高考数学二轮专题复习与策略第1部分专题5平面解析几何突破点13直线与圆教师用书理

高考数学第二轮专题复习直线与圆的方程教案一、重点知识结构本章以直线和圆为载体，揭示了解析几何的基本概念和方法。

直线的倾斜角、斜率的概念及公式、直线方程的五种形式是本章的重点之一，而点斜式又是其它形式的基础；两条直线平行和垂直的充要条件、直线l1到l2的角以及两直线的夹角、点到直线的距离公式也是重点内容；用不等式（组）表示平面区域和线性规划作为新增内容，需要引起一定的注意；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，是解决解析几何两个基本问题的依据；圆的方程、直线（圆）与圆的位置关系、圆的切线问题和弦长问题等，因其易与平面几何知识结合，题目解法灵活，因而是一个不可忽视的要点。

二、高考要求1、掌握两条直线平行和垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系；3、会用二元一次不等式表示平面区域；4、了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单的应用；5、了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题的方法；6、掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程的概念。

三、热点分析在近几年的高考试题中，两点间的距离公式，中点坐标公式，直线方程的点斜式、斜率公式及两条直线的位置关系是考查的热点。

但由于知识的相互渗透，综合考查直线与圆锥曲线的关系一直是高考命题的大热门，应当引起特别注意，本章的线性规划内容是新教材中增加的新内容，在高考中极有可能涉及，但难度不会大。

四、复习建议本章的复习首先要注重基础，对基本知识、基本题型要掌握好；求直线的方程主要用待定系数法，复习时应注意直线方程各种形式的适用条件；研究两条直线的位置关系时，应特别注意斜率存在和不存在的两种情形；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，随着高考对知识形成过程的考查逐步加强，对坐标法的要求也进一步加强，因此必须透彻理解。

既要掌握求曲线方程的常用方法和基本步骤，又能根据方程讨论曲线的性质；圆的方程、直线与圆的位置关系，圆的切线问题与弦长问题都是高考中的热点问题；求圆的方程或找圆心坐标和半径的常用方法是待定系数法及配方法，应熟练掌握，还应注意恰当运用平面几何知识以简化计算。

专题五解析几何第1讲直线与圆高考定位考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系特别是弦长问题，此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现真题感悟12021·全国Ⅲ卷在平面内，A，B是两个定点，－2＝0与直线m＋2＋4＝0平行，那么m的值是B－2 或－2 D－错误!2直线1：－＋4＝0与直线2：＋－3＝0≠0分别过定点A，B，又1，2相交于点M，那么|MA|·|MB|的最大值为________解析1由题意知m1＋m－2×1＝0，解得m＝1或－2，当m＝－2时，两直线重合，舍去；当m＝1时，满足两直线平行，所以m＝12由题意可知，直线1：－＋4＝0经过定点A0，4，直线2：＋－3＝0经过定点B3，0，注意到直线1：－＋4＝0和直线2：＋－3＝0始终垂直，点M又是两条直线的交点，那么有MA⊥MB，所以|MA|2＋|MB|2＝|AB|2＝25故|MA|·|MB|≤错误!当且仅当|MA|＝|MB|＝错误!时取“＝〞答案1A2错误!探究提高1求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性2求直线方程时应根据条件选择适宜的方程形式利用待定系数法求解，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意【训练1】1多项选择题光线自点2，4射入，经倾斜角为135°的直线：＝＋1反射后经过点5，0，那么反射光线还经过以下哪个点A14，2C13，2 D13，121，2是分别经过A1，1，B0，－1两点的两条平行直线，当1，2间的距离最大时，那么直线1的方程是________解析1因为直线的倾斜角为135°，所以直线的斜率＝－1，设点2，4关于直线：＝－＋1的对称点为m，n，那么错误!解得错误!所以反射光线经过点－3，－1和点5，0，那么反射光线所在直线的方程为＝错误!－5＝错误!－5，当＝13时，＝1；当＝14时，＝错误!应选BD2当直线AB与1，2垂直时，1与2间的距离最大由A1，1，B0，－1得AB＝错误!＝2∴两平行直线的斜率＝－错误!∴直线1的方程是－1＝－错误!－1，即＋2－3＝0答案1BD2＋2－3＝0热点二圆的方程【例2】12021·石家庄模拟古希腊数学家阿波罗尼斯在其巨著?圆锥曲线论?中提出“在同一平面上给出三点，假设其中一点到另外两点的距离之比是一个大于零且不等于1的常数，那么该点轨迹是一个圆〞现在，某电信公司要在甲、乙、丙三地搭建三座5G信号塔来构建一个特定的三角形信号覆盖区域，以实现5G 商用，甲、乙两地相距4 m，丙、甲两地距离是丙、乙两地距离的错误!倍，那么这个三角形信号覆盖区域的最大面积单位：m2是2圆C的圆心在直线＋＝0上，圆C与直线－＝0相切，且在直线－－3＝0上截得的弦长为错误!，那么圆C的方程为________解析1以甲、乙两地所在直线为轴，线段甲乙的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，设甲、乙两地的坐标分别为－2，0，2，0，丙地坐标为，≠0，那么错误!＝错误!·错误!，整理得－42＋2＝12，可知丙地所在的圆的半径为r＝2错误!所以三角形信号覆盖区域的最大面积为错误!×4×2错误!＝4错误!2∵所求圆的圆心在直线＋＝0上，∴设所求圆的圆心为a，－a又∵所求圆与直线－＝0相切，∴半径r＝错误!＝错误!|a|又所求圆在直线－－3＝0上截得的弦长为错误!，圆心a，－a到直线－－3＝0的距离d＝错误!，∴d2＋错误!错误!错误!错误!错误!－错误!＝1的左、右顶点，in＝错误!－1＝2∵－错误!＝1，解得m＝1，那么B1，0，A－1，0，∴－2与轴交于A，B两点，点C的坐标为0，1当m变化时，解答以下问题：1能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；2证明过A，B，C三点的圆在轴上截得的弦长为定值1解不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：设A1，0，B2，0，那么1，2满足方程2＋m－2＝0，所以12＝－的坐标为0，1，故AC的斜率与BC的斜率之积为错误!·错误!＝－错误!，所以不能出现AC⊥BC的情况2证明BC的中点坐标为错误!，可得BC的中垂线方程为－错误!＝2错误!由1可得1＋2＝－m，所以AB的中垂线方程为＝－错误!联立错误!又错误!＋m2－2＝0，③由①②③解得＝－错误!，＝－错误!所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为错误!，半径r＝错误!故圆在轴上截得的弦长为2错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!in＝错误!＝错误!此时，|＝2，命题q：直线m－1－＋m－12＝0与直线m＋2－3m＝0垂直，那么－1×m＋－1×2＝0，解之得m＝2或m＝－1∴，即2－＋m＝0，那么圆心M到直线的距离d＝错误!＝错误!因为|BC|＝|OA|＝错误!＝2错误!，又|MC|2＝d2＋错误!错误!错误!＋5，解得m＝5或m ＝－15故直线的方程为2－＋5＝0或2－－15＝0。

高考数学二轮复习专题汇总1专题一：集合、函数、导数与不等式。

此专题函数和导数以及应用导数知识解决函数问题是重点，特别要注重交汇问题的训练。

每年高考中导数所占的比重都非常大，一般情况是在客观题中考查导数的几何意义和导数的计算，属于容易题;二是在解答题中进行综合考查，主要考查用导数研究函数的性质，用函数的单调性证明不等式等，此题具有很高的综合性，并且与思想方法紧密结合。

2专题二：数列、推理与证明。

数列由旧高考中的压轴题变成了新高考中的中档题，主要考查等差等比数列的通项与求和，与不等式的简单综合问题是近年来的热门问题。

3专题三：三角函数、平面向量和解三角形。

平面向量和三角函数的图像与性质、恒等变换是重点。

近几年高考中三角函数内容的难度和比重有所降低，但仍保留一个选择题、一个填空题和一个解答题的题量，难度都不大，但是解三角形的内容应用性较强，将解三角形的知识与实际问题结合起来将是今后命题的一个热点。

平面向量具有几何与代数形式的“双重性”，是一个重要的知识交汇点，它与三角函数、解析几何都可以整合。

4专题四：立体几何。

注重几何体的三视图、空间点线面的关系及空间角的计算，用空间向量解决点线面的问题是重点。

5专题五：解析几何。

直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程的探求以及最值范围、定点定值、对称问题是命题的主旋律。

近几年高考中圆锥曲线问题具有两大特色：一是融“综合性、开放性、探索性”为一体;二是向量关系的引入、三角变换的渗透和导数工具的使用。

我们在注重基础的同时，要兼顾直线与圆锥曲线综合问题的强化训练，尤其是推理、运算变形能力的训练。

6专题六：概率与统计、算法与复数。

要求具有较高的阅读理解和分析问题、解决问题的能力。

高考对算法的考查集中在程序框图，主要通过数列求和、求积设计问题。

高考数学二轮复习策略1.加强思维训练，规范答题过程解题一定要非常规范，俗语说：“不怕难题不得分，就怕每题都扣分”，所以大家要形成良好的思维品质和学习习惯，务必将解题过程写得层次分明结构完整。

学习资料解析几何专题5第1讲直线与圆直线的方程授课提示：对应学生用书第44页考情调研考向分析以考查直线方程的求法、两条直线的位置关系、两点间的距离、点到直线的距离、两条直线的交点坐标为主，有时也会与圆、椭圆、双曲线、抛物线交汇考查．题型主要以选择题，填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，特别是距离公式，是高考考查的重点。

1。

求直线的方程．2。

判断两直线的位置关系．3.直线恒过定点问题。

［题组练透］1．过点(2,1)且与直线3x－2y＝0垂直的直线方程为()A．2x－3y－1＝0B．2x＋3y－7＝0C．3x－2y－4＝0 D．3x＋2y－8＝0解析：设要求的直线方程为2x＋3y＋m＝0，，把点(2，1）代入可得4＋3＋m＝0，解得m ＝－7。

故所求直线方程为：2x＋3y－7＝0，故选B.答案：B2．(2020·淮南模拟）设λ∈R，则“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋（1－λ）y＝4平行”的（)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：当λ＝－3时，两条直线的方程分别为6x＋4y＋1＝0，3x＋2y－2＝0,此时两条直线平行；若两条直线平行，则2λ×（1－λ）＝－6(1－λ)，所以λ＝－3或λ＝1，经检验,两者均符合，综上，“λ＝－3”是“直线2λx＋（λ－1）y＝1与直线6x＋（1－λ）y＝4平行”的充分不必要条件,故选A。

答案：A3．已知直线l:ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等,则a的值是（)A．1 B．－1C．2或1 D．－2或1解析：当a＝0时，直线方程为y＝2,显然不符合题意，当a≠0时，令y＝0时，得到直线在x轴上的截距是错误!，令x＝0时，得到直线在y轴上的截距为2＋a，根据题意得错误!＝2＋a，解得a＝－2或a＝1,故选D。

答案：D4．（2020·保定模拟）设点P为直线l:x＋y－4＝0上的动点,点A（－2，0)，B（2,0），则｜P A｜＋|PB|的最小值为（）A．210 B.26C．2错误! D.错误!解析:依据题意作出图象如下:设点B(2,0)关于直线l的对称点为B1（a,b）,则它们的中点坐标为错误!，且｜PB|＝｜PB1｜.由对称性可得错误!，解得a＝4,b＝2.所以B1(4,2)．因为｜P A｜＋｜PB｜＝|P A｜＋｜PB1|，所以当A，P，B1三点共线时，｜P A｜＋｜PB|最小．此时最小值为｜AB1|＝(4＋2)2＋(2－0)2＝2错误!.故选A.答案：A［题后悟通］1．两直线的位置关系问题的解题策略求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即斜率相等且纵截距不相等或斜率互为负倒数．若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究或直接用直线的一般式方程判断．2．轴对称问题的两种类型及求解方法点关于直线的对称若两点P1(x1，y1）与P2(x2，y2）关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则线段P1P2的中点在对称轴l上,而且连接P1，P2的直线垂直于对称轴l.由方程组错误!，可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)直线关于直线的对称有两种情况，一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．一般转化为点关于直线的对称来解决圆的方程授课提示：对应学生用书第45页考情调研考向分析考查圆的方程，与圆有关的轨迹问题、最值问题是考查的热点，属中档题．题型主要以选择、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，有时也会在解答题中出现.1。

专题五解析几何第1讲直线与圆自主学习导引真题感悟1．(2012·浙江)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析先求出两条直线平行的充要条件，再判断．若直线l1与l2平行，则a(a＋1)－2×1＝0，即a＝－2或a＝1，所以a＝1是直线l1与直线l2平行的充分不必要条件．答案 A2．(2012·福建)直线x＋3y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点，则弦AB的长度等于A．2 5 B．23 C. 3 D．1解析利用平面几何中圆心距、半径、半弦长的关系求解．∵圆心到直线x＋3y－2＝0的距离d＝|0＋3×0－2|12＋(3)2＝1，半径r＝2，∴弦长|AB|＝2r2－d2＝222－12＝2 3.答案 B考题分析圆在高考命题中多以直线与圆的位置关系为主，考查直线与圆位置关系的判定、弦长的求法等，题目多以小题为主，难度中等，掌握解此类题目的通性通法是重点．网络构建高频考点突破考点一：直线方程及位置关系问题【例1】(2012·江西八所重点高中联考)“a＝0”是“直线l1：(a＋1)x＋a2y－3＝0与直线l2：2x＋ay－2a－1＝0平行”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[审题导引]求出l1∥l2的充要条件，利用定义判定．[规范解答]当a＝0时，l1：x－3＝0，l2：2x－1＝0，此时l1∥l2，所以“a＝0”是“直线l1与l2平行”的充分条件；当l1∥l2时，a(a＋1)－2a2＝0，解得a＝0或a＝1.当a＝1时，l1：2x＋y－3＝0，l2：2x＋y－3＝0，此时l1与l2重合，所以a＝1不满足题意，即a＝0.所以“a＝0”是“直线l1∥l2”的充要条件．[答案] C【规律总结】直线与直线位置关系的判断方法(1)平行：当两条直线l1和l2的斜率存在时，l1∥l2⇔k1＝k2；如果直线l1和l2的斜率都不存在，那么它们都与x轴垂直，则l1∥l2.(2)垂直：垂直是两直线相交的特殊情形，当两条直线l 1和l 2的斜率存在时，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1；若两条直线l 1，l 2中的一条斜率不存在，另一条斜率为0时，则它们垂直． (3)相交：两直线相交的交点坐标可由方程组的解求得．[易错提示] 判断两条直线的位置关系时要注意的两个易错点：一是忽视直线的斜率不存在的情况，二是忽视两直线重合的情况．解答这类试题时要根据直线方程中的系数分情况进行讨论，求出结果后再反代到直线方程中进行检验，这样能有效地避免错误． 【变式训练】1．(2012·泰安一模)过点A (2,3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为A ．x －2y ＋4＝0B ．2x ＋y －7＝0C ．x －2y ＋3＝0D ．x －2y ＋5＝0解析 由题意可设所求直线方程为：x －2y ＋m ＝0，将A (2,3)代入上式得2－2×3＋m ＝0，即m ＝4，所以所求直线方程为x －2y ＋4＝0. 答案 A2．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (0，－1)，B (－3，－4)两点，若点C 在∠AOB 的平分线上，且|OC→|＝10，则点C 的坐标是________．解析 设C (a ，b )(a ＜0，b ＜0)． OB 所在直线方程为4x －3y ＝0， 则⎩⎨⎧|4a －3b |5＝|a |，a 2＋b 2＝10，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－3.∴C (－1，－3)． 答案 (－1，－3) 考点二：圆的方程【例2】(2012·镇江模拟)以双曲线x 29－y 216＝1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是________．[审题导引] 求出双曲线的右焦点与渐近线方程，利用圆心到渐近线的距离等于半径求得半径，可得方程．[规范解答] 双曲线的右焦点为(5,0)， 即为圆心，双曲线的渐近线方程为y ＝±43x ， 即4x ±3y ＝0，∴r ＝|4×5±3×0|42＋(±3)2＝4，∴所求圆的方程为(x －5)2＋y 2＝16. [答案] (x －5)2＋y 2＝16 【规律总结】圆的方程的求法(1)几何法，即通过研究圆的性质进而求出圆的基本量；如圆中弦所在的直线与圆心和弦中点的连线相互垂直；设圆的半径为r ，弦长为|AB |，弦心距为d ，则r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22等．(2)代数法：即设出圆的方程，用待定系数法求解．在求圆的方程时，要根据具体的条件选用合适的方法，但一般情况下，应用几何法运算简捷．【变式训练】3．(2012·徐州模拟)若圆心在x 轴上、半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆O 的方程是________．解析 设圆心为(a,0)(a ＜0)，则r ＝|a ＋2×0|12＋12＝2，解得a ＝－2， 即(x ＋2)2＋y 2＝2. 答案 (x ＋2)2＋y 2＝2 考点三：直线与圆的位置关系【例3】(2012·临沂一模)直线l 过点(4,0)且与圆(x －1)2＋(y －2)2＝25交于A 、B 两点，如果|AB |＝8，那么直线l 的方程为________．[审题导引] 讨论直线的斜率是否存在，利用弦长为8求出斜率，可得所求直线的方程． [规范解答] 圆心坐标为M (1,2)，半径r ＝5，因为|AB |＝8，所以圆心到直线l 的距离d ＝r 2－42＝52－42＝3.当直线斜率不存在时，即直线方程为x ＝4，圆心到直线的距离为3满足条件，所以x ＝4成立．若直线斜率存在，不妨设为k ，则直线方程y ＝k (x －4)，即kx －y－4k ＝0，圆心到直线的距离为d ＝|k －2－4k |1＋k 2＝|2＋3k |1＋k 2＝3，解得k ＝512，所以直线方程为y ＝512(x －4)，即5x －12y －20＝0.综上满足条件的直线方程为5x －12y －20＝0或x ＝4. 答案 5x －12y －20＝0或x ＝4 【规律总结】求圆的弦长的方法(1)直接求出直线与圆的交点坐标，利用两点间的距离公式求得；(2)不求交点坐标，利用一元二次方程根与系数的关系得出，即设直线的斜率为k ，直线与圆联立消去y 后得到的方程的两根为x 1、x 2，则弦长d ＝1＋k 2|x 1－x 2|；(3)利用半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求．【变式训练】4．(2012·肇庆二模)从点P (m,3)向圆C ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1引切线，则切线长的最小值为A ．26 B.26 C ．4＋2 D ．5解析 利用切线长与圆半径的关系加以求解．设切点为M ，则CM ⊥MP ， 于是切线MP 的长|MP |＝|CP |2－|MC |2 ＝(m ＋2)2＋(3＋2)2－1，显然，当m ＝－2时，|MP |有最小值24＝2 6.答案 A名师押题高考【押题1】若过点A (－2，m )，B (m,4)的直线与直线2x ＋y ＋2＝0平行，则m 的值为________．解析 当m ＝－2时，直线AB 与2x ＋y ＋2＝0不平行； 当m ≠－2时，据题意知， k AB ＝4－m m ＋2＝－2，得m ＝－8.答案 －8[押题依据] 本题考查直线的斜率的概念以及直线的位置关系，这类问题在高考中属基础题，常以选择题或填空题的形式出现．考查形式有直接判定位置关系，根据位置关系求参数值等．解答此类题目值得注意的是含参数时，一般要根据直线的斜率是否存在对参数进行讨论，以避免漏解．【押题2】直线y ＝kx ＋3与圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝4相交于M 、N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－125B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－125C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，125D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，125 解析 圆心(1，－2)到直线y ＝kx ＋3的距离为 d ＝|k ＋5|1＋k 2，圆的半径r ＝2，∴|MN |＝2r 2－d 2＝24－(k ＋5)21＋k 2≥23，解得k ≤－125. 答案 B[押题依据] 高考在考查直线被圆截得的弦长问题时，有两种题型：一是直接求弦长；二是讨论参数的取值范围．本题属第二种题型，难度中等，表达形式新颖有一定的区分度，故押此题．必记内容: 高中数学三角函数公式汇总一、任意角的三角函数在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=， 正弦：r y =αsin 余弦：r x=αcos 正切：xy=αtan 余切：y x =αcot正割：xr=αsec 余割：yr =αcsc 注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向．．线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。

专题5 解析几何 第15讲 直线与圆题型一| 直线与方程(1)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y－m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．(2)垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是________． (1)5 (2)x ＋y －2＝0 [(1)∵直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0分别过定点A ，B ， ∴A (0,0)，B (1,3)．当点P 与点A (或B )重合时，|PA |·|PB |为零；当点P 与点A ，B 均不重合时，∵P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，且易知此两直线垂直，∴△APB 为直角三角形，∴|AP |2＋|BP |2＝|AB |2＝10，∴|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝102＝5，当且仅当|PA |＝|PB |时，上式等号成立．(2)由垂直于直线y ＝x ＋1可设直线方程为x ＋y ＋b ＝0，则有|b |12＋12＝1，b ＝±2，又∵切点在第一象限，故直线方程为x ＋y －2＝0.]【名师点评】 两直线位置关系的判定方法：(1)给定两条直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1和l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则有下列结论：l 1∥l 2⇔k 1＝k 2且b 1≠b 2；l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.(2)若给定的方程是一般式，即l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则有下列结论：l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0或A 1C 2－A 2C 1≠0； l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.1．(2016·南京二模)若直线l 1：x ＋2y －4＝0与l 2：mx ＋(2－m )y －3＝0平行，则实数m 的值为________．23 [由题意得：m 1＝2－m 2≠－3－4⇒m ＝23.] 2．(2016·南通调研一)在平面直角坐标系xOy 中，点A (1,0)，B (4,0)．若直线x －y ＋m ＝0上存在点P ，使得PA ＝12PB ，则实数m 的取值范围是________．[－22，22] [法一：设满足条件PB ＝2PA 的P 点坐标为(x ，y )，则(x －4)2＋y 2＝4(x －1)2＋4y 2，化简得x 2＋y 2＝4.要使直线x －y ＋m ＝0有交点，则|m |2≤2.即－22≤m ≤2 2.法二：设直线x －y ＋m ＝0有一点(x ，x ＋m )满足PB ＝2PA ，则 (x －4)2＋(x ＋m )2＝4(x －1)2＋4(x ＋m )2. 整理得2x 2＋2mx ＋m 2－4＝0.(*)方程(*)有解，则Δ＝4m 2－8(m 2－4)≥0， 解得－22≤m ≤2 2.]3．过点P (－4,0)的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝5相交于A ，B 两点，若点A 恰好是线段PB 的中点，则直线l 的方程为________．【导学号：19592045】x ±3y ＋4＝0 [如果直线l 与x 轴平行，则A (1－5，0)，B (1＋5，0)，A 不是PB中点，则直线l 与x 轴不平行；设l ：x ＝my －4，圆心C 到直线l 的距离d ＝5m 2＋1，令AB中点为Q ，则AQ ＝5－d 2，PQ ＝3AQ ＝35－d 2，在Rt △CPQ 中，PQ 2＋CQ 2＝PC 2，得d 2＝52＝251＋m 2，解得m ＝±3，则直线l 的方程为x ±3y ＋4＝0.]题型二| 圆的方程(1)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程是__________________．(2)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2－4x －8y ＋19＝0关于直线l ：x ＋2y －5＝0对称的圆C 2的方程为________．(1)(x －2)2＋(y －1)2＝4 (2)x 2＋y 2＝1 [(1)设圆C 的圆心为(a ，b )(b >0)，由题意得a ＝2b >0，且a 2＝(3)2＋b 2，解得a ＝2，b ＝1.∴所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.(2)由圆C 1：x 2＋y 2－4x －8y ＋19＝0化简可得该圆圆心为(2,4)，半径为1，则圆心(2,4)关于直线l ：x ＋2y －5＝0的对称点满足⎩⎪⎨⎪⎧y ′－4x ′－2＝2，x ′＋22＋2×y ′＋42－5＝0，可解得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝0，y ′＝0，故圆C 2的方程为x 2＋y 2＝1.]【名师点评】 求圆的方程的两种方法1．几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．2．代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．1．(2015·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________．(x －1)2＋y 2＝2 [直线mx －y －2m －1＝0经过定点(2，－1)．当圆与直线相切于点(2，－1)时，圆的半径最大，此时半径r 满足r 2＝(1－2)2＋(0＋1)2＝2.]2．已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被该圆所截得的弦长为22，则圆C 的标准方程为________．【导学号：19592046】(x －3)2＋y 2＝4 [设圆心坐标为(a,0)(a >0)，由于圆过点(1,0)，则半径r ＝|a －1|，圆心到直线x －y －1＝0的距离为d ＝|a －1|2.由弦长为22可知⎝⎛⎭⎪⎫|a －1|22＝(a －1)2－2，解得(a －1)2＝4，所以a ＝3或a ＝－1(舍去)． 故圆心为(3,0)，半径为2，所求圆的方程为(x －3)2＋y 2＝4.]3．当且仅当a <r <b 时，圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)上恰好有两点到直线3x ＋4y －15＝0的距离为2，则以(a ，b )为圆心，且和直线4x －3y ＋1＝0相切的圆的方程为________．(x －1)2＋(y －5)2＝4 [因为圆心(0,0)到直线3x ＋4y －15＝0的距离d ＝|－15|32＋42＝3.结合图形可知，圆上恰好有两点到直线3x ＋4y －15＝0的距离为2的充要条件是|r －3|<2，即1<r <5，由题意知a ＝1，b ＝5，所以圆心为(1,5)，则圆心(1,5)到直线4x －3y ＋1＝0的距离为|4×1＋5×－3＋1|42＋－32＝2.所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y －5)2＝4.] 题型三| 直线与圆、圆与圆的位置关系(1)(2016·苏中三市二调)在平面直角坐标系xOy 中，过点P (－2,0)的直线与圆x 2＋y 2＝1相切于点T ，与圆(x －a )2＋(y －3)2＝3相交于点R ，S ，且PT ＝RS ，则正数a 的值为________．(2)(2016·南京三模)在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：(x －a )2＋(y ＋a －3)2＝1(a ＞0)，点N 为圆M 上任意一点．若以N 为圆心，ON 为半径的圆与圆M 至多有一个公共点，则a 的最小值为________．(1)4 (2)3 [(1)由题意得PT ＝22－1＝3，k PT ＝33，PT ：y ＝33(x ＋2)，即x －3y ＋2＝0，又RS ＝PT ＝3，所以圆(x －a )2＋(y －3)2＝3的圆心到直线PT 的距离为3－⎝⎛⎭⎪⎫322＝32，从而|a －1|2＝32，因此正数a 的值为4. (2)由题意得圆N 与圆M 内切或内含，即MN ≤ON －1⇒ON ≥2，又ON ≥OM －1，所以OM ≥3.a 2＋a －32≥3⇒a ≥3或a ≤0(舍)．因此a 的最小值为3.]【名师点评】 1.与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，及半弦长l2构成直角三角形的关系来处理．2．讨论点与圆、直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．1．已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.4±15 [由△ABC 为等边三角形知，圆心C 到直线AB 的距离为3，所以|a ＋a －2|a 2＋1＝3，解得a ＝4±15.]2．已知方程x 2＋x tan θ－1sin θ＝0有两个不等实根a 和b ，那么过点A (a ，a 2)，B (b ，b 2)的直线与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是________．相切 [可求出过A ，B 两点的直线方程为(a ＋b )x －y －ab ＝0， 圆心到直线AB 的距离为d ＝|ab |a ＋b 2＋1，而a ＋b ＝－1tan θ，ab ＝－1sin θ，因此d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1sin θ1tan 2θ＋1，化简后得d ＝1，故直线与圆相切．]3．已知圆x 2＋y 2＝4，点M (4,0)，过原点的直线(不与x 轴重合)与圆O 交于A ，B 两点，则△ABM 的外接圆的面积的最小值为________．254π [如图，设∠AMB 为α.在△ABM 中，∵AB ＝4，由正弦定理可知，△ABM 的外接圆半径R ＝AB2sin α＝2sin α.要使R 最小，只需sin α最大，显然当且仅当AB 与y 轴重合时，α最大，此时tan α2＝12，∴tan α＝43，sin α＝45.∴R ＝52，故△ABM 的外接圆的面积为254π.]。

（山东专版）高考数学二轮专题复习与策略第1部分专题5平面解析几何突破点13直线与圆专题限时集训理[建议A 、B 组各用时：45分钟][A 组 高考达标]一、选择题1．(2016·济南模拟)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2B ．4 2C ．6D ．210C [圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心为C (2,1)，半径为r ＝2，因此2＋a ×1－1＝0，所以a ＝－1，从而A (－4，－1)，|AB |＝|AC |2－r 2＝－4－22＋－1－12－4＝6.]2．(2016·衡水一模)已知圆x 2＋y 2＋mx －14＝0与抛物线y ＝14x 2的准线相切，则m ＝( )A ．±2 2B ．± 3 C. 2D. 3B [抛物线的准线为y ＝－1，将圆化为标准方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m 22＋y 2＝1＋m 24，圆心到准线的距离为1＝1＋m24⇒m ＝± 3.] 3．(2016·长春一模)若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上运动，则AB 的中点M 到原点的距离最小值为( )A. 2 B ．2 2 C ．3 2D ．4 2C [由题意知AB 的中点M 的集合为到直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0的距离相等的直线，则点M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M 所在的直线方程为：x ＋y ＋m ＝0，根据平行线间的距离公式得，|m ＋7|2＝|m ＋5|2，解得m ＝－6，即l ：x ＋y －6＝0，再根据点到直线的距离公式得点M 到原点的距离的最小值为|－6|2＝3 2.]4．与圆C 1：x 2＋y 2＋2x －6y －26＝0，C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋4＝0都相切的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条A [把已知两圆化为标准方程，C 1：(x ＋1)2＋(y －3)2＝36，C 2：(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，故圆心分别为C 1(－1,3)，C 2(2，－1)．两圆圆心距|C 1C 2|＝－1－22＋[3－－1]2＝5，等于两圆半径之差，故两圆相切，它们只有一条公切线．]5．(2016·湘潭二模)两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为( )【导学号：67722048】A ．1B ．3 C.19D.49A [x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0，即(x ＋a )2＋y 2＝4，x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0，即x 2＋(y －2b )2＝1，依题意可得，两圆外切，则两圆心距离等于两圆的半径之和，则a 2＋2b2＝1＋2＝3，即a 2＋4b 2＝9，所以1a 2＋1b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋4b 29＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋a 2b 2＋4b 2a 2≥19⎝⎛⎭⎪⎫5＋2a 2b 2·4b 2a 2＝1，当且仅当a 2b 2＝4b 2a2即a ＝±2b 时取等号，故选A.]二、填空题6．(2016·赤峰高三统考)已知⊙O ：x 2＋y 2＝1，若直线y ＝kx ＋2上总存在点P ，使得过点P 的⊙O 的两条切线互相垂直，则实数k 的取值范围是________．(－∞，－1]∪[1，＋∞) [因为圆心为O (0,0)，半径R ＝1. 设两个切点分别为A ，B ，则由题意可得四边形PAOB 为正方形， 故有PO ＝2R ＝2，由题意知圆心O 到直线y ＝kx ＋2的距离小于或等于PO ＝2，即|2|1＋k2≤2，即1＋k 2≥2，解得k ≥1或k ≤－1.]7．(2016·合肥一模)设点P 在直线y ＝2x ＋1上运动，过点P 作圆(x －2)2＋y 2＝1的切线，切点为A ，则切线长|PA |的最小值是________．2 [圆心C (2,0)到直线2x －y ＋1＝0的距离d ＝5，所以|PA |＝|PC |2－1≥d 2－1＝2.]8．(2016·长沙二模)若直线l 1：y ＝x ＋a 和直线l 2：y ＝x ＋b 将圆(x －1)2＋(y －2)2＝8分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________.18 [由题意得直线l 1：y ＝x ＋a 和直线l 2：y ＝x ＋b 截得圆的弦所对圆周角相等，皆为直角，因此圆心到两直线距离皆为22r ＝2，即|1－2＋a |2＝|1－2＋b |2＝2⇒a 2＋b 2＝(22＋1)2＋(－22＋1)2＝18.]三、解答题9．(2016·南昌一模)已知圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，点A (3,5)． (1)求过点A 的圆的切线方程；(2)O 点是坐标原点，连接OA ，OC ，求△AOC 的面积S .[解] (1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，配方得(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆心C (2,3).2分当斜率存在时，设过点A 的圆的切线方程为y －5＝k (x －3)， 即kx －y ＋5－3k ＝0.由d ＝|2k －3＋5－3k |k 2＋1＝1，得k ＝34.4分又斜率不存在时直线x ＝3也与圆相切，5分 故所求切线方程为x ＝3或3x －4y ＋11＝0.6分 (2)直线OA 的方程为y ＝53x ，即5x －3y ＝0，8分点C 到直线OA 的距离为d ＝|5×2－3×3|52＋32＝134.10分 又|OA |＝32＋52＝34，∴S ＝12|OA |d ＝12.12分10．(2016·洛阳一模)已知点P (0,5)及圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0. (1)若直线l 过点P 且被圆C 截得的线段长为43，求l 的方程； (2)求过P 点的圆C 的弦的中点的轨迹方程． [解] (1)如图所示，|AB |＝43，将圆C 方程化为标准方程为(x ＋2)2＋(y －6)2＝16，2分所以圆C 的圆心坐标为(－2,6)，半径r ＝4，设D 是线段AB 的中点，则CD ⊥AB ，所以|AD |＝23，|AC |＝4，C 点坐标为(－2,6)． 在Rt △ACD 中，可得|CD |＝2.若直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为y －5＝kx ，即kx －y ＋5＝0. 由点C 到直线AB 的距离公式：|－2k －6＋5|k 2＋－12＝2，得k ＝34.故直线l 的方程为3x －4y ＋20＝0.4分直线l 的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x ＝0.6分 所以所求直线l 的方程为x ＝0或3x －4y ＋20＝0.7分 (2)设过P 点的圆C 的弦的中点为D (x ，y )， 则CD ⊥PD ，即CD →·PD →＝0，所以(x ＋2，y －6)·(x ，y －5)＝0，10分化简得所求轨迹方程为x 2＋y 2＋2x －11y ＋30＝0.12分[B 组 名校冲刺]一、选择题1．(2016·淄博模拟)已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (－2,3)，B (－2，－1)，C (6，－1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则该圆的方程为( )A ．x 2＋y 2＝1 B ．x 2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2＝4D ．x 2＋y 2＝1或x 2＋y 2＝37D [如图，易知AC 所在直线的方程为x ＋2y －4＝0. 点O 到直线x ＋2y －4＝0的距离d ＝|－4|5＝455＞1，OA ＝－22＋32＝13，OB ＝－22＋－12＝5，OC ＝62＋－12＝37，∴以原点为圆心的圆若与三角形ABC 有唯一的公共点，则公共点为(0，－1)或(6，－1)，∴圆的半径为1或37，则该圆的方程为x 2＋y 2＝1或x 2＋y 2＝37.故选D.]2．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为( )A. 5B ．5C ．2 5D ．10B [由题意，知圆心M 的坐标为(－2，－1)，所以－2a －b ＋1＝0. 因为(a －2)2＋(b －2)2表示点(a ，b )与(2,2)的距离的平方， 而a －22＋b －22的最小值为|4＋2－1|4＋1＝5，所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5.故选B.]3．命题p ：4＜r ＜7，命题q ：圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2(r ＞0)上恰好有两个点到直线4x －3y ＝2的距离等于1，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [因为圆心(3，－5)到直线4x －3y ＝2的距离等于5，所以圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r2上恰好有两个点到直线4x －3y ＝2的距离等于1时，4＜r ＜6，所以p 是q 的必要不充分条件．]4．(2016·兰州二模)已知直线x ＋y －k ＝0(k ＞0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 为坐标原点，且有|OA →＋OB →|≥33|AB →|，则k 的取值范围是( ) A ．(3，＋∞) B ．[2，22) C ．[2，＋∞)D ．[3，22)B [由已知得圆心到直线的距离小于半径，即|k |2＜2，由k ＞0，得0＜k ＜2 2.①如图，又由|OA →＋OB →|≥33|AB →|，得|OM |≥33|BM |⇒∠MBO ≥π6，因|OB |＝2，所以|OM |≥1，故|k |1＋1≥1⇒k ≥ 2.②综①②得2≤k ＜2 2.] 二、填空题5．已知直线x ＋y －a ＝0与圆x 2＋y 2＝2交于A ，B 两点，O 是坐标原点，向量OA →，OB →满足|2OA →－3OB →|＝|2OA →＋3OB →|，则实数a 的值为________.【导学号：67722049】± 2 [由|2OA →－3OB →|＝|2OA →＋3OB →|得 OA →·OB →＝0，即OA ⊥OB ，则直线x ＋y －a ＝0过圆x 2＋y 2＝2与x 轴，y 轴正半轴或负半轴的交点，故a ＝± 2.]6．(2016·滨州二模)在平面直角坐标系xOy 中，以点(2,1)为圆心且与直线mx ＋y －2m ＝0(m ∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．(x －2)2＋(y －1)2＝1 [直线mx ＋y －2m ＝0过定点(2,0)，则以点(2,1)为圆心且与直线mx ＋y －2m ＝0(m ∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的半径为1，∴半径最大的圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.]三、解答题7．已知半径为2，圆心在直线y ＝－x ＋2上的圆C .(1)当圆C 经过点A (2,2)，且与y 轴相切时，求圆C 的方程；(2)已知E (1,1)，F (1，－3)，若圆C 上存在点Q ，使|QF |2－|QE |2＝32，求圆心的横坐标a 的取值范围．[解] (1)∵圆心在直线y ＝－x ＋2上，半径为2， ∴可设圆的方程为(x －a )2＋[y －(－a ＋2)]2＝4，2分 其圆心坐标为(a ，－a ＋2)．∵圆C 经过点A (2,2)，且与y 轴相切，∴有⎩⎪⎨⎪⎧2－a 2＋[2－－a ＋2]2＝4，|a |＝2，解得a ＝2，4分∴圆C 的方程是(x －2)2＋y 2＝4.5分 (2)设Q (x ，y )，由|QF |2－|QE |2＝32，得(x －1)2＋(y ＋3)2－[(x －1)2＋(y －1)2]＝32， 解得y ＝3，∴点Q 在直线y ＝3上.7分又∵点Q 在圆C ：(x －a )2＋[y －(－a ＋2)]2＝4上， ∴圆C 与直线y ＝3必须有公共点． ∵圆C 圆心的纵坐标为－a ＋2，半径为2， ∴圆C 与直线y ＝3有公共点的充要条件是 1≤－a ＋2≤5，即－3≤a ≤1.10分∴圆心的横坐标a 的取值范围是[－3,1].12分8．已知△ABC 的三个顶点A (－1,0)，B (1,0)，C (3,2)，其外接圆为⊙H . (1)若直线l 过点C ，且被⊙H 截得的弦长为2，求直线l 的方程；(2)对于线段BH 上的任意一点P ，若在以点C 为圆心的圆上都存在不同的两点M ，N ，使得点M 是线段PN 的中点，求⊙C 的半径r 的取值范围．[解] (1)线段AB 的垂直平分线方程为x ＝0，线段BC 的垂直平分线方程为x ＋y －3＝0，所以外接圆圆心为H (0,3)，半径为－12＋32＝10，⊙H 的方程为x 2＋(y －3)2＝10.设圆心H 到直线l 的距离为d ，因为直线l 被⊙H 截得的弦长为2，所以d ＝10－1＝3.3分当直线l 垂直于x 轴时，显然符合题意，即x ＝3为所求；4分当直线l 不垂直于x 轴时，设直线方程为y －2＝k (x －3)，则|3k ＋1|1＋k2＝3，解得k ＝43，直线方程为4x －3y －6＝0.综上，直线l 的方程为x ＝3或4x －3y －6＝0.5分 (2)直线BH 的方程为3x ＋y －3＝0， 设P (m ，n )(0≤m ≤1)，N (x ，y )， 因为点M 是线段PN 的中点， 所以M ⎝⎛⎭⎪⎫m ＋x 2，n ＋y 2，又M ，N 都在半径为r 的⊙C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －32＋y －22＝r 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋x 2－32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋y 2－22＝r 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x －32＋y －22＝r 2，x ＋m －62＋y ＋n －42＝4r 2.7分因为该关于x ，y 的方程组有解，即以(3,2)为圆心，r 为半径的圆与以(6－m,4－n )为圆心， 2r 为半径的圆有公共点，所以(2r －r )2≤(3－6＋m )2＋(2－4＋n )2≤(r ＋2r )2，8分 又3m ＋n －3＝0，所以r 2≤10m 2－12m ＋10≤9r 2对∀m ∈[0,1]成立．而f (m )＝10m 2－12m ＋10在[0,1]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤325，10，故r 2≤325且10≤9r 2.10分又线段BH 与圆C 无公共点，所以(m －3)2＋(3－3m －2)2＞r 2对∀m ∈[0,1]成立， 即r 2＜325.故⊙C 的半径r 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫103，4105.12分。