解析几何中的对称问题导学案

专题05 解析几何中的对称解法一．【学习目标】1.掌握点关于直线，直线关于直线，曲线关于点，曲线关于直线的对称2.对称思想的应用 二．【知识点】 1．中心对称(1)设平面上的点M (a ，b )，P (x ，y )，P ′(x ′，y ′)，若满足：x ＋x ′2＝a ，y ＋y ′2＝b ，那么，我们称P ，P ′两点关于点M 对称，点M 叫做对称中心．(2)点与点对称的坐标关系：设点P (x ，y )关于M (x 0，y 0)的对称点P ′的坐标是(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x 0－xy ′＝2y 0－y . 2．轴对称(1)设平面上有直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0和两点P (x ，y )，P ′(x ′，y ′)，若满足下列两个条件：①__________________；②_______________________，则点P ，P ′关于直线l 对称． (2)对称轴是特殊直线的对称问题对称轴是特殊直线时可直接通过代换法得解：①关于x 轴对称(以_____代______)； ②关于y 轴对称(以_______代_______)； ③关于y ＝x 对称(_______互换)；④关于x ＋y ＝0对称(以_______代_____，以_____代______)； ⑤关于x ＝a 对称(以______代______)； ⑥关于y ＝b 对称(以________代________)． (3)对称轴为一般直线的对称问题可根据对称的意义，由垂直平分列方程，从而找到坐标之间的关系：设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(AB ≠0)对称，则 三．【题型】（一）点关于直线的对称 （二）光线的对称问题 （三）圆关于直线的对称 （四）利用对称求最值 （五）圆锥曲线的对称 （六）椭圆的中点弦问题 （七）双曲线的中点弦 （八）抛物线的对称问题 （九）椭圆中的对称方法 （十）对称的综合应用 四．【题型解法】（一）点关于直线的对称例1.已知坐标原点()0,0O 关于直线L 对称的点()3,3M -，则直线L 的方程是（ ） A ．210x y -+= B ．210x y --= C ．30x y -+= D ．30x y --=【答案】D【解析】由(0,0)O , (3,3)M -, 可得OM 的中点坐标为33,22⎛⎫-⎪⎝⎭,又313OMk-==-, OM∴的垂直平分线的斜率为1, ∴直线L的方程为33122y x⎛⎫+=⨯-⎪⎝⎭,即30x y--=，故选D.练习1．数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称为欧拉线，已知ABC∆的顶点(20)(04)A B，，，,若其欧拉线方程为20x y-+=, 则顶点C的坐标为(）A．04-（，）B．4,0-（）C．4,0（）或4,0-（）D．4,0（）【答案】B【解析】设C坐标x,y（），所以重心坐标为2+4(,)33x y+，因此2+4204033x yx y+-+=∴-+=，从而顶点C的坐标可以为4,0-（），选B.（二）光线的对称问题例2．如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是()A.5B.33C.6D.210【答案】D【解析】点P关于y轴的对称点P'坐标是()2,0-，设点P关于直线:40AB x y+-=的对称点()",P a b，由()112204022baa b-⎧⨯-=-⎪⎪-⎨++⎪+-=⎪⎩，解得42ab=⎧⎨=⎩，故光线所经过的路程()22'"242210P P=--+=，故选D.练习1.一条光线从点()2,3-射出，经x轴反射后与圆2264120x y x y+--+=相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．65或56B．45或54C．43或34D．32或23【解析】点()2,3-关于x 轴的对称点Q 的坐标为()2,3--， 圆2264120x y x y +--+=的圆心为()3,2，半径为1R =.设过()2,3--且与已知圆相切的直线的斜率为k ， 则切线方程为()23y k x =+-即230kx y k -+-=， 所以圆心()3,2到切线的距离为25511k d R k-===+，解得43k =或34k =，故选C.（三）圆关于直线的对称例3.．直线1l ：y x =、2l ：2y x =+与C e ：22220x y mx ny +--= 的四个交点把C e 分成的四条弧长相等，则(m = ) A ．0或1 B ．0或1-C ．1-D ．1【答案】B【解析】直线l 1：y=x 与l 2:y=x+2之间的距离为2，⊙C ：22220x y mx ny +--=的圆心为（m ，m ），半径r 2=m 2+m 2，由题意可得222222222()()22{22()()2m nm n m n m n -+=+-++=+解得 m=0或m=-1，故选B.练习1．已知圆关于对称，则的值为 A ．B ．1C ．D ．0【答案】A 【解析】化圆为．则圆心坐标为，圆关于对称，所以直线经过圆心，，得． 当时，，不合题意，．故选A ．练习2.已知直线3420x y ++=与圆2240x y y ++=相交于,A B 两点，则线段AB 的垂直平分线的方程为A ．4360x y --=B ．4320x y --=C ．4360x y ++=D ．3480x y ++= 【答案】A【解析】圆2240x y y ++=的圆心坐标为()0,2C -，AB 的中垂线垂直于AB 且过C ，故可设中垂线的方程为：430x y m -+=，代入()0,2C -可得6m =-，故所求的垂直平分线的方程为4360x y --=，故选A.（四）利用对称求最值例4．已知点P ，Q 分别在直线1:20l x y ++=与直线2:10l x y +-=上，且1PQ l ⊥，点()3,3A --，31,22B ⎛⎫⎪⎝⎭，则AP PQ QB ++的最小值为（）．A ．130B ．3213+C ．13D ．32【答案】B【解析】因为112,P l l l Q ⊥P ，故()21322PQ --==1AA k '=，故1AA l '⊥，所以A P A Q 'P ，又322AA '=，所以AA PQ '=，故四边形AA QP '为平行四边形， 322AP PQ QB A Q QB '++=++， 因为13A Q QB A B ''+≥=，当且仅当,,A Q B '三点共线时等号成立，AP PQ QB ++的最小值为32132+，选B.（五）圆锥曲线的对称例5.已知F 是双曲线2218y C x -=：的右焦点，P 是C 左支上一点，)66,0(A ，当APF ∆周长最小时，则点P 的纵坐标为（ ） A ．66 B ．26C ．46D ．86-【答案】B【解析】如图：由双曲线C 的方程可知：a 2=1，b 2=8，∴c 2=a 2+b 2=1+8=9，∴c=3，∴左焦点E （-3，0），右焦点F （3，0）， ∵|AF|=223(66)15+=，所以当三角形APF 的周长最小时，|PA|+|PF|最小． 由双曲线的性质得|PF|-|PE|=2a=2，∴|PF|=|PE|+2，又|PE|+|PA|≥|AE|=|AF|=15，当且仅当A ，P ，E 三点共线时，等号成立． ∴三角形APF 的周长：|AF|+|AP|+|PF|=15+|PE|+|AP|+2≥15+15+2=32．此时，直线AE 的方程为y=2666x +，将其代入到双曲线方程得：x 2+9x+14=0， 解得x=-7（舍）或x=-2， 由x=-2得6（负值已舍） 故选：B ．练习1．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，若F 关于直线0x y +=的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆的离心率为（ ） ABC1 D1【答案】A【解析】∵点()0F c -，关于直线0x y +=的对称点A 为()0,A c ，且A 在椭圆上， 即22b c =，∴c b =，∴椭圆C的离心率2e ===．故选A ．（六）椭圆的中点弦问题例1．如果椭圆22193x y +=的弦被点(1,1)M 平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）A ．340x y +-=B ．320x y -+=C ．320x y --=D ．340x y +-=【答案】A【解析】设直线与椭圆交点为()11,A x y ，()22,B x y22112222193193x y x y ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得：1212121213ABy y x x k x x y y -+==-⋅-+ 又M 为AB 中点 122x x ∴+=，122y y += 13AB k ∴=-∴直线方程为：()1113y x -=--，即：340x y +-= 本题正确选项：A练习1．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，点F 为左焦点，点P 为下顶点，平行于FP 的直线l 交椭圆于,A B两点，且AB 的中点为11,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，则椭圆的离心率为（）A．22B．12C．14D．32【答案】A【解析】设A（1x，1y），B（2x，2y），又AB的中点为11,2M⎛⎫⎪⎝⎭，则121221x x y y+=+=，，又因为A、B在椭圆上所以22221122222211x y x ya b a b+=+=，两式相减，得：2121221212y y y y bx x x x a-+⋅=--+∵12121212b1c2AB FP OMy y y yk k kx x x x，-+===-==-+,∴22b2cba=，，∴22a bc=，平方可得()42224a a c c=-, ∴22ca=12,c2a2=，故选A.练习2．已知椭圆22142x y+=，则以点（1，1）为中点的弦的长度为（）A．2B．3C30D36【答案】C【解析】设直线方程为y=k（x﹣1）+1，代入椭圆方程，消去y得：（1+2k2）x2﹣（4k2﹣4k）x+2k2﹣4k﹣2=0，设交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2，解得k=﹣12，∴x1x2=13，∴221212301()43k x x x x++-=．故选C．练习3．已知椭圆C ：()2222100x y a b a b +=＞，＞的离心率为2，直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，且线段AB 的中点为()21M -，，则直线l 的斜率为（ ）A.13B.23C.12D.1【答案】C【解析】由c e a ==，得2222234c a b a a -==， ∴224a b =，则椭圆方程为22244x y b +=，设()()1122A x y B x y ，，，，则121242x x y y ，+=-+=，把A ，B 的坐标代入椭圆方程得：22211222224444x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩①②， ①-②得：()()()()121212124x x x x y y y y -+=--+，∴()12121212414422y y x x x x y y -+-=-=-=-+⨯．∴直线l 的斜率为12． 故选：C ．（七）双曲线的中点弦例7．直线l 与双曲线2212y x -=交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆C 的方程为22240x y x y m ++++=，则m =（ ）A.-3B.3C.5-D.【答案】A【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y由根据圆的方程可知(1,2)C --，C 为AB 的中点根据双曲线中点差法的结论202021112ABx b k a y -=⨯=⨯=- 由点斜式可得直线AB 的方程为1y x =-将直线AB 方程与双曲线方程联立22121y x y x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩解得34x y =-⎧⎨=-⎩或10x y =⎧⎨=⎩，所以AB =由圆的直径AB ===3m =-故选A.练习1．双曲线221369x y -=的一条弦被点(4,2)P 平分，那么这条弦所在的直线方程是（ ）A ．20x y --=B ．2100x y +-=C ．20x y -=D ．280x y +-=【答案】C【解析】设弦的两端点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，斜率为k ，则22111369x y -=，22221369x y -=，两式相减得12121212()()()()369x x x x y y y y -+-+=， 即121212129()98136()3642y y x x k x x y y -+⨯====-+⨯，∴弦所在的直线方程12(4)2y x -=-，即20x y -=． 故选：C练习2．已知双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为y =，过点P ⎫⎪⎪⎝⎭． ()1求双曲线C 的标准方程；()2是否存在被点()1,1B 平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）2212y x -=（2）直线l 不存在．详见解析【解析】()1双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为y =，设双曲线方程为：22y x λ2-=，过点P ⎫⎪⎪⎝⎭．可得λ1=，所求双曲线方程为：22y x 12-=． ()2假设直线l 存在．设()B 1,1是弦MN 的中点，且()11M x ,y ，()22N x ,y ，则12x x 2+=，12y y 2+=．M Q ，N 在双曲线上，22112x y 122222x y 1-=⎧⎪∴-=⎨⎪⎩， ()()()()121212122x x x x y y y y 0∴+---+=，()()12124x x 2y y ∴-=-，1212y y k 2x x -∴==-，∴直线l 的方程为()y 12x 1-=-，即2x y 10--=，联立方程组222x y 22x y 10-=⎧--=⎨⎩，得22x 4x 30-+=1643280QV =-⨯⨯=-<，∴直线l 与双曲线无交点，∴直线l 不存在．练习3．已知双曲线的中心在原点，焦点为，且离心率.（1）求双曲线的方程； （2）求以点为中点的弦所在的直线方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1） 由题可得，，∴，,所以双曲线方程 .（2）设弦的两端点分别为，，则由点差法有： , 上下式相减有：又因为为中点，所以，,∴，所以由直线的点斜式可得,即直线的方程为.经检验满足题意.（八）抛物线的对称问题例8．已知抛物线2:2(0)C y px p =>，倾斜角为4π的直线交抛物线C 于A ，B 两点，且线段AB 中点的纵坐标为1，则抛物线C 的准线方程是________ 【答案】12x =-【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2211222,2y px y px ==，两式相减得：()()()1212122y y y y p x x -+=-，又因为直线的斜率为1，所以12121y y x x -=-， 所以有122y y p +=，又线段AB 的中点的纵坐标为１， 即122y y +=，所以1p =，所以抛物线的准线方程为12x =-．故答案为：12x =-．练习1．如图所示，点P 为抛物线E ：28y x =上的动点，点Q 为圆:M 22430x y x +-+=上的动点，则PQ的最小值为___________.【答案】1【解析】圆:M 22430x y x +-+=可化为22(2)1x y -+=， 故圆M 的圆心（2，0），半径为1.设000(,)(0)P x y x ≥为抛物线28y x =上任意一点，故有2008y x =，∴00(,)P x y 与（2，0）的距离2222200000000(2)44844(2)d x y x x x x x x =-+=-++=++=+当00x =时， 00(,)P x y 与（2，0）的距离取最小值2，PQ ∴的最小值为211-=，故答案为：1.（九）椭圆中的对称方法例9．如图,椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ,过F 的直线交椭圆于,A B 两点,点C 是A 点关于原点O 的对称点,若CF AB ⊥且CF AB =,则椭圆的离心率为__________．【答案】63-【解析】作另一焦点F ',连接AF '和BF '和CF ',则四边形FAF C '为平行四边,所以AF CF AB '==,且AF AB '⊥,则三角形ABF '为等腰直角三角形, 设AF AB x '== ,则24x x x a +=,解得(422)x a =-,(222)AF a =,在三角形AFF ' 中由勾股定理得222()()(2)AF AF c '+=,所以2962,63e e =-=,故答案为63-.练习1．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，且12PF F ∆面积3 6.（1）求椭圆C 的方程，并求椭圆C 的离心率；（2）已知直线l ：1(0)y kx k =+>与椭圆C 交于不同的两点AB ，若在x 轴上存在点(,0)M m ，使得M 与AB 中点的连线与直线l 垂直，求实数m 的取值范围【答案】（1）22143x y +=，椭圆的离心率12e =（2）3,012⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭【解析】（1）由题意得2223226bc c a a b c ⎧=⎪+=⎨⎪=+⎩，解之得2a =，3b =1c =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=，椭圆的离心率12e =； （2）由221143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2243880k x kx ++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122843kx x k -+=+，122643y y k +=+， 所以线段AB 中点的坐标为2243,4343k k k -⎛⎫⎪++⎝⎭， 则223143443k k k m k -+=-++，整理得213434k m k k k=-=-++， 因为0k >，所以34k k +≥=34k k =，即k =时上式取得等号，此时m取得最小值12-， 因为0k >，所以2043k m k =-<+，所以实数m的取值范围是⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭. 练习2．已知椭圆22:194x y C +=，若不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点.(1)若线段MN 的中点坐标为()1,1，求直线l 的方程；(2)若直线l 过点()6,0，点()0,0P x 满足0PM PN k k +=（,PM PN k k 分别是直线,PM PN 的斜率），求0x 的值.【答案】（1）49130x y +-=（2）32【解析】（1）设()11,M x y ，()22,N x y ，由点,M N 都在椭圆22:194x y C +=上，故22112222194194x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩22222121094x x y y --⇒+=，则()()212121214499x x y y k x x y y +-==-=--+故直线l 的方程为()411491309y x x y -=--⇒+-= （2）由题可知，直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为()6y k x =-，()0,0P x ， 则()()()()1212021010200660PM PN y y k k k x x x k x x x x x x x +=+=⇒--+--=--即()()12012026120x x x x x x -+++=①联立()()222222149108936360946x y k x k x k y k x ⎧+=⎪⇒+-+⨯-=⎨⎪=-⎩，则21222122108499363649k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨⨯-⎪=⎪+⎩将其代入①得()()2220003546964902k k x x k x --+++=⇒=故0x 的值为32（十）对称的综合应用例10．在直角坐标系xOy 中，抛物线2:4x C y =与直线:4l y kx =+ 交于M ，N 两点.（1）当0k =时，分别求抛物线C 在点M 和N 处的切线方程；（2）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由.【答案】(1) 过点M 和点N 的切线方程分别为24,24y x y x =-=--.(2)存在点()0,4P -，理由见解析【解析】（1）由题意知0k =时，联立244y x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得()4,4M ，()4,4N -．设过点()4,4M 的切线方程为(4)4y k x =-+，联立2444y kx kx y =+-⎧⎪⎨=⎪⎩得：2416160x kx k -+-=， 由题意：2164(1616)0k k ∆=--=，即2440k k -+=，解得2k =， 根据对称性，过点()4,4N -的切线斜率为2k =-，所以过点M 和点N 的切线方程分别为24,24y x y x =-=--. （2）存在符合题意的点，证明如下：设点P ()0,b 为符合题意的点，()11,M x y ，()22,N x y ，直线PM ，PN 的斜率分别为1k ，2k ．联立方程244y kx x y =+⎧⎪⎨=⎪⎩，得24160x kx --=，故124x x k +=，1216x x =-， 从而121212y b y b k k x x --+=+=()()12121224kx x b x x x x +-+=()44k b +．当4b =-时，有120k k +=，则直线PM 与直线PN 的倾斜角互补， 故OPM OPN ∠=∠，所以点()0,4P -符合题意．练习2．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F，点(,B m 在抛物线C上，A ，且||2||BF AF =.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点(1,2)P 作直线PM ，PN 分别交抛物线C 于M ，N 两点，若直线PM ，PN 的倾斜角互补，求直线MN 的斜率.【答案】（1）24y x =（2）1-【解析】（1）由题得,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，则||2p BF m =+，||AF =因为|2||BF AF =，所以2P m +=因为点B 在抛物线C 上，所以122pm =，即6pm =.②联立①②得428480p p +-=，解得2p =或2p =-（舍去），所以抛物线C 的标准方程为24y x =.（2）由题知直线PM ，PN 的斜率存在，且不为零，且两直线的斜率互为相反数 设()11,M x y ，()22,N x y ，直线:(1)2(0)PM y k x k =-+≠由2(1)24y k x y x =-+⎧⎨=⎩，得()2222244440k x k k x k k --++-+=，则()222222444(2)16(1)0k k k k k ∆=-+--=->，又点P 在抛物线C 上，所以21244k k x k -+=同理得22244k k x k++=.则212228kx xk+ +=，12288kx xk k---==，()()12121212y y k x k x⎡⎤⎡⎤-=-+---+⎣⎦⎣⎦()122k x x k=+-22282kk kk+=⋅-8k=，所以1212818MNy y kkx xk-===---即直线MN的斜率为-1.练习3．如图, 直线12y x=与抛物线2148y x=-交于,A B两点, 线段AB的垂直平分线与直线5y=-交于Q点.（1）求点Q的坐标；（2）当P为抛物线上位于线段AB下方（含,A B）的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.【答案】(1) ()5,5Q-；(2) 最大值30【解析】(1) 解方程组212148y xy x⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得11-4-2xy=⎧⎨=⎩或2284xy=⎧⎨=⎩即A(－4,－2),B(8,4), 从而AB的中点为M(2,1).由12ABK=,直线AB的垂直平分线方程()122y x-=--令5y=-, 得5x=, ∴()5,5Q-(2)直线OQ的方程为x+y=0, 设21,48P x x⎛⎫-⎪⎝⎭∵点P 到直线OQ 的距离2832x +-,OQ =, ∴12OPQ S ∆=OQ d =2583216x x +-. ∵P 为抛物线上位于线段AB 下方的点, 且P 不在直线OQ 上, ∴－4≤x4或4< x ≤8.∵函数2832y x x =+-在区间[]4,8-上单调递增,∴当x =8时, ΔOPQ 的面积取到最大值30。

例析“直线关于直线对称”问题2019-10-21⾼中数学解析⼏何《直线⽅程》部分涉及点关于点、直线关于点、点关于直线、直线关于直线对称四类问题，现就个⼈在教学中有关直线关于直线对称问题加以分析：（⼀）求已知直线与对称轴平⾏的直线⽅程例求已知直线L1：2x+3y-4=0关于直线2x+3y-6=0的对称直线L的⽅程。

解：由题意知：L1与对称直线2x+3y-6=0平⾏可设其对称直线的⽅程为2x+3y+C=0L1到2x+3y-6=0的距离等于L到对2x+3y-6=0的距离所求直线L的⽅程为：2x+3y-8=0评析：此题为求已知直线与对称轴平⾏的对称问题，解题时，只需利⽤平⾯⼏何知识，即平⾏间的距离相等便能使问题得到解决。

（⼆）求已知直线与对称轴相交的直线⽅程例求已知直线L1：x-y-1=0关于直线2x-y=0的对称直线L的⽅程。

解法1：由x-y-1=02x-y=0得x=-1y=-2（-1，-2）为两已知直线交点，且（-1，-2）也在直线L上。

设所求直线L的斜率为k，则：所求直线L的⽅程为y+2=7（x+1）即为：7x-y+5=0解法2：由解法1知交点为（-1，-2），在L1：x-y-1=0上设其⼀点为（1，0），则（1，0）关于2x-y=0对称点B（x0，y0）即：直线L1：x-y-1=0关于直线2x-y=0对称直线L的⽅程为7x-y+5=0解法3：设所求直线L上任意⼀点P（x0，y0），P点关于2x-y=0的对称点为P1（x1，y1），则P1在直线x-y-1=0上。

即：7x-y+5=0为所求直线L的⽅程评析：此类问题为求已知直线与对称轴相交的直线⽅程，⽅法有3种，各有优势。

其中第1种解法是由轴对称性质，对称轴与两条直线夹⾓相等，然后使⽤到⾓公式求出直线斜率，再利⽤点斜式求出所求直线⽅程；第⼆种⽅法是在已知直线上任找⼀点（特殊点也可），从⽽求出该点关于定直线的对称点，然后根据两点式求出直线⽅程，充分利⽤垂直平分来求解对称的直线⽅程；第三种⽅法由两条直线关于定直线对称，则这两条直线中任何⼀条直线上任意⼀点关于对称轴的点必在另⼀条直线上，对称轴是这两点的中垂线，由此可写出两点坐标间的关系式，⽤代⼊法求出直线⽅程。

初中几何对称图解教案模板一、教学目标：1. 知识与技能：1.1 学生能够理解并识别几何图形的对称性质。

1.2 学生能够运用对称性质解决简单的几何问题。

2. 过程与方法：2.1 学生通过观察、操作、分析等数学活动，掌握对称图形的性质。

2.2 学生能够运用对称性质进行几何图形的绘制和变换。

3. 情感态度与价值观：3.1 学生通过对称图形的探索，培养审美能力和观察力。

3.2 学生能够认识到对称图形在现实生活中的应用，提高对数学的兴趣。

二、教学重、难点：1. 重点：学生能够识别对称图形和掌握对称性质。

2. 难点：学生能够运用对称性质解决复杂的几何问题。

三、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生通过观察、操作、思考、讨论等方式探索对称图形的性质。

2. 利用多媒体辅助教学，展示对称图形的变换过程，增强学生的直观感受。

3. 结合实际生活中的例子，让学生感受对称图形的美感和应用价值。

四、教学步骤：1. 导入：1.1 利用多媒体展示一些生活中的对称图形，如剪纸、建筑等，引发学生对对称图形的兴趣。

1.2 引导学生观察这些对称图形，提出问题：“这些图形有什么共同的特点？”2. 新课导入：2.1 介绍对称图形的定义和性质。

2.2 引导学生通过观察、操作，发现对称图形的性质，如对称轴、对称点等。

3. 实例讲解：3.1 通过具体的实例，讲解对称图形在实际生活中的应用，如建筑设计、艺术创作等。

3.2 引导学生通过实际操作，绘制对称图形，加深对对称性质的理解。

4. 练习与讨论：4.1 给出一些几何问题，要求学生运用对称性质进行解决。

4.2 学生分组讨论，分享解题思路和方法。

5. 总结与拓展：5.1 对本节课的内容进行总结，强调对称图形的重要性和应用价值。

5.2 提出一些拓展问题，引导学生进一步深入研究对称图形。

五、教学评价：1. 课堂参与度：观察学生在课堂中的积极参与程度，如观察、思考、讨论等。

2. 作业完成情况：检查学生完成作业的质量，如解答的准确性、思路的清晰性等。

高中数学对称教案模板
教学内容：对称的概念、种类、性质和应用
教学目标：能够正确理解对称的概念，掌握几何图形的对称性质，能够在实际问题中运用对称概念解决问题。

教学重难点：对称的性质、对称轴、对称中心和对称图形的特征。

教学准备：教学PPT、对称图形的实物模型、几何工具、练习题。

教学步骤：
1.引入：通过展示不同种类的对称图形，引导学生讨论对称的概念和性质。

2.导入：介绍对称的基本概念，定义对称轴和对称中心，讨论对称的种类。

3.讲解：详细讲解各种对称性质和对称图形的特征，比如正方形、圆等。

4.练习：让学生做一些对称图形的实际操作练习，加深对对称的理解。

5.应用：以实际问题为例，让学生运用对称概念解决问题，培养学生的应用能力。

6.总结：概括本节课的主要内容和要点，强调对称的重要性和应用。

7.作业：留下一些对称相关的练习题让学生巩固所学知识，并提醒学生课后复习。

教学评价：通过课堂教学和作业检查，评价学生对对称概念的掌握情况和应用能力，及时发现问题并帮助学生解决。

拓展延伸：可以邀请学生对对称进行深入探讨，例如对称在自然界、艺术领域和建筑设计中的应用等。

教学反思：及时总结教学过程中的问题和不足，改进教学方法和内容，提高教学效果。

初中数学对称教案一、教学目标1. 让学生理解对称的概念，掌握对称的性质和判定方法。

2. 培养学生运用对称知识解决实际问题的能力。

3. 培养学生的观察能力、推理能力和创新能力。

二、教学内容1. 对称的定义和性质2. 对称的判定方法3. 对称在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 重点：对称的定义、性质和判定方法。

2. 难点：对称在实际问题中的应用。

四、教学过程1. 导入：通过展示一些生活中的对称现象，如剪纸、建筑、自然界中的图案等，引导学生关注对称现象，激发学生的学习兴趣。

2. 新课导入：介绍对称的定义和性质，让学生初步理解对称的概念。

3. 实例讲解：通过展示一些具体的对称图形，如正方形、矩形、圆等，引导学生观察、总结对称的性质和判定方法。

4. 练习巩固：让学生运用对称的知识，解决一些实际问题，如对称剪纸、设计对称图案等。

5. 课堂小结：回顾本节课所学内容，总结对称的概念、性质和判定方法，以及对称在实际问题中的应用。

6. 课后作业：布置一些有关对称的练习题，巩固所学知识。

五、教学策略1. 采用直观演示法，通过展示生活中的对称现象，引导学生关注对称，激发学习兴趣。

2. 采用实例讲解法，让学生通过观察、总结对称的性质和判定方法。

3. 采用练习巩固法，让学生运用对称的知识解决实际问题，提高学生的应用能力。

4. 采用课堂小结法，总结本节课所学内容，帮助学生形成知识体系。

六、教学评价1. 评价学生的对称知识掌握程度，如对称的定义、性质和判定方法。

2. 评价学生运用对称知识解决实际问题的能力。

3. 评价学生的观察能力、推理能力和创新能力。

七、教学反思在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，及时调整教学方法，提高教学效果。

同时，要注重培养学生的观察能力、推理能力和创新能力，使学生能够灵活运用对称知识解决实际问题。

本次中班数学教案设计的主题为“对称题”，本教案设计旨在通过多种有趣的数学活动，帮助孩子们了解对称性及其运用，并提高孩子们的观察力和创造力。

一、教学目标1、了解对称性及其基本性质；2、掌握各种对称图形的制作方法；3、运用对称性解决问题。

二、教学准备1、简单的对称图形和模型；2、绘画用纸和颜料；3、化妆镜或其他对称物体。

三、教学内容及步骤1、引入对称概念通过展示数字、字母、图案等简单的对称性图形，引导孩子们思考对称性的概念和基本特征。

让孩子们自由探索对称性，例如，让他们使用一张化妆镜看着自己的面部，让他们察觉到镜子的作用，并通过这种方式理解两个物体的对称性。

2、同步学习对称轴和对称点引导孩子们学习对称轴和对称点的概念和基本特征。

通过举例说明对称轴和对称点的区别和联系，促进孩子们对对称性的认识。

3、制作对称图形使用简单的纸张和颜料，吸引孩子们透过观察、制作和玩乐的方式，进一步了解对称性及其运用。

例如，让孩子们画一只对称的蝴蝶，将其折叠并展示，让他们发现一条中心轴对称了整只蝴蝶。

4、运用对称性解决问题设计数学对称题，帮助孩子们巩固对称性的概念，并让他们运用对称性解决问题。

例如，如果一个矩形沿另一个矩形的对称轴对称，那么两个矩形的面积比是多少？5、课堂小结通过简单的回答问题和口述所学内容，梳理教学内容以及知识点，帮助孩子们加深对对称性及其应用的了解和认识。

总结：数学对称性是数学基本领域之一，对于孩子们的成长和发展非常重要。

本次教案设计通过多种丰富的活动，轻松愉快的方式，帮助孩子们掌握对称性的概念及其运用，提高他们的观察力和创造力，引导他们喜欢数学，享受学习数学的过程。

初中数学对称图形教案
教学目标：
1. 了解对称图形的概念，掌握对称图形的性质和特点。

2. 能够识别和判断各种对称图形。

3. 能够运用对称性质解决实际问题。

教学重点：
1. 对称图形的概念和性质。

2. 对称图形的判断和应用。

教学难点：
1. 对称图形的判断。

2. 对称性质的应用。

教学准备：
1. 教学课件或黑板。

2. 各种对称图形的图片或实物。

教学过程：
一、导入（5分钟）
1. 引入对称的概念，让学生举例说明生活中常见的对称现象。

2. 引导学生观察和讨论对称图形的特征和性质。

二、新课（20分钟）
1. 介绍对称图形的定义和性质，通过示例和练习让学生理解和掌握。

2. 讲解如何判断一个图形是否为对称图形，引导学生通过观察和分析来判断。

3. 通过练习题让学生巩固对称图形的判断方法。

三、应用（15分钟）
1. 让学生运用对称性质解决实际问题，如设计对称图案、解决几何问题等。

2. 分组讨论和展示，让学生分享自己的解题过程和结果。

四、总结（5分钟）
1. 回顾本节课所学的内容，让学生总结对称图形的概念和性质。

2. 强调对称图形在实际生活中的应用和意义。

教学反思：
本节课通过引入对称的概念，让学生观察和分析对称图形的特征和性质，引导学生通过实践和练习来巩固和应用所学知识。

在教学过程中，要注意引导学生主动参与，积极思考，培养学生的观察能力和逻辑思维能力。

同时，通过实际问题的解决，让学生感受对称图形在生活中的应用和意义，提高学生的学习兴趣和积极性。

高中数学解题方法系列：解析几何中对称问题的常见求解方法解析几何中的对称问题在现行中学数学材料中没有按章节进行系统编排，只是分散地穿插在直线、曲线部分的题型之中。

但这部分知识是解析几何中重要的基础内容，也是近年来的高考热点之一。

对称点、对称直线的求法，对称问题的简单应用及其解题过程中所体现的思想和方法是学生必须掌握的。

这就要求教师在讲完直线、曲线部分后，需对对称问题进行适当的归纳、总结。

使学生对这部分知识有一个较完整的、系统的认识，从而解决起对称问题才能得心应手。

本文谈一下中学解析几何中常见的对称问题和解决办法。

一、关于点对称。

1、点关于点对称。

①点(,)P a b 关于原点的对称点坐标是(,)a b --；②点(,)P a b 关于某一点00(,)M x y 的对称点的坐标，利用中点坐标式求得为00(2,2)x a y b --。

2、直线关于点对称。

①直线L：0Ax By C ++=关于原点的对称直线。

设所求直线上一点为(,)P x y ，则它关于原点的对称点为(,)Q x y --，因为Q 点在直线L 上，故有()()0A x B y C -+-+=，即0Ax By C +-=；②直线1l 关于某一点00(,)M x y 的对称直线2l 。

它的求法分两种情况：1、当00(,)M x y 在1l 上时，它的对称直线为过M 点的任一条直线。

2、当M 点不在1l 上时，对称直线的求法为：解法（一）：在直线2l 上任取一点(,)P x y ，则它关于M 的对称点为00(2,2)Q x x y y --，因为Q 点在1l 上，把Q 点坐标代入直线在1l 中，便得到2l 的方程。

解法（二）：在1l 上取一点11(,)P x y ，求出P 关于M 点的对称点Q 的坐标。

再由12l l K K =，可求出直线2l 的方程。

解法（三）：由12l l K K =，可设1:0l Ax By C ++=关于点00(,)M x y 的对称直线为'0Ax By C ++==求设'C 从而可求的及对称直线方程。

解析几何中的对称问题一、基础知识1、 点关于点的对称点(x,y)关于点(a,b)的对称点的坐标为(2a-x,2b-y)事实上，点关于点的对称的对称中心恰恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题。

2、点关于直线的对称点由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线“，利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点(x 0,y 0)关于直线Ax+By+c=0的对称点(x ’,y’)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++-=⎪⎭⎫⎝⎛---02210'0'0'0'c y y B x x A B A x x y y 3、曲线关于点（中心），直线（轴）的对称问题的一般思想是用代入转移法。

（1）曲线f(x,y)=0关于点A(a,b)的对称曲线的方程是f(2a-x,2b-y)=0 （2）曲线f(x,y)=0关于直线Ax+By+c=0的对称曲线的求法：设所求曲线上任一点P(x,y)关于直线Ax+By+c=0对称点P 0(x 0,y 0)，在已知曲线f(x,y)=0上，满足f(x 0,y 0)=0，利用方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++-=⎪⎭⎫⎝⎛---02210'0'0'0'c y y B x x A B A x x y y ，解得x 0,y 0，代入f(x 0,y 0)=0，从而得对称曲线方程。

4、常用的对称关系点(a,b)关于x 轴的对称点(a,-b)，关于y 轴的对称点为(-a,b)，关于原点的对称点(-a,-b)关于直线y=x 的对称点为(b,a)，关于直线y=-x 的对称点(-b,-a)，关于直线y=x+m 的对称点为(b-m,a+m),关于直线y=-x+m 的对称点(m-b,m-a). 二、题型剖析例1．（1）直线032=+-y x 关于定点)2,1(-M 对称的直线方程是（ ）A 。

高中数学对称性教案
教学目标：学生能够理解数学中的对称性概念并能够运用到解决问题中。

教学重点：对称性概念的理解；对称性在数学中的应用。

教学难点：如何运用对称性解决数学问题。

教学准备：教师准备黑板、白板、彩色粉笔等教学工具；学生准备铅笔、橡皮、教科书等学习工具。

教学过程：
导入：通过展示一些对称的图形，引导学生思考对称的概念，并让学生举出日常生活中有哪些对称的例子。

讲解：介绍对称性的定义和性质，如镜面对称、中心对称等；解释对称性在数学中的重要性和应用，并结合实际例子进行说明。

练习：让学生完成一些简单的对称性练习，如画出一个镜面对称的图形，找出一个中心对称的图形等；引导学生讨论如何利用对称性解决数学问题。

拓展：让学生自主探索一些对称性的性质和应用，如对称性在多边形、几何体等形状中的运用；鼓励学生尝试解决一些复杂的对称性问题。

总结：总结本节课的学习内容，强调对称性在数学中的重要性和应用，并鼓励学生在日常学习中多加利用对称性解决问题。

作业：布置一些对称性相关的练习题，让学生在家中再次复习巩固所学知识。

教学反思：及时总结教学过程，发现问题并及时调整教学方法，以提高教学效果。

以上是一份高中数学对称性教案范本，可以根据实际情况进行适当调整和修改。

希望对您有所帮助！。