2019-2020学年辽宁省沈阳市铁西区九年级上学期期末考试数学试卷及答案解析

每日一学：辽宁省沈阳市铁西区2019届九年级上学期数学期末考试试卷_压轴题解答答案辽宁省沈阳市铁西区2019届九年级上学期数学期末考试试卷_压轴题~~ 第1题 ~~(2019铁西.九上期末) 如图，抛物线y ＝ x +bx+c 过点A （2，0）和B （3，3）.（1） 求抛物线的表达式；（2） 点M 在第二象限的抛物线上，且∠MBO ＝∠ABO.①直线BM 交x 轴于点N ，求线段ON 的长；②延长BO 交抛物线于点C ，点P 是平面内一点，连接PC 、OP ，当△POC ∽△MOB 时，请直接写出点P 的坐标.考点： 待定系数法求二次函数解析式;二次函数的实际应用-几何问题;~~ 第2题 ~~(2019铁西.九上期末) 如图，抛物线C ：y ＝x ﹣2x ﹣3与x 轴交于A 、B 两点，点A 在点B 的左侧，将抛物线C 向上平移1个单位得到抛物线C ， 点Q （m ，n ）在抛物线C 上，其中m ＞0且n ＜0，过点P 作PQ ∥y 轴交抛物线C 于点P ，点M 是x 轴上一点，当以点P 、Q 、M 为顶点的三角形与△AOQ 全等时，点M 的横坐标为________.~~ 第3题 ~~(2017汶上.八下期末) 已知四边形ABCD 是平行四边形，再从①AB=BC ，②∠ABC=90°，③AC=BD ，④AC ⊥BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD 是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ）A . 选①②B . 选①③C . 选②④D . 选②③辽宁省沈阳市铁西区2019届九年级上学期数学期末考试试卷_压轴题解答~~ 第1题 ~~答案：2121221解析：答案：解析：~~ 第3题 ~~答案：D解析：。

2019-2020学年九年级（上）期末数学试卷一．选择题（共10小题）1.在比例尺为1：n的某市地图上，A，B两地相距5cm，则A，B之间的实际距离为（）A. 15n cm B.1252n cm C. 5ｎcm D. 252n cm【答案】C【解析】【详解】设A、B之间的实际距离为xcm，则1：n=5：x，解得x=5ncm，故选C．点睛：本题考查了比例尺的性质，解题的关键是根据比例尺的性质列方程，解方程即可，注意统一单位．2.如图，是由四个完全相同的小正方形组成的立体图形，它的俯视图是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案．【详解】解：从上边看第一层一个小正方形，第二层在第一层的正上方一个小正方形，右边一个小正方形，故选B．【点睛】简单组合体的三视图．从上边看得到的图形是俯视图．3.有三张正面分别写有数字1，2，﹣3的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，记录卡片上的数字，然后放回卡片，再将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，记录卡片上的数字，则记录的两个数字乘积是正数的概率是（）A. 12B.13C.23D.59【答案】D【解析】【分析】可用列树状图的方法分析出共有几种情况，再找出符合题意的情况即可得出答案. 【详解】根据题意画图如下：由树状图知，共有9种等可能结果，其中两个数字乘积是正数的有5种，则记录的两个数字乘积是正数的概率是59；故选：D．【点睛】本题考查的是概率的问题，能够画出树状图分析出具体情况是解题的关键.4.若菱形的一条边长为5cm，则这个菱形的周长为（）A. 20cmB. 18cmC. 16cmD. 12cm【答案】A【解析】【分析】根据菱形的性质可知菱形四边都相等，继而可求周长.【详解】∵菱形的四条边都相等，∴其边长都为5cm，∴菱形的周长＝4×5＝20cm．故选：A．【点睛】本题考查的是菱形的性质和周长，能够知道菱形四边都相等是解题的关键.5.一元二次方程()2x616+=可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x64+=，则另一个一元一次方程是【 】A. x 64-=-B. x 64-=C. x 64+=D. x 64+=-【答案】D【解析】将()2x 616+=两边开平方，得x 64+=±，则则另一个一元一次方程是x 64+=-．故选D ． 6.如图，ABC ∆中，D 、E 分别在AB 、AC 上，下列条件中不能判断ADE ACB ∆∆:的是（ ）A. ADE C ∠=∠B. AED B ∠=∠C. AD AE AC AB =D. AD DE AC BC= 【答案】D【解析】【分析】 根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可．【详解】解：A.∠ADE=AC ，∠A=∠A ，则可判断△ADE ∽△ACB ，故此选项错误；B. AED B ∠=∠，∠A=∠A ，则可判断△ADE ∽△ACB ，故此选项错误；C.AD AE ACAB =，且夹角∠A=∠A ，能确定△ADE ∽△ACB ，故此选项错误； D. AD DE AC BC=，不能判定△ADE ∽△ACB ，故此选项正确. 故选：D. 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．7.公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m ，另一边减少了2m ，剩余空地的面积为18m 2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm ，则可列方程为（ ）A. （x+1）（x+2）=18B. x 2﹣3x+16=0C. （x ﹣1）（x ﹣2）=18D. x 2+3x+16=0【答案】C【解析】 【详解】试题分析：可设原正方形的边长为xm ，则剩余的空地长为（x ﹣1）m ，宽为（x ﹣2）m ．根据长方形的面积公式列方程可得()()-1-2x x =18．故选C ．考点：由实际问题抽象出一元二次方程．8.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC 的顶点A ，B 分别在x 轴，y 轴的负半轴上，∠ABC ＝90°，CA ⊥x 轴，点C 在函数y ＝k x（x ＜0）的图象上，若AB ＝1，则k 的值为（ ）A. 1B. ﹣1 2 D. 2-【答案】A【解析】【分析】 根据“等腰直角三角形ABC 的顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的负半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x 轴，AB ＝1”可知∠BAC＝∠BAO＝45°，继而可知OA ，OB 与AC 的长，从而可以确定点C 的坐标，然后根据点C 在函数图像上，代入求解即可.【详解】∵等腰直角三角形ABC 顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的负半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x 轴，AB ＝1，∴∠BAC＝∠BAO＝45°，∴OA＝OB ＝22，AC ＝2， ∴点C 的坐标为222⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝，， ∵点C 在函数()0k y x x=<的图象上， ∴()2212k =-⨯-=， 故选：A ．【点睛】本题考查的是直角三角形与坐标的关系和反比例函数，能够确定点C 的坐标是解题的关键.9.在一个不透明的袋子里装有3个黑球和若干白球，它们除颜色外都相同．在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计其中白球数，采用如下办法：随机从中摸出一球，记下颜色后放回袋中，充分摇匀后，再随机摸出一球，记下颜色，…不断重复上述过程．小明共摸100次，其中20次摸到黑球．根据上述数据，小明估计口袋中白球大约有（ ）A. 10个B. 12 个C. 15 个D. 18个【答案】B【解析】试题分析：小明共摸了100次，其中20次摸到黑球，则有80次摸到白球；摸到黑球与摸到白球的次数之比为1：4，由此可估计口袋中黑球和白球个数之比为1：4；即可计算出白球数．解：∵小明共摸了100次，其中20次摸到黑球，∴有80次摸到白球，∴摸到黑球与摸到白球的次数之比为1：4，∴口袋中黑球和白球个数之比为1：4，3÷=12（个）． 故选B ．点评：本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．10.二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，且a ≠0）的图象如图所示，图象与x 轴交点都在点（﹣3，0）的右边，下列结论：①b 2＞4ac ，②abc ＞0，③2a +b ﹣c ＞0，④a +b +c ＜0，其中正确的是（ ）A. ①②B. ①②④C. ②③D. ①②③④【答案】B【解析】【分析】 根据图像与x 轴的交点个数可知二次函数有两个不相等的实数根，所以V >0，可判断①；根据图像开口放向，对称轴与y 轴的关系和与y 轴的交点在正半轴可判断a ，b ，c 的正负，从而可以判断②；根据对称轴为x=-1可判断③；然后即可选出答案.【详解】①由图可知，抛物线与x 轴有两个交点，则b 2﹣4ac ＞0，则b 2＞4ac ，故符合题意；②由图可知，抛物线对称轴在y 轴左侧，则a 、b 同号，即ab ＞0．又抛物线与y 轴交于正半轴，则c ＞0，所以abc ＞0，故符合题意；根据对称轴为直线x ＝﹣1，抛物线与x 轴一个交点﹣3＜x 1＜﹣2可判断④. ③由图可知，对称轴x ＝2b a＝﹣1，则b ＝2a ． ∴2a+b﹣c ＝4a ﹣c ，∵a＜0，4a ＜0，c ＞0，﹣c ＜0，∴2a+b﹣c ＝4a ﹣c ＜0，故不符合题意；④∵对称轴为直线x ＝﹣1，抛物线与x 轴一个交点﹣3＜x 1＜﹣2，∴抛物线与x 轴另一个交点0＜x 2＜1，当x ＝1时，y ＝a+b+c ＜0，故符合题意；综上所述，正确的结论是：①②④．故选：B ．【点睛】本题考查的是二次函数图像的综合问题，能够根据二次函数图像分析出各系数的情况是解题的关键.二．填空题（共6小题）11.将二次函数245y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式为__________．【答案】22()1y x =-+【解析】【分析】利用配方法整理即可得解．【详解】解：222454()4121y x x x x x =-+=-++=-+，所以22()1y x =-+．故答案为22()1y x =-+．【点睛】本题考查了二次函数的解析式有三种形式： (1)一般式：2(y ax bx c =++0,a a b c ≠、、为常数)； (2)顶点式：2()y a x h k =-+；(3)交点式(与x 轴)：12()()y a x x x x =--．12.如图，在边长为1的正方形网格中，两个三角形的顶点都在小正方形的顶点，且两个三角形是位似图形，点O 和点P 也在小正方形的顶点，则这两个三角形的位似中心是点_____．【答案】P．【解析】【分析】把图形的对应定点连线，都相交的那个点就是位似中心.【详解】如图所示：这两个三角形的位似中心是点P．故答案为：P．【点睛】本题考查的是位似图形的位似中心，解题的关键是知道位似图形的对应点的连线相交的点就是位似中心.13.反比例函数y＝kx（k≠0）的图象上有一点P（2，n），将点P向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到点Q．若点Q也在该函数的图象上，则n＝_____．【答案】3．【解析】【分析】根据“将点P向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到点Q”可知点Q的坐标，再根据P，Q都在函数图像上即可解得n的值.【详解】∵点P的坐标为（2，n），将点P向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到点Q．∴点Q的坐标为（3，n﹣1），依题意得：k＝2n＝3（n﹣1），解得：n＝3，故答案：3．【点睛】本题考查的是反比例函数和几何变换，掌握坐标系中点的坐标向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减的变化是解题的关键.14.三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程2x-6x+8=0的解，则此三角形的第三边长是_____ 【答案】4【解析】【分析】求出方程的解，有两种情况：x=2时，看看是否符合三角形三边关系定理；x=4时，看看是否符合三角形三边关系定理；求出即可．【详解】解：x2-6x+8=0，（x-2）（x-4）=0，x-2=0，x-4=0，x1=2，x2=4，当x=2时，2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，所以x=2舍去，当x=4时，符合三角形的三边关系定理，此三角形的第三边长是4，故答案为4．【点睛】本题考查三角形的三边关系定理和解一元二次方程等知识点，关键是掌握三角形的三边关系定理，三角形的两边之和大于第三边．15.两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4.5cm．如果它们的面积和为78cm2，那么较大多边形的面积为_____cm2．【答案】54.【解析】【分析】根据位似比等于相似比，相似比的平方等于相似图形的面积比列式计算即可.【详解】设较大多边形的面积为xcm2，则较小多边形的面积为：（78﹣x）cm2，∵两个相似多边形的一组对应边长分别为3cm和4.5cm，∴x：（78﹣x）＝4.52：32，解得x＝54．故答案为：54.【点睛】本题考查的是位似与相似，知道位似比就是相似比，相似比的平方就是相似图形的面积比是解题的关键.16.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在AD边上且不与点A和点D重合，点O是对角线BD 的中点，当△OED是等腰三角形时，AE的长为_____．【答案】3310或5﹣342．【解析】【分析】分三种情况讨论：①当OE＝DE时，△OED是等腰三角形，连接OA，根据勾股定理可求BD，根据点O是中点可知OD＝OB＝OA，进而可证得△ODE∽△ADO，得到相似比即可求出答案；②DE＝OD，继而可知AE=AD-OD；③OD＝OEE与点A重合，不合题意舍去，故此可得出最终答案.【详解】①当OE＝DE时，△OED是等腰三角形，如图1，连接OA，在矩形ABCD中，CD＝AB＝3，AD＝BC＝5，∠BAD ＝90°，在Rt△ABD中，根据勾股定理得，BD34∵O是BD中点，∴OD＝OB＝OA＝342，∴∠OAD＝∠ODA，∵OE＝DE，∴∠EOD＝∠ODE，∴∠EOD＝∠ODE＝∠OAD，∴△ODE∽△ADO，∴DO DE AD DO =，∴DO 2＝DE•DA，∴设AE ＝x ，∴DE＝5﹣x ，∴234⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭＝5（5﹣x ），∴x＝3310，即：AE ＝3310；②如图2，当DE ＝OD ＝342时，当△OED 是等腰三角形， ∴AE＝534③当OD ＝OE ＝342时，当E 与点A 重合，不合题意舍去，综上所述，当△OED 是等腰三角形时，AE 的长为3310或534故答案为：3310或5-342．【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定和相似三角形的判定与性质，能够分情况讨论是解题的关键.三．解答题（共9小题）17.如果23xy=，那么+-x yx y ＝________．【答案】-5．【解析】【分析】把23x y =变形为23y x =，代入比例式即可求解答案． 【详解】解：∵23x y = ∴23y x = ∴23523y y x y y x y y ++==---． 考点：比例的性质．18.解方程:x 2－5x ＋1=0.【答案】x=2±3【解析】试题分析：先找出a ，b ，c ，求出△=b 2-4ac 的值，再代入求根公式x=242b b c a a -±-计算即可． 试题解析：∵a=1，b=−5，c=1，△=b 2−4ac=25−4=21，∴x=5212±， ∴x 1=5212+，x 2=5212-. 19. 如图，点E ，F 分别是锐角∠A 两边上的点，AE=AF ，分别以点E ，F 为圆心，以AE 的长为半径画弧，两弧相交于点D ，连接DE ，DF ．（1）请你判断所画四边形的性状，并说明理由；（2）连接EF ，若AE=8厘米，∠A=60°，求线段EF 的长．【答案】（1）详见解析（2）EF= 8【解析】【分析】（1）由AE=AF=ED=DF，根据四条边都相等的四边形是菱形，即可证得：四边形AEDF是菱形，（2）首先连接EF，由AE=AF，∠A=60°，可证得△EAF是等边三角形，则可求得线段EF的长.【详解】解：（1）菱形，理由如下：∵根据题意得：AE=AF=ED=DF，∴四边形AEDF是菱形；（2）连接EF，∵AE=AF，∠A=60°，∴△EAF是等边三角形，∴EF=AE=8厘米.20.从1，2，3，4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，请用树状图或列表法求：“关于x的一元二次方程ax2+4x+c＝0有实数根的概率．【答案】关于x的一元二次方程ax2+4x+c＝0有实数根的概率为12．【解析】【分析】根据树状图可以得出共有12种情况，再根据判别式与根的情况列式，即可得出满足条件的有6种情况，从而的得出答案.【详解】解：画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中满足△＝16﹣4ac≥0，即ac≤4的结果数有6，则关于x 的一元二次方程ax 2+4x+c ＝0有实数根的概率61122=． 【点睛】本题考查的判别式与二次方程根的情况和概率的知识，能够根据判别式与跟的关系得出ac 的范围是解题的关键.21.如图，一次函数y ＝x ﹣3的图象与反比例函数y ＝k x（k ≠0）的图象交于点A 与点B （a ，﹣4）．（1）求反比例函数的表达式；（2）一次函数y ＝x ﹣3的图象与x 轴交于点M ，连接OB ，求△OBM 的面积；（3）若动点P 是第一象限内双曲线上的点（不与点A 重合），连接OP ，且过点P 作y 轴的平行线交直线AB 于点C ，连接OC ，若△POC 的面积为3，请直接写出点P 的坐标．【答案】（1）y ＝4x ；（2）△OBM 的面积为6；（3）点P 的坐标为（5，45）或（1，4）或（2，2）． 【解析】【分析】（1）根据点B 在一次函数上可以求出点B 的坐标，在将点B 代入反比例函数中即可求出反比例表达式；（2）先确定点M 的坐标，再结合点B 的坐标即可求出△OBM 的面积；（3）先联立一次函数与反比例函数解析式求出点A 坐标，再根据点P 在第一象限反比例函数上，可设点P 坐标为（m ，4m ）（m ＞0），从而可知点C 的坐标，根据两点之间的距离公式可知PC 之间的距离，再根据三角形的面积公式列式解答即可.【详解】（1）将B （a ，﹣4）代入一次函数y ＝x ﹣3中得：a ＝﹣1∴B（﹣1，﹣4）将B （﹣1，﹣4）代入反比例函数()0k y k x=≠中得：k ＝4∴反比例函数的表达式为4 yx=；（2）由一次函数y＝x﹣3可知：M（3，0），∴OM＝3，∵B（﹣1，﹣4），∴△OBM的面积：134=62⨯⨯（3）解34y xyx=-⎧⎪⎨=⎪⎩得14xy=-⎧⎨=-⎩或41xy=⎧⎨=⎩，∴A（4，1）如图：设点P 的坐标为（m，4m）（m＞0），则C（m，m﹣3）∴()43PC m m=--，点O到直线PC的距离为m ∴△POC的面积＝()14332m m m⨯--=解得：m＝5或﹣2或1或2 ∵点P不与点A重合，且A（4，1）∴m≠4又∵m＞0 ∴m＝5或1或2 ∴点P的坐标为（5，45）或（1，4）或（2，2）．【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合题，能够熟练掌握相关知识是解题的关键.22.如图，四边形ABCD 中，AC ⊥BD 垂足为点E ，点F ，M 分别是AB ，BC 的中点，BN 平分∠ABE 交AM 于点N ，AB ＝AC ＝BD ，连接NF ．（1）判断线段MN 与线段BM 的位置关系与数量关系，说明理由；（2）如果CD ＝5，求NF 的长．【答案】（1）位置关系：MN⊥BM，数量关系：MN ＝BM ，理由见解析；（2）NF ＝52． 【解析】【分析】（1）根据AB=AC ，点M 是BC 的中点，可证MN⊥BM，AM 平分∠BAC，再根据BN 平分∠ABE 可得出∠MNB 的度数，从而可得MN=BM ；（2）连接FM ，可证FM∥AC，FM ＝12AC ，从而可得12FM BD =，结合（1）可得12MN BC =，再根据等式的性质通过倒角的关系可知∠NMF＝∠CBD，从而可证△MFN∽△BDC，从而即可求出答案.【详解】（1）位置关系：MN⊥BM，数量关系：MN ＝BM ，理由如下：∵AB＝AC ，点M 是BC 的中点，∴AM⊥BC，AM 平分∠BAC，即MN⊥BM，∵BN 平分∠ABE，∴∠EBN＝∠ABN，∵AC⊥BD，∴∠AEB＝90°，∴∠EAB+∠EBA＝90°， ∴∠MNB＝∠NAB+∠ABN＝12（∠EAB+∠EBA）＝45°，且AM⊥BC， ∴∠MBN＝45°＝∠MNB，∴MN＝BM；（2）连接FM，∵点F，M分别是AB，BC的中点，∴FM∥AC，FM＝12 AC，∵AC＝BD，∴FM＝12BD，即12FMBD=，由（1）知△BMN是等腰直角三角形，∴MN＝BM＝12BC，即12MNBC=，∴FM MN BD BC=，∵AM⊥BC，∴∠NMF+∠FMB＝90°，∵FM∥AC，∴∠ACB＝∠FMB，∵∠CEB＝90°，∴∠ACB+∠CBD＝90°，∴∠CBD+∠FMB＝90°，∴∠NMF＝∠CBD，且FM MN BD BC=，∴△MFN∽△BDC，∴12FN MNCD BC==，且CD＝5，∴F N＝52．【点睛】本题是一道综合题，考查了等腰三角形的三线合一，三角形中位线性质，平行线的性质和相似三角形的判定等知识，能够数量掌握这些知识解题的关键.23.某商店购进一批成本为每件 30 元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量 y （件）与销售单价 x （元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示.（1）求该商品每天的销售量 y 与销售单价 x 之间的函数关系式；（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于 50 元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润 w （元）最大？最大利润是多少？（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于 800 元，则每天的销售量最少应为多少件？【答案】（1）2160y x =-+；（2）50x =时，w 最大1200=；（3）70x =时，每天的销售量为20件.【解析】【分析】（1）将点（30，150）、（80，100）代入一次函数表达式，即可求解；（2）由题意得w=（x-30）（-2x+160）=-2（x-55）2+1250，即可求解；（3）由题意得（x-30）（-2x+160）≥800，解不等式即可得到结论．【详解】（1）设y 与销售单价x 之间的函数关系式为：y=kx+b ，将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式得：100307045k b k b+⎧⎨+⎩＝＝， 解得：2160k b -⎧⎨⎩＝＝， 故函数的表达式为：y=-2x+160；（2）由题意得：w=（x-30）（-2x+160）=-2（x-55）2+1250，∵-2＜0，故当x ＜55时，w 随x 的增大而增大，而30≤x≤50，∴当x=50时，w 由最大值，此时，w=1200，故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元；（3）由题意得：（x-30）（-2x+160）≥800，解得：x≤70，∴每天的销售量y=-2x+160≥20，∴每天的销售量最少应为20件．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次不等式的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量×每件的利润=w 得出函数关系式是解题关键．24.△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝α，点D 是平面内不与点A 和点B 重合的一点，连接DB ，将线段DB 绕点D 顺时针旋转α得到线段DE ，连接AE 、BE 、CD ．（1）如图①，点D 与点A 在直线BC 的两侧，α＝60°时，AE CD 的值是 ；直线AE 与直线CD 相交所成的锐角的度数是 度；（2）如图②，点D 与点A 在直线BC 两侧，α＝90°时，求AE CD 的值及直线AE 与直线CD 相交所成的锐角∠AMC 的度数；（3）当α＝90°，点D 在直线AB 的上方，S △ABD ＝12S △ABC ，请直接写出当点C 、D 、E 在同一直线上时，BE CD 的值．【答案】（1）1，60；（2）∠AMC ＝45°；（3）BE CD的值为22或2． 【解析】【分析】 （1）延长AE ，CD 交于点H ，根据旋转的性质可知DE=BD ，∠BDE=60°，从而可知△BDE，从而可证△ABE≌△CBD，从而可知AE CD，再根据角的关系即可求出∠AHB； （2）先证△ABE∽△CBD，可以得到2AE AB CD CB ==的度数； （3）分两种情况讨论即可：①点D ，点A 在直线BC 两侧，②点A ，点D 在直线BC 同侧.【详解】（1）如图1，延长AE ，CD 交于点H ，∵将线段DB 绕点D 顺时针旋转α得到线段DE ， ∴DE＝BD ，∠BDE＝60°，∴△BDE 是等边三角形，∴BD＝BE ，∠DBE＝60°，∵△ABC 是等边三角形，∴AB＝BC ，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABE＝∠CBD，且BE ＝BD ，AB ＝BC ， ∴△ABE≌△CBD（SAS ）∴AE＝CD ，∠DCB＝∠BAE， ∴AECD ＝1，∵∠BAC+∠ACB＝120°，∴∠BAE+∠CAE+∠ACB＝120°，∴∠CAE+∠ACB+∠BCD＝120°∴∠CAE+ACH＝120°，∴∠AHB＝60°，故答案为：1，60．（2）∵AC＝BC ，∠ACB＝90°， 2BC ，∠ABC＝45°，∵将线段DB 绕点D 顺时针旋转90°得到线段DE ， ∴DE＝BD ，∠BDE＝90°， 2BD ，∠DBE＝45°，∴∠DBE＝∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBD，且2ABBEBC BD ==，∴△ABE∽△CBD， ∴2AEABCD CB ==，∠BAE＝∠BCD，∵∠BAC+∠ACB＝135°＝∠ACB+∠CAM+∠BAE，∴∠ACB+∠CAM+∠BCD＝∠CAM+∠ACM＝135°，∴∠AMC＝45°；（3）①若点D ，点A 在直线BC 两侧，如图3，分别取AC ，BC 中点G ，H ，连接GH ，∵12ABD ABC S S V V ＝，∴点D 在直线GH 上，∵∠ACB＝∠BDE＝90°，AC ＝BC ，DE ＝BD ，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∠DEB＝∠DBE＝45°，BE 2BD ，∵点G ，点H 分别是AC ，BC 的中点， ∴GH∥AB，∴∠DHB＝∠ABC＝45°，∵点C 、E 、D 三点共线， ∴∠CDB＝90°，且点H 是BC 中点，∴DH＝CH ＝BH ，∴∠HCD＝∠HDC，且∠HCD+∠HDC＝∠BHD＝45°，∴∠HCD＝∠HDC＝22.5°，∵∠BED＝∠BCE+∠CBE＝45°，∴∠BCE＝∠CBE＝22.5°，∴BE＝CE 2BD ，∴CD＝CE+DE 2+1）BD ，∴22221BECD==-+；②若点A，点D在直线BC同侧，如图4，分别取AC，BC中点G，H，连接GH，∵12ABD ABCS SV V＝，∴点D在直线GH上，∵∠ACB＝∠BDE＝90°，AC＝BC，DE＝BD，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∠DEB＝∠DBE＝45°，BE2BD，∵点G，点H分别是AC，BC的中点，∴GH∥AB，∴∠DHC＝∠ABC＝45°，∵点C、E、D三点共线，∴∠CD B＝90°，且点H是BC中点，∴DH＝CH＝BH，∴∠HBD＝∠HDB，且∠HBD+∠HDB＝∠CHD＝45°，∴∠HBD＝∠HDB＝22.5°，∵∠ECB＝67.5°，∠EBC＝∠EBD+∠DBC＝67.5°，∴∠BCE＝∠CBE＝67.5°，∴BE＝CE2BD，∴CD＝CE﹣DE2﹣1）BD，∴22221BE CD==-综上所述：BE CD的值为22-22+．【点睛】本题是一道相似综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质与判定等相关知识，解题关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题.25.如图，在平面直角坐标系中，点C是y轴正半轴上的一个动点，抛物线y＝ax2﹣5ax+4a（a是常数，且a ＞0）过点C，与x轴交于点A、B，点A在点B的左边．连接AC，以AC为边作等边三角形ACD，点D与点O在直线AC两侧．（1）求点A，B的坐标；（2）当CD∥x轴时，求抛物线的函数表达式；（3）连接BD，当BD最短时，请直接写出抛物线的函数表达式．【答案】（1）点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0）；（2）y 3253x3；（3）y332153x33．【解析】【分析】（1）根据抛物线解析式求解与x轴的交点坐标即y=0是x的值，即可得出A，B的坐标；（2）根据三角形ACD是等边三角形可知∠OCA的度数，根据三角函数值可求点C坐标，从而可求答案；（3）过点D作DE⊥AC于点E，过点D作x轴的垂线于点H，过点E作EF∥x轴交y轴于点F交DH于点G，根据点E坐标进一步求△CFE∽△EGD，进而可求答案.【详解】（1）y＝ax2﹣5ax+4a，令y＝0，则x＝1或4，∵点A在点B的左边故点A、B的坐标分别为：（1，0）、（4，0）；（2）∵点A坐标为（1,0），∴OA=1∵△ACD是等边三角形，∴∠DCA=60°当CD∥x轴时，∠DCO=90°∴∠ACO=30°，则∠OCA＝60°，则OC ＝OAtan60°=3，故点C （0，3）， 即3＝4a ，解得：a ＝3， 故抛物线的表达式为：2353344y x x =-+； （3）如图，过点D 作DE⊥AC 于点E ，过点D 作x 轴的垂线于点H ，过点E 作EF∥x 轴交y 轴于点F 交DH 于点G ，∵△ACD 为等边三角形，则点E 为AC 的中点，则点E （12，2a ），AE ＝CE 3ED ， ∵∠CEF+∠FCE＝90°，∠CEF+∠DEG＝90°，∴∠DEG＝∠ECF， ∴△CFE∽△EGD，∴3CF CE EF EG ED DG ===EF ＝12，CF ＝2a ， 解得：GE ＝23，DG 3D （133,22a ++）， BD 2＝（2221333332342162a a ⎛⎛⎛⎫+++= ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故当a 33BD 最小， 故抛物线的表达式为：y ＝23315333882x x -+． 【点睛】本题是一道二次函数综合题，考查等边三角形的性质，三角函数值，相似三角形的判定与性质，二次函数综合问题等知识，能够充分调动所学知识是解题的关键.。

辽宁省沈阳市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题2分，共20分）1．如图所示的支架（一种小零件）的两个台阶的高度和宽度相等，则它的左视图为（）A．B．C．D．2．方程x2＝3x的解为（）A．x＝3B．x＝0C．x1＝0，x2＝﹣3D．x1＝0，x2＝33．已知反比例函数y＝的图象经过点（3，2），那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是（）A．（3，﹣2）B．（﹣2，﹣3）C．（1，﹣6）D．（﹣6，1）4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，那么sin A的值为（）A．B．C．D．15．抛物线y＝（x+2）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣2，﹣3）B．（2，3）C．（﹣2，3）D．（2，﹣3）6．在抛掷硬币的试验中，下列结论正确的是（）A．经过大量重复的抛掷硬币试验，可发现“正面向上”的频率越来越稳定B．抛掷10000次硬币与抛掷12000次硬币“正面向上”的频率相同C．抛掷50000次硬币，可得“正面向上”的频率为0.5D．若抛掷2000次硬币“正面向上”的频率是0.518，则“正面向下”的频率也为0.5187．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列条件中不能判定这两个三角形相似的是（）A．∠A＝55°，∠D＝35°B．AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8C．AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8D．AB＝10，AC＝8，DE＝15，EF＝98．某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元．设这两年的年利润平均增长率为x．应列方程是（）A．300（1+x）＝507B．300（1+x）2＝507C．300（1+x）+300（1+x）2＝507D．300+300（1+x）+300（1+x）2＝5079．如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM＝3，BC＝8，则OB的长为（）A．4B．5C．6D．10．关于抛物线y＝x2﹣2x+1，下列说法错误的是（）A．开口向上B．与x轴有一个交点C．对称轴是直线x＝1D．当x＞1时，y随x的增大而减小二、填空题（每小题3分，共18分）11．若反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是．12．已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m＝0有一个根为0，则m＝．13．将抛物线y＝x2﹣2x+3沿y轴向上平移2个单位得到的抛物线的函数表达式为．14．已知：如图，△ABC的面积为12，点D、E分别是边AB、AC的中点，则四边形BCED的面积为．15．如图，将∠AOB放在边长为1的小正方形组成的网格中，则tan∠AOB＝．16．在正方形ABCD中，AB＝6，连接AC，BD，P是正方形边上或对角线上一点，若PD＝2AP，则AP的长为．三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）17．（6分）计算：tan60°+4sin30°﹣cos230°+tan45°18．（8分）如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝BF，AC⊥EF．求证：四边形AECF是菱形．19．（8分）随着科技的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样．某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“QQ”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同种沟通方式的概率．四、（每题8分，共16分）20．（8分）如图，已知反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（﹣2，m），过点A作AB⊥x 轴于点B，且△AOB的面积为4．（Ⅰ）求k和m的值；（Ⅱ）设C（x，y）是该反比例函数图象上一点，当1≤x≤4时，求函数值y的取值范围．21．（8分）如图，在矩形ABCD中，边AB、BC的长（AB＜BC）是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿矩形ABCD边A→B→C→D→A的方向运动，运动时间为t（秒）．（1）求AB与BC的长；（2）当点P运动到边BC上且AP＝时，求t的值．五、（本题10分）22．（10分）如图，男生楼在女生楼的左侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB，冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，女生楼在男生楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，女生楼在男生楼墙面上的影高为DA，已知CD＝42m．（1）求楼间距AB；（2）若男生楼共30层，层高均为3m，请通过计算说明多少层以下会受到挡光的影响？（参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7≈0.56，tan55.7°≈1.47）23．（10分）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，经调查发现，若毎件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若每件降价x元，每天盈利y元，求出y与x之间的关系式；（2）每件衬衫降价多少元时，商场每天盈利最多？盈利多少元？七、（本题12分）24．（12分）如图1，在矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E为直角顶点的直角三角形EFG的两边EF，EG分别过点B，C，∠F＝30°．（1）求证：BE＝CE；（2）将△EFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动，若EF，EG分别与AB，BC相交于点M，N（如图2）．①求证：△BEM≌△CEN；②若AB＝2，求△BMN面积的最大值；③当旋转停止时，点B恰好在FG上（如图3），求sin∠EBG的值．25．（12分）如图，已知抛物线经过点A（3，0），B（0，3），C（﹣1，0）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求抛物线的顶点坐标；（3）如图1，点D是抛物线上一动点，过D作y轴的平行线DE交直线AB于点E，当线段DE ＝1时，请直接写出D点的横坐标；（4）如图2，当D为直线AB上方抛物线上一动点时，DF⊥AB于F，设AC的中点为M，连接BD，BM，是否存在点D，使得△BDF中有一个角与∠BMO相等？若存在，请直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（每小题2分，共20分）1．如图所示的支架（一种小零件）的两个台阶的高度和宽度相等，则它的左视图为（）A．B．C．D．【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．【解答】解：从左面看去，是两个有公共边的矩形，如图所示：故选：D．【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．2．方程x2＝3x的解为（）A．x＝3B．x＝0C．x1＝0，x2＝﹣3D．x1＝0，x2＝3【分析】因式分解法求解可得．【解答】解：∵x2﹣3x＝0，∴x（x﹣3）＝0，则x＝0或x﹣3＝0，解得：x＝0或x＝3，故选：D．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．3．已知反比例函数y＝的图象经过点（3，2），那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是（）A．（3，﹣2）B．（﹣2，﹣3）C．（1，﹣6）D．（﹣6，1）【分析】把已知点坐标代入反比例解析式求出k的值，即可做出判断．【解答】解：把（2，3）代入反比例解析式得：k＝6，∴反比例解析式为y＝，则（﹣2，﹣3）在这个函数图象上，故选：B．【点评】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，那么sin A的值为（）A．B．C．D．1【分析】根据正弦的定义列式计算即可．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝2BC，∴sin A＝＝，故选：A．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．5．抛物线y＝（x+2）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣2，﹣3）B．（2，3）C．（﹣2，3）D．（2，﹣3）【分析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．【解答】解：抛物线y＝（x+2）2+3的顶点坐标是（﹣2，3）．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式求顶点坐标的方法是解题的关键．6．在抛掷硬币的试验中，下列结论正确的是（）A．经过大量重复的抛掷硬币试验，可发现“正面向上”的频率越来越稳定B．抛掷10000次硬币与抛掷12000次硬币“正面向上”的频率相同C．抛掷50000次硬币，可得“正面向上”的频率为0.5D．若抛掷2000次硬币“正面向上”的频率是0.518，则“正面向下”的频率也为0.518【分析】根据概率的定义对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、经过大量重复的抛掷硬币试验，可发现“正面向上”的频率越来越稳定，正确；B、抛掷10000次硬币与抛掷12000次硬币“正面向上”的频率不同，错误；C、抛掷50000次硬币，可得“正面向上”的频率约为0.5，错误；D、若抛掷2000次硬币“正面向上”的频率是0.518，则“正面向下”的频率为0.482，错误；故选：A．【点评】本题考查的是模拟实验和概率的意义，熟知概率的定义是解答此题的关键．7．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列条件中不能判定这两个三角形相似的是（）A．∠A＝55°，∠D＝35°B．AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8C．AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8D．AB＝10，AC＝8，DE＝15，EF＝9【分析】根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析即可．【解答】解：A、相似：∵∠A＝55°∴∠B＝90°﹣55°＝35°∵∠D＝35°∴∠B＝∠D∵∠C ＝∠F∴△ABC∽△DEF；B、相似：∵AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8，∴，∵∠C＝∠F∴△ABC∽△DEF；C、有一组角相等两边对应成比例，但该组角不是这两边的夹角，故不相似；D、相似：∵AB＝10，BC＝6，DE＝15，EF＝9，∴，∵∠C＝∠F∴△ABC∽△DEF；故选：C．【点评】此题主要要求学生熟练掌握相似三角形的判定定理：两角对应相等，两组边对应成比例且夹角相等，三边对应成比例．8．某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元．设这两年的年利润平均增长率为x．应列方程是（）A．300（1+x）＝507B．300（1+x）2＝507C．300（1+x）+300（1+x）2＝507D．300+300（1+x）+300（1+x）2＝507【分析】设这两年的年利润平均增长率为x，根据2018年初及2020年初的利润，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设这两年的年利润平均增长率为x，根据题意得：300（1+x）2＝507．故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9．如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM＝3，BC＝8，则OB的长为（）A．4B．5C．6D．【分析】由平行线分线段成比例可得CD＝6，由勾股定理可得AC＝10，由直角三角形的性质可得OB的长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形∴AB∥CD，AD＝BC＝8，∵OM∥AB∴OM∥CD∴，且AO＝AC，OM＝3∴CD＝6，在Rt△ADC中，AC＝＝10∵点O是斜边AC上的中点，∴BO＝AC＝5故选：B．【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，求CD的长度是本题的关键．10．关于抛物线y＝x2﹣2x+1，下列说法错误的是（）A．开口向上B．与x轴有一个交点C．对称轴是直线x＝1D．当x＞1时，y随x的增大而减小【分析】把二次函数解析式化为顶点式，逐项判断即可得出答案．【解答】解：∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1，当x＞1时，y随x的增大而增大，∴A、C正确，D不正确；令y＝0可得（x﹣1）2＝0，该方程有两个相等的实数根，∴抛物线与x轴有一个交点，∴B正确；故选：D．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，其对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．二、填空题（每小题3分，共18分）11．若反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是k＞2．【分析】根据图象在第二、四象限，利用反比例函数的性质可以确定2﹣k的符号，即可解答．【解答】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限，∴2﹣k＜0，∴k＞2．故答案为：k＞2．【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，熟练记忆当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限是解决问题的关键．12．已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m＝0有一个根为0，则m＝2．【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于m的方程，通过解关于m的方程求得m的值即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m＝0有一个根为0，∴m2﹣2m＝0且m≠0，解得，m＝2．故答案是：2．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解的定义．解答该题时需注意二次项系数a≠0这一条件．13．将抛物线y＝x2﹣2x+3沿y轴向上平移2个单位得到的抛物线的函数表达式为y＝（x﹣1）2+4．【分析】先把y＝x2﹣2x+3配成顶点式，再利用顶点式写出平移后的抛物线的解析式．【解答】解：y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，此抛物线的顶点坐标为（1，2），把点（1，2）向上平移2个单位长度后所得对应点的坐标为（1，4），所以平移后得到的抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2+4．故答案为：y＝（x﹣1）2+4．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．14．已知：如图，△ABC的面积为12，点D、E分别是边AB、AC的中点，则四边形BCED的面积为9．【分析】设四边形BCED的面积为x，则S＝12﹣x，由题意知DE∥BC且DE＝BC，从而△ADE得＝（）2，据此建立关于x的方程，解之可得．【解答】解：设四边形BCED的面积为x，则S＝12﹣x，△ADE∵点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，且DE＝BC，∴△ADE∽△ABC，则＝（）2，即＝，解得：x＝9，即四边形BCED的面积为9，故答案为：9．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握中位线定理及相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质．15．如图，将∠AOB放在边长为1的小正方形组成的网格中，则tan∠AOB＝．【分析】先在图中找出∠AOB所在的直角三角形，再根据三角函数的定义即可求出tan∠AOB的值．【解答】解：过点A作AD⊥OB垂足为D，如图，在直角△AOD中，AD＝1，OD＝2，则tan∠AOB＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．16．在正方形ABCD中，AB＝6，连接AC，BD，P是正方形边上或对角线上一点，若PD＝2AP，则AP的长为2或2或﹣．【分析】根据正方形的性质得出AC⊥BD，AC＝BD，OB＝OA＝OC＝OD，AB＝BC＝AD＝CD＝6，∠ABC＝90°，根据勾股定理求出AC、BD、求出OA、OB、OC、OD，画出符合的三种情况，根据勾股定理求出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝6，∴AC⊥BD，AC＝BD，OB＝OA＝OC＝OD，AB＝BC＝AD＝CD＝6，∠ABC＝∠DAB＝90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝6，∴OA＝OB＝OC＝OD＝3，有6种情况：①点P在AD上时，∵AD＝6，PD＝2AP，∴AP＝2；②点P在AC上时，设AP＝x，则DP＝2x，在Rt△DPO中，由勾股定理得：DP2＝DO2+OP2，（2x）2＝（3）2+（3﹣x）2，解得：x＝﹣（负数舍去），即AP＝﹣；③点P在AB上时，设AP＝y，则DP＝2y，在Rt△APD中，由勾股定理得：AP2+AD2＝DP2，y2+62＝（2y）2，解得：y＝2（负数舍去），即AP＝2；④当P在BC上，设BP＝x，∵DP＝2AP，∴2＝，即x2+6x+24＝0，△＝62﹣4×1×24＜0，此方程无解，即当点P在BC上时，不能使DP＝2AP；⑤P在DC上，∵∠ADC＝90°，∴AP＞DP，不能DP＝2AP，即当P在DC上时，不能具备DP＝2AP；⑥P在BD上时，过P作PN⊥AD于N，过P作PM⊥AB于M，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝∠ANP＝∠AMP＝90°，∴四边形ANPM是矩形，∴AM＝PN，AN＝PM，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD＝45°，∵∠PMB＝90°，∴∠MBP＝∠MPB＝45°，∴BM＝PM＝AN，同理DN＝PN＝AM，设PM＝BM＝AN＝x，则PN＝DN＝AM＝6﹣x，都不能DP＝2AP，∵DP＝2AP，∴由勾股定理得：2＝，即x2﹣4x+12＝0，△＝（﹣4）2﹣4×1×12＜0，此方程无解，即当P在BD上时，不能DP＝2AP，故答案为：2或2或﹣．【点评】本题考查了正方形的性质和勾股定理，能求出符合的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想．三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）17．（6分）计算：tan60°+4sin30°﹣cos230°+tan45°【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而化简得出答案．【解答】解：原式＝×+4×﹣（）2+1＝+2﹣+1＝3．【点评】此题主要考查了实数运算，正确记忆相关数据是解题关键．18．（8分）如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝BF，AC⊥EF．求证：四边形AECF是菱形．【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明；【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵DE＝BF，∴AE＝CF，∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．【点评】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．19．（8分）随着科技的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样．某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“QQ”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同种沟通方式的概率．【分析】列出树状图分别求出所有情况以及甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的情况后，利用概率公式即可求出甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率．【解答】解：画出树状图，如图所示所有情况共有9种情况，其中甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的共有3种情况，故甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率为＝．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率与不等式的性质．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．四、（每题8分，共16分）20．（8分）如图，已知反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（﹣2，m），过点A作AB⊥x 轴于点B，且△AOB的面积为4．（Ⅰ）求k和m的值；（Ⅱ）设C（x，y）是该反比例函数图象上一点，当1≤x≤4时，求函数值y的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据三角形的面积公式先得到m的值，然后把点A的坐标代入y＝，可求出k 的值；（Ⅱ）先分别求出x＝1和4时，y的值，再根据反比例函数的性质求解．【解答】解：（Ⅰ）∵△AOB的面积为4，∴，即可得：k＝x A•y A＝﹣8，令x＝2，得：m＝4；（Ⅱ）当1≤x≤4时，y随x的增大而增大，令x＝1，得：y＝﹣8；令x＝4，得：y＝﹣2，所以﹣8≤y≤﹣2即为所求．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点在图象上，点的横纵坐标满足图象的解析式；也考查了反比例函数的性质，三角形的面积公式以及代数式的变形能力．21．（8分）如图，在矩形ABCD中，边AB、BC的长（AB＜BC）是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿矩形ABCD边A→B→C→D→A的方向运动，运动时间为t（秒）．（1）求AB与BC的长；（2）当点P运动到边BC上且AP＝时，求t的值．【分析】（1）利用因式分解法解出方程即可；（2）先根据勾股定理计算BP，再求t的值．【解答】解：（1）∵x2﹣7x+12＝0，则（x﹣3）（x﹣4）＝0，∴x1＝3，x2＝4．∵AB＜BC，∴AB＝3，BC＝4；（2）如图，在Rt△ABP中，∵AP＝，AB＝3，∴BP＝＝＝1．∴t＝＝4．答：t的值是4秒．【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理以及一元二次方程的解法，正确解出方程、灵活运用勾股定理是解题的关键．五、（本题10分）22．（10分）如图，男生楼在女生楼的左侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB，冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，女生楼在男生楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，女生楼在男生楼墙面上的影高为DA，已知CD＝42m．（1）求楼间距AB；（2）若男生楼共30层，层高均为3m，请通过计算说明多少层以下会受到挡光的影响？（参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7≈0.56，tan55.7°≈1.47）【分析】（1）如图，作CM⊥PB于M，DN⊥PB于N．则AB＝CM＝DN，设AB＝CM＝DN＝xm．想办法构建方程即可解决问题．（2）求出AC，AD，分两种情形解决问题即可．【解答】解：（1）如图，作CM⊥PB于M，DN⊥PB于N．则AB＝CM＝DN，设AB＝CM＝DN ＝xm．在Rt△PCM中，PM＝x•tan32.3°＝0.63x（m），在Rt△PDN中，PN＝x•tan55.7°＝1.47x（m），∵CD＝MN＝42m，∴1.47x﹣0.63x＝42，∴x＝50，∴AB的长为50m．（2）由（1）可知：PM＝31.5m，∴AD＝90﹣42﹣31.5＝16.5（m），AC＝90﹣31.5＝58.5，∵16.5÷3＝5.5，58.5÷3＝19.5，∴冬至日20层（包括20层）以下会受到挡光的影响，春分日6层（包括6层）以下会受到挡光的影响．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．六、（本题10分）23．（10分）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，经调查发现，若毎件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若每件降价x元，每天盈利y元，求出y与x之间的关系式；（2）每件衬衫降价多少元时，商场每天盈利最多？盈利多少元？【分析】（1）根据题意，设每件降价x元，商场平均每天盈利y元，则每件盈利（40﹣x）元，每天可以售出（20+2x）件，所以商场平均每天盈利（40﹣x）（20+2x）元，即y＝（40﹣x）（20+2x）；（2）用“配方法”求出y的最大值，并求出每件衬衫的降价钱数．【解答】解：（1）设每件降价x元，商场平均每天盈利y元，则y＝（40﹣x）（20+2x）＝800+80x﹣20x﹣2x2＝﹣2x2+60x+800；（2）y＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x2﹣30x+225）+800+450＝﹣2（x﹣15）2+1250所以当x＝15时，y的最大值为1250，答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多，是1250元．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确表示出每件衬衫的利润以及销量是解题关键．七、（本题12分）24．（12分）如图1，在矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E为直角顶点的直角三角形EFG的两边EF，EG分别过点B，C，∠F＝30°．（1）求证：BE＝CE；（2）将△EFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动，若EF，EG分别与AB，BC相交于点M，N（如图2）．①求证：△BEM≌△CEN；②若AB＝2，求△BMN面积的最大值；③当旋转停止时，点B恰好在FG上（如图3），求sin∠EBG的值．【分析】（1）只要证明△BAE≌△CDE即可；（2）①利用（1）可知△EBC是等腰直角三角形，根据ASA即可证明；②构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；③如图3中，作EH⊥BG于H．设NG＝m，则BG＝2m，BN＝EN＝m，EB＝m．利用面积法求出EH，根据三角函数的定义即可解决问题；【解答】（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，∵E是AD中点，∴AE＝DE，∴△BAE≌△CDE，∴BE＝CE．（2）①解：如图2中，由（1）可知，△EBC是等腰直角三角形，∴∠EBC＝∠ECB＝45°，∵∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠EBM＝∠ECN＝45°，∵∠MEN＝∠BEC＝90°，∴∠BEM＝∠CEN，∵EB＝EC，∴△BEM≌△CEN；②∵△BEM≌△CEN，∴BM＝CN，设BM＝CN＝x，则BN＝4﹣x，＝•x（4﹣x）＝﹣（x﹣2）2+2，∴S△BMN∵﹣＜0，∴x＝2时，△BMN的面积最大，最大值为2．③解：如图3中，作EH⊥BG于H．设NG＝m，则BG＝2m，BN＝EN＝m，EB＝m．∴EG＝m+m＝（1+）m，∵S＝•EG•BN＝•BG•EH，△BEG∴EH＝＝m，在Rt△EBH中，sin∠EBH＝＝＝．【点评】本题考查四边形综合题、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换、锐角三角函数等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．八、（本题12分）25．（12分）如图，已知抛物线经过点A（3，0），B（0，3），C（﹣1，0）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求抛物线的顶点坐标；（3）如图1，点D是抛物线上一动点，过D作y轴的平行线DE交直线AB于点E，当线段DE ＝1时，请直接写出D点的横坐标；（4）如图2，当D为直线AB上方抛物线上一动点时，DF⊥AB于F，设AC的中点为M，连接BD，BM，是否存在点D，使得△BDF中有一个角与∠BMO相等？若存在，请直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设交点式y＝a（x﹣3）（x+1），然后把B点坐标代入求出a得到抛物线解析式，然后把解析式（2）把一般式化为顶点式得到抛物线的顶点坐标；（3）易得直线AB的解析式为y＝﹣x+3，设D（x，﹣x2+2x+3），则E（x，﹣x+3），利用题意得到|x2﹣3x|＝1，然后•解绝对值方程即可；（4）若∠BDF＝∠BMO，则∠DBF＝∠OBM，作BH⊥y轴于B，作DH⊥BH于H，MG⊥AB于G，如图，证明∠DBH＝∠MBG，再计算出tan∠MBG＝＝tan∠DBH＝，则BH＝2DH，设D（t，﹣t2+2t+3）（0＜t＜3），所以t＝2[3﹣（﹣t2+2t+3]，然后解t的方程得到此时D点的横坐标．若∠DBF＝∠BMO，作BB′⊥y轴于抛物线交于另一点B′，作B′G∥y轴交BD于G，如图3，则∠GBB′＝∠MBA，B′（2，3），同理得tan∠MBA＝，则GB′＝1，所以G（2，4），接着求出直线BG的解析式为y＝x+3，然后解方程组得D点坐标．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣3）（x+1），把B（0，3）代入得a•（0﹣3）•（0+1）＝3，解得a＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣3）（x+1），即y＝﹣x2+2x+3；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线的顶点坐标为（1，4）；（3）易得直线AB的解析式为y＝﹣x+3，设D（x，﹣x2+2x+3），则E（x，﹣x+3）∵DE＝|﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）|＝|x2﹣3x|∴|x2﹣3x|＝1，解方程x2﹣3x＝1得x1＝，x2＝；解方程x2﹣3x＝﹣1得x1＝，x2＝，∴D点的横坐标为或或或；（4）存在．抛物线的对称轴为直线x＝1，则M（1，0），若∠BDF＝∠BMO，则∠DBF＝∠OBM，作BH⊥y轴于B，作DH⊥BH于H，MG⊥AB于G，如图2，∵OA＝OB＝3，∴△OAB为等腰直角三角形，∴∠OBA＝∠OAB＝45°，AB＝3，∴∠HBA＝45°，∴∠DBH＝∠MBG，在Rt△AMG中，AG＝MG＝AM＝，∴BG＝2，在Rt△MBG中，tan∠MBG＝＝＝，在Rt△DBH中，tan∠DBH＝＝，∴BH＝2DH，设D（t，﹣t2+2t+3）（0＜t＜3），∴t＝2[3﹣（﹣t2+2t+3]，整理得2t2﹣5t＝0，解得t1＝0（舍去），t2＝，∴D点坐标为（，），若∠DBF＝∠BMO，作BB′⊥y轴于抛物线交于另一点B′，作B′G∥y轴交BD于G，如图3，则∠GBB′＝∠MBA，B′（2，3），同理得tan∠MBA＝，∴tan∠GBB′＝＝，∴GB′＝1，∴G（2，4），易得直线BG的解析式为y＝x+3，解方程组得或，∴D点坐标为（，），综上所述，D点的横坐标为或．【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰直角三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．。

一、选择题（每题3分，共30分）1. 若a、b、c是等差数列，且a+b+c=0，则b的值为：A. 0B. -1C. 1D. 0或1答案：A解析：由等差数列的性质可知，a+b+c=3b=0，解得b=0。

2. 下列各式中，能表示一元二次方程x^2-5x+6=0的根的判别式为：A. Δ=5^2-4×1×6B. Δ=5^2-4×2×6C. Δ=5^2-4×1×5D. Δ=5^2-4×2×5答案：A解析：一元二次方程的判别式为Δ=b^2-4ac，代入系数得Δ=5^2-4×1×6。

3. 在直角坐标系中，点A（2，3）关于直线y=x的对称点为：A.（3，2）B.（2，3）C.（-3，-2）D.（-2，-3）答案：A解析：点A（2，3）关于直线y=x的对称点，横纵坐标互换，得（3，2）。

4. 若等比数列的前三项分别为2，6，18，则该数列的公比为：A. 2B. 3C. 6D. 9答案：B解析：等比数列的公比q=第二项/第一项=6/2=3。

5. 已知函数f(x)=x^2-4x+4，则f(x)的图像与x轴的交点坐标为：A.（2，0）B.（0，2）C.（1，3）D.（3，1）答案：A解析：令f(x)=0，解得x=2，即图像与x轴的交点坐标为（2，0）。

6. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则角A的度数为：A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：D解析：由勾股定理可知，a^2+b^2=c^2，代入a=3，b=4，c=5，得3^2+4^2=5^2，因此三角形ABC为直角三角形，角A为90°。

7. 下列函数中，为奇函数的是：A. y=x^2B. y=x^3C. y=x^4D. y=x^5答案：B解析：奇函数满足f(-x)=-f(x)，代入选项B，得f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)，符合奇函数的定义。

辽宁省2019-2020学年九年级上学期数学期末考试试卷B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题(本题共12小题。

每题3分，满分36分) (共12题；共36分)1. （3分） (2019九上·西城期中) 如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C都在小正方形的顶点上，则∠ABC的正弦值为（）A . 1B .C .D .2. （3分）下面四个图中的角，为圆心角的是（）A .B .C .D .3. （3分）下列说法正确的是（）A . 随机抛掷一枚均匀的硬币，落地后反面一定朝上B . 从1，2，3，4，5中随机取一个数，取得奇数的可能性较大C . 某彩票中奖率为36%，说明买100张彩票，有36张中奖D . 打开电视，中央一套正在播放新闻联播4. （3分）在下列长度的四根木棒中，能与4cm、9cm长的两根木棒首尾相接，组成一个三角形的是（）A . 4cmB . 5cmC . 9cmD . 13cm5. （3分）(2017·北仑模拟) 如图，已知矩形ABCD满足AB：BC=1：，把矩形ABCD对折，使CD与AB 重合，得折痕EF，把矩形ABFE绕点B逆时针旋转90°，得到矩形A′BF′E′，连结E′B，交A′F′于点M，连结AC，交EF于点N，连结AM，MN，若矩形ABCD面积为8，则△AMN的面积为（）A . 4B . 4C . 2D . 16. （3分）如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE=25°，则∠D的度数是（）A . 50°B . 55°C . 60°D . 65°7. （3分） (2016九上·山西期末) 在的图象中，阴影部分面积不为1的是（）A .B .C .D .8. （3分）如图，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1（顶点均在格点上），若它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是（）A . (-3,-4)B . (-3,-3)C . (-4,-4)D . (-4,-3)9. （3分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC ，对角线AC ， BD相交于点O ，若AD=1，BC=3，则的值为（）A .B .C .D .10. （3分）已知：二次函数y=x2-4x+a，下列说法中错误的个数是（）①当x＜1时，y随x的增大而减小②若图象与x轴有交点，则a≤4③当a=3时，不等式x2-4x+a＞0的解集是1＜x＜3④若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点（1，-2），则a=-3．A . 1B . 2C . 3D . 411. （3分）(2017·苏州) 如图，在正五边形中，连接，则的度数为（）A .B .C .D .12. （3分） (2020九下·无锡月考) 已知抛物线y＝ax2+3x+c（a，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，﹣1），（0，3），有下列结论：①ac＜0；②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小；③3是方程ax2+2x+c＝0的一个根；④当﹣1＜x＜3时，ax2+2x+c＞0其中正确结论的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题(本题共5小题，每题3分，满分15分) (共5题；共15分)13. （3分）已知cosB=,则∠B=114. （3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个相等的实数根，则k值为________ .15. （3分） (2016九上·玉环期中) 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点P在以C为圆心，5为半径的圆上，连结PA，PB．若PB=4，则PA的长为________．16. （3分） (2020九上·莘县期末) 如图，圆锥的表面展开图由一扇形和一个圆组成，已知圆的面积为100π，扇形的圆心角为120°，这个扇形的面积为 ________。

辽宁省沈阳市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的.每小题2分，共20分）1．（2分）如图，该几何体是由4个大小相同的正方体组成，它的俯视图是（）A．B．C．D．2．（2分）菱形的两条对角线的分别为60cm和80cm，那么边长是（）A．60cm B．50cm C．40cm D．80cm3．（2分）方程x2﹣2x+3＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．只有一个实数根C．没有实数根D．有两个不相等的实数根4．（2分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，则sin A的值是（）A．B．C．D．5．（2分）某反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则此函数图象也经过点（）A．（2，﹣3）B．（﹣3，﹣3）C．（2，3）D．（﹣4，6）6．（2分）已知二次函数y＝（x﹣）2+1，则下列说法：①其图象的开口向上；②其图象的对称轴为直线x＝﹣；③其图象顶点坐标为（，﹣1）；④当x＜时，y随x 的增大而减小，其中说法正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．（2分）如图，小颖周末到图书馆走到十字路口处，记不清前面哪条路通往图书馆，那么她能一次选对路的概率是（）A．B．C．D．08．（2分）如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为（）A．11米B．（36﹣15）米C．15米D．（36﹣10）米9．（2分）如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC 相似的是（）A．B．C．D．10．（2分）把抛物线y＝x2+1向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线（）A．y＝（x+3）2﹣1B．y＝（x+3）2+3C．y＝（x﹣3）2﹣1D．y＝（x﹣3）2+3二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）若两个相似三角形的面积比是9：25，则对应边上的中线的比为．12．（3分）如图，河堤横断面迎水坡BC的坡比是l：，堤高AC＝5m，则坡面BC的长度是．13．（3分）已知方程x2+mx+3＝0的一个根是1，则它的另一个根是．14．（3分）如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小明想知道这道门的高度，他先测出门的宽度AB＝8m，然后用一根长为4m的小竹竿CD竖直的接触地面和门的内壁，并测得AC＝2m，则门高OE为．15．（3分）如图，直线x＝2与反比例函数和的图象分别交于A、B两点，若点P是y轴上任意一点，则△PAB的面积是．16．（3分）已知正方形ABCD的边长为1，P为射线AD上的动点（不与点A重合），点A关于直线BP的对称点为E，连接PE，BE，CE，DE．当△CDE是等腰三角形时，AP 的值为．三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）17．（6分）计算：2cos45°﹣6tan230°﹣sin60°．18．（8分）一个盒子中装有两个红球，一个白球和一个蓝球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，请你用列表法和画树状图法求两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率（说明：红色和蓝色能配成紫色）19．（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，延长BC到点E，使CE＝BC，连结DE．（1）求证：四边形ACED是平行四边形；（2）若BO＝，sin∠CAD＝，请直接写出平行四边形ACED的周长．四、（每小题8分，共16分）20．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠CBA＝90°，点E为BC的中点，DE ⊥CE．（1）求证：△AED∽△BCE；（2）若AD＝3，BC＝12，求线段DC的长．21．（8分）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行90km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，求A，C两港之间的距离．22．（10分）某商店经营一种文具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，且每件文具售价不能高于40元，设每件文具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式；（2）每件文具的售价定为多少元时，月销售利润为2520元？（3）每件文具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？六、(本题10分）23．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x+b的图象与函数y＝（x＞0）的图象相交于点A（1，6），并与x轴交于点B．点C是线段AB上一点，△OBC与△OBA的面积比为2：3．（1）k＝，b＝；（2）求点C的坐标；（3）若将△OBC绕点O顺时针旋转，得到△OB'C'，其中B的对应点是B'，C的对应点是C'，当点C'落在x轴正半轴上，判断点B是否落在函数y＝（x＞0）的图象上，并说明理由．24．（12分）在正方形ABCD中，点E是直线AB上动点，以DE为边作正方形DEFG，DF所在直线与BC所在直线交于点H，连接EH．（1）如图1，当点E在AB边上时，延长EH交GF于点M，EF与CB交于点N，连接CG，①求证：CD⊥CG；②若tan∠HEN＝，求的值；（2）当正方形ABCD的边长为4，AE＝1时，请直接写出EH的长．25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，2），连接BC，位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E，连接AC，BC，PA，PB，PC．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，当直线l运动时，求使得△PEA和△AOC相似的点P点的横坐标；（3）如图1，当直线1运动时，求△PCB面积的最大值；（4）如图2，抛物线的对称轴交x轴于点Q，过点B作BG∥AC交y轴于点G．点H、K分别在对称轴和y轴上运动，连接PH、HK，当△PCB的面积最大时，请直接写出PH+HK+KG的最小值．参考答案与试题解析一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的.每小题2分，共20分）1．（2分）如图，该几何体是由4个大小相同的正方体组成，它的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】找到从上面看所得到的图形即可．【解答】解：从上面可看到从上往下2行小正方形的个数为：2，1，并且下面一行的正方形靠左，故选：B．【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．2．（2分）菱形的两条对角线的分别为60cm和80cm，那么边长是（）A．60cm B．50cm C．40cm D．80cm【分析】由菱形的性质以及两条对角线长可求出其边长．【解答】解：∵菱形的两条对角线长分别为60cm和80cm，∴该菱形的边长为，故选：B．【点评】此题考查了菱形的性质与勾股定理．此题比较简单，注意掌握菱形的面积的求解方法是解此题的关键．3．（2分）方程x2﹣2x+3＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．只有一个实数根C．没有实数根D．有两个不相等的实数根【分析】把a＝1，b＝﹣2，c＝3代入△＝b2﹣4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝3，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×3＝﹣8＜0，所以方程没有实数根．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△＝b2﹣4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．4．（2分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，则sin A的值是（）A．B．C．D．【分析】利用勾股定理求得AB的长，然后利用三角函数定义求解．【解答】解：在直角△ABC中，AB＝＝＝5，则sin A＝＝．故选：D．【点评】本题考查勾股定理，锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．5．（2分）某反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则此函数图象也经过点（）A．（2，﹣3）B．（﹣3，﹣3）C．（2，3）D．（﹣4，6）【分析】将（﹣2，3）代入y＝即可求出k的值，再根据k＝xy解答即可．【解答】解：设反比例函数解析式为y＝，将点（﹣2，3）代入解析式得k＝﹣2×3＝﹣6，符合题意的点只有点A：k＝2×（﹣3）＝﹣6．故选：A．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．6．（2分）已知二次函数y＝（x﹣）2+1，则下列说法：①其图象的开口向上；②其图象的对称轴为直线x＝﹣；③其图象顶点坐标为（，﹣1）；④当x＜时，y随x 的增大而减小，其中说法正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用抛物线的顶点式和二次函数的性质分别进行判断．【解答】解：∵a＝＞0，∴抛物线开口向上，所以①正确；∵y＝（x﹣）2+1，∴抛物线的对称轴为直线x＝，顶点坐标为（，1），所以②③错误；当x＜时，y随x的增大而减小，所以④正确；综上所述，正确的说法有2个．故选：B．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y ＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．7．（2分）如图，小颖周末到图书馆走到十字路口处，记不清前面哪条路通往图书馆，那么她能一次选对路的概率是（）A．B．C．D．0【分析】由小颖周末到公园走到十字路口处，则可知共有3条路供选择，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵小颖周末到公园走到十字路口处，∴她能一次选对路的概率是：．故选：B．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．8．（2分）如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为（）A．11米B．（36﹣15）米C．15米D．（36﹣10）米【分析】分析题意可得：过点A作AE⊥BD，交BD于点E；可构造Rt△ABE，利用已知条件可求BE；而乙楼高AC＝ED＝BD﹣BE．【解答】解：过点A作AE⊥BD，交BD于点E，在Rt△ABE中，AE＝30米，∠BAE＝30°，∴BE＝30×tan30°＝10（米），∴AC＝ED＝BD﹣BE＝（36﹣10）（米）．∴甲楼高为（36﹣10）米．故选：D．【点评】此题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是将实际问题转化为解直角三角形的问题，求出BE的长度，难度一般．9．（2分）如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC 相似的是（）A．B．C．D．【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．【解答】解：根据题意得：AB＝＝，AC＝2，BC＝＝，∴BC：AC：AB＝1：：，A、三边之比为1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；B、三边之比：2：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；C、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．故选：A．【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．10．（2分）把抛物线y＝x2+1向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线（）A．y＝（x+3）2﹣1B．y＝（x+3）2+3C．y＝（x﹣3）2﹣1D．y＝（x﹣3）2+3【分析】直接根据平移规律（左加右减，上加下减）作答即可．【解答】解：将抛物线y＝x2+1向右平移3个单位，再向上平移2个单位后所得抛物线解析式为y＝（x﹣3）2+3．故选：D．【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）若两个相似三角形的面积比是9：25，则对应边上的中线的比为3：5．【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，根据相似三角形的性质求出答案．【解答】解：∵两个相似三角形的面积比是9：25，∴两个相似三角形的相似比是3：5，∴对应边上的中线的比为3：5，故答案为：3：5．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比是解题的关键．12．（3分）如图，河堤横断面迎水坡BC的坡比是l：，堤高AC＝5m，则坡面BC的长度是10cm．【分析】在Rt△ABC中，已知了坡面BC的坡比以及铅直高度AC的值，通过解直角三角形即可求出斜面BC的长．【解答】解：Rt△ABC中，AC＝5m，tan B＝1：；∴AB＝AC÷tan B＝5m，∴BC＝＝5＝10m．答：坡面BC的长度是10m，故答案为：10cm．【点评】此题考查的是解直角三角形的应用，关键是根据已知条件求出AB．13．（3分）已知方程x2+mx+3＝0的一个根是1，则它的另一个根是3．【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系，两个根的积是3，即可求解．【解答】解：设方程的另一个解是a，则1×a＝3，解得：a＝3．故答案是：3．【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，正确理解根与系数的关系是关键．14．（3分）如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小明想知道这道门的高度，他先测出门的宽度AB＝8m，然后用一根长为4m的小竹竿CD竖直的接触地面和门的内壁，并测得AC＝2m，则门高OE为．【分析】根据所建坐标系，易求A、B、D的坐标，因它们都在抛物线上，所以代入解析式得方程组求解，再求顶点坐标得高度OE长．【解答】解：由题意得，抛物线过点A（﹣4，0）、B（4，0）、D（﹣2，4），设y＝a（x+4）（x﹣4），把D（﹣2，4）代入y＝a（x+4）（x﹣4），得4＝a（﹣2+4）（﹣2﹣4），解得a＝﹣，∴y＝﹣（x+4）（x﹣4）．令x＝0得y＝，即（0，），∴OE＝∴门的高度约为m．故答案为：．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据所建坐标系及图形特点，选择合适的函数表达式形式，有利于减小计算量．本题选取交点式较简便．15．（3分）如图，直线x＝2与反比例函数和的图象分别交于A、B两点，若点P是y轴上任意一点，则△PAB的面积是．【分析】先分别求出A、B两点的坐标，得到AB的长度，再根据三角形的面积公式即可得出△PAB的面积．【解答】解：∵把x＝2分别代入、，得y＝1、y＝﹣．∴A（2，1），B（2，﹣），∴AB＝1﹣（﹣）＝．∵P为y轴上的任意一点，∴点P到直线x＝2的距离为2，∴△PAB的面积＝AB×2＝AB＝．故答案是：．【点评】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征及三角形的面积，求出AB的长度是解答本题的关键，难度一般．16．（3分）已知正方形ABCD的边长为1，P为射线AD上的动点（不与点A重合），点A关于直线BP的对称点为E，连接PE，BE，CE，DE．当△CDE是等腰三角形时，AP 的值为2﹣或2+或．【分析】根据题意分三种情况画出图形并进行讨论，第一种情况是当CE＝CD，且点P 在线段AD上时，过点E作BC的垂线，分别交AD，BC于点M，N，求出EM的长，并证明△PEM是含有30°角的直角三角形，即可求出PE的长，即AP的长；第二种情况是当CE＝CD，且点P在线段AD的延长线上时，过点E作BC的垂线，交BC于N，交AD于M，推出△BCE为等边三角形，证明△PME是含有30°角的直角三角形，即可求出PE的长，即AP的长；第三种情况是当ED＝EC，且点E在CD的垂直平分线上时，证△ABE为等边三角形，求出∠ABP＝30°，即可求出AP的长．【解答】解：①如图1，当CE＝CD，且点P在线段AD上时，由题意知，△BEC为等边三角形，过点E作BC的垂线，分别交AD，BC于点M，N，则EN＝BE＝，∴ME＝1﹣，在四边形ABEP中，∠ABE＝30°，∠A＝∠PEB＝90°，∴∠APE＝150°，∴∠MPE＝180°﹣∠APE＝30°，∴在Rt△PEM中，PE＝2ME＝2﹣，∴AP＝PE＝2﹣；②如图2，当CE＝CD，且点P在线段AD的延长线上时，由题意知，△BCE为等边三角形，过点E作BC的垂线，交BC于N，交AD于M，则NE＝CE＝，∴ME＝1+，在四边形ABEP中，∠A＝∠BEP＝90°，∠ABE＝∠ABC+∠EBC＝150°，∴∠APE＝30°，∴在Rt△PME中，PE＝2ME＝2+，∴AP＝PE＝2+；③如图3，当ED＝EC时，点E在CD的垂直平分线上，也在AB的垂直平分线上，∴AE＝BE，又∵AB＝EB，∴△ABE为等边三角形，∴∠ABE＝60°，∴∠ABP＝∠EBP＝30°，在Rt△ABP中，AP＝AB＝，综上所述，AP的值为2﹣或2+或．【点评】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质等，解题关键是能够根据题意画出分情况讨论的图形，并结合等腰三角形的性质等进行解答．三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）17．（6分）计算：2cos45°﹣6tan230°﹣sin60°．【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值．【解答】解：原式＝2×﹣6×﹣×＝﹣2﹣＝﹣．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．（8分）一个盒子中装有两个红球，一个白球和一个蓝球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，请你用列表法和画树状图法求两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率（说明：红色和蓝色能配成紫色）【分析】画出树状图即可解决问题．【解答】解：画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中红色和蓝色的结果数4，所以摸到的两个球的颜色能配成紫色的概率＝＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．19．（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，延长BC到点E，使CE＝BC，连结DE．（1）求证：四边形ACED是平行四边形；（2）若BO＝，sin∠CAD＝，请直接写出平行四边形ACED的周长16．【分析】（1）根据矩形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，等量代换得到AD＝CE，根据平行四边形的判定定理即可得到结论；（2）根据矩形的性质得到AC＝BD＝2OB＝5，∠ADC＝90°，解直角三角形即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵CE＝BC，∴AD＝CE，∴AD＝CE，AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD＝2OB＝5，∠ADC＝90°，∵sin∠CAD＝，∴CD＝AC＝4，∴AD＝＝3，∴平行四边形ACED的周长＝2×（3+5）＝16，故答案为：16．【点评】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．四、（每小题8分，共16分）20．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠CBA＝90°，点E为BC的中点，DE ⊥CE．（1）求证：△AED∽△BCE；（2）若AD＝3，BC＝12，求线段DC的长．【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．（2）利用相似三角形的性质以及勾股定理解决问题即可．【解答】（1）证明：∵EC⊥DE，∴∠DEC＝90°，∵∠DAB＝∠CBA＝90°，∴∠ADE+∠AED＝90°，∠AED+∠CEB＝90°，∴∠ADE＝∠CEB，∴△AED∽△BCE．（2）∵△AED∽△BCE，∴＝，∵AE＝EB，∴AE2＝AD•BC＝36，∴AE＝EB＝6，∴DE2＝AD2+AE2＝32+62＝45，EC2＝BE2+BC2＝62+122＝180，∴CD＝＝＝15．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．（8分）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行90km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，求A，C两港之间的距离．【分析】过B作BE⊥AC于E，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB ＝90，过B作BE⊥AC于E，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，AB＝90，∴AE＝BE＝AB＝90km，在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，∴CE＝BE＝30km，∴AC＝AE+CE＝90+30，∴A，C两港之间的距离为（90+30）km．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，三角形的内角和，是基础知识比较简单．五、（本题10分）22．（10分）某商店经营一种文具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，且每件文具售价不能高于40元，设每件文具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式；（2）每件文具的售价定为多少元时，月销售利润为2520元？（3）每件文具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？【分析】（1）根据题意知一件文具的利润为（30+x﹣20）元，月销售量为（230﹣10x），然后根据月销售利润＝一件文具的利润×月销售量即可求出函数关系式．（2）把y＝2520时代入y＝﹣10x2+130x+2300中，求出x的值即可．（3）把y＝﹣10x2+130x+2300化成顶点式，求得当x＝6.5时，y有最大值，再根据0＜x ≤10且x为正整数，分别计算出当x＝6和x＝7时y的值即可．【解答】解：（1）根据题意得：y＝（30+x﹣20）（230﹣10x）＝﹣10x2+130x+2300，自变量x的取值范围是：0＜x≤10且x为正整数；（2）当y＝2520时，得﹣10x2+130x+2300＝2520，解得x1＝2，x2＝11（不合题意，舍去）当x＝2时，30+x＝32（元）答：每件文具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元．（3）根据题意得：y＝﹣10x2+130x+2300＝﹣10（x﹣6.5）2+2722.5，∵a＝﹣10＜0，∴当x＝6.5时，y有最大值为2722.5，∵0＜x≤10且x为正整数，∴当x＝6时，30+x＝36，y＝2720（元），当x＝7时，30+x＝37，y＝2720（元），答：每件文具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元．【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是分析题意，找到关键描述语，求出函数的解析式，用到的知识点是二次函数的性质和解一元二次方程．六、(本题10分）23．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x+b的图象与函数y＝（x＞0）的图象相交于点A（1，6），并与x轴交于点B．点C是线段AB上一点，△OBC与△OBA的面积比为2：3．（1）k＝6，b＝5；（2）求点C的坐标；（3）若将△OBC绕点O顺时针旋转，得到△OB'C'，其中B的对应点是B'，C的对应点是C'，当点C'落在x轴正半轴上，判断点B是否落在函数y＝（x＞0）的图象上，并说明理由．【分析】（1）将A（﹣1，6）代入y＝﹣x+b可求出b的值；将A（1，6）代入y＝可求出k的值；（2）过点C作CM⊥x轴，垂足为M，过点A作AN⊥x轴，垂足为N，由△OBC与△OBA的面积比为2：3，可推出＝，由点A的坐标可知AN＝6，进一步求出CM＝4，即为点C的纵坐标，把y＝4代入y＝x+5中，可求出点C坐标；（3）过点B'作B'F⊥x轴，垂足为F，由题意可知，OC'＝OC＝＝＝，由旋转可知S△OBC ＝S△OB'C′，可求出B'F＝，在Rt△OB'F中，通过勾股定理求出OF的长度，即可写出点B'的坐标，将其坐标代入y＝可知没有落在函数y＝（x＞0）的图象上．【解答】解：（1）将A（1，6）代入y＝x+b，得，6＝1+b，∴b＝5，将A（1，6）代入y＝，得，6＝，∴k＝6，故答案为：6，5；（2）如图1，过点C作CM⊥x轴，垂足为M，过点A作AN⊥x轴，垂足为N，∵△OBC与△OBA的面积比为2：3，∴＝，又∵点A的坐标为（1，6），∴AN＝6，∴CM＝4，即点C的纵坐标为4，把y＝4代入y＝x+5中，得，x＝﹣1，∴C（﹣1，4）；（3）由题意可知，OC'＝OC＝＝＝，如图2，过点B '作B 'F ⊥x 轴，垂足为F ，∵S △OBC ＝S △OB 'C ′，由一次函数y ＝x +5可知B （﹣5，0），∴OB •CE ＝OC '•B 'F ，即5×4＝B 'F ， ∴B 'F ＝，在Rt △OB 'F 中，∵OF ＝＝＝，∴B '的坐标为（，）， ∵×≠6， ∴点B '不在函数y ＝的图象上．【点评】本题考查了待定系数法求解析式，三角形的面积，反比例函数的性质，勾股定理等，解题关键是能够熟练运用反比例函数的性质．七、（本题12分）24．（12分）在正方形ABCD 中，点E 是直线AB 上动点，以DE 为边作正方形DEFG ，DF所在直线与BC所在直线交于点H，连接EH．（1）如图1，当点E在AB边上时，延长EH交GF于点M，EF与CB交于点N，连接CG，①求证：CD⊥CG；②若tan∠HEN＝，求的值；（2）当正方形ABCD的边长为4，AE＝1时，请直接写出EH的长．【分析】（1）①由正方形的性质得出∠A＝∠ADC＝∠EDG＝90°，AD＝CD，DE＝DG，即∠ADE＝∠CDG，由SAS证明△ADE≌△CDG得出∠A＝∠DCG＝90°，即可得出结论；②过点N作NP∥DE，通过全等三角形的性质和相似三角形的性质分别求出GM＝3MF，PN＝MF，即可求解；（2）利用勾股定理可求DE，GN的长，即可求解．【解答】证明：（1）①∵四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，∴∠A＝∠ADC＝∠EDG＝90°，AD＝CD，DE＝DG，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴∠A＝∠DCG＝90°，∴CD⊥CG；②如图1，过点N作NP∥DE，∵四边形DEFG是正方形，∴EF＝GF，∠EFH＝∠GFH＝45°，且HF＝HF，∴△EFH≌△GFH（SAS），∴EH＝GH，∠HEF＝∠HGF，∵∠HEF＝∠HGF，EF＝GF，∠EFM＝∠GFN，∴△EFM≌△GFN（ASA），∴FM＝NF，EM＝GN，∵tan∠HEN＝＝，∴EF＝4MF＝4NF＝GF，∴GM＝3MF＝EN＝3NF，∴NP∥DE，∴△PNE∽△MFE，∴，∴PN＝MF，∵NP∥DE，∴＝，∴；（2）如图1，∵AD＝4，AE＝1，∴DE＝＝＝，∴EF＝GF＝，∴NF＝EF＝，∵GN2＝GF2+NF2，∴GN＝，∵∴GH＝GN＝，∴EH＝GH＝若点E在点A左侧，如图2，设AB与DH于点O，过点F作FN⊥AB，∵∠DEA+∠FEB＝90°，∠DEA+∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠FEB，且∠DAE＝∠FNE＝90°，DE＝EF，∴△ADE≌△NEF（AAS）∴AE＝NF＝1，DA＝EN＝4，∴AN＝3，BN＝1，∵DA∥NF，∴，∴ON＝，∴BO＝，∴AO＝∵DA∥BH，∴，∴BH＝，∴EH＝＝＝【点评】本题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，构造出相似三角形是解本题的关键．八、（本题12分）25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，2），连接BC，位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E，连接AC，BC，PA，PB，PC．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，当直线l运动时，求使得△PEA和△AOC相似的点P点的横坐标；（3）如图1，当直线1运动时，求△PCB面积的最大值；（4）如图2，抛物线的对称轴交x轴于点Q，过点B作BG∥AC交y轴于点G．点H、K分别在对称轴和y轴上运动，连接PH、HK，当△PCB的面积最大时，请直接写出PH+HK+KG的最小值．【分析】（1）根据A和B的坐标设抛物线的解析式为：y＝a（x+2）（x﹣4），把点C （0，2）代入可得：a＝﹣，即可求解；（2）只有当∠PAE＝∠ACO时，△PEA△∽AOC，可得方程，解方程可得P的横坐标；（3）如图1，先确定△PCB的面积最大时，PD最大，设P（x，﹣x2+x+2），D（x，﹣x+2），表示PD的长，根据二次函数的最值可得PD的最大值，最后利用三角形面积公式可得结论；（4）由（3）知：△PCB的面积最大时，P（2，2），则OP＝＝4，如图2，将直线GO绕点G逆时针旋转60°，得到直线a，作PM⊥直线a于M，KM′⊥直线a于M′，则PH+HK+KG＝PH+HK+KM′≥PM，求出PM即可解决问题．【解答】解：（1）∵点A（﹣2，0），点B（4，0），∴设抛物线的解析式为：y＝a（x+2）（x﹣4），把点C（0，2）代入得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣（x+2）（x﹣4）＝﹣x2+x+2；（2）设P（x，﹣x2+x+2），∵动直线l在y轴的右侧，P为抛物线与l的交点，∴0＜x＜4，∵点A（﹣2，0）、C（0，2），∴OA＝2，OC＝2，∵l⊥x轴，∴∠PEA＝∠AOC＝90°，∵∠PAE≠∠CAO，∴只有当∠PAE＝∠ACO时，△PEA∽△AOC，此时，即＝，3x2﹣2x﹣16＝0，（x+2）（3x﹣8）＝0，x＝﹣2（舍）或，则点P的横坐标为；（3）如图1，△PCB的面积＝，∵OB＝4是定值，∴当PD的值最大时，△PCB的面积最大，∵B（4，0），C（0，2），设直线BC的解析式为：y＝kx+b，则，解得：，∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+2，设P（x，﹣x2+x+2），D（x，﹣x+2），∴PD＝（﹣x2+x+2）﹣（﹣+2）＝﹣+x＝﹣（x﹣2）2+，∵﹣＜0，∴当x＝2时，PD有最大值是，此时△PCB的面积＝＝×4＝2；（4）如图2中，△AOC中，OA＝2，OC＝2，∴AC＝4，∴∠ACO＝30°，∵BG∥AC，∴∠BGO＝∠ACO＝30°，Rt△BOG中，OB＝4，∴OG＝4，由（3）知：△PCB的面积最大时，P（2，2），则OP＝＝4，如图2，将直线GO绕点G逆时针旋转60°，得到直线a，作PM⊥直线a于M，KM′⊥直线a于M′，则PH+HK+KG＝PH+HK+KM′≥PM，∵P（2，2），∴∠POB＝60°，∵∠MOG＝30°，∴∠MOG+∠BOC+∠POB＝180°，∴P，O，M共线，Rt△OMG中，OG＝4，MG＝2，∴OM＝6，可得PM＝10，∴PH+HK+KG的最小值为10．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了一次函数的性质，二次函数的性质，垂线段最短，相似三角形的判定和性质，一元二次方程等知识，解题的关键是，学会用转化的思想思考问题，把最短问题转化为垂线段最短，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。

一、选择题（每题5分，共25分）1. 如果a > b，那么下列哪个不等式一定成立？A. a + 1 > b + 1B. a - 1 > b - 1C. a / 2 > b / 2D. a 2 > b 2答案：A2. 下列哪个数是负数？A. 2的平方根B. -3的平方根C. 3的立方根D. 4的立方根答案：B3. 一个数的倒数是它的相反数，这个数是：A. 1B. -1C. 0D. 不存在答案：B4. 在直角坐标系中，点P(2, -3)关于x轴的对称点是：A. (2, 3)B. (-2, 3)C. (2, -3)D. (-2, -3)答案：A5. 下列哪个函数的图像是一条直线？A. y = x^2B. y = 2x + 3C. y = √xD. y = log2x答案：B二、填空题（每题5分，共25分）6. √(16 - 9) = _______答案：√77. 2x - 5 = 3x + 1的解是 x = _______答案：-68. 若a + b = 5，a - b = 3，则a = _______，b = _______答案：4，19. 在等腰三角形ABC中，AB = AC，若∠B = 40°，则∠C = _______答案：140°10. 下列哪个数是正数？A. -5B. -√9C. √4D. -√4答案：C三、解答题（每题10分，共40分）11. 解下列方程组：\[\begin{cases}2x + 3y = 8 \\x - y = 1\end{cases}\]答案：将第二个方程变形为 x = y + 1，代入第一个方程得：2(y + 1) + 3y = 82y + 2 + 3y = 85y = 6y = 1.2将y的值代入 x = y + 1 得：x = 1.2 + 1x = 2.2所以，方程组的解为 x = 2.2，y = 1.2。

12. 已知函数 f(x) = 3x - 2，求 f(-1) 和 f(2) 的值。

2019-2020学年九年级（上）期末数学试卷一．选择题（共10小题）1.在比例尺为1：n的某市地图上，A，B两地相距5cm，则A，B之间的实际距离为（）A. 15n cm B.1252n cm C. 5ｎcm D. 252n cm【答案】C【解析】【详解】设A、B之间的实际距离为xcm，则1：n=5：x，解得x=5ncm，故选C．点睛：本题考查了比例尺的性质，解题的关键是根据比例尺的性质列方程，解方程即可，注意统一单位．2.如图，是由四个完全相同的小正方形组成的立体图形，它的俯视图是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案．【详解】解：从上边看第一层一个小正方形，第二层在第一层的正上方一个小正方形，右边一个小正方形，故选B．【点睛】简单组合体的三视图．从上边看得到的图形是俯视图．3.有三张正面分别写有数字1，2，﹣3的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，记录卡片上的数字，然后放回卡片，再将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，记录卡片上的数字，则记录的两个数字乘积是正数的概率是（）A. 12B. 13C. 23D. 59【答案】D【解析】【分析】可用列树状图的方法分析出共有几种情况，再找出符合题意的情况即可得出答案.【详解】根据题意画图如下：由树状图知，共有9种等可能结果，其中两个数字乘积是正数的有5种，则记录的两个数字乘积是正数的概率是59； 故选：D ．【点睛】本题考查的是概率的问题，能够画出树状图分析出具体情况是解题的关键.4.若菱形的一条边长为5cm ，则这个菱形的周长为（ ）A. 20cmB. 18cmC. 16cmD. 12cm【答案】A【解析】【分析】根据菱形的性质可知菱形四边都相等，继而可求周长.【详解】∵菱形的四条边都相等，∴其边长都为5cm ，∴菱形的周长＝4×5＝20cm ．故选：A ．【点睛】本题考查的是菱形的性质和周长，能够知道菱形四边都相等是解题的关键.5.一元二次方程()2x 616+=可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x 64+=，则另一个一元一次方程是【 】A. x 64-=-B. x 64-=C. x 64+=D. x 64+=- 【答案】D【解析】将()2x 616+=两边开平方，得x 64+=±，则则另一个一元一次方程是x 64+=-．故选D ．6.如图，ABC ∆中，D 、E 分别在AB 、AC 上，下列条件中不能判断ADE ACB ∆∆的是（ ）A. ADE C ∠=∠B. AED B ∠=∠C. AD AE AC AB =D. AD DE AC BC= 【答案】D【解析】【分析】 根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可．【详解】解：A.∠ADE=AC ，∠A=∠A ，则可判断△ADE ∽△ACB ，故此选项错误；B. AED B ∠=∠，∠A=∠A ，则可判断△ADE ∽△ACB ，故此选项错误；C.AD AE ACAB =，且夹角∠A=∠A ，能确定△ADE ∽△ACB ，故此选项错误； D. AD DE AC BC=，不能判定△ADE ∽△ACB ，故此选项正确. 故选：D. 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．7.公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m ，另一边减少了2m ，剩余空地的面积为18m 2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm ，则可列方程为（ ）A. （x+1）（x+2）=18B. x 2﹣3x+16=0C. （x ﹣1）（x ﹣2）=18D. x 2+3x+16=0【答案】C【解析】 【详解】试题分析：可设原正方形的边长为xm ，则剩余的空地长为（x ﹣1）m ，宽为（x ﹣2）m ．根据长方形的面积公式列方程可得()()-1-2x x =18．故选C ．考点：由实际问题抽象出一元二次方程．8.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC 的顶点A ，B 分别在x 轴，y 轴的负半轴上，∠ABC ＝90°，CA ⊥x 轴，点C 在函数y ＝k x（x ＜0）的图象上，若AB ＝1，则k 的值为（ ）A. 1B. ﹣1 2 D. 2-【答案】A【解析】【分析】 根据“等腰直角三角形ABC 的顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的负半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x 轴，AB ＝1”可知∠BAC＝∠BAO＝45°，继而可知OA ，OB 与AC 的长，从而可以确定点C 的坐标，然后根据点C 在函数图像上，代入求解即可.【详解】∵等腰直角三角形ABC 顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的负半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x 轴，AB ＝1，∴∠BAC＝∠BAO＝45°，∴OA＝OB ＝22，AC ＝2， ∴点C 的坐标为222⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝，， ∵点C 在函数()0k y x x=<的图象上， ∴()2212k =-⨯-=， 故选：A ．【点睛】本题考查的是直角三角形与坐标的关系和反比例函数，能够确定点C 的坐标是解题的关键.9.在一个不透明的袋子里装有3个黑球和若干白球，它们除颜色外都相同．在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计其中白球数，采用如下办法：随机从中摸出一球，记下颜色后放回袋中，充分摇匀后，再随机摸出一球，记下颜色，…不断重复上述过程．小明共摸100次，其中20次摸到黑球．根据上述数据，小明估计口袋中白球大约有（ ）A. 10个B. 12 个C. 15 个D. 18个【答案】B【解析】试题分析：小明共摸了100次，其中20次摸到黑球，则有80次摸到白球；摸到黑球与摸到白球的次数之比为1：4，由此可估计口袋中黑球和白球个数之比为1：4；即可计算出白球数．解：∵小明共摸了100次，其中20次摸到黑球，∴有80次摸到白球，∴摸到黑球与摸到白球的次数之比为1：4，∴口袋中黑球和白球个数之比为1：4，3÷=12（个）． 故选B ．点评：本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．10.二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，且a ≠0）的图象如图所示，图象与x 轴交点都在点（﹣3，0）的右边，下列结论：①b 2＞4ac ，②abc ＞0，③2a +b ﹣c ＞0，④a +b +c ＜0，其中正确的是（ ）A. ①②B. ①②④C. ②③D. ①②③④【答案】B【解析】【分析】 根据图像与x 轴的交点个数可知二次函数有两个不相等的实数根，所以>0，可判断①；根据图像开口放向，对称轴与y 轴的关系和与y 轴的交点在正半轴可判断a ，b ，c 的正负，从而可以判断②；根据对称轴为x=-1可判断③；然后即可选出答案.【详解】①由图可知，抛物线与x 轴有两个交点，则b 2﹣4ac ＞0，则b 2＞4ac ，故符合题意；②由图可知，抛物线对称轴在y 轴左侧，则a 、b 同号，即ab ＞0．又抛物线与y 轴交于正半轴，则c ＞0，所以abc ＞0，故符合题意；根据对称轴为直线x ＝﹣1，抛物线与x 轴一个交点﹣3＜x 1＜﹣2可判断④. ③由图可知，对称轴x ＝2b a＝﹣1，则b ＝2a ． ∴2a+b﹣c ＝4a ﹣c ，∵a＜0，4a ＜0，c ＞0，﹣c ＜0，∴2a+b﹣c ＝4a ﹣c ＜0，故不符合题意；④∵对称轴为直线x ＝﹣1，抛物线与x 轴一个交点﹣3＜x 1＜﹣2，∴抛物线与x 轴另一个交点0＜x 2＜1，当x ＝1时，y ＝a+b+c ＜0，故符合题意；综上所述，正确的结论是：①②④．故选：B ．【点睛】本题考查的是二次函数图像的综合问题，能够根据二次函数图像分析出各系数的情况是解题的关键.二．填空题（共6小题）11.将二次函数245y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式为__________．【答案】22()1y x =-+【解析】【分析】利用配方法整理即可得解．【详解】解：222454()4121y x x x x x =-+=-++=-+，所以22()1y x =-+．故答案为22()1y x =-+．【点睛】本题考查了二次函数的解析式有三种形式： (1)一般式：2(y ax bx c =++0,a a b c ≠、、为常数)； (2)顶点式：2()y a x h k =-+；(3)交点式(与x 轴)：12()()y a x x x x =--．12.如图，在边长为1的正方形网格中，两个三角形的顶点都在小正方形的顶点，且两个三角形是位似图形，点O 和点P 也在小正方形的顶点，则这两个三角形的位似中心是点_____．【答案】P．【解析】【分析】把图形的对应定点连线，都相交的那个点就是位似中心.【详解】如图所示：这两个三角形的位似中心是点P．故答案为：P．【点睛】本题考查的是位似图形的位似中心，解题的关键是知道位似图形的对应点的连线相交的点就是位似中心.13.反比例函数y＝kx（k≠0）的图象上有一点P（2，n），将点P向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到点Q．若点Q也在该函数的图象上，则n＝_____．【答案】3．【解析】【分析】根据“将点P向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到点Q”可知点Q的坐标，再根据P，Q都在函数图像上即可解得n的值.【详解】∵点P的坐标为（2，n），将点P向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到点Q．∴点Q的坐标为（3，n﹣1），依题意得：k＝2n＝3（n﹣1），解得：n＝3，故答案：3．【点睛】本题考查的是反比例函数和几何变换，掌握坐标系中点的坐标向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减的变化是解题的关键.14.三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程2x-6x+8=0的解，则此三角形的第三边长是_____ 【答案】4【解析】【分析】求出方程的解，有两种情况：x=2时，看看是否符合三角形三边关系定理；x=4时，看看是否符合三角形三边关系定理；求出即可．【详解】解：x2-6x+8=0，（x-2）（x-4）=0，x-2=0，x-4=0，x1=2，x2=4，当x=2时，2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，所以x=2舍去，当x=4时，符合三角形的三边关系定理，此三角形的第三边长是4，故答案为4．【点睛】本题考查三角形的三边关系定理和解一元二次方程等知识点，关键是掌握三角形的三边关系定理，三角形的两边之和大于第三边．15.两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4.5cm．如果它们的面积和为78cm2，那么较大多边形的面积为_____cm2．【答案】54.【解析】【分析】根据位似比等于相似比，相似比的平方等于相似图形的面积比列式计算即可.【详解】设较大多边形的面积为xcm2，则较小多边形的面积为：（78﹣x）cm2，∵两个相似多边形的一组对应边长分别为3cm和4.5cm，∴x：（78﹣x）＝4.52：32，解得x＝54．故答案为：54.【点睛】本题考查的是位似与相似，知道位似比就是相似比，相似比的平方就是相似图形的面积比是解题的关键.16.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在AD边上且不与点A和点D重合，点O是对角线BD 的中点，当△OED是等腰三角形时，AE的长为_____．【答案】3310或5﹣342．【解析】【分析】分三种情况讨论：①当OE＝DE时，△OED是等腰三角形，连接OA，根据勾股定理可求BD，根据点O是中点可知OD＝OB＝OA，进而可证得△ODE∽△ADO，得到相似比即可求出答案；②DE＝OD，继而可知AE=AD-OD；③OD＝OEE与点A重合，不合题意舍去，故此可得出最终答案.【详解】①当OE＝DE时，△OED是等腰三角形，如图1，连接OA，在矩形ABCD中，CD＝AB＝3，AD＝BC＝5，∠BAD ＝90°，在Rt△ABD中，根据勾股定理得，BD34∵O是BD中点，∴OD＝OB＝OA＝342，∴∠OAD＝∠ODA，∵OE＝DE，∴∠EOD＝∠ODE，∴∠EOD＝∠ODE＝∠OAD，∴△ODE∽△ADO，∴DO DE AD DO =，∴DO 2＝DE•DA， ∴设AE ＝x ，∴DE＝5﹣x ，∴234⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭＝5（5﹣x ）， ∴x＝3310， 即：AE ＝3310；②如图2，当DE ＝OD ＝342时，当△OED 是等腰三角形， ∴AE＝534 ③当OD ＝OE ＝342时，当E 与点A 重合，不合题意舍去， 综上所述，当△OED 是等腰三角形时，AE 的长为3310或534 故答案为：3310或5-342． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定和相似三角形的判定与性质，能够分情况讨论是解题的关键.三．解答题（共9小题）17.如果23x y =，那么+-x y x y＝________． 【答案】-5．【解析】【分析】把23x y =变形为23y x =，代入比例式即可求解答案． 【详解】解：∵23x y = ∴23y x = ∴23523y y x y y x y y ++==---． 考点：比例的性质．18.解方程:x 2－5x ＋1=0.【答案】x=2±3【解析】试题分析：先找出a ，b ，c ，求出△=b 2-4ac 的值，再代入求根公式x=242b b c a a -±-计算即可． 试题解析：∵a=1，b=−5，c=1，△=b 2−4ac=25−4=21，∴x=5212±， ∴x 1=5212+，x 2=5212-. 19. 如图，点E ，F 分别是锐角∠A 两边上的点，AE=AF ，分别以点E ，F 为圆心，以AE 的长为半径画弧，两弧相交于点D ，连接DE ，DF ．（1）请你判断所画四边形的性状，并说明理由；（2）连接EF ，若AE=8厘米，∠A=60°，求线段EF 的长．【答案】（1）详见解析（2）EF= 8【解析】【分析】（1）由AE=AF=ED=DF，根据四条边都相等的四边形是菱形，即可证得：四边形AEDF是菱形，（2）首先连接EF，由AE=AF，∠A=60°，可证得△EAF是等边三角形，则可求得线段EF的长.【详解】解：（1）菱形，理由如下：∵根据题意得：AE=AF=ED=DF，∴四边形AEDF是菱形；（2）连接EF，∵AE=AF，∠A=60°，∴△EAF是等边三角形，∴EF=AE=8厘米.20.从1，2，3，4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，请用树状图或列表法求：“关于x的一元二次方程ax2+4x+c＝0有实数根的概率．【答案】关于x的一元二次方程ax2+4x+c＝0有实数根的概率为12．【解析】【分析】根据树状图可以得出共有12种情况，再根据判别式与根的情况列式，即可得出满足条件的有6种情况，从而的得出答案.【详解】解：画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中满足△＝16﹣4ac≥0，即ac≤4的结果数有6，则关于x 的一元二次方程ax 2+4x+c ＝0有实数根的概率61122=． 【点睛】本题考查的判别式与二次方程根的情况和概率的知识，能够根据判别式与跟的关系得出ac 的范围是解题的关键.21.如图，一次函数y ＝x ﹣3的图象与反比例函数y ＝k x（k ≠0）的图象交于点A 与点B （a ，﹣4）．（1）求反比例函数的表达式；（2）一次函数y ＝x ﹣3的图象与x 轴交于点M ，连接OB ，求△OBM 的面积；（3）若动点P 是第一象限内双曲线上的点（不与点A 重合），连接OP ，且过点P 作y 轴的平行线交直线AB 于点C ，连接OC ，若△POC 的面积为3，请直接写出点P 的坐标．【答案】（1）y ＝4x ；（2）△OBM 的面积为6；（3）点P 的坐标为（5，45）或（1，4）或（2，2）． 【解析】【分析】（1）根据点B 在一次函数上可以求出点B 的坐标，在将点B 代入反比例函数中即可求出反比例表达式；（2）先确定点M 的坐标，再结合点B 的坐标即可求出△OBM 的面积；（3）先联立一次函数与反比例函数解析式求出点A 坐标，再根据点P 在第一象限反比例函数上，可设点P 坐标为（m ，4m ）（m ＞0），从而可知点C 的坐标，根据两点之间的距离公式可知PC 之间的距离，再根据三角形的面积公式列式解答即可.【详解】（1）将B （a ，﹣4）代入一次函数y ＝x ﹣3中得：a ＝﹣1∴B（﹣1，﹣4）将B （﹣1，﹣4）代入反比例函数()0k y k x=≠中得：k ＝4∴反比例函数的表达式为4 yx=；（2）由一次函数y＝x﹣3可知：M（3，0），∴OM＝3，∵B（﹣1，﹣4），∴△OBM的面积：134=62⨯⨯（3）解34y xyx=-⎧⎪⎨=⎪⎩得14xy=-⎧⎨=-⎩或41xy=⎧⎨=⎩，∴A（4，1）如图：设点P 的坐标为（m，4m）（m＞0），则C（m，m﹣3）∴()43PC m m=--，点O到直线PC的距离为m ∴△POC的面积＝()14332m m m⨯--=解得：m＝5或﹣2或1或2 ∵点P不与点A重合，且A（4，1）∴m≠4又∵m＞0 ∴m＝5或1或2 ∴点P的坐标为（5，45）或（1，4）或（2，2）．【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合题，能够熟练掌握相关知识是解题的关键.22.如图，四边形ABCD 中，AC ⊥BD 垂足为点E ，点F ，M 分别是AB ，BC 的中点，BN 平分∠ABE 交AM 于点N ，AB ＝AC ＝BD ，连接NF ．（1）判断线段MN 与线段BM 的位置关系与数量关系，说明理由；（2）如果CD ＝5，求NF 的长．【答案】（1）位置关系：MN⊥BM，数量关系：MN ＝BM ，理由见解析；（2）NF ＝52． 【解析】【分析】（1）根据AB=AC ，点M 是BC 的中点，可证MN⊥BM，AM 平分∠BAC，再根据BN 平分∠ABE 可得出∠MNB 的度数，从而可得MN=BM ；（2）连接FM ，可证FM∥AC，FM ＝12AC ，从而可得12FM BD =，结合（1）可得12MN BC =，再根据等式的性质通过倒角的关系可知∠NMF＝∠CBD，从而可证△MFN∽△BDC，从而即可求出答案.【详解】（1）位置关系：MN⊥BM，数量关系：MN ＝BM ，理由如下：∵AB＝AC ，点M 是BC 的中点，∴AM⊥BC，AM 平分∠BAC，即MN⊥BM，∵BN 平分∠ABE，∴∠EBN＝∠ABN，∵AC⊥BD，∴∠AEB＝90°，∴∠EAB+∠EBA＝90°， ∴∠MNB＝∠NAB+∠ABN＝12（∠EAB+∠EBA）＝45°，且AM⊥BC， ∴∠MBN＝45°＝∠MNB，∴MN＝BM；（2）连接FM，∵点F，M分别是AB，BC的中点，∴FM∥AC，FM＝12 AC，∵AC＝BD，∴FM＝12BD，即12FMBD=，由（1）知△BMN是等腰直角三角形，∴MN＝BM＝12BC，即12MNBC=，∴FM MN BD BC=，∵AM⊥BC，∴∠NMF+∠FMB＝90°，∵FM∥AC，∴∠ACB＝∠FMB，∵∠CEB＝90°，∴∠ACB+∠CBD＝90°，∴∠CBD+∠FMB＝90°，∴∠NMF＝∠CBD，且FM MN BD BC=，∴△MFN∽△BDC，∴12FN MNCD BC==，且CD＝5，∴F N＝52．【点睛】本题是一道综合题，考查了等腰三角形的三线合一，三角形中位线性质，平行线的性质和相似三角形的判定等知识，能够数量掌握这些知识解题的关键.23.某商店购进一批成本为每件 30 元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量 y （件）与销售单价 x （元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示.（1）求该商品每天的销售量 y 与销售单价 x 之间的函数关系式；（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于 50 元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润 w （元）最大？最大利润是多少？（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于 800 元，则每天的销售量最少应为多少件？【答案】（1）2160y x =-+；（2）50x =时，w 最大1200=；（3）70x =时，每天的销售量为20件.【解析】【分析】（1）将点（30，150）、（80，100）代入一次函数表达式，即可求解；（2）由题意得w=（x-30）（-2x+160）=-2（x-55）2+1250，即可求解；（3）由题意得（x-30）（-2x+160）≥800，解不等式即可得到结论．【详解】（1）设y 与销售单价x 之间的函数关系式为：y=kx+b ，将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式得：100307045k b k b+⎧⎨+⎩＝＝， 解得：2160k b -⎧⎨⎩＝＝， 故函数的表达式为：y=-2x+160；（2）由题意得：w=（x-30）（-2x+160）=-2（x-55）2+1250，∵-2＜0，故当x ＜55时，w 随x 的增大而增大，而30≤x≤50，∴当x=50时，w 由最大值，此时，w=1200，故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元；（3）由题意得：（x-30）（-2x+160）≥800，解得：x≤70，∴每天的销售量y=-2x+160≥20，∴每天的销售量最少应为20件．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次不等式的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量×每件的利润=w 得出函数关系式是解题关键．24.△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝α，点D 是平面内不与点A 和点B 重合的一点，连接DB ，将线段DB 绕点D 顺时针旋转α得到线段DE ，连接AE 、BE 、CD ．（1）如图①，点D 与点A 在直线BC 的两侧，α＝60°时，AE CD 的值是 ；直线AE 与直线CD 相交所成的锐角的度数是 度；（2）如图②，点D 与点A 在直线BC 两侧，α＝90°时，求AE CD 的值及直线AE 与直线CD 相交所成的锐角∠AMC 的度数；（3）当α＝90°，点D 在直线AB 的上方，S △ABD ＝12S △ABC ，请直接写出当点C 、D 、E 在同一直线上时，BE CD 的值．【答案】（1）1，60；（2）∠AMC ＝45°；（3）BE CD的值为22或2． 【解析】【分析】 （1）延长AE ，CD 交于点H ，根据旋转的性质可知DE=BD ，∠BDE=60°，从而可知△BDE，从而可证△ABE≌△CBD，从而可知AE CD，再根据角的关系即可求出∠AHB； （2）先证△ABE∽△CBD，可以得到2AE AB CD CB ==的度数； （3）分两种情况讨论即可：①点D ，点A 在直线BC 两侧，②点A ，点D 在直线BC 同侧.【详解】（1）如图1，延长AE ，CD 交于点H ，∵将线段DB 绕点D 顺时针旋转α得到线段DE ， ∴DE＝BD ，∠BDE＝60°，∴△BDE 是等边三角形，∴BD＝BE ，∠DBE＝60°，∵△ABC 是等边三角形，∴AB＝BC ，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABE＝∠CBD，且BE ＝BD ，AB ＝BC ，∴△ABE≌△CBD（SAS ）∴AE＝CD ，∠DCB＝∠BAE， ∴AE CD＝1， ∵∠BAC+∠ACB＝120°，∴∠BAE+∠CAE+∠ACB＝120°，∴∠CAE+∠ACB+∠BCD＝120°∴∠CAE+ACH＝120°，∴∠AHB＝60°，故答案为：1，60．（2）∵AC＝BC ，∠ACB＝90°， 2BC ，∠ABC＝45°，∵将线段DB 绕点D 顺时针旋转90°得到线段DE ， ∴DE＝BD ，∠BDE＝90°， 2BD ，∠DBE＝45°，∴∠DBE＝∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBD，且2AB BE BC BD==，∴△ABE∽△CBD， ∴2AE AB CD CB==，∠BAE＝∠BCD， ∵∠BAC+∠ACB＝135°＝∠ACB+∠CAM+∠BAE， ∴∠ACB+∠CAM+∠BCD＝∠CAM+∠ACM＝135°，∴∠AMC＝45°；（3）①若点D ，点A 在直线BC 两侧，如图3，分别取AC ，BC 中点G ，H ，连接GH ，∵12ABD ABC S S ＝，∴点D 在直线GH 上，∵∠ACB＝∠BDE＝90°，AC ＝BC ，DE ＝BD ，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∠DEB＝∠DBE＝45°，BE 2BD ，∵点G ，点H 分别是AC ，BC 的中点， ∴GH∥AB，∴∠DHB＝∠ABC＝45°，∵点C 、E 、D 三点共线， ∴∠CDB＝90°，且点H 是BC 中点，∴DH＝CH ＝BH ，∴∠HCD＝∠HDC，且∠HCD+∠HDC＝∠BHD＝45°，∴∠HCD＝∠HDC＝22.5°，∵∠BED＝∠BCE+∠CBE＝45°，∴∠BCE＝∠CBE＝22.5°，∴BE＝CE 2BD ，∴CD＝CE+DE 2+1）BD ，∴22221BE CD ==-+； ②若点A ，点D 在直线BC 同侧，如图4，分别取AC ，BC 中点G ，H ，连接GH ，∵12ABD ABC S S ＝，∴点D 在直线GH 上，∵∠ACB＝∠BDE＝90°，AC ＝BC ，DE ＝BD ，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∠DEB＝∠DBE＝45°，BE 2BD ，∵点G ，点H 分别是AC ，BC 的中点，∴GH∥AB，∴∠DHC＝∠ABC＝45°，∵点C 、E 、D 三点共线，∴∠CD B ＝90°，且点H 是BC 中点，∴DH＝CH ＝BH ，∴∠HBD＝∠HDB，且∠HBD+∠HDB＝∠CHD＝45°，∴∠HBD＝∠HDB＝22.5°，∵∠ECB＝67.5°，∠EBC＝∠EBD+∠DBC＝67.5°，∴∠BCE＝∠CBE＝67.5°，∴BE＝CE 2BD ，∴CD＝CE ﹣DE 2﹣1）BD ，∴22221BE CD ==- 综上所述：BE CD 的值为22-22+． 【点睛】本题是一道相似综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质与判定等相关知识，解题关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题.25.如图，在平面直角坐标系中，点C是y轴正半轴上的一个动点，抛物线y＝ax2﹣5ax+4a（a是常数，且a ＞0）过点C，与x轴交于点A、B，点A在点B的左边．连接AC，以AC为边作等边三角形ACD，点D与点O在直线AC两侧．（1）求点A，B的坐标；（2）当CD∥x轴时，求抛物线的函数表达式；（3）连接BD，当BD最短时，请直接写出抛物线的函数表达式．【答案】（1）点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0）；（2）y 3253x3；（3）y332153x33．【解析】【分析】（1）根据抛物线解析式求解与x轴的交点坐标即y=0是x的值，即可得出A，B的坐标；（2）根据三角形ACD是等边三角形可知∠OCA的度数，根据三角函数值可求点C坐标，从而可求答案；（3）过点D作DE⊥AC于点E，过点D作x轴的垂线于点H，过点E作EF∥x轴交y轴于点F交DH于点G，根据点E坐标进一步求△CFE∽△EGD，进而可求答案.【详解】（1）y＝ax2﹣5ax+4a，令y＝0，则x＝1或4，∵点A在点B的左边故点A、B的坐标分别为：（1，0）、（4，0）；（2）∵点A坐标为（1,0），∴OA=1∵△ACD是等边三角形，∴∠DCA=60°当CD∥x轴时，∠DCO=90°∴∠ACO=30°，则∠OCA＝60°，则OC ＝OAtan60°=3，故点C （0，3）， 即3＝4a ，解得：a ＝3， 故抛物线的表达式为：2353344y x x =-+； （3）如图，过点D 作DE⊥AC 于点E ，过点D 作x 轴的垂线于点H ，过点E 作EF∥x 轴交y 轴于点F 交DH 于点G ，∵△ACD 为等边三角形，则点E 为AC 的中点，则点E （12，2a ），AE ＝CE 3ED ， ∵∠CEF+∠FCE＝90°，∠CEF+∠DEG＝90°，∴∠DEG＝∠ECF， ∴△CFE∽△EGD，∴3CF CE EF EG ED DG ===EF ＝12，CF ＝2a ， 解得：GE ＝23，DG 3D （133,22a ++）， BD 2＝（2221333332342162a a ⎛⎛⎛⎫+++= ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故当a 33BD 最小， 故抛物线的表达式为：y ＝23315333882x x -+． 【点睛】本题是一道二次函数综合题，考查等边三角形的性质，三角函数值，相似三角形的判定与性质，二次函数综合问题等知识，能够充分调动所学知识是解题的关键.初中数学公式大全1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12 两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180 °18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 平行四边形判定定理 1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形21 平行四边形判定定理 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形22 平行四边形判定定理 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形23 平行四边形判定定理 4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形24 矩形性质定理 1 矩形的四个角都是直角25 矩形性质定理 2 矩形的对角线相等26 矩形判定定理 1 有三个角是直角的四边形是矩形27 矩形判定定理 2 对角线相等的平行四边形是矩形28 菱形性质定理 1 菱形的四条边都相等29 菱形性质定理 2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角30 菱形面积= 对角线乘积的一半，即S= （a×b ）÷231 菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形32 菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形33 正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等34 正方形性质定理2 正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角35 定理1 关于中心对称的两个图形是全等的36 定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分37 逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称38 等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等。

沈阳市铁西区2019届九年级上期末数学试卷含答案解析一、选择题（每题3分）1．一元二次方程x（2x+3）=5的常数项是（）A．﹣5 B．2 C．3 D．52．如图所示的几何体的左视图是（）A．B．C．D．3．有三张正面分别写有数字﹣1，1，2的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为a的值，然后再从剩余的两张卡片随机抽一张，以其正面的数字作为b的值，则点（a，b）在第二象限的概率为（）A．B．C．D．4．下列关于矩形的说法，正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相平分的四边形是矩形C．矩形的对角线互相垂直且平分D．矩形的对角线相等且互相平分5．小明乘车从广州到，行车的平均速度y（km/h）和行车时间x（h）之间的函数图象（）A．B．C．D．6．如图，小强和小明去测量一座古塔的高度，他们在离古塔60m的A处，用测角仪测得古塔顶的仰角为30°，已知测角仪高AD=1.5m，则古塔BE的高为（）A．（20﹣1.5）m B．（20+1.5）m C．31.5m D．28.5m7．若两个相似三角形的面积比为2：3，那么这两个三角形的周长的比为（）A．4：9 B．2：3 C．：D．3：28．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（）A．（2，10）B．（﹣2，0） C．（2，10）或（﹣2，0）D．（10，2）或（﹣2，0）二、填空题（每题4分）9．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=12，sinA=______．10．我们知道，平行光线所形成的投影称为平行投影，当平行光线与投影面______，这种投影称为正投影．11．已知关于x的一元二次方程x2+bx+b﹣1=0有两个相等的实数根，则b的值是______．12．反比例函数y=的图象，当x＞0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是______．13．如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥DC交BC于点E，若AD=8cm，则OE的长为______cm．14．如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC边上，DE与AC相交于点F，如果AB=9，BD=3，那么CF的长度为______．15．某小区年屋顶绿化面积为2000平方米，计划年屋顶绿化面积要达到2880平方米，如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是______．16．如图，Rt△ABO中，∠AOB=90°，∠ABO=30°，点A在第二象限，点B在第一象限，过点A的反比例函数表达式为y=﹣，则过点B的反比例函数表达式为______．三、解答题17．计算：2cos30°﹣tan45°﹣．18．已知，如图，在△ABC中，点D在AB边上，连接CD，∠1=∠2．（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）如果AD=2，BD=1，求AC的长．19．学校旁边的文具店里有A、B、C、D四种笔记本，每种笔记本数量充足，某同学去该店购买笔记本，每种笔记本被选中的可能性相同．（1）若他去买一本笔记本，则他买到A种笔记本的概率是______；（2）若他两次去买笔记本，每次买一本，且两次所买笔记本品种不同，请用树状图或列表法求出恰好买到A种笔记本和C种笔记本的概率．20．已知，如图，△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥BC，AD：DB=7：5，AC=24，求DE 的长．21．已知：y=2x2﹣ax﹣a2，且当x=1时，y=0，先化简，再求值：（1﹣）÷．五、解答题22．如图，一艘渔船位于小岛M的北偏东42°方向、距离小岛180海里的A处，渔船从A 处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东60°方向的B处．（1）求渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离（参考数据：参考数据：sin42°≈0.6691，cos42°≈0.7431，tan42°≈0.9044，≈1.732，结果精确到0.1海里）（2）若渔船以20海里/小时的速度从B沿BM方向行驶，求渔船从B到达小岛M的航行时间（结果精确到0.1小时）23．如图，直线y=x﹣1与反比例函数y=的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，已知点A的坐标为（﹣1，m）．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P（n，﹣1）是反比例函数图象上一点，过点P作PE⊥x轴于点E，延长EP交直线AB于点F，求△CEF的面积．24．通过市场调查，一段时间内某地区某一种农副产品的需求数量y（千克）与市场价格xx（元/千克）成正比例关系：z=400x（0＜x＜30）．现不计其它因素影响，如果需求数量y等于生产数量z，那么此时市场处于平衡状态．（1）请通过描点画图探究y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；（2）根据以上市场调查，请你分析：当市场处于平衡状态时，该地区这种农副产品的市场价格与这段时间内农民的总销售收入各是多少？（3）如果该地区农民对这种农副产品进行精加工，此时生产数量z与市场价格x的函数关系发生改变，而需求数量y与市场价格x的函数关系未发生变化，那么当市场处于平衡状态时，该地区农民的总销售收入比未精加工市场平衡时增加了17600元．请问这时该农副产品的市场价格为多少元？25．如图①所示，矩形ABCD一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的点P处，折痕与边BC交于点O，连接AP，OP，OA，△PDA的面积是△OCP的面积的4倍．（1）求证：△OCP∽△PDA；（2）求边AB的长；（3）连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．①按上面的叙述在图②中画出正确的图象；②当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．-学年九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分）1．一元二次方程x（2x+3）=5的常数项是（）A．﹣5 B．2 C．3 D．5【考点】一元二次方程的一般形式．【分析】方程整理为一般形式后，找出常数项即可．【解答】解：方程整理得：2x2+3x﹣5=0，则常数项为﹣5，故选A．2．如图所示的几何体的左视图是（）A．B．C．D．【考点】简单几何体的三视图．【分析】找到从几何体的左边看所得到的图形即可．【解答】解：从几何体的左边看可得直角三角形，故选：A．3．有三张正面分别写有数字﹣1，1，2的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为a的值，然后再从剩余的两张卡片随机抽一张，以其正面的数字作为b的值，则点（a，b）在第二象限的概率为（）A．B．C．D．【考点】列表法与树状图法；点的坐标．【分析】画出树状图，然后确定出在第二象限的点的个数，再根据概率公式列式进行计算即可得解．【解答】解：根据题意，画出树状图如下：一共有6种情况，在第二象限的点有（﹣1，1）（﹣1，2）共2个，所以，P==．故选B．4．下列关于矩形的说法，正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相平分的四边形是矩形C．矩形的对角线互相垂直且平分D．矩形的对角线相等且互相平分【考点】矩形的判定与性质．【分析】根据定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．矩形的性质：1．矩形的四个角都是直角2．矩形的对角线相等3．矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等4．矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线）． 5．对边平行且相等6．对角线互相平分，对各个选项进行分析即可．【解答】解：A、因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以本选项错误；B、因为对角线互相平分且相等的四边形是矩形，所以本选项错误；C、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项错误；D、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项正确．故选：D．5．小明乘车从广州到，行车的平均速度y（km/h）和行车时间x（h）之间的函数图象（）A．B．C．D．【考点】反比例函数的应用；反比例函数的图象．【分析】根据时间x、速度y和路程s之间的关系，在路程不变的条件下，得y=，则y 是x的反比例函数，且x＞0．【解答】解：由题意可得：y=（x＞0），故y是x的反比例函数．故选：B．6．如图，小强和小明去测量一座古塔的高度，他们在离古塔60m的A处，用测角仪测得古塔顶的仰角为30°，已知测角仪高AD=1.5m，则古塔BE的高为（）A．（20﹣1.5）m B．（20+1.5）m C．31.5m D．28.5m【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】作AC⊥BE于点C．则CE=AD，AC=DE．在直角△ABC中选择适当的三角函数求出BC即可得解．【解答】解：过点A作AC⊥BE于点C．根据题意有：AC=DE=60，CE=AD=1.5．∴BC=AC×tan30°=20．故古塔BE的高为BC+CE=（20+1.5）m．故选B．7．若两个相似三角形的面积比为2：3，那么这两个三角形的周长的比为（）A．4：9 B．2：3 C．：D．3：2【考点】相似三角形的性质．【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．【解答】解：∵两个相似三角形的面积比为2：3，∴这两个三角形的相似比为：，∴这两个三角形的周长的比为：，故选：C．8．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（）A．（2，10）B．（﹣2，0） C．（2，10）或（﹣2，0）D．（10，2）或（﹣2，0）【考点】坐标与图形变化-旋转．【分析】分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论解答即可．【解答】解：∵点D（5，3）在边AB上，∴BC=5，BD=5﹣3=2，①若顺时针旋转，则点D′在x轴上，OD′=2，所以，D′（﹣2，0），②若逆时针旋转，则点D′到x轴的距离为10，到y轴的距离为2，所以，D′（2，10），综上所述，点D′的坐标为（2，10）或（﹣2，0）．故选：C．二、填空题（每题4分）9．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=12，sinA=．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据正弦的概念计算即可．【解答】解：sinA==，故答案为：．10．我们知道，平行光线所形成的投影称为平行投影，当平行光线与投影面垂直，这种投影称为正投影．【考点】平行投影．【分析】根据正投影定义解答．【解答】解：在平行投影中，当投影线垂直于投影面时，这种投影叫正投影，故答案为：垂直．11．已知关于x的一元二次方程x2+bx+b﹣1=0有两个相等的实数根，则b的值是2．【考点】根的判别式．【分析】根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式的值等于0，即可求出b的值．【解答】解：根据题意得：△=b2﹣4（b﹣1）=（b﹣2）2=0，则b的值为2．故答案为：212．反比例函数y=的图象，当x＞0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是k＜3．【考点】反比例函数的性质．【分析】先根据当x＞0时，y随x的增大而增大判断出k﹣3的符号，求出k的取值范围即可．【解答】解：∵反比例函数y=的图象，当x＞0时，y随x的增大而增大，∴k﹣3＜0，解得k＜3．故答案为：k＜3．13．如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥DC交BC于点E，若AD=8cm，则OE的长为4cm．【考点】菱形的性质；三角形中位线定理．【分析】根据已知可得OE是△ABC的中位线，从而求得OE的长．【解答】解：∵OE∥DC，AO=CO∴OE是△ABC的中位线∵AB=AD=8cm∴OE=4cm．故答案为4．14．如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC边上，DE与AC相交于点F，如果AB=9，BD=3，那么CF的长度为2．【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【分析】利用两对相似三角形，线段成比例：AB：BD=AE：EF，CD：CF=AE：EF，可得CF=2．【解答】解：如图，∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴∠B=∠BAC=60°，∠E=∠EAD=60°，∴∠B=∠E，∠BAD=∠EAF，∴△ABD∽△AEF，∴AB：BD=AE：EF．同理：△CDF∽△EAF，∴CD：CF=AE：EF，∴AB：BD=CD：CF，即9：3=（9﹣3）：CF，∴CF=2．故答案为：2．15．某小区年屋顶绿化面积为2000平方米，计划年屋顶绿化面积要达到2880平方米，如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是20%．【考点】一元二次方程的应用．【分析】一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设人均年收入的平均增长率为x，根据题意即可列出方程．【解答】解：设平均增长率为x，根据题意可列出方程为：2000（1+x）2=2880，（1+x）2=1.44．1+x=±1.2．所以x1=0.2，x2=﹣2.2（舍去）．故x=0.2=20%．即：这个增长率为20%．故答案是：20%．16．如图，Rt△ABO中，∠AOB=90°，∠ABO=30°，点A在第二象限，点B在第一象限，过点A的反比例函数表达式为y=﹣，则过点B的反比例函数表达式为y=．【考点】待定系数法求反比例函数解析式．【分析】解直角三角形求得=，然后过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于点D，可证明△AOC∽△OBD，由点A在y=﹣上，可求得△AOC的面积，由相似三角形的性质可求得△BOD的面积，可求得答案．【解答】解：∵Rt△ABO中，∠AOB=90°，∠ABO=30°，∴tan30°==，如图，过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥x轴，垂足分别为C、D，∵∠AOB=90°，∴∠BOD+∠AOC=∠DBO+∠BOD，∴∠DBO=∠AOC，∴△AOC∽△OBD，∴=（）2=（）2=，设A点坐标为（x A，y A），∵点A在函数y=﹣的图象上，∴x A y A=k=﹣1，∴S△AOC=|k|=，∴S△OBD=3S△AOC=，设B点坐标为（x B，y B），∴x B y B=，∴x B y B=3，∴过B点的反比例函数的解析式为y=，故答案为：y=．三、解答题17．计算：2cos30°﹣tan45°﹣．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】直接把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可．【解答】解：原式=2×﹣1﹣=﹣1﹣（﹣1）=0．18．已知，如图，在△ABC中，点D在AB边上，连接CD，∠1=∠2．（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）如果AD=2，BD=1，求AC的长．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）根据相似三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据相似三角形的性质得到，代入数据即可得到结果．【解答】（1）证明：∵∠1=∠2，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC；（2）解：∵△ACD∽△ABC，∴，∴AC2=AB•AD，∵AD=2，BD=1，∴AB=3，∴AC=．19．学校旁边的文具店里有A、B、C、D四种笔记本，每种笔记本数量充足，某同学去该店购买笔记本，每种笔记本被选中的可能性相同．（1）若他去买一本笔记本，则他买到A种笔记本的概率是；（2）若他两次去买笔记本，每次买一本，且两次所买笔记本品种不同，请用树状图或列表法求出恰好买到A种笔记本和C种笔记本的概率．【考点】列表法与树状图法；概率公式．【分析】（1）由学校旁边的文具店里有A、B、C、D四种笔记本，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好买到A种笔记本和C种笔记本的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）∵学校旁边的文具店里有A、B、C、D四种笔记本，∴若他去买一本笔记本，则他买到A种笔记本的概率是：；故答案为：．（2）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，恰好买到A种笔记本和C种笔记本的有2种情况，∴恰好买到A种笔记本和C种笔记本的概率为： =．20．已知，如图，△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥BC，AD：DB=7：5，AC=24，求DE 的长．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据平行线分线段成比例的知识求出AE，EC，然后判断ED=EC，即可得出答案．【解答】解：∵DE∥BC，∴，又∵AC=24，∴AE=14，EC=10，∵CD平分∠ACB交AB于D，∴∠ACD=∠DCB，又∵DE∥BC，∴∠EDC=∠DCB，∴∠ACD=∠EDC，∴DE=EC=10．21．已知：y=2x2﹣ax﹣a2，且当x=1时，y=0，先化简，再求值：（1﹣）÷．【考点】分式的化简求值．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再由当x=1时，y=0求出a的值，选取合适的a的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=[1﹣]÷=•=，∵y=2x2﹣ax﹣a2，且当x=1时，y=0，∴2﹣a﹣a2=0，解得a1=1，a2=﹣2，当a=1时，原式=3；当a=﹣2时，a+2=0，原式无意义．故原式=3．五、解答题22．如图，一艘渔船位于小岛M的北偏东42°方向、距离小岛180海里的A处，渔船从A 处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东60°方向的B处．（1）求渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离（参考数据：参考数据：sin42°≈0.6691，cos42°≈0.7431，tan42°≈0.9044，≈1.732，结果精确到0.1海里）（2）若渔船以20海里/小时的速度从B沿BM方向行驶，求渔船从B到达小岛M的航行时间（结果精确到0.1小时）【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【分析】（1）过点M作MD⊥AB于点D，根据∠AME的度数求出∠A=42°，再根据AM 的值求出和特殊角的三角函数值即可求出答案；（2）在Rt△DMB中，根据∠BMF=60°，得出∠DMB=30°，再根据MD的值求出MB的值，最后根据路程÷速度=时间，即可得出答案．【解答】解：（1）过点M作MD⊥AB于点D，∵∠AME=42°，∴∠A=42°，∵AM=180海里，∴MD=AM•sin42°≈120.4（海里），答：渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离约为120.4海里；（2）在Rt△DMB中，∵∠BMF=60°，∴∠DMB=30°，∵MD=120.4海里，∴MB=≈139，0，∴139.0÷20≈7.0（小时），答：渔船从B到达小岛M的航行时间约为7.0小时．23．如图，直线y=x﹣1与反比例函数y=的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，已知点A的坐标为（﹣1，m）．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P（n，﹣1）是反比例函数图象上一点，过点P作PE⊥x轴于点E，延长EP交直线AB于点F，求△CEF的面积．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）将点A的坐标代入直线解析式求出m的值，再将点A的坐标代入反比例函数解析式可求出k的值，继而得出反比例函数关系式；（2）将点P的纵坐标代入反比例函数解析式可求出点P的横坐标，将点P的横坐标和点F 的横坐标相等，将点F的横坐标代入直线解析式可求出点F的纵坐标，将点的坐标转换为线段的长度后，即可计算△CEF的面积．【解答】解：（1）将点A的坐标代入y=x﹣1，可得：m=﹣1﹣1=﹣2，将点A（﹣1，﹣2）代入反比例函数y=，可得：k=﹣1×（﹣2）=2，故反比例函数解析式为：y=．（2）将点P的纵坐标y=﹣1，代入反比例函数关系式可得：x=﹣2，将点F的横坐标x=﹣2代入直线解析式可得：y=﹣3，故可得EF=3，CE=OE+OC=2+1=3，故可得S△CEF=CE×EF=．24．通过市场调查，一段时间内某地区某一种农副产品的需求数量y（千克）与市场价格xx（元/千克）成正比例关系：z=400x（0＜x＜30）．现不计其它因素影响，如果需求数量y等于生产数量z，那么此时市场处于平衡状态．（1）请通过描点画图探究y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；（2）根据以上市场调查，请你分析：当市场处于平衡状态时，该地区这种农副产品的市场价格与这段时间内农民的总销售收入各是多少？（3）如果该地区农民对这种农副产品进行精加工，此时生产数量z与市场价格x的函数关系发生改变，而需求数量y与市场价格x的函数关系未发生变化，那么当市场处于平衡状态时，该地区农民的总销售收入比未精加工市场平衡时增加了17600元．请问这时该农副产品的市场价格为多少元？【考点】一次函数的应用．【分析】（1）通过描点画图可知y是x的一次函数，从而利用待定系数法即可求出该解析式；（2）令y=z，求出此时的x，则农民的总销售收入是xy元；（3）可设这时该农副产品的市场价格为a元/千克，因为该地区农民的总销售收入比未精加工市场平衡时增加了17600元，则a（﹣100a+5000）=40000+17600，解之即可．【解答】解：（1）描点．因为由图象可知，y是x的一次函数，所以设y=kx+b，由x=5，y=4500；x=10，y=4000得：则所以即y=﹣100x+5000（2）∵y=z，∴﹣100x+5000=400x，∴x=10．∴总销售收入=10×4000=40000（元）∴农副产品的市场价格是10元/千克，农民的总销售收入是40000元．（3）设这时该农副产品的市场价格为a元/千克，则a（﹣100a+5000）=40000+17600，解之得：a1=18，a2=32．∵0＜a＜30，∴a=18．∴这时该农副产品的市场价格为18元/千克．25．如图①所示，矩形ABCD一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的点P处，折痕与边BC交于点O，连接AP，OP，OA，△PDA的面积是△OCP的面积的4倍．（1）求证：△OCP∽△PDA；（2）求边AB的长；（3）连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．①按上面的叙述在图②中画出正确的图象；②当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．【考点】相似形综合题．【分析】（1）利用折叠和矩形的性质可得到∠C=∠D，∠APD=∠POC，可证得相似；（2）利用面积比可求得PC的长，在Rt△APD中利用勾股定理可求得AB的长；（3）①结合描述画出图形即可，②作MQ∥AN交PB于点Q，利用条件证明△MFQ≌△NFB，得到EF=PB，且可求出PB的长，可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，由折叠可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO，∠APO=∠B，∴∠APO=90°，∴∠APD=90°﹣∠CPO=∠POC，∴△OCP∽△PDA；（2）解：∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，∴==，∴CP=4，设AB=x，则AP=x，DP=x﹣4，在Rt△ADP中，由勾股定理可得AP2=AD2+DP2，即x2=82+（x﹣4）2，解得x=10，即边AB的长为10；（3）解：①如图所示，②EF的长度不变，理由如下：作MQ∥AN，交PB于点Q，如上图，∵AP=AB，MQ∥AN，∴∠APB=∠ABP，∠ABP=∠MQP，∴∠∠APB=∠MQP，∴MP=MQ，∵ME⊥PQ，∴PE=EQ=PQ，∵BN=PN，MP=MQ，∴BN=QM，∵MQ∥AN，∴∠QMF=∠BNF，在△MFQ和△NFB中，，∴△MFQ≌△NFB（AAS），∴QF=BF，∴QF=QB，∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB，又由（1）可知在Rt△PBC中，BC=8，PC=4，∴PB=4，∴EF=2，即EF的长度不变．年9月20日。

辽宁省沈阳市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题2分，共20分）1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，则cos A的值是（）A．B．C．D．2．如图所示的工件，其俯视图是（）A．B．C．D．3．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．AB2＝AD•AC D．＝4．若锐角三角函数tan55°＝a，则a的范围是（）A．0＜a＜1B．1＜a＜2C．2＜a＜3D．3＜a＜45．已知点C是线段AB的黄金分割点（AC＜BC），若AB＝4，则AC的长为（）A．（6﹣2）B．（2﹣2）C．（﹣1）D．（3﹣）6．抛物线y＝2（x+3）2+5的顶点坐标是（）A．（3，5）B．（﹣3，5）C．（3，﹣5）D．（﹣3，﹣5）7．下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣2x﹣3＝0B．x2﹣x+1＝0C．x2+2x+1＝0D．x2＝18．如果x2+x﹣1＝0，那么代数式x3+2x2﹣7的值为（）A．6B．8C．﹣6D．﹣89．如图，有一块锐角三角形材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使其一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则这个正方形零件的边长为（）A．40mm B．45mm C．48mm D．60mm10．受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，“快递业”成为我国经济的一匹“黑马”，2016年我国快递业务量为300亿件，2018年快递量将达到450亿件，若设快递量平均每年增长率为x，则下列方程中，正确的是（）A．300（1+x）＝450B．300（1+2x）＝450C．300（1+x）2＝450D．450（1﹣x）2＝300二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）方程x2＝9两根的积为．12．（3分）若＝，则＝．13．（3分）如果一个圆锥的主视图是等边三角形，俯视图是面积为4π的圆，那么这个圆锥的左视图的面积是．14．（3分）如图，在直角坐标系中，有两点A（6，3）、B（6，0），以原点O为位似中心，相似比为3：1，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为．15．（3分）已知△ABC的周长为1，连接其三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，以此类推，则第2019个三角形周长为．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB的中点，点P是直线BC上一点，将△BDP沿DP所在的直线翻折后，点B落在B1处，若B1D⊥BC，则点P与点B 之间的距离为．三、解答题（共62分）17．（6分）计算：4cos30°﹣3tan60°+2sin45°•cos45°．18．（8分）解方程：x（x﹣2）+x﹣2＝0．19．（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC的中点为O，过点O作EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE、CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB＝6，BC＝8，请直接写出EF的长为．20．（8分）超市水果货架上有四个苹果，重量分别是100g、110g、120g和125g，小明妈妈从货架上随机取下两个苹果，请用列表法或画树状图的方法求取下的两个苹果总重量超过223g的概率．21．（8分）如图是某路灯在铅垂面内示意图，灯柱AC的高为12米，灯杆AB与灯柱AC的夹角∠A＝120°，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE长为21米，从D，E两处测得路灯B 的仰角分别为α和β，且tanα＝6，tanβ＝，求灯杆AB的长度．22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A（，1）在反比例函数y＝的图象上，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C．（1）求反比例函数y＝的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）若将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BO1A1（点O、A的对应点分别为O1、A1），点A1是否在反比例函数y＝的图象上？若在请直接写出该点坐标，若不在请说明理由．23．（10分）某饭店推出一种早点套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，若每份售价不超过10元，每天可销售400份；若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份，该店每天固定支出费用为600元（不含套餐成本）．为了便于结算，每份套餐的售价取整数，设每份套餐的售价为x（x＞5）元，该店日销售利润为y元．（日销售利润＝每天的销售额﹣套餐成本﹣每天固定支出）（1）求y与x的函数关系式并写出自变量的取值范围．（2）该店要想获得最大日销售利润，又要吸引顾客，使每天销售量较大，按此要求，每份套餐的售价应定为多少元？此时日销售利润为多少元？24．（12分）在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，以点A为旋转中心，逆时针旋转矩形ABCD，旋转角为α（0°＜α≤180°），得到矩形AEFG，点B、点C、点D的对应点分别为点E、点F、点G．（1）如图①，当点E落在DC边上时，直接写出线段EC的长度为；（2）如图②，当点E落在线段CF上时，AE与DC相交于点H，连接AC，①求证：△ACD≌△CAE；②直接写出线段DH的长度为．（3）如图③设点P为边FG的中点，连接PB，PE，在矩形ABCD旋转过程中，△BEP的面积是否存在最大值？若存在请直接写出这个最大值；若不存在请说明理由．25．（12分）如图①，抛物线C1：y＝+bx+c经过原点（0，0），与x轴的另一个交点为（2，0），将抛物线C1向右平移m（m＞0）个单位得到抛物线C2，C2交x轴于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C．（1）求抛物线C1的解析式．（2）如图②，当m＝2时，连接AC，过点A做AD⊥AC交抛物线C2于点D，连接CD．①求抛物线C2的解析式．②直接写出点D的坐标为．（3）若抛物线C2的对称轴上存在点P，使△PAC为等边三角形，请直接写出此时m的值．参考答案与试题解析一、选择题（每小题2分，共20分）1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，则cos A的值是（）A．B．C．D．【分析】首先利用勾股定理计算出斜边长，再根据锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cos A进行计算即可，【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，∴AB＝＝5，∴cos A＝，故选：B．【点评】此题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握余弦定义．2．如图所示的工件，其俯视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：从上边看是一个同心圆，外圆是实线，內圆是虚线，故选：B．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．3．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．AB2＝AD•AC D．＝【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．【解答】解：A、∵∠ABD＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；B、∵∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；C、∵AB2＝AD•AC，∴＝，∠A＝∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；D、＝不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定，利用了有两个角对应相等的三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．4．若锐角三角函数tan55°＝a，则a的范围是（）A．0＜a＜1B．1＜a＜2C．2＜a＜3D．3＜a＜4【分析】由tan45°＝1，tan60°＝且锐角范围内tanα随∠α的增大而增大，知tan45°＜tan55°＜tan60°，即1＜a＜，从而得出答案．【解答】解：∵tan45°＝1，tan60°＝，且锐角范围内tanα随∠α的增大而增大，∴tan45°＜tan55°＜tan60°，即1＜a＜，则1＜a＜2，故选：B．【点评】本题主要考查锐角三角函数的增减性，解题的关键是掌握特殊锐角的三角函数值及tanα随∠α的增大而增大．5．已知点C是线段AB的黄金分割点（AC＜BC），若AB＝4，则AC的长为（）A．（6﹣2）B．（2﹣2）C．（﹣1）D．（3﹣）【分析】根据黄金比值是计算即可．【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＜BC，∴BC＝AB＝2（﹣1）cm，则AC＝4﹣2（﹣1）＝6﹣2，故选：A．【点评】本题考查的是黄金分割，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割．6．抛物线y＝2（x+3）2+5的顶点坐标是（）A．（3，5）B．（﹣3，5）C．（3，﹣5）D．（﹣3，﹣5）【分析】由抛物线的解析式可求得答案．【解答】解：∵y＝2（x+3）2+5，∴抛物线顶点坐标为（﹣3，5），故选：B．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．7．下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣2x﹣3＝0B．x2﹣x+1＝0C．x2+2x+1＝0D．x2＝1【分析】分别找出一元二次方程中的二次项系数a，一次项系数b、常数项c，再利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．【解答】解：A、a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3，b2﹣4ac＝4+12＝16＞0，有两个不相等的实数根，故此选项错误；B、a＝1，b＝﹣1，c＝1，b2﹣4ac＝1﹣4＝﹣3＜0，没有实数根，故此选项正确；C、a＝1，b＝2，c＝1，b2﹣4ac＝4﹣4＝0，有两个相等的实数根，故此选项错误；D、a＝1，b＝0，c＝﹣1，b2﹣4ac＝4＞0，有两个不相等的实数根，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了根的判别式，关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．8．如果x2+x﹣1＝0，那么代数式x3+2x2﹣7的值为（）A．6B．8C．﹣6D．﹣8【分析】由x2+x﹣1＝0得x2+x＝1，然后把它的值整体代入所求代数式，求值即可．【解答】解：由x2+x﹣1＝0得x2+x＝1，∴x3+2x2﹣7＝x3+x2+x2﹣7，＝x（x2+x）+x2﹣7，＝x+x2﹣7，＝1﹣7，＝﹣6．故选：C．【点评】本题考查提公因式法分解因式，代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式x2+x的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值．9．如图，有一块锐角三角形材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使其一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则这个正方形零件的边长为（）A．40mm B．45mm C．48mm D．60mm【分析】设正方形的边长为x，表示出AI的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，然后进行计算即可得解．【解答】解：设正方形的边长为xmm，则AK＝AD﹣x＝80﹣x，∵EFGH是正方形，∴EH∥FG，∴△AEH∽△ABC，∴＝，即＝，解得x＝48mm，故选：C．【点评】本题主要考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高的比等于对应边的比，表示出AI的长度，然后列出比例式是解题的关键．10．受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，“快递业”成为我国经济的一匹“黑马”，2016年我国快递业务量为300亿件，2018年快递量将达到450亿件，若设快递量平均每年增长率为x，则下列方程中，正确的是（）A．300（1+x）＝450B．300（1+2x）＝450C．300（1+x）2＝450D．450（1﹣x）2＝300【分析】设快递量平均每年增长率为x，根据我国2016年及2018年的快递业务量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设快递量平均每年增长率为x，依题意，得：300（1+x）2＝450．故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）方程x2＝9两根的积为﹣9．【分析】首先根据一元二次方程求出x的两个值，将他们乘积即可．【解答】解：∵x2＝9，∴x＝±3，∴两根的积﹣9．故答案为：﹣9【点评】本题主要考查了一元二次方程的解法，熟记解方程的方法是解答本题的关键．12．（3分）若＝，则＝﹣2．【分析】由＝可设x＝k、y＝3k，代入所求代数式消去k即可得．【解答】解：∵＝，∴设x＝k、y＝3k，则＝＝＝﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查比例的性质，解题的关键是熟练掌握设k法求比例式的值．13．（3分）如果一个圆锥的主视图是等边三角形，俯视图是面积为4π的圆，那么这个圆锥的左视图的面积是4．【分析】先利用圆的面积公式得到圆锥的底面圆的半径为2，再利用等边三角形的性质得母线长，然后根据勾股定理计算圆锥的高．【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，则πr2＝4π，解得r＝2，因为圆锥的主视图是等边三角形，所以圆锥的母线长为4，所以它的左视图的高＝＝2，所以左视图的面积为×4×2＝4．故答案为4．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．14．（3分）如图，在直角坐标系中，有两点A（6，3）、B（6，0），以原点O为位似中心，相似比为3：1，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（2，1）．【分析】根据位似变换的性质计算即可．【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为3：1，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，A（6，3）、∴点C的坐标为（6×，3×），∴点C的坐标为（2，1），故答案为：（2，1）．【点评】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．15．（3分）已知△ABC的周长为1，连接其三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，以此类推，则第2019个三角形周长为．【分析】根据题意可以写出前几个三角形的周长，从而可以发现三角形周长的变化规律，进而写出第2019个三角形周长．【解答】解：由题意可得，第1个三角形的周长是1，第2个三角形的周长是，第3个三角形的周长是，第4个三角形的周长是，则第2019个三角形的周长是，故答案为：．【点评】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中三角形周长的变化规律．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB的中点，点P是直线BC上一点，将△BDP沿DP所在的直线翻折后，点B落在B1处，若B1D⊥BC，则点P与点B 之间的距离为或5．【分析】分点B1在BC左侧，点B1在BC右侧两种情况讨论，由勾股定理可AB＝5，由平行线分线段成比例可得，可求BE，DE的长，由勾股定理可求PB的长．【解答】解：如图，若点B1在BC左侧，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5∵点D是AB的中点，∴BD＝BA＝∵B1D⊥BC，∠C＝90°∴B1D∥AC∴∴BE＝EC＝BC＝2，DE＝AC＝∵折叠∴B1D＝BD＝，B1P＝BP∴B1E＝B1D﹣DE＝1∴在Rt△B1PE中，B1P2＝B1E2+PE2，∴BP2＝1+（2﹣BP）2，∴BP＝如图，若点B1在BC右侧，∵B1E＝DE+B1D＝+，∴B1E＝4在Rt△EB1P中，B1P2＝B1E2+EP2，∴BP2＝16+（BP﹣2）2，故答案为：或5【点评】本题考查了折叠的性质、直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意折叠中的对应关系．三、解答题（共62分）17．（6分）计算：4cos30°﹣3tan60°+2sin45°•cos45°．【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解：原式＝4×﹣3×+2××＝1﹣．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．（8分）解方程：x（x﹣2）+x﹣2＝0．【分析】把方程的左边分解因式得到（x﹣2）（x+1）＝0，推出方程x﹣2＝0，x+1＝0，求出方程的解即可【解答】解：x（x﹣2）+x﹣2＝0，（x﹣2）（x+1）＝0，x﹣2＝0，x+1＝0，∴x1＝2，x2＝﹣1．【点评】本题主要考查对解一元二次方程，解一元一次方程，等式的选择等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转换成一元一次方程是解此题的关键．19．（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC的中点为O，过点O作EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE、CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB＝6，BC＝8，请直接写出EF的长为．【分析】（1）由矩形的性质可得∠ACB＝∠DAC，然后利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，根据全等三角形对应边相等可得OE＝OF，即可证四边形AECF是菱形；（2）由菱形的性质可得AE＝EC，AO＝CO，EO＝FO，由勾股定理可求CE、EO的长，即可求【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC∴∠ACB＝∠DAC，∵O是AC的中点，∴AO＝CO，在△AOF和△COE中，∴△AOF≌△COE（ASA），∴OE＝OF，且AO＝CO∴四边形AECF是平行四边形又∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形（2）∵四边形AECF是菱形∴AE＝EC，AO＝CO，EO＝FO∵AB2+BE2＝AE2，∴36+（8﹣CE）2＝CE2，∴CE＝∵AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝10∴AO＝CO＝5∵EO＝＝∴EF＝2EO＝故答案为：【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．20．（8分）超市水果货架上有四个苹果，重量分别是100g、110g、120g和125g，小明妈妈从货架上随机取下两个苹果，请用列表法或画树状图的方法求取下的两个苹果总重量超过223g的概率．【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出它们总重量超过223g的结果数，然后根据概率公式计算．【解答】解：画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中它们总重量超过223g的结果数为8，所以它们总重量超过223g的概率为＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．21．（8分）如图是某路灯在铅垂面内示意图，灯柱AC的高为12米，灯杆AB与灯柱AC的夹角∠A＝120°，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE长为21米，从D，E两处测得路灯B 的仰角分别为α和β，且tanα＝6，tanβ＝，求灯杆AB的长度．【分析】过点B作BF⊥CE，交CE于点F，过点A作AG⊥BF，交BF于点G，则FG＝AC＝12．设BF＝3x知EF＝4x、DF＝，由DE＝21求得x，据此知BG＝BF﹣GF，再求得∠BAG ＝∠BAC﹣∠CAG＝30°可得AB＝2BG．【解答】解：过点B作BF⊥CE，交CE于点F，过点A作AG⊥BF，交BF于点G，则FG＝AC ＝12．由题意得∠BDE＝α，tan∠β＝．设BF＝3x，则EF＝4x在Rt△BDF中，∵tan∠BDF＝，∴DF＝，∵DE＝21，∴x+4x＝21．∴x＝．∴BF＝14，∴BG＝BF﹣GF＝14﹣12＝2，∵∠BAC＝120°，∴∠BAG＝∠BAC﹣∠CAG＝120°﹣90°＝30°．∴AB＝2BG＝4，答：灯杆AB的长度为4米．【点评】本题主要考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，解题的关键是结合题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义及其应用能力．22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A（，1）在反比例函数y＝的图象上，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C．（1）求反比例函数y＝的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）若将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BO1A1（点O、A的对应点分别为O1、A1），点A1是否在反比例函数y＝的图象上？若在请直接写出该点坐标，若不在请说明理由．【分析】（1）将点A代入，利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式（2）先由射影定理求出BC＝3，那么B，计算出S＝△AOB（3）先解△AOB，得出∠ABO＝30°，再根据旋转的性质求出A1点坐标为，即可求解．【解答】解：（1）∵点A，在反比例函数的图象上，∴∴反比例函数的表达式为（2）∵点A，AB⊥x轴于点，∴OC＝，AC＝1，由射影定理得OC2＝AC•BC，可得BC＝3，点B，＝∴S△AOB故△AOB的面积为（3）点A1在该反比例函数的图象上．理由如下：∵OA⊥OB，OA＝2，OB＝，AB＝4∴sin∠ABO＝，∴∠ABO＝30°∵将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BO1A1（点O、A的对应点分别为O1、A1），如图∴△BOA≌△BO1A1，∠OBO1＝60°∴BO＝BO1＝，OA＝O1A1＝2，∠BOA＝∠BO1A1＝90°∠ABO1＝30°+60°＝90°，而BO1﹣OC＝，BC﹣O1A1＝1，∴点A1的坐标为∵∴点A1在该反比例函数的图象上【点评】此题考查的是反比例函数的图象求函数解析式，此类题型相对容易，但要注意反比例函数的性质．第（3）题中，判断点是否在函数图象上，只要该点满足该函数解析式即可．23．（10分）某饭店推出一种早点套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，若每份售价不超过10元，每天可销售400份；若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份，该店每天固定支出费用为600元（不含套餐成本）．为了便于结算，每份套餐的售价取整数，设每份套餐的售价为x（x＞5）元，该店日销售利润为y元．（日销售利润＝每天的销售额﹣套餐成本﹣每天固定支出）（1）求y与x的函数关系式并写出自变量的取值范围．（2）该店要想获得最大日销售利润，又要吸引顾客，使每天销售量较大，按此要求，每份套餐的售价应定为多少元？此时日销售利润为多少元？【分析】（1）根据日销售利润＝每天的销售额﹣套餐成本﹣每天固定支出，得出y与x的函数关系式；（2）分别求出当不超过10元时的最大利润和超过10元时的最大利润，再结合题意选择方案．【解答】解：（1）由题意，得当5＜x≤10时，y＝400（x﹣5）﹣600＝400x﹣2600；当x＞10时，y＝[400﹣40（x﹣10）]（x﹣5）﹣600＝﹣40x2+1000x﹣4600；（2）当5＜x≤10时，y＝400x﹣2600，当x＝10时，y＝1400元，最大当x＞10时y＝﹣40x2+1000x﹣4600＝﹣40（x﹣12.5）2+1650，当x＝12时，y＝1640，当x＝13时，y＝1640，∵要吸引顾客，使每天销售量较大，又要有较高的日纯收入，∴每份套餐的售价应定为12元，日纯收入为1640元．【点评】本题考查了一次函数的运用、二次函数的运用，方案设计的运用，解答时求出函数的解析式是关键．24．（12分）在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，以点A为旋转中心，逆时针旋转矩形ABCD，旋转角为α（0°＜α≤180°），得到矩形AEFG，点B、点C、点D的对应点分别为点E、点F、点G．（1）如图①，当点E落在DC边上时，直接写出线段EC的长度为2﹣；（2）如图②，当点E落在线段CF上时，AE与DC相交于点H，连接AC，①求证：△ACD≌△CAE；②直接写出线段DH的长度为．（3）如图③设点P为边FG的中点，连接PB，PE，在矩形ABCD旋转过程中，△BEP的面积是否存在最大值？若存在请直接写出这个最大值；若不存在请说明理由．【分析】（1）如图①中，在Rt△ADE中，利用勾股定理即可解决问题；（2）①证明：如图②中，根据HL即可证明△ACD≌△CAE；②如图②中，由△ACD≌△CAE，推出∠ACD＝∠CAE，推出AH＝HC，设AH＝HC＝m，在Rt△ADH中，根据AD2+DH2＝AH2，构建方程即可解决问题；（3）存在．如图③中，连接PA，作BM⊥PE交PE的延长线于M．由题意：PF＝PC＝1，由AG＝EF＝1，∠G＝∠F＝90°，推出PA＝PE＝，推出S＝•PE•BM＝BM，推出当△PBEBM的值最大时，△PBE的面积最大，求出BM的最大值即可解决问题；【解答】（1）解：如图①中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝2，BC＝AD＝1，∠D＝90°，∵矩形AEFG是由矩形ABCD旋转得到，∴AE＝AB＝2，在Rt△ADE中，DE＝＝，∴CE＝2﹣，故答案为2﹣．（2）①证明：如图②中，∵当点E落在线段CF上，∴∠AEC＝∠ADC＝90°，在Rt△ADC和Rt△AEC中，，∴Rt△ACD≌Rt△CAE（HL）；②解：如图②中，∵△ACD≌△CAE，∴∠ACD＝∠CAE，∴AH＝HC，设AH＝HC＝m，在Rt△ADH中，∵AD2+DH2＝AH2，∴12+（2﹣m）2＝m2，∴m＝∴DH＝2﹣＝，故答案为．（3）解：存在．理由：如图③中，连接PA，作BM⊥PE交PE的延长线于M．由题意：PF＝PC＝1，∵AG＝EF＝1，∠G＝∠F＝90°，∴PA＝PE＝，∴S＝•PE•BM＝BM，△PBE∴当BM的值最大时，△PBE的面积最大，∵BM≤PB，PB≤AB+PA，∴PB≤2+，∴BM≤2+，∴BM的最大值为2+，∴△PBE的面积的最大值为+1．【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．25．（12分）如图①，抛物线C1：y＝+bx+c经过原点（0，0），与x轴的另一个交点为（2，0），将抛物线C1向右平移m（m＞0）个单位得到抛物线C2，C2交x轴于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C．（1）求抛物线C1的解析式．（2）如图②，当m＝2时，连接AC，过点A做AD⊥AC交抛物线C2于点D，连接CD．①求抛物线C2的解析式．②直接写出点D的坐标为（5，）．（3）若抛物线C2的对称轴上存在点P，使△PAC为等边三角形，请直接写出此时m的值．【分析】（1）把原点（0，0）与（2，0）代入抛物线C1：y＝+bx+c，解方程组求得b，c 的值，即可得出抛物线C1的解析式；（2）①根据抛物线的平移规律可得抛物线C2的解析式；②由抛物线C2的解析式，求得点C（0，4），A（2，0），B（4，0），作DH⊥x轴于点H，设点D（x，），证明△DHA∽△AOC，得，求得点D的横坐标，再代入抛物线求得纵坐标，即可得出点D的坐标；（3）设抛物线C2的解析式为：y＝（x﹣m）（x﹣m﹣2），可得A（m，0），B（m+2，0）．C （0，m2+m），对称轴为直线x＝m+1，延长AP至K，使PK＝AP，连接KC，作KG⊥y轴于G，证明△AOC∽△CGK，可得GK＝（m2+m），利用中点坐标公式得出点P的横坐标为：，所以＝m+1，解方程即可得出m的值．【解答】解：（1）∵抛物线C1：y＝+bx+c经过原点（0，0），与x轴的另一个交点为（2，0），∴，解得，∴抛物线C1的解析式为：y＝﹣x，（2）①∵y＝﹣x＝（x﹣1）2﹣，当m＝2时，抛物线C2的解析式为：y＝（x﹣3）2﹣，②当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝2或x＝4，∴C（0，4），A（2，0），B（4，0），如图，作DH⊥x轴于点H，设点D（x，），∵AD⊥AC，∴∠DAH＝90°﹣∠CAO＝∠ACO，∵∠DHA＝∠AOC＝90°，∴△DHA∽△AOC∴，即，解得x＝5，此时y═，∴点D的坐标为（5，），故答案为：（5，），（3）由题意，抛物线C2的解析式为：y＝（x﹣m）（x﹣m﹣2），A（m，0），B（m+2，0）．C（0，m2+m），对称轴为直线x＝m+1，延长AP至K，使PK＝AP，连接KC，作KG⊥y轴于G，∵△PAC为等边三角形，∴∠PKC＝∠PCK＝∠APC＝30°，∴∠ACK＝60°+30°＝90°，同理可证△AOC∽△CGK，∴，∴GK＝（m2+m），即点K的横坐标为：（m2+m），∴点P的横坐标为：，∴＝m+1，化简，得，（m+2）（m﹣2）＝0，∴m＝或m＝﹣2（舍去），∴存在点P，使△PAC为等边三角形，此时m的值为，【点评】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定和性质．解决（3）问的关键是构造三角形相似得出点K的横坐标．。

辽宁省沈阳市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确答案涂在答题卡上，每小题2分，共20分）1．如图所示的几何体的主视图是（）A．B．C．D．2．方程（a﹣2）x2+ax+b＝0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（）A．a≠0B．a≠2C．a＝2D．a＝03．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．已知∠AOD＝60°，AC＝6，则图中长度为3的线段有（）A．2条B．4条C．5条D．6条4．九年级一班在参加学校4×100米接力赛时，安排了甲，乙，丙，丁四位选手，他们比赛的顺序由抽签随机决定，则丙跑第一棒的概率为（）A．B．C．D．5．已知反比例函数y＝，当1＜x＜3时，y的取值范围是（）A．0＜y＜1B．1＜y＜2C．2＜y＜6D．y＞66．抛物线y＝3x2﹣6x+4的顶点坐标是（）A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣2）D．（1，2）7．已知，则的值是（）A．B．C．D．8．一元二次方程x2﹣2x＝0的两根分别为x1和x2，其中x1＜x2，则x12﹣2x22的值为（）A．﹣4B．﹣8C．8D．49．如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（）A．3：2B．3：1C．1：1D．1：210．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC ⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（）A．选①②B．选①③C．选②④D．选②③二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）已知反比例函数y＝（k是常数，k≠1）的图象有一支在第二象限，那么k 的取值范围是．12．（3分）边长为3cm的菱形的周长是．13．（3分）一元二次方程（x+1）（x﹣3）＝2x﹣5实数根．（填“有”或“没有”）14．（3分）已知直线y＝k1x（k1≠0）与反比例函数y＝（k2≠0）的图象交于M．N两点，若点M的坐标是（1，2），则点N的坐标是．15．（3分）一根1.5米长的标杆直立在水平地面上，它在阳光下的影长为2.1米，此时标杆旁边一棵杨树的影长为10.5米，则这棵杨树高为米．16．（3分）如图，抛物线C1：y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，点A在点B的左侧，将抛物线C1向上平移1个单位得到抛物线C2，点Q（m，n）在抛物线C2上，其中m＞0且n＜0，过点P作PQ∥y轴交抛物线C1于点P，点M是x轴上一点，当以点P、Q、M为顶点的三角形与△AOQ全等时，点M的横坐标为．三、（17题6分，18题，19题各8分，共22分）17．（6分）解方程：2x2+x＝4x﹣118．（8分）如图，一次函数y＝mx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A（3，1），B （﹣，n）两点．（1）求该反比例函数的解析式；（2）求n的值及该一次函数的解析式．19．（8分）在一个不透明的布袋里共装有3个球（除颜色不同外其余都相同），其中2个是红球，1个是白球，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再任意摸出一个球，请用树状图或列表法求两次摸出的都是白球的概率．四、（20、21题各8分，共16分）20．（8分）小王经营的网店专门销售某种品牌的一种保温杯，成本为30元/只，每天销售量y（只）与销售单价x（元）之间的关系式为y＝﹣10x+700（40≤x≤55），求当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？21．（8分）如图，四边形ABGH、BCFG、CDEF是边长为1的正方形，连接BH、CH、DH，求证：∠ABH+∠ACH+∠ADH＝90°．22．（10分）已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣4）＝a2，其中a为常数．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）当|a﹣2|＝0时，求此方程的根．六、（本题10分）23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（5，0），点B的坐标为（8，4），点C的坐标为（3，4），连接AB、BC、OC（1）求证四边形OABC是菱形；（2）直线l过点C且与y轴平行，将直线l沿x轴正方向平移，平移后的直线交x轴于点P．①当OP：PA＝3：2时，求点P的坐标；②点Q在直线1上，在直线l平移过程中，当△COQ是等腰直角三角形时，请直接写出点Q的坐标．24．（12分）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝7，点P是边AC上不与点A、C 重合的一点，作PD∥BC交AB边于点D．（1）如图1，将△APD沿直线AB翻折，得到△AP'D，作AE∥PD．求证：AE＝ED；（2）将△APD绕点A顺时针旋转，得到△AP'D'，点P、D的对应点分别为点P'、D'，①如图2，当点D'在△ABC内部时，连接P′C和D'B，求证：△AP'C∽△AD'B；②如果AP：PC＝5：1，连接DD'，且DD'＝AD，那么请直接写出点D'到直线BC的距离．25．（12分）如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（2，0）和B（3，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）点M在第二象限的抛物线上，且∠MBO＝∠ABO．①直线BM交x轴于点N，求线段ON的长；②延长BO交抛物线于点C，点P是平面内一点，连接PC、OP，当△POC∽△MOB时，请直接写出点P的坐标．参考答案与试题解析一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确答案涂在答题卡上，每小题2分，共20分）1．如图所示的几何体的主视图是（）A．B．C．D．【分析】主视图是从正面看，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【解答】解：该几何体的主视图为：．故选：C．【点评】此题主要考查了三视图的知识，关键是掌握三视图的几种看法．2．方程（a﹣2）x2+ax+b＝0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（）A．a≠0B．a≠2C．a＝2D．a＝0【分析】根据一元二次方程的定义得到a﹣2≠0，由此求得a的取值范围．【解答】解：依题意得：a﹣2≠0，解得a≠2．故选：B．【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．已知∠AOD＝60°，AC＝6，则图中长度为3的线段有（）A．2条B．4条C．5条D．6条【分析】由题意可得AO＝BO＝CO＝DO＝3，可证△ABO是等边三角形，可得AB＝3＝CD，则可得一共有6条线段长度为3．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形∴OA＝OC＝OB＝OD＝AC＝3，AB＝CD∵∠BOC＝120°，OA＝OB∴∠OAB＝∠OBA＝60°∴△AOB是等边三角形∴AB＝AO＝3∴CD＝3∴一共6条线段长度为3．故选：D．【点评】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是本题的关键．4．九年级一班在参加学校4×100米接力赛时，安排了甲，乙，丙，丁四位选手，他们比赛的顺序由抽签随机决定，则丙跑第一棒的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据概率公式直接进行解答即可．【解答】解：∵有甲，乙，丙，丁四位选手，∴丙跑第一棒的概率为；故选：A．【点评】本题考查了概率公式．随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．5．已知反比例函数y＝，当1＜x＜3时，y的取值范围是（）A．0＜y＜1B．1＜y＜2C．2＜y＜6D．y＞6【分析】利用反比例函数的性质，由x的取值范围并结合反比例函数的图象解答即可．【解答】解：∵k＝6＞0，∴在每个象限内y随x的增大而减小，又∵当x＝1时，y＝6，当x＝3时，y＝2，∴当1＜x＜3时，2＜y＜6．故选：C．【点评】本题主要考查反比例函数的性质，当k＞0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限，y随x的增大而增大．6．抛物线y＝3x2﹣6x+4的顶点坐标是（）A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣2）D．（1，2）【分析】由抛物线的解析式，利用二次函数的性质可求出抛物线的顶点坐标，此题得解（利用配方法找出顶点坐标亦可）．【解答】解：∵a＝3，b＝﹣6，c＝4，∴抛物线的顶点坐标为（﹣，），即（1，1）．故选：A．【点评】本题考查了二次函数的性质，牢记“二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，）”是解题的关键．7．已知，则的值是（）A．B．C．D．【分析】依据，可设a＝13k，b＝5k，代入分式计算化简即可．【解答】解：∵，∴可设a＝13k，b＝5k，∴＝＝＝，故选：D．【点评】本题主要考查了比例的性质，解题时注意：内项之积等于外项之积，解决问题的关键是利用设k法．8．一元二次方程x2﹣2x＝0的两根分别为x1和x2，其中x1＜x2，则x12﹣2x22的值为（）A．﹣4B．﹣8C．8D．4【分析】解方程得出方程的两根，代入计算可得．【解答】解：∵x2﹣2x＝0，∴x（x﹣2）＝0，∵x1＜x2，∴x1＝0，x2＝2，则x12﹣2x22＝0﹣2×22＝﹣8，故选：B．【点评】本题主要考查解一元二次方程，解题的关键是根据方程的特点选择合适的方法解方程．9．如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（）A．3：2B．3：1C．1：1D．1：2【分析】根据题意得出△DEF∽△BCF，进而得出＝，利用点E是边AD的中点得出答案即可．【解答】解：∵▱ABCD，故AD∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴＝，∵点E是边AD的中点，∴AE＝DE＝AD，∴＝．故选：D．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，得出△DEF∽△BCF是解题关键．10．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC ⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（）A．选①②B．选①③C．选②④D．选②③【分析】根据要判定四边形是正方形，则需能判定它既是菱形又是矩形进而分别分析得出即可．【解答】解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；B、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；C、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角．③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）已知反比例函数y＝（k是常数，k≠1）的图象有一支在第二象限，那么k的取值范围是k＜1．【分析】由于反比例函数y＝的图象有一支在第二象限，可得k﹣1＜0，求出k的取值范围即可．【解答】解：∵反比例函数y＝的图象有一支在第二象限，∴k﹣1＜0，解得k＜1．故答案为：k＜1．【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．12．（3分）边长为3cm的菱形的周长是12cm．【分析】利用菱形的各边长相等，进而求出周长即可．【解答】解：∵菱形的各边长相等，∴边长为3cm的菱形的周长是：3×4＝12（cm）．故答案为：12cm．【点评】此题主要考查了菱形的性质，利用菱形各边长相等得出是解题关键．13．（3分）一元二次方程（x+1）（x﹣3）＝2x﹣5有实数根．（填“有”或“没有”）【分析】先将方程整理成一般式，再求出判别式的值，从而做出判断．【解答】解：将方程（x+1）（x﹣3）＝2x﹣5整理成一般式得：x2﹣4x+2＝0，∵a＝1，b＝﹣4，c＝2，∴△＝（﹣4）2﹣4×1×2＝8＞0，∴此一元二次方程有实数根，故答案为：有．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键．14．（3分）已知直线y＝k1x（k1≠0）与反比例函数y＝（k2≠0）的图象交于M．N两点，若点M的坐标是（1，2），则点N的坐标是（﹣1，﹣2）．【分析】直接利用正比例函数的性质得出M，N两点关于原点对称，进而得出答案．【解答】解：∵直线y＝k1x（k1≠0）与反比例函数y＝（k2≠0）的图象交于M．N 两点，∴M，N两点关于原点对称，∵点M的坐标是（1，2），∴点N的坐标是（﹣1，﹣2）．故答案为（﹣1，﹣2）．【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正确得出M，N两点位置关系是解题关键．15．（3分）一根1.5米长的标杆直立在水平地面上，它在阳光下的影长为2.1米，此时标杆旁边一棵杨树的影长为10.5米，则这棵杨树高为7.5米．【分析】根据同时同地的物高与影长成正比列式计算即可得解．【解答】解：设这棵杨树高度为xm，由题意得，＝，解得：x＝7.5，即这棵杨树高为7.5m．故答案为：7.5．【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟记同时同地的物高与影长成正比是解题的关键．16．（3分）如图，抛物线C1：y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，点A在点B的左侧，将抛物线C1向上平移1个单位得到抛物线C2，点Q（m，n）在抛物线C2上，其中m＞0且n＜0，过点P作PQ∥y轴交抛物线C1于点P，点M是x轴上一点，当以点P、Q、M为顶点的三角形与△AOQ全等时，点M的横坐标为4．【分析】此题首先需要确定全等的对应关系，函数图象向上平移后，两个函数上下间距为1，OA＝1，所以AO与PQ对应，∠AOQ＝∠PQM，可确定OQ＝QM，AQ＝PB，得到两组线段相等后，设点M坐标，以两组线段相等为等量建立方程即可解决问题．【解答】解：∵△AOQ≌△PQM，AO＝PQ∴∠AOQ＝∠PQM，AQ＝PM，OQ＝QM∴AQ2＝PB2，OQ2＝QM2设Q（m，m2﹣2m﹣2），P（m，m2﹣2m﹣3），M（a，0）如图，过点Q作QH⊥AB，垂足为H，则在Rt△OHQ中，OQ2＝（m）2+（m2﹣2m﹣2）2；在Rt△MHQ中，QM2＝（a﹣m）2+（m2﹣2m﹣2）2；在Rt△AHQ中，AQ2＝（m+1）2+（m2﹣2m﹣2）2；在Rt△PHB中，PB2＝（a﹣m）2+（m2﹣2m﹣3）2由（m）2+（m2﹣2m﹣2）2＝（a﹣m）2+（m2﹣2m﹣2）2，解得m＝由（m+1）2+（m2﹣2m﹣2）2＝（a﹣m）2+（m2﹣2m﹣3）2，解得a＝﹣2（舍）或a＝4∴点M的横坐标为4．【点评】此题是代几综合问题，考查了全等关系在二次函数中的应用和二次函数中点坐标与线段长的转换，首先要确定边角的对应关系，发现线段相等后，利用等量建立方程，只要确定了对应关系，此题就好解决了．三、（17题6分，18题，19题各8分，共22分）17．（6分）解方程：2x2+x＝4x﹣1【分析】整理后，先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：2x2+x＝4x﹣1，2x2﹣3x+1＝0，（2x﹣1）（x﹣1）＝0，∴2x﹣1＝0或x﹣1＝0，x1＝，x2＝1．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键，难度适中．18．（8分）如图，一次函数y＝mx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A（3，1），B （﹣，n）两点．（1）求该反比例函数的解析式；（2）求n的值及该一次函数的解析式．【分析】（1）根据反比例函数y＝的图象经过A（3，1），即可得到反比例函数的解析式为y＝；（2）把B（﹣，n）代入反比例函数解析式，可得n＝﹣6，把A（3，1），B（﹣，﹣6）代入一次函数y＝mx+b，可得一次函数的解析式为y＝2x﹣5．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过A（3，1），∴k＝3×1＝3，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）把B（﹣，n）代入反比例函数解析式，可得﹣n＝3，解得n＝﹣6，∴B（﹣，﹣6），把A（3，1），B（﹣，﹣6）代入一次函数y＝mx+b，可得，解得，∴一次函数的解析式为y＝2x﹣5．【点评】本题考查了利用图象解决一次函数和反比例函数的问题．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．19．（8分）在一个不透明的布袋里共装有3个球（除颜色不同外其余都相同），其中2个是红球，1个是白球，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再任意摸出一个球，请用树状图或列表法求两次摸出的都是白球的概率．【分析】根据题意画出树状图，得出所有等情况数和两次摸出的都是白球的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：根据题意列表如下：∵一共有9 种等可能的结果，每种结果出现的可能性相同，两次摸出的都是白球的有1种，∴两次摸出的都是白球的概率为．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．四、（20、21题各8分，共16分）20．（8分）小王经营的网店专门销售某种品牌的一种保温杯，成本为30元/只，每天销售量y（只）与销售单价x（元）之间的关系式为y＝﹣10x+700（40≤x≤55），求当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？【分析】设每天获得的利润为w元，根据每天获得的利润＝每件的利润×每天的销售量，即可得出w关于x的二次函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．【解答】解：设每天获得的利润为w元，根据题意得：w＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000．∵a＝﹣10＜0，∴当x＝50时，w取最大值，最大值为4000．答：当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元．【点评】本题考查了二次函数的应用以及二次函数的最值，利用配方法将二次函数关系式变形为顶点式是解题的关键．21．（8分）如图，四边形ABGH、BCFG、CDEF是边长为1的正方形，连接BH、CH、DH，求证：∠ABH+∠ACH+∠ADH＝90°．【分析】由四边形ABGH，四边形BCFG，四边形CDEF都是正方形，易得＝＝，继而可证得△HBC∽△DBH，然后有相似三角形对应角相等，求得∠ACH＝∠DHB，再利用三角形外角的性质求解即可求得答案．【解答】证明：∵四边形ABGH，四边形BCFG，四边形CDEF都是正方形，由题意BH＝＝，BC＝1，BD＝2，∴＝＝，又∵∠HBC＝∠DBH（公共角），∴△HBC∽△DBH，∴∠ACH＝∠DHB，∴∠ACH+∠ADH＝∠DHB+∠ADH＝∠ABH＝45°，∵∠ABH＝45°，∴∠ABH+∠ACH+∠ADH＝90°．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．五、（本题10分）22．（10分）已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣4）＝a2，其中a为常数．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）当|a﹣2|＝0时，求此方程的根．【分析】（1）原方程可整理得：x2﹣5x+4﹣a2＝0，代入判别式公式，得到△＞0，即可得证，（2）根据“|a﹣2|＝0”，得到a的值，代入原方程，解之即可．【解答】（1）证明：原方程可整理得：x2﹣5x+4﹣a2＝0，△＝25﹣4（4﹣a2）＝4a2+9＞0，即此方程有两个不相等的实数根，（2）解：∵|a﹣2|＝0，∴a＝2，原方程可整理得：x2﹣5x＝0，解得：x1＝0，x2＝5．【点评】本题考查了根的判别式和绝对值，解题的关键：（1）正确掌握判别式公式，（2）正确掌握解一元二次方程的方法．六、（本题10分）23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（5，0），点B的坐标为（8，4），点C的坐标为（3，4），连接AB、BC、OC（1）求证四边形OABC是菱形；（2）直线l过点C且与y轴平行，将直线l沿x轴正方向平移，平移后的直线交x轴于点P．①当OP：PA＝3：2时，求点P的坐标；②点Q在直线1上，在直线l平移过程中，当△COQ是等腰直角三角形时，请直接写出点Q的坐标．【分析】（1）根据两点距离公式可求AO＝BC＝CO＝AB＝5，即可证四边形OABC是菱形；（2）①分点P在线段OA上，在点A右侧两种情况讨论，根据题意可求OP的长，即可求点P的坐标；②分三种情况讨论，根据全等三角形的判定和性质，可求点Q的坐标．【解答】证明：（1）∵点A的坐标为（5，0），点B的坐标为（8，4），点C的坐标为（3，4），O点坐标（0，0）∴AO＝BC＝5，CO＝＝5，AB＝＝5∴AO＝BC＝CO＝AB＝5∴四边形ABCO是菱形（2）①当点P在线段OA上，∵OP：PA＝3：2，OP+AP＝5∴OP＝3，PA＝2∴点P坐标为（3，0）当点P在点A的右侧，∵OP：PA＝3：2，OP﹣AP＝OA＝5∴OP＝15，AP＝10∴点P坐标为（15，0）②如图，当∠COQ＝90°，OC＝OQ时，过点C作CE⊥OA于E，则OE＝3，CE＝4，∵∠COE+∠POQ＝90°，∠COE+∠OCE＝90°，∴∠OCE＝∠POQ，且OC＝OQ，∠CEO＝∠OPQ∴△COE≌△OQP（AAS）∴PQ＝OE＝3，OP＝CE＝4，∴点Q坐标（4，﹣3）如图，当∠OCQ＝90°，OC＝CQ时，过点C作CE⊥OA于点E，则CE＝4，OE＝3，过点Q作FQ⊥CE于点F，∵∠OCE+∠ECQ＝90°，∠ECQ+∠CQF＝90°，∴∠OCE＝∠CQF，且OC＝CQ，∠OEC＝∠CFQ＝90°，∴△OEC≌△CFQ（AAS）∴CF＝OE＝3，FQ＝CE＝4，∴EF＝1，∵QF⊥CE，CE⊥AO，PQ⊥OA∴四边形EPQF是矩形∴EP＝FQ＝4即OP＝7∴点Q坐标为（7，1）如图，若∠CQO＝90°，CQ＝OQ时，过点C作CE⊥OA于点E，则CE＝4，OE＝3，∵∠CQH+∠OQP＝90°，∠PQO+∠QOP＝90°，∴∠CQH＝∠QOP，且OQ＝CQ，∠CHQ＝∠OPQ＝90°，∴△OPQ≌△QHC（AAS）∴OP＝HQ，CH＝PQ，∵CE⊥OA，PH⊥BC，PH⊥OA∴四边形CEPH是矩形，∴EP＝CH＝PQ，HP＝CE＝4，∵HQ+PQ＝HP＝4＝OP+EP，OP﹣EP＝OE＝3，∴OP＝，EP＝PQ＝∴点Q坐标（，）综上所述：点Q坐标为：（4，﹣3），（7，1），（，）【点评】本题是四边形综合题，考查了菱形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及分类讨论思想，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．七、（本题12分）24．（12分）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝7，点P是边AC上不与点A、C 重合的一点，作PD∥BC交AB边于点D．（1）如图1，将△APD沿直线AB翻折，得到△AP'D，作AE∥PD．求证：AE＝ED；（2）将△APD绕点A顺时针旋转，得到△AP'D'，点P、D的对应点分别为点P'、D'，①如图2，当点D'在△ABC内部时，连接P′C和D'B，求证：△AP'C∽△AD'B；②如果AP：PC＝5：1，连接DD'，且DD'＝AD，那么请直接写出点D'到直线BC的距离．【分析】（1）由折叠的性质和平行线的性质可得∠EAD＝∠ADP＝∠ADP'，即可得AE ＝DE；（2）①由题意可证△APD∽△ACB，可得，由旋转的性质可得AP＝AP'，AD＝AD'，∠PAD＝∠P'AD'，即∠P'AC＝∠D'AB，，则△AP'C∽△AD'B；②分点D'在直线BC的下方和点D'在直线BC的上方两种情况讨论，根据平行线分线段成比例，可求PD＝，通过证明△AMD'≌△DPA，可得AM＝PD＝，即可求点D'到直线BC的距离．【解答】证明：（1）∵将△APD沿直线AB翻折，得到△AP'D，∴∠ADP'＝∠ADP，∵AE∥PD，∴∠EAD＝∠ADP，∴∠EAD＝∠ADP'，∴AE＝DE（2）①∵DP∥BC，∴△APD∽△ACB，∴，∵旋转，∴AP＝AP'，AD＝AD'，∠PAD＝∠P'AD'，∴∠P'AC＝∠D'AB，，∴△AP'C∽△AD'B②若点D'在直线BC下方，如图，过点A作AF⊥DD'，过点D'作D'M⊥AC，交AC的延长线于M，∵AP：PC＝5：1，∴AP：AC＝5：6，∵PD∥BC，∴，∵BC＝7，∴PD＝，∵旋转，∴AD＝AD'，且AF⊥DD'，∴DF＝D'F＝D'D，∠ADF＝∠AD'F，∵cos∠ADF＝＝，∴∠ADF＝45°，∴∠AD'F＝45°，∴∠D'AD＝90°∴∠D'AM+∠PAD＝90°，∵D'M⊥AM，∴∠D'AM+∠AD'M＝90°，∴∠PAD＝∠AD'M，且AD'＝AD，∠AMD'＝∠APD，∴△AD'M≌△DAP（AAS）∴PD＝AM＝，∵CM＝AM﹣AC＝﹣3，∴CM＝，∴点D'到直线BC的距离为若点D'在直线BC的上方，如图，过点D'作D'M⊥AC，交CA的延长线于点M，同理可证：△AMD'≌△DPA，∴AM＝PD＝，∵CM＝AC+AM，∴CM＝3+＝，∴点D'到直线BC的距离为综上所述：点D'到直线BC的距离为或；【点评】本题是相似三角形综合题，考查了折叠的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质以及分类讨论的思想，证明∠DAD'＝90°是本题的关键．八、（本题12分）25．（12分）如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（2，0）和B（3，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）点M在第二象限的抛物线上，且∠MBO＝∠ABO．①直线BM交x轴于点N，求线段ON的长；②延长BO交抛物线于点C，点P是平面内一点，连接PC、OP，当△POC∽△MOB时，请直接写出点P的坐标．【分析】（1）把点A、B坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）①证明△BOL≌△BOA，利用即可求解；②当△POC∽△MOB时，点P 的位置可能第二象限也可能在第四象限，分别求解即可．【解答】解：（1）把点A、B坐标代入二次函数表达式：，解得：，故：抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣…①；（2）①过点B分别向x轴、y轴作垂线，交于点S、K，连接A、L，点B坐标为（3，3）则：四边形OSBK为正方形，∵∠MBO＝∠ABO，BO是正方形OSBK的对角线，BO＝BO，∴△BOL≌△BOA（AAS），∴OA＝OL＝2，∴AL⊥BO，sinα＝＝＝，则cosα＝，tanα＝，∵OL∥BS，∴，即：，则：ON＝6；②则点N坐标为（﹣6，0），把点L（0，2）、N坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b，解得：y＝x+2…②，联立①、②解得：x＝﹣3或3（舍去3）即点M坐标为（﹣3，1），BC所在的直线的表达式为：y＝x…③，联立①、③解得：x＝﹣或3（舍去3），则点C坐标为（﹣，﹣），则：OM＝，OB＝3，OC＝，MB＝2当△POC∽△MOB时，点P的位置可能第二象限也可能在第四象限，当点P在第二象限时，如下图，过点P作PH⊥x轴，△POC∽△MOB，∠PCO＝∠MBO＝α，∴＝，即：＝，解得：OP＝，PC═，AB所在直线表达式中的k值为3，∵∠PCO＝∠MBO＝∠OBA＝α，∴PC所在直线表达式中的k值为3，则：PC所在的直线表达式为：y＝3x+，令y＝0，则x＝﹣，即Q点坐标为（﹣，0），即：OQ＝，则：CQ＝，则：PQ＝PC﹣CQ，而PH2＝OP2﹣OH2＝PQ2﹣QH2＝PQ2﹣（OQ﹣OH）2，其中，OP＝，PQ＝PC﹣CQ，OQ＝，解得：OH＝，则点P坐标为（﹣，），当点P在第四象限时，同理可求点P坐标为（，﹣），故点P坐标为（﹣，）或（，﹣）．【点评】本题是二次函数综合题，涉及到三角形全等、三角形相似、解直角三角形、函数基本知识等诸多知识点，是代数与几何综合的难度很大的题目．。

辽宁省2019-2020学年九年级上学期期末数学试题A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题1 . 在平面直角坐标系中，直线（为常数）与抛物线交于，两点，且点在轴左侧，点坐标为，连结、，有以下说法：①；②当时，的值随的增大而增大；③当时，；④面积的最小值为．其中正确的是（）A．①B．②C．③D．④2 . 将一元二次方程配方后，原方程可化为（）A．B．C．D．3 . 下列成语中表示不确定事件的是（）A．水中捞月B．守株待兔C．刻舟求剑D．竹篮打水4 . 如图，已知点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，作Rt△ABC，边BC在x轴上，点D为斜边AC的中点，连结DB并延长交y轴于点E，若△BCE的面积为4，则k的值是（）A．2B．4C．6D．85 . 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．6 . 杨树乡共有耕地公顷，该乡人均耕地面积与总人口之间的函数图象大致为（）A．B．C．D．7 . 下列属于正n边形的特征的有（）①各边相等；②各个内角相等；③各条对角线都相等；④从一个顶点可以引(n－2)条对角线；⑤从一个顶点引出的对角线将正n边形分成面积相等的(n－2)个三角形．A．2个B．3个C．4个D．5个8 . 如图，△AOB中，∠B=25°，将△AOB绕点O顺时针旋转60°，得到△A′OB′，边A′B′与边OB交于点C（A′不在OB上），则∠A′CO的度数为（）A．85°B．75°C．95°D．105°9 . 如图，是直径，是的切线，连接交于点，连接，，则的度数是（）.A．B．C．D．10 . 抛物线y=2x2+1向右平移1个单位，再向下平移1个单位，所得到的抛物线是（）A．y=2（x﹣1）2+3B．y=2（x+1）2﹣3C．y=2（x﹣1）2﹣1D．y=3（x﹣1）2+1二、填空题11 . 某体育公园的圆形喷水池的水柱如图①所示，如果曲线APB表示落点B离点O最远的一条水流(如图②)，其上的水珠的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数解析式为y＝－x2＋4x＋，那么圆形水池的半径至少为_______米时，才能使喷出的水流不落在水池外．12 . 如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝120°，AB与CD之间的距离是，AB＝28，在AB上取一点E（AE ＜BE），使得∠DEC＝120°，则AE＝_____．13 . 已知反比例函数的图象如图所示，则实数m的取值范围是___________．14 . 点P（a+2，b-1）关于原点的对称点Q的坐标是（-3，2），则ab=______15 . 一个不透明的盒子中装有15个黑球和若干个白球，它们除颜色不同外，其余均相同，从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验300次，其中有200次摸到白球，由此估计盒子中的白球大约有____个．16 . 用半径为8的半圆围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径等于_______．三、解答题17 . 如图，AB是⊙O的直径，D，E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE，DE，DF．（1）证明：∠E＝∠C；（2）若∠E＝55°，求∠BDF的度数．18 . 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件．若设每件衬衫降价x元，解答下列问题：（1）当每件衬衫降价5元，则每件利润元，平均每天可售出件．（2）若平均每天获利为Q元，请求出Q与x的函数关系式．（3）若商场想平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？19 . 解方程：（1）（x+2）2＝25（2）x2﹣2x﹣2＝0（3）x2﹣6x﹣16＝0（4）（x﹣2）2﹣（3x+8）2＝020 . （8分）如图，一次函数的图象与x轴交于点B，与反比例函数的图象的交点为A（﹣2，3）．（1）求反比例函数的解析式；（2）过点A作AC⊥x轴，垂足为C，若点P在反比例函数图象上，且△PBC的面积等于18，求P点的坐标．21 . 如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD、CE分别与⊙O相切于点D、E，若AD=2，∠DAC=∠DCA，求CE.22 . 为丰富学生的校园生活，某校举行“与爱同行”朗诵比赛，赛后整理参赛同学的成绩，绘制成如下不完整的统计图表，请根据图表中的信息解答下列问题．组别成绩x（分）频数（人数）A8.0≤x＜8.5aB8.5≤x＜9.08C9.0≤x＜9.515D9.5≤x＜103（1）图中a= ，这次比赛成绩的众数落在组；（2）请补全频数分布直方图；（3）学校决定选派本次比赛成绩最好的3人参加全市中学生朗诵比赛，并为参赛选手准备了2件白色、1件蓝色上衣和黑色、蓝色、白色的裤子各1条，小军先选，他从中随机选取一件上衣和一条裤子搭配成一套衣服，请用画树状图法或列表法求出上衣和裤子搭配成不同颜色的概率．23 . 如图，有一块矩形硬纸板，长50cm，宽30cm．在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为600cm2？24 . 在平面直角坐标系中，设二次函数y1=mx2﹣6mx+8m（m为常数）．（1）若函数y1经过点（1，3），求函数y1的表达式；（2）若m＜0，当x＜时，此二次函数y随x的增大而增大，求a的取值范围；（3）已知一次函数y2=x﹣2，当y1•y2＞0时，求x的取值范围．。

2022-2023学年辽宁省沈阳市铁西区初三数学第一学期期末试卷一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确答案涂在答题卡上，每小题2分，共20分）1．若34x y =，则xy 的值为( ) A ．12 B ．43 C ．34 D ．72．如图所示几何体是由一个球体和一个圆柱组成的，它的俯视图是( )A ．B ．C ．D ．3．已知关于x 的方程2240x x a ++−=的一个根是1−，则a 的值是( )A ．2−B ．1−C ．1D ．24．小红有两顶帽子，分别为粉色和黑色，有两条围巾，分别为粉色和白色，她随机拿出一顶帽子和一条围巾戴上，恰好为粉色帽子和粉色围巾的概率是( )A ．12B ．13C ．14D ．565．下列函数关系中，是二次函数的是( )A ．在弹性限度内，弹簧的长度y 与所挂物体质量x 之间的关系B ．当距离一定时，火车行驶的时间t 与速度v 之间的关系C ．等边三角形的周长C 与边长a 之间的关系D ．半圆面积S 与半径R 之间的关系6．如图，有三个矩形，其中是相似图形的是( ) A ．甲和乙B ．甲和丙C ．乙和丙D ．甲、乙和丙 7．已知反比例函数(0)k y k x=≠，当21x −−时，y 的最大值是6，则当2x 时，y 有( )A ．最小值6−B ．最小值3−C ．最大值6−D ．最大值3−8．下列方程没有实数根的是( )A ．2410x x +=B ．23830x x +−=C ．2230x x −+=D ．(2)(3)12x x −−=9．如图，菱形ABCD 对角线交点与坐标原点O 重合，点(2,5)A −，则点C 的坐标是( )A ．(5,2)−B ．(2,5)−C ．(2,5)D ．(2,5)−−10．如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与y 轴的交点在(0,1)与(0,2)之间，对称轴为1x =−，函数最大值为4，结合图象给出下列结论：①2b a =；②32a −<<−；③240ac b −<；④若关于x 的一元二次方程24(0)ax bx c m a ++=−≠有两个不相等的实数根，则4m >；⑤当0x <时，y 随x 的增大而减小．其中正确的结论有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题（每小题3分，共18分）11．把一元二次方程(3)6x x −=化成20ax bx c ++=的一般形式，其中1a =，则常数项是 ．12．从同一批产品中抽检了1000件，其中不合格的产品有10件，由此估计从这批产品中抽检1件产品合格的概率是 ．13．如图，ABC ∆和DEF ∆是以点O 为位似中心的位似图形．若:2:3OA AD =，则ABC ∆与DEF ∆的周长比是 ．14．如图，小亮从一盏9米高的路灯下B 处向前走了8米到达点C 处时，发现自己在地面上的影子CE 是2米，则小亮的身高DC 为 米．15．已知点P 为二次函数223y x x =−−图象上一点，设这个二次函数的图象与x 轴交于A ，B 两点(A 在B 的右侧），与y 轴交于C 点，若90CAP ∠=︒，则点P 的横坐标的值为 ．16．正方形ABCD 中，6AB =，点E 在直线AD 上，且13DE AE =，连接BE ，线段BE 的垂直平分线交CD 边于点F ，则DF 的长为 ． 三、（17题6分，18题、19题各8分，共22分）17．解方程：23310x x −−=．18．已知矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是边AD 上一点，连接BE ，CE ，OE ，且BE CE =．求证：BEO CEO ∆≅∆．19．张老师和王老师参加了学校组织的党员志愿者活动，积极参与学校的常规服务．每个志愿者都可以从以下三个项目中任选一项参加：①早晨组织学生按秩序入校；②组织学生午餐；③带领学生进行体育锻炼．请用列表或画树状图的方法，求张老师和王老师选择参加同一项目的概率（用序号表示各项目）．四、（20题、21题各8分，共16分）20．某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．假设果园增种x 棵橙子树，增种后果园橙子的总产量为y 个，那么请你求出当果园增种多少棵橙子树时，橙子的总产量最多，并求出此时的总产量．21．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D 在AC 边上，作//DE AB 交BC 边于点E ，6AC =，7BC =．将DCE ∆绕点C 旋转，旋转后点D 的对应点为点F ，点E 的对应点为点G ，且点F 在ABC ∆的内部，连接AF ，BG ．（1）求AF BG 的值； （2）判断直线AF 与BG 的位置关系，并说明理由．五、（本题10分）22．某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50.7万个，求该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率．六、（本题10分）23．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABO 的直角顶点B 的坐标为(2,)m ，点A 在y 轴正半轴上，将ABO ∆沿y 轴向下平移得到DEF ∆，点B 的对应点E 恰好在反比例函数6(0)y x x−=>的图象上． （1）求m 的值；（2）求ABO ∆平移的距离；（3）点P 是x 轴上的一个动点，当PEF ∆的周长最小时，请直接写出此时点P 的坐标及PEF∆的周长．七、（本题12分）24．（1）如图1，ABC ∆中，点D 在BC 边上，且与点B ，C 不重合，点G 是线段AD 上一点，不与点A ，D 重合，过点G 作//EF BC ，分别交AB ，AC 于点E ，F ．①求证：EG FG BD DC =； ②连接ED ，DF ，当四边形AEDF 是平行四边形时，:ABC AEDF S S ∆=四边形 ；（2）如图2，在ABC ∆中，AD 是中线，点E 在线段AD 上，//EF BC 交AC 于点F ，EG EF ⊥，且点G 与点E 在BC 边两侧，连接FG ，BG ，EGF ABC ∠=∠，10FG =，15AB =，:2:3AE AD =，请直接写出BG 的长．八、（本题12分）25．如图抛物线2135y x bx =+−的对称轴为2x =−，对称轴与x 轴交于点A ，抛物线与y 轴交于点B ，点C ，D 为抛物线上的两个动点，且点C 在点D 的右侧，90CAD ∠=︒．（1）求该抛物线的函数表达式及线段AB 的长；（2）当点C 与点B 重合时，直接写出点D 的坐标；（3）当点C 不与点B 重合时，且CAD ∆与（2）中的CAD ∆相似时，请直接写出点C 的横坐标．答案与解析一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确答案涂在答题卡上，每小题2分，共20分）1．解：因为34x y=， 所以12xy =．故选：A ．2．解：根据题意可得，球体的俯视图是一个圆，圆柱的俯视图也是一个圆，圆柱的底面圆的半径大于球体的半径，如图，故C 选项符合题意．故选：C ．3．解：把1x =−代入方程2240x x a ++−=得11240a −+−=，解得2a =．故选：D ．4．解：列表如下：粉 黑 粉（粉，粉） （黑，粉） 白 （粉，白） （黑，白）由表知，共有4种等可能结果，其中恰好为粉色帽子和粉色围巾的只有1种结果，所以恰好为粉色帽子和粉色围巾的概率为14， 故选：C ．5．解：A 、y kx b =+，是一次函数，错误；B 、s t v =，是反比例函数，错误；C 、3C a =，是正比例函数，错误；D 、212S R π=．是二次函数，正确； 故选：D ．6．解：甲：邻边的比为3:2，乙：邻边的比为2.5:1.55:3=，丙：邻边的比为1.5:13:2=，所以，是相似图形的是甲和丙．故选：B ．7．解：反比例函数(0)k y k x=≠，当21x −−时，y 的最大值是6， ∴此函数图象的一个分支在第二象限，y 随x 的增大而增大，∴当1x =−时，6y =，∴反比例函数的解析式为6y x=−． 当2x 时，函数图象位于第四象限，y 随x 的增大而增大，∴当2x 时，y 有最小值，632y =−=−最小． 故选：B ．8．解：A 、方程变形为：24100x x +−=，△2441(10)560=−⨯⨯−=>，所以方程有两个不相等的实数根，故A 选项不符合题意；B 、△2843(3)1000=−⨯⨯−=>，所以方程有两个不相等的实数根，故B 选项不符合题意；C 、△2(2)41380=−−⨯⨯=−<，所以方程没有实数根，故C 选项符合题意；D 、方程变形为：2560x x −−=，△2541(6)490=−⨯⨯−=>，所以方程有两个不相等的实数根，故D 选项不符合题意．故选：C ．9．解：四边形ABCD 是菱形，OA OC ∴=，即点A 与点C 关于原点对称，点(2,5)A −，∴点C 的坐标是(2,5)−．故选：B ．10．解：抛物线对称轴为直线12b x a=−=−， 2b a ∴=，①正确． 抛物线经过(1,4)−，4a b c a c ∴−+=−+=，4a c ∴=−，抛物线与y 轴交点在(0,1)与(0,2)之间，12c ∴<<，32a ∴−<<−，②正确．抛物线与x 轴有2个交点，240b ac ∴−>，即240ac b −<，③正确．关于x 的一元二次方程24(0)ax bx c m a ++=−≠有两个不相等的实数根， ∴抛物线2y ax bx c =++与直线4y m =−有两个交点， 抛物线开口向下，顶点坐标为(1,4)−，44m ∴−<，8m ∴<，④错误．由图象可得1x <−时y 随x 增大而增大，∴⑤错误．故选：B ．二、填空题（每小题3分，共18分）11．解：(3)6x x −=化成一般形式为2360x x −−=， 则常数项是6−．故答案为：6−．12．解：估计从这批产品中抽检1件产品合格的概率是1000100.991000−=， 故答案为：0.99．13．解：ABC ∆和DEF ∆是以点O 为位似中心的位似图形． ABC ∴∆和DEF ∆的位似比为:OA OD ，:2:3OA AD =，:2:5OA OD ∴=，ABC ∴∆与DEF ∆的周长比是2:5． 故答案为：2:5．14．解：如图，2CE =米，8BC =米，9AB =米，//CD AB ， 10BE BC CE ∴=+=米，//CD AB ，ECD EBA ∴∆∆∽， ∴CD CE AB BE=，即2910CD =， 解得 1.8CD =（米)，即小亮的身高DC 为1.8米；故答案为：1.8．15．解：对于223y x x =−−①，令0y =，则3x =或1−，令0x =，则3y =−， 故点A 、B 、C 的坐标分别为：(3,0)、(1,0)−、(0,3)−． 当PAC ∠为直角时，如图，由点A 、C 的坐标知，3OA OC ==，即直线AP 与x 轴负半轴的夹角为45︒， 而PAC ∠为直角，故直线PA 的倾斜角为45︒， 故设直线PA 的表达式为：y x b =−+，将点A 的坐标代入得：3b =， 故直线AP 的表达式为：3y x =−+②， 联立①②解得：2x =−或3（舍去3)， 故点(2,5)P −；故答案为：2−．16．解：以B 为原点，BC 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，连接BF ，EF ， ①当E 在AD 延长线上时，如图：正方形ABCD 中，6AB =，6BC AD ∴==，直线CD 解析式为6x =， 13DE AE =，132DE AD ∴==，9AE ∴=， (9,6)E ∴，线段BE 的垂直平分线交CD 边于点F ， BF EF ∴=，设(6,)F m ，则22226(96)(6)m m +=−+−， 解得34m =，3(6,)4F ∴， (6,6)D ，321644DF ∴=−=；②当E 在线段AD 上时，如图： 13DE AE =，1342DE AD ∴==，92AE ∴=，9(2E ∴，6)，设(6,)F n ， 由BF EF =可得222296(6)(6)2n n +=−+−，解得316n =，3(6,)16F ∴， (6,6)D ，39361616DF ∴=−=； 故答案为：9316或214．三、（17题6分，18题、19题各8分，共22分）17．解：23310x x −−=，这里3a =，3b =−，1c =−，224(3)43(1)210b ac −=−−⨯⨯−=>，24321b b ac x −±−±∴==， ∴1321x +=，2321x −= 18．证明：四边形ABCD 为矩形，AC BD ∴=，12OA OC AC ==，12OB OD BD ==， OB OC ∴=， 在BEO ∆和CEO ∆中，OE OE BE CE OB OC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()BEO CEO SSS ∴∆≅∆．19．解：列表如下： 王老师张老师① ② ③①(①，①) (②，①) (③，①) ②(①，②) (②，②) (③，②) ③ (①，③) (②，③) (③，③)由表知，共有9种等可能结果，其中张老师和王老师选择参加同一项目的有3种结果，所以张老师和王老师选择参加同一项目的概率为13．四、（20题、21题各8分，共16分）20．解：2(100)(6005)510060000y x x x x =+−=−++；令60400y =，即260400510060000x x =−++，解得110x =−，210x =+225100600005(10)60500y x x x =−++=−−+．∴当10x =时，y 的最大值为60500．答：当果园增种10棵橙子树时，橙子的总产量最多，此时的总产量为60500个．21．解：（1）//DE AB ，::CD AC CE CB ∴=，CDE ∆旋转后得到CFG ∆，CF CD ∴=，CG CE =，::CF AC CG BC ∴=，90DCE FCG ∠=∠=︒，ACF FCE BCG FCE ∴∠+∠=∠+∠，ACF BCG ∴∠=∠，CAF CBG ∴∆∆∽， ∴67AF AC BG BC ==； （2）AF BG ⊥，理由如下：延长AF 交BG 于H ，CAF CBG ∆∆∽，CAF CBG ∴∠=∠，AEC BEH ∠=∠，90BHE ACE ∴∠=∠=︒，AF BG ∴⊥．五、（本题10分）22．解：设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x ， 由题意得：230(1)50.7x +=，解得：10.330%x ==，2 2.3x =−（不符合题意，舍去）， 答：该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为30%．六、（本题10分）23．解：（1）过B 点作BH AO ⊥于H ，ABO ∆是等腰直角三角形，(2,)B m ，2OH BH ∴==，2m ∴=，（2）由平移可得B 点横坐标和E 点横坐标相同，设(2,)E n ， E 在反比例函数6(0)y x x−=>的图象上， 632n −∴==−， (2,3)E ∴−，ABO ∴∆平移的距离为5．（3）作F 点关于x 轴的对称点F '，连接EF '，交x 轴于P ，此时PEF ∆的周长最小，最小值为EF EF '+， DEF ∆是等腰直角三角形，45DFE ∴∠=︒，2EM MD MF ∴===，由(2,3)E −得(0,5)F −，(0,5)F ∴'，设直线EF '的表达式为：y kx b =+，则523b k b =⎧⎨+=−⎩，解得：45k b =−⎧⎨=⎩， ∴直线DF 的表达式为45y x =−+，令0y =，则450x −+=，解得54x =， 5(4P ∴，0)， (2,3)E −，(0,5)F −，(0,5)F '，222(35)22EF ∴=+−+=，222(35)217EF '=+−−=， PEF ∴∆的周长的最小值为21722+．七、（本题12分）24．（1）①证明：//EF BC ，AEG ABD ∴∆∆∽，AFG ACD ∆∆∽，∴AG EG AD BD =，AG GF AD CD =， ∴EG FG BD DC=； ②解：如图，四边形ABCD 是平行四边形，12AG GD AD ∴==，12AEF AEDF S S ∆=，AEG ABD ∆∆∽，AFG ACD ∆∆∽，∴12AE AG AB AD ==，12AF AG AC AD ==， //EF BC ，AEF ABC ∴∆∆∽，∴21()4AEF ABC S AE S AB ∆∆==，14AEF ABC S S ∆∆∴=， :1:2ABC AEDF S S ∆∴=四边形，故答案为：1:2；（2）解：如图，延长FE 交AB 于点H ，连接GH 交BC 于N ，设FG 交BC 于M ， AD 是中线，CD BD ∴=，//EF BC ，AEF ADC ∴∆∆∽，AEH ADB ∆∆∽，∴23AE EF AD CD ==，23AH EH AE AB BD AD ===， ∴EF EH CD DB =，2103AH AB ==， EF EH ∴=，5BH =，又GE EF ⊥，10FG GH ∴==，GE FH ⊥，EGF EGH ∴∠=∠，EGF ABC ∠=∠，EGH ABC ∴∠=∠，//EF BC ，FHN BNH ∴∠=∠，又EGH ABC ∠=∠，90GEH BHN ∴∠=∠=︒，222510055GB BH GH ∴=+=+=．八、（本题12分）25．解：（1）抛物线2135y x bx =+−的对称轴为2x =−， 2125b∴−=−⨯，45b ∴=， ∴该抛物线的函数表达式为：214355y x x =+−； 当0x =时，3y =−，(0,3)B ∴−，由题意得：(2,0)A −，AB ∴==（2）如图1，点C 与B 重合，过点D 作DE x ⊥轴于E ， 由（1）知：2OA =，3OB =，90CAD ∠=︒，90OAB DAE ∴∠+∠=︒，90OAB ABO ∠+∠=︒，DAE ABO ∴∠=∠，90AED BOA ∠=∠=︒，BOA AED ∴∆∆∽， ∴32OB AE OA ED ==， 设3AE t =，2(0)DE t t =>，(23,2)D t t ∴−−−，点D 在抛物线214355y x x =+−上， ∴214(23)(23)3255t t t −−+−−−=−， 解得：1t =或199−（舍)， (5,2)D ∴−−；（3）解法一：设214(,3)55C a a a +−， 如图2，过点C 作CN OA ⊥于N ，过点D 作DM OA ⊥于M ，由（2）知：(5,2)F −−，(2,0)A −，(0,3)B −， AB AF ∴=，90BAF ∠=︒，ABF ∴∆是等腰直角三角形，CAD BAF ∆∆∽，CAD ∴∆也是等腰直角三角形，同理得：CNA AMD ∆≅∆，214355CN AM a a ∴==−−+，2AN DM a ==+， 214(2355D a a ∴−++−，2)a −−， ∴222114414(5)(5)32555555a a a a a +−++−−=−−， 222114414(5)(5)1555555a a a a a +−++−=−+， 2221414(5)4(5)5(1)5555a a a a a +−++−=−−， 214(1)[(5)(5)25]055a a a a −+−++=， 解得：11a =，2a =3a =（舍)，40a =（舍)； 解法二：设AN DM m ==，CN AM n ==， (2,)C m n ∴−−，(2,)D n m −−−，分别将点C 和D 的坐标代入214355y x x =+−中得： ()()2214(2)235514(2)2355n m m m n n ⎧−=−+−−⎪⎪⎨⎪−=−−+−−−⎪⎩①②， 化简得：22519519m n n m ⎧+=⎨+=⎩③④， ③−④得：225()0m n m n −−−=，()(5)0m n m n −+−=，m n ∴=或5n m =−，①当m n =时，25190m m +−=，解得：151012m −+=，251012m −−=， 910122m −+∴−=或91012−−； ②当5n m =−时，25(5)19m m +−=， 解得：12m =，23m =， 20m ∴−=（与点B 重合，舍）或1， 综上所述，点C 的横坐标是1或91012−+．。

考试时间：120分钟满分：100分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。

每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 下列各数中，属于无理数的是（）A. √9B. 2.5C. πD. -√42. 已知方程 2x - 5 = 3(x + 2)，解得 x =（）A. -3B. -2C. 2D. 33. 在直角坐标系中，点A(2, 3)关于x轴的对称点坐标是（）A. (2, -3)B. (-2, 3)C. (2, 3)D. (-2, -3)4. 如果等边三角形ABC的边长为6，那么它的面积是（）A. 9√3B. 18√3C. 9D. 185. 若x是方程 3x^2 - 4x + 1 = 0 的解，则 x^2 的值是（）A. 1B. 3C. 4D. 96. 下列函数中，是奇函数的是（）A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = x^47. 已知二次函数 y = ax^2 + bx + c 的图象开口向上，且顶点坐标为 (h, k)，则 a 的取值范围是（）A. a > 0B. a < 0C. a = 0D. a ≥ 08. 在梯形ABCD中，AD平行于BC，若AB = 4cm，BC = 6cm，CD = 2cm，则梯形ABCD的面积是（）A. 16cm^2B. 18cm^2C. 20cm^2D. 22cm^29. 在△ABC中，若∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数是（）A. 75°B. 105°C. 120°D. 135°10. 若等比数列 {an} 的首项 a1 = 2，公比 q = 3，则第5项 a5 =（）A. 18B. 54C. 162D. 486二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。

）11. 已知方程 2(x - 1) = 3(x + 2) - 5，解得 x = _______。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列选项中，不是实数的是（）A. -√2B. 0C. 1/3D. π2. 如果 a > b，那么下列不等式中错误的是（）A. a - 2 > b - 2B. 2a > 2bC. a^2 > b^2D. a/2 > b/23. 已知方程 2x - 3 = 5，那么 x 的值是（）A. 2B. 3C. 4D. 54. 在直角坐标系中，点 A（-2，3）关于原点的对称点是（）A.（-2，-3）B.（2，3）C.（2，-3）D.（-2，-3）5. 下列函数中，不是一次函数的是（）A. y = 2x + 1B. y = 3x^2 - 4C. y = 5x - 7D. y = x/26. 下列图形中，不是轴对称图形的是（）A. 正方形B. 等腰三角形C. 长方形D. 梯形7. 在△ABC中，∠A = 90°，AB = 6cm，AC = 8cm，那么 BC 的长度是（）A. 10cmB. 12cmC. 14cmD. 16cm8. 下列数中，不是有理数的是（）A. 0.333...B. -2.5C. √4D. √-19. 下列选项中，正确表示直角三角形的是（）A. a^2 + b^2 = c^2B. a^2 - b^2 = c^2C. a^2 + b^2 + c^2 = 0D. a^2 - b^2 - c^2 = 010. 下列函数中，y随x的增大而减小的是（）A. y = 2x + 1B. y = -3x - 2C. y = 5xD. y = 4/x二、填空题（每题5分，共50分）1. 3的平方根是__________，它的相反数是__________。

2. 如果 |a| = 5，那么 a 的值可能是__________。

3. 下列方程的解是 x = 2，那么这个方程是__________。

4. 在直角坐标系中，点 P（3，-4）关于 x 轴的对称点是__________。