山师附中1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(1)课件-人教A版高中数学选择性必修第一册(共27张PPT)

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
——夹角问题
空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角
距离类似，角度是立体几何中另一个重要的度量. 下 面我们用向量方法研究直线 与直线所成的角、直线与平面所成的角以及平面与平面的夹角，先看线线角.
1. 线线角 (异面直线所成的角)
一般地，两条异面直线所成的角，可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角
或d PQ |AP n | |AP n| . |n| |n|
P n
d
α
A
Q
4. 直线到平面的距离： 直线到平面的距离可转化为点到平面的距离求解.
d |AP n| . |n|
P•
l
n
d
α
Q A
3. 两个平行平面之间的距离：
两个平行平面之间的距离也可转化为点到平面的距离求解.
d |AP n| . |n|
(1,1,
1), CC1
(0, 0,
1).
D1
A1
x
E
C1 y
B1
设平面AEC1的一个法向量为n ( x, y, z) ,则
∴
1 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
z
0
, 取y 2,则z 1, x 1.
点C到平面AEC1
的距离为
|
CC1 |n
|
n
|
6 .
6
x y z 0 ∴平面AEC1的一个法向量为n (1, 2,1).
z
G
d | n BE | 2 11 .
n
11
D x
F
A
E
C
B y
【巩固训练3】如图，正方体ABCD和ABEF的边长都是1，且它们所在平面互相垂

答案：5
题型一 点到直线的距离
[学透用活]
[典例 1] 已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AA1＝1，AB＝4，
BC＝3，∠ABC＝90°，求点 B 到直线 A1C1 的距离． [解] 以 B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 A1(4,0,1)，C1(0,3,1)，所以直线 A1C1 的方向向量为A―1→C1＝(－4,3,0)，而―BC→1 ＝
∴点
B
到平面
α
的距离
d＝|―A→B |·sin
φ＝|―A→B |·|cos
―→ θ|＝| A|Bn|·n|.
[学透用活]
[典例 2] 如图，已知正方形 ABCD 的边
长为 1，PD⊥平面 ABCD，且 PD＝1，E，F
分别为 AB，BC 的中点．
(1)求点 D 到平面 PEF 的距离；
(2)求直线 AC 到平面 PEF 的距离．
所以AC∥平面PEF，所以A点到平面PEF的距离即为直线
AC到平面PEF的距离．
由于
―→ AE
＝
0，12，0
，又由(1)知平面PEF的法向量为n＝
(2,2,3)，
|―A→E ·n|
所以点A到平面PEF的距离为
＝
|n|
1＝ 17
1177，即直线
AC到平面PEF的距离为
17 17 .
[方法技巧] 用向量法求点面距的步骤
·―P→E ＝0，
所以x12＋x＋12yy－－zz＝＝00，，
即z＝32y， x＝y，
令 y＝2，则 n＝(2,2,3)，又―D→P ＝(0,0,1)，
所以点 D 到平面 PEF 的距离
|―D→P ·n|
d＝

=
2
, ∴<
2
∴ 平面EAC与平面ABCD的夹角为45°.
P
= (x, y, z),
E
A
D
∵ PA ⊥ 平面ABCD, ∴ 平面ACD的法向量为 AP = (0,0, a).
∴ cos < ՜
m , AP >=
z
՜
m , AP >= 45°,
C
x
B
y
练习巩固 大册P32变式训练
练习8 :如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF
Ԧ >|=
|∙|
||∙||
|∙|
||∙||
3、平面与平面的夹角： = | < , > | =

∈ [0, ]
2
|∙|
||∙||
二面角：先计算平面角再根据图分辨锐、钝二面角，添加正负号
练习巩固 课本P38练习1
练习1:在直三棱柱 − 111中，∠ = 90°，1, 1分别是11, 11
的角最大时,求的值.
练习巩固
练习6:棱长为的正方体 − ′ ′ ′ ′ 中，，分别是棱，上的动点，
且 = .
(1)求证：′ ⊥ ′ ；
(2)当三棱锥′ − 的体积取最大值时，求平面′ 与夹角的正切值.
z
y
x
练习巩固 大册P30例3
3 34
∴AD与平面AMN 所成角的正弦值为
.
34
| AD || n |
8 34
34
练习巩固 课本P41练习3
练习3:如图，在三棱锥 − 中，, , 两两垂直， = = 3，
z
= 2. 求直线与平面所成角的余弦值.

=
6
.
3
例题讲解
例6. (1)求点B到直线A1 C的距离；(2)求直线FC到平面AEC1 的距离.
1
2
解：(2)因为FC = EC1 = (−1, , 0)，所以FC//EC1 ，
所以FC//平面AEC1 .所以点F到平面AEC1 的距离即为
直线FC到平面AEC1 的距离.设平面AEC1 的法向量为 = (x, y, z)，则
另外，要注意两条平行直线之间的距离⟺点到直线的距离
例题讲解
练习2.在长方体 − 1 1 1 1 中， = 2， = 3，1 = 2，
求1 到直线的距离.
解：建立如图所示的空间直角坐标系.则A(2,0,0)，O1 (0,0,2)，A1 (4,0,1)， C(0,3,0)
为线段A1 B1 的中点，F为线段AB的中点.
(1)求点B到直线A1 C的距离；(2)求直线FC到平面AEC1 的距离.
解：以D1 为原点，D1 A1 ，D1 C1 ，D1 D所在直线为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则
1
2
1
2
A(1,0,1)，B(1,1,1)，C(0,1,1)，C1 (0,1,0)，E(1, , 0)，F(1, , 1)，所
|=
||
||
||
新知探究
问题5：类似地，请同学们研究如何求平行于平面的直线到平面的距离？
两个平行平面之间的距离呢？
线面、面面距离⟺平面外一点到平面的距离

∙
| ∙ |
= | ∙
|=|
|=
||
||
||
例题讲解
例6.如图，在棱长为1的正方体ABCD − A1 B1 C1 D1 中，

1
DA1 到平面 CB1 的距
CD 到平面 AB1 的距离等于________；平面
_________；直线
1
1
离等于__________．
C
D
A
B
D1
C1
A1
B1
小试身手
课后作业 P35
2. 如图, 在棱长为1的正方体ABCD A1 B1C1 D1中, E为线段DD1的中点,
F 为线段BB1的中点.
B
y
小试身手
P35-2(2).棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是线段DD1, BB1
的中点，求直线FC1到直线AE的距离.
D1
C1
B1
A1
E
AE (2,0,1), AF (0,2,1), AE AF 1, | AE || AF | 5,
F
D
A
析 : 可证AE // FC1 ,
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
第一课时
新知引入
如图，在蔬菜大棚基地
有一条笔直的公路,某人要
在点A处，修建一个蔬菜存
储库。如何在公路上选择一
个点,修一条公路到达A点,
要想使这个路线长度理论上
最短,应该如何设计？
复习引入
空间中的距离
两点间的距离
点到直线的距离
两平行线之间的距离
点到平面的距离
A是直线上的定点
追问1：无法直接计算PQ的情况下可以通过计算
哪些方式PQ？
投影向量或者勾股定理

• P
•
A
•
Q

探究交流
设是直线的单位方向向量，Q是直线上的垂足,A是直线上的定点

P35-2(2).棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是线段DD1, BB1的中点，求直
线FC1到直线AE的距离.
①公式法 析 : 可证AE // FC1,
直线FC1到直线AE的距离即为点F到直线AE的距离,
A
建系Dxyz , A(2,0,0), E (0,0,1), F (2,2,1) AE (2,0,1), AF (0,2,1), 1
E
B
C
P
| AB n |
|n |
z
P
(法4 : 几何补形法)
E
将四棱锥补成正方体可以快速找到高
A
Cy
D
B
探究交流
③找垂线法(过点找面的垂线)
[例1]各棱长为1的正四面体, 求点O到面ABC的距离.
O
析 : 分别取BC, AC的中点E, F .
连接AE , BF交于点D, 则D为ABC 的中心.
,
, 2),
2
2
2 2
设直线AN 与CM 所成角为 ,
AN CM
7
∵cos AN , CM

8
| AN || CM |
7
所以直线与夹角的余弦值等于− .
8
M
O
N
探究交流 考点八.求线面角
①空间向量法
例 7 如图 1.4-19，在棱长为 1 的正四面体（四个面都是正三角形）
点，求异面直线AN和CM所成角的余弦值.
三棱锥对棱相等，可以补成一个长方体，如图
解 : 如图建立空间直角坐标系O xyz.
2 2
2
2
则A(0, 0, 2), C ( 2, 7, 2), N (

两异面直线间的距离 ？
思考3：如何用空间向量解决这些距离问题呢
？ 空间两点间的距离
空间向量的模
空间中其它距离
垂直
? 勾股定理？
投影向量？
探究1：点与点间的距离
D' A'
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ5 D 3
A
4
C' B'
C B
探究2：点到直线的距离 几何(等面积法) 追问4：如何求两条平行直线之间的距离？
(1)建立空间直角坐标系； (2)求直线的单位方向向量； (3)求所求点与直线上某一点所构成的向量； (4)代入点线距公式求距离.
1、了解利用空间向量求点到直线、点到平面、直线到直线、直线到平面、 平面到平面的距离的基本思想，提升直观想象素养. 2、理解点到直线、点到平面距离的公式及其推导，提升直观想象、逻辑推 理素养. 3、体会向量方法在研究几何问题中的作用，提升逻辑推理和数学运算素养 . 重点：空间距离的向量表示，用向量方法解决空间距离等度量问题. 难点：建立空间距离与向量之间的关系，并将空间距离等度量问题转化为 空间向量问题.
法一：找出其公垂线，求公垂线段的长度.
z D1 C1
D xC
A1 M
B1
N
A
y
B
z D1 A1
D xA
C1
B1
C
y
B
直线与平面间的距离(直线与平面平行)
两个平行平面间的距离
α
教材练习
思考1：立体几何中有哪些距离问题?
两点间的距离
点到直线的距离 用
垂
两平行线之间的距离
直 刻
点到平面的距离
画
直线到平面的距离
两个平行平面间的距离

为主.
变式训练2如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1,A1A=5,AB=12,则直线B1C1到
平面A1BCD1的距离是( C )
A.5
B.8
60
C.
13
13
D.
3
解析 (方法 1)以 D 为坐标原点,, , 1 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的
正方向建立如图所示的空间直角坐标系,
G

,1,0
2
.
所以1 =(0,2,2),=(-a,0,0),=(0,2,-2).
所以1 ·=0+0+0=0,1 ·=0+4-4=0.
所以1 ⊥ , 1 ⊥ ,
所以B1D⊥AB,B1D⊥BD.
又AB∩BD=B,所以B1D⊥平面ABD.
(2)证明 由(1)可得=(-a,0,0),=(0,2,-2), =
(2)容易对公式推导过程的理解不清晰.
成果验收·课堂达标检测
A级
必备知识基础练
1.[探究点一][2023江苏徐州期末]已知直线l过点A(1,-1,-1),且方向向量为
m=(1,0,-1),则点P(1,1,1)到l的距离为( B )
A.2√2
B.√6
C.√3
D.√2
解析 ∵点 A(1,-1,-1),点 P(1,1,1),∴ =(0,2,2),
所以=2 , =2 ,所以 ∥ , ∥ .
所以GF∥AB,EF∥BD.
又GF∩EF=F,AB∩BD=B,
所以平面EGF∥平面ABD.

- 2 ,0,0
, =(0,1,-1),
(3)解 由(1)(2)知,1 是平面 EGF 和平面 ABD 的法向量.

FE
则(1,1, 1) (k, k,1 k) k k 1 k 3k 1 0,
D
所以k
1 3
,
点F的坐标为
1 3
,
1 3
,
2 3
.
A
G
C y
B
x
典型例题
又点E的坐标为
0,
1 2
,
1 2
,
所以FE
1 3
,
1 6
,

1 6
.
所以cos EFD
FE FD
1 3
,
1 6
,
1 6
cos cos n1, n2
n1 n2 n1 n2 n1 n2 n1 n2
典型例题
例 8 如图 1.4-22，在直棱柱 ABC A1B1C1 中，AC CB 2 ， AA1 3 ，ACB 900 ， P 为 BC 中点，Q，R 分别在棱 AA1 ，BB1 上，A1Q 2AQ ，BR 2RB1 .求平面 PQR 与 平面 A1B1C1 夹角的余弦值.
分析：因为降落伞匀速下落，所以降落伞8根绳子拉力的协 力的大小等于礼物重力的大小．8根绳子的拉力在水平面的 法向量方向上的投影向量的和向量与礼物的重力是一对相 反向量．
图1.4-24
典型例题
解：如图1.4 24, 设水平面的单位法向量为n, 其中每一根绳子的拉力
均为F .因为n, F 30,所以F在n上的投影向量为
A
G
B
x
(2) 求证：PB 平面EFD;
依题意得B(1,1, 0),
PB
(1,1,
1),
又 DE
0,
1 2
,
1 2
,

P l
α
如果两个平面 α，β 互相平行，可在其中一个平面 α 内任取一点 P， 将两个平行平面的距离转化为点 P 到平面 β 的距离求解
P
α
β
d 6 6
建立空间直角坐标系 Dxyz
B1(2 , 2 , 2) C(0 , 2 , 0) A1(2 , 0 , 2) B(2 , 2 , 0) D(0 , 0 , 0)
CD (0 , 2 , 0)
d | CD n | 2 2 3
|n|
33
正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 4，M，N，E，F 分别为A1D1，A1B1， C1D1，B1C1的中点，求平面 AMN 与平面 EFBD 间的距离．
d8 3
B1(2 , 2 , 2) C(0 , 2 , 0) D1(0 , 0 , 2)
d | CD n | 2 2 3
|n|
33
E 为 BC 的中点，求点 O 到直线 A1E 的距离 2
3
建立空间直角坐标系 Bxyz B(0 , 0 , 0) A1(4 , 0 , 1) C1(0 , 3 , 1)
BA1 (4 , 0 ,1) , A1C1 (4 , 3 , 0)
令 a BA1
(4 , 0 , 1)
, u A1C1 1 (4 , 3 , 0) | A1C1 | 5
B1C (2 , 0 , 2) , DA (2 , 0 , 2) , DB (2 , 2 , 0)
设面 A1BD的法向量为 n (x , y , z)
n
DA
2x
2z
0
n
(1
,
1
,
1)
n DB 2x 2 y 0
B1C n 0 B1C n 又B1C 面A1BD B1C// 面 A1BD 所求距离为 C 到面 A1BD 的距离