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相似三角形的判定和判定方法1.边长比较法：通过比较两个三角形的各个边长，可以判断它们是否相似。
如果两个三角形的对应边长成比例关系，即每对对应边长之比相等，那么这两个三角形是相似的。
比如，如果一个三角形的边长是另一个三角形的边长的两倍，那么这两个三角形就是相似的。
2.角度比较法：通过比较两个三角形的各个角度，可以判断它们是否相似。
如果两个三角形的对应角度相等（或互为对应角的补角），那么这两个三角形是相似的。
比如，如果一个三角形的一对内角是另一个三角形的一对内角的两倍，那么这两个三角形就是相似的。
3.角边比较法：通过比较两个三角形的一个角和对边的比值，可以判断它们是否相似。
如果两个三角形的一个角相等，并且对应边长之比相等，那么这两个三角形是相似的。
比如，如果一个三角形的一个角是60度，它的对边长是另一个三角形的一个角是30度，它的对边长的两倍，那么这两个三角形就是相似的。
4.比例关系法：通过使用相似三角形的比例关系，可以判断两个三角形是否相似。
根据数学原理，如果两个三角形的对应边长之比相等，那么它们是相似的。
这个比例关系可以表示为：AB/DE=BC/EF=AC/DF其中AB、BC、AC分别是一个三角形的三条边长，DE、EF、DF分别是另一个三角形的对应边长。
如果这个比例关系满足，那么这两个三角形就是相似的。
需要注意的是，相似三角形的判定必须满足两个条件：对应角度相等（或互为对应角的补角），以及对应边长成比例关系。
如果只满足其中一个条件，那么这两个三角形不是相似的。
此外，还可以根据相似三角形的性质解决一些图像类问题，比如计算物体在投影变换下的大小、角度等。
在计算机图形学和计算机视觉领域，相似三角形的概念被广泛应用于图像识别、图像重建等算法中。
总之，判定两个三角形是否相似有多种方法，包括比较边长、角度和使用比例关系。
通过这些方法，可以解决一些几何和图像问题，应用广泛。
三角形相似的判定方法一1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似． 特殊、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． 注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高， 则AD 2=BD ·DC ，AB 2=BD ·BC ，AC 2=CD ·BC 。
二 相似三角形常见的图形三、1，下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。
（有“反A 共角型”、“反A 共角共边型”、 “蝶型”）ACD E 12AADDEE12412DBCEAD(3)BCAE (2)CB（3） 如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”）(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形。
(一)类似三角形1.界说：对应角相等,对应边成比例的两个三角形,叫做类似三角形．①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等,且三条对应边的比相等时,这两个(或几个)三角形叫做类似三角形,即界说中的两个前提,缺一不成;②类似三角形的特点：外形一样,但大小不必定相等;③类似三角形的界说,可得类似三角形的基赋性质：对应角相等,对应边成比例．2.类似三角形对应边的比叫做类似比．①全等三角形必定是类似三角形,其类似比k=1．所以全等三角形是类似三角形的特例．其差别在于全等请求对应边相等,而类似请求对应边成比例．②类似比具有次序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比,即类似比为k,则△A′B′C′∽△ABC的类似比,当它们全等时,才有k=k′=1．③类似比是一个主要概念,后继进修时消失的频率较高,其本质它是将一个图形放大或缩小的倍数,这一点借助类似三角形可不雅察得出．3.假如两个边数雷同的多边形的对应角相等,对应边成比例,那么这两个多边形叫做类似多边形．4.类似三角形的准备定理：平行于三角形的一条边直线,截其它双方地点的直线,截得的三角形与原三角形类似．①定理的根本图形有三种情形,如图其符号说话：∵DE ∥BC,∴△ABC ∽△ADE;（双A型）②这个定理是用类似三角形界说推导出来的三角形类似的剖断定理．它不单本身有着普遍的应用,同时也是证实类似三角形三个剖断定理的基本,故把它称为“准备定理”;③有了准备定理后,在解题时不单要想到 “见平行,想比例”,还要想到“见平行,想类似”．(二)类似三角形的剖断1.类似三角形的剖断：剖断定理1：假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形类似.可简略说成：两角对应相等,两三角形类似.例1.已知：如图,∠1=∠2=∠3,求证：△ABC ∽△ADE ．例2.如图,E.F 分离是△ABC 的边BC 上的点,DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF.剖断定理2：假如三角形的两组对应边的比相等,并且响应的夹角相等,那么这两个三角形类似. AB CD E F 第4简略说成：双方对应成比例且夹角相等,两三角形类似．例1.△ABC中,点D在AB上,假如AC2=AD•AB,那么△ACD与△ABC类似吗？说说你的来由．例2.如图,点C.D在线段AB上,△PCD是等边三角形.（1）当AC.CD.DB知足如何的关系时,△ACP∽△PDB？（2）当△ACP∽△PDB时,求∠APB的度数.剖断定理3：假如三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形类似.简略说成：三边对应成比例,两三角形类似．强调：①有平行线时,用准备定理;②已有一对对应角相等(包含隐含的公共角或对顶角)时,可斟酌应用剖断定理1或剖断定理2;③已有双方对应成比例时,可斟酌应用剖断定理2或剖断定理3．但是,在选择应用剖断定理2时,一对对应角相等必须是成比例双方的夹角对应相等．2.直角三角形类似的剖断：斜边和一条直角边对应成比例,两直角三角形类似．例1.已知：如图,在正方形ABCD中,P是BC上的点,且BP＝3PC,Q 是CD的中点．求证：△ADQ∽△QCP．例 2.如图,AB⊥BD,CD⊥BD,P为BD上一动点,AB=60 cm,CD=40 cm,BD=140 cm,当P点在BD上由B点向D点活动时,PB的长知足什么前提,可以使图中的两个三角形类似?请解释来由.例3.如图AD⊥AB于D,CE⊥AB于E交AB于F,则图中类似三角形的对数有对.例 4.已知：AD是Rt△ABC中∠A的等分线,∠C=90°,EF是AD的垂直等分线交AD于M,EF.BC的延伸线交于一点N.求证：(1)△AME∽△NMD(2)ND2=NC·NB①因为直角三角形有一个角为直角,是以,在剖断两个直角三角形类似时,只需再找一对对应角相等,用剖断定理1,或两条直角边对应成比例,用剖断定理2,一般不必剖断定理3剖断两个直角三角形类似;②如图是一个十分主要的类似三角形的根本图形,图中的三角形,可称为“母子类似三角形”,其应用较为普遍．（直角三角形被斜边上的高分成的两个直三角形的与原三角形类似）③如图,可简略记为：在Rt△ABC中,CD⊥AB,则△ABC∽△CBD ∽△ACD．④填补射影定理.特别情形：第一：顶角（或底角）相等的两个等腰三角形类似.第二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形类似.第三：有一个锐角相等的两个直角三角形类似.第四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形类似.第五：假如一个三角形的双方和个中一边上的中线与另一个三角形的双方和个中一边上的中线对应成比例,那么这两个三角形类似.三角形类似的剖断办法与全等的剖断办法的接洽列表如下：类型斜三角形直角三角形全等三角形的剖断SAS SSS AAS（ASA）HL类似三角形的剖断双方对应成比例夹角相等三边对应成比例两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例二.重点难点疑点冲破1.查找类似三角形对应元素的办法与技能准确查找类似三角形的对应元素是剖析与解决类似三角形问题的一项根本功．平日有以下几种办法：(1)类似三角形有公共角或对顶角时,公共角或对顶角是最显著的对应角;类似三角形中最大的角(或最小的角)必定是对应角;类似三角形中,一对相等的角是对应角,对应角所对的边是对应边,对应角的夹边是对应边;(2)类似三角形中,一对最长的边(或最短的边)必定是对应边;对应边所对的角是对应角;对应边所夹的角是对应角．（3）对应字母要写在对应的地位上,可直接得出对应边,对应角.2.罕有的类似三角形的根本图形：进修三角形类似的剖断,要与三角形全等的剖断比拟较,把证实三角形全等的思惟办法迁徙到类似三角形中来;对一些消失频率较高的图形,要擅长归纳和记忆;对类似三角形的剖断思绪要擅长总结,形成一整套完全的剖断办法．如：(1)“平行线型”类似三角形,根本图形见前图．“见平行,想类似”是解这类题的根本思绪;(2)“订交线型”类似三角形,如上图．个中各图中都有一个公共角或对顶角．“见一对等角,找另一对等角或夹等角的双方成比例”是解这类题的根本思绪;(3)“扭转型”类似三角形,如图．若图中∠1=∠2,∠B=∠D(或∠C=∠E),则△ADE∽△ABC,该图可算作把第一个图中的△ADE 绕点A扭转某一角度而形成的．从根本图形入手能较顺遂地找到解决问题的思绪和办法,能帮忙我们尽快地找到添加的帮助线．以上“平行线型”是罕有的,这类类似三角形的对应元素有较显著的次序,“订交线型”识图较艰苦,解题时要留意从庞杂图形平分化或添加帮助线结构出根本图形．演习：1.如图,下列每个图形中,存不消失类似的三角形,假如消失,把它们用字母暗示出来,并扼要解释识此外依据.2.如图27-2-1-12,在大小为4×4的正方形方格中,△ABC的极点A,B,C在单位正方形的极点上,请在图中画一个△A1B1C1,使△A1B1C1∽△ABC(类似比不为1),且点A1,B1,C1都在单位正方形的极点上.图27-2-1-121.查找类似三角形的个数例 1.(吉林)将两块完全雷同的等腰直角三角形摆成如图的样子,假设图形中所有点.线都在统一平面内,答复下列问题：(1)图中共有若干个三角形？把它们一一写出来;(2)图中有类似(不包含全等)三角形吗？假如有,就把它们一一写出来．如图,△ABC 中,点D.E 分离在边AB.AC 上,衔接并延伸DE 交BC 的延伸线于点F,衔接DC.BE,若∠BDE ＋∠BCE ＝180°.⑴写出图中3对类似三角形（留意：不得添加字母和线）⑵请在你所找出的类似三角形中拔取1对,解释它们类似的来由.1.如图,在正方形网格上有6个三角形：①ABC ∆,②BCD ∆,③BDE ∆,④BFG ∆,⑤FGH ∆,⑥EFK ∆,个中②-⑥中与①类似的是.2.画相符请求的类似三角形例1.(上海)在大小为4×4的正方形方格中,△ABC 的极点A.B.C 在单位正方形的极点上,请在图中画出一个△A 1B 1C 1,使得△A 1B 1C 1∽△ABC(类似比不为1),且点A 1.B 1.C 1都在单位正方形的极点上．3.类似三角形的剖断例1.(1)如图,O 是△ABC 内任一点,D.E.F 分离是OA.OB.OC 的中点,FE D B A C求证：△DEF ∽△ABC;(2)如图,正方形ABCD 中,E 是BC 的中点,DF=3CF,写出图中所有类似三角形,并证实．例2.如图,在△ABC 中,DF 经由△ABC 的重心G,且DF∥AB,DE∥AC,衔接EF,假如BC=5,AC=2AB.求证:△DEF∽△ABC4.直角三角形中类似的剖断例1.如图,△ABC 中,∠BAC =90°,AD ⊥BC 于D ,DE 为AC 的中线,延伸线交AB 的延伸于F ,求证：AB ·AF=AC ·DF .例2.已知：如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D,E 是AC 上一点,CF ⊥BE 于F.求证：EB ·DF=AE ·DB5.类似三角形的分解应用例1.如图,CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的中线,过点D 垂直于AB 的直线交BC 于E,交AC 延伸线于F ．求证：(1)△ADF ∽△EDB;(2)CD 2=DE·DF．例 2.如图,AD 是△ABC 的角等分线,BE ⊥AD 于E,CF ⊥AD 于F ． 求证：． 例3.如图,在正方形ABCD 中,M.N 分离是AB.BC 上的点,BM=BN,BP ⊥MC 于点P ．求证： PN ⊥PD ．6.类似三角形中帮助线的添加（1）.作垂线C B AF ED G3.如图从 ABCD极点C向AB和AD的延伸线引垂线CE和CF,垂足分离为E.F,（2）.作延伸线例1. 如图中,CD为斜边AB上的高,E为CD的中点,AE 的延伸线交BC于于G,求证：（3）.作中线例1. 如图,AB⊥AC,AE⊥BC于E,D在AC边上,若BD=DC=EC=1,求AC.演习：是AB上一点,Q是PC上一点（不是中点）,MN过Q且MN⊥CP,交AC.BC于M.N,求证：2.. 来由？3.(2009年湖北武汉)如图1,,（1（2,如图2,;（3,BBA ACEDDECOF图1 图2F。
1.2 如何判断三角形相似（1）教课目标【知识与能力】1．认识平行线分线段成比率基本领实及其推论..2．会用平行线分线段成比率解决实质问题.【过程与方法】借助方格纸，经过观察、计算，由特别到一般地逐渐归纳、猜想，从而明确平行线分线段成比率的基本领实；而后把这一基本领实特别化（应用在三角形中），获取推论，为后边证明相似三角形的判断基本领实做准备.【感情态度价值观】掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力课前准备课件、方格纸 .教课过程1.情形导入梯子是我们生活中常有的工具 .如图是一个生产过程中不合格的左右不对称的梯子的简图，经丈量，AB＝ BC＝ CD，AA1∥BB1∥ CC1∥ DD1，那么 A1B1和 B1 C1相等吗？2.新知研究在图 4-6 中，小方格的边长均为1，直线l1∥l2∥l3，分别交直线m，n与格点 A1，A2，A3，B1，B2，B3.图 4-6（1）计算A1A2与B1B2的值，你有什么发现？A2 A3B2B3（ 2）将4-7,l 2A1, B2l 2向下平移到如图的地址，直线的交点分别为m n 与你在问题（ 1）中发现结论还成立吗？假如将l 2平移到其余地址呢？（ 3）在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比率吗？3.分组谈论，得出结论平行线分线段成比率基本领实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比率.4. 想想（一）假如把图 1 中l1 ,l 2两条直线订交，交点 A 刚落到 l 3上，如图 2 所得的对应线段的比会相等吗？依照是什么？（二）假如把图 1 中l1 , l2两条直线订交，交点 A 刚落到l 4上，如图2（ 2）所得的对应线段的比会相等吗？依照是什么？得出结论：（推论）平行于三角形一边的直线与其余两边( 或两边的延长线 ) 订交，截得的对应线段成比例.5.例题学习研究点一：平行线分线段成比率如图，直线l 1∥ l 2∥ l 3，直线 AC分别交这三条直线于点A，B， C，直线 DF分别交7这三条直线于点D，E， F，若 AB＝3， DE＝， EF＝4，求 BC的长.2解：∵直线 l∥ l∥l7，且 AB＝ 3， DE＝2， EF＝ 4，123∴依据平行线分线段成比率可得AB DE＝，BC EF即＝EF＝424·7×3＝ .BC DE AB72方法总结：利用平行线分线段成比率求线段长的方法：先确立图中的平行线，由此联想到线段之间的比率关系，结合待求线段和已知线段写出一个含有它们的比率关系式，构造出方程，解方程求出待求线段长 .以以下图，直线l 1∥ l 2∥l3，以下比率式中成立的是（）A.AD CEB.AD BC ＝BC＝DF BE AFC.CE ADD.AF BE ＝BC＝DF DF CE分析：由均分线分线段成比率可知AD BC AD AF＝，故 A 选项不成立；由＝可知 B 选项不行DF CE BC BE立；由CE BC＝可知 C 选项不成立； D选项成立 . 应选 D. DF AD方法总结：应用平行线分线段成比率获取的比率式中，四条线段与两条直线的交点地址上上上上下下上下全没关，要点是线段的对应，可简记为：“下＝下，全＝全，全＝全”或“上＝下＝全”.研究点二：平行线分线段成比率的推论以以下图，在△ ABC中，点 D，E 分别在 AB，AC边上， DE∥ BC，若 AD：AB＝3∶4，＝ 6，则等于（）AE ACA.3B.4C.6D.8分析：由∥可得AD AE36＝ 8.应选 D.＝，即＝，∴DE BC AB AC4AC AC易错提示：在由平行线推出成比率线段的比率式时，要注意它们的互相地址关系，比率式不可以写错，要把对应的线段写在对应的地址上.如图，在△ ABC的边 AB上取一点 D，在 AC上取一点 E，使得 AD＝ AE，直线 DE和BP BD的延长线订交于，求证：＝ .BC P CP CE分析：本题没法直接证明，分析所要求证的等式中，有BP： CP，又含有 BD，故可考虑过点 C作 PD的平行线 CF，便可以构造出BP BD＝，此时只需证得 CE＝ DF即可. CP DF证明：如图，过点C作 CF∥ PD交 AB于点 F，则BP BD AD AE＝，＝ .CP DF DF CE BP BD∵AD＝AE，∴ DF＝ CE，∴ ＝.CP CE方法总结：证明四条线段成比率时，假如图形中有平行线，则可以直接应用平行线分线段成比率的基本领实以及推论获取相关比率式. 假如图中没有平行线，则需构造辅助线创立平行条件，再应用平行线分线段成比率的基本领实及其推论获取相关比率式.6.课时小结平行线分线段成比率基本领实：(1)两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比率（要点要能熟练地找出对应线段）(2) 平行于三角形一边的直线与其余两边( 或两边的延长线) 订交，截得的对应线段成比例.。
三角形相似的判定方法三角形相似的判定方法一1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．特殊、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则AD=BD·DC，AB=BD·BC ，AC=CD·BC 。
22二相似三角形常见的图形三、1，下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：BC（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A型”与“X型”图）(2)B(3)(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。
（有“反A共A角型”、“反A共角共边型”、“蝶型”）A4DCDEADE1E（3）如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”DEB(D)B(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。
