集合与简易逻辑——高中数学基础知识与典型例题

一. 本周教学内容：集合与简易逻辑知识结构：【典型例题】例1. 已知集合A{2，3，7}，且A中至多有一个奇数，则这样的集合共有A. 2个B. 4个C. 5个D. 6个解：集合A可有三类：第一类是空集；第二类是A中不含奇数；第三类是A中只含一小结：应充分理解“至多”两字，然后进行分类计数。

例2. 设全集I=R，集合A={x|(x－1)(x－3)≤0}，B={x|(x－1)(x－a)<0}且解：解不等式(x－1)(x－3)≤0，得1≤x≤3，故A={x|1≤x≤3}，当a<1时，是[1，3]小结：这类问题一般可采用画数轴进行分析解决。

例3.解：小结：此题将解方程与集合运算有机地结合起来，对解题能力的要求略高一些，当然例4. 解不等式|x+2|+|x|>4解法一：综上可知，原不等式的解集为{x|x<－3或x>1}解法二：不等式|x+2|+|x|>4表示数轴上与A(－2)，O(0)的距离之和大于4的点，如图所示。

小结：①我们常用脱去绝对值的方法来解含有绝对值的不等式，即零点分区间法，其实质是转化为分段求解，如解法一。

②解法二是充分考虑绝对值的几何意义，从形的方面来考虑的，解决任何一个数学问题都要养成从数、形两个方面去思考的习惯，数形结合是数学中的一种基本的思维方法。

例5. 若关于x的不等式x2－ax－6a<0的解集为一开区间，且此区间的长度不超过5，试求a的取值范围。

解：小结：解a的范围。

但韦达定理不能保证有实根，故应注意Δ>0这一条件。

例6.解：依题意有：小结：关于方程根的讨论一般用函数的观点和方法去解决会使问题简洁。

例7. 等差数列{a+bn|n=1，2，…}中包含一个无穷的等比数列，求a，b（b≠0）所需满足的充分必要条件解：设有自然数n1<n2<…，使分必要条件。

例8.（1）求证：两图象交于不同的两点A、B。

（2）求线段AB在x轴上的射影A1B1之长的范围解：（2）设方程①的两根为x1，x2，由韦达定理得：小结：此题涉及一次函数、二次函数的图象、一元二次方程、一元二次函数在区间上的取值范围等多个知识点，要注意熟练掌握二次函数与方程，不等式的相互联系和相互转化。

高中数学核心知识点及基本思想方法总结第一章 集合与简易逻辑¤第一部分·集合与集合运算¤◆内容概述◆集合是现代数学的基本概念，专门研究集合的理论叫做集合论。

“疯人数学家”康托尔(Cantor,G.F.P,1845-1918年，德国人)是集合论的创始者。

目前集合论的基本思想已渗透到现代数学的所有领域。

集合的思想、集合的语言和集合的符号在高中数学的很多章节如函数、数列、方程和不等式、立体几何、解析几何等中都被广泛的使用。

要求理解集合、子集、补集、交集、并集的概念。

了解空集和全集的意义。

了解属于、包含、相等关系的意义。

掌握有关术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合。

◆知识点拨◆※< 1 >※ 集合与元素。

一般地，某些指定的对象．．．．．集在一起就成为一个集合（确定性）。

集合中每个对象叫做这个集合的元素。

【注意】①集合的确定性如何体现？（例如很高的山，一条快乐的鱼能成为一个集合么） ②元素与集合的关系。

（属于∈、不属于∉）【例题】设集合},12|{},,2|{Z k k x x B Z k k x x A ∈+==∈==，若B b A a ∈∈,，试判断a+b 与A 、B 的关系。

〖分析〗两个集合中的k 不可以理解成是同一个变量，即解作：Z k k b a k b B b k a A a ∈+=+∴+=∴∈=∴∈,14,12,,2,，此法失去任意性。

〖解答〗.,,.1)(2,,12,,,2,21212211A b a B b a Z k k k k b a Z k k b B b Z k k a A a ∉+∈+∴∈+++=+∴∈+=∴∈∈=∴∈ ③集合中元素的三个特征。

（确定性、互异性、无序性） 【例题】已知}1,12,3{2+--=a a a A ，其中R a ∈。

（1）若A ∈-3，求实数a 的值；（2）当a 为何值时，集合A 的表示不正确？〖解答〗.2,,,11213123:,,3,)2(;10,12333,13)1(222-=∴∈+=-+=--=--==-=--=-∴+≠-a R a A a a a a a a A a a a a a 的表示不正确时或或即表示不正确集合个元素有重复情况时当由集合中元素的互异性或解得或显然④集合的表示方法有哪些？（列举法、描述法、图示法、区间法）【思考】各表示方法的特点，比如描述法注意限制决定条件、条件决定元素、元素决定集合。

集合、简易逻辑常用数集符号自然数集N （包括0），正整数集N *或N +，整数集Z ，实数集R 集合1、互异性例：集合{a 2，0，1}与集合{b 2，0，-1}相等，根据互异性，a 2=-1、b 2=12、元素、集合间的关系（韦恩图）：元素与集合∈∉，集合与集合⊆ ⊊⊄ （注：集合A ⊆集合B ，集合A 可以是Ø，集合A 、B 可以相等）3、空集：Ø，无任何元素，是任何集合的子集（注：{Ø}与Ø不同，{Ø}包含1个元素Ø，Ø无元素）（注：空集必须分类讨论）4、交集∩，并集∪，补集（全集U 中不属于集合A 的元素集合，C U A ） 例：A={x |1≤x ≤3}，B={x |mx+1=0}，A ∩B ≠Ø，求m 的范围 补集思想，令A ∩B ＝Ø，则B ＝Ø（m=0）或-m1<1或>3，求出m 的集合M ，C R M 即所求范围5、常见元素类型（1）数集例：{x|x 2+3x-4=0}，表示方程x 2+3x-4=0的解（2）点集例：{（x ，y ）|y=x 2+3x-4}，表示函数y=x 2+3x-4图像上点的坐标6、集合子集的个数含有n 个元素的集合，子集个数为2n ，非空集合个数为2n -1简易逻辑1、复合命题：或∨、且∧、非﹁p∨q：一真即真（特称命题∃：“存在……”）p∧q：一假即假（全称命题∀：“对于所有……”）2、原命题（若p，则q）与逆否命题（若﹁q，则﹁p）同真同假3、对于命题“若p，则q”，否命题与命题的否定（否定命题）（1）否命题：若﹁p，则﹁q（2）命题的否定（否定命题）：若p，则﹁q（注：命题的否定考的多，否命题考的少）（3）全称命题、特称命题的否定例1：否定全称命题“∀实数x，x2＞0”先改为“若p，则q”，“若x为实数，则x2＞0”→否定即﹁q，“若x为实数，∃实数x，x2≤0”，即“∃实数x，x2≤0”例2：否定特称命题“∃平行四边形，不是矩形”先改为“若p，则q”，“若一个平面图形是平行四边形，∃一个平行四边形，不是矩形”→否定即﹁q，“若一个平面图形是平行四边形，则它是矩形”，即“∀平行四边形，是矩形”4、充分必要条件p是q的充分必要条件，p⇔q（1）充分条件：p⇒q（2）必要条件：p⇐q（注：利用集合理解充分必要条件p⇒q，即集合P⊆Q，p⇐q，即集合P⊇Q）。

(名师选题)2023年人教版高中数学第一章集合与常用逻辑用语必须掌握的典型题单选题1、已知a、b、c、d∈R，则“max{a,b}+max{c,d}>0”是“max{a+c,b+d}>0”的（）注：max{p,q}表示p、q之间的较大者.A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：B分析：利用特殊值法、不等式的基本性质结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.充分性：取a=d=1，b=c=−1，则max{a,b}+max{c,d}=max{1,−1}+max{−1,1}=1+1>0成立，但max{a+c,b+d}=max{0,0}=0，充分性不成立；必要性：设max{a+c,b+d}=a+c，则max{a,b}≥a，max{c,d}≥c，从而可得max{a,b}+max{c,d}≥a+c>0，必要性成立.因此，“max{a,b}+max{c,d}>0”是“max{a+c,b+d}>0”的必要不充分条件.故选：B.小提示：方法点睛：判断充分条件和必要条件，一般有以下几种方法：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.2、已知p：√x−1>2，q：m−x<0，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（）A ．m <3B ．m >3C ．m <5D ．m >5答案：C分析：先求得命题p 、q 中x 的范围，根据p 是q 的充分不必要条件，即可得答案.命题p ：因为√x −1>2，所以x −1>4，解得x >5，命题q ：x >m ，因为p 是q 的充分不必要条件，所以m <5.故选：C3、已知A ={1,x,y }，B ={1,x 2,2y }，若A =B ，则x −y =（ ）A ．2B ．1C ．14D ．23答案：C分析：由两集合相等，其元素完全一样，则可求出x =0,y =0或x =1,y =0或x =12，y =14，再利用集合中元素的互异性可知x =12，y =14，则可求出答案.若A =B ，则{x =x 2y =2y 或{x =2y y =x 2 ，解得{x =0y =0 或{x =1y =0 或{x =12y =14， 由集合中元素的互异性，得{x =12y =14， 则x −y =12−14=14， 故选：C ．4、设集合A ={x|x ≥2},B ={x|−1<x <3}，则A ∩B =（ ）A ．{x|x ≥2}B ．{x|x <2}C ．{x|2≤x <3}D ．{x|−1≤x <2}答案：C分析：根据交集的定义求解即可由题，A∩B={x|2≤x<3}故选：C5、已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z}，T={t|t=4n+1,n∈Z}，则S∩T=（）A．∅B．S C．T D．Z答案：C分析：分析可得T⊆S，由此可得出结论.任取t∈T，则t=4n+1=2⋅(2n)+1，其中n∈Z，所以，t∈S，故T⊆S，因此，S∩T=T.故选：C.6、设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，则甲是丁的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要答案：A分析：记甲、乙、丙、丁各自对应的条件构成的集合分别为A，B，C，D，根据题目条件得到集合之间的关系，并推出A D，，所以甲是丁的充分不必要条件.记甲、乙、丙、丁各自对应的条件构成的集合分别为A，B，C，D，由甲是乙的充分不必要条件得，A B，由乙是丙的充要条件得，B=C，由丁是丙的必要不充分条件得，C D，所以A D，，故甲是丁的充分不必要条件.故选：A.7、已知集合A={x|x2−2x=0}，则下列选项中说法不正确的是（）A．∅⊆A B．−2∈A C．{0,2}⊆A D．A⊆{y|y<3}答案：B分析：根据元素与集合的关系判断选项B，根据集合与集合的关系判断选项A、C、D. 由题意得，集合A={0,2}．所以−2∉A，B错误；由于空集是任何集合的子集，所以A正确；因为A={0,2}，所以C、D中说法正确．故选：B．8、命题“∃x>1，x2≥1”的否定是（）A．∃x≤1，x2≥1B．∃x≤1，x2<1C．∀x≤1，x2≥1D．∀x>1，x2<1答案：D分析：根据含有一个量词的命题的否定，可直接得出结果.命题“∃x>1，x2≥1”的否定是“∀x>1，x2<1”，故选：D.9、已知集合A={x|x≤1}，B={x∈Z|0≤x≤4}，则A∩B=（）A．{x|0<x<1}B．{x|0≤x≤1}C．{x|0<x≤4}D．{0,1}答案：D分析：根据集合的交运算即可求解.由B={x∈Z|0≤x≤4}得B={0,1,2,3,4}，所以A∩B={0,1}，故选：D10、集合A={x∈N|1≤x<4}的真子集的个数是（）A．16B．8C．7D．4答案：C解析：先用列举法写出集合A，再写出其真子集即可.解：∵A ={x ∈N|1≤x <4}={1,2,3}，∴A ={x ∈N|1≤x <4}的真子集为：∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}共7个．故选：C ．11、已知命题p ：∃x ∃N ，e x <0（e 为自然对数的底数），则命题p 的否定是（ ）A ．∃x ∃N ，e x <0B ．∃x ∃N ，e x >0C ．∃x ∃N ，e x ≥0D ．∃x ∃N ，e x ≥0答案：D分析：根据命题的否定的定义判断．特称命题的否定是全称命题．命题p 的否定是：∃x ∃N ，e x ≥0．故选：D ．12、已知集合A ={1，2，3，5，7，11}，B ={x|3<x <15}，则A ∩B 中元素的个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．5答案：B分析：采用列举法列举出A ∩B 中元素的即可.由题意，A ∩B ={5,7,11}，故A ∩B 中元素的个数为3.故选：B【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.双空题13、设A ，B 是R 中两个子集，对于x ∈R ，定义：m ={1,x ∈A,0,x∉A, n ={1,x ∈B 0,x∉B ，①若A ⊆B ．则对任意x ∈R ，m （1-n ）=______；②若对任意x ∈R ，m +n =1，则A ，B 的关系为______．答案： 0 A =∁RB分析：①由A⊆B．分x∉A和x∈A两种情况讨论；②对任意x∈R，m+n=1，则m，n的值一个为0，另一个为1，分类讨论即可得出A，B的关系．解：①∵A⊆B．则x∉A时，m=0，m（1-n）=0．x∈A时，必有x∈B，∴m=n=1，m（1-n）=0．综上可得：m（1-n）=0．②对任意x∈R，m+n=1，则m，n的值一个为0，另一个为1，即x∈A时，必有x∉B，或x∈B时，必有x∉A，∴A，B的关系为A=∁R B．故答案为0，A=∁R B．小提示：本题考查了集合之间的关系、分类讨论方法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14、已知集合S＝{0,1,2,3,4,5}，A是S的一个子集，当x∈A时，若有x－1∉A，且x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，那么S中无“孤立元素”的4个元素的子集共有________个，其中的一个是________．答案：6{0,1,2,3}解析：根据题意用列举法即可解出．因为集合S＝{0,1,2,3,4,5}，根据题意知只要有元素与之相邻，则该元素不是孤立元素，所以S中无“孤立元素”的4个元素的子集有{0,1,2,3}，{0,1,3,4}，{0,1,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,4,5}，{2,3,4,5}．其中一个可以是{0,1,2,3}．所以答案是：6；{0,1,2,3}．小提示：本题主要考查集合新定义的理解和应用，以及子集的求法，属于基础题．15、若集合U n={1,2,3,⋯,n}，n≥2，n∈N∗，A,B⊆U n，且满足集合A中最大的数大于集合B中最大的数，则称有序集合对(A,B)为“兄弟集合对”.当n=3时，这样的“兄弟集合对”有_________对；当n≥3时，这样的“兄弟集合对”有___________对（用含有n的表达式作答）.答案： 14 4n+23−2n分析：当n =3时，分别对集合A 中最大数为1，2和3进行讨论即可；当n ≥3时，先找出集合A 中最大数为m 时，集合A 和B 的个数，再结合等比数列求和公式即可求解. 由题意可知，n =3时，U n ={1,2,3}.当集合A 中最大数为1，即A ={1}时，无满足题意的集合B ；当集合A 中最大数为2，即A ={2}或A ={1,2}时，只有一种满足题意的集合B ={1}，此时“兄弟集合对”有2×1=2种；当集合A 中最大数为3，即A ={3}，A ={1,3}，A ={2,3}或A ={1,2,3}时，满足题意的集合B 有{1}，{2}和{1,2}三种可能，此时“兄弟集合对”有4×3=12种；故当n =3时，这样的“兄弟集合对”有2+12=14种.若集合A 中最大数为m 时，集合A 的个数为{1,2,3,⋯,m −1}的子集个数，即2m−1个，此时集合B 的个数为{1,2,3,⋯,m −1}的真子集个数，即2m−1−1个，因此这样的“兄弟集合对”有2m−1(2m−1−1)种，故当n ≥3时，这样的“兄弟集合对”有：20×(20−1)+21×(21−1)+⋯+2n−1(2n−1−1)=40+41+⋯+4n−1−(20+21+⋯+2n−1)=1×(1−4n )1−4−1×(1−2n )1−2=4n +23−2n 种. 所以答案是：14；4n +23−2n .16、若方程组{ax +y =2x +by =2的解集为{(2,1)}，则a =_________，b =_________. 答案： 12##0.5 0 分析：依题意可得{2a +1=22+b =2，解得即可. 解：因为方程组{ax +y =2x +by =2的解集为{(2,1)}， 所以{2a +1=22+b =2 ，解得{a =12b =0； 所以答案是：12；017、设集合A={1,a+6,a2}，B={2a+1,a+b}，若A∩B={4}，则a=_______，b=_______.答案： 2 2分析：由题知，4∈A，4∈B，所以a+6=4或a2=4，再根据集合元素的互异性验证即可得出答案.由题知，4∈A，所以a+6=4或a2=4，当a+6=4时，则a=−2，得A={1,4,4}，故应舍去；当a2=4时，则a=2或a=−2（舍），当a=2时，A={1,4,8}，B={5,2+b}，又4∈B，所以2+b=4，得b=2.所以a=2,b=2.所以答案是：①2；②2小提示：本题考查交集的概念，集合元素的互异性，考查学生的逻辑推理能力，考查分类讨论的思想.解答题18、用列举法表示下列集合(1)11以内非负偶数的集合；(2)方程(x+1)(x2−4)=0的所有实数根组成的集合；(3)一次函数y=2x与y=x+1的图象的交点组成的集合．答案：(1){0,2，4，6，8，10}；(2){−2，−1，2}(3){(1，2)}分析：（1）根据偶数的定义即可列举所有的偶数，（2）求出方程的根，即可写出集合，（3）联立方程求交点，进而可求集合.（1）11以内的非负偶数有0,2,4,6,8,10，所以构成的集合为{0,2,4,6,8,10}，（2）(x+1)(x2−4)=0的根为x1=−1,x2=2,x3=−2，所以所有实数根组成的集合为{−2,−1,2}，（3）联立y=x+1和y=2x，解得{x=1y=2，所以两个函数图象的交点为(1,2)，构成的集合为{(1,2)} 19、已知集合A={x|2−a≤x≤2+a}，B={x|x≤1或x≥4}．（1）当a=3时，求A∩B；（2）“x∈A”是“x∈∁R B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．答案：（1）A∩B={x|−1≤x≤1或4≤x≤5}；（2）{a|a<1}分析：（1）先求出集合A={x|−1≤x≤5}，再求A∩B；（2）先求出∁R B={x|1<x<4}，用集合法分类讨论，列不等式，即可求出实数a的取值范围. （1）当a=3时，A={x|−1≤x≤5}.因为B={x|x≤1或x≥4}，所以A∩B={x|−1≤x≤1或4≤x≤5}；（2）因为B={x|x≤1或x≥4}，所以∁R B={x|1<x<4}.因为“x∈A”是“x∈∁R B”的充分不必要条件，所以A∁R B.当A=∅时，符合题意，此时有2+a<2−a，解得：a<0.当A≠∅时，要使A∁R B，只需{2+a≥2−a2+a<42−a>1，解得：0≤a<1综上：a<1.即实数a的取值范围{a|a<1}.20、已知集合A={x|2<x<4}，B={x|a<x<3a}.(1)若A∩B={x|3<x<4}，求实数a的值；(2)若A∩B=∅，求实数a的取值范围.答案：(1)3(2){a|a≤23或a≥4}分析：（1）根据交集结果直接判断即可.（2）按B=∅，B≠∅讨论，简单计算即可得到结果. （1）因为A∩B={x|3<x<4}，所以a=3.（2）因为A∩B=∅，所以可分两种情况讨论：B=∅，B≠∅. 当B=∅时，有a≥3a，解得a≤0；当B≠∅时，有{a>0a≥4或3a≤2，解得a≥4或0<a≤2 3 .综上，实数a的取值范围是{a|a≤23或a≥4}.。

高中数学竞赛基础知识第一章 集合与简易逻辑一、基础知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ∉。

例如，通常用N ，Z ，Q ，B ，Q +分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用∅来表示。

集合分有限集和无限集两种。

集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。

例如{有理数}，}0{>x x 分别表示有理数集和正实数集。

定义2 子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，则A 叫做B 的子集，记为B A ⊆，例如Z N ⊆。

规定空集是任何集合的子集，如果A 是B 的子集，B 也是A 的子集，则称A 与B 相等。

如果A 是B 的子集，而且B 中存在元素不属于A ，则A 叫B 的真子集。

定义3 交集，}.{B x A x x B A ∈∈=且定义4 并集，}.{B x A x x B A ∈∈=或定义5 补集，若},{,1A x I x x A C I A ∉∈=⊆且则称为A 在I 中的补集。

定义6 差集，},{\B x A x x B A ∉∈=且。

定义7 集合},,{b a R x b x a x <∈<<记作开区间),(b a ，集合},,{b a R x b x a x <∈≤≤记作闭区间],[b a ，R 记作).,(+∞-∞定理1 集合的性质：对任意集合A ，B ，C ，有：（1）);()()(C A B A C B A = （2）)()()(C A B A C B A =；（3）);(111B A C B C A C = （4）).(111B A C B C A C =【证明】这里仅证（1）、（3），其余由读者自己完成。

第一章 集合与简易逻辑(一)●知识网络集合集合的有关概念集合与元素补集解含绝对值的不等式并集解简单分式不等式集合与集合交集解一元二次不等式集合的运算集合的应用●范题精讲【例1】 已知集合A 、B 是全集U ={1，2，3，4，5，6，7，8，9}的子集，A ∩B ={2},(U A )∩(U B )={1,9},(U A )∩B ={4,6,8},求A 、B.UAB 4,6,83,5, 721,9分析:作出文氏图，利用数形结合法求解本题.解:由图可得A ={2，3，5，7},B ={2，4，6，8}.【例2】 已知A ={x |x 2-ax +a 2-19=0},B ={x |x 2-5x +8=2},C ={x |x 2+2x -8=0}.若∅A ∩B ,且 A ∩C =∅,求a 的值.解:∵B ={x |(x -3)(x -2)=0}={3,2}, C ={x |(x +4)(x -2)=0}={-4,2}, 又∵∅A ∩B , ∴A ∩B ≠∅. 又∵A ∩C =∅,∴可知-4∉A ,2∉A ,3∈A. ∴由9-3a +a 2-19=0， 解得a =5或a =-2.①当a =5时，A ={2,3}，此时A ∩C ={2}≠∅,矛盾， ∴a ≠5；②当a =-2时，A ={-5,3}，此时A ∩C =∅, A ∩B ={3}≠∅,符合条件. 综上①②知a =-2.评注:求出a 值后要注意代回题中检验，否则可能会出现错误的结果.【例3】 解关于x 的不等式x 2-(a +a1)x +1＜0(a ≠0). 分析:解含字母参数的不等式，要注意对字母参数进行合理的分类讨论，既不能遗漏，也不能重复.解:原不等式化为(x -a )(x -a1)＜0, ∴相应方程的根为a 、a1. 当a ＞a 1，即-1＜a ＜0或a ＞1时，解集为{x |a 1＜x ＜a }. 当a =a 1，即a =±1时，解集为∅.当a ＜a 1，即0＜a ＜1或a ＜-1时，解集为{x |a ＜x ＜a1 }.综上，当-1＜a ＜0或a ＞1时，解集为{x |a1＜x ＜a };当a =±1时，解集为∅；当0＜a ＜1或a ＜-1时，解集是{x |a1＜x ＜a }.评注:解含字母参数的不等式时，要弄清为何要分类讨论、分类讨论的标准是什么、如何分类讨论三个问题.【例4】 已知A ={x ||x -a |≤1},B ={x |3302x--x-x ≥0},且A ∩B =∅，求a 的取值范围.分析:先利用解含绝对值不等式的方法及积的符号法则解不等式，求出A 和B ，再利用数轴表示出A 和B (如下图所示)，得到A ∩B =∅时应满足的条件，从而求出a 的取值范围.解:A ={x ||x -a |≤1}={x |a -1≤x ≤a +1}.不等式3302x--x-x ≥0,即()()356x-x x +-≥0, 其解集是⎩⎨⎧≥+>05)6)(-(0,3-x x x 与⎩⎨⎧≤+-<-0)5)(6(,03x x x 的解集的并集.解得不等式3302x--x-x ≥0的解集是{x |x ≥6}∪{x |-5≤x ＜3}={x |x ≥6或-5≤x ＜3}.所以B ={x |-5≤x ＜3或x ≥6}. 要使A ∩B =∅，必须满足a +1＜-5或⎩⎨⎧<+≥-,61,31a a即a ＜-6或4≤a ＜5.所以，满足条件的a 的取值范围是a ＜-6或4≤a ＜5.评注:将集合A 、B 都标在数轴上，借助于图形直观性找到需满足的条件，再转化为与之等价的关于a 的不等式组.这种数形结合的数学思想很重要.●试题详解高中同步测控优化训练(一) 第一章 集合与简易逻辑(一)(A 卷)说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.第Ⅰ卷(选择题 共30分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.已知A ={x |x ≤32,x ∈R },a =5,b =23,则A.a ∈A 且b ∉AB.a ∉A 且b ∈AC.a ∈A 且b ∈AD.a ∉A 且b ∉A 答案:C2.设集合U ={1,2,3,4,5},A ={1,2,3},B ={2,5},则A ∩(U B )等于A.{2}B.{2,3}C.{3}D.{1,3} 解析:∵U ={1,2,3,4,5},B ={2,5}, ∴U B ={1,3,4}.∴A ∩(U B )={1,3}.答案:D3.已知集合S={a ,b ,c }中的三个元素是△ABC 的三边长,那么△ABC 一定不是 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 解析:由于集合中的元素是互异的,所以a 、b 、c 互不相等,即△ABC 一定不是等腰三角形. 答案:D4.集合A ={x ∈R |x (x -1)(x -2)=0}，则集合A 的非空子集的个数为A.4B.8C.7D.6解析:集合A ={0，1，2}，共有23=8个子集，其中非空子集有7个，故选C.这里特别注意{0}≠∅.答案:C5.已知集合A ={x ||2x +1|>3},B ={x |x 2+x -6≤0},则A ∩B 等于A.(-3,-2］∪(1,+∞)B.(-3,-2］∪［1,2)C.［-3,-2)∪(1,2］D.(-∞,-3］∪(1,2］ 解析:A ={x ||2x +1|>3}={x |2x +1>3或2x +1<-3}={x |x >1或x <-2}, B ={x |x 2+x -6≤0}={x |-3≤x ≤2}(如下图).答案:C6.已知集合P ={x |x 2=1}，集合Q ={x |ax =1},若Q ⊆P ，那么a 的值是A.1B.-1C.1或-1D.0，1或-1解析:因为由x 2=1得x =±1，所以P ={-1,1}.又因为Q ⊆P ，所以分Q =∅和Q ≠∅两种情况讨论.(1)若Q =∅，则a =0；(2)若Q ≠∅，则a ≠0，Q ={x |x =a1}，所以a =-1或1.综合(1)(2)可知，a 的值为0，1或-1. 答案:D7.设U 为全集，P 、Q 为非空集合，且P Q U .下面结论中不正确的是A.(U P )∪Q =UB.( U P )∩Q =∅ C.P ∪Q =Q D.P ∩(U Q )=∅UPQ解析:由文氏图知(U P )∩Q ≠∅.答案:B8.不等式组⎩⎨⎧>+>03,42a x x 的解集是{x |x ＞2}，则实数a 的取值范围是A.a ≤-6B.a ≥-6C.a ≤6D.a ≥6答案:B9.若|x +a |≤b 的解集为{x |-1≤x ≤5},那么a 、b 的值分别为A.2，-3B.-2，3C.3，2D.-3，2 答案:B10.设全集U =R ，集合E ={x |x 2+x -6≥0}，F ={x |x 2-4x -5＜0}，则集合{x |-1＜x ＜2}是A.E ∩FB.( U E )∩FC.(U E )∪(U F )D. U (E ∪F )解析:E ={x |x 2+x -6≥0}={x |x ≤-3或x ≥2}, F ={x |x 2-4x -5＜0}={x |-1＜x ＜5}. 借助数轴知{x |-1＜x ＜2}=(U E )∩F .答案:B第Ⅱ卷(非选择题 共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11.设T ={(x ,y )|ax +y -3=0},S ={(x ,y )|x -y -b =0}.若S ∩T ={(2,1)},则a =_______,b =_______.解析:由S ∩T ={(2,1)},可知⎩⎨⎧==1,2y x 为方程组⎩⎨⎧=--=-+0,03b y x y ax 的解，解得⎩⎨⎧==.1,1b a答案:1 112.已知集合M ={0,1,2},N ={x |x =2a ,a ∈M },则集合M ∩N =_______. 解析:∵M ={0,1,2},N ={x |x =2a ,a ∈M },∴N ={0,2,4}.∴M ∩N ={0,2}. 答案:{0,2}13.不等式1-x ax＜1的解集为{x |x ＜1或x ＞2}，则a 的值为________. 解析:由1-x ax＜1得［(a -1)x +1］(x -1)＜0，由不等式的解集为{x |x ＜1或x ＞2}知，1、2为方程［(a -1)x +1］(x -1)=0的两根，∴(a -1)×2+1=0.∴a = 21. 答案: 2114.不等式3)2(-+x x x <0的解集为_______. 解析:原不等式x (x +2)(x -3)<0.如下图,由数轴穿根法可知原不等式的解集为{x |0<x <3或x <-2}.答案:{x |0<x <3或x <-2}三、解答题(本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分10分)已知集合A ={a ,a +b ,a +2b },B ={a ,ac ,ac 2}.若A =B ，求实数c 的值.解:若⎩⎨⎧=+=+22acb a ac b a ⇒a +ac 2-2ac =0, 所以a (c -1)2=0,即a =0或c =1.当a =0时，集合B 中的元素均为0，故舍去； 当c =1时，集合B 中的元素均相同，故舍去.若⎩⎨⎧=+=+acb a ac b a 22⇒2ac 2-ac -a =0. 因为a ≠0，所以2c 2-c -1=0, 即(c -1)(2c +1)=0. 又c ≠1，所以只有c =-21. 经检验，此时A =B 成立.综上所述c =-21. 16.(本小题满分10分)设集合A ={x ||x -a |<2},B ={x |212+-x x <1},若A ⊆B ,求实数a 的取值范围.解:A ={x |-2<x -a <2}={x |a -2<x <a +2},∵212+-x x <123+-x x <0(x +2)(x -3)<0-2<x <3,∴B ={x |-2<x <3}. 如下图,∵A ⊆B ,∴⎩⎨⎧≤+-≥-.32,22a a解得0≤a ≤1.17.(本小题满分10分)已知集合A ={x |x 2-3x +2=0},B ={x |x 2-ax +3a -5=0}.若A ∩B =B ，求实数a 的取值范围.解:A ={x |x 2-3x +2=0}={1,2},由x 2-ax +3a -5=0，知Δ=a 2-4(3a -5)=a 2-12a +20=(a -2)(a -10). (1)当2＜a ＜10时，Δ＜0,B =∅⊆A ;(2)当a ≤2或a ≥10时，Δ≥0，则B ≠∅. 若x =1，则1-a +3a -5=0,得a =2, 此时B ={x |x 2-2x +1=0}={1}⊆A ;若x =2，则4-2a +3a -5=0，得a =1, 此时B ={2,-1} A.综上所述，当2≤a ＜10时，均有A ∩B =B .18.(本小题满分12分)解不等式：(1)1＜|x -2|≤3;(2)|x -5|-|2x +3|＜1.分析:解含绝对值的不等式应根据绝对值的概念去掉绝对值符号，(2)中可采用零点分区间法去绝对值符号.(1)解法一:原不等式即⎪⎩⎪⎨⎧≤->-.32,12x x由①得x ＜1或x ＞3.由②得-1≤x ≤5(如图).所以原不等式的解集为{x |-1≤x ＜1或3＜x ≤5}.解法二:原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集.⎩⎨⎧≤-<≥-321,02x x 或⎩⎨⎧≤--<<-,3)2(1,02x x 即1＜x -2≤3或-3≤x -2＜-1,解得3＜x ≤5或-1≤x ＜1.所以原不等式组的解集为{x |-1≤x ＜1或3＜x ≤5}. (2)解:①当x ≥5时，原不等式可化为 (x -5)-(2x +3)＜1, 解得x ≥5.②当-32≤x ＜5时，原不等式可化为-(x -5)-(2x +3)＜1, 解得31＜x ＜5.① ②③当x ＜-32时，原不等式可化为 -(x -5)+(2x +3)＜1,解得x ＜-7. 综上可知，原不等式的解集为{x |x ＞31或x ＜-7}. 19.(本小题满分12分)已知U ={x |x 2-3x +2≥0},A ={x ||x -2|＞1},B ={x |21--x x ≥0},求A ∩B , A ∪B ,(U A )∪B ,A ∩(U B ).解:∵U ={x |x 2-3x +2≥0}={x |(x -2)(x -1)≥0}={x |x ≥2或x ≤1}, A ={x ||x -2|＞1}={x |x -2＞1或x -2＜-1}={x |x ＞3或x ＜1},B ={x |⎩⎨⎧≠-≥--020)2)(1(x x x }={x |x ＞2或x ≤1}.由图(1)可知,A ∩B ={x |x ＞3或x ＜1},A ∪B ={x |x ＞2或x ≤1}.图(1)由图(2)可知U A ={x |2≤x ≤3或x =1},易知U B ={x |x =2}.图(2)由图(3)可知,(U A )∪B ={x |x ≥2或x ≤1}=U .图(3)由图(4)可知,A ∩(U B )=∅.图(4)。

2010届高三数学精品讲练：集合与简易逻辑一、典型例题例1、已知集合M={y|y=x 2+1，x ∈R}，N={y|y=x+1，x ∈R}，求M ∩N 。

解题思路分析：在集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的特征。

M 、N 均为数集，不能误认为是点集，从而解方程组。

其次要化简集合，或者说使集合的特征明朗化。

M={y|y=x 2+1，x ∈R}={y|y ≥1}，N={y|y=x+1，x ∈R}={y|y ∈R}∴ M ∩N=M={y|y ≥1}说明：实际上，从函数角度看，本题中的M ，N 分别是二次函数和一次函数的值域。

一般地，集合{y|y=f(x)，x ∈A}应看成是函数y=f(x)的值域，通过求函数值域化简集合。

此集合与集合{（x ，y ）|y=x 2+1，x ∈R}是有本质差异的，后者是点集，表示抛物线y=x 2+1上的所有点，属于图形范畴。

集合中元素特征与代表元素的字母无关，例{y|y ≥1}={x|x ≥1}。

例2、已知集合A={x|x 2-3x+2=0}，B+{x|x 2-mx+2=0}，且A ∩B=B ，求实数m 范围。

解题思路分析：化简条件得A={1，2}，A ∩B=B ⇔B ⊆A根据集合中元素个数集合B 分类讨论，B=φ，B={1}或{2}，B={1，2}当B=φ时，△=m 2-8<0∴ 22m 22<<-当B={1}或{2}时，⎩⎨⎧=+-=+-=∆02m 2402m 10或，m 无解 当B={1，2}时，⎩⎨⎧=⨯=+221m 21 ∴ m=3综上所述，m=3或22m 22<<-说明：分类讨论是中学数学的重要思想，全面地挖掘题中隐藏条件是解题素质的一个重要方面，如本题当B={1}或{2}时，不能遗漏△=0。

例3、用反证法证明：已知x 、y ∈R ，x+y ≥2，求 证x 、y 中至少有一个大于1。

解题思路分析：假设x<1且y<1，由不等式同向相加的性质x+y<2与已知x+y ≥2矛盾∴ 假设不成立∴ x 、y 中至少有一个大于1说明；反证法的理论依据是：欲证“若p 则q ”为真，先证“若p 则非q ”为假，因在条件p 下，q 与非q 是对立事件（不能同时成立，但必有一个成立），所以当“若p 则非q ”为假时，“若p 则q ”一定为真。

高考数学集合与逻辑知识点与典型例题
一、集合与逻辑
1.考察集合问题，一定要弄清楚集合所研究的对象，把握集合的实质，如{}x y x lg =——函数的定义域；{}x y y lg =——函数的值域；{}
x y y x lg ),(=——函数图像上的点集，特别注意括号中的附加条件，如N x Z x ∈∈,等。

【例】已知，(){
}______________;__________,,,=⋂=⋂∈==C A B A R x x y y x C 则。

【答案】 [0,3],φ{}(){}R x x y y B R x x x y x A ∈+==∈-+==,1lg ,,2322
2.区间[]b a ,的隐含条件是b a <。

3.若条件为B A ⊆,在讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。

【例】{}{}φ=⋂>==--=B A x x B x ax x A 若,0,0122,求a 的取值范围。

【答案】0≤a
4.进行集合运算时，不要忘了集合本身和空集的特殊情况，不要忘了借助于数轴和文氏图进行求解，特别注意边界值的验证。

求不等式（方程）的解集，或求定义域（值域），你按要求写成集合的形式了吗？
5.补集思想常用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。

【例】设全集为R ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=11x x
A ，则________=A C R . 【答案】[0,1]
运用反证法时，注意弄清命题的否定是全称命题还是存在性命题。

6．充要条件的概念记住了吗？
判断方法：①区分条件P 和结论 q; ②判断P 能否推出q ；③判断q 能否推出p; ④下结论。

第一课 集合与简易逻辑重难点集合的概念及基本理论是现代数学的重要基础，是我们继续学习的必要知识。

现代数学通过集合的概念把各个分支中考察的不同对象统一起来, 与集合有关的概念、术语和符号是数学语言的重要组成部分。

逻辑是研究思维形式及其规律的一门学科。

在学习数学的过程中，准确地理解概念，正确地进行表述、推理和判断，都离不开逻辑知识。

在日常生活、学习、工作中，认识问题、研究问题也都需要基本的逻辑知识。

【思考题】有一筐桔子、一筐橙子和一筐混装的桔子橙子，人们看不见筐内装的哪种水果，只知道每个筐的品名标签都貼错了。

现在只能从其中一筐中取出一个水果，你能在5分钟内确定每一个筐里装的是什么水果吗？一、重点知识回顾⒈ 集合中元素的类型例题1 指出下面各组中的集合的区别：(1) ∅, {∅}; {实数}, {实数集} .(2) A = {x | y = x 2}, B = {y| y = x 2}, C = {(x,y)| y = x 2}.(3) {1, 2}, {(1, 2)}, {x ∣x 2- 3x + 2 = 0}, {(x, y )⎪⎩⎨⎧==21y x }, {(x, y )⎪ x = 1, 或y = 2}.2. 元素的互异性：同一集合中的元素互相不同，相同对象在集合中只能出现一次.例题2. 已知集合{1，x 2 +2x +1}，求x 的取值范围.3. 子集、补集、交集和并集（1） 空集是任何集合的子集, 任何非空集合的真子集;（2） 有限集A = { a 1, a 2, … , a n } 共有2n 个子集；（3） A = B ⇔ A ⊆ B 且 B ⊆ A ⇔ A ∩B = A ∪B ；（4） A ⊆ B ⇔ A ⋂ B = A ⇔ A ⋃ B = B ⇔ ∁U B ⊆ ∁U A;（5） ∁U A ⋂ ∁U B = ∁U (A ∪B) , ∁U A ⋃ ∁U B = ∁U (A ⋂ B).4．常用逻辑连接词：或、且、非、若 ⋯ 则 .(1) ab = 0 ⇔ a = 0 或b = 0 (二者中至少有一个成立).；ab ≠ 0 ⇔ a ≠ 0 且b ≠ 0 ，a 2 + b 2 = 0 ⇔ a = 0 且b = 0 (二者同时成立).(2) A ∪B={x|x ∈A, 或x ∈B}， A∩B ＝{x|x ∈A, 且x ∈B}.(3) 设a > 0. 不等式| x | > a 的解集是 { x | x > a 或 x < -a}，| x | < a 的解集是 { x | -a < x < a} 即{ x | x > -a 且 x < a}.(4) 设x 1、x 2是一元二次方程ax 2 + bx + c = 0的两根，x 1 < x 2 . 当a > 0时ax 2 + bx + c > 0的解集是{ x | x > x 2 或 x < x 1}，ax 2 + bx + c < 0的解集是 { x | x 1 < x < x 2}.(5) 方程f (x) ∙ g (x) = 0的解集是{x ⎪f (x) = 0或g (x) = 0}，方程组⎩⎨⎧==0)(0)(x g x f 的解集是{x ⎪f (x) = 0且g (x) = 0}. (6) 若 … 则… ：若x ∈ Q, 则 x ∈ R .如果命题“若p 则q ”为真, 记作p ⇒ q .5．充分条件和必要条件如果p ⇒ q ，那么p 是q 的充分条件, q 是p 的必要条件.如果p ⇒ q 且q ⇒ p, 那么p 和q 互为充分且必要条件，简称充要条件，记为p ⇔ q.6．常用判断词的否定7．复合命题的否定二、典型例题例题3 已知集合P = {(x,y)| 122=-+x y }, Q = {(x,y)| y ≠ x - 4}, 求∁U P ⋂ ∁U Q. 例题4 已知 {}0232≤+-=x x x A ，{}0)1(2≤++-=a x a x x B (1) 若A B, 求a 的取值范围； （2）若B ⊆ A, 求a 的取值范围。

数学基础知识与典型例题第一章集合与简易逻辑-图文例1选A;例2填{(2，1)}注:方程组解的集合应是点集.例3解:∵AB9,∴9A.⑴若2a19,则a5,此时A4,9,25,B9,0,4,AB9,4,与已知矛盾,舍去.⑵若a29,则a3①当a3时,A4,5,9,B2,2,9.B中有两个元素均为2,与集合中元素的互异性矛盾,应舍去.②当a3时,A4,7,9,B9,8,4,符合题意.综上所述,a3.[点评]本题考查集合元素基本特征──确定性、互异性、无序性，切入点是分类讨论思想，由于集合中元素用字母表示，检验必不可少。

例4C例5C例6①,②ü,③ü,④例7填2例8C例9例10解：∵M={y|y=某2+1，某∈R}={y|y≥1}，N={y|y=某+1，某∈R}={y|y∈R}∴M∩N=M={y|y≥1}注：在集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的特征。

M、N均为数集，不能误认为是点集，从而解方程组。

其次要化简集合。

实际上，从函数角度看，本题中的M，N分别是二次函数和一次函数的值域。

一般地，集合{y|y=f(某)，某∈A}应看成是函数y=f(某)的值域，通过求函数值域化简集合。

此集合与集合{（某，y）|y=某2+1，某∈R}是有本质差异的，后者是点集，表示抛物线y=某2+1上的所有点，属于图形范畴。

集合中元素特征与代表元素的字母无关，例如{y|y≥1}={某|某≥1}。

例11填注：点集与数集的交集是.例12埴,R例13解：∵CUA={1，2，6，7，8},CUB={1，2，3，5，6},∴(CUA)∩(CUB)={1，2，6},(CUA)∪(CUB)={1，2，3，5，6，7，8}, A∪B={3,4,5,7,8},A∩B={4},∴CU(A∪B)={1,2,6},CU(A∩B)={1,2,3 ,5,6,7,8}例14a5,b6;例15原不等式的解集是某|7某3例16某R|3≤某53或2某≤32例17分析：关键是去掉绝对值.方法1：原不等式等价于4某3≥0或4某30(4某3)2某1,即4某32某13某≥34或某411，∴某>2或某2或某2某+14某-3>2某+1或4某-32或某<13，∴原不等式的解集为{某|某>2或某<13}.例18分析：关键是去掉绝对值.方法1：零点分段讨论法（利用绝对值的代数定义）①当某1时，某30,某10∴(某3)(某1)1∴4<1某②当1≤某3时∴(某3)(某1)1某12，∴{某|12某3}③当某≥3时∴(某3)(某1)1-4<1某R∴{某|某≥3}综上,原不等式的解集为{某|某12}也可以这样写：解：原不等式等价于①某1或②(某3)(某1)1某3或③(某3)(某1)1某3，解①的1(某3)(某1)1解集为φ，②的解集为{某|1212}.方法2：数形结合:从形的方面考虑，不等式|某-3|-|某+1|<1表示数轴上到3和-1两点的距离之差小于1的点-1O123某1∴原不等式的解集为{某|某>2}.例19答：{某|某≤0或1k102(k1)0例20解：要原方程有两个负实根，必须:k2k20k104k2k1.某1某200k0或k1某1某202(k1)3k2k2或k12(k1)032k1或23k1∴实数k的取值范围是{k|-2否命题：若某+y5则某3且y2（真）逆否命题：若某3或y2则某+y5（假）例22答:真解：逆否：a=2且b=3，则a+b=5，成立，所以此命题为真.例23答:若a、b都不为0，则ab≠0例24解：假设某<1且y<1，由不等式同向相加的性质某+y<2与已知某+y≥2矛盾,∴假设不成立∴某、y中至少有一个不小于1[注]反证法的理论依据是：欲证“若p则q”为真，先证“若p则非q”为假，因在条件p下，q与非q是对立事件（不能同时成立，但必有一个成立），所以当“若p则非q”为假时，“若p则q”一定为真。