【高教版】中职数学语文版中职数学基础模块上册6.4《平面向量的内积》word教案

7、3 平面向量的内积【教学目标】知识目标：1、理解平面向量内积的概念及其几何意义；2、理解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础；3、掌握向量内积的运算律，能用向量的内积解简单平面几何问题。

能力目标：通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力。

【教学重点】平面向量数量积的概念及计算公式。

【教学难点】数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角。

【教学设计】首先从某人拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念。

需要强调力与位移都是向量，而功是数量。

因此，向量的内积又叫做数量积。

在讲述向量内积时要注意：1、向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积，其符号是由夹角决定；2、向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量。

内积的性质：1、当<a ,b >＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当<a ,b >＝180o 时，a ·b ＝－|a ||b |．可以记忆为：两个共线向量，方向相同时内积为这两个向量模的积；方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数。

2、|a |显示出向量与向量的模的关系，是得到利用向量的坐标计算向量模的公式的基础。

3、cos<a ,b >＝||||⋅a ba b ，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础。

4、“a ·b ＝0⇔a ⊥b ”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量内积坐标表示的重要基础。

【课时安排】2课时。

【教学过程】一、导入如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N 的力，朝着与水平线成︒30角的方向拉小车，使小车前进了100 m ．那么，这个人做了多少功？二、数量积的定义我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积。

如图7－22所示，设水平方向的单位向量为i ，垂直方向的单位向量为j ，则F =x i + y j sin 30cos30F i F j =⋅+⋅o o ，即力F 是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s ，即W ＝｜F ｜cos ︒30·｜s ｜＝100×23·10＝5003 （J ）图7—21图7－22这里，力F 与位移s 都是向量，而功W 是一个数量，它等于由两个向量F ，s 的模及它们的夹角的余弦的乘积，W 叫做向量F 与向量s 的内积,它是一个数量，又叫做数量积。

中职数学（基础模块）教案1．1集合的概念知识目标：(1)理解集合、元素及其关系；(2)掌握集合的列举法与描述法，会用适当的方法表示集合．能力目标：通过集合语言的学习与运用,培养学生的数学思维能力.教学重点：集合的表示法．教学难点：集合表示法的选择与规范书写．课时安排：2课时．1。

2集合之间的关系知识目标：（1）掌握子集、真子集的概念；（2）掌握两个集合相等的概念;（3）会判断集合之间的关系.能力目标：通过集合语言的学习与运用，培养学生的数学思维能力。

教学重点：集合与集合间的关系及其相关符号表示．教学难点：真子集的概念．课时安排:2课时．1。

3集合的运算（1）知识目标：（1）理解并集与交集的概念；(2）会求出两个集合的并集与交集．能力目标：(1)通过数形结合的方法处理问题,培养学生的观察能力；(2）通过交集与并集问题的研究，培养学生的数学思维能力．教学重点：交集与并集．教学难点：用描述法表示集合的交集与并集．课时安排：2课时．1.3集合的运算（2)知识目标：（1）理解全集与补集的概念；（2）会求集合的补集．能力目标：(1）通过数形结合的方法处理问题,培养学生的观察能力；（2)通过全集与补集问题的研究，培养学生的数学思维能力．教学重点:集合的补运算．教学难点：集合并、交、补的综合运算．课时安排：2课时．1.4充要条件知识目标：了解“充分条件"、“必要条件”及“充要条件”．能力目标:通过对条件与结论的研究与判断，培养思维能力．教学重点:（1）对“充分条件”、“必要条件”及“充要条件”的理解．（2）符号“”，“”，“"的正确使用．教学难点：“充分条件”、“必要条件”、“充要条件”的判定．课时安排：2课时．2.1不等式的基本性质知识目标：⑴理解不等式的基本性质；⑵了解不等式基本性质的应用．能力目标：⑴了解比较两个实数大小的方法；⑵培养学生的数学思维能力和计算技能．教学重点：⑴比较两个实数大小的方法;⑵不等式的基本性质．教学难点：比较两个实数大小的方法．课时安排:1课时．2．2区间知识目标：⑴掌握区间的概念；⑵用区间表示相关的集合．能力目标：通过数形结合的学习过程,培养学生的观察能力和数学思维能力．教学重点：区间的概念．教学难点:区间端点的取舍．课时安排：1课时．2.3一元二次不等式知识目标：⑴了解方程、不等式、函数的图像之间的联系；⑵掌握一元二次不等式的图像解法．能力目标:⑴通过对方程、不等式、函数的图像之间的联系的研究，培养学生的观察能力与数学思维能力；⑵通过求解一元二次不等式,培养学生的计算技能．教学重点：⑴方程、不等式、函数的图像之间的联系;⑵一元二次不等式的解法．教学难点：一元二次不等式的解法．课时安排：2课时．2.4含绝对值的不等式知识目标:（1）理解含绝对值不等式或的解法；（2）了解或的解法．能力目标：（1）通过含绝对值不等式的学习;培养学生的计算技能与数学思维能力；（2）通过数形结合的研究问题，培养学生的观察能力．教学重点:（1）不等式或的解法．（2）利用变量替换解不等式或．教学难点：利用变量替换解不等式或．课时安排：2课时．3.1函数的概念及其表示法知识目标:(1）理解函数的定义；(2)理解函数值的概念及表示;（3）理解函数的三种表示方法；(4)掌握利用“描点法”作函数图像的方法．能力目标：（1）通过函数概念的学习，培养学生的数学思维能力；（2)通过函数值的学习，培养学生的计算能力和计算工具使用技能；（3）会利用“描点法”作简单函数的图像，培养学生的观察能力和数学思维能力．教学重点：（1)函数的概念；（2)利用“描点法"描绘函数图像．教学难点：（1)对函数的概念及记号的理解;(2）利用“描点法”描绘函数图像．3。

【课题】7.3 平面向量的内积【教学目标】知识目标：（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义.（2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础.能力目标：通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力．【教学重点】平面向量数量积的概念及计算公式.【教学难点】数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角．【教学设计】教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的内积又叫做数量积．在讲述向量内积时要注意：（1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定；（2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量.教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到，其中：（1）当<a,b>＝0时，a·b＝|a||b|；当<a,b>＝180时，a·b＝－|a||b|．可以记忆为：两个共线向量，方向相同时内积为这两个向量模的积；方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数．（2）|a |是得到利用向量的坐标计算向量模的公式的基础；（3）cos<a ,b >＝||||⋅a ba b ，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础；（4）“a ·b ＝0⇔a ⊥b ”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量内积坐标表示的重要基础． 【教学备品】教学课件． 【课时安排】2课时．(90分钟) 【教学过程】⋅+⋅，i F j30cos30是水平方向的力与垂直方向的力的和，OA OB＝b,所形成的角叫做a与向量两个向量的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量解关键词180时，a,b>＝＝a时，有时，cos900,=因此对非零向量a·．a a=2+x由平面向量内积的定义可以得到，当45．判断下列各组向量是否互相垂直：【教师教学后记】。

【高教版】中职数学(基础模块)上：教案设计：语文版中职数学基础模块上册6.4《平面向量的内积》word教案【课题】7.3 平面向量的内积【教学目标】知识目标：（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义.（2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础.能力目标：通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力．【教学重点】平面向量数量积的概念及计算公式.【教学难点】数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角．【教学设计】教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的内积又叫做数量积．在讲述向量内积时要注意：（1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定；（2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量.教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到，其中：（1）当<a ,b >＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当<a ,b >＝180o 时，a ·b ＝－|a ||b |．可以记忆为：两个共线向量，方向相同时内积为这两个向量模的积；方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数． （2）|a |＝⋅a a是得到利用向量的坐标计算向量模的公式的基础；（3）cos<a ,b >＝||||⋅a b a b ，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础；（4）“a ·b ＝0⇔a ⊥b ”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量内积坐标表示的重要基础． 【教学备品】教学课件． 【课时安排】2课时．(90分钟) 【教学过程】教 学 过 程教师 行为 学生 行为 教学 意图时间 *揭示课题7.3 平面向量的内积 *创设情境 兴趣导入如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N 的力，朝着与水平线成︒30角的方向拉小车，使小车前进了100 m ．那么，这个人做了多少功？ 介绍质疑 了解思考从实例出发使学生自 0Fs图7—21︒30O过程师行为生行为学意图间引导分析自我分析然的走向知识点5*动脑思考探索新知【新知识】我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．如图7－22所示，设水平方向的单位向量为i，垂直方向的单位向量为j，则总思带过 程师 行为 生 行为 学 意图间 F =xi + y jsin 30cos30F i F j=⋅+⋅o o ， 即力F 是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s ，即W ＝｜F ｜cos ︒30·｜s ｜＝100×23·10＝5003 （J ）图7－22这里，力F 与位移s 都是向量，而功结 归纳考理解领 学生 分析O x ij F (xy BAO图7－23ab过程师行为生行为学意图间W是一个数量，它等于由两个向量F，s的模及它们的夹角的余弦的乘积，W叫做向量F与向量s 的内积,它是一个数量，又叫做数量积．如图7－23，设有两个非零向量a, b，作OA u u u r＝a, OB u u u r＝b,由射线OA与OB所形成的角叫做向量a 与向量b的夹角，记作<a,b>．两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的内积，记作a·b, 即a·b＝｜a||b|c os<a,b> (7.10)上面的问题中，人所做的功可以记作W＝F·s.由内积的定义可知a·0＝0, 0·a＝0．仔细分析讲解关键词记忆引导式启发学生得15过 程师 行为 生 行为 学 意图 间 语出结 果 由内积的定义可以得到下面几个重要结果：（1） 当<a ,b >＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当<a ,b >＝180o 时，a ·b ＝−|a ||b |.（2） cos<a ,b >＝||||⋅a ba b . （3） 当b ＝a 时，有<a ,a >＝0，所以a ·a ＝|a ||a |＝|a |2，即|a |＝⋅a a.（4） 当,90a b <>=o时，a ⊥b ，因此，a ·b ＝cos900,a b ⋅=o因此对非零向量a ，b ，有a ·b ＝总结 归思考带领过程师行为生行为学意图间0⇔a⊥b.可以验证，向量的内积满足下面的运算律：（1）a·b＝b·a．（2）(aλ)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．（3）(a＋b)·c＝a·c＋b·c．注意：一般地，向量的内积不满足结合律，即a·(b·c)≠（a·b）·c.请结合实例进行验证. 纳仔细分析讲解关键理解记忆学生分析反复强调3过 程师 行为 生 行为 学 意图 间 词语*巩固知识 典型例题例 1 已知|a |＝3,|b |＝2, <a ,b >＝︒60,求a ·b ．解 a ·b ＝|a ||b | cos<a ,b > ＝3×2×cos ︒60＝3．例 2 已知|a |＝|b |＝2,a ·b ＝2-,求<a ,b >．解 cos<a ,b >＝||||⋅a ba b ＝222⋅-＝−22.由于 0≤<a ,b >≤︒180，所以<a ,b >＝135o．说明强调引领思考主动求解注意 观察 学生是否 理解40过程师行为生行为学意图间知识点*运用知识强化练习1. 已知|a|＝7，|b|＝4，a和b的夹角为︒60，求a·b．2. 已知a·a＝9,求|a|．3. 已知|a|＝2,|b|＝3, <a,b>＝︒30，求(2a＋b)·b．提问巡视指导思考口答及时了解学生知识掌握得45过程师行为生行为学意图间情况*动脑思考探索新知设平面向量a＝(x1,y1),b＝(x2,y2)，i，j分别为x轴，y轴上的单位向量，由于i⊥j，故i·j＝0，又| i |＝|j|＝1，所以a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i ＋y2j)＝x1x2i•i＋x1y2i •j＋x2y1 i•j＋y1y2j•j＝x1x2|j|2＋y1y2 |j|2＝x1x2＋y1y2．这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y2总结归思考归过 程师 行为 生 行为 学 意图间 (7.11)利用公式(7．11)可以计算向量的模．设a ＝(x,y )，则 a a a ==g 22+x y ，即a =22+x y (7.12)由平面向量内积的定义可以得到，当a 、b 是非零向量时，cos<a ,b >＝||||⋅a ba b ＝121222221122 x x y y x y x y +++. (7.13)利用公式(7.13)可以方便地求出两个向量的夹角. 由于a ⊥b ⇔a ·b ＝0，由公式(7.11)可知a ·b ＝0⇔ x 1 x 2＋ y 1 y 2＝0． 因此a ⊥b ⇔ x 1 x 2＋ y 1 y 2＝纳仔细 分析 讲解 纳理解记忆带领 学生总结60过程师行为生行为学意图间0．(7.14) 利用公式(7.14)可以方便地利用向量的坐标来研究向量垂直的问题．关键词语*巩固知识典型例题例3 求下列向量的内积：（1）a＝(2,−3), b＝(1,3)；（2）a＝(2, −1), b＝(1,2)；（3）a＝(4,2), b＝(−2, −3)．解(1) a·b＝2×1＋(−3)×3＝−7；(2) a·b＝2×1＋(−1)×2＝0；(3) a·b＝2×(−2)＋2×(−3)＝−14．例4 已知a＝(−1,2),b＝(−3,1).求a·b, |a|,|b|, <a,b>．说明强调引领观察思考讲解说明过 程师 行为 生 行为 学 意图间 解 a ·b ＝(−1)( −3)＋2×1＝5；|a |＝22(1)25⋅=-+=a a ； |b |＝22(3)110⋅=-+=b b ；cos<a ,b >＝||||⋅a ba b ＝522105=， 所以<a ,b >＝45o．例 5 判断下列各组向量是否互相垂直：(1) a ＝(−2, 3), b ＝(6, 4)； (2) a ＝(0, −1), b ＝(1, −2)． 解 (1) 因为a ·b ＝(−2)×6＋3×4＝0，所以a ⊥b ． (2) 因为a ·b ＝0×1＋(−1)×（−2)＝2，所以a 与b 不垂直．讲解 说明引领 分析 主动 求解观察思考 求注意 观察 学生是否 理解 知7过程师行为生行为学意图间强调含义说明解领会思考求解识点反复强调*运用知识强化练习1．已知a＝(5, −4)，b＝(2,3)，求a·b．2．已知a＝(1,3)，b＝(0, 启发思考及时过程师行为生行为学意图间3)，求<a,b>．3．已知a＝(2, −3)，b＝(3,－4)，c＝(−1,3),求a·(b＋c)．4. 判断下列各组向量是否互相垂直：(1) a＝(−2, −3)，b＝(3, −2)；(2) a＝(2,0)，b＝(0, −3)；(3) a＝(−2,1)，b＝(3,4)．5. 求下列向量的模：(1) a＝(2, −3)，(2) b＝(8, 6 )．引导提问巡视指导了解动手求解了解学生知识掌握得情况8*理论升华整体建构思考并回答下面的问题：平面向量内积的概念、几何质回及时过程师行为生行为学意图间意义?结论：两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的内积，记作a·b, 即a·b＝｜a||b|c os<a,b> (7.10)a·b的几何意义就是向量a 的模与向量b在向量a上的投影的乘积．疑归纳强调答了解学生知识掌握情况83*归纳小结强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？引导回忆过程师行为生行为学意图间*自我反思目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？1.已知a＝(5, −4),b＝(2,3),求a·b．2.已知a＝(2, −3),b＝(3, −4),c＝(−1,3),求a·(b＋c)．提问巡视指导反思动手求解检验学生学习效果88*继续探索活动探究(1)读书部分：阅读教材(2)书面作业：教材习题7.3 A组（必做）；7.3 B组（选做）说明记录分层次过程师行为生行为学意图间(3)实践调查：编写一道向量内积问题并解答．要求9【教师教学后记】项目反思点学生知识、技能的掌握情况学生是否真正理解有关知识；是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；学生的情感态度学生是否参与有关活动；在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；学生思维情况学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；学生合作交流的情况学生是否善于与人合作；在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见；学生实践的情况学生是否愿意开展实践；能否根据问题合理地进行实践；在实践中能否积极思考；能否有意识的反思实践过程的方面；。

【课题】7.3 平面向量的内积【教学目标】知识目标：〔1〕了解平面向量内积的概念及其几何意义.〔2〕了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定根底. 能力目标：通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力． 【教学重点】平面向量数量积的概念及计算公式. 【教学难点】数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角． 【教学设计】教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的内积又叫做数量积．在讲述向量内积时要注意：〔1〕向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定；〔2〕向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量. 教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到，其中：〔1〕当<a ,b >＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当<a ,b >＝180时，a ·b ＝－|a ||b |．可以记忆为：两个共线向量，方向一样时内积为这两个向量模的积；方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数．〔2〕|a |公式的根底；〔3〕cos<a ,b >＝||||⋅a ba b ，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的根底；〔4〕“a ·b ＝0⇔a ⊥b 〞经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量内积坐标表示的重要根底．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】⋅+⋅，30cos30i F jOA＝OB＝b,由射线OA与OB夹角，记作．两个向量的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量向量b的内积180时，a·时，=因此对非零向量cos900,·b＝0⇔a可以验证，向量的内积满足下面的运算律：．，求a·a a=2+x45．判断以下各组向量是否互相垂直：【教师教学后记】。

江苏省高邮职业教育中心校教案纸首页江苏省高邮职业教育中心校教案纸续页一、复习引入：1． 向量共线定理 向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa2．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e 3．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a = 4．平面向量的坐标运算 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=5．a ∥b (b0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=06．线段的定比分点及λP 1, P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1, P 2的任一点，存在实数λ，使 P P 1=λ2PP ，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)7定比分点坐标公式：若点P １(x 1,y 1) ，Ｐ２(x 2,y 2)，λ为实数，且P P 1＝λ2PP ，则点P 的坐标为（λλλλ++++1,12121y y x x ），我们称λ为点P 分21P P 所成的比 8点P 的位置与λ的范围的关系：①当λ＞０时，P P 1与2PP 同向共线，这时称点P 为21P P 的内分点②当λ＜０(1-≠λ)时，P P 1与2PP 反向共线，这时称点P 为21P P 的外分点9线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O ，设1OP ＝ａ，2OP ＝ｂ，可得OP =b a b a λλλλλ+++=++111110．力做的功：W = |F |⋅|s |cos ，是F 与s 的夹角二、讲解新课：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向； （3）当θ＝2π时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0≤≤1802．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos 叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos ，（０≤θ≤π）并规定0与任何向量的数量积为0⋅探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 （1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定（2）两个向量的数量积称为内积，写成a ⋅b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而a ⋅b 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替（3）在实数中，若a 0，且a ⋅b =0，则b =0；但是在数量积中，若a 0，且a ⋅b =0，不能推出b =0因为其中cos有可能为0（4）已知实数a 、b 、c (b 0)，则ab=bc ⇒ a=c 但是a ⋅b = b ⋅ca = c如右图：a ⋅b = |a ||b |cos= |b ||OA|，b ⋅c = |b ||c |cos = |b ||OA|⇒ a ⋅b = b ⋅c 但ac(5)在实数中，有(a ⋅b )c = a (b ⋅c )，但是(a ⋅b )ca (b ⋅c )显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线3．“投影”的概念：作图定义：|b |cos叫做向量b 在a 方向上的投影投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为 |b |；当 = 180时投影为 |b |4．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos 的乘积5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量1e ⋅a = a ⋅e =|a |cos2aba ⋅b = 0C3当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = |a ||b |特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||4cos=||||b a ba ⋅5|a ⋅b | ≤ |a ||b |三、讲解范例：例1 判断正误，并简要说明理由①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－AB ＝BA ；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２解：上述8个命题中只有③⑧正确；对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·ａ＝０； 对于②：应有０·ａ＝0；对于④：由数量积定义有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜cos θ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，这里θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜；对于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０； 对于⑥：由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零； 对于⑦：若ａ与с共线，记ａ＝λс则ａ·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с），∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）ａ 若ａ与с不共线，则(ａ·ｂ)с≠（ｂ·с）ａ评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律例2 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18； 若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18； ②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°， ∴ａ·ｂ＝０；③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6×21＝9 评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当ａ∥ｂ时，有0°或180°两种可能四、课堂练习：五、小结 通过本节学习，要求大家掌握平面向量的数量积的定义、重要性质、运算律，并能运用它们解决相关的问题。

高教版中职数学基础模块上册电子教案第一章：函数的概念与性质1.1 函数的定义理解函数的概念掌握函数的表示方法能够列出常见的一次函数、二次函数和反比例函数。

1.2 函数的性质理解函数的单调性、奇偶性、周期性能够判断简单函数的单调性、奇偶性、周期性第二章：三角函数2.1 三角函数的定义理解锐角三角函数的概念掌握正弦、余弦、正切、余切、半角公式2.2 三角函数的性质理解三角函数的单调性、奇偶性、周期性能够判断简单三角函数的单调性、奇偶性、周期性第三章：解三角形3.1 正弦定理和余弦定理理解正弦定理和余弦定理的公式能够运用正弦定理和余弦定理解决实际问题3.2 解三角形的应用能够运用正弦定理和余弦定理解决解三角形的问题能够运用解三角形解决实际问题第四章：数列4.1 数列的概念理解数列的定义掌握数列的通项公式、求和公式4.2 等差数列和等比数列理解等差数列和等比数列的概念掌握等差数列和等比数列的性质、求和公式第五章：不等式与不等式组5.1 不等式的概念理解不等式的定义掌握不等式的性质5.2 不等式组的解法掌握解一元一次不等式、一元二次不等式的方法能够解不等式组并求出解集第六章：平面解析几何6.1 平面直角坐标系理解平面直角坐标系的定义和组成掌握坐标轴上的点的坐标表示6.2 直线方程理解直线的点斜式和两点式方程掌握直线的一般式方程和标准式方程第七章：多项式与方程7.1 多项式的概念理解多项式的定义掌握多项式的运算规则7.2 一元二次方程理解一元二次方程的定义掌握一元二次方程的解法（因式分解、配方法、求根公式）第八章：概率与统计8.1 概率的基本概念理解随机事件、必然事件、不可能事件的概念掌握概率的计算方法（古典概型、条件概率、独立事件）8.2 统计的基本概念理解平均数、中位数、众数的概念掌握数据的收集、整理、描述（图表法、数值法）第九章：函数图像的绘制9.1 函数图像的基本概念理解函数图像的定义和作用掌握函数图像的绘制方法（描点法、直线法）9.2 常见函数图像的特点掌握一次函数、二次函数、反比例函数、三角函数图像的特点和性质第十章：数学应用10.1 数学在实际生活中的应用理解数学在实际生活中的重要性掌握运用数学知识解决实际问题的方法10.2 数学在其他领域的应用理解数学在其他领域（如科学、技术、经济）的重要性掌握运用数学知识解决其他领域问题的方法第十一章：排列组合与初等数论11.1 排列组合的概念理解排列与组合的概念掌握排列与组合的计算方法（排列数公式、组合数公式）11.2 初等数论的基本概念理解自然数、整数、有理数、无理数的概念掌握素数、合数、最大公约数、最小公倍数的概念及计算方法第十二章：复数12.1 复数的概念理解复数的基本概念和复数代数表示法掌握复数的运算规则（加法、减法、乘法、除法）12.2 复数的应用理解复数在实际问题中的应用掌握运用复数解决实际问题的方法第十三章：导数与微分13.1 导数的概念理解导数的定义和几何意义掌握基本函数的导数公式13.2 微分的概念理解微分的定义和应用掌握微分的计算方法第十四章：积分与微分方程14.1 积分concepts理解积分的方法（牛顿-莱布尼茨公式、换元积分、分部积分）掌握基本积分表和积分的应用14.2 微分方程的概念理解微分方程的定义和分类掌握一阶微分方程的解法（可分离变量法、齐次方程法、线性方程法）第十五章：数学建模与数学软件15.1 数学建模的概念理解数学建模的基本过程和方法掌握数学建模在实际问题中的应用15.2 数学软件的概念与应用了解常见的数学软件（如MATLAB、Mathematica、Excel）掌握数学软件的基本操作和应用技巧重点和难点解析本教案涵盖了中职数学基础模块上册的主要内容，包括函数与性质、三角函数、解三角形、数列、不等式与不等式组、平面解析几何、多项式与方程、概率与统计、函数图像的绘制、数学应用、排列组合与初等数论、复数、导数与微分、积分与微分方程以及数学建模与数学软件。

高教版中职数学（基础模块）课时安排及目录课时安排第三版上册第1章集合与充要条件1.1 集合的概念1.2 集合之间的关系1.3 集合的运算1.4 充要条件复习题1现代信息技术应用1 如何在Word文档中录入数学公式阅读与欣赏康托尔与集合论第2章不等式2.1 不等式的基本性质2.2 区间2.3 一元二次不等式2.4 含绝对值的不等式复习题2现代信息技术应用2 利用Excel软件解一元二次方程阅读与欣赏数学家华罗庚第3章函数3.1 函数的概念及表示法3.2 函数的性质3.3 函数的实际应用举例复习题3现代信息技术应用3 利用几何画板作函数图像（静态）阅读与欣赏个人所得税计算方法解析第4章指数函数与对数函数4.1 实数指数幂4.2 指数函数4.3 对数4.4 对数函数复习题4现代信息技术应用4 利用几何画板作函数图像（动态）阅读与欣赏声音的计量及噪音第5章三角函数5.1. 角的概念推广5.2 弧度制5.3 任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数5.4 同角三角函数的基本关系5.5 诱导公式5.6 三角函数的图像和性质5.7 已知三角函数值求角复习题5现代信息技术应用5 利用几何画板作函数图像（从轨迹角度）阅读与欣赏光周期现象及其应用附录1 预备知识附录2 教材使用的部分数学符号下册第6 章数列6.1 数列的概念6.2 等差数列6.3 等比数列复习题6现代信息技术应用6 编制利用Excel软件进行数列相关计算的工作表阅读与欣赏堆垛中的数学计算第7章平面向量7.1 平面向量的概念及线性运算7.2 平面向量的坐标表示7.3 平面向量的内积复习题7现代信息技术应用7 利用几何画板软件绘图1阅读与欣赏牛顿第8章直线和圆的方程8.1 两点间的距离与线段中点的坐标8.2 直线的方程8.3 两条直线的位置关系8.4 圆复习题8现代信息技术应用8 利用几何画板软件绘图2阅读与欣赏解析几何的创始人———笛卡儿第9 章立体几何9.1 平面的基本性质9.2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质绪言第1章集合1.1 集合及其表示1.1.1 集合的概念1.1.2 集合的表示法1.2 集合之间的关系1.3 集合的运算1.3.1 交集1.3.2 并集1.3.3 补集趣味数学神奇的心灵魔术数学文化无限集的奥秘信息技术应用元素与集合(列表) 第2章不等式2.1 不等式的基本性质2.1.1 实数的大小2.1.2 不等式的性质数学文化从弦图看基本不等式2.2 区间2.3 一元二次不等式2.4 含绝对值的不等式2.5 不等式应用举例数学文化等号与不等号的来历信息技术应用四个“二次”第3章函数3.1 函数的概念3.2 函数的表示方法3.3 函数的性质3.3.1 函数的单调性3.3.2 函数的奇偶性3.3.3 几种常见的函数信息技术应用“心形”曲线与函数3.4 函数的应用趣味数学百钱买百鸡数学文化中国古代数学的发展期——魏晋南北朝第4章三角函数4.1 角的概念的推广4.1.1 任意角4.1.2 终边相同的角4.2 弧度制4.3 任意角的三角函数4.3.1 任意角的三角函数定义4.3.2 单位圆与三角函数4.4 同角三角函数的基本关系4.5 诱导公式4.6 正弦函数的图像和性质4.6.1 正弦函数的图像4.6.2 正弦函数的性质4.7 余弦函数的图像和性质4.8 已知三角函数值求角趣味数学地球的周长数学文化sin 的由来信息技术应用三角函数的定义域新版下册课时安排第5章指数函数与对数函数5.1 实数指数幂5.1.1 有理数指数幂5.1.2 实数指数幂5.2 指数函数5.3对数5.3.1对数的概念5.3.2 积、商、幂的对数数学文化对数简史5.4 对数函数5.5 指数函数与对数函数的应用趣味数学神奇的对数速算信息技术应用运用指数函数比较值的大小第6章直线与圆的方程6.1 两点间距离公式和线段的中点坐标公式6.2 直线的方程6.2.1 直线的倾斜角与斜率6.2.2 直线的点斜式方程与斜截式方程6.2.3 直线的一般式方程6.3 两条直线的位置关系6.3.1 两条直线平行6.3.2 两条直线相交6.3.3 点到直线的距离6.4 圆6.4.1 圆的标准方程6.4.2 圆的一般方程6.5 直线与圆的位置关系6.6 直线与圆的方程应用举例趣味数学数形结合，相辅相成数学文化笛卡儿坐标系的产生信息技术应用用GeoGebra判断直线与圆的位置关系第7章简单几何体7.1.1 棱柱7.1.2 直观图的画法7.1.3 棱锥7.2 旋转体7.2.1 圆柱7.2.2 圆锥7.2.3 球7.3 简单几何体的三视图数学文化祖暅原理信息技术应用正方体的十一种平面展开图第8章概率与统计初步8.1 随机事件8.1.1 随机事件的概念8.1.2 频率与概率8.3 概率的简单性质8.4 抽样方法8.4.1 简单随机抽样8.4.2 系统抽样8.4.3 分层抽样8.5 统计图表8.6 样本的均值和标准差趣味数学圆周率π中各数码出现的概率相同吗？拓展延伸大数据信息技术应用数据统计分析。

授课题目2.3向量的内积选用教材高等教育出版社《数学》（拓展模块一上册）授课时长2课时授课类型新授课教学提示本课通过简易推导力做功的公式，帮助学生理解两个向量是可以相乘的，并且结果是数量，顺理成章给出向量内积的概念及其运算律．内积把向量的大小和三角函数联系起来，这样为解决求线段长度、夹角等有关几何问题提供了方便，特别推出了两向量垂直的充要条件．要强调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的内积又称为数量积．教学目标了解平面向量内积的概念、运算和性质，会计算两个向量的内积；了解平面向量内积的几何应用，会利用向量内积解决简单几何问题.通过学习，逐步提升直观想象、数学运算和数学抽象等核心素养.教学重点知道利用向量的内积判定两个非零向量是否垂直．教学难点向量内积公式的推导及应用．教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图情境导入物体在力的作用下，沿着力的方向移动了一段距离，就说力对物体做了功.如图所示,在拉力F的作用下，小车在水平方向上发生了位移s.设力F与位移s的夹角为θ，怎样计算力F 对小车做的功呢？提出问题引发思考思考分析回答结合做功的实例进行引入，更加直观探索新知力 F 在位移s的方向上的分力F1的大小为|F|=|F1|·cosθ.由于小车在分力F2方向上的位移等于0，故分力F2对小车做的功等于0，从而力F对小车所做的功就是分力F1对小车做的功，即力F 和位移s是两个向量，它们按照上式确定了一个数量W. 为向量F 与向量s的“内积”或“数量积”.如图所示，对于非零向量a和b，作=OA a，=AB b，称射线OA、OB所成的最小正角为向量a与b的夹角，记作<a,b>.讲解说明展示讲解理解思考领会理解结合力做功引出向量可以相乘并且结果是数量，几个结论引导学生两个向量a、b的模与它们夹角的余弦值之积称为向量a和b的内积(或数量积)，记作a ·b，即由内积的定义可知：零向量与任一向量的内积为0，即0·a=0.温馨提示探究与发现是否可以用向量的内积描述几何学中的垂直、长度与夹角？例1 已知|a|=5，|b|=6，<a,b>=60°，求a·b.解a·b=|a||b|cos<a·b>=5×6×cos60°=15.例2 已知|a|=|b|=2，a·b=-2，求cos<a,b>的值.解cos<a,b>=·21=||||222-=-⨯a ba b.可以验证，向量的内积满足下面的运算规律：例3 设|a|=4，|b|=10，<a,b>=60°，问m为何值时，向量m a+b与向量2b垂直？解由已知可得，a·b=|a||b|cos<a·b>=4×10×cos60°=20.因此，有(m a+b) ·2b=m a·2b+b·2b=2m a·b+2b·b=40m+200.要使m a+b与向量2b垂直，必须满足(m a+b) ·2b=0，即40m+200=0．于是m=-5．因此，当m为-5时，向量m a+b与2b互相垂直.练习2.32.己知向量m 与n 的夹角为 45°, |m |=4，|n |=6，求m ·n .3.已知|a |=21-，|b |=2+1，向量a 与b 的夹角为3π，求a ·b .4.己知|a |=|b |=2，<a ,b >=30°，求(1) b ·(a +b )；(2)(a +2b )·3a .5.已知|a |=3，|b |=2，a ·b=-3，求cos <a ,b >的值.6.已知|a |=4，a ·b=2，问m 为何值时，向量m a +b 与2b 互相垂直？7. 如图所示，某中等职业学校物流服务与管理专业学生进行“装卸搬运作业”，用工形叉车把重 400 N 的货物从仓库出库区搬运至 20m 外的装载点.若拉力 F 的大小为 150 N ，方向与水平线成 45°，求拉力F 所做的功.。

【课题】7.3 平面向量的内积【教学目标】知识目标：（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义.（2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础. 能力目标：通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力． 【教学重点】平面向量数量积的概念及计算公式. 【教学难点】数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角． 【教学设计】教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的内积又叫做数量积．在讲述向量内积时要注意：（1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定；（2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量. 教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到，其中：（1）当<a ,b >＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当<a ,b >＝180时，a ·b ＝－|a ||b |．可以记忆为：两个共线向量，方向相同时内积为这两个向量模的积；方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数．（2）|a |显示出向量与向量的模的关系，是得到利用向量的坐标计算向量模的公式的基础；（3）cos<a ,b >＝||||⋅a ba b ，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础；（4）“a ·b ＝0⇔a ⊥b ”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量内积坐标表示的重要基础． 【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】⋅+⋅，cos30i F j是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s，即OAOB＝b,由射线OA与OB夹角，记作．两个向量的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量b的内积180时，a·时，=因此对非零向量cos900,·b＝0⇔a可以验证，向量的内积满足下面的运算律：．60，求︒a a =2+x 22+x y 由平面向量内积的定义可以得到，当＝||||⋅a b a b ＝45．判断以下各组向量是否互相垂直：【教师教学后记】论大学生写作能力写作能力是对自己所积累的信息进行选择、提取、加工、改造并将之形成为书面文字的能力。