课时训练(第二章 第三节 二次函数性质的再研究)

4 二次函数性质的再研究(1)函数y ＝x 2和y ＝ax 2(a ≠0)的图像之间的关系二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图像可由y ＝x 2的图像各点的纵坐标变为原来的a 倍得到，参数a 的取值不同，函数及其图像也有区别，a 决定了图像的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．当a ＞0时，二次函数y ＝ax 2的图像开口向上，当a ＜0时，图像开口向下．而且，当a ＞0时，a 的值越大，函数y ＝ax 2的图像开口越小，a 的值越小，函数y ＝ax 2的图像开口越大；当a ＜0时，a 的值越小，函数y ＝ax 2的图像开口越小，a 的值越大，函数y ＝ax 2图像开口越大．也就是说，|a |越大，抛物线的开口越小；反之，|a |越小，抛物线的开口越大．(2)函数y ＝ax 2和y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)的图像之间的关系函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)的图像可以由函数y ＝ax 2(a ≠0)的图像向左(h ＞0)或向右(h＜0)平移|h |个单位，再向上(k ＞0)或向下(k ＜0)平移|k |个单位得到．h 决定了二次函数图像的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图像的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”．可简记为“左加右减，上加下减”．由于只进行了图像的平移变换，所以函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)的图像与函数y ＝ax 2(a ≠0)的图像形状相同，只是位置不同．(3)函数y ＝ax 2和y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图像之间的关系二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)通过配方可以得到其恒等形式y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)，从而可以知道，由y ＝ax 2的图像如何平移就得到y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图像．对于二次函数y＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(a ≠0)，二次项系数a 决定着函数图像的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小；b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置，抛物线的对称轴是直线2b x a=-，它是一条平行于y 轴或与y 轴重合的直线；a ，b ，c 共同决定抛物线顶点24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的位置，c 的大小决定抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y 轴交点的位置，当c ＝0时，抛物线经过坐标原点，当c ＞0时，抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴，当c ＜0时，交点在y 轴的负半轴．【例1－1】(1)由y ＝－2x 2的图像，如何得到y ＝－2(x ＋1)2－3的图像？(2)把y ＝2x 2的图像，向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，能得到哪个函数的图像？(3)将函数y ＝4x 2＋2x ＋1写成y ＝a (x ＋h )2＋k 的形式，并说明它的图像是由y ＝4x 2 的图像经过怎样的变换得到的？解：(1)把y ＝－2x 2的图像向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度就得到y ＝－2(x ＋1)2－3的图像．(2)把y ＝2x 2的图像，向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，就得到函数y＝2(x －3)2＋4，即y ＝2x 2－12x ＋22的图像．(3)y ＝4x 2＋2x ＋1＝21412x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝21114121616x x ⎛⎫++-+ ⎪⎝⎭ ＝22111341441644x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+=++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 把y ＝4x 2的图像向左平移14个单位长度，再向上平移34个单位长度，就可得到函数y ＝4x 2＋2x ＋1的图像．【例1－2】在同一坐标系中作出下列函数的图像，并分析如何把y ＝x 2的图像变换成y ＝2x 2－4x 的图像．(1)y ＝x 2；(2)y ＝x 2－2；(3)y ＝2x 2－4x .分析：解答本题可就每个函数列表、描点连线，作出相应图像，然后利用图像以及二次函数的平移变换规律分析y ＝x 2与y ＝2x 2－4x 的图像之间的关系．解：(2)y ＝2x 2－4x＝2(x 2－2x )＝2(x 2－2x ＋1－1)＝2(x －1)2－2.由y ＝x 2到y ＝2x 2－4x 的变化过程如下．方法一：先把y ＝x 2的图像横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到y ＝2x 2的图像，然后把y ＝2x 2的图像向下平移2个单位长度得到y ＝2x 2－2的图像，最后把y ＝2x 2－2的图像向右平移1个单位长度得到y ＝2(x －1)2－2，即y ＝2x 2－4x 的图像．方法二：先把y ＝x 2的图像向右平移1个单位长度得到y ＝(x －1)2的图像，然后把y ＝(x－1)2的图像横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到y ＝2(x －1)2的图像，最后把y ＝2(x －1)2的图像向下平移2个单位长度便可得到y ＝2(x －1)2－2，即y ＝2x 2－4x 的图像．析规律 y ＝x 2与其他二次函数的关系 所有二次函数的图像均可以由函数y ＝x 2的图像经过变换得到，变换前，先将二次函数的解析式化为顶点式，再确定变换的步骤．常用的变换步骤如下：y ＝x 2------------→横不变纵变为原来的a 倍y ＝ax 2------------→k >0，上移k <0，下移y ＝ax 2＋k ------------------→h >0，左移h <0，右移y ＝a (x ＋h )2＋k ，其中a 决定开口方向及开口大小(或纵坐标的拉伸)；h 决定左、右平移，k 决定上、下平移．【例1－3】已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 与函数y ＝－2x 2＋3x 有相同的开口方向和大小，与函数2112y x x =-+有相同的对称轴，与函数y ＝4x 2－x －1在y 轴上有相同的交点． (1)求f (x )． (2)由y ＝x 2的图像能得到f (x )的图像吗？ 分析：(1)根据a ，b ，c 对f (x )的图像影响，由y ＝－2x 2＋3x 确定a ，由2112y x x =-+确定b ，由y ＝4x 2－x －1确定c ；(2)由y ＝x 2的图像得f (x )的图像要分步骤：y ＝x 2→y ＝ax 2→y＝a (x ＋h )2→y ＝a (x ＋h )2＋k ，因此先将f (x )的解析式化为f (x )＝a (x ＋h )2＋k 的形式．解：(1)∵f (x )与y ＝－2x 2＋3x 有相同的开口方向和大小，∴a ＝－2.∵f (x )与函数2112y x x =-+有相同的对称轴14x =，∴124b a -=. 又∵a ＝－2，∴b ＝1.∵f (x )与函数y ＝4x 2－x －1在y 轴上有相同的交点(0，－1)，∴c ＝－1.∴f (x )＝－2x 2＋x －1.(2)f (x )＝217248x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭. 将函数y ＝x 2图像的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的－2倍得到函数y ＝－2x 2的图像；将函数y ＝－2x 2的图像向右平移14个单位，再向下平移78个单位得到函数217248y x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭的图像，即函数y ＝－2x 2＋x －1的图像． 谈重点 由y ＝x 2的图像得到y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像的基本要求解决本题的关键是明确a ，b ，c 对函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图像的影响以及利用配方法将y ＝ax 2＋bx ＋c 化为y ＝a (x ＋h )2＋k 的形式，这是一项基本要求，往往由于配方过程中出现错误导致后面解答全部错误．2．二次函数图像的草图画法 画二次函数的图像时，重点体现抛物线的特征“三点一线一开口”．“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x 轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向．根据这些特征，在坐标系中可快速画出抛物线的草图，使画图的操作更简便，使图像更精确．【例2】画出函数y ＝2x 2－4x －6的草图．解：y ＝2x 2－4x －6＝2(x 2－2x )－6＝2(x 2－2x ＋1－1)－6＝2[(x －1)2－1]－6＝2(x －1)2－8.函数图像的开口向上，顶点坐标为(1，－8)，对称轴为直线x ＝1.令y ＝0得2x 2－4x －6＝0，即x 2－2x －3＝0，∴x ＝－1或x ＝3，故函数图像与x 轴的交点坐标为(－1,0)，(3,0)．画法步骤：(1)描点画线：在平面直角坐标系中，描出点(1，－8)，(－1，0)，(3,0)，画出直线x ＝1；(2)连线：用光滑的曲线连点(1，－8)，(－1,0)，(3,0)，在连线的过程中，要保持关于直线x ＝1对称，即得函数y ＝2x 2－4x －6的草图，如图所示．3．二次函数解析式的求法求二次函数的解析式，应根据已知条件的特点，灵活地运用解析式的形式，选取最佳方案，用待定系数法求之．(1)当已知抛物线上任意三点时，通常设所求二次函数为一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c为常数，a ≠0)，然后列出三元一次方程组求解．(2)当已知二次函数图像的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值，则设所求二次函数为顶点式y ＝a (x ＋h )2＋k (其顶点是(－h ，k )，a ≠0)．(3)当已知二次函数图像与x 轴的两个交点的坐标为(x 1,0)，(x 2,0)，则设所求二次函数为交点式y ＝a (x －x 1)·(x －x 2)(a ≠0)．【例3】已知二次函数的图像的顶点坐标是(1，－3)，且经过点P (2,0)，求这个函数的解析式．分析：本题已知图像上两点的坐标(1，－3)和(2,0)，若不考虑已知点的特点，设二次函数的一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)似乎差一个条件，但注意到点(1，－3)是抛物线的顶点，再利用对称轴方程，就可以列出关于a ，b ，c 的三元一次方程组，从而得解；根据顶点坐标是(1，－3)，也可设二次函数的顶点式y ＝a (x －1)2－3(a ≠0)，只需将点P (2,0)的坐标代入，即可求出a ；若看到P (2,0)点是图像与x 轴的交点，利用对称性即可求出图像与x 轴的另一个交点，设二次函数的交点式y ＝a (x －x 1)(x －x 2)也能求解．解：(方法1)设所求函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由题意，得3,420,1,2a b c a b c b a⎧⎪++=-⎪++=⎨⎪⎪-=⎩解得3,6,0.a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴所求函数的解析式为y ＝3x 2－6x .(方法2)设所求函数的解析式为y ＝a (x －1)2－3(a ≠0)，由图像经过点P (2,0)，得a (2－1)2－3＝0，解得a ＝3.∴所求函数的解析式为y ＝3(x －1)2－3，即y ＝3x 2－6x .(方法3)∵二次函数的图像的顶点坐标为(1，－3)，∴其对称轴为直线x ＝1.又∵图像与x 轴的一个交点坐标为P (2,0)，∴由对称性可知，图像与x 轴的另一个交点坐标为(0,0)．∴可设所求函数的解析式为y ＝a (x －0)(x －2)(a ≠0)．∵图像的顶点坐标是(1，－3)，∴a (1－0)(1－2)＝－3，解得a ＝3.∴所求函数的解析式为y ＝3x (x －2)，即y ＝3x 2－6x .析规律 二次函数图像对称性的一个用途若二次函数y ＝f (x )的图像与x 轴的两个交点坐标为(x 1,0)和(x 2,0)，则其对称轴方程为122x x x +=，由此可以看出，已知二次函数的对称轴及其与x 轴的一个交点坐标，即可求出另一个交点的坐标． 4．二次函数的性质 二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 可以通过配方转化为f (x )＝22424b ac b a x a a -⎛⎫++ ⎪⎝⎭，结合理解记忆二次函数的主要性质．以上大部分性质在初中都已了解，新增加的是单调区间，所以，教科书首先通过图像观察得到函数的单调区间，然后利用单调性的定义进行了严格的证明，用定义证明函数单调性的方法和步骤在前面已经学过．【例4－1】分别指出下列二次函数图像的开口方向、顶点坐标、对称轴方程，写出函数的单调区间及最大值或最小值．(1)y ＝x 2－4x ＋9；(2)y ＝－2x 2＋4x －3.分析：首先将所给的二次函数解析式配方化成顶点式，然后利用图像研究其性质．解：(1)y ＝x 2－4x ＋9＝(x －2)2＋5，由于x 2的系数是正数，所以函数图像开口向上；顶点坐标为(2,5)；对称轴方程为x ＝2；函数在区间(－∞，2]上是减少的，在区间[2，＋∞)上是增加的；函数有最小值，没有最大值，函数的最小值是5.(2)y ＝－2x 2＋4x －3＝－2(x －1)2－1，由于x 2的系数是负数，所以函数图像开口向下；顶点坐标为(1，－1)；对称轴方程为x ＝1；函数在区间(－∞，1]上是增加的，在区间[1，＋∞)上是减少的；函数有最大值，没有最小值，函数的最大值是－1.【例4－2】抛物线y ＝8x 2－(m ＋1)x ＋m －7的顶点在x 轴上，则m ＝________.解析：∵抛物线y ＝8x 2－(m ＋1)x ＋m －7的顶点在x 轴上，∴其顶点的纵坐标248(7)(1)48m m ⨯⨯--+⨯＝0，即m 2－30m ＋225＝0，∴(m －15)2＝0，∴m ＝15. 答案：15析规律 抛物线顶点的用途抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a ，当顶点在x 轴上时，其纵坐标4ac －b 24a ＝0；当顶点在y 轴上时，其横坐标－b 2a＝0. 【例4－3】若函数y ＝x 2＋2(a －1)x ＋2在(－∞，4]上是减函数，则a 的取值范围是( )．A ．(－∞，－3]B ．[－3，＋∞)C ．(－∞，5]D ．[5，＋∞)解析：易知函数y ＝x 2＋2(a －1)x ＋2是二次函数，其图像的开口向上，对称轴是直线x＝1－a ，此函数在区间(－∞，1－a ]上是减少的，若函数在(－∞，4]上是减函数，则区间(－∞，4]是(－∞，1－a ]的子区间，故1－a ≥4，∴a ≤－3.答案：A求二次函数的最值或值域，基本的方法是配方法，当限定在某个闭区间上时，关键是确定函数图像的开口方向和对称轴与所给区间的相对位置，结合函数图像确定该函数的单调性、最大值或最小值是在端点处取得还是在顶点处取得．谈重点 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)在区间[p ，q ]上的最值一般地，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)在闭区间[p ，q ]上的最值有下列四种情况：(1)当－b2a＜p ，即对称轴在区间[p ，q ]的左边时，画出草图如图①，从图像上易得f (x )在[p ，q ]上是增加的，则f (x )min ＝f (p )，f (x )max ＝f (q )．(2)当p ≤－b 2a ≤p ＋q 2，即对称轴在区间[p ，q ]的左端点与区间中点之间时，画出草图如图②.从图像上易得f (x )在[p ，q ]上的最值情况是f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ＝4ac －b 24a ，f (x )max ＝f (q )． (3)当p ＋q 2＜－b 2a≤q ，即对称轴在区间[p ，q ]的中点与右端点之间时，画出草图如图③.从图像上易得f (x )在[p ，q ]上的最值情况是f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ＝4ac －b 24a ，f (x )max ＝f (p )． (4)当－b 2a＞q ，即对称轴在区间[p ，q ]的右边时，画出草图如图④.从图像上易得f (x )在[p ，q ]上是减少的，则f min max ＝f【例5】已知函数f (x )＝x 22，x ∈[－5,5]．(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；(2)用a 表示出函数在[－5,5]上的最值；(3)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在[－5,5]上是单调函数．分析：f (x )＝x 2＋2ax ＋2＝(x ＋a )2＋2－a 2.(1)当a ＝－1时，由于对称轴x ＝1在区间[－5,5]内，则由图像知函数f (x )的最大值是f (－5)，最小值是f (1)；(2)中对称轴x ＝－a ，要根据对称轴与区间[－5,5]的相对位置来讨论最值，因此要对对称轴的位置分类讨论； (3)切入点是单调函数，结合图像可知对称轴不能在区间[－5,5]内部，因此也要讨论对称轴的位置．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－5,5]，其图像如图①，由图可知，当x＝1时，f(x)取得最小值，f(x)min＝f(1)＝1.当x＝－5时，f(x)取得最大值，f(x)max＝f(－5)＝(－5－1)2＋1＝37.(2)函数y＝f(x)＝(x＋a)2＋2－a2图像的对称轴为x＝－a.①当－a≤－5，即a≥5时，函数在区间[－5,5]上是增加的，所以f(x)max＝f(5)＝27＋10a，f(x)min＝f(－5)＝27－10a；②当－5＜－a≤0，即0≤a＜5时，函数图像如图②所示，由图可知，f(x)max＝f(5)＝27＋10a，f(x)min＝f(－a)＝2－a2；③当0＜－a≤5，即－5≤a＜0时，函数图像如图③所示，由图可知，f(x)max＝f(－5)＝27－10a，f(x)min＝f(－a)＝2－a2；④当－a≥5，即a≤－5时，函数在区间[－5,5]上是减少的，所以f(x)min＝f(5)＝27＋10a，f(x)max＝f(－5)＝27－10a.(3)由(2)可知若函数f(x)在区间[－5,5]上是单调函数，则有a≤－5或a≥5.析规律利用二次函数图像的对称性求最值当函数的解析式中含有参数或给定的区间不固定时，求二次函数在此区间上的最值，应按开口方向或对称轴与所给区间的相对位置进行正确合理的讨论．讨论时要考虑二次函数的对称轴在区间的某侧还是在区间内，从而确定函数的单调区间；当对称轴在区间内部时，还要考虑区间的两个端点与对称轴的距离的远近，当开口向上时，离对称轴越远，函数值越大，离对称轴越近，函数值越小；反之，当开口向下时，离对称轴越远，函数值越小，离对称轴越近，函数值越大．6．一元二次方程与二次函数的关系一元二次方程与二次函数的关系是方程与函数关系的特例，是研究函数与方程关系的典范．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是相应的二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为0时的自变量x的值，从图像上看，就是抛物线与x轴交点的横坐标．谈重点二次函数与一元二次方程的联系当一元二次方程的判别式Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，此时对应的二次函数的图像与x轴有两个不同的交点；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，此时对应的二次函数的图像与x轴只有一个公共点；当Δ＜0时，方程没有实数根，此时对应的二次函数的图像与x轴没有交点．当a＞0时，它们之间的关系如下图所示：方法解决比较繁琐，甚至无法求解，此时若借助于二次函数及图像，则问题会转化为易于理解和表达的问题．例如，实数a 为何值时，关于x 的一元二次方程x 2＋(a ＋1)x ＋2a ＝0有一根小于－1，另一根大于1?显然，如果使用根与系数的关系或求根公式求解非常困难，我们可以利用相应的二次函数的图像解决该问题．设f (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋2a ，画出该函数的图像(如下图)，方程的两根中一根小于－1，另一根大于1，等价于函数的图像与x 轴的一个交点在－1的左侧，另一个交点在1的右侧，只需⎩⎪⎨⎪⎧ f －1，f ，由此可解得a ＜－23.布问题，使难以处理的问题转化的非常直观简单．一般情况下，用二次函数的图像处理一元二次方程根的分布问题，要从多个方面考虑使结论成立的等价条件，如判别式、对称轴、函数值的正负大小等．【例6－1】已知f (x )＝1－(x －a )(x －b )，并且m ，n 是方程f (x )＝0的两根，则实数a ，b ，m ，n 的大小关系可能是( )．A ．m ＜a ＜b ＜nB ．a ＜m ＜n ＜bC ．a ＜m ＜b ＜nD ．m ＜a ＜n ＜b解析：由f (x )＝1－(x －a )(x －b )可知，二次函数f (x )的开口向下，且f (a )＝f (b )＝1＞0.∵m ，n 是方程f (x )＝0的两根，∴f (m )＝f (n )＝0.由f (x )的图像可知，实数a ，b ，m ，n 的关系可能是m ＜a ＜b ＜n (如图所示)．答案：A【例6－2】若方程232x x k -=在(－1,1)上有实根，求k 的取值范围． 分析：显然利用求根公式求解不可取，我们可以利用相应二次函数的图像解决该问题，或将其转化为二次函数232k x x =-在区间(－1,1)上的值域问题．解：(方法1)设f (x )＝x 2－32x －k ，函数f (x )的图像开口向上，对称轴为直线34x =. 若方程x 2－32x ＝k 在(－1,1)上有两实根，则函数f (x )的图像如图甲所示， 故即()()()()222340,231110,231110,2k f k f k ⎧⎛⎫∆=-+≥⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪=-⨯->⎨⎪⎪-=--⨯-->⎪⎪⎩9,16191,.21625,2k k k k ⎧≥-⎪⎪⎪<-∴-≤<-⎨⎪⎪<⎪⎩. 若方程232x x k -=在(－1,1)上有一实根，则函数f (x )的图像如图乙、丙所示， 故(1)0,(1)0,f f ->⎧⎨≤⎩即223(1)(1)0,23110,2k k ⎧--⨯-->⎪⎪⎨⎪-⨯-≤⎪⎩∴5,21,2k k ⎧<⎪⎪⎨⎪≥-⎪⎩ ∴1522k -≤<.综上所述，实数k 的取值范围是95,162⎡⎫-⎪⎢⎭. (方法2)方程22x x k -=可以看作是k 关于x 的二次函数232k x x =-， 配方得239416k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，其对称轴方程为34x =，函数在区间31,4⎛⎤- ⎥⎝⎦上是减少的，在区间3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增加的(图像如图所示)．由函数的单调性可知，此函数在区间(－1,1)上的值域为3,(1)4f f ⎫⎛⎫- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭， ∵233339442416f ⎛⎫⎛⎫=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， f (－1)＝(－1)2－32×(－1)＝52， ∴实数k 的取值范围是95,162⎡⎫-⎪⎢. 在实际生活中，有很多最优化问题可以通过建立二次函数模型，并借助二次函数的图像和性质加以解决，其解题的关键是列出二次函数解析式，转化为求二次函数的最值问题．例如：某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元．销根据题表，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶．设在进价基础上增加x 元后，日均销售利润为y 元，而在此情况下的日均销售量就为：480－40(x －1)＝520－40x (桶)．由于x ＞0，且520－40x ＞0，即0＜x ＜13，于是可得y ＝(520－40x )·x －200＝－40x 2＋520x－200＝－40(x －6.5)2＋1 490,0＜x ＜13.易知，当x ＝6.5时，y 有最大值．所以，只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润，最大利润为1 490元．【例7】某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数： R (x )＝21400,0400,280000,400,x x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪>⎩ 其中x 是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量的函数．(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？(总收益＝总成本＋利润)分析：(1)由于总收益＝总成本＋利润，则利润＝总收益－总成本，总收益是R (x )，总成本＝固定成本＋可变成本＝20 000＋100x ，因此利润＝R (x )－(20 000＋100x )；(2)由于R (x )是分段函数，则利润关于月产量也是分段函数，求出各“段”上的最大值，研卷知古今；藏书教子孙。

学习资料§4二次函数性质的再研究内容标准学科素养1。

理解y＝ax2与y＝a(x＋b)2＋k(a≠0）及y＝ax2＋bx＋c的图像之间的关系．2.理解并掌握二次函数的定义域、值域、单调性、对称轴．3。

能利用配方法或图像法掌握二次函数的重要性质．4.会求二次函数在给定闭区间上的最大值、最小值。

提升逻辑推理发挥直观想象恰当分类讨论授课提示:对应学生用书第31页[基础认识］知识点一二次函数的定义预习教材P41－47，思考并完成以下问题(1）函数y＝x2＋2x－2的图像的顶点坐标是________．（2）二次函数的图像过点(0，1)，对称轴为x＝2，最小值为－1，则它的解析式是_____________．提示：(1)（－1，－3)（2)f（x)＝错误!x2－2x＋1知识梳理二次函数的定义形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数，其中a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项．解析式y＝ax2＋bx＋c(a≠0）称为二次函数的一般式,二次函数的解析式还有其他两种形式；顶点式:y＝a（x＋h）2＋k（a≠0）；零点式：y＝a（x－x1）(x－x2)（a≠0)．说明：所有二次函数的解析式均有一般式和顶点式，并不是所有二次函数的解析式均有零点式，只有图像与x轴有交点的二次函数才有零点式．知识点二二次函数的图像变换错误!(1)y＝x2和y＝2（x＋1）2＋3的图像之间有什么关系?提示:y＝x2的图像各点纵坐标变为原来的2倍，可得y＝2x2的图像;再把y＝2x2的图像向左平移1个单位，再向上移3个单位，得y＝2（x＋1）2＋3的图像．(2)函数y＝3x2－x＋2的图像向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度，所得图像对应的函数解析式是________．提示：y＝3x2＋5x＋2知识梳理二次函数的图像变换(1）首先将二次函数的解析式整理成顶点式y＝a(x＋h)2＋k（a≠0),再由二次函数y＝x2的图像经过下列的变换得到：①将函数y＝x2的图像各点的纵坐标变为原来的a倍，横坐标不变，得到函数y＝ax2的图像．②将函数y＝ax2的图像向左（h＞0）或向右(h＜0）平移｜h|个单位得到y＝a(x＋h）2的图像．③将函数y＝a(x＋h）2的图像向上(k＞0）或向下（k＜0）平移|k｜个单位得到y＝a(x＋h）2＋k的图像．(2）一般地，二次函数y＝a（x＋h）2＋k(a≠0)，a决定了二次函数图像的开口大小和方向;h决定了二次函数图像的左右平移，而且“h正左移,h负右移”，k决定了二次函数图像的上下平移,而且“k正上移，k负下移"．知识点三二次函数的图像和性质错误!(1）函数y＝2x＋1在［1，2]上的最大值是（)A．3 B．4C．5 D．1（2）函数f(x)＝x2－4x＋3，x∈［1,4]的最小值为________．提示:(1）C（2）－1知识梳理二次函数的图像和性质a＞0a＜0 图像定义域x∈R值域错误!错误!单调性在错误!上递减,在错误!上递增在错误!上递增，在错误!上递减图像①对称轴：x＝－错误!；②顶点：错误!特点［自我检测］1．二次函数y＝（x－3)（x－1)的对称轴是（)A．x＝－1 B．x＝1 C．x＝－2 D．x＝2解析：函数与x轴两个交点的横坐标分别是1和3，则函数的对称轴为x＝错误!＝2.答案：D2．二次函数y＝－x2＋4x＋t的顶点在x轴上，则t的值是(）A．－4 B．4 C．－2 D．2解析:函数图像开口向下,其最大值为0，即错误!＝0，得t＝－4.答案：A3．已知函数y＝x2－4x＋6，当x∈[1，4]时，则函数的最大值为________．解析：∵y＝x2－4x＋6＝(x－2）2＋2，∴函数y＝x2－4x＋6在［1，2]上递减，在［2,4]上递增．又当x＝1时，y＝3;当x＝4时,y＝6，∴函数的最大值为6.答案：6授课提示：对应学生用书第32页探究一求二次函数的解析式［例1］已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f（x）的最大值为8，求二次函数的解析式．[思路点拨］可以考虑从二次函数的三种形式着手解决，注意各种形式中的要素参数．[解析]法一利用二次函数的一般式．设f(x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）,由题意得错误!解得错误!故所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7。

二次函数性质的再研究[A 组 学业达标]1．设点(3,1)及(1,3)为二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋b 的图像上的两个点，则( )A ．a ＝12，b ＝52B ．a ＝12，b ＝－52C ．a ＝－12，b ＝52D ．a ＝－12，b ＝－52 解析：由题知⎩⎨⎧ f (3)＝9a －6a ＋b ＝1，f (1)＝a －2a ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－12，b ＝52.答案：C2．若一次函数y ＝ax ＋b 的图像经过第二、三、四象限，则二次函数y ＝ax 2＋bx 的图像只可能是( )解析：由一次函数特点知a ＜0，b ＜0，所以对二次函数y ＝ax 2＋bx 而言，开口向下，且对称轴x ＝－b 2a ＜0在y 轴的左边，故C 选项正确．答案：C3．(2019·天津市七校高一模拟)已知函数f (x )＝x 2＋2ax 在x ∈[－2,1]上有最小值－1，则a 的值为( )A ．－1或1B 、54C 、54或－ 1D 、54或1或－1解析：函数的对称轴是x ＝－a ，当函数的最小值是－1时，有⎩⎨⎧ －a ≤－2，f (－2)＝4－4a ＝－1或⎩⎨⎧ －2＜－a ＜1，f (－a )＝－a 2＝－1或⎩⎨⎧－a ≥1，f (1)＝1＋2a ＝－1，解得a ＝±1，故选A 、 答案：A 4．(2019·天津一中高一模拟)已知二次函数f (x )＝x 2－2x －4在区间[－2，a ]上的最小值为－5，最大值为4，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．(－2,4]C ．[1,4]D ．[1，＋∞)解析：在f (x )＝x 2－2x －4中，f (－2)＝f (4)＝4，f (1)＝－5，所以当y ∈[－5,4]时，a ∈[1,4]．答案：C5．若函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上单调，则实数a 的取值范围为________． 解析：函数f (x )在(－∞，a ]上单调递减，在[a ，＋∞)上单调递增，故由题知，a ≤1或a ≥2、答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)6．若顶点坐标为(2，－2)的二次函数f (x )的图像与g (x )＝－3(x ＋1)2的图像开口大小相同，方向相反，则二次函数f (x )的解析式为________．解析：由题意可得函数f (x )的顶点式f (x )＝3(x －2)2－2，即f (x )＝3x 2－12x ＋10、 答案：f (x )＝3x 2－12x ＋107．已知二次函数f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2，a ]，且f (x )的最小值为f (a )，则a 的取值范围是________．解析：结合函数图像(图略)由题意知，[2，a ]⊆(－∞，3]，∴2＜a ≤3、 答案：(2,3]8．已知二次函数y ＝12x 2＋2x ＋1、(1)写出函数图像的开口方向、顶点坐标、对称轴、最值，并指出它可由y ＝x 2的图像怎样变化得到;(2)求函数图像与y 轴、x 轴的交点;(3)作出函数的图像;(4)求函数的单调区间;(5)观察图像：当x 为何值时，y ＞0？当x 为何值时，y ＝0？当x 为何值时，y ＜0?解析：(1)∵y＝12x 2＋2x ＋1＝12(x ＋2)2－1，∴函数图像的开口向上，顶点坐标是(－2，－1)，对称轴是直线x ＝－2、∵a ＝12＞0，函数没有最大值，有最小值，当x ＝－2时，y min ＝－1、(2)令x ＝0，则y ＝1，∴函数图像与y 轴交于(0,1)．令y ＝0，则12x 2＋2x ＋1＝0，解得x 1＝－2－2，x 2＝－2＋2、∴函数图像与x 轴交于点(－2－2，0)，(－2＋2，0)．(3)∴函数图像如图：(4)由图像可知，函数的单调递减区间是(－∞，－2]，单调递增区间是[－2，＋∞)．(5)由图像知，当x ＜－2－2或x ＞－2＋2时，y ＞0;当x＝－2－2或x ＝－2＋2时，y ＝0;当－2－2＜x ＜－2＋2时，y ＜0、9．已知二次函数f (x )的图像的对称轴是直线x ＝1，且f (1)＝4，f (4)＝－5、(1)求函数f (x )的解析式，并画出f (x )的图像;(2)根据图像写出函数f (x )的单调区间，并指明在该区间上的单调性;(3)当函数f (x )在区间(－∞，m ]上是增函数时，求实数m 的取值范围．解析：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ －b 2a ＝1，a ＋b ＋c ＝4，16a ＋4b ＋c ＝－5，解得⎩⎨⎧ a ＝－1，b ＝2，c ＝3，所以函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3，f (x )的图像如图所示．(2)由图像可得函数f(x)的单调区间是(－∞，1]和[1，＋∞)，其中函数f(x)在区间(－∞，1]上是递增的，在区间[1，＋∞)上是递减的．(3)由(2)知函数f(x)＝－x2＋2x＋3在区间(－∞，1]上是增函数，那么(－∞，m]⊆(－∞，1]，则有m≤1、[B组能力提升]10．函数f(x)＝x2－2ax＋a＋2在[0，a]上取得最大值3，最小值2，则实数a为() A．0或1 B．1C．2 D．以上都不对解析：因为函数f(x)＝x2－2ax＋a＋2＝(x－a)2－a2＋a＋2，对称轴为x＝a，开口方向向上，所以f(x)在[0，a]上单调递减，其最大值、最小值分别在两个端点处取得，即f(x)max＝f(0)＝a＋2＝3，f(x)min＝f(a)＝－a2＋a＋2＝2、故a＝1、答案：B11．函数y＝2－－x2＋4x的值域是()A．[－2,2] B．[1,2] C．[0,2] D．[－2，2]解析：要求函数y＝2－－x2＋4x的值域，只需求t＝－x2＋4x(x∈[0,4])的值域即可．设二次函数f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4(x∈[0,4])，所以f(x)的值域是[0,4]．因为t＝f(x)，所以t的值域是[0,2]．所以－t的值域是[－2,0]．故函数y＝2－－x2＋4x的值域是[0,2]．故选C、答案：C12．已知函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则实数m的取值范围是________．解析：y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由(x－1)2＋2＝3，得x＝0或x＝2、作出函数图像如图所示，由图像知，m的取值范围是1≤m≤2、答案：[1,2]13．已知f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间[1,5]上的最小值为f(5)，则a的取值范围为________．解析：由题意知，f(x)在区间[1,5]上为减函数．∵f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2＝[x＋(a－1)]2＋2－(a－1)2，∴－(a－1)≥5，即a≤－4、答案：(－∞，－4]14．某商场以每件42元的价格购进一种服装，根据试营销量得知：这种服装每天的销售量t(t＞0，t∈N)(件)与每件的销售价x(x＞42，x∈N)(元)之间可以看成是一次函数关系t＝－3x＋204、(1)写出商场每天卖这种服装的销售利润y(元)与每件的销售价x(元)之间的函数关系式(每天的销售利润是指所卖出服装的总销售所得与购进这些服装所花费金额的差);(2)通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适？最大销售利润为多少？解析：(1)由题意得，每天的销售利润y(元)与每件的销售价x(元)之间的函数关系式为y＝(x－42)(－3x＋204)＝－3x2＋330x－8 568(42＜x＜68，x∈N)．(2)由(1)得y＝－3(x－55)2＋507(42＜x＜68，x∈N)，则当x＝55时，y max＝507、即当每件的销售价定为55元时，每天可获得最大的销售利润，最大销售利润为507元．15．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值;(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数;(3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．解析：(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]，∴f(x)在区间[－4,2]上是递减的，在区间[2,6]上是递增的，∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35、f(6)＝15，故f(x)的最大值是35、(2)∵函数f(x)的图像开口向上，对称轴是x＝－a，∴要使f(x)在区间[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4、故实数a的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞)．(3)当a＝1时，f(x)＝x2＋2x＋3，∴f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此时定义域为x∈[－6,6]，且f(x)＝⎩⎨⎧ x 2＋2x ＋3，x ∈(0，6]，x 2－2x ＋3，x ∈[－4，0]，∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．。

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2.4.2 二次函数的性质|基础巩固|(25分钟，60分）一、选择题(每小题5分，共25分)1．函数y＝x2－2x＋3在（－1，5）上的最小值为( ）A．2 B．6C．18 D．22【解析】判断对称轴x＝1在区间（－1，5）内部，在x＝1取得最小值2.【答案】A2．函数f(x）＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称,则( )A．m＝－2 B．m＝2C．m＝－1 D．m＝1【解析】函数f（x)＝x2＋mx＋1的图像的对称轴为x＝－错误!,且只有一条对称轴，所以－错误!＝1，即m＝－2.【答案】A3．二次函数f(x）＝ax2＋bx＋c的顶点为(4，0），且过点(0，2），则abc等于（) A．－6 B．11C．－错误! D.错误!【解析】因为f（x）图像过点(0，2)，所以c＝2。

又顶点为（4，0）,所以－错误!＝4，错误!＝0.解得b＝－1，a＝错误!,所以abc＝－错误!。

【答案】C4．若f（x)＝(m－1）x2＋2mx＋3（m≠1)的图像关于y轴对称,则f(x)在（－3，1)上( ）A．单调递增 B．单调递减C．先增后减 D．先减后增【解析】由f(x)的图像关于y轴对称，得m＝0，所以函数f（x)＝－x2＋3，由f（x)的图像(图略)知其在（－3,1）上先增后减．故选C.【答案】C5．函数f(x）＝ax2＋2(a－3)x＋1在区间（－2，＋∞)上是单调递减，则a的取值范围是（）A．[－3,0] B．(－∞，－3]C．[－3,0） D．[－2,0]【解析】若a＝0，则f（x）＝－6x＋1（符合题意)，a〉0不合题意，若a<0,则－错误!≤－2,解得－3≤a<0，综上得－3≤a≤0。

A 级 基础达标演练 (时间：40分钟 满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.已知幂函数f (x )＝x α的部分对应值如下表： 则不等式f (|x |)≤2的解集是( )．x 1 12 f (x )122A ．{x |－4≤x ≤4}B ．{x |0≤x ≤4}C ．{x |－2≤x ≤2}D ．{x |0＜x ≤2} 解析 由题表知22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α，∴α＝12，∴f (x )＝x 12. ∴(|x |)12≤2，即|x |≤4，故－4≤x ≤4.答案 A2．(2012·宜春模拟)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( )．A.12 B ．1 C.32 D ．2 解析 ∵f (x )＝k ·x α是幂函数，∴k ＝1. 又f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，∴α＝12，∴k ＋α＝1＋12＝32. 答案 C3．(2011·杭州二检)设f (x )＝⎩⎨⎧2x －2，x ≤2，log 2(x －1)，x ＞2，则f (f (5))＝( )．A ．－1B ．1C ．－2D ．2解析 由于函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －2，x ≤2，log 2(x －1)，x ＞2，所以f (f (5))＝f [log 2(5－1)]＝f (2)＝22－2＝1.答案 B4．若x ≥0，y ≥0，且x ＋2y ＝1，那么2x ＋3y 2的最小值为( )． A ．2 B.34 C.23 D ．0解析 由x ≥0，y ≥0 x ＝1－2y ≥0知0≤y ≤12t ＝2x ＋3y 2＝2－4y ＋3y 2＝3⎝⎛⎭⎪⎫y －232＋23在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上递减，当y ＝12时，t 取到最小值，t min ＝34. 答案 B5．已知二次函数y ＝x 2－2ax ＋1在区间(2,3)内是单调函数，则实数a 的取值范围是( )． A ．a ≤2或a ≥3 B ．2≤a ≤3 C ．a ≤－3或a ≥－2D ．－3≤a ≤－2解析 由于二次函数的图象开口向上，对称轴为x ＝a ，若使其在区间(2,3)内是单调函数，则需所给区间在对称轴的同一侧，即a ≤2或a ≥3. 答案 A二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2012·咸阳调研)若函数y ＝mx 2＋x ＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________．解析 由已知条件当m ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧m >0－12m ≤－2时，函数y ＝mx 2＋x ＋5在[－2，＋∞)上是增函数，解得0≤m ≤14.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，147．如果幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)xm 2－m －1的图象不过原点，则m 的取值是________．解析 由⎩⎨⎧m 2－3m ＋3＝1，m 2－m －1＜0，得m ＝1.答案 18．方程x 2－mx ＋1＝0的两根为α、β，且α＞0,1＜β＜2，则实数m 的取值范围是________．解析 ∵⎩⎨⎧α＋β＝m ，α·β＝1，∴m ＝β＋1β.∵β∈(1,2)且函数m ＝β＋1β在(1,2)上是增函数，∴1＋1＜m ＜2＋12，即m ∈⎝⎛⎭⎪⎫2，52. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52三、解答题(共23分)9．(11分)已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且f (x )>－2x 的解集为{x |1<x <3}，方程f (x )＋6a ＝0有两相等实根，求f (x )的解析式． 解 设f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3)(a <0)， 则f (x )＝ax 2－4ax ＋3a －2x ，f (x )＋6a ＝ax 2－(4a ＋2)x ＋9a ，Δ＝(4a ＋2)2－36a 2＝0 16a 2＋16a ＋4－36a 2＝0,20a 2－16a －4＝0 5a 2－4a －1＝0，(5a ＋1)(a －1)＝0， 解得a ＝－15，或a ＝1舍去因此f (x )的解析式为f (x )＝－15(x －1)(x －3)．10．(12分)(2012·聊城模拟)已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，求a 的值．解 f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1， 当a ≥1时，y max ＝a ； 当0<a <1时，y max ＝a 2－a ＋1；当a ≤0时，y max ＝1－a . 根据已知条件：⎩⎨⎧a ≥1，a ＝2，或⎩⎨⎧ 0<a <1，a 2－a ＋1＝2或⎩⎨⎧a ≤0，1－a ＝2， 解得a ＝2，或a ＝－1.B 级 综合创新备选 (时间：30分钟 满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2010·济南模拟)设y 1＝0.413，y 2＝0.513，y 3＝0.514，则( )．A ．y 3＜y 2＜y 1B ．y 1＜y 2＜y 3C ．y 2＜y 3＜y 1D ．y 1＜y 3＜y 2解析 据y ＝x 13在R 上为增函数可得y 1＝0.413＜y 2＝0.513，又由指数函数y ＝0.5x为减函数可得y 2＝0.513＜y 3＝0.514，故y 1＜y 2＜y 3.答案 B2 .函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－b2a 对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( )． A ．{1,2} B ．{1,4}C ．{1,2,3,4}D ．{1,4,16,64}解析 设关于f (x )的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0有两根，即f (x )＝t 1或f (x )＝t 2. 而f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象关于x ＝－b2a 对称，因而f (x )＝t 1或f (x )＝t 2的两根也关于x ＝－b 2a 对称．而选项D 中4＋162≠1＋642.答案 D二、填空题(每小题4分，共8分)3．(2011·北京)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥2，(x －1)3，x ＜2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________． 解析 作出函数y ＝f (x )的图象如图．则当0＜k ＜1时，关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根．答案 (0,1)4．已知点(2，2)在幂函数y ＝f (x )的图象上，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12在幂函数y ＝g (x )的图象上，若f (x )＝g (x )，则x ＝________.解析 由题意，设y ＝f (x )＝x α，则2＝(2)α，得α＝2，设y ＝g (x )＝x β，则12＝(－2)β，得β＝－2，由f (x )＝g (x )，即x 2＝x －2，解得x ＝±1. 答案 ±1三、解答题(共22分)5．(10分)已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)，若f (x )在区间[2,3]上有最大值5，最小值2. (1)求a ，b 的值；(2)若b ＜1，g (x )＝f (x )－m ·x 在[2,4]上单调，求m 的取值范围． 解 (1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a . 当a ＞0时，f (x )在[2,3]上为增函数，故⎩⎨⎧ f (3)＝5，f (2)＝2⇒⎩⎨⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝5，4a －4a ＋2＋b ＝2⇒⎩⎨⎧a ＝1，b ＝0， 当a ＜0时，f (x )在[2,3]上为减函数，故⎩⎨⎧f (3)＝2，f (2)＝5⇒⎩⎨⎧9a －6a ＋2＋b ＝2，4a －4a ＋2＋b ＝5⇒⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝3.(2)∵b ＜1，∴a ＝1，b ＝0，即f (x )＝x 2－2x ＋2. g (x )＝x 2－2x ＋2－mx ＝x 2－(2＋m )x ＋2， ∵g (x )在[2,4]上单调，∴2＋m 2≤2或m ＋22≥4，∴m ≤2或m ≥6.6．(12分)设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，求实数a 的取值范围．解 不等式ax 2－2x ＋2>0等价于a >2x －2x 2，设g (x )＝2x －2x 2，x ∈(1,4)，则 g ′(x )＝2x 2－(2x －2)2xx 4＝－2x 2＋4x x 4＝－2x (x －2)x 4，当1<x <2时，g ′(x )>0，当2<x <4时，g ′(x )<0， g (x )≤g (2)＝12，由已知条件a >12，因此实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.。

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】2.2 二次函数的图象与性质第3课时 二次函数y =a (x -h )2的图象与性质1.把二次函数2x y =的图象向右平移3个单位长度，得到新的图象的函数表达式是（ ）A. 32+=x yB. 32-=x yC. 2)3(+=x yD.2)3(-=x y2.抛物线2)3(2--=x y 的顶点坐标和对称轴分别是（ ） A.3),0,3(-=-x 直线 B. 3),0,3(=x 直线 C. 3),3,0(-=-x 直线 D. 3),3,0(-=x 直线3.已知二次函数2)1(3+=x y 的图象上有三点 ),2(),,2(),,1(321y C y B y A - ，则321,,y y y 的大小关系为（ ）A.321y y y >>B. 312y y y >>C. 213y y y >>D.123y y y >>4.把抛物线2)1(6+=x y 的图象平移后得到抛物线26x y =的图象，则平移的方法可以是（ ）A.沿y 轴向上平移1个单位长度B.沿y 轴向下平移1个单位长度C.沿x 轴向左平移1个单位长度D.沿x 轴向右平移1个单位长度5.若二次函数12+-=mx x y 的图象的顶点在x 轴上，则m 的值是（ ） A. 2 B. 2- C.0 D. 2±6.对称轴是直线2-=x 的抛物线是（ ）A.22+-=x yB.22+=x yC.2)2(21+=x y D.2)2(3-=x y 7.对于函数2)2(3-=x y ，下列说法正确的是（ ） A. 当0>x 时，y 随x 的增大而减小 B. 当0<x 时，y 随x 的增大而增大 C. 当2>x 时，y 随x 的增大而增大 D. 当2->x 时，y 随x 的增大而减小8.二次函数132+=x y 和2)1(3-=x y ，以下说法：①它们的图象都是开口向上； ②它们的对称轴都是y 轴，顶点坐标都是原点（0,0）； ③当0>x 时，它们的函数值y 都是随着x 的增大而增大； ④它们的开口的大小是一样的. 其中正确的说法有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个9.抛物线2)1(3--=x y 的开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 。

二次函数y=a(x+h)2的图象和性质一、精心选一选1﹒在平面直角坐标系中，二次函数y＝a(x－h)2（a≠0）的图象可能是（）A. B. C. D.2﹒二次函数y＝3(x－2)2的图象的对称轴是（）A.直线x＝2B.直线x＝－2C.y轴D.x轴3﹒函数y＝a(x－1)2，y＝ax+a的图象在同一坐标系的图象可能是（）A. B. C. D.4﹒与函数y＝2(x－2)2形状相同的抛物线解析式是（）A.y＝x2B.y＝－2x2C.y＝(2x+1)2D.y＝(x－2)25﹒关于二次函数y＝－(x－2)2的图象，下列说法正确的是（）A.该函数图象是中心对称图形B.开口向上C.对称轴是直线x＝－2D.最高点是（2，0）6﹒在下列二次函数中，其图象对称轴为x＝－2的是（）A.y＝(x+2)2B.y＝2x2－2C.y＝－2x2－2D.y＝2(x－2)27﹒将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函数y＝－2(x+3)2的图象，平移的方法是（）A.向上平移3个单位B.向下平移3个单位C.向左平移3个单位D.向右平移3个单位8﹒二次函数y＝a(x+h)2的图象的位置（）A.只与a有关B.只与h有关C.与a、h都有关D.与a、h都无关9﹒已知抛物线y＝5(x－1)2，下列说法中错误的是（）A.顶点坐标为（1，0）B.对称轴为直线x＝0C.当x＞1时，y随x的增大而增大D.当x＜1时，y随x的增大而增减小y＝a(x+h)2的图象如图所示，下列结论：①a＞0；②h＞0；③y的最小值是0；④x＜0时，y随x的增大而减小.其中正确结论的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、细心填一填11.将二次函数y＝x2的图象沿x轴向左平移2个单位，则平移后的抛物线对应的二次函数的表达式为____________________.12.若抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过（－1，4），则a＝______，平移后的抛物线所对应的函数关系式为_______________________.13.抛物线y＝3(x－1)2的图象关于x轴成轴对称的图象的关系式为___________________.14.二次函数y＝－2(x－2)2的图象在对称轴左侧部分是________.（填“上升”或“下降”）15.二次函数y＝－2(x+1)2图象的顶点坐标为___________，函数的最大值为____________.16.抛物线y＝－3(x－5)2的开口方向是___________，对称轴是______________.17.抛物线y＝49(x－3)2与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，则△AOB的面积为_______.18.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝(x－2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B.过点B作BC∥x轴，交抛物线于点C，过点A作AD∥y轴，交BC于点D，点P在BC下方的抛物线上（P不与B、C重合），连接PC，PD，则△PCD面积的最大值是___________.三、解答题19.已知二次函数y＝－12(x－2)2.（1）画出函数图角，确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；（2）当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？20.已知：抛物线y＝a(x+h)2的对称轴为直线x＝12，形状、开口方向均与抛物线y＝－3x2相同.（1）试求该抛物线的函数关系式；（2）求出该抛物线与y轴的交点坐标.21.二次函数y＝12(x－h)2的图象如图所示，已知抛物线的顶点为A，与y轴交于点B，且OA＝OB.（1）求该抛物线的函数关系式；（2）请直接写出该抛物线关于y轴对称的图象表达式.22.如图，直线y＝－x－2交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝a(x+h)2的顶点为A，且经过点B.（1）求该抛物线的函数关系式；（2）若点C（m，－92）在该抛物线上，求m的值.23.如图，已知抛物线y＝2(x+2)2交y轴于点A，交直线y＝2x+4于点B、C两点，试求△ABC的面积.24.如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，O为坐标原点，边OA在x轴上，OA＝AB＝1个单位长度，，现把△OAB沿x轴的正方向平移1个单位长度后得△AA1B1.（1）求以A为顶点，且经过点B1的抛物线的解析式；（2）若（1）中的抛物线与OB交于点C，与y轴交于点D，求点D、C的坐标.二次函数y=a(x+h)2的图象和性质课时练习题参考答案一、精心选一选题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 D B B C D A C B B C1﹒在平面直角坐标系中，二次函数y＝a(x－h)2（a≠0）的图象可能是（）A. B. C. D.解答：抛物线y＝a(x－h)2（a≠0）顶点在x轴上，故D选项符合，故选：D.2﹒二次函数y＝3(x－2)2的图象的对称轴是（）A.直线x＝2B.直线x＝－2C.y轴D.x轴解答：二次函数y＝3(x－2)2的图象的对称轴是直线x＝2，故选：B.3﹒函数y＝a(x－1)2，y＝ax+a的图象在同一坐标系的图象可能是（）A. B. C. D.解答：∵抛物线y＝a(x－1)2的对称轴是x＝1，∴可排除D选项错误；当a＞0时，直线y＝ax+a经一、二、三象限，抛物线y＝a(x－1)2开口向上，故B选项符合要求，故选：B.4﹒与函数y＝2(x－2)2形状相同的抛物线解析式是（）A.y＝x2B.y＝(2x+1)2C.y＝－2x2D.y＝(x－2)2∴它与y＝－2x2的图象形状相同，解答：∵函数y＝2(x－2)2中a＝2，且2＝2故选：C.5﹒关于二次函数y＝－(x－2)2的图象，下列说法正确的是（）A.该函数图象是中心对称图形B.开口向上C.对称轴是直线x＝－2D.最高点是（2，0）解答：A.该函数图象是轴对称图形，故A选项错误；B.抛物线 y＝－(x－2)2的开口向下，故B选项错误；C.对称轴是直线x＝2，故C选项错误；D.抛物线y＝－(x－2)2的最高点是（2，0），故D选项正确，故选：D.6﹒在下列二次函数中，其图象对称轴为x＝－2的是（）A.y＝(x+2)2B.y＝2x2－2C.y＝－2x2－2D.y＝2(x－2)2解答：二次函数y＝(x+2)2的对称轴为x＝－2，故选：A.7﹒将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函数y＝－2(x+3)2的图象，平移的方法是（）A.向上平移3个单位 B.向下平移3个单位C.向左平移3个单位D.向右平移3个单位解答：二次函数y＝－2x2的图象的顶点坐标为（0，0），二次函数y＝－2(x+3)2的图象的顶点坐标为（－3，0），所以平移的方法是向左平移3个单位，故选：C.8﹒二次函数y＝a(x+h)2的图象的位置（）A.只与a有关B.只与h有关C.与a、h都有关D.与a、h都无关解答：二次函数y＝a(x+h)2中a决定抛物线的开口方向，h决定抛物线的位置，故选：B.9﹒已知抛物线y＝5(x－1)2，下列说法中错误的是（）A.顶点坐标为（1，0）B.对称轴为直线x＝0C.当x＞1时，y随x的增大而增大D.当x＜1时，y随x的增大而增减小解答：抛物线y＝5(x－1)2，其顶点坐标为（1，0），故A选项不合题意；对称轴为直线x＝1，故B 符合题意；当x＞1时，y随x的增大而增大，故C选项不符合题意；当x＜1时，y随x的增大而增减小，故D不符合题意，故选：B.10. 已知二次函数y＝a(x+h)2的图象如图所示，下列结论：①a＞0；②h＞0；③y的最小值是0；④x＜0时，y随x的增大而减小.其中正确结论的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个解答：由二次函数图象可知：抛物线开口向上，故①正确；抛物线的对称轴在y轴的左侧，则h＞0，故②正确；抛物线的开口向上，所以顶点是最低点，y有最小值，而顶点在x轴上，所以y的最小值是0，故③正确；x＜0时图象在y轴的左侧，在左侧部分x＜－h时，y随x的增大而减小，－h ＜x＜0时，y随x的增大而增大，故④错误，故3个选项都是正确的，故选：C.二、细心填一填11.y＝(x+2)2； 12. 14，y＝14(x－3)2； 13. y＝－3(x－1)2；14. 上升； 15. （－1，0），0； 16. 向下，直线x＝5；17. 4； 18. 6.y＝x2的图象沿x轴向左平移2个单位，则平移后的抛物线对应的二次函数的表达式为____________________.解答：将二次函数y＝x2的图象沿x轴向左平移2个单位，则平移后的抛物线对应的二次函数的表达式为y＝(x+2)2，故答案为：y＝(x+2)2.y＝ax2向右平移3个单位后经过（－1，4），则a＝______，平移后的抛物线所对应的函数关系式为_______________________.解答：抛物线y＝ax2向右平移3个单位后得到的解析式为y＝a(x－3)2，把（－1，4）代入y＝a(x－3)2得：4＝a(－1－3)2，解得：a＝14，故答案为：14，y＝14(x－3)2.y＝3(x－1)2的图象关于x轴成轴对称的图象的关系式为___________________.解答：抛物线y＝3(x－1)2的图象关于x轴成轴对称的图象的关系式为y＝－3(x－1)2，故答案为：y＝－3(x－1)2.y＝－2(x－2)2的图象在对称轴左侧部分是________.（填“上升”或“下降”）解答：∵a＝－2，∴抛物线开口向下，故在对称轴的左侧部分是上升的，故答案为：上升.y＝－2(x+1)2图象的顶点坐标为___________，函数的最大值为____________.解答：二次函数y＝－2(x+1)2图象的顶点坐标为（－1，0），函数的最大值为0，故答案为：（－1，0），0.y＝－3(x－5)2的开口方向是___________，对称轴是______________.解答：抛物线y＝－3(x－5)2的开口方向是向下，对称轴是直线x＝5，故答案为：向下，直线x＝5.y＝49(x－3)2与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，则△AOB的面积为_______.解答：∵当y＝0时，即49(x－3)2＝0，∴x＝3，∴A（3，0），∵当x＝0时，y＝4，∴B（0，4），∴OA＝3，OB＝4，∴S△AOB＝12×3×4＝6，故答案为：6.18.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝(x－2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B.过点B作BC∥x轴，交抛物线于点C，过点A 作AD∥y轴，交BC于点D，点P在BC下方的抛物线上（P不与B、C重合），连接PC，PD，则△PCD面积的最大值是___________.解答：∵抛物线y＝(x－2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴A（2，0），B（0，4），∵抛物线y＝(x－2)2的对称轴为x＝2，BC∥x轴，AD∥y轴，∴直线AD就是抛物线y＝(x－2)2的对称轴，∴B、C关于直线BD对称，∴BD＝DC＝2，∵顶点A到直线BC的距离最大，∴点P与A重合时，△PCD面积最大，最大值为：12DC×AD＝12×2×4＝4，故答案为：4.三、解答题y＝－12(x－2)2.（1）画出函数图角，确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；（2）当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？解答：（1）二次函数y＝－12(x－2)2的图象为：抛物线的开口向下、顶点坐标为（2，0），对称轴为直线x＝2；（2）当x＜2时，y随x的增大而增大，当x＞2时，y随x的增大而减小.20.已知：抛物线y＝a(x+h)2的对称轴为直线x＝12，形状、开口方向均与抛物线y＝－3x2相同.（1）试求该抛物线的函数关系式；（2）求出该抛物线与y轴的交点坐标.解答：（1）∵抛物线y＝a(x+h)2的对称轴为直线x＝12，∴h＝－12，则y＝a(x－12)2，又∵抛物线y＝a(x－12)2的形状、开口方向均与抛物线y＝－3x2相同，∴a＝－3，∴该抛物线的函数关系式为：y＝－3(x－12 )；（2）∵当x＝0时，y＝－3(x－12)＝－3×(－12)＝32，∴该抛物线与y轴的交点坐标为（0，32）.y＝12(x－h)2的图象如图所示，已知抛物线的顶点为A，与y轴交于点B，且OA＝OB.（1）求该抛物线的函数关系式；（2）请直接写出该抛物线关于y轴对称的图象表达式.解答：（1）∵点A为抛物线y＝12(x－h)2的顶点，∴A（h，0），∴OA＝h，∵OA＝OB，且点B在y轴的正半轴上，∴OB＝h，∴B（0，h），把B（0，h）代入y＝12(x－h)2得：h＝12(0－h)2，解得：h1＝0（不合题意，舍去），h2＝2，∴该抛物线的函数关系式y＝12(x－2)2，（2）由（1）知：OA＝2，∴将该抛物线向左平移4个单位即可得到它的关于y轴对称的图象，∴平移后的抛物线的解析式为：y＝12(x+2)2，故该抛物线关于y轴对称的图象表达式为y＝12(x+2)2.22.如图，直线y＝－x－2交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝a(x+h)2的顶点为A，且经过点B.（1）求该抛物线的函数关系式；（2）若点C（m，－92）在该抛物线上，求m的值.解答：（1）∵直线y＝－x－2交x轴于点A，交y轴于点B，∴A（－2，0），B（0，－2），∵抛物线y＝a(x+h)2的顶点为A，∴h＝2，则y＝a(x+2)2，∵该抛物线经过点B（0，－2），∴a(0+2)2＝－2，解得：a＝－12，∴该抛物线的函数关系式为：y＝－12(x+2)2，（2）∵点C（m，－92）在该抛物线y＝－12(x+2)2上，∴－12(m+2)2＝－92，解得：m1＝1，m2＝－5，即m的值为1或－5.23.如图，已知抛物线y＝2(x+2)2交y轴于点A，交直线y＝2x+4于点B、C两点，试求△ABC的面积.解答：∵当x＝0时，y＝2(x+2)2＝8，∴A（0，8），由22(2)24y xy x⎧=+⎨=+⎩，得：112xy=-⎧⎨=⎩，2212xy=-⎧⎨=⎩，∴B（－2，0），C（－1，2），设直线BC的解析式为y＝kx+b，交y轴于点D，∴202k bk b-+=⎧⎨-+=⎩，解得：24kb=⎧⎨=⎩，∴直线BC的解析式为y＝2x+4，当x＝0时，y＝4，∴D（0，4），∴AD＝8－4＝4，∴S△ABC＝S△ABD－S△ACD＝12×4×2－12×4×1＝2.24.如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，O为坐标原点，边OA在x轴上，OA＝AB＝1个单位长度，，现把△OAB沿x轴的正方向平移1个单位长度后得△AA1B1.（1）求以A为顶点，且经过点B1的抛物线的解析式；（2）若（1）中的抛物线与OB交于点C，与y轴交于点D，求点D、C的坐标.解答：（1）∵OA＝AB＝1，∠OAB＝90°，∴A（1，0），B（1，1），由平称性质得：A1（2，0），B1（2，1），∵抛物线的顶点A（1，0），∴可设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2，把B1（2，1）代入y＝a(x－1)2得：a＝1，∴以A为顶点，且经过点B1的抛物线的解析式为y＝(x－1)2；（2）设直线OB的解析式为y＝kx，把B（1，1）代入得：k＝1，∴直线OB 的解析式为y ＝x ，由2(1)y x y x =⎧⎨=-⎩，得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故点C的坐标为（32-，32-），对于y ＝(x －1)2，当x ＝0时，y ＝1， ∴D （0，1）故C（32，32-），D （0，1）.。

小专题(三)二次函数的图象与性质本专题包括二次函数的图象及性质的简单应用、二次函数图象上点的坐标特点、二次函数图象的平移变换等内容,属于中考热点问题,熟练掌握二次函数的图象及性质、对称轴、顶点坐标、二次函数的最值等知识点是解题的关键.类型1二次函数的图象及应用1.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论:①a>0;②该函数的图象关于直线x=1对称;③当x=-1或x=3时,函数y的值都等于0.其中正确结论的个数是(B)A.3B.2C.1D.02.一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象可能是(C)3.如图,二次函数的图象经过(-2,-1),(1,1)两点,则下列关于此二次函数的说法正确的是(D)A.y的最大值小于0B.当x=0时,y的值大于1C.当x=-1时,y的值大于1D.当x=-3时,y的值小于0类型2二次函数性质的应用4.(泸州中考)已知抛物线y=x2+1具有如下性质:该抛物线上任意一点到定点F(0,2)的距离与到x轴的距离始终相等.如图,点M的坐标为(,3),P是抛物线y=x2+1上一个动点,则△PMF 周长的最小值是(C)A.3B.4C.5D.6提示:过点M作ME⊥x轴于点E,交抛物线y=x2+1于点P,此时△PMF周长最小.5.如图,已知抛物线y=-x2+mx+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点B的坐标为(3,0).(1)求m的值及抛物线的顶点坐标;(2)P是抛物线对称轴l上的一个动点,当PA+PC的值最小时,求点P的坐标.解:(1)把点(3,0)代入y=-x2+mx+3,得0=-32+3m+3,解得m=2,∴y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴顶点坐标为(1,4).(2)连接BC交抛物线对称轴l于点P,则此时PA+PC的值最小,设直线BC的表达式为y=kx+b,∵直线BC经过点C(0,3),点B(3,0),∴3k+b=0,b=3,解得k=-1,b=3,∴直线BC的表达式为y=-x+3,当x=1时,y=-1+3=2,∴当PA+PC的值最小时,点P的坐标为(1,2).6.如图,已知二次函数y=x2-2x-1的图象的顶点为A.二次函数y=ax2+bx的图象与x轴交于原点O及另一点C,它的顶点B在函数y=x2-2x-1的图象的对称轴上.(1)求点A与点C的坐标;(2)当四边形AOBC为菱形时,求函数y=ax2+bx的关系式.解:(1)y=x2-2x-1=(x-1)2-2,∴点A的坐标为(1,-2).∵抛物线y=ax2+bx的顶点B在函数y=x2-2x-1的图象的对称轴上.∴B点的横坐标为1,则对称轴-=1,∴b=-2a.对于y=ax2+bx,令y=0,得ax2+bx=0,解得x1=0,x2=-,则x2=-=2,即点C的坐标为(2,0).(2)当四边形AOBC为菱形时,由菱形的对角线互相垂直平分,得B点坐标为(1,2),则解得∴函数y=ax2+bx的关系式为y=-2x2+4x.类型3二次函数图象上点的坐标特点7.如果抛物线y=ax2+bx+c过定点M(1,1),则称此抛物线为定点抛物线.(1)张老师在投影屏幕上出示了一个题目:请你写出一条定点抛物线的一个表达式.小敏写出了一个答案:y=2x2+3x-4,请你写出一个不同于小敏的答案;(2)张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题:已知定点抛物线y=-x2+2bx+c+1,求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的表达式,请你解答.解:(1)y=x2-2x+2.(答案不唯一)(2)∵定点抛物线的顶点坐标为(b,c+b2+1),且-1+2b+c+1=1,∴c=1-2b,∵顶点纵坐标c+b2+1=2-2b+b2=(b-1)2+1,∴当b=1时,c+b2+1最小,即抛物线顶点纵坐标的值最小,此时c=-1,∴抛物线的表达式为y=-x2+2x.类型4二次函数图象的平移变换8.(淄博中考)将二次函数y=x2+2x-1的图象沿x轴向右平移2个单位长度,得到的函数表达式是(D)A.y=(x+3)2-2B.y=(x+3)2+2C.y=(x-1)2+2D.y=(x-1)2-29.已知抛物线C1:y=(x+2)2-5的顶点为P,与x轴正半轴交于点B,抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称,将抛物线C2向右平移,平移后的抛物线记为C3,C3的顶点为M,当点P,M关于点B成中心对称时,求C3的表达式.解:点P的坐标为(-2,-5),令y=0,得(x+2)2-5=0,解得x1=1,x2=-5,∴点B的坐标为(1,0),∵点P,M关于点B对称,∴点M的坐标为(4,5),∵抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称,抛物线C2向右平移得到C3,∴抛物线C3的表达式为y=-(x-4)2+5.10.如图所示的抛物线是由抛物线y=-x2经过平移而得到.这时抛物线过原点O和x轴正半轴上一点A,顶点为P,∠OPA=90°.(1)求抛物线的顶点P的坐标及抛物线的表达式;(2)求如图所示的抛物线对应的二次函数在-≤x≤时的最大值和最小值.解:(1)由题意可设y=-(x-a)2+b(a>0),∵抛物线过点(0,0),代入得0=-a2+b,∴b=a2,y=-(x-a)2+a2.过点P作PM⊥x轴于点M,则OM=a,PM=a2.∵P是抛物线的顶点,∠OPA=90°,∴PO=PA,∴OM=AM=PM,∴a2=a,解得a=1或a=0(舍去),∴点P的坐标为(1,1),∴抛物线的表达式为y=-(x-1)2+1=-x2+2x.(2)∵抛物线的表达式为y=-(x-1)2+1,∴抛物线的对称轴是直线x=1,又∵抛物线开口向下,∴当-<x<时,y随x的增大而增大.∴当x=时,y最大=-+2×;当x=-时,y最小=--2×=-.。

2.2.2课时训练题1．函数的图象顶点是__________，对称轴是________，开口向_______，当x＝___________时，有最_________值是_________．2. 函数-3图象顶点是__________，对称轴是________，开口向_______，当x＝___________时，有最_________值是_________．3. 二次函数的图象开口向下，则m___________．4. 二次函数y＝mx有最高点，则m＝___________．5. 二次函数y＝(k＋1)x2的图象如图所示，则k的取值范围为___________．6．若二次函数的图象过点（1，－2），则的值是___________．7．如图，抛物线①②③④开口从小到大排列是___________________________________；（只填序号）其中关于轴对称的两条抛物线是和。

8．点A（，b）是抛物线上的一点，则b= ；过点A作x轴的平行线交抛物线另一点B的坐标是。

9．如图，A、B分别为上两点，且线段AB⊥y轴于点（0,6），若AB=6，则该抛物线的表达式为。

10. 当m= 时，抛物线开口向下．11.二次函数与直线交于点P（1，b）．（1）求a、b的值；（2）写出二次函数的关系式，并指出x取何值时，该函数的y随x的增大而减小．12．可以发现，把抛物线向______平移______个单位，就得到抛物线；把抛物线向_______平移______个单位，就得到抛物线.13.抛物线向上平移3个单位，就得到抛物线__________________；抛物线向下平移4个单位，就得到抛物线__________________．14．抛物线向上平移3个单位后的解析式为，它们的形状__________，当= 时，有最值是。

15．由抛物线平移，且经过（1,7）点的抛物线的解析式是，是把原抛物线向平移个单位得到的。