里C.3海里D.5海里4.若直角三角形的三边长分别为6,10,m,则m2的值为()A.8B.64C.136D.136或645.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=8,AC=6,DE垂直平分边AB,垂足为D,交BC 于点E,连接AE,则△ACE的周长为() A.16 B.15 C.14 D.13第5题图第6题图6.如图,直线AB∥CD,GH平分∠CGF,GI平分∠DGF,且HG=15 cm,GI=20 cm,则直线AB与直线CD之间的距离是() A.10 cm B.12 cm C.13 cm D.14 cm7.如图,一个长方体木箱的长、宽、高分别为12 dm,4 dm,3 dm,则能放进此木箱中的木棒最长为() A.19 dm B.24 dm C.13 dm D.15 dm第7题图第8题图8.如图,四边形ABCD为长方形,过点D作对角线BD的垂线,交BC的延长线于点E,取BE的中点F,连接DF,DF=4.设AB=x,AD=y,则x2+(y-4)2的值为() A.12 B.14 C.16 D.189.如图,在△ABC和△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,点C,D,E在同一条直线上,连接BD,BE.给出下列四个结论:①BD=CE;②BD⊥CE;③∠ACE+∠DBC=45°;④BE2=2(AD2+AB2).其中正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个第9题图第10题图10.如图,长方形纸片ABCD中,AB=3,BC=4,点E是BC边上一点,连接AE,把长方形纸片沿AE折叠,使点B落在点B'处.当△CEB'为直角三角形时,BE的长为()A.3B.C.或2D.或3二、填空题(每小题3分,共24分)11.若|x-30|+|2y-80|+z2-100z+2 500=0,则以x,y,z为边长组成直角三角形.(填“能”或“不能”)12.《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一,在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题:“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何?”翻译成数学问题是:如图所示,△ABC中,∠C=90°,AC+AB=10,BC=3,求AC的长,如果设AC=x,则可列方程为.第12题图第13题图第14题图13.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,BD平分∠ABC交AC于点D,且AB=12,BD=13,则点D到BC的距离为.14.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,点P是BC边上的动点,过点P作PD⊥AB于点D,PE⊥AC于点E,则PD+PE的长是.15.如图,正方形ABCD的边长为14,正方形IJKL的边长为2,且IJ∥AB,则正方形EFGH的边长为.第15题图第16题图第17题图16.如图是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为20 dm,3 dm,2 dm.A 和B是这个台阶上两个相对的端点,点A处有一只蚂蚁,想到点B处去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为dm.17.如图,Rt△ABC的面积为20 cm2,在斜边AB的同侧,分别以AB,BC,AC为直径作三个半圆,则阴影部分的面积为.18.如图,已知在Rt△ACB中,AC=3,BC=4,过直角顶点C作CA1⊥AB,垂足为A1;再过A作A1C1⊥BC,垂足为C1;过C1作C1A2⊥AB,垂足为A2……这样一直作下去,得到了1一组线段CA1,A1C1,C1A2,…,则第10条线段A5C5= .三、解答题(共76分)19.(8分)如图,对任意符合条件的Rt△BAC,绕其锐角顶点A按逆时针方向旋转90°得△DAE,所以∠BAE=90°,且四边形ACFD是一个正方形,它的面积和四边形ABFE的面积相等,而四边形ABFE的面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和,根据图形写出一种证明勾股定理的方法.20.(9分)如图,P是等边三角形ABC内的一点,连接PA,PB,PC,以BP为边作∠PBQ=60°,且BQ=BP,连接CQ,PQ.若PA∶PB∶PC=3∶4∶5,试判断△PQC的形状,并说明理由.21.(10分)如图,A,B是公路l(l为东西走向)两旁的两个村庄,A村到公路l的距离AC=1 km,B村到公路l的距离BD=2 km,公路l上C,D两点相距4 km.(1)试求出A,B两村之间的距离;(2)为方便村民出行,计划在公路边新建一个公共汽车站P,要求该站到两村的距离相等,请用尺规在图中作出点P的位置(保留清晰的作图痕迹),并求出此站点P 到点D的距离是多少千米?22.(10分)如图,某沿海城市A接到台风警报,在该市正南方向150 km的B处有一台风中心正以20 km/h的速度沿BC方向移动,已知城市A到BC的距离AD为90 km.(1)台风中心经过多长时间会从B点移到D点?(2)如果在距台风中心30 km的圆形区域内都有受到台风破坏的危险,为保证D 点游人的安全,游人必须在接到台风警报后的多长时间内撤离(撤离速度为6 km/h)?最好选择什么方向?23.(10分)在△ABC中,AB=AC,∠BAC=2∠DAE=90°,点D关于直线AE的对称点为F.(1)如图1,求证:DE2=BD2+CE2;(2)如图2,点E在BC的延长线上,则等式DE2=BD2+CE2还成立吗?请说明理由.24.(14分)在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c.若∠C=90°,如图1,则有a2+b2=c2;若△ABC为锐角三角形,如图2,小明猜想:a2+b2>c2,理由如下:过点A作AD⊥CB于点D,设CD=x.在Rt△ADC中,AD2=b2-x2,在Rt△ADB中,AD2=c2-(a-x)2,则b2-x2=c2-(a-x)2,∴a2+b2=c2+2ax.∵a>0,x>0,∴2ax>0,∴a2+b2>c2,∴当△ABC为锐角三角形时,a2+b2>c2,∴小明的猜想是正确的.(1)如图3,请你猜想,当△ABC为钝角三角形时,a2+b2与c2的大小关系;(2)在图3中,作BC边上的高;(3)证明你猜想的结论是否正确.25.(15分)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,点D为AC边上的动点,点D从点C出发,沿边CA向点A运动,当运动到点A时停止.若设点D运动的时间为t秒,点D运动的速度为每秒1个单位长度.(1)当t=2时,CD= ,AD= ;(2)求当t为何值时,△CBD是直角三角形,并说明理由;(3)求当t为何值时,△CBD是以BD或CD为底的等腰三角形,并说明理由.第3章参考答案题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10号答C B BD A B C C C D案11.能12.x2+32=(10-x)213.514.4.815.1016.2517.20 cm218.3×()1019.由题意,得=+,∴b2=c2+(b+a)(b-a),整理,得a2+b2=c2.20.△PQC是直角三角形.21.(1)过点B作直线l的平行线交AC的延长线于E.易知CE=BD=2 km,AE=AC+CE=3 km,BE=CD=4 km.在Rt△AEB中,AB2=AE2+BE2=32+42=52,∴AB=5 km,∴A,B两村的距离为5 km.(2)点P如图所示,连接PA,PB,设PD=x km,则CP=(4-x)km,由PB=PA,得PD2+BD2=CP2+AC2=x2+22=(4-x)2+12,∴x=,∴站点P到点D的距离是 km.22.(1)因为城市A到BC的距离AD为90 km,所以AD⊥BC,所以∠ADB=90°.在Rt△ABD中,由勾股定理,得BD2=AB2-AD2=1502-902=1202,所以BD=120 km.因为120÷20=6(h),所以台风中心经过6 h会从B点移到D点.(2)根据题意,知游人撤离时最好选择AD方向,撤离所需的时间为30÷6=5(h).因为台风中心经过6 h会从B点移到D点,所以游人必须在接到台风警报后的1 h内撤离,最好选择AD方向.23.(1)∵点D,F关于直线AE对称,∴AD=AF,DE=EF,∠FAE=∠DAE,∴∠DAF=2∠DAE=∠BAC,∴∠DAF-∠DAC=∠BAC-∠DAC,即∠BAD=∠CAF,又∵AB=AC,AD=AF,∴△BAD≌△CAF,∴BD=CF,∠ACF=∠ABD.∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠ABD=∠ACB=45°,∴∠ACF=45°,∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=90°,∴EF2=EC2+CF2,又∵BD=CF,DE=EF,∴DE2=BD2+CE2.(2)成立.24.(1)当△ABC为钝角三角形时,a2+b2与c2的大小关系为a2+b2<c2.(2)如图,过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D,AD即所求.(3)如图,设CD=x.在Rt△ADC中,AD2=b2-x2,在Rt△ADB中,AD2=c2-(a+x)2,则b2-x2=c2-(a+x)2,∴a2+b2=c2-2ax.∵a>0,x>0,∴2ax>0,∴a2+b2<c2,∴当△ABC为钝角三角形时,a2+b2<c2.25.(1)28当t=2时,CD=2×1=2,∵∠ABC=90°,AB=8,BC=6,∴AC2=AB2+BC2=82+62=100,∴AC=10,∴AD=AC-CD=10-2=8.(2)当t为3.6或10时,△CBD是直角三角形.理由如下:①当∠CDB=90°时,=AC·BD=AB·BC,即×10·BD=×8×6,解得BD=4.8,在Rt△CDB中,CD2=BC2-BD2=62-4.82=3.62,∴CD=3.6,∴t=3.6÷1=3.6;②当∠CBD=90°时,点D和点A重合,∴CD=AC=10,∴t=10÷1=10,综上所述,当t为3.6或10时,△CBD是直角三角形.(3)当t为6或7.2时,△CBD是以BD或CD为底的等腰三角形.理由如下:①当CD=BC时,则CD=CB=6,∴t=6÷1=6;②当BD=BC时,如图,过点B作BF⊥AC于点F,则CF=DF.由(2)可知CF=3.6,∴CD=2CF=3.6×2=7.2,∴t=7.2÷1=7.2,综上所述,当t为6或7.2时,△CBD是以BD或CD为底的等腰三角形.。

第三章勾股定理数学八年级上册-单元测试卷-苏科版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、下列各组数是三角形的三边，能组成直角三角形的一组数是（）A. ，，B.2，3，4C.3，4，5D.6，8，122、若直角三角形的三边a、b、c满足a2-4a+4+ =0，则第三边c的长度是( )A. B. C. 或 D.5或133、如图，在平面直角坐标系中，OABC是正方形，点A的坐标是（4，0），点P为边AB上一点，∠CPB＝60°，沿CP折叠正方形，折叠后，点B落在平面内点B′处，则B′点的坐标为（）A.（2，2 ）B.（，）C.（2，）D.（，）4、以下各组数为三角形的三条边长，其中不能构成直角三角形的是（）A.3，4，5B.6，8，10C.1，1，2D.5，12，135、已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（）A.5B.25C.D.5或6、如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（）A.13B.26C.34D.477、如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，E是AD的中点，点P是对角线BD上的动点，当AP+PE的值最小时，PC的长是（）A. B.2 C. D.8、如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对9、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以AC为一边在△ABC外侧作等边三角形ACD，过点D 作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E，连接CE，AB=15cm，BC=9cm，P是射线DE上的一点．连接PC、PB，若△PBC的周长最小，则最小值为（）A.21cmB.24cmC.22cmD.27cm10、如图,O的直径AB=2,点D在AB的延长线上,DC与O相切于点C,连接AC.若∠A=30°,则CD长为( )A. B. C. D.11、如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（3，0），B（0，4），把线段AB绕点A旋转后得到线段AB′，使点B的对应点B′落在x轴的正半轴上，则点B′的坐标是（）A.（5，0）B.（8，0）C.（0，5）D.（0，8）12、如图，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP＝4，∠APO＝30°，则弦AB的长为（）A.2B.C.2D.13、如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC=（）A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm14、如图，已知AB是线段MN上的两点，MN＝12，MA＝3，MB＞3，以A为中心顺时针旋转点M，以点B为中心顺时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，当△ABC为直角三角形时AB的长是（）A.3B.5C.4或5D.3或515、如图，在平行四边形中，，是锐角，于点E，F是的中点，连接；若，则的长为（）A.2B.C.D.二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，正方形中，为边上一点，且，将绕点逆时针旋转得到，连接、，则线段的长度是________．17、为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固，如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD．已知迎水坡面AB=12米，背水坡面CD= 米，∠B=60°，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tanE= ，则CE的长为________米．18、在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，则cos B的值是________．19、“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为________.20、如图，在等边三角形ABC的AC，BC边上各取一点P，Q，使，AQ，BP相交于点O.若，，则AP的长为________，AO的长为________.21、如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=2 ．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=________．22、在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则tanA等于________ ．23、如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点在的斜边上，若，则________.24、如图，△ABC中，D为AB的中点，BE⊥AC，垂足为E.若DE＝4，AE＝6，则BE的长度是________.25、现在全省各大景区都在流行“真人CS“娱乐项目，其中有一个“快速抢点”游戏，游戏规则：如图，用绳子围成的一个边长为10m的正方形ABCD场地中，游戏者从AB边上的点E处出发，分别先后赶往边BC、CD、DA上插小旗子，最后回到点已知，则游戏者所跑的最少路程是多少________三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，DB＝9.求AB的长.27、如图，在中，是上的一点，若，，，，求的面积.28、如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形的顶点都在格点上.连接，试判断的形状，并说明理由．29、如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=135°，BC=2，则AB的长为多少？30、如图，在中，，，，点D在AB上，且，求的面积．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、C2、C3、C4、D5、D6、D7、C8、A9、B10、D11、B12、A13、B15、B二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)27、28、29、30、。

苏科新版八年级上册数学《第3章勾股定理》单元学习评价卷一．选择题1．直角三角形两条直角边的长分别为3和4，则斜边长为（）A．4B．5C．6D．102．一个三角形三个内角之比为1：2：1，其相对应三边之比为（）A．1：2：1B．1：：1C．1：4：1D．12：1：23．已知四个三角形分别满足下列条件：①一个内角等于另外两个内角之和；②三个内角之比为3：4：5；③三边长分别为7，24，25；④三边之比为5：12：13．其中能判定是直角三角形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．下列各组数是勾股数的是（）A．3，4，5B．1.5，2，2.5C．32，42，52D．，，5．两只小鼹鼠在地下从同一处开始打洞，一只朝北面挖，每分钟挖8cm，另一只朝东面挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距（）A．100cm B．50cm C．140cm D．80cm6．在一个直角三角形中，有一个锐角等于25°，则另一个锐角的度数是（）A．25°B．55°C．65°D．75°7．如图，赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形两条直角边长分别为a和b．若ab＝8，大正方形的边长为5，则小正方形的边长为（）A．1B．2C．3D．48．如图，△ABC中∠ACB＝90°，且CD∥AB．∠B＝60°，则∠1等于（）A．30°B．40°C．50°D．60°9．下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是（）A．a＝2，b＝3．c＝4B．a＝5，b＝6，c＝8C．a＝5，b＝12，c＝13D．a＝7，b＝15，c＝1210．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD∥AB交∠ABC的平分线于点D，若∠ABD＝20°，则∠ACD的度数为（）A．20°B．30°C．40°D．50°二．填空题11．如图所示的图案是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》中“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形ABCD与四边形EFGH均为正方形，点H是DE的中点，阴影部分的面积为24，则AD的长为．12．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为cm2．13．如图，要为一段高5米，长13米的楼梯铺上红地毯，至少需要红地毯米．14．如图，每个小正方形的边长为1，则∠ABC的度数为°．15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝65°，则∠B＝．16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝70°，则∠B＝．17．在直角三角形中，一个锐角是另一个锐角的4倍，则较小锐角的度数为度．18．把两个相同大小的含45°角的三角板如图所示放置，其中一个三角板的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，另外三角板的锐角顶点B，C，D在同一直线上，若AB＝，则BD＝．19．已知直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，将满足a2+b2＝c2的一组正整数称为“勾股数组”，记为（a，b，c），其中a≤b＜c．事实上，早在公元前十一世纪，中国古代数学家商高就发现了“勾三、股四、弦五”，我们将其简记为（3，4，5）．类似的勾股数组还有很多…．例如：（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41），（11，60，61），（13，84，85），…．如果a＝2n+1（n为正整数），那么b+c＝．（用含n的代数式表示）20．直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积分别为7cm2，8cm2，则以斜边为边长的正方形的面积为cm2．三．解答题21．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．求证：∠ACD＝∠B．22．已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC延长线上一点，AD＝AB，求证：∠BAD＝2∠ACB．23．在直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD⊥AB于D，CE是△ABC的角平分线．（1）求∠DCE的度数．（2）若∠CEF＝135°，求证：EF∥BC．24．如图，在等边△ABC中，AB＝AC＝BC＝6cm，现有两点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次回到点B时，点M、N同时停止运动，设运动时间为ts．（1）当t为何值时，M、N两点重合；（2）当点M、N分别在AC、BA边上运动，△AMN的形状会不断发生变化．①当t为何值时，△AMN是等边三角形；②当t为何值时，△AMN是直角三角形；（3）若点M、N都在BC边上运动，当存在以MN为底边的等腰△AMN时，求t的值．25．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．（1）①请叙述勾股定理；②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）（2）①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有个；②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，请判断S1，S2，S3的关系并证明；（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知∠1＝∠2＝∠3＝∠α，则当∠α变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示）①a2+b2+c2+d2＝；②b与c的关系为，a与d的关系为．26．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O为BC的中点．（1）写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系（不要求证明）（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动过程中保持AN＝BM，请判断△OMN的形状，请证明你的结论．27．定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．（1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝2，MN＝4，BN＝2，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝12，AM＝5，求BN的长．参考答案与试题解析一．选择题1．解：由勾股定理得：斜边长为：＝5．故选：B．2．解：设三个角的度数分别为x，2x，x，∴根据三角形内角和定理可求出三个角分别为45°，45°，90°，∴这个三角形是等腰直角三角形，∴斜边等于直角边的倍，∴相对应三边之比为1：：1．故选：B．3．解：①设两个较小的角为x，则2x+2x＝180°，则三角分别为45°，45°，90°，故是直角三角形；②设较小的角为3x，则其于两角为4x，5x，则三个角分别为45°，60°，75°，故不是直角三角形；③因为三边符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；④因为52+122＝132符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形．所以有三个直角三角形，故选：C．4．解：A、32+42＝52，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；B、1.52+22＝2.52，能构成直角三角形，不是正整数，故不是勾股数；C、（32）2+（42）2≠（52）2，不能构成直角三角形，故不是勾股数；D、（）2+（）2＝（）2，不能构成直角三角形，不是正整数，故不是勾股数．故选：A．5．解：两只鼹鼠10分钟所走的路程分别为80cm，60cm，∵正北方向和正东方向构成直角，∴由勾股定理得＝100，∴其距离为100cm．故选：A．6．解：∵在一个直角三角形中，有一个锐角等于25°，∴另一个锐角的度数是90°﹣25°＝65°．故选：C．7．解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×8＝4，∴4×ab+（a﹣b）2＝52，∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，∵正方形的边长a﹣b＞0，∴a﹣b＝3，故选：C．8．解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，∴∠A＝30°，∵CD∥AB，∴∠1＝∠A，∴∠1＝30°，故选：A．9．解：A、∵22+32≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；B、∵52+62≠82，∴能构成直角三角形，故本选项不符合题意；C、∵52+122＝132，∴能构成直角三角形，故本选项符合题意；D、∵72+122≠152，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．故选：C．10．解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝20°，∴∠ABC＝40°，∵∠ACB＝90°，∴∠A＝90°﹣∠ABC＝90°﹣40°＝50°，∵CD∥AB，∴∠ACD＝∠A＝50°，故选：D．二．填空题11．解：由四边形ABCD 与四边形EFGH 均为正方形，点H 是DE 的中点，可知E 、F 、G 分别为AF 、BG 、CH 的中点，且AE ＝EH ＝DH ＝HG ＝CG ＝FG ＝BF ＝EF ＝BE ， ∴S △AEH ＝S △DHG ＝S △CGF ＝S △BFE ＝，∴S 阴影＝3×S 正方形EFGH ＝24， ∴S 正方形EFGH ＝8， ∴EH ＝DH ＝， ∴DE ＝2EH ＝4，又∠AED ＝90°， ∴＝＝＝．故答案为：2．12．解：设三边分别为5x ，12x ，13x ， 则5x +12x +13x ＝60， ∴x ＝2，∴三边分别为10cm ，24cm ，26cm ， ∵102+242＝262， ∴三角形为直角三角形， ∴S ＝10×24÷2＝120cm 2． 故答案为：120．13．解：根据勾股定理，楼梯水平长度为＝12米，则红地毯至少要12+5＝17米长， 故答案为：17． 14．解：连接AC ，由勾股定理得：AC 2＝22+12＝5， BC 2＝22+12＝5， AB 2＝12+32＝10，∴AC 2+BC 2＝5+5＝10＝BA 2，∴△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°， ∴∠ABC ＝45°，故答案为：45．15．解：∵∠C＝90°，∠A＝65°，∴∠B＝90°﹣65°＝25°．故答案为：25°．16．解：∵∠C＝Rt∠，∠A＝70°，∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣70°＝20°．故答案为：20°．17．解：设较小锐角为x度．由题意：4x+x＝90，解得x＝18，故答案为18．18．解：如图，过点A作AF⊥BC于F，在Rt△ABC中，∠B＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝AB＝2，BF＝AF＝BC＝1，∵两个同样大小的含45°角的三角尺，∴AD＝BC＝2，在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF＝＝，∴BD＝BF+DF＝1+，故答案为：1+．19．解：方法1：观察“勾股数组”（a，b，c），当a为奇数时，c＝b+1，又a＝2n+1（n为正整数），由勾股定理可得：c2﹣b2＝（2n+1）2，即（b+1）2﹣b2＝（2n+1）2，解得b＝2n2+2n，∴c＝2n2+2n+1，∴b+c＝4n2+4n+1，故答案为：4n2+4n+1．方法2：观察“勾股数组”（a，b，c），当a为大于1的正奇数时，有如下规律：32＝4+5，52＝12+13，72＝24+25，…，a2＝b+c，∴当a＝2n+1时，b+c＝（2n+1）2．20．解：设直角三角形ABC的两直角边是a和b，斜边是c，则由勾股定理得：a2+b2＝c2，则分别以ab为边长的两个正方形的面积之和是a2+b2＝7cm2+8cm2＝15cm2，以斜边c为边长的正方形的面积是S＝c2＝a2+b2＝15cm2，故答案为：15．三．解答题21．证明：∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，∴∠ADC＝90°＝∠ACB．∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，∠A+∠B+∠ACB＝180°，∴∠ACD＝∠B．22．证明：∵AD＝AB，∴∠B＝∠D，设∠B＝∠D＝α，∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠D＝180°﹣2α＝2（90°﹣α），∵∠BAC＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠B＝90°﹣α，∴∠BAD＝2∠ACB．23．解：∵∠B＝30°，CD⊥AB于D，∴∠DCB＝90°﹣∠B＝60°．∵CE平分∠ACB，∠ACB＝90°，∴∠ECB＝∠ACB＝45°，∴∠DCE＝∠DCB﹣∠ECB＝60°﹣45°＝15°；（2）∵∠CEF＝135°，∠ECB＝∠ACB＝45°，∴∠CEF+∠ECB＝180°，∴EF∥BC．24．解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，x×1+6＝2x，解得：x＝6，即当M、N运动6秒时，点N追上点M；（2）①设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图1，AM＝t，AN＝6﹣2t，∵∠A＝60°，当AM＝AN时，△AMN是等边三角形∴t＝6﹣2t，解得t＝2，∴点M、N运动2秒后，可得到等边三角形△AMN．②当点N在AB上运动时，如图3，若∠AMN＝90°，∵BN＝2t，AM＝t，∴AN＝6﹣2t，∵∠A＝60°，∴2AM＝AN，即2t＝6﹣2t，解得t＝；如图3，若∠ANM＝90°，由2AN＝AM得2（6﹣2t）＝t，解得t＝．综上所述，当t为或s时，△AMN是直角三角形；（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，由（1）知6秒时M、N两点重合，恰好在C处，如图4，假设△AMN是等腰三角形，∴AN＝AM，∴∠AMN＝∠ANM，∴∠AMC＝∠ANB，∵AB＝BC＝AC，∴△ACB是等边三角形，∴∠C＝∠B，在△ACM和△ABN中，∵∠AMC＝∠ANB，∠C＝∠B，AC＝AB，∴△ACM≌△ABN（AAS），∴CM＝BN，∴t﹣6＝18﹣2t，解得t＝8，符合题意．所以假设成立，当M、N运动8秒时，能得到以MN为底的等腰三角形．25．解：（1）①如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2＝c2．（或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．）②证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即c2＝ab×4+（b﹣a）2，化简得：a2+b2＝c2．在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即（a+b）2＝c2+ab×4，化简得：a2+b2＝c2．在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即（a+b）（a+b）＝ab×2+c2，化简得：a2+b2＝c2．（2）①三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有3个；故答案为3；②结论：S1+S2＝S3．∵S1+S2＝（）2+（）2+S3﹣（）2，∴S1+S2＝π（a2+b2﹣c2）+S3，∴a2+b2＝c2．∴S1+S2＝S3．（3）①a2+b2+c2+d2＝m2；②b与c的关系为b＝c，a与d的关系为a+d＝m．故答案为：m2；b＝c，a+d＝m．26．解：（1）点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系是OA＝OB＝OC；（2）△OMN的形状是等腰直角三角形，证明：∵△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O为BC中点，∴OA＝OB＝OC，AO平分∠BAC，AO⊥BC，∴∠AOB＝90°，∠B＝∠C＝45°，∠BAO＝∠CAO＝45°，∴∠CAO＝∠B，在△BOM和△AON中∵，∴△BOM≌△AON（SAS），∴OM＝ON，∠AON＝∠BOM，∵∠AOB＝∠BOM+∠AOM＝90°，∴∠AON+∠AOM＝90°，即∠MON＝90°，∴△OMN是等腰直角三角形．27．解：（1）是．理由：∵AM2+BN2＝22+（2）2＝16，MN2＝42＝16，∴AM2+NB2＝MN2，∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形．故点M、N是线段AB的勾股分割点．（2）设BN＝x，则MN＝12﹣AM﹣BN＝7﹣x，①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2+NB2，即（7﹣x）2＝x2+25，解得x＝；②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2+MN2．即x2＝25+（7﹣x）2，解得x＝．综上所述BN的长为或．。

第三章勾股定理数学八年级上册-单元测试卷-苏科版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，点A，B分别在x轴、y轴上（OA＞OB），以AB为直径的圆经过原点O，C是的中点，连结AC，BC．下列结论：①AC=BC；②若OA=4，OB=2，则△ABC的面积等于5；③若OA﹣OB=4，则点C的坐标是（2，﹣2）.其中正确的结论有（）A.3个B.2个C.1个D.0个2、如图将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（）A.2cmB. cmC.2 cmD.2 cm3、如图所示，一矩形公园中有一圆形湖，湖心O恰在矩形的中心位置，若测得AB=600m，BC=800m，则湖心O到四个顶点的距离为（）A.300mB.400mC.500mD.600m4、如图，平行四边形ABCD中，AB：BC=3：2，∠DAB=60°，E在AB上，且AE：EB=1：2，F是BC的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，则DP：DQ等于（）A.3：4B. ：2C. ：2D.2 ：5、如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，则水是（）尺．A.3.5B.4C.4.5D.56、下列说法中，正确的是( )A.直角三角形中，已知两边长为 3 和 4，则第三边长为 5B.若一个三角形是直角三角形，其三边长为 a，b，c，则满足a 2-b 2=c 2C.以三个连续自然数为三边长不可能构成直角三角形D.△ABC 中，若∠A∶∠B∶∠C=1∶5∶6，则△ABC 是直角三角形7、“直角”在初中数学学习中无处不在在数学活动课上，李老师要求同学们用所学知识，利用无刻度的直尺和圆规判断“已知∠AOB“是不是直角．甲、乙两名同学各自给出不同的作法，来判断∠AOB是不是直角甲：如图1，在OA、OB上分别取点CD，以C为圆心，CD长为半径画弧，交OB的反向延长线于点E，若OE＝OD，则∠AOB＝90°；乙：如图2，在OA、OB上分别截取OM＝4个单位长度，ON＝3个单位长度，若MN＝5个单位长度，则∠AOB＝90°；甲、乙两位同学作法正确的是（）A.甲正确，乙不符合题意B.乙正确，甲错误C.甲和乙都错误 D.甲和乙都正确8、如图，点P是等腰直角△ABC的斜边AB所在的直线上一点，设m＝AP2+BP2，则m与CP2的大小关系是（）A. m＝CP2B.对点P有有限多个位置，使得m＜2 CP2C. m＞2 CP2D.对直线AB上的所有点P都有m＝2 CP29、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC．若CD=3，BC+AB=16，则△ABC的面积为（）A.16B.18C.24D.3210、如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AD、AB、BC、CD的中点，连接EF、FG、GH．HE．若AD＝2AB，则下列结论正确的是（）A. EF＝ABB.C.D.11、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，点F是CD的中点，且AF⊥AB，若AD=2.7，AF=4，AB=6，则CE的长为（）A.2B.2 -1C.2.5D.2.312、《九章算术》勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索长度为x尺，根据题意，可列方程为（）A. B. C. D.13、直角三角形三边的长分别为3、4、x，则x可能取的值为（）A.5B.C.5或D.不能确定14、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，边AC落在数轴上，点A表示的数是1，点C表示的数是3．以点A为圆心、AB长为半径画弧交数轴负半轴于点B1，则点B1所表示的数是（）A.－2B.－2C.1－2D.2 －115、如图,AB是⊙O的弦，OC是⊙O的半径，OC⊥AB于点D，若AB=8，CD=2，则⊙O的半径等于（）A.5B.6C.8D.10二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH=8cm，EF=15cm，则边AD的长是________cm．17、等腰三角形ABC的底边BC=6，△ABC的外接圆⊙O的半径为5，则S△ABC=________．18、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=1，则AB2+BC2+AC2=________．19、若一个三角形的三边长之比为5∶12∶13，且周长为60 cm，则它的面积为________ cm2.20、如图，在边长为3正方形ABCD的外部作Rt△AEF，且AE=AF=1，连接DE，BF，BD，则DE2+BF2=________.21、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC= ，OC= ，则另一直角边BC的长为________．22、如图，矩形ABCD中，O是两对角线交点，AE⊥BD于点E．若OE∶OD＝1∶2，AE＝3cm，则BE﹦________cm．23、一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1小时后，它们相距________海里．24、如图，△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，CD是AB边上的中线．则CD=________．25、在Rt△ABC中，∠C=90°，如果cos∠A= ，那么cot∠A=________．三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，在每个小正方形的边长为1的方格纸中有线段AB和CD，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上。

第三章勾股定理数学八年级上册-单元测试卷-苏科版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是线段AB的垂直平分线与BC的交点，连结AD．若CD＝2，BD＝4，则AC的长为（）A.4B.3C.2D.2、8月在北京召开的国际数学家大会会标，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积为13，小正方形的面积是1 ，直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，则（a+b）2的值为（）A.13B.19C.25D.1693、若一个三角形的三边长分别为3、4、5，则这个三角形最长边上的中线为( )A.1.8B.2C.2.4D.2.54、如图，已知ABCD是长方形纸片，，在CD上存在一点E，沿直线AE将折叠，D恰好落在BC边上的点F处，且，则的面积是（）.A. B. C. D.5、小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿直插到离岸边6米远的水底，竹竿高出水面2米，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为（）A.7mB.8mC.9mD.10m6、下列各组数能作为直角三角形三边长的是（）A. ，2，B. ，，C.7，24，25D.12，15，207、如图，“L”形纸片由五个边长为1的小正方形组成，过A点剪一刀，刀痕是线段BC，若阴影部分面积是纸片面积的一半，则BC的长为（）A. B.4 C. D.8、如图，在△ABC中，AC=3，BC＝4，AB＝5,则tanB的值是（）A. B. C. D.9、在边长为正整数的△ABC中，AB=AC，且AB边上的中线CD将△ABC的周长分为1：2的两部分，则△ABC面积的最小值为（）A. B. C. D.10、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AB边上的高为4cm，则Rt△ABC的周长为( )cm．A.24B.6C.3 +10D.6 +1011、下列给出的三条线段的长，能组成直角三角形的是（）A.1 、 2 、3B.2 、 3、 4C.5、 7 、 9D.5、 12、 1312、如图，数轴上点A表示的数是﹣1，原点O是线段AB的中点，∠BAC=30°，∠ABC=90°，以点A为圆心，AC为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数是（）A. -1B.C.D. -113、已知中，，，，则的取值范围是( )A. B. C. D.14、下列数组中，是勾股数的是（）A.1,2,3B.6,8,9C.5,11,12D.9,40,4115、下列各组数中，能作为直角三角形的三边长的是（）A.4，5，6B.6，8，10C.6，8，11D.5，12，14二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，点D，E分别是AB，AC的中点，点G，F在BC边上(均不与端点重合)，DG∥EF.将△BDG绕点D顺时针旋转180°，将△CEF绕点E逆时针旋转180°，拼成四边形MGFN，则四边形MGFN周长l的取值范围是________.17、如图，菱形OABC中，∠OCB=60°，点C坐标为(-2，0)，过点D(2，0)作直线l分别交AO、OB于点G、F，交BC于E，点E在反比例函数y= (x<0)的图象上，若△BEF和△ODG(即图中两阴影部分) 的面积之比为4：3，则k值为________ 。

苏科版八年级数学上册第三章《勾股定理》单元测试卷一、选择题：1、将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是（ ）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 不能判断2、一个直角三角形的两直角边长分别为7和24，下列说法正确的是（ ）A ．斜边长为625B ．三角形的周长为84C ．斜边长为25D ．三角形的面积为1683、如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a 的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ）A. 12≤a≤13B. 12≤a≤15C. 5≤a≤12D. 5≤a≤134、若直角三角形的两边长分别为a ，b ﹣4|=0，则该直角三角形的第三边长为（ ）A. 5B. √7C. 4D. 5或√75、在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝9，BC ＝12，则点C 到AB 的距离是（ ）A ．536B ．2512C ．49 D ．以上均不正确 6、如图，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，A 、B 都是格点，则线段AB的长为 （ ）A ．5B ．6C ．7D ．257、如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为 （ ）A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米8、如图是一张直角三角形纸片，两直角边AC＝3cm，BC＝4cm．现将△ABC折叠，使点B 与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（）A．2cm B．2. 5cm C．3cm D．5cm9、如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是（）A. 3 +2 D. 410、如图，一艘轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，同时另一艘轮船以12海里/时的速度从港口A出发向东南方向航行，离开港口3小时后，两船相距（）A．36海里 B．48海里 C．60海里 D．84海里11、如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点(不含端点B、C)．若线段AD的长为正整数，则点D共有（）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个12、已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m 和n (n m <)，过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形．若这两个三角形都为等腰三角形，则 （ ）A ．0222=++n mn mB ．0222=+-n mn mC ．0222=-+n mn mD ．0222=--n mn m二、填空题：13、已知在三角形ABC 中，∠C=90°，AC=15，BC=20，则AB 的长等于________．14、两只小鼹鼠在地下从同一处开始打洞，一只朝北面挖，每分钟挖8cm ，另一只朝东面挖，每分钟挖6cm ，10分钟之后两只小鼹鼠相距 .15、在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝12，AC ＝13，则边AC 上的高是______________．16、已知三角形的三边长分别为a 、b 、c ．如果(a-9)2+|b-15|+(12+c)2=0，那么△ABC （填是或不是）直角三角形17、如图，一架2.5米长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AC 上，这时梯足B 到墙底端C 的距离为0.7米，如果梯子的顶端下滑0.4米，则梯足将向外移 .18、在平静的湖面上，有一枝红莲，高出水面1m ，一阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2m ，这里水深是 米。

第三章勾股定理数学八年级上册-单元测试卷-苏科版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、已知三角形的三边长为a、b、c，如果，则△ABC是（）A.以a为斜边的直角三角形B.以b为斜边的直角三角形C.以c为斜边的直角三角形D.不是直角三角形2、如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，则sinA的值为（）A.2B.C.D.3、如图，在△ABC中，∠C=90o， AC=3，BC=4，则sinB的值是（）A. B. C. D.4、如图，分别以Rt△ABC的三条边为边向外作正方形，面积分别记为S1， S2， S3.若S1= 36，S2 = 64，则S3 =（）A.8B.10C.80D.1005、下列长度的线段不能构成直角三角形的是（）A.8，15，17B.1.5，2，3C.6，8，10D.5，12，136、小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（）A.2B.C.2D.37、如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为( )A.3B.1+C.1+3D.1+8、如图，菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，M、N分别是BC、CD上的动点，P是线段BD上的一个动点，则PM＋PN的最小值是（）A. B. C. D.9、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AC＝BC．边AC落在数轴上，点A表示的数是1，点C表示的数是3，负半轴上有一点B₁，且AB₁＝AB，点B₁所表示的数是（）A.﹣2B.﹣2C.2 ﹣1D.1﹣210、如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AC边上的高是( )A. B. C. D.11、在下列条件：①∠A+∠B=∠C，②∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，③∠C=∠A－∠B, ④a∶b∶c=3∶4∶5 中，能确定△ABC是直角三角形的条件有( )A.1个B.2个C.3个D.4个12、高为3，底边长为8的等腰三角形腰长为（）A.3B.4C.5D.613、如图所示，一圆柱高8cm，底面半径为2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，点B 与点相对，要爬行的最短路程（取3）是（）A.20cmB.14cmC.10cmD.无法确定14、如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（）A.700mB.500mC.400mD.300m15、如图，在△ABC中，若AB＝AC＝6，BC＝4，D是BC的中点，则AD的长等于（）A.4B.2C.2D.4二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在平面直角坐标系中，有A（1，2），B（3，3）两点，现另取一点C（a，1），当a=________ 时，AC+BC的值最小．17、如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（20，0），点B的坐标是（16，0），点C、D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标为________．18、图中两个正方形的中心重合，小正方形的顶点A、C两点在大正方形的对角形上，△HAC是等边三角形，若AB＝2，则大正方形的边长为________．19、如图，以直角△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1， S2， S3且S1=4，S2=8，则S3=________．20、在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，以C为圆心r为半径画⊙C，使⊙C与线段AB有且只有两个公共点，则r的取值范围是 ________ .21、如图，在△ABC中，AC=5， BC=12， AB=13，点E是BC边上的一动点，ED⊥BC交AB 于D点，DF⊥AC于F点，连接EF，则EF的最小值是________.22、如图，由Rt△ABC的三边向外作正方形，则字母B所代表的正方形的面积是________．23、如图，、分别在的边和上，，若，，则线段的长为________．24、如图，已知，P为线段AB上的一个点，且AP=2，分别以AP，PB为边在AB 的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，，M，N分别是对角线AC，BE的中点，则MN的长为________.25、有一棵米高的大树，树下有一个米高的小孩，如果大树在距地面米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树________米之外才是安全的．三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8，tanB= ，点D在BC上，且BD=AD，求AC 的长和cos∠ADC的值．27、如图，一只蚂蚁从点A沿圆柱表面爬到点B，如果圆柱的高为8cm，圆柱的底面半径为cm，那么蚂蚁爬行的最短的路线长是多少？28、如图，AB是⊙O的直径，⊙O的半径为5cm，弦AC的长为6cm，求弦BC的长．29、如图是著名的赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，请你用它验证勾股定理．30、如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域,我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13nmile的A，B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120nmile，乙巡逻艇每小时航行50nmile，航向为北偏西40°，问：甲巡逻艇的航向是多少？参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、C2、C3、C4、D5、B6、B7、D8、D9、D10、C11、C12、C13、C14、B二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)27、28、29、30、。

第3章《勾股定理》综合测试卷（B ）（考试时间：90分钟 满分:100分）一、选择题（每题3分，共24分）1. 有六根细木棒，它们的长度分别是2, 4, 6, 8, 10, 12（单位:cm ）.若从中取出三根,首尾 顺次连接搭成一个直角三角形，则这三根木棒的长度分别为（）A.2, 4, 8B.4, 8, 10C. 6, 8, 10D. 8, 10, 12 2. 若等腰三角形底边上的高为8,周长为32,则三角形的面积为（） A.56B. 48C. 40D.32 3. 在AABC 中，已知A3 = 17, AC = 10.若边BC 上的高AD = 8,则边BC 的氏为（） A. 21 B. 15 C. 6 或 9 D.9 或 214. 如图，每个小正方形的边长为1,若A,3,C 是小正方形的顶点，则ZABC 的度数为（）5. 如图，一架云梯长25 m,斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7m.如果梯子的顶端下滑4 m,那 么梯子的底部在水平方向上滑动了（）A. 4 mB. 6mC. 8 mD. 10 m6. 如图，在 AABC 中，AC = BC, ZACB = 90°，点 D 在 BC 上,BD = 3, DC = 1, P 是AB 上的动点，则PC+PD 的最小值为（）A. 4B. 5C.6D.7 7•如图，在长方形ABCD 中，AB = 4,BC = 6,E 为BC 的中点，将AABE 沿AE 折叠，使点B 落在长方形内点F 处，连接CF ,则CF 的长为（）A. 90°B.600 （第6题）BC. 45° （第5题）D. 30°（第7题） ① （第8题）②&如图①，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S|,S2，S3；如图②， 分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为 54,S 5,S 6.M 中&=迢S? =45鸟=11*6 =14,则S3+S4为（）A. 86B. 64C. 54D. 48二、填空题（每题2分，共20分）9. _______________________________________________________ 如果三角形三边长分别为3, 4, 5,那么最长边上的中线长为 _______________________________ .10. ____________________________________________________________ 已知两条线段的长分别为15 cm 和8cm,则当第三条线段的长取整数 ___________________ cm 时，这 三条线段能组成一个直角三角形.11•若一个三角形的三边长Z 比为5： 12： 13,且周长为60 cm,则它的面积为 __________ cm 2. 12.如图，长为12 cm 的弹性皮筋拉直放置在一轴上，固定两端人和然后把中点C 向上 拉升8 cm 至点D ,则弹性皮筋被拉长了 _______________ m.ZDAB= ___________ 14 •如图，在\ABC 中，AB = 5,AC = 3.若中线AD = 2,则\ABC 的面积为 _______________15•如图,在四边形ABCD 中,ZABC = 30° ,将& 对应点恰好与点A 重合，得到AACE,若AB = ^BC = 4,则BD = _____________ 16.在四边形13•如图，在四边形ABCD 屮，（第13AB: BC: CD I>A2:2: 3•若 ZABC = 90° ,（第15题）绕点C 顺时针旋转60。

八年级上册数学单元测试卷-第三章勾股定理-苏科版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A.∠A：∠B：∠C=l：2：3B.三边长为a，b，c的值为1，2，C.三边长为a，b，c的值为， 2，4D.a 2=（c+b）（c﹣b）2、如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是( )A. B. C. D.3、如图是一个6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，Rt△ABC的顶点都是图中的格点，其中点A、点B的位置如图所示，则点C可能的位置共有（）A.9个B.8个C.7个D.6个4、如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，AB=1，∠ABE=45°，则BC的长为（）A. B.1.5 C. D.25、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A，B两点，点C是第四象限内抛物线上一点，连结AC，BC．下列所给条件中，能确定二次项系数a的值的是（）A.A(2，0)，B(6，0)，AC=BCB.AB=2，C(3，-1)C.∠ACB=90°，点C的纵坐标为-2D.A(2，0)，AB=2AC6、如图，CE，BF分别是△ABC的高线，连接EF，EF=6，BC=10，D、G分别是EF、BC的中点，则DG的长为（）A.6B.5C.4D.37、已知圆锥的底面的半径为3cm，高为4cm，则它的侧面积为（）A.15πcm 2B.16πcm 2C.19πcm 2D.24πcm 28、有一直角三角形纸片，∠C=90°，BC=6，AC=8，现将△ABC按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则CE的长为（）A. B. C. D.49、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将△ABC折叠，使AB落在斜边AC上，折痕为AD，则BD的长为( )A.3B.4C.5D.610、如图，是斜边上的高，，，点是上的动点，以为圆心作半径为的圆，若该圆与重叠部分的面积为，则的最小值为（）A. B. C. D.11、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB= ，BC=2，则这个直角三角形的面积为（）A.3B.6C.D.12、若等腰三角形中相等的两边长为10cm，第三边长为12cm，那么第三边上的高为（）A.12 cmB.10 cmC.8 cmD.6 cm13、下列三角形中，是直角三角形的是（）A.三角形的三边满足关系a＋b＝cB.三角形的三边为9，40，41C.三角形的一边等于另一边的一半D.三角形的三边比为1∶2∶314、一个直角三角形的两条直角边边长分别为3和4，则斜边上的高为（）A.2B.2.2C.2.4D.2.515、如图，⊙O的直径AB=12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP：AP=1:5,则CD的长为（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，点D，点P分别在AB，BC上运动，则线段AP和线段DP之和的最小值是________.17、如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E.若DE=DC=1，AE=2EM，则BM的长为________.18、在平面直角坐标系中，点（－3，1）到坐标原点的距离是________．19、如图，正方形OABC的边长为1，在数轴上P点表示的实数是________.20、如图，在扇形BOC中，∠BOC=60°，OD平分∠BOC交弧BC于点D．点E为半径OB 上一动点，若OB=2 ，则阴影部分周长的最小值为________．21、菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点E 坐标为（0，﹣），点P是对角线OC上一个动点，则EP+BP最短的最短距离为________.22、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是________.23、如图，Rt△ABC的周长为(5+3)cm，以AB、AC为边向外作正方形ABPQ和正方形ACMN．若这两个正方形的面积之和为25 cm2，则△ABC的面积是________ cm2．24、如图，△ABC中，AC＝10，AB＝12，△ABC的面积为48，AD平分∠BAC，F，E分别为AC，AD上两动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为________.25、如图，将直线y=﹣x沿y轴向下平移后的直线恰好经过点A（2，﹣4），且与y轴交于点B，在x轴上存在一点P使得PA+PB的值最小，则点P的坐标为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8，tanB= ，点D在BC上，且BD=AD，求AC 的长和cos∠ADC的值．27、数学综合实验课上，同学们在测量学校旗杆的高度时发现：将旗杆顶端升旗用的绳子垂到地面还多2米；当把绳子的下端拉开8米后，下端刚好接触地面，如图，根据以上数据，同学们准确求出了旗杆的高度，你知道他们是如何计算出来的吗？28、一块试验田的形状如图，已知：∠ABC=90°，AB=4m，BC=3m，AD=12m，CD=13m．求这块试验田的面积．29、如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B坐标分别为（4，2）、（0，2），线段CD 在于x轴上，CD＝，点C从原点出发沿x轴正方向以每秒1个单位长度向右平移，点D随着点C同时同速同方向运动，过点D作x轴的垂线交线段AB于点E、交OA于点G，连结CE交OA于点F．设运动时间为t，当E点到达A点时，停止所有运动．（1）求线段CE的长；（2）记S为RtΔCDE与ΔABO的重叠部分面积，试写出S关于t的函数关系式及t的取值范围；（3）连结DF，①当t取何值时，有DF=CD?②直接写出ΔCDF的外接圆与OA相切时t的值.30、如图所示，有一个绳索拉直的木马秋千，秋千绳索AB的长度为4米，将它往前推进2米（即DE=2米），求此时秋千的绳索与静止时所夹的角度及木马上升的高度．（精确到0.1米）参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、C2、C3、A4、A5、C6、C7、A8、B9、A10、D11、A12、C13、B14、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)27、30、。

苏科新版八年级上册数学《第3章勾股定理》单元测试卷一．选择题1．如图，已知∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足是D，则图中与∠A相等的角是（ ）A．∠1B．∠2C．∠B D．∠1、∠2和∠B 2．如图，AB∥DF，AC⊥CE于C，BC与DF交于点E，若∠A＝20°，则∠CEF等于（ ）A．110°B．100°C．80°D．70°3．在直角三角形中，两条直角边的长分别为12和5，则斜边上的中线长是（ ）A．6.5B．8.5C．13D．4．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）A．1，，B．2，3，4C．1，2，3D．4，5，65．下列四组数据中，不能作为直角三角形的三边长的是（ ）A．7，24，25B．6，8，10C．9，12，15D．3，4，66．如图，在直角三角形ABC中，AC≠AB，AD是斜边上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（ ）A．3个B．4个C．5个D．6个7．如图，四边形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，CD＝12cm，DA＝13cm，且∠ABC＝90°，则四边形ABCD的面积为（ ）A．6cm2B．30cm2C．24cm2D．36cm28．在我国古代数学著作《九章算术》的第九章《勾股》中记载了这样的一个问题：“今天有开门去阔一尺，不合二寸，问门广几何？”意思是：如图，推开两扇门（AD和BC），门边缘D，C两点到门槛AB的距离是1尺，两扇门的间隙CD为2寸，则门宽AB长是（ ）寸．（1尺＝10寸）A．101B．100C．52D．969．勾股定理在平面几何中有着不可替代的重要地位，在我国古算书《周牌算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长均为1的小正方形和Rt△ABC构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．将图1按图2所示“嵌入”长方形LMJK，则该长方形的面积为（ ）A．120B．110C．100D．9010．如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含45°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含30°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（ ）A．10°B．15°C．20°D．25°二．填空题11．在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有 （填序号）12．已知：△ABC中，AB＝4cm，AC＝3cm，BC＝5cm，则△ABC的面积是 cm2．13．观察以下几组勾股数，并寻找规律：请你写出有以上规律的第⑤组勾股数： ．①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41．14．公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾a＝6，弦c＝10，则小正方形ABCD的面积是 ．15．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，BE⊥AC，垂足为点E，M为AB 边的中点，连接ME、MD、ED．设AB＝4，∠DBE＝30°，则△EDM的面积为 ．16．已知△ABC的三边长分别为1，，2，则△ABC是 三角形．17．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．18．等腰△ABC的腰长AB为5，底边BC的长为6，则底边上的高长为 ．19．如果点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC 的费马点．已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°时，P就是△ABC的费马点．若点P是腰长为的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF＝ ．20．如图，已知∠AON＝40°，OA＝6，点P是射线ON上一动点，当△AOP为直角三角形时，∠A＝ °．三．解答题21．两块三角板如图放置，已知∠BAC＝∠ADC＝90°，∠ABC＝45°，∠ACD＝30°，BC＝6cm．（1）分别求线段AD，CD的长度；（2）求BD2的值．22．如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝135°，将一个含45°角的直角三角板的一个顶点放在点O处，斜边OM与直线AB重合，另外两条直角边都在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕着点O逆时针旋转90°，如图2所示，此时∠BOM＝ ；在图2中，OM是否平分∠CON？请说明理由；（2）接着将图2中的三角板绕点O逆时针继续旋转到图3的位置所示，使得ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠CON之间的数量关系，并说明理由；（3）将图1中的三角板绕点O按每秒4.5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当旋转到第 秒时，∠COM与∠CON互补．23．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝m，BC＝n，m＞n，点P是边AB上一点，连接CP，将△ACP沿CP翻折得到△QCP．（1）若m＝4，n＝3，且PQ⊥AB，求BP的长；（2）连接BQ，若四边形BCPQ是平行四边形，求m与n之间的关系式．24．如图所示，在△ABC中，已知AD⊥BC，∠B＝64°，∠C＝56°，（1）求∠BAD和∠DAC的度数；（2）若DE平分∠ADB，求∠AED的度数．25．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝b，BC＝a，请你利用这个图形解决下列问题：（1）试说明a2+b2＝c2；（2）如果大正方形的面积是10，小正方形的面积是2，求（a+b）2的值．26．如图所示，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，CD＝（1）求AD的长；（2）求证：△ABC是直角三角形．27．如图，在平面直角坐标系中，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，斜边AB与y轴交于点C．（1）若∠A＝∠AOC，求证：∠B＝∠BOC；（2）延长AB交x轴于点E，过O作OD⊥AB，且∠DOB＝∠EOB，∠OAE＝∠OEA，求∠A度数；（3）如图，OF平分∠AOM，∠BCO的平分线交FO的延长线于点P，当△ABO绕O 点旋转时（斜边AB与y轴正半轴始终相交于点C），在（2）的条件下，试问∠P的度数是否发生改变？若不变，请求其度数；若改变，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题1．解：∵∠ACB＝90°，即∠1+∠2＝90°，又∵直角△ACD中，∠A+∠1＝90°，∴∠A＝∠2．故选：B．2．解：∵AC⊥BC于C，∴△ABC是直角三角形，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣20°﹣90°＝70°，∴∠ABC＝∠1＝70°，∵AB∥DF，∴∠1+∠CEF＝180°，即∠CEF＝180°﹣∠1＝180°﹣70°＝110°．故选：A．3．解：如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，则根据勾股定理知，AB＝＝13，∵CD为斜边AB上的中线，∴CD＝AB＝6.5．故选：A．4．解：A、∵12+（）2＝（）2，∴以1、、为边组成的三角形是直角三角形，故本选项正确；B、∵22+32≠42，∴以2、3、4为边组成的三角形不是直角三角形，故本选项错误；C、∵12+22≠32，∴以1、2、3为边组成的三角形不是直角三角形，故本选项错误；D、∵42+52≠62，∴以4、5、6为边组成的三角形不是直角三角形，故本选项错误；故选：A．5．解：A、72+242＝252，符合勾股定理的逆定理，故能作为直角三角形的三边长；B、62+82＝102，符合勾股定理的逆定理，故能作为直角三角形的三边长；C、92+122＝152，符合勾股定理的逆定理，故能作为直角三角形的三边长；D、32+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，故不能作为直角三角形的三边长．故选：D．6．解：∵AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠C+∠B＝90°，∠BDF+∠B＝90°，∠BAD+∠B＝90°，∴∠C＝∠BDF＝∠BAD，∵∠DAC+∠C＝90°，∠DAC+∠ADE＝90°，∴∠C＝∠ADE，∴图中与∠C（除之C外）相等的角的个数是3，故选：A．7．解：连接AC，∵∠ABC＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，∴AC＝5cm，∵CD＝12cm，DA＝13cm，AC2+CD2＝52+122＝169＝132＝DA2，∴△ADC为直角三角形，∴S四边形ABCD＝S△ACD﹣S△ABC＝AC×CD﹣AB×BC＝×5×12﹣×4×3＝30﹣6＝24（cm2）．故四边形ABCD的面积为24cm2．故选：C．8．解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，设单门的宽度AO是x寸，则AE＝x﹣1，DE＝10寸，根据勾股定理，得：AD2＝DE2+AE2，则x2＝102+（x﹣1）2，解得：x＝50.5，故AB＝101寸，故选：A．9．解：延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，如图所示：则四边形OALP是矩形．∵∠CBF＝90°，∴∠ABC+∠OBF＝90°，又∵Rt△ABC中，∠ABC+∠ACB＝90°，∴∠OBF＝∠ACB，在△OBF和△ACB中，，∴△OBF≌△ACB（AAS），∴AC＝OB，同理：△ACB≌△PGC，∴PC＝AB，∴OA＝AP，∴矩形AOLP是正方形，边长AO＝AB+AC＝3+4＝7，∴KL＝3+7＝10，LM＝4+7＝11，∴长方形KLMJ的面积为10×11＝110．故选：B．10．解：∵AB∥CD，∴∠BCD＝∠ABC＝45°，∴∠1＝∠BCD﹣∠BCE＝45°﹣30°＝15°．故选：B．二．填空题11．解：①∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠C＝180°，∠C＝90°，则该三角形是直角三角形；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，则该三角形是直角三角形；③∠A＝90°﹣∠B，则∠A+∠B＝90°，∠C＝90°．则该三角形是直角三角形；④∠A＝∠B＝∠C，则该三角形是等边三角形．故能确定△ABC是直角三角形的条件有①②③．12．解：∵AB＝4cm，AC＝3cm，BC＝5cm，∴AB2+AC2＝25cm2，BC2＝25cm2，∴AB2+AC2＝BC2，∴∠A＝90°，∴△ABC的面积是AC×AB＝×3cm×4cm＝6cm2，故答案为：6．13．解：∵①3＝2×1+1，4＝2×1×（1+1），5＝2×1×（1+1）+1，②5＝2×2+1，12＝2×2×（2+1），13＝2×2×（2+1）+1，③7＝2×3+1，24＝2×3×（3+1），25＝2×3×（3+1）+1，…，∴第n组勾股数为：a＝2n+1，b＝2n（n+1），c＝2n（n+1）+1，∴第⑤组勾股数为a＝2×5+1＝11，b＝2×5×（5+1）＝60，c＝2×5×（5+1）+1＝61，即11，60，61．故答案为：11，60，61．14．解：∵勾a＝6，弦c＝10，∴股＝＝8，∴小正方形的边长＝8﹣6＝2，∴小正方形的面积＝22＝4故答案是：415．解：∵在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，∴△ABE，△ADB是直角三角形，∴EM，DM分别是它们斜边上的中线，∴EM＝DM＝AB，∵ME＝AB＝MA，∴∠MAE＝∠MEA，∴∠BME＝2∠MAE，同理，MD＝AB＝MA，∴∠MAD＝∠MDA，∴∠BMD＝2∠MAD，∴∠EMD＝∠BME﹣∠BMD＝2∠MAE﹣2∠MAD＝2∠DAC＝60°，所以△DEM是边长为2的正三角形，所以S△DEM＝．故答案为：．16．解：∵12+（）2＝22，∴△ABC是直角三角形．故答案为：直角．17．解：由勾股定理，得路长＝＝5，少走（3+4﹣5）×2＝4步，故答案为：4．18．解：过A作AD⊥BC于D，则线段AD是等腰△ABC底边BC上的高，∵AB＝AC，BC＝6，AD⊥BC，∴BD＝DC＝3，∠AB＝90°，由勾股定理得：AD＝＝＝4，故答案为：4．19．解：如图：过点D作DM⊥EF于点M，在△BDE内部过E、F分别作∠MEP＝∠MFP＝30°，则∠EPF＝∠FPD＝∠EPD＝120°，点P就是费马点，在等腰Rt△DEF中，DE＝DF＝，DM⊥EF，∴EF＝DE＝2∴EM＝DM＝1，故cos30°＝，解得：PE＝，则PM＝，故DP＝1﹣，同法可得PF＝则PD+PE+PF＝2×+1﹣＝+1．故答案为+1．20．解：当AP⊥ON时，∠APO＝90°，则∠A＝50°，当PA⊥OA时，∠A＝90°，即当△AOP为直角三角形时，∠A＝50或90°．故答案为：50或90．三．解答题21．解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝45°，∴AB＝AC＝BC＝6（cm），在Rt△ADC中，∠ACD＝30°，∴AD＝AC＝3（cm），由勾股定理得，CD＝＝3（cm）；（2）过点B作BE⊥AD交DA的延长线于E，由题意得，∠BAE＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∴BE＝AB＝3（cm），由勾股定理得，AE＝＝3（cm），∴DE＝AE+AD＝（3+3）cm，∴BD2＝BE2+DE2＝32+（3+3）2＝（45+18）cm．22．解：（1）如图2，∠BOM＝90°，OM平分∠CON．理由如下：∵∠BOC＝135°，∴∠MOC＝135°﹣90°＝45°，而∠MON＝45°，∴∠MOC＝∠MON；故答案为90°；（2）∠AOM＝∠CON．理由如下：如图3，∵∠MON＝45°，∴∠AOM＝45°﹣∠AON，∵∠AOC＝45°，∴∠NOC＝45°﹣∠AON，∴∠AOM＝∠CON；（3）如图2，OM、ON都在OC右侧，∠COM+∠CON＝2∠COM+45°＝180°，∴∠COM＝67.5°，∴∠CON＝67.5+45＝112.5°，∴45°+∠BON＝180°﹣112.5＝67.5°，如图3，OM、ON都在OC左侧，∠COM+∠CON＝2∠CON+45°＝180°，∴∠CON＝67.5°，∴∠BOM＝67.5+45＝112.5°，∴∠BOC+∠COM＝135+112.5＝247.5°，∴在旋转的过程中，∠COM与∠CON互补，则ON旋转67.5°或247.5°，∴＝15或＝55，故答案为：15或55．23．解：（1）如图，作CH⊥AB于H．由翻折的性质可知：∠APC＝∠QPC，∵PQ⊥PA，∴∠APQ＝90°，∴∠APC＝∠QPC＝135°，∴∠BPC+∠QPB＝135°，∵∠QPB＝90°，∴∠BPC＝45°，∵CH⊥AB，∴CH＝PH，在Rt△ABC中，AB＝＝＝5，∵•AB•CH＝•AC•BC，∴CH＝，BH＝＝，∴PB＝PH+BH＝+＝．（2）如图2中，连接BQ．由翻折不变性可知：PA＝PQ，∠QPC＝∠APC，∵四边形BCPQ是平行四边形，∴PQ＝BC＝PA＝n，PQ∥BC，∴∠QPC+∠PCB＝180°，∵∠BPC+∠APC＝180°，∴∠PCB＝∠BPC，∴PB＝BC＝n，∴AP＝PB＝n，AB＝2n，在Rt△ABC中，则有（2n）2＝m2+n2，∴m2＝3n2，∵m＞0．n＞0，∴m＝n．24．解：（1）∵AD⊥BC，①∴在Rt△BAD中，∠BAD+∠B＝90°，又∵∠B＝64°，∴∠BAD＝26°；②∴在Rt△DAC中，∠DAC+∠C＝90°，又∵∠C＝56°，∴∠DAC＝34°；（2）∵AD⊥BC，DE平分∠ADB，∴∠BDE＝45°；在△BED中，∠B＝64°，∴∠B+∠BDE＝109°；∵∠AED＝∠B+∠BDE，∴∠AED＝109°．25．解：（1）∵大正方形面积为c2，直角三角形面积为ab，小正方形面积为（b﹣a）2，∴c2＝4×ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2即c2＝a2+b2．；（2）由图可知，（b﹣a）2＝2，4×ab＝10﹣2＝8，∴2ab＝8，∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝2+2×8＝18．26．解：（1）∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴AD＝＝＝；（2）证明：由上题知AD＝，同理可得BD＝，∴AB＝AD+BD＝5，∵32+42＝52，∴BC2+AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形．27．解：（1）∵△AOB是直角三角形，∴∠A+∠B＝90°，∠AOC+∠BOC＝90°．∵∠A＝∠AOC，∴∠B＝∠BOC；（2）∵∠A+∠ABO＝90°，∠DOB+∠ABO＝90°，∴∠A＝∠DOB，即∠DOB＝∠EOB＝∠OAE＝∠OEA．∵∠DOB+∠EOB+∠OEA＝90°，∴∠DOB＝30°，∴∠A＝30°；（3）∠P的度数不变，∠P＝30°，∵∠AOM＝90°﹣∠AOC，∠BCO＝∠A+∠AOC，∵OF平分∠AOM，CP平分∠BCO，∴∠FOM＝∠AOM＝（90°﹣∠AOC）＝45°﹣∠AOC，∠PCO＝∠BCO＝（∠A+∠AOC）＝∠A+∠AOC．∴∠P＝180°﹣（∠PCO+∠FOM+90°）＝45°﹣∠A＝30°．。

第3章 勾股定理素养综合检测(满分100分,限时60分钟)一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)1.在△ABC 中,若AC 2-BC 2=AB 2,则( )A.∠A=90°B.∠B=90°C.∠C=90°D.不能确定2.直角三角形的三边长分别为2,4,x,则x 的值有( )A.1个B.2个C.3个D.4个3.下列各组数中,是勾股数的一组是( )A.0.3,0.4,0.5B.8,15,17C.16,18,110D.3,4,44.(2023江苏泰州兴化期中)如图,在四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形图案中,如果大正方形的面积为16,小正方形的面积为4,直角三角形的两直角边长分别为a 和b,那么(a+b)2的值为( )A.25B.28C.16D.485.【教材变式·P91T5】下图是一种饮料的包装盒,长、宽、高分别为4 cm 、3 cm 、12 cm,现有一长为17 cm 的吸管插入到盒的底部,则吸管露在盒外部分的长l (cm)的取值范围为( )A.4<l<5B.4≤l≤5C.3≤l≤5D.l=56.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,已知BC=5,AB=13,点D 是斜边AB 上的动点,则CD 的最小值为( )A.6013B.365C.94D.12257.【新独家原创】有一个边长为1的正方形,以它的一条边为斜边,向外作一个直角三角形,再分别以直角三角形的两条直角边为边,向外各作一个正方形,称为“生长”1次(如图1);再分别以这两个正方形的一条边为斜边,向外各作一个直角三角形,然后分别以这两个直角三角形的直角边为边,向外各作一个正方形,称为“生长”2次(如图2);…….如果继续“生长”下去,它将变得“枝繁叶茂”,则“生长”2 023次后形成的图形中所有正方形的面积和是( )图1 图2A.1B.2 022C.2 023D.2 0248.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,BC=10,BD平分∠ABC,若P,Q分别是BD,AB上的动点,则PA+PQ的最小值是( )A.2.4B.4.8C.4D.5二、填空题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)9.(2021湖南岳阳中考)《九章算术》是我国古代数学名著,书中有下列问题:“今有户高多于广六尺八寸,两隅相去适一丈.问户高、广各几何?”其意思:今有一门,高比宽多6尺8寸,门对角线的长恰好为1丈.问门高、宽各是多少?如图,设门高AB为x尺,根据题意,可列方程为 .(1丈=10尺,1尺=10寸)10.【教材变式·P80T2】小明和小丽正在玩纸片,小明将一块正方形纸片ABCD放在地面上,小丽将另一块正方形纸片CEFG也放在地面上,使其一个顶点与纸片ABCD的一个顶点重合,且∠CGD=90°,如图所示,现量得DG的长为7 cm,设正方形ABCD的面积为S1,正方形CEFG的面积为S2,则S1-S2= .11.【尺规作图】(2022辽宁朝阳中考)如图,在Rt△ABCBC的中,∠ACB=90°,AB=13,BC=12,分别以点B和点C为圆心、大于12长为半径作弧,两弧相交于E,F两点,作直线EF交AB于点D,连接CD,则△ACD的周长是 .12.如图所示的网格是正方形网格(每个小正方形的边长为1),则∠PAB+∠PBA= °(点A,B,P在小正方形的顶点上).13.(2022黑龙江牡丹江中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,AC=6,BC=8,则CD= .14.【规律探究试题】观察下列各组勾股数:①3,4,5;②5,12,13;③7,24,25;④9,40,41;…….若a,144,145是其中的一组勾股数,则a= . 提示:5=32+1,13=215.(2022江苏徐州中考)如图,将长方形纸片ABCD沿CE折叠,使点B 落在边AD上的点F处.若点E在边AB上,AB=3,BC=5,则AE= .16.(2023江苏南京秦淮月考)小明将4个全等的直角三角形拼成如图所示的五边形,添加适当的辅助线后,用等面积法建立等式证明勾股定理.小明在证题中用两种方法表示五边形的面积,分别是①S= ,②S= .17.(2023江苏无锡期中)如图,在△ABC中,AB=3,AC=5,AD是边BC上的中线,AD=2,则△ACB的面积是 .18.如图,圆柱形玻璃杯的高为7 cm,底面周长为16 cm,在杯内离杯底2 cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿1 cm 与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜处的最短路程为 cm.三、解答题(本大题共6小题,共46分)19.(2023江苏南京鼓楼期末)(6分)如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=15,AC=20,AD⊥BC,垂足为D.求AD,BD的长.20.【教材变式·P87习题T2】(7分)如图,星光蔬菜园要修建20个蔬菜大棚,棚高h=5 m,棚宽a=12 m,棚的长d为25 m,现要在棚顶上覆盖塑料薄膜,试求需要多少平方米的塑料薄膜.21.(7分)勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,当两个全等的直角三角形按如图所示的方式摆放时,也可以用面积法来证明勾股定理,请写出证明过程.(提示:BD和AC都可以分割四边形ABCD)22.【最短距离问题】(2023江苏徐州期中)(8分)如图,在△ABC 中,AB=10,AC=6,BC=8,点D是AB的中点,连接CD.(1)若∠B=α,求∠DCA的度数(用含α的代数式表示);(2)若点E是AB边上的一个动点,则线段CE的长的最小值为 .23.【数学文化】(2023江苏扬州江都二模)(8分)清代扬州数学家罗士琳痴迷研究勾股定理,提出推算勾股数的“罗士琳法则”.其中有一个法则是“如果k是大于2的偶数,那么k和k的一半的平方减1,k的一半的平方加1是一组勾股数”.(1)按照这个法则,写出2组不同的勾股数: , (最大数不超过18);(2)用含有k的等式表示这三个勾股数的数量关系并证明.24.(2022江苏南京期末)(10分)【知识生成】通过不同的方法表示同一图形的面积,可以探求相应的等式,两个边长分别为a,b的直角三角形和一个两条直角边长都是c的直角三角形拼成如图①所示的梯形,请用两种方法计算梯形面积.(1)方法一可表示为 ; 方法二可表示为 ;(2)根据方法一和方法二,得出a,b,c之间的数量关系是 (等式的两边需写成最简形式);(3)若一直角三角形的两条直角边的长为6和8,则其斜边长为 ;【知识迁移】通过不同的方法表示同一几何体的体积,也可以探求相应的等式.图②是棱长为a+b的正方体,被如图所示的分割线分成8块.(4)用不同方法计算这个正方体的体积,就可以得到一个等式,这个等式为 ; (5)已知2m-n=4,mn=2,利用(4)中的规律求8m3-n3的值.图①图②(5)本实验对你有怎样的启示? ( 写出一条即可)。

第3章《勾股定理》综合测试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．下列三条线段能组成直角三角形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A ，B 都是格点，则线段AB 的长度为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．93.下列说法正确的是（ ）A ．若，，是的三边，则B ．若，，是的三边，则C ．若，，是的三边，，则D ．若，，是的三边，，则4．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是3，高是4，上底面中心有一个小圆孔，则一条长10cm 的直吸管露在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ）A ．B ．C ．D ．5．一艘轮船从A 港向南偏西方向航行到达B 岛，再从B 岛沿方向航行到达8,15,16a b c ===9,12,15a b c ===9,40,42a b c ===::2:3:4a b c =a b c ABC V 222+=a b c a b c Rt ABC V 222+=a b c a b c Rt ABC V 90A ∠=︒222+=a b c a b c Rt ABC V 90C ∠=︒222+=a b c a 56a ≤≤34a ≤≤23a ≤≤12a ≤≤48︒100km BM 125kmC 岛，A 港到航线的最短距离是.若轮船速度为，轮船从C 岛沿返回A 港所需的时间是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，直线上有三个正方形，面积分别为S 1，S 2，S 3，己知，则面积为的正方形的边长为（ ）．AB ．C ．D ．127．设直角三角形的两条直角边长及斜边上的高分别为a ，b 及h ，则a ，b ，h 的数量关系是（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成，在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图锣”，其中∠AEB ＝90°，AB ＝13cm ，BE ＝5cm ，则阴影部分的面积是（ ）A ．169cm 2B ．25cm 2C ．49cm 2D ．64cm 29．如图，三角形纸片ABC 中，点D 是BC 边上一点，连接AD ，把△ABD 沿着直线AD 翻折，得BM 60km 25km /h CA 5h 4h 3.5h 3h1357S S ＝，＝2S a b h -=222a h b +=222111a b h +=222111a b h-=到△AED ，DE 交AC 于点G ，连接BE 交AD 于点F ．若DG ＝EG ，AF ＝4，AB ＝5，△AEG 的面积为92，则的值为（ ）A ．13B ．12C ．11D ．1010．中国古代称直角三角形为勾股形，如果勾股形的三边长为三个正整数，则称三边长叫“勾股数”；如果勾股形的两直角边长为正整数，那么称斜边长的平方叫“整弦数”对于以下结论：①20是“整弦数”；②两个“整弦数”之和一定是“整弦数”；③若c 2为“整弦数”，则c 不可能为正整数；④若m ＝a 12+b 12，n ＝a 22+b 22，≠，且m ，n ，a 1，a 2，b 1，b 2均为正整数，则m与n 之积为“整弦数”；⑤若一个正奇数（除1外）的平方等于两个连续正整数的和，则这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”．其中结论正确的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）11．直角三角形的两直角边均扩大到原来的3倍，则斜边扩大到原来的______倍．12．已知一个直角三角形的两条直角边分别为、，那么这个直角三角形斜边上的高为______．13．如图，∠C ＝90°，将直角△ABC 沿着射线BC 方向平移5cm ，得△A'B'C'，若BC ＝3cm ，AC ＝4cm ，则阴影部分的周长为______．14．把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ，若AB ＝3cm ，BF ＝5cm ，则重叠部分△DEF 的面积是_____cm 2．2BD 11a b 22a b 7cm 24cm cm15．如图，已知等腰的直角边长为，以它的斜边为直角边画第二个等腰，再以斜边为直角边画第三个等腰，…，依此类推，长为，第个等腰直角三角形斜边长为___________，第个等腰三角形斜边长为__________，则第个等腰直角三角形斜边长为__________．16．如图，已知中，，D 是的中点，于点E ；连接，则下列结论正确的是___________．(写出所有正确结论的序号)①；②当E 为中点时，﹔③若，则； ④若，则面积的最大值为2．三、解答题（本大题共10题，共68分）17．（6分）如图，已知等腰三角形ABC 底边上的高AD 为4，的周长为16，求三角形ABC 的面积．Rt ABC V 1AC Rt ACD △AD Rt ADE △AC AD 23AE 4AF n ABC V 90ACB ∠=︒AB AE CD ⊥BE 2ADC CAE ∠=∠CD BC =60BED ∠=︒4BE DE =4AB =ABE △ABC V18．（6分）《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：）19．（6分）如图，在中，，为边上的高，为边上的中线，，，求的长．70/h km A 30m C 2s 50m 1m /s 3.6/h km =ABC V 90ACB ∠=︒CD AB CE AB 3AD =6CE =CD20．（6分）一个四边形零件的形状如图，工人师傅量得∠A ＝90°，AD ＝3，AB ＝4，BC ＝13，DC ＝12，请你求出零件中的∠BDC 的度数．21．（6分）如图，在中，分别为边的中线，分别交于点D 、E ．(1)若，求证：；(2)若，，，求的长．ABC V AD BE 、BC AC 、BC AC 、4,3,10CD CE AB ===90C ∠=︒90C ∠=︒6AD =8BE =AB22．（6分）如图：和都等腰直角三角形，，，，的顶点A 在的斜边DE 上，(1)求证：；(2)试探究线段AC 、AD 、AE三条线段之间的数量关系，证明你的结论．ACB △ECD V 90ECD ACB ∠=∠=︒AC CB =CE CD =ACB △ECD V AE BD =23．（6分）在等腰直角△ABC 中，∠ACB ＝90°，P 是线段BC 上一动点（与点B ，C 不重合），连接AP ，延长BC 至点Q ，使得CQ ＝CP ，过点Q 作．QH 上AP 于点H ，交AB 于点M ．(1)若∠PAC ＝α，则∠AMQ ＝______（用含有α的式子表示）；(2)用等式表示线段MB 与PQ 之间的数量关系，并证明．24．（6分）如图，是等腰直角三角形，，，在线段上，是线段上的一点，连接，将线段以为旋转中心顺时针旋转得到线段，连接．(1)如图1，猜想和的数量关系和位置关系，并说明理由；(2)如图2，若，连接、，当运动到使得时，求的面积．ABC V 90ACB ∠=︒6AC BC ==D BC E AD CE CE C 90︒CF BF AE BF 15BAD ∠=︒EF DF E 30ACE ∠=︒DEF V25．（10分）【情景呈现】画，并画的平分线．(1)把三角尺的直角顶点落在的任意一点上，使三角尺的两条直角边分别与的两边，垂直，垂足为，，（如图1）．则．（选填：“＜”、“＞”或“＝”）(2)把三角尺绕点旋转（如图2），猜想，的大小关系，并说明理由．【理解应用】(3)在（2）的条件下，过点作直线，分别交，于点，，如图3猜想，，之间的关系为______．【拓展延伸】(4)如图4，画，并画的平分线，在上任取一点，作，的两边分别与，相交于，两点，与相等吗？请说明理由．90AOB ∠=︒AOB ∠OC OC P AOB ∠OA OB E F ______PE PF P PE PF P GH OC ⊥OA OB G H GE FH EF 60AOB ∠=︒AOB ∠OC OC P 120EPF ∠=︒EPF ∠OA OB E F PE PF26．（10分）如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC边上，连接CE．(1)发现①∠DCE的度数是；②线段CA、CE、CD之间的数量关系是．(2)探究如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在BC边上，连接CE．请判断∠DCE的度数及线段CA、CE、CD之间的数量关系，并说明理由．(3)拓展应用：如图3，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在BC的延长线上，连接CE，若AB＝AC CD＝1，求线段DE的长．答案一、选择题1．B【解析】解：A．∵82+152≠162，∴以a、b、c为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；B．∵92+122=152，∴以a、b、c为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；C．∵92+402≠422，∴以a、b、c为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；D．设a=2k，b=3k，c=4k，∵（2k）2+（3k）2≠（4k）2，∴以a、b、c为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；故选：B．2．A【解析】解：如图所示：．故选：A ．3．D【解析】解：A 、当是直角三角形且时，，故此选项不符合题意；B 、若，，是的三边，，则，故此选项不符合题意；C 、若，，是的三边，，则，故此选项不符合题意；D 、若，，是的三边，，则，故此选项符合题意．故选：D ．4．A【解析】当直吸管下端恰好位于罐底的圆周上时，如图所示，则OA=3，AB=4，由勾股定理得：，∴a=10-5=5；当直吸管下端恰好位于罐底的中心时，则罐体内直吸管长为罐体的高即4，则a=10-4=6；综上，直吸管露在罐外部分a 的长度范围为．故选：A ．5．D5AB ==ABC V 90C ∠=︒222+=a b c a b c Rt ABC V 90C ∠=︒222+=a b c a b c Rt ABC V 90A ∠=︒222b c a +=a b c Rt ABC V 90C ∠=︒222+=a bc 5OB ===56a ≤≤【解析】解：由题意，得：AD=60km ，在Rt △ABD 中，AB=100km ，AD=60km ，∴(km)．∴CD=BC-BD=125-80=45（km ）．∴在Rt △ACD 中，（km ）．75÷25=3（h ）．答：从C 岛沿CA 返回A 港所需的时间为3h ．故选：D ．6．B【解析】解：如图所示，由题意可知，AC=EC ，，，∴．在和中，，∴，∴BC=DE ．∵，即，．在中，，∴，即面积为的正方形的边长为故选：B ．7．C【解析】解：设高为a 对应的直角边的长为x ，高为b 对应的直角边的长为y ，斜边为z ，80===90ABC CDE ∠=∠=︒90ACB ECD ACB BAC ∠+∠=∠+∠=︒BAC ECD ∠=∠ABC V CDE △BAC ECD ABC CDE AC EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨=⎪⎩()≌V V ABC CDE AAS 1357S S ＝，＝25AB =227DE BC ==Rt ABC △222AB BC AC +=212AC =AC ==2S∴，∴，∴，∵，∴，∴，故选C ．8．C【解析】解：在中，，个直角三角形是全等的，，小正方形的边长，阴影部分的面积，故选：C ．9．A【解析】解：由折叠得，，∠BAF=∠EAF ，在△BAF 和△EAF 中，，∴△BAF ≌△EAF(SAS)，∴BF=EF ，∴AF ⊥BE ，又∵AF ＝4，AB ＝5，∴，在△ADE 中，EF ⊥AD ，DG ＝EG ，设DE 边上的高线长为h ，111222ax by cz ==ax by hz ==hz hz x y a b ==，222x y z +=2222222h z h z z a b+=222111a b h +=Rt ABE △12AE ===4 5AH BE ∴==∴1257AE AH =-=-=∴()22749cm ==AB AE =AB AE BAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩3BF ==∴，即，∵，，∴，∴，∴，∴，在Rt △BDF 中，，，∴，故选：A ．10．C【解析】解：①∵∴20是“整弦数”，符合题意；②如5，2是“整弦数”，∵不是“整弦数”，∴两个“整弦数”之和不一定是“整弦数”，不符合题意；③若，则，，c 2为“整弦数”，则c 为正整数”，不符合题意；④∵m ＝a 12+b 12，n ＝a 22+b 22，≠，且m ，n ，a 1，a 2，b 1，b 2均为正整数， ∴m 与n 之积为“整弦数”，符合题意；⑤设一个正奇数（除1外）为2n+1（n 为正整数），∵（2n+1）2=4n 2+4n+1且等于两个连续正整数的和，∴较小的正整数为2n 2+2n ，较小的正整数为2n 2+2n+1，∵（2n+1）2+（2n 2+2n ）2=（2n 2+2n ）2+4n 2+4n+1=（2n 2+2n ）2+2（2n 2+2n ）+1=（2n 2+2n+1）2，111222ADE S AD EF DG h EG h =⋅=⋅+⋅△12ADG AEG S S AD EF +=⋅△△1922AEG S GE h =⋅⋅=△ADG AEG S S =△△99922ADG AEG S S +=+=△△1932AD =⋅6AD =642FD AD AF =-=-=3BF =2FD =222223213BD BF FD =+=+=2222024==+257+=5c =225c =222591634=+=+11a b 22a b ∴()()22221122mn a b a b =++2222222212121212a a b a a b b b =+++()()2212121221a a b b a b a b =++-∴这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”，符合题意．故选：C ．二、填空题11．3【解析】解：设直角三角形直角边为a 、b ，斜边为c ，则a 2+b 2=c 2；扩大3倍后，直角三角形直角边为3a 、3b ，则根据勾股定理知斜边为．即直角三角形两直角边都扩大到原来的3倍，则斜边扩大到原来的3倍．故答案为3．12．【解析】解：设这个直角三角形斜边上的高为，由勾股定理得，直角三角形斜边长，由三角形的面积公式得，，解得，，故答案为：．13．【解析】解：在Rt△ACB 中，∵AA ′=BB ′=5cm ，∴CB ′=BB ′-BC=5-3=2（cm ），∴阴影部分的周长=AC+CB ′+A ′B ′+AA ′=4+2+5+5=16（cm ）．故答案为：16cm ．14．【解析】解：∵AB ＝3cm ，BF ＝5cm ，由折叠的性质可得，， ，在中，由勾股定理得：∴，，16825cm x 25==117242522x ⨯⨯=⨯⨯16825x =1682516cm 5(cm)==152BF FD =3A D AB cm '==CDF Rt △222FC BF CD =-4FC =9BC =设DE ＝x ，则＝（9−x ） cm ，在中，由勾股定理得：，∴（9−x ）2＋9＝x 2，解得：x ＝5，∴DE ＝5（cm ），∴△DEF 的面积是：×5×3＝（cm 2）．15．【解析】解：在直角三角形中由勾股定理可以得出：第一个等腰三角形斜边长为：，第二个等腰三角形斜边长为：，第三个等腰三角形斜边长为：，第四个等腰三角形斜边长为：，……依此类推，第个等腰三角形斜边长为：．故答案为：；．16．①②③④【解析】解：△ABC中，∠ACB=90°，D 是AB 的中点，∴CD=BD=AD ，∴∠DCB=∠DBC ，∴∠ADC=2∠DCB ，∵AE ⊥CD 于点E ，∴∠ACE+∠CAE=90°，∵∠ACE+∠DCB=90°，∴∠CAE=∠DCB ，∴∠ADC=2∠CAE ，故①正确；当E 为CD 中点时，∵AE ⊥CD ，AE A E ='DF Rt △E 222A E A D ED '+'=121524n 1AC ===22AD ===3AE ===44AF ===n n 4n∴△ACD 是等边三角形，∴∠BAC=60°，∴，故②正确；作BM ⊥CD ，交CD 的延长线于点M ，则AE ∥BM ，∴∠DAE=∠DBM ，∵∠ADE=∠BDM ，AD=BD ，∴△ADE ≌△BDM （AAS ），∴DE=DM ，若∠BED=60°，则BE=2EM=4DE ，故③正确；∵△ADE ≌△BDM ，∴AE=BM ，DE=DM ，∴S △ABE=S △BEM=•BM •EM=•AE •2DE=AE •DE ，若AB=4，则AD=2，在Rt △ADE 中，AD 2=AE 2+DE 2，即的最大值值为1，∴△ABE 面积的最大值为2，故④正确；故答案为：①②③④．三、解答题17．解：∵AD 是底边BC 上的高，∴，1212222AE DE AE DE+≥⨯ ()2221111244AE ED AE DE AD ∴⋅≤+==ADE S V 12BD BC =∵△ABC 的周长为16，∴AB+BD ＝8，AB ＝8－x ，在Rt △ABD 中，∠ADB ＝90°，∴，解得：，∴BC ＝2BD ＝6，∴．18．解：根据题意，，，∴在中，，∴小汽车的速度为，∵，∴这辆小汽车超速行驶．19．解：∵，为边上的中线∴，∴∵∴∴在中．20．解：∵∠A ＝90°，AD ＝3，AB ＝4，∴BD＝5．∵BC ＝13，DC ＝12，，∴，2224(8)x x +=-3x =11641222ABC S BC AD ∆=⨯=⨯⨯=AC BC ⊥30m AC =50m AB =Rt ABC V ()40m BC ===()()4020/72/h 2v m s km ===72/h 70/h km km >90ACB ∠=︒CE AB 212AB CE ==AE EB CE==162AE AB ==3AD =3DE AE AD =-=Rt CDE △CD ===22251213+=222BD DC BC +=∴△BDC 是直角三角形，∠BDC ＝90°．21．（1）证明：∵AD 、BE 分别为边BC 、AC 的中线，CD ＝4，CE ＝3．∴AC ＝6，BC ＝8．∵．∴．∴△ABC 是直角三角形．∴．（2）解：∵∠C ＝90°，AD ＝6，BE ＝8，∴，．∵AD 、BE 分别为边BC 、AC 的中线．∴，．∴，．∴．∴．∴22．（1）∵，∴∴∴△ACE ≌△BCD （SAS ）∴（2）线段AC ，AD ，AE 三条线段的数量关系是∵△ECD 是等腰直角三角形，∴∠E=∠EDC=45°由（1）知：∴即， 10AB ＝222AB AC BC +＝90C ∠︒＝222AC CD AD +＝222BC CE BE +＝12CD BC ＝12CE AC ＝221362AC BC +（）＝221642BC AC +（）＝225510044AC BC +＝2280AC BC +＝AB ==AC CB =CE CD=90ACB DCE ∠=∠=︒ACE BCD∠=∠AE BD=2222AE AD AC =+45E CDB ∠=∠=︒90BDE ∠=︒22222A D A D D B A B AE +=+=又为等腰直角三角形，且，∴，即．23．（1）∵∠PAC=α，△ACB 是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°-α，∵QH ⊥AP ，∴∠AHM=90°，∴∠AMQ=180°-∠AHM-∠PAB=45°+α；故答案为：∠AMQ=45°+α（2）；理由如下：连接AQ ，作ME ⊥QB ，如图所示：∵AC ⊥QP ，CQ=CP ，∴∠QAC=∠PAC=α，∴∠QAM=45°+α=∠AMQ ，∴AP=AQ=QM ，在△APC 和△QME 中，，∴△APC ≌△QME （AAS ），∴PC=ME ，∵△MEB 是等腰直角三角形，∴12PQ=22MB ．即．Rt ACB △AC BC =222AC AB =2222AE AD AC =+MQE PAC ACP QEM AP QM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩PQ =24．（1），，证明：如图1，延长交于点，∵将线段以为旋转中心顺时针旋转得到线段，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，即．（2）如图2，作于点，于点，∵在等腰直角中，，，∴．∵，AE BF =AE BF ⊥AD BF M CE C 90︒CF 90ECF ∠=︒CE CF =90ACB ∠=︒90ACE ECD BCF ECD ∠+∠=∠+∠=︒ACE BCF ∠=∠AC BC =()ACE BCF SAS V V ≌AE BF =CAE CBF ∠=∠ADC BDM ∠=∠90AMB ACD ∠=∠=︒AM BF ⊥AE BF ⊥FH BC ⊥H EG BC ⊥G ABC V 90ACB ∠=︒AC BC =45CAB ∠=︒15BAD ∠=︒∴，∵，∴，∵，∴，，∴，，∵，，∴，在中，，∴，即，∴，∵，，∴是等边三角形，∴∵，即，∴，∴，∴25．（1）解：∵OC 平分∠AOB ，∴∠AOC=∠BOC ，∵PE ⊥OA ，∴∠OEP=90°，∵∠AOB=90°，∠EPF=90°∴∠OFP=360°-∠AOB-∠PEO-∠EPF=90°，∴∠OEP=∠OFP30CAE ∠=︒30ACE ∠=︒AE EC =ACE BCF≌△△BFAE =CF CE =CF BF=30FCB CBF ∠=∠=︒FC FB =FH BC ⊥3CH BH ==Rt CHF V 2CF HF =222CF HF CH -=2249HF HF -=HF =CF =60CED CAE ACE ∠=∠+∠=︒903060ECD ∠=︒-︒=︒ECD V EC CF CD ===EG CD ⊥90EGC ∠=︒30CEG ∠=︒CG =3EG =EDF ECD CDF ECFS S S S =+-△△△△111222CD EG CD HF CE CF =⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯1113222=⨯+⨯⨯3=-又∵∠AOC=∠BOC ，OP=OP∴△OEP ≌△OFP （AAS ），∴PE=PF ，故答案为：=；（2）解：PE=PF ，理由如下：如图2，过点P 作PM ⊥OA ，PN ⊥OB ，垂足是M ，N ，∵PM ⊥OA ，PN ⊥OB ，，∴∠AOB=∠PME=∠PNF=90°，∴∠MPN=90°，与（1）同理可证PM=PN ，∵∠EPF=90°，∴∠MPE=∠FPN ，在△PEM 和△PFN 中，，∴△PEM ≌△PFN （ASA ），∴PE=PF ；（3）解：GE 2+FH 2=EF 2，理由如下：∵OC 平分∠AOB ，∴∠AOC=∠BOC=45°，∵GH ⊥OC ，∴∠OGH=∠OHG=45°，∴OP=PG=PH ，∵∠GPO=90°，∠EPF=90°，90AOB ∠=︒PME PNF PM PNMPE NPF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴∠GPE=∠OPF ，在△GPE 和△OPF 中，，∴△GPE ≌△OPF （ASA ），∴GE=OF ，同理可证明△EPO ≌△FPH ，∴∴FH=OE ，在Rt △EOF 中，OF 2+OE 2=EF 2，∴GE 2+FH 2=EF 2，故答案为：GE 2+FH 2=EF 2；（4）解：PE=PF ；理由：作PG ⊥OA 于G ，PH ⊥OB 于H ．在△OPG 和△OPH 中，，∴△OPG ≌△OPH ，∴PG=PH ，∵∠AOB=60°，∠PGO=∠PHO=90°，∴∠GPH=120°，∵∠EPF=120°，∴∠GPH=∠EPF ，∴∠GPE=∠FPH ，在△PGE 和△PHF中，PGE POF PG POGPE OPF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩PGO PHO POG POH OP OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PGE ≌△PHF ，∴PE=PF ．26.（1）发现解：①∵△ABC 和△ADE 均为等边三角形，∴∠BAC ＝∠DAE ＝60°，AB ＝AC ，AD=AE ，∴∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAE ﹣∠DAC ，即∠BAD ＝∠CAE ，在△BAD 和△CAE 中，，∴△BAD ≌△CAE(SAS)，∴∠ACE ＝∠B ，∵∠ABC=∠ACB=60°，∴∠ACE=60°，∴∠DCE ＝∠ACE+∠ACB ＝60°+60°＝120°；故答案为：120°，②∵△BAD ≌△CAE ，∴BD ＝CE ，∴BC ＝BD+CD ＝EC+CD ，∴CA ＝BC ＝CE+CD ；故答案为：CA ＝CE+CD ．（2）探究∠DCE ＝90＝CD+CE ．理由：∵△ABC 和△ADE 均为等腰直角三角形，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∴AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAE ﹣∠DAC ，即∠BAD ＝∠CAE ．∴△BAD ≌△CAE(SAS)．∴BD ＝CE ，∠B ＝∠ACE ．∵∠B=∠ACB=（180°-∠BAC ）=45°，∴∠ACE=45°，PGE PHF PG PHGPE FPH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°．∵在等腰直角三角形ABC中，CB，且CB＝CD+DB＝CD+CE，＝CD+CE．（3）应用∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在BC的延长线上，AB＝ACCD＝1，∴，AD=AE，∴BD=BC+CD=3，∵∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴CE=BD=3，∠ABD=∠ACE，∵∠B=∠ACB=（180°-∠BAC）=45°，∴∠ACE=45°，∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，∴2BC==DE。

第3章 勾股定理综合测评（时间: 满分：120分）（班级： 姓名: 得分： )一、精心选一选（每小题3分，共30分）1．下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）A. 4,5，6B.13,14,15 C 。

1，43,53D. 4，6，82。

下列各组数中，是勾股数的是（ ）A 。

2，3，4 B. 6，8，9 C 。

5，11，13 D. 9,40，41 3．图1所示是某学校的长方形操场，如果一学生要从操场A 角走到C 角，至少要走（ ）A ．140 mB ．120 mC ．100 mD ．90 m图1 图2 图34．下列说法正确的是( )A ．若a ，b ，c 是△ABC 的三边长，则a 2+b 2=c 2B ．若a ，b ，c 是Rt △ABC 的三边长,∠B=90°，则a 2+b 2=c 2C ．若a ，b ，c 是Rt △ABC 的三边长，∠A=90°，则a 2+b 2=c 2D ．若a,b,c 是Rt △ABC 的三边长，∠C=90°，则a 2+b 2=c 25．已知等腰三角形的腰长为10 cm ，底边长为16 cm ，则这个等腰三角形的面积为（ )A ．96 cm 2B ．48 cm 2C ．24 cm 2D ．图图16080 mCDBA32 cm 26．一个直角三角形的两条边长分别是9和12,则第三边的平方是( ) A ．225 B ．441 C ．63或225 D ．637．某中学旁边有一块三角形空地,为了保持水土，美化环境，全校师生齐动手，在空地的三条边上栽上了树苗（如图2所示）．已知三边上的树苗数分别为56,49，74，空地的三个角均有一棵树，且每条边上的树苗株距(相邻两树苗间的距离）均为1 m,那么这块空地的形状为( ）A 。

锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D 。

不能确定 8．一艘小船早上8：00从港口出发，以8海里/时的速度向东航行,1小时后，另一艘小船以12海里/时的速度由同一港口出发向南航行，到上午10：00两艘小船相距( ）A. 20海里B. 15海里 C 。