2016-2017学年甘肃省高考数学押题卷(理科)(一)(解析版) (15)

甘肃省2016年高考理科数学试题及答案(Word版)甘肃省2016年高考理科数学试题及答案第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知 $Z=(m+3)+(m-1)i$ 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 $m$ 的取值范围是（B）$(-1,3)$。

2.已知集合$A=\{1,2,3\}$，$B=\{x|(x+1)(x-2)<0,x\in Z\}$，则 $A\cup B=\{0,1,2,3\}$。

3.已知向量 $a=(1,m)$，$b=(3,-2)$，且 $(a+b)\perp b$，则$m=-8$。

4.圆 $x+y-2x-8y+13=0$ 的圆心到直线 $ax+y-1=0$ 的距离为1，则 $a=-\frac{2}{3}$。

5.如图，XXX从街道的 $E$ 处出发，先到 $F$ 处与小红回合，再一起到位于 $G$ 处的老年公寓参加志愿者活动，则XXX到老年公寓可以选择的最短路径条数为（D）$9$。

6.右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（B）$24\pi$。

7.若将函数 $y=2\sin^2x$ 的图像向左平移$\frac{\pi}{2}$ 个单位长度，则平移后的图像对称轴为$x=k\pi$，其中 $k\in Z$。

8.中国古代有计算多项式值得秦九韶算法，右图是实现该算法的。

执行该程序框图，若输入的 $x=2$，$n=2$，依次输入的 $a$ 为 $2$，$2$，$5$，则输入的 $s=17$。

9.若 $\cos\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)=\frac{4}{5}$，则$\sin2\alpha=-\frac{25}{27}$。

10.从区间 $[0,1]$ 随机抽取 $2n$ 个数$x_1,x_2,\ldots,x_n,y_1,y_2,\ldots,y_n$ 构成 $n$ 个数对$(x_1,y_1),\ldots$，其中两数的平方和小于 $1$ 的数对共有$m$ 个，则用随机模拟的方法得$(x_2,y_2),\ldots,(x_n,y_n)$ 到的圆周率 $\pi$ 的近似值为$\frac{4n^2}{4m^2+1}$。

2016年甘肃省高考理科数学试题与答案（满分150分，时间120分）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共24题，共5页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题 ，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知Z=（m+3）+（m-1）i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）（-3,1） （B ）（-1,3） （C ）()1,+∞ （D ）(),3-∞-（2）已知集合{}1,2,3A =，{}|(1)(2)0,B x x x x Z =+-<∈，则AB =（A ）{1} （B ）{1,2} （C ）{0,1,2,3} （D ）{-1,0,1,2,3}（3）已知向量a=（1，m ），b=（3，-2），且（a+b ）⊥b ，则m=（A ）-8 （B ）-6 （C ）6 （D ）8（4）圆22x +y -2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1，则a=（A ）4-3 （B ）3-4（C ）3 （D ）2 （5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小明回合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π （7）若将函数2sin 2y x = 的图像向左平移12π个单位长度，则平移后的图像对称轴为 （A ）()26k x k Z ππ=-∈（B ）()26k x k Z ππ=+∈ （C ）()212k x k Z ππ=-∈（D ）()212k x k Z ππ=+∈（8）中国古代有计算多项式值得秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图。

执行该程序框图，若输入的 x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输入的s=（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos （4π-α）=35，则sin2α= （A ）725 （B ）15 （C ）-15 （D ）-725（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数12,,...,nx x x ， 12,,...,n y y y 构成n 个数对11,x （y ），22,x （y ），…，,n n x （y ），其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n（11 1F ,2F 是双曲线E ：22221a x y b+=的左、右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，121sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为（A （B ）32（C （D ）2（12）已知函数f x ∈（）（R ）满足f x =f x （-）2-（），若函数x 1y=x+与y=f x （）图像的x 1y=f x x +（）交点为（1x ，1y ）；（2x ，2y ），…，（m x ，m y ），则1()mi i i x y =+=∑ （A ）0 (B)m (C)2m (D)4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

2016年甘肃省白银市高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．设集合A={x|x2﹣2x≤0}，B={x|﹣4≤x≤0}，则A∩∁R B=（）A．R B．{x∈R|X≠0} C．{x|0＜x≤2} D．∅2．求z=的值为（）A．﹣i B．i C．D．3．如图，大正方形靶盘的边长为5，四个全等的直角三角形围成一个小正方形，即阴影部分．较短的直角边长为3，现向大正方形靶盘投掷飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率为（）A．B．C．D．4．已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）5．函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数为（）A．3 B．2 C．1 D．06．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．96 B．C．D．7．已知双曲线的一个顶点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（）A．﹣y2=1 B．x2﹣=1 C．﹣=1 D．5x2﹣=18．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（）A．a=4 B．a=5 C．a=6 D．a=79．四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．若AB=2，则球O的表面积为（）A．4πB．12πC．16πD．32π10．已知sinφ=，且φ∈（，π），函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则f（）的值为（）A．﹣B．﹣C．D．11．设双曲线的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于（）A．B．2 C．D．12．已知函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4﹣x），且当x≠2时其导函数f′（x）满足xf′（x）＞2f′（x），若2＜a＜4则（）A．f（2a）＜f（3）＜f（log2a）B．f（3）＜f（log2a）＜f（2a）C．f（log2a）＜f（3）＜f（2a）D．f（log2a）＜f（2a）＜f（3）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在△ABC中，|+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E，F为BC的三等分点，则•=．14．若实数x，y满足不等式组，则z=2y﹣|x|的最小值是．15．若（4+）n的展开式中各项系数之和为125，则展开式的常数项为．16．设a1=2，a n+1=，b n=||，n∈N*，则数列{b n}的通项公式b n=．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB=1，，，．（Ⅰ）求sin∠BAC；（Ⅱ）求DC的长．18．人们常说的“幸福感指数”就是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0，10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高．为了解某地区500（Ⅰ）在图中绘出频率分布直方图，并估算该地区居民幸福感指数的平均值；（Ⅱ）如果居民幸福感指数不小于6，则认为其幸福．为了进一步了解居民的幸福满意度，调查组又在该地区随机抽取4对夫妻进行调查，用X表示他们之中幸福夫妻（夫妻二人都感到幸福）的对数，求X的分布列及期望（以样本的频率作为总体的概率）．19．如图，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=AP=2，D是AP的中点，E，G分别为PC，CB的中点，将三角形PCD沿CD折起，使得PD垂直平面ABCD．（Ⅰ）若F是PD的中点，求证：AP∥平面EFG；（Ⅱ）当二面角G﹣EF﹣D的大小为时，求FG与平面PBC所成角的余弦值．20．已知椭圆M的中心为坐标原点，且焦点在x轴上，若M的一个顶点恰好是抛物线y2=8x的焦点，M的离心率，过M的右焦点F作不与坐标轴垂直的直线l，交M于A，B两点．（1）求椭圆M的标准方程；（2）设点N（t，0）是一个动点，且，求实数t的取值范围．21．设函数f（x）=+xlnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．（1）讨论函数h（x）=的单调性；（Ⅱ）如果存在x1，x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；（Ⅲ）如果对任意的s，t，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，△ACD的外接圆交BC于点E，AB=2AC．（Ⅰ）求证：BE=2AD；（Ⅱ）当AC=1，EC=2时，求AD的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，已知圆C的圆心C（，），半径r=．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）若α∈[0，），直线l的参数方程为（t为参数），直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣a|+2|x+1|．（1）当a=2时，解不等式f（x）＞4．（2）若不等式f（x）＜3x+4的解集是{x|x＞2}，求a的值．2016年甘肃省白银市高考数学模拟试卷（理科）（4月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．设集合A={x|x2﹣2x≤0}，B={x|﹣4≤x≤0}，则A∩∁R B=（）A．R B．{x∈R|X≠0} C．{x|0＜x≤2} D．∅【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，根据全集R求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：由A中的不等式解得：0≤x≤2，即A={x|0≤x≤2}，∵B={x|﹣4≤x≤0}，∴∁R B={x|x＜﹣4或x＞0}，则A∩（∁R B）={x|0＜x≤2}．故选：C．2．求z=的值为（）A．﹣i B．i C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，则答案可求．【解答】解：z==，则z的值为：﹣i．故选：A．3．如图，大正方形靶盘的边长为5，四个全等的直角三角形围成一个小正方形，即阴影部分．较短的直角边长为3，现向大正方形靶盘投掷飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】根据题意，图中的直角三角形的斜边长为5且短直角边长为3，利用勾股定理算出长直角边长为4，从而得到小正方形的边长．最后利用几何概型计算公式，用小正方形的面积除以大正方形的面积，即得所求概率．【解答】解：∵大正方形靶盘的边长为5，即直角三角形的斜边等于5∴根据较短的直角边长为3，可得另一条直角边长为=4由此可得图中的小正方形的边长为4﹣3=1，∴阴影部分小正方形的面积为S=1×1=1∵大正方形的面积为S'=5×5=25∴飞镖落在阴影区域的概率为P==故选：A4．已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）【考点】等比数列的前n项和．【分析】由已知可知，数列{a n}是以﹣为公比的等比数列，结合已知可求a1，然后代入等比数列的求和公式可求【解答】解：∵3a n+1+a n=0∴∴数列{a n}是以﹣为公比的等比数列∵∴a1=4由等比数列的求和公式可得，S10==3（1﹣3﹣10）故选C5．函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】本题考查的知识点是指数函数的图象，要求函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数，我们画出函数的图象后，利用数形结合思想，易得到答案．【解答】解：在同一坐标系下，画出函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象如图：由图可知，两个函数图象共有2个交点6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．96 B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为边长为4的正方体挖去一个圆锥得到的．【解答】解：由三视图可知几何体为边长为4的正方体挖去一个圆锥得到的，圆锥的底面半径为2，高为2，∴圆锥的母线长为2．∴几何体的平面部分面积为6×42﹣π×22=96﹣4π．圆锥的侧面积为=4．∴几何体的表面积为96﹣4π+4．故选：C．7．已知双曲线的一个顶点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（）A．﹣y2=1B．x2﹣=1 C．﹣=1 D．5x2﹣=1【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的方程算出其焦点为（1，0），从而得出双曲线的右焦点为F（1，0）．再设出双曲线的方程，利用离心率的公式和a、b、c的平方关系建立方程组，解出a、b的值即可得到该双曲线的方程．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标为⇔（1，0），∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个顶点与抛物线y2=4x的焦点重合，∵双曲线的离心率等于，∴e==，∴c=，∴b2=c2﹣a2=4，∴x2﹣=1，故选：B．8．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（）A．a=4 B．a=5 C．a=6 D．a=7【考点】程序框图．【分析】根据已知流程图可得程序的功能是计算S=1++…+的值，利用裂项相消法易得答案．【解答】解：由已知可得该程序的功能是计算并输出S=1++…+=1+1﹣=2﹣．若该程序运行后输出的值是，则2﹣=．∴a=4，故选A．9．四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．若AB=2，则球O的表面积为（）A．4πB．12πC．16πD．32π【考点】球的体积和表面积．【分析】取CD的中点E，连结AE，BE，作出外接球的球心，求出半径，即可求出表面积．【解答】解：取CD的中点E，连结AE，BE，∵在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．∴Rt△ABC≌Rt△ABD，△ACD是等腰三角形，△BCD的中心为G，作OG∥AB交AB的中垂线HO于O，O为外接球的中心，BE=，BG=，∴R=2．四面体ABCD外接球的表面积为：4πR2=16π．故选：C．10．已知sinφ=，且φ∈（，π），函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则f（）的值为（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】正弦函数的图象．【分析】由周期求出ω，由条件求出cosφ的值，从而求得f（）的值．【解答】解：根据函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，可得==，∴ω=2．由sinφ=，且φ∈（，π），可得cosφ=﹣，∴则f（）=sin（+φ）=cosφ=﹣，故选：B．11．设双曲线的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于（）A．B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于0，找到a和b的关系，从而推断出a和c的关系，答案可得．【解答】解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得ax2﹣bx+a=0，因渐近线与抛物线相切，所以b2﹣4a2=0，即，故选择C．12．已知函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4﹣x），且当x≠2时其导函数f′（x）满足xf′（x）＞2f′（x），若2＜a＜4则（）A．f（2a）＜f（3）＜f（log2a）B．f（3）＜f（log2a）＜f（2a）C．f（log2a）＜f（3）＜f（2a）D．f（log2a）＜f（2a）＜f（3）【考点】抽象函数及其应用；导数的运算．【分析】由f（x）=f（4﹣x），可知函数f（x）关于直线x=2对称，由xf′（x）＞2f′（x），可知f（x）在（﹣∞，2）与（2，+∞）上的单调性，从而可得答案．【解答】解：∵函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4﹣x），∴f（x）关于直线x=2对称；又当x≠2时其导函数f′（x）满足xf′（x）＞2f′（x）⇔f′（x）（x﹣2）＞0，∴当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）在（2，+∞）上的单调递增；同理可得，当x＜2时，f（x）在（﹣∞，2）单调递减；∵2＜a＜4，∴1＜log2a＜2，∴2＜4﹣log2a＜3，又4＜2a＜16，f（log2a）=f（4﹣log2a），f（x）在（2，+∞）上的单调递增；∴f（log2a）＜f（3）＜f（2a）．故选C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在△ABC中，|+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E，F为BC的三等分点，则•=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，得到三角形为直角三角形，由、求出，，即可求出•的值．【解答】解：由于在△ABC中，|+|=|﹣|，则∠BAC=90°，由于E，F为BC的三等分点，则=﹣，=，，又有=，=，则=，=，又由AB=2，AC=1，故•==故答案为：．14．若实数x，y满足不等式组，则z=2y﹣|x|的最小值是﹣．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用平移法进行判断即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2y﹣|x|得y=|x|+z，平移y=|x|+z，由图象知当y=|x|+z经过点A时，z最小，此时z最小，由得，即A（﹣，0），此时z=﹣|﹣|=﹣，故答案为：﹣．15．若（4+）n的展开式中各项系数之和为125，则展开式的常数项为48．【考点】二项式定理的应用．【分析】令x=1，可得的展开式中各项系数之和为5n=125，求出n，利用二项展开式的通项公式求出常数项．【解答】解：令x=1，可得的展开式中各项系数之和为5n=125，所以n=3，则二项展开式的通项为T r+1=•x﹣r=，令=0，得r=1，故二项展开式的常数项为×42=48．故答案为：48．16．设a1=2，a n+1=，b n=||，n∈N*，则数列{b n}的通项公式b n=2n+1，n∈N*．【考点】数列递推式．【分析】根据递推关系，分别求出b1，b2，b3，b4的值，由此猜想b n=2n+1，并用数学归纳法证明即可．【解答】解：a1=2，a n+1=，b n=||，n∈N，当n=1时，b1==4=22，a2==，当n=2时，b2==8=23，a3==，当n=3时，b3=||=16=24，a4==，则b3=32=24，由此猜想b n=2n+1，用数学归纳法证明，①当n=1时，成立，②假设当n=k时成立，即b k+1=2k+2，∵a k+1=，b k=||，∴b k+1=||=||=||=2b k=2k+2，故当n=k+1时猜想成立，由①②可知，b n=2n+1，n∈N*．故答案为：2n+1，n∈N*．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB=1，，，．（Ⅰ）求sin∠BAC；（Ⅱ）求DC的长．【考点】正弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知及余弦定理可求BC的值，利用正弦定理即可得解sin∠BAC的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）利用诱导公式可求cos∠CAD，从而利用同角三角函数基本关系式可求sin∠CAD，进而利用两角和的正弦函数公式可求sinD的值，由正弦定理即可得解DC的值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理得：AC2=BC2+BA2﹣2BC•BAcosB，即BC2+BC﹣6=0，解得：BC=2，或BC=﹣3（舍），由正弦定理得：．（Ⅱ）由（Ⅰ）有：，，所以，由正弦定理得：．（其他方法相应给分）18．人们常说的“幸福感指数”就是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0，10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高．为了解某地区500（Ⅰ）在图中绘出频率分布直方图，并估算该地区居民幸福感指数的平均值；（Ⅱ）如果居民幸福感指数不小于6，则认为其幸福．为了进一步了解居民的幸福满意度，调查组又在该地区随机抽取4对夫妻进行调查，用X表示他们之中幸福夫妻（夫妻二人都感到幸福）的对数，求X的分布列及期望（以样本的频率作为总体的概率）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；众数、中位数、平均数．【分析】（1）由调查数据能作出频率分布直方图，并能求出该地区居民幸福感指数的平均值．（2）由已知条件得到X的可能取值为0，1，2，3，4，且X～B（4，0.3），由此能求出X 的分布列和期望．【解答】（本小题满分12分）解：（1）频率分布直方图如右图．…所求的平均值为0.01×2×1+0.015×2×3+0.2×2×5+0.15×2×7+0.125×2×9=6.46…（2）男居民幸福的概率为：=0.5．女居民幸福的概率为：=0.6，故一对夫妻都幸福的概率为：0.5×0.6=0.3…因此X的可能取值为0，1，2，3，4，且X～B（4，0.3）于是…∴E（X）=np=4×0.3=1.2…19．如图，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=AP=2，D是AP的中点，E，G分别为PC，CB的中点，将三角形PCD沿CD折起，使得PD垂直平面ABCD．（Ⅰ）若F是PD的中点，求证：AP∥平面EFG；（Ⅱ）当二面角G﹣EF﹣D的大小为时，求FG与平面PBC所成角的余弦值．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）F是PD的中点时，推导出AB∥平面EFG，从而得到平面PAB∥平面EFG，由此能证明AP∥平面EFG．（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法能求出FG与平面PBC所成角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：F是PD的中点时，EF∥CD∥AB，EG∥PB，∴AB∥平面EFG，PB∥平面EFG，AB∩PB=B，∴平面PAB∥平面EFG，AP⊂平面PAB，∴AP∥平面EFG．…（Ⅱ）解：建立如图所示的坐标系，则有G（1，2，0），C（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），设F（0，0，a），∴，，设平面EFG的法向量，则有，取z=1，得．又平面EFD的法向量，∵二面角G﹣EF﹣D的大小为时，∴cos＜＞=，解得a=1，∴，设平面PBC的法向量，∵，，则有，取q=1，得．设FG与平面PBC所成角为θ，则有sinθ=|cos＜＞|==，∴cosθ==．∴FG与平面PBC所成角的余弦值为．…20．已知椭圆M的中心为坐标原点，且焦点在x轴上，若M的一个顶点恰好是抛物线y2=8x的焦点，M的离心率，过M的右焦点F作不与坐标轴垂直的直线l，交M于A，B两点．（1）求椭圆M的标准方程；（2）设点N（t，0）是一个动点，且，求实数t的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由题意可求a，由=可求c，然后由b2=a2﹣c2可求b，进而可求椭圆方程（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），设l：x=my+1（m≠0），联立直线与椭圆方程，根据方程的根与系数关系可求y1+y2，由可得|NA|=|NB|，利用距离公式，结合方程的根与系数关系可得，结合二次函数的性质可求t的范围【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线y2=8x的焦点F（2，0）∴a=2∵=∴c=1∴b2=a2﹣c2=3∴椭圆M的标准方程：（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），设l：x=my+1（m∈R，m≠0）联立方程可得（3m2+4）y2+6my﹣9=0由韦达定理得①∵∴|NA|=|NB|∴=∴将x1=my1+1，x2=my2+1代入上式整理得：，由y1≠y2知（m2+1）（y1+y2）+m（2﹣2t）=0，将①代入得所以实数t21．设函数f（x）=+xlnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．（1）讨论函数h（x）=的单调性；（Ⅱ）如果存在x1，x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；（Ⅲ）如果对任意的s，t，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求导函数，分类讨论，利用导数的正负，即可确定函数的单调区间；（Ⅱ）如果存在x1，x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立，等价于：[g（x1）﹣g（x2）]max≥M，求出函数的最值，即可求满足条件的最大整数M；（Ⅲ）当x时，恒成立，等价于a≥x﹣x2lnx恒成立，求右边的最值，即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ），，…①a≤0，h'（x）≥0，函数h（x）在（0，+∞）上单调递增…②a＞0，，函数h（x）的单调递增区间为，，函数h（x）的单调递减区间为…（Ⅱ）存在x1，x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立，等价于：[g（x1）﹣g（x2）]max≥M，…考察g（x）=x3﹣x2﹣3，，…2…由上表可知：，∴[g（x1）﹣g（x2）]max=g（x）max﹣g（x）min=，…所以满足条件的最大整数M=4；…（Ⅲ）当x时，恒成立，等价于a≥x﹣x2lnx恒成立，…记h（x）=x﹣x2lnx，所以a≥h max（x）又h′（x）=1﹣2xlnx﹣x，则h′（1）=0．记h'（x）=（1﹣x）﹣2lnx，，1﹣x＞0，xlnx＜0，h'（x）＞0即函数h（x）=x﹣x2lnx在区间上递增，记h'（x）=（1﹣x）﹣2lnx，x∈（1，2]，1﹣x＜0，xlnx＞0，h'（x）＜0即函数h（x）=x﹣x2lnx在区间（1，2]上递减，∴x=1，h（x）取到极大值也是最大值h（1）=1…∴a≥1…[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，△ACD的外接圆交BC于点E，AB=2AC．（Ⅰ）求证：BE=2AD；（Ⅱ）当AC=1，EC=2时，求AD的长．【考点】圆內接多边形的性质与判定．【分析】（Ⅰ）利用圆的内接四边形得到三角形相似，进一步得到线段成比例，最后求出结果．（Ⅱ）利用上步的结论和割线定理求出结果．【解答】证明：（Ⅰ）连接DE，由于四边形DECA是圆的内接四边形，所以：∠BDE=∠BCA∠B是公共角，则：△BDE∽△BCA．则：，又：AB=2AC所以：BE=2DE，CD是∠ACB的平分线，所以：AD=DE，则：BE=2AD．（Ⅱ）由于AC=1，所以：AB=2AC=2．利用割线定理得：BD•AB=BE•BC，由于：BE=2AD，设AD=t，则：2（2﹣t）=（2+2t）•2t解得：t=，即AD的长为．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，已知圆C的圆心C（，），半径r=．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）若α∈[0，），直线l的参数方程为（t为参数），直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．【考点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）先利用圆心坐标与半径求得圆的直角坐标方程，再利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆C的极坐标方程．（Ⅱ）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则|AB|=|t1﹣t2|，化为关于α的三角函数求解．【解答】解：（Ⅰ）∵C（，）的直角坐标为（1，1），∴圆C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=3．化为极坐标方程是ρ2﹣2ρ（cosθ+sinθ）﹣1=0 …（Ⅱ）将代入圆C的直角坐标方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=3，得（1+tcosα）2+（1+tsinα）2=3，即t2+2t（cosα+sinα）﹣1=0．∴t1+t2=﹣2（cosα+sinα），t1•t2=﹣1．∴|AB|=|t1﹣t2|==2．∵α∈[0，），∴2α∈[0，），∴2≤|AB|＜2．即弦长|AB|的取值范围是[2，2）…[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣a|+2|x+1|．（1）当a=2时，解不等式f（x）＞4．（2）若不等式f（x）＜3x+4的解集是{x|x＞2}，求a的值．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）分类讨论，去掉绝对值，化为与之等价的三个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）由题意可得，x=2是方程f （x ）=3x+4的解，即|2﹣a|+6=6+4，求得a=6，或 a=﹣2．检验可得结论．【解答】解：（1）当a=2时，不等式f （x ）＞4，即|x ﹣2|+2|x+1|＞4，∴①，或 ②，或 ③．解①求得x ＜﹣，解②求得x ＞0，解③求得x ≥2，故原不等式的解集为{x|x ＜﹣，或 x ＞0}．（2）不等式f （x ）＜3x+4，即|x ﹣a|+2|x+1|＜3x+4，∵不等式f （x ）＜3x+4的解集是{x|x ＞2}，故x=2是方程f （x ）=3x+4的解，即|2﹣a|+6=6+4，求得a=6，或 a=﹣2．当a=6时，求得f （x ）＜3x+4的解集是{x|x ＞2}，满足题意；当a=﹣2时，求得f （x ）＜3x+4的解集不是{x|x ＞2}，不满足题意，故a=﹣2应该舍去． 综上可得，a=6．2016年6月24日。

绝密★启用前【全国卷】2016年高考数学(理)押题精粹试卷数学试卷考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号一二三四总分得分注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上评卷人得分一、单选题1、(10分)过抛物线焦点的直线交其于两点,为坐标原点.若,则的面积为( )A.B.C.D.2、(10分)《九章算术》之后,人们学会了用等差数列的知识来解决问题,《张丘建算经》卷上第22题为:“今有女善织,日益功疾(注:从第2天开始,每天比前一天多织相同量的布),第一天织5尺布,现一月(按30天计)共织390尺布”,则从第2天起每天比前一天多织( )尺布.A.B.C.D.3、(10分)若,则的值是( )A.-2B.-3C.125D.-1314、(10分)执行如图所示的程序框图,输出的结果的值是( )A.B.C.D.5、(10分)函数部分图象如图所示,对不同的,若,有,则( )A.在上是减函数B.在上是减函数C.在上是增函数D.在上是增函数6、(10分)已知集合则等于( ) A.B.C.D.7、(10分)已知复数的实部为-1,则复数在复平面上对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限8、(10分)若复数满足,则的实部为( )A.B.C.D.9、(10分)下列函数中,既是奇函数又在区间上是减函数的是( )A.B.C.D.10、(10分)若是图象上不同两点,则下列各点一定在图象上的是( )A.B.C.D.11、(10分)双曲线的顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为( ) A.B.C.D.12、(10分)在区间[-1,1]内随机取两个实数,则满足的概率是( )A.B.C.D.13、(10分)一个算法的程序框图如下图所示,若输入的值为2016,则输出的值为( )A.3B.4C.5D.614、(10分)若向量满足,与的夹角为,在上的投影等于( )A.B.C.D.15、(10分)不等式组的解集记为有下面四个命题:其中的真命题是( )A.B.C.D.16、(10分)“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如下图,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其主视图和侧视图完全相同时,它的俯视图可能是( )A.B.C.D.17、(10分)一个几何体的三视图如图所示(单位:),则该几何体的体积是( )A.B.C.D.18、(10分)若数列满足(为常数),则称数列为调和数列.已知数列为调和数列,且,则等于( )A.10B.20C.30D.4019、(10分)在某次联考测试中,学生数学成绩,若则等于( )A.0.05B.0.1C.0.15D.0.220、(10分)由1,2,3,0组成没有重复数字的三位数,其中0不在个位上,则这些三位数的和为( )A.2544B.1332C.2532D.132021、(10分)已知若,则等于( )A.-2B.-1C.0D.122、(10分)设点、分别是双曲线的右顶点、右焦点,直线交该双曲线的一条渐近线于点.若是等腰三角形,则此双曲线的离心率为( )A.B.C.D.23、(10分)已知圆,圆,椭圆的焦距为,若圆都在椭圆内,则椭圆离心率的范围是( )A.B.C.D.24、(10分)已知向量、、满足,,,、分别是线段、的中点.若,则向量与向量的夹角为( )A.B.C.D.25、(10分)已知函数满足条件:对于,唯一的,使得.当成立时,则实数( )A.B.C.D.26、(10分)函数的图象大致为( )A.B.C.D.27、(10分)已知定义在上的函数,为其导数,且恒成立,则( )A.B.C.D.28、(10分)若过点与曲线相切的直线有两条,则实数的取值范围是( ) A.B.C.D.29、(10分)已知四边形的对角线相交于一点,,则的最小值是( )A.2B.4C.-2D.-430、(10分)定义在上的函数对任意都有,且函数的图象关于成中心对称,若满足不等式,则当时,的取值范围是( )A.B.C.D.评卷人得分二、填空题31、(10分)用表示自然数的所有因数中最大的那个奇数,例如:9的因数有1,3,9,的因数有1,2,5,10,,那么_______________.32、(10分)已知边长为3的正的三个顶点都在球的表面上,且与平面所成的角为,则球的表面积为________.33、(10分)设,当实数满足不等式组时,目标函数的最大值等于2,则的值是_______.34、(10分)已知数列中,对任意的,若满足(为常数),则称该数列为4阶等和数列,其中为4阶公和;若满足(为常数),则称该数列为3阶等积数列,其中为3阶公积,已知数列为首项为1的4阶等和数列,且满足;数列为公积为1的3阶等积数列,且,设为数列的前项和,则.评卷人得分三、解答题35、(10分)在中,,过点的直线与其外接网交于点, 交延长线于点.1.求证:;2.若,求的值.36、(10分)正方形与梯形所在平面互相垂直,,点在线段上且不与重合.1.当点是中点时,求证:平面;2.当平面与平面所成锐二面角的余弦值为时,求三棱锥的体积.37、(10分)已知点是椭圆的右焦点,点、分别是轴、轴上的动点,且满足.若点满足.1.求点的轨迹的方程;2.设过点任作一直线与点的轨迹交于、两点,直线、与直线分别交于点、(为坐标原点),试判断是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.38、(10分)已知函数.1.讨论的单调性;2.若对任意恒成立,求实数的取值范围(为自然常数);3.求证:.39、(10分)已知曲线的极坐标方程是.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线的参数方程是(为参数).1.将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程;2.若直线与曲线相交于、两点,且,求直线的倾斜角的值.40、(10分)在以直角坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴的极坐标系下,曲线的方程是,将向上平移1个单位得到曲线.1.求曲线的极坐标方程;2.若曲线的切线交曲线于不同两点,切点为.求的取值范围.41、(10分)在中,角所对的边分别为,已知.1.求;2.若,的面积,求.42、(10分)如图,在中,点在边上,.1.求的值;2.若的面积为7,求的长.43、(10分)已知公差不为0的等差数列中,,且成等比数列.1.求数列通项公式;2.设数列满足,求适合方程的正整数的值.44、(10分)设,数列的前项和为,已知,成等比数列.1.求数列的通项公式;2.若数列满足,求数列的前项和.45、(10分)近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇,2015年双11期间,某购物平台的销售业绩高达918亿人民币.与此同时,相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出200次成功交易,并对其评价进行统计,对商品的好评率为0.6,对服务的好评率为0.75,其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.1.能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为商品好评与服务好评有关?2.若将频率视为概率,某人在该购物平台上进行的5次购物中,设对商品和服务全好评的次数为随机变量:①求对商品和服务全好评的次数的分布列(概率用组合数算式表示);②求的数学期望和方差.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828(,其中)46、(10分)已知函数,且的解集满足.1.求实数的取值范围;2.若,为中的最小元素且, 求证:.47、(10分)某市组织高一全体学生参加计算机操作比赛,等级分为1至10分,随机调阅了、两所学校各60名学生的成绩,得到样本数据如下:A校样本数据条形图B校样本数据统计表成绩(分)12345678910人数(个)0009122196301.计算两校样本数据的均值和方差,并根据所得数据进行比较;2.记事件为“校学生计算机优秀成绩高于校学生计算机优秀成绩”.假设7分或7分以上为优秀成绩,两校学生计算机成绩相互独立.根据所给样本数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求事件的概率.48、(10分)设函数的最大值为.1.求;2.若,求的最大值.49、(10分)已知函数.(常数且).1.证明:当时,函数有且只有一个极值点;2.若函数存在两个极值点,证明:且.50、(10分)如图,已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面,平面平面,且,且.1.设点为棱中点,求证:平面;2.线段上是否存在一点,使得直线与平面所成角的正弦值等于?若存在,试确定点的位置;若不存在,请说明理由.51、(10分)以椭圆的离心率为,以其四个顶点为顶点的四边形的面积等于.1.求椭圆的标准方程;2.过原点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点,是椭圆的右顶点,直线分别与轴交于点,问:以为直径的圆是否恒过轴上的定点?若恒过轴上的定点,请求出该定点的坐标;若不恒过轴上的定点,请说明理由.评卷人得分四、证明题52、(10分)如图所示,两个圆相内切于点,公切线为,外圆的弦,分别交内圆于、两点,并且外圆的弦恰切内圆于点.1.证明:;2.证明:.参考答案：一、单选题1.答案：C解析：设直线的倾斜角为及,∵, ∴点到准线的距离为3,∴,即,则.∵,∴∴的面积为2.答案：D解析：设从第2天起每天比前一天多织尺布, 则由题意知解得3.答案：C解析：令,得;令,得,即.又,所以,故选C.4.答案：A解析：由程序框图知:;……,可知出现周期为4,当时,结束循环输出,即输出的.5.答案：C解析：由图可知,又由,知函数的图象关于直线对称,所以.由五点法作图,得,所以,则,即,所以,所以,在上,,所以在上是增函数,故选C.6.答案：B解析：得,7.答案：C解析：,则由,得,所以,所以,其在复平面上对应点为,位于第三象限.8.答案：A解析：由,得,所以的实部为,故选A.9.答案：B解析：选项C、D不是奇函数,在上都是增函数,只有选项B符合.10.答案：C解析：因为在图象上,所以所以,因此在图象上,故选C.11.答案：A解析：∵顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为12.答案：D解析：由题意知表示的区域为边长为2的正方形,面积为4,满足的区域即为图中阴影部分,面积为,所以所求概率为,故选D.13.答案：A解析：运转程序,结束,输出14.答案：C解析：在上的投影为15.答案：D解析：可行域如图所示,所以所以,故正确,故答案为D.16.答案：B解析：由直观图可知俯视图应为正方形,排除A,C,又上半部分相邻两曲面的交线看得见,在俯视图中应为实线,故选B.17.答案：A解析：该几何体是棱长为2的正方体截去一个三棱锥后所得的多面体,其体积为18.答案：B解析：∵数列为调和数列,∴,∴是等差数列.又∵又∵.19.答案：B解析：由题意知,则由正态分布图象的对称性可知,,故选B.20.答案：A解析：分两种情况:(1)所有不含0的三位数的和为,(2)含0且0只能在十位上的三位数的和为, 那么可得符合条件的这些三位数之和为.21.答案：A解析：因为,所以,所以,所以22.答案：D解析：显然,所以由是等腰三角形得.易知,所以,解得.故选D.23.答案：B解析：由题意,得圆的圆心分别为和,半径均为,满足题意的圆与椭圆的临界位置关系如图所示,则知要使圆都在椭圆内,则需满足不等式,所以离心率,故选B.24.答案：A解析：.由,可得,所以,从而.故选A.25.答案：D解析：由题设条件对于,存在唯一的,使得知在和上单调,得,且.由有,解之得,故,选D.26.答案：D解析：当时,,所以,排除B、C;当时,由于函数比随的增长速度快,所以随的增大,的变化也逐渐增大,排除A,故选D.27.答案：C解析：因为,所以,则由得,即.令,则,所以在上递减,所以,即,即,故选C.28.答案：B解析：设切点为,则切线斜率,所以切线方程为,把代入得,整理得,显然,所以,设,则问题转化为直线与函数图象有两个不同交点,由,可得在递增,递减,在处取得极大值,结合图象,可得,故选B.29.答案：C解析：取,则;设,则所以,求得,当且时,取到最小值-2,此时四边形的对角线恰好相交于一点,故选C.30.答案：D解析：不妨设,则.由,知,即,所以函数为减函数.因为函数的图象关于成中心对称,所以为奇函数,所以,所以,即.因为,而在条件下,易求得,所以,所以,所以,即,故选D.二、填空题31.答案：解析：由的定义易知当为偶数时,,且当为奇数时,.令,则,即,分别取为1,2,...,并累加得.又,所以,所以.令,得. 32.答案：解析：设正的外接圆圆心为, 易知,在中,,故球的表面积为.33.答案：解析：根据不等式组画出可行域为图中阴影部分,目标函数可写为,因为,所以,将函数的图象平移经过可行域时,在点处取最大值,此时,所以有,解得.34.答案：-2520解析：由题意可知,,,……,又∵是4阶等和数列,因此该数列将会照此规律循环下去,同理,,,……,又∵是3阶等积数列,因此该数列将会照此规律循环下去,由此可知对于数列,每12项的和循环一次,易求出,因此中有168组循环结构,故.三、解答题35.答案：1.连结,∵四边形内接于圆,∴又∴又∵2.连结,∵四边形内接于圆,∴又∴又∵连结,∵又∵四边形内接于圆,从而,又又∵36.答案：1.由题意:以点为坐标原点,方向为轴,为轴,为轴建立空间直角坐标系,则, ∴,平面的一个法向量,∵,∴,即平面.2.解析：设,故点, 设平面的一个法向量,则.令,则,易知平面的一个法向量, ∵,解得,∴为的中点,,到面的距离,∴37.答案：1.2.的值是定值,且定值为0.解析：1.∵椭圆右焦点的坐标为,∴.∵,∴由,得.设点的坐标为,由,有,代入,得.2.(法一)设直线的方程为、, 则. 由得,同理得.∴,则. 由,得则.因此,的值是定值,且定值为0.(法二)①当时, 、,则,由得点的坐标为,则.由得点的坐标为,则.∴ .②当不垂直轴时,设直线的方程为、,同解法一,得.由,得. 则.因此,的值是定值,且定值为0.38.答案：1.当时,的单调增区间为,单调减区间为;当时,的单调增区间为,单调减区间为.2.令若,在上是增函数,无解.若,在上是减函数;在上是增函数,若,在上是减函数,,综上所述3.令(或),此时,所以,由1知在上单调递增,∴当时,,即,∴对一切成立,∵,则有,要证,只需证所以原不等式成立39.答案：1.2.或解析：1.由得.∵,,,∴曲线的直角坐标方程为,即.2.将代入圆的方程得,化简得.设两点对应的参数分别为、,则∴.∴,,或.40.答案： 1.依题,因,所以曲线的直角坐标下的方程为, 所以曲线的直角坐标下的方程为,又,所以,即曲线的极坐标方程为.2.(解法一)由题令,切线的倾斜角为,所以切线的参数方程为: (为参数).联立的直角坐标方程得,,即由直线参数方程中,的几何意义可知, ,因为所以.(解法二)设点,则由题意可知当时,切线与曲线相交,由对称性可知,当时斜线的倾斜角为,则切线的参数方程为:(为参数),与的直角坐标联立方程,得,则,因为,所以.此题也可根据图形的对称性推出答案41.答案：1.2.解析：1.由得即,亦即,∴∵,∴,∵,∴2.由1得.由,得.①由余弦定理,得, 即.∴.②,将①代入②,得,∴.42.答案：1.2.解析：1.因为,所以.又因为所以所以.2.在中,由正弦定理得,故.又解得.在中,由余弦定理得43.答案：1.2.10解析：1.设等差数列的公差为,由,得解得或(舍),故2.由1知,依题有解得44.答案：1.2.解析：1.由得:, ∴数列是以为首项,2为公差的等差数列,由成等比数列得,解得,∴.2.由1可得,∴即①,②,①-②可得∴.45.答案：1.由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表如下:对服务好评对服务不满意合计对商品好评8040120对商品不满意701080合计15050200故能在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为商品好评与服务好评有关.2.①每次购物时,对商品和服务都好评的概率为,且的取值可以是0,1,2,3,4,5. 其中;.的分布列为:012345②由于,则46.答案：1.因为所以等价于,由知是非空集合,所以,结合可得,即实数的取值范围是2.由1知,所以47.答案：1.2.解析：1.从校样本数据的条形图可知:成绩分别为4分、5分、6分、7分、8分、9分的学生分别有:6人、15人、21人、12人、3人、3人.校样本的平均成绩为(分),校样本的方差为.从校样本数据统计表可知:校样本的平均成绩为(分),校样本的方差为.因为所以两校学生的计算机成绩平均分相同,又因为,所以校的学生的计算机成绩比较稳定,总体得分情况比校好.2.记表示事件“校学生计算机成绩为8分或9分”,表示事件“校学生计算机成绩为9分”,表示事件“校学生计算机成绩为7分”,表示事件“校学生计算机成绩为8分”,则与独立,与独立,与互斥,..由所给数据得,,,发生的概率分别为,故.48.答案：1.2.1解析：1.当时,;当时,;当时,,故当时,取得最大值.2.因为,当且仅当时取等号,此时取得最大值1.49.答案：1.依题意,令,则.①当时,,,故,所以在上不存在零点,则函数在不存在极值点;②当时,由,故在上单调递增. 又,,所以在有且只有一个零点.又注意到在的零点左侧,,在的零点右侧,,所以函数在有且只有一个极值点.综上所述,当时,函数在内有且只有一个极值点.2.因为函数存在两个极值点(不妨设),所以是的两个零点,且由1知,必有.令得;令得;令得.所以在单调递增,在单调递减,又因为,所以必有.令,解得,此时.因为是的两个零点,所以,. 将代数式视为以为自变量的函数, 则.当时,因为,所以,则在单调递增.因为,所以,又因为,所以.当时,因为,所以,则在单调递减,因为,所以.综上知,且.50.答案：1.证明:(方法一)由已知,平面平面,且,则平面,所以两两垂直,故以为原点,分别为轴,轴,轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.则,所以.易知平面的一个法向量等于,因为,所以,又平面,所以平面.(方法二)由已知,平面平面,且,则平面,所以两两垂直.连结,其交点记为,连结因为四边形为矩形,所以为中点.因为为中点,所以,且.又因为,且,所以,且.所以四边形是平行四边形,所以.因为平面,平面,所以平面.2.当点与点重合时,直线与平面所成角的正弦值为.理由如下:因为,设平面的一个法向量为,由得取,得平面的一个法向量.假设线段上存在一点,使得直线与平面所成角的正弦值等于. 设,则,.所以.所以,解得或(舍去).因此,线段上存在一点,当点与点重合时,直线与平面所成角的正弦值等于.51.答案：1.依题意,得解得故椭圆的标准方程为.2.方法一:,设,则由题意,可得①,且.因为三点共线,所以,故有,解得;同理,可得. 假设存在满足题意的轴上的定点,则有,即.因为,,所以,即,整理得, 又由①,得,所以,解得或.故以为直径的圆恒过轴上的定点.方法二:①当直线的斜率不存在时,有,此时以为直径的圆经过轴上的点和;②当直线的斜率存在时,设直线的方程为,联立方程组,解得,.设又直线的斜率,直线的斜率,因为三点共线,所以,解得得,同理,可得, 假设存在满足题意的轴上的定点,则有,直线的斜率,直线的斜率,所以,故有,即, 整理,得,解得或,综合①②,可知以为直径的圆恒过轴上的定点.四、证明题52.答案：1.由弦切角定理可知, , 同理,,所以,所以.2.连接、,因为是切内圆于点,所以由弦切角定理知,,又由1知,所以,,又,所以.在中,由正弦定理知, ,在中,由正弦定理知, ,因,所以,由知,所以,即, .。

2016-2017年高三数学（理）上期中试题(含答案)兰州一中2016-2017-1学期高三年级期中考试数学试题（理科）第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若集合, ,则（）A B D2已知复数，若是实数，则实数的值为（）A．B．．D．3以下判断正确的是( )函数为上可导函数，则是为函数极值点的充要条命题“ ”的否定是“ ”“ ”是“函数是偶函数”的充要条D 命题“在中，若，则”的逆命题为假命题4一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示(单位：)，则该几何体的体积为()A．120 3 B．100 3 ．80 3 D．60 3由曲线，直线及坐标轴所围成图形的面积为( )A B D6设等差数列的前项和为，若, , ，则（）A B D7我国古代数学典籍《九算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出的结果( )A B D8设，则( )A B D9已知函数，则的图象大致为( )A B D10函数的图象向右平移个单位后，与函数的图象重合，则的值为( )A&nt; B D11椭圆: 的左、右焦点分别为,焦距为若直线= 与椭圆的一个交点满足，则该椭圆的离心率等于（）A B D12已知定义在R上的函数满足：且，，则方程在区间上的所有实根之和为（）A B D第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题分，共20分13已知向量14已知，则1已知满足约束条若的最小值为,则16在中，内角的对边分别为,已知, ，则面积的最大值为三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出字说明、证明过程或演算步骤17．（本小题满分12分）已知函数（Ⅰ）求的最小正周期及对称中心；（Ⅱ）若，求的最大值和最小值18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，，是棱上的一点，是的延长线与的延长线的交点，且∥平面．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的平面角的正弦值．19．（本小题满分12分）随着苹果7手机的上市，很多消费者觉得价格偏高，尤其是一部分大学生可望而不可及，因此“国美在线”推出无抵押分期付款的购买方式，某店对最近100位采用分期付款的购买者进行统计，统计结果如下表所示付款方式分1期分2期分3期分4期分期频数3210已知分3期付款的频率为01，并且销售一部苹果7手机，顾客分1期付款，其利润为1000元；分2期或3期付款，其利润为100元；分4期或期付款，其利润为2000元，以频率作为概率(Ⅰ)求，的值，并求事：“购买苹果7手机的3位顾客中，至多有1位分4期付款”的概率；（Ⅱ）用表示销售一部苹果7手机的利润，求的分布列及数学期望20．（本小题满分12分）已知抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过点作轴的垂线交于点（Ⅰ）证明：抛物线在点的切线与平行；（Ⅱ）是否存在实数，使以为直径的圆经过点？若存在，求的值；若不存在，说明理由21．(本小题满分12分)已知函数．（Ⅰ）当时，求的单调区间；（Ⅱ）若函数在其定义域内有两个不同的极值点（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）设两个极值点分别为，证明: ．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22 （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）设为曲线上一点，为曲线上一点，求的最小值．23（本小题满分10分）选修4—：不等式选讲已知函数，且的解集为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，且，求证：．兰州一中2016-2017-1学期期中考试高三数学试题参考答案（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题分，共60分。

2016年甘肃省平凉市普通高中考试高考模拟卷理科数学第I 卷（选择题部分 共40分） 一．选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.1. 已知集合A={-1,0,1,2}，B={1，x ，x 2-x}，B ⊆A ，则x=（ ） A. 1 B. 0 C. 2 D. -12. 已知a ∈R ，则a 2＞3a 是a ＞3的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 3. 下列命题中，正确的是（ ）A. 若a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，且a ⊂α，b ⊂β，则a ，b 是异面直线B. 若a ，b 是两条直线，且a ∥b ，则直线a 平行于经过直线b 的平面C. 若直线a 与平面α不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行D. 若直线a ∥平面α，点P ∈α，则在平面α内过点P 且与直线a 平行的直线有且仅有一条4. 已知等比数列{a n }满足)1(4a a 41a 5422-=⋅=a ，，则=++++87654a a a a a （ ） A. 20 B. 31 C. 62 D. 63 5. 已知函数⎩⎨⎧<-≥+=)0(,1)0(,1)(f x x x x x ，并给出以下命题，其中正确的是（ ）A. 函数y=f （sinx ）是奇函数，也是周期函数B. 函数y=f （sinx ）是偶函数，不是周期函数C. 函数y=f （sinx 1）是偶函数，但不是周期函数 D. 函数y=f （sin x1）是偶函数，也是周期函数 6. 已知函数mx x x f --=|1|)(，若关于x 的不等式0)(<x f 解集中的整数恰为3个，则实数m 的取值范围 为（ ） A.4332≤<m B. 5443≤<m C. 4332<<m D. 5443<<m 7. 如图，已知椭圆)0(12:222>=+a y ax C ，点F A ,分别为其右顶点和右焦点，过F 作AF 的垂线交椭圆C 于Q P ,两点，过P 作AP 的垂线交x 轴于点D 。

甘肃省2017年高三第二次高考诊断考试理科数学试卷第I 卷(共60分)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.X + ]1. 己知集合A = (-2,-1,0,1,2,3), B = [x\-—<0),则 A B=()x — 2A. (-2,-1,0,1,2,3} B. {-1,0,1,2} C. {-1,2}D. {0,1)Z7 — i2. 设i 是虚数单位，如果复数z =竺」，其实部与虚部互为相反数，那么实数。

=()2 + iA. -3B. 3C. --D.-3 33. 抛掷两枚骰子，记事件A 为“朝上的2个数之和为偶数”，事件3为“朝上的2个数均为偶数”，则P(B|A)=( )A. 181厂24 51 D.-24.已知实数x ，、满足<2.r+y-4>0x-y-l<0 ,贝\\z = x-3y 的最大值是()A. 2心口 1 八 1B . —C.c 17D.---2 35.圆心为(4,0)且与直线后x-y = O 相切的圆的方程为()2A. (a --4)2+j 2 =1B. (x-4)2 +/ =12C. (x-4)2+y 2=6D. (x + 4)2+y 2=96.如图所示，四面体的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，贝1|四面体ABCQ 的三视图是(用①②③④⑤⑥代表图形)()A.①②⑥B.①②③C.④⑤⑥D.③④⑤7.某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元，1个8元，1个10元（红包中金额相同视为相同红包），则甲、乙都抢到红包的情况有（）A.18种B.24种C.36种D.48种8.某品牌洗衣机专柜在国庆期间举行促销活动，茎叶图中记录了每天的销售量（单位：台），把这些数据经过如图所示的程序处理后，输出的S=（）~0~2633 345A.28B.29C.196D.2039.已知三棱锥S-ABC的各顶点都在一个球面上，'KBC所在截面圆的圆心。

2017年甘肃省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）=（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i2．（5分）设集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．若A∩B={1}，则B=（）A．{1，﹣3}B．{1，0}C．{1，3}D．{1，5}3．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏4．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A．90πB．63πC．42πD．36π5．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是（）A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．96．（5分）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A．12种B．18种C．24种D．36种7．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩8．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（）A．2 B．3 C．4 D．59．（5分）若双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，则C的离心率为（）A．2 B．C．D．10．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．11．（5分）若x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）e x﹣1的极值点，则f（x）的极小值为（）A．﹣1 B．﹣2e﹣3C．5e﹣3 D．112．（5分）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（+）的最小值是（）A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2017年甘肃省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）＝（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i2．（5分）设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2﹣4x+m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝（）A．{1，﹣3}B．{1，0}C．{1，3}D．{1，5}3．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏4．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A．90πB．63πC．42πD．36π5．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最小值是（）A．﹣15B．﹣9C．1D．96．（5分）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A．12种B．18种C．24种D．36种7．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩8．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的a＝﹣1，则输出的S＝（）A．2B．3C．4D．59．（5分）若双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为（）A．2B．C．D．10．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．11．（5分）若x＝﹣2是函数f（x）＝（x2+ax﹣1）e x﹣1的极值点，则f（x）的极小值为（）A．﹣1B．﹣2e﹣3C．5e﹣3D．112．（5分）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（+）的最小值是（）A．﹣2B．﹣C．﹣D．﹣1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2016年甘肃省平凉市华亭一中高考数学押题卷（理科）一、选择题（每小题5分共60分）1．若复数z满足z+|z|=3﹣i，则z的实部为（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣32．已知集合A={x|log2（x+1）＜2}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）=0}，则A∪B等于（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，3] C．（1，3）D．（1，3]3．设X～N（μ1，σ12），Y～N（μ2，σ22），这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（）A．P（Y≥μ2）≥P（Y≥μ1）B．P（X≤σ2）≤P（X≤σ1）C．对任意正数t，P（X≤t）≥P（Y≤t）D．对任意正数t，P（X≥t）≥P（Y≥t）4．将函数f（x）=2sin（+）的图象向左平移个单位，再向上平移3个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式为（）A．g（x）=2sin（﹣）﹣3 B．g（x）=2sin（+）+3C．g（x）=2sin（﹣）+3 D．g（x）=2sin（﹣）﹣35．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B． C．πD．6．直线m，n均不在平面α，β内，给出下列命题：①若m∥n，n∥α，则m∥α；②若m∥β，α∥β，则m∥α；③若m⊥n，n⊥α，则m∥α；④若m⊥β，α⊥β，则m∥α；则其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．见如图程序框图，若输入a=110011，则输出结果是（）A．51 B．49 C．47 D．458．已知x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣y的最小值为（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣1 D．39．数列{a n}是等差数列，a1=f（x+1），a2=0，a3=f（x﹣1），其中f（x）=x2﹣4x+2，则通项公式a n=（）A．﹣2n+4 B．﹣2n﹣4 C．2n﹣4或﹣2n+4 D．2n﹣410．若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则的最小值为（）A．4 B．12 C．16 D．611．点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O，P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如右图所示，那么点P所走的图形是（）A．B． C．D．12．设F1，F2分别为椭圆C1： +=1（a＞b＞0）与双曲线C2：﹣=1（a1＞0，b1＞0）的公共焦点，它们在第一象限内交于点M，∠F1MF2=90°，若椭圆的离心率e=，则双曲线C2的离心率e1为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分、共20分）13．已知单位圆上三个不同点A，B，C，若|﹣|=2，则向量与的夹角为．14．已知（﹣+y）6的展开式中含y的项的系数为15，则a=．15．在△ABC中，若sinA=，cosB=，则cosC的值是．16．已知数列{a n}中，a1=5，a2=2，a n=2a n﹣1+3a n﹣2（n≥3），则这个数列的通项公式为a n=．三、简答题17．如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），测量者在河岸边选定两点C、D，测得CD=40m，并且在C、D两点分别测得∠ACB=60°，∠ADB=60°∠BCD=30°，∠ADC=45°，求河的对岸的两点A、B间的距离．18．某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按[0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，得到频率分布直方图如图：假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立．（Ⅰ）写出频率分布直方图（甲）中的a的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为，，试比较与的大小；（只需写出结论）（Ⅱ）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率；（Ⅲ）设X表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求X的数学期望．19．在正三棱柱中，CC1=BC，点F是BC的中点，点H在线段B1B 上运动．（1）请在图中绘制平面AFH，使FC1⊥平面AFH，说明点H的位置．（2）在（1）问的条件下，求平面AFH与平面AA1B1B 所成角的正弦值．20．已知点G（5，4），圆C1：（x﹣1）2+（x﹣4）2=25，过点G的动直线l与圆C1相交于E、F两点，线段EF的中点为C．（1）求点C的轨迹C2的方程；（2）若过点A（1，0）的直线l1与C2相交于P、Q两点，线段PQ的中点为M；又l1与l2：x+2y+2=0的交点为N，求证|AM|•|AN|为定值．21．已知函数f（x）=ax+xlnx（a∈R）（1）若函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，求a的取值范围；（2）当a=1且k∈Z时，不等式k（x﹣1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求k的最大值．选做题（本小题满分10分）从下列三题中选做一题[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，过圆O外一点P作圆的切线PC，切点为C，割线PAB、割线PEF分别交圆O于A与B、E与F．已知PB的垂直平分线DE与圆O相切．（1）求证：DE∥BF；（2）若，DE=1，求PB的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知点P是椭圆C： +y2=1上一动点．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l过点M（2，），且与极轴所成的角为．（1）写出直线l的极坐标方程和椭圆C的参数方程．（2）求出点P到直线l的距离的最小值，并求出对应点P的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣3|．（Ⅰ）若不等式f（x﹣1）+f（x）＜a的解集为空集，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜3，且a≠0，判断与的大小，并说明理由．2016年甘肃省平凉市华亭一中高考数学押题卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分共60分）1．若复数z满足z+|z|=3﹣i，则z的实部为（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【分析】利用待定系数法建立方程关系进行求解即可．【解答】解：∵复数z满足z+|z|=3﹣i，∴设z=a﹣i，则a﹣i+=3﹣i，则a+=3，即=3﹣a，由3﹣a≥0得a≤3，则平方得a2+3=9﹣6a+a2，即6a=6，则a=1，即z=1﹣i，实部为1故选：A2．已知集合A={x|log2（x+1）＜2}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）=0}，则A∪B等于（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，3] C．（1，3）D．（1，3]【考点】并集及其运算．【分析】分别求出集合A与B，由此利用并集定义能求出A∪B．【解答】解：∵集合A={x|log2（x+1）＜2}={x|﹣1＜x＜3}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）=0}={1，3}，∴A∪B={x|﹣1＜x≤3}=（﹣1，3]．故选：B．3．设X～N（μ1，σ12），Y～N（μ2，σ22），这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（）A．P（Y≥μ2）≥P（Y≥μ1）B．P（X≤σ2）≤P（X≤σ1）C．对任意正数t，P（X≤t）≥P（Y≤t）D．对任意正数t，P（X≥t）≥P（Y≥t）【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】直接利用正态分布曲线的特征，集合概率，直接判断即可．【解答】解：正态分布密度曲线图象关于x=μ对称，所以μ1＜μ2，从图中容易得到P（X≤t）≥P（Y≤t）．故选：C．4．将函数f（x）=2sin（+）的图象向左平移个单位，再向上平移3个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式为（）A．g（x）=2sin（﹣）﹣3 B．g（x）=2sin（+）+3C．g（x）=2sin（﹣）+3 D．g（x）=2sin（﹣）﹣3【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将函数f（x）=2sin（+）的图象向左平移个单位，再向上平移3个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）=2sin[（x+）+]+3=2sin（+）+3，故选：B．5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B． C．πD．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由题意，几何体为底面直径为2，高为2的半圆柱体与半球的组合体的一半，即可求出几何体的体积．【解答】解：由题意，几何体为底面直径为2，高为2的半圆柱体与球的组合体，所以几何体的体积是=，故选：D．6．直线m，n均不在平面α，β内，给出下列命题：①若m∥n，n∥α，则m∥α；②若m∥β，α∥β，则m∥α；③若m⊥n，n⊥α，则m∥α；④若m⊥β，α⊥β，则m∥α；则其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【解答】解：注意前提条件直线m，n均不在平面α，β内．对于①，根据线面平行的判定定理知，m∥α，故①正确；对于②，如果直线m与平面α相交，则必与β相交，而这与α∥β矛盾，故m∥α，故②正确；对于③，在平面α内任取一点A，设过A，m的平面γ与平面α相交于直线b，∵n⊥α，∴n⊥b，又m⊥n，∴m⊥b，∴m∥α，故③正确；对于④，设α∩β=l，在α内作m′⊥β，∵m⊥β，∴m∥m′，∴m∥α，故④正确．故选：D．7．见如图程序框图，若输入a=110011，则输出结果是（）A．51 B．49 C．47 D．45【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量b的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，t=1，b=1，i=2，不满足退出循环的条件，第二次执行循环体后，t=1，b=3，i=3，不满足退出循环的条件，第三次执行循环体后，t=0，b=3，i=4，不满足退出循环的条件，第四次执行循环体后，t=0，b=3，i=5，不满足退出循环的条件，第五次执行循环体后，t=1，b=19，i=6，不满足退出循环的条件，第六次执行循环体后，t=1，b=51，i=7，满足退出循环的条件，故输出b值为51，故选：A．8．已知x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣y的最小值为（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣1 D．3【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．【解答】解：作作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x﹣y，得y=x﹣z表示，斜率为1纵截距为﹣z的一组平行直线，平移直线y=x﹣z，当直线y=x﹣z经过点A时，和直线x﹣y=﹣1平行时，直线y=x﹣z的截距最大，此时z最小，此时z min=﹣1．故选：C．9．数列{a n}是等差数列，a1=f（x+1），a2=0，a3=f（x﹣1），其中f（x）=x2﹣4x+2，则通项公式a n=（）A．﹣2n+4 B．﹣2n﹣4 C．2n﹣4或﹣2n+4 D．2n﹣4【考点】等差数列的通项公式．【分析】由已知条件得（x2﹣2x+1）+（x2﹣6x+7）=2x2﹣4x6=0，解得：x=1或x=3 当x=1时a1=﹣2，此时公差d=2，a n=﹣2+（n﹣1）×2=2n﹣4；当x=3时a1=2，公差d=﹣2，a n=2+（n﹣1）×（﹣2）=﹣2n+4．由此能求出结果．【解答】解：∵f（x）=x2﹣4x+2，∴=x2﹣2x﹣1，=x2﹣6x+7，又数列{a n}是等差数列，a2=0∴a1+a3=2a2=0，∴（x2﹣2x+1）+（x2﹣6x+7）=2x2﹣4x6=0，解得：x=1或x=3当x=1时a1=﹣2，此时公差d=2，a n=﹣2+（n﹣1）×2=2n﹣4；当x=3时a1=2，公差d=﹣2，a n=2+（n﹣1）×（﹣2）=﹣2n+4．∴a n=2n﹣4或a n=﹣2n+4．故选：C．10．若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则的最小值为（）A．4 B．12 C．16 D．6【考点】基本不等式在最值问题中的应用；直线与圆的位置关系．【分析】利用已知条件求出m，n的关系式，然后利用基本不等式求解最值即可．【解答】解：圆（x+3）2+（y+1）2=1的半径为1，圆心（﹣3，﹣1）直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，直线经过圆的圆心．可得：3m+n=2．则=（）（3m+n）=（3+3++）≥3+=6．当且仅当m=，n=1时取等号．故选：D．11．点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O，P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如右图所示，那么点P所走的图形是（）A．B． C．D．【考点】函数的图象与图象变化．【分析】本题考查的是函数的图象与图象变化的问题．在解答时首先要充分考查所给四个图形的特点，包括对称性、圆滑性等，再结合所给O，P两点连线的距离y与点P走过的路程x 的函数图象即可直观的获得解答．【解答】解：由题意可知：对于A、B，当p位于A，B图形时，函数变化有部分为直线关系，不可能全部是曲线，由此即可排除A、B，对于C，其图象变化不会是对称的，由此排除C，故选D．12．设F1，F2分别为椭圆C1： +=1（a＞b＞0）与双曲线C2：﹣=1（a1＞0，b1＞0）的公共焦点，它们在第一象限内交于点M，∠F1MF2=90°，若椭圆的离心率e=，则双曲线C2的离心率e1为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】利用椭圆与双曲线的定义列出方程，通过勾股定理求解离心率即可．【解答】解：由椭圆与双曲线的定义，知|MF1|+|MF2|=2a，|MF1|﹣|MF2|=2a，所以|MF1|=a+a1，|MF2|=a﹣a1．因为∠F1MF2=90°，所以，即，即，因为，所以．故选：B．二、填空题（每小题5分、共20分）13．已知单位圆上三个不同点A，B，C，若|﹣|=2，则向量与的夹角为．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】通过向量的差的模，判断是圆的直径，然后求解向量的夹角．【解答】解：单位圆上三个不同点A，B，C，若|﹣|=2，可得=2，是圆的直径，∠BAC=，向量与的夹角为：．故答案为：．14．已知（﹣+y）6的展开式中含y的项的系数为15，则a=﹣．【考点】二项式定理的应用．【分析】将原式化为[（﹣）+y]6，由通项公式可得T r+1=（﹣）6﹣r•y r，求得r=1，再由通项公式可得T l+1=（）5﹣l（﹣）l=（﹣a）l x，令=，解得l=1，解方程即可得到a的值．【解答】解：（﹣+y）6=[（﹣）+y]6，可得通项公式为T r+1=（﹣）6﹣r•y r，r=0，1，2…，6由展开式中含y，可得r=1，由（﹣）5的通项公式为T l+1=（）5﹣l（﹣）l=（﹣a）l x，l=0，1，2，…，5由题意可得=，解得l=1，可得（﹣a）=15，解得a=﹣．故答案为：﹣．15．在△ABC中，若sinA=，cosB=，则cosC的值是﹣．【考点】两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的基本关系．【分析】利用同角三角函数的基本关系求出sinB 的值，而由sinA=＜sinB，可得A＜B，故A为锐角，从而求得cosA 的值，再由cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB 求出结果．【解答】解：在△ABC中，由cosB=可得，sinB=．而sinA=＜sinB，由正弦定理可得a＜b，∴A＜B，所以A为锐角，cosA==．于是cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=﹣，故答案为：﹣．16．已知数列{a n }中，a 1=5，a 2=2，a n =2a n ﹣1+3a n ﹣2（n ≥3），则这个数列的通项公式为a n =．【考点】数列递推式．【分析】通过a n =2a n ﹣1+3a n ﹣2（n ≥3）变形为a n +λa n ﹣1=m （a n ﹣1+λa n ﹣2）形式计算可求． 【解答】解：∵a n =2a n ﹣1+3a n ﹣2（n ≥3）， ∴a n +a n ﹣1=3（a n ﹣1+a n ﹣2）， 又∵a 2+a 1=2+5=7，∴数列{a n+1+a n }是以7为首项、3为公比的等比数列， ∴a n+1+a n =7•3n ﹣1；∵a n =2a n ﹣1+3a n ﹣2（n ≥3）， ∴a n ﹣3a n ﹣1=﹣（a n ﹣1﹣3a n ﹣2）， 又∵a 2﹣3a 1=2﹣3•5=﹣13，∴数列{a n+1﹣3a n }是以﹣13为首项、﹣1为公比的等比数列， ∴a n+1﹣3a n =﹣13•（﹣1）n ﹣1；∴a n ==，故答案为：．三、简答题 17．如图，A 、B 两点都在河的对岸（不可到达），测量者在河岸边选定两点C 、D ，测得CD=40m ，并且在C 、D 两点分别测得∠ACB=60°，∠ADB=60°∠BCD=30°，∠ADC=45°，求河的对岸的两点A 、B 间的距离．【考点】解三角形的实际应用．【分析】分别在三角形ABC 和三角形BCD 中求出AD ，BD ，再在三角形ABD 中使用余弦定理求出AB ．【解答】解：∵∠CAB=180°﹣∠ADC ﹣∠ACB=45°，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴AC=CD=40，AD=40．在△BCD 中，∠CBD=180°﹣∠BCD ﹣∠BDC=45°，∵，∴BD=20．在△ABD 中，由余弦定理得AB 2=AD 2+BD 2﹣2AD •BD •cos60°=2400，∴AB=20．18．某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按[0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，得到频率分布直方图如图：假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立．（Ⅰ）写出频率分布直方图（甲）中的a的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为，，试比较与的大小；（只需写出结论）（Ⅱ）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率；（Ⅲ）设X表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求X的数学期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）按照题目要求想结果即可．（Ⅱ）设事件A：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；事件B：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；事件C：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱．求出P（A），P（B），P（C）．（Ⅲ）X的可能取值为0，1，2，3，求出概率，得到分布列，然后求解期望．【解答】（共13分）解：（Ⅰ）a=0.015；…s12＞s22．…（Ⅱ）设事件A：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；事件B：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；事件C：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱．则P（A）=0.20+0.10=0.3，P（B）=0.10+0.20=0.3．…所以．…（Ⅲ）由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3．…P（X=0）=C30×0.30×0.73=0.343，P（X=1）=C31×0.31×0.72=0.441，P（X=2）=C32×0.32×0.71=0.189，P（X=3）=C33×0.33×0.70=0.027．X…所以X的数学期望EX=0×0.343+1×0.441+2×0.189+3×0.027=0.9．…19．在正三棱柱中，CC1=BC，点F是BC的中点，点H在线段B1B 上运动．（1）请在图中绘制平面AFH，使FC1⊥平面AFH，说明点H的位置．（2）在（1）问的条件下，求平面AFH与平面AA1B1B 所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）过H作FH⊥C1F交BB1于H，连接AH，AF，C1H．则平面AFH即为所要作的平面．设AB=1，HB=x，利用勾股定理列方程解出x即可判断H的位置；（2）以F为原点建立坐标系，则为平面AFH的法向量，取AB中点D，则为平面AA1B1B的法向量，求出cos＜＞，则二面角的正弦值为．【解答】解：（1）过H作FH⊥C1F交BB1于H，连接AH，AF，C1H．则平面AFH即为所要作的平面．∵FC1⊥平面AFH，FH⊂平面AFH，∴C1F⊥FH，设HB=x，BC=CC1=1，则B1H=1﹣x，B1C1=1，BF=CF=．∴FH2=HB2+BF2=x2+，C1F2=CC12+CF2=，C1H2=B1C12+B1H2=x2﹣2x+2．∵C1F⊥FH，∴C1H2=HF2+C1F2，即x2﹣2x+2=x2++，解得x=．∴H为BB1靠近B的四等分点．（2）设B1C1的中点为E，则EF⊥平面ABC．以F为原点，以FA，FB，FE为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示，则F（0，0，0），C1（0，﹣，1），A（，0，0），B（0，，0），C（0，﹣，0）．∵C1F⊥平面AFH，∴平面AFH的一个法向量为=（0，﹣，1），取AB的中点D，连接CD，则CD⊥AB，∵AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴AA1⊥CD．又AA1∩AB=A，AA1⊂平面ABB1A1，AB⊂平面ABB1A1，∴CD⊥平面ABB1A1．∵D是AB的中点，∴D（，，0）．∴=（﹣，﹣，0）为平面ABB1A1的一个法向量．∴cos＜＞===．∴平面AFH与平面AA1B1B 所成角的正弦值为．20．已知点G（5，4），圆C1：（x﹣1）2+（x﹣4）2=25，过点G的动直线l与圆C1相交于E、F两点，线段EF的中点为C．（1）求点C的轨迹C2的方程；（2）若过点A（1，0）的直线l1与C2相交于P、Q两点，线段PQ的中点为M；又l1与l2：x+2y+2=0的交点为N，求证|AM|•|AN|为定值．【考点】轨迹方程；两条直线的交点坐标．【分析】（1）利用•=0，即可求点C的轨迹C2的方程；（2）分别联立相应方程，求得M，N的坐标，再求•．【解答】（1）解：圆C1：（x﹣1）2+（x﹣4）2=25，圆心C1（1，4），半径为5，设C（x，y），则=（x﹣1，y﹣4），=（5﹣x，4﹣y），∵•=0，∴（x﹣1）（5﹣x）+（y﹣4）（4﹣y）=0，即：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，∴点C 的轨迹C 2的方程为：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2=4；（2）证明：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx ﹣y ﹣k=0与x +2y +2=0联立可得N （，﹣），又直线CM 与l 1垂直，得M （，）．∴|AM |•|AN |=•==6为定值．21．已知函数f （x ）=ax +xlnx （a ∈R ）（1）若函数f （x ）在区间[e ，+∞）上为增函数，求a 的取值范围；（2）当a=1且k ∈Z 时，不等式k （x ﹣1）＜f （x ）在x ∈（1，+∞）上恒成立，求k 的最大值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】（1）易求f ′（x ）=a +1+lnx ，依题意知，当x ≥e 时，a +1+lnx ≥0恒成立，即x ≥e 时，a ≥（﹣1﹣lnx ）max ，从而可得a 的取值范围；（2）依题意，对任意x ＞1恒成立，令则，再令h （x ）=x ﹣lnx ﹣2（x ＞1），易知h （x ）在（1，+∞）上单增，从而可求得 g （x ）min =x 0∈（3，4），而k ∈z ，从而可得k 的最大值． 【解答】解：（1）∵f （x ）=ax +xlnx ，∴f ′（x ）=a +1+lnx ，又函数f （x ）在区间[e ，+∞）上为增函数， ∴当x ≥e 时，a +1+lnx ≥0恒成立，∴a ≥（﹣1﹣lnx ）max =﹣1﹣lne=﹣2，即a 的取值范围为[﹣2，+∞）；（2）当x ＞1时，x ﹣1＞0，故不等式k （x ﹣1）＜f （x ）⇔k ＜，即对任意x ＞1恒成立．令则，令h （x ）=x ﹣lnx ﹣2（x ＞1），则在（1，+∞）上单增．∵h （3）=1﹣ln3＜0，h （4）=2﹣ln4＞0， ∴存在x 0∈（3，4）使h （x 0）=0，即当1＜x ＜x 0时，h （x ）＜0，即g ′（x ）＜0，当x ＞x 0时，h （x ）＞0，即g ′（x ）＞0，∴g （x ）在（1，x 0）上单减，在（x 0，+∞）上单增．令h（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0，即lnx0=x0﹣2，=x0∈（3，4），∴k＜g（x）min=x0且k∈Z，即k max=3．选做题（本小题满分10分）从下列三题中选做一题[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，过圆O外一点P作圆的切线PC，切点为C，割线PAB、割线PEF分别交圆O于A与B、E与F．已知PB的垂直平分线DE与圆O相切．（1）求证：DE∥BF；（2）若，DE=1，求PB的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）由题意可得，∠BED=∠BFE，∠BED=∠DEP，即可证得；（2）由切割线定理，勾股定理，即可计算解得答案．【解答】（1）证明：连接BE，∵DE与圆O相切，∴由弦切角定理可得，∠BED=∠BFE又∵DE垂直平分BP，∴∠BED=∠DEP∴∠BFE=∠DEP，∴DE∥BF；（2）解：由切割线定理，得PC2=PE×PF=12，∵D为线段BP的中点，DE∥BF；∴PF=2PE，∴PF=2，∵DE=1，DE∥BF，PB的垂直平分线DE与圆O相切．∴DE为Rt△PBF的中位线，∴DE=2，在Rt△PBF中，由勾股定理，可得，PB=2．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知点P 是椭圆C ：+y 2=1上一动点．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 过点M （2，），且与极轴所成的角为．（1）写出直线 l 的极坐标方程和椭圆C 的参数方程．（2）求出点P 到直线l 的距离的最小值，并求出对应点P 的直角坐标． 【考点】直线与椭圆的位置关系． 【分析】（1）在直角坐标系中，求出直线的方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式求得直线极坐标方程．直接写出椭圆C 的参数方程．（2）设与x +y ﹣2=0平行的直线方程为x +y +m=0，即y=﹣x ﹣m 与椭圆方程联立，利用判别式，即可得出结论．【解答】解：（1）在直角坐标系中，过点 M （2，），且与极轴所成的角为的直线的斜率为﹣1，其直角坐标方程是y ﹣=﹣（x ﹣），即x +y ﹣2=0，其极坐标方程为 ρcos θ+ρsin θ﹣2=0，即ρcos （θ﹣）=2．椭圆C 的参数方程（α为参数）；（2）设与x +y ﹣2=0平行的直线方程为x +y +m=0，即y=﹣x ﹣m ，代入+y 2=1整理可得（1+a 2）x 2+2a 2mx +m 2a 2﹣a 2=0，△=4a 4m 2﹣4（1+a 2）（m 2a 2﹣a 2）=0，∴m=±，x=﹣，y=+∴点P 到直线l 的距离的最小值为，对应点P 的直角坐标（﹣，+）．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f （x ）=|x ﹣3|．（Ⅰ）若不等式f （x ﹣1）+f （x ）＜a 的解集为空集，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若|a |＜1，|b |＜3，且a ≠0，判断与的大小，并说明理由．【考点】绝对值不等式的解法． 【分析】（Ⅰ）根据绝对值的几何意义求出f （x ﹣1）+f （x ）的最小值，从而求出a 的范围；（Ⅱ）根据分析法证明即可． 【解答】解：（Ⅰ）因为f （x ﹣1）+f （x ）=|x ﹣4|+|x ﹣3|≥|x ﹣4+3﹣x |=1，不等式f（x﹣1）+f（x）＜a的解集为空集，则1≥a即可，所以实数a的取值范围是（﹣∞，1]．…（Ⅱ），证明：要证，只需证|ab﹣3|＞|b﹣3a|，即证（ab﹣3）2＞（b﹣3a）2，又（ab﹣3）2﹣（b﹣3a）2=a2b2﹣9a2﹣b2+9=（a2﹣1）（b2﹣9）．因为|a|＜1，|b|＜3，所以（ab﹣3）2﹣（b﹣3a）2＞0，所以原不等式成立．…2016年8月26日。