高三数学专题练习-----不等式(二)

高中数学总复习知识点专题讲解与练习专题2不等式一、单项选择题1．(2021·江西六校联考)已知集合A ＝{x ∈N |2x －7<0}，B ＝{x |x 2－3x －4≤0}，则A ∩B ＝( )A ．{1，2，3}B ．{0，1，2，3}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤72D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0<x ≤72 答案 B解析 由已知得A ＝{0，1，2，3}，B ＝{x |－1≤x ≤4}， 则A ∩B ＝{0，1，2，3}．故选B. 2．(2019·课标全国Ⅱ)若a >b ，则( )A ．ln(a －b )>0B ．3a <3bC ．a 3－b 3>0D ．|a |>|b | 答案 C解析 取a ＝2，b ＝1，满足a >b ，但ln(a －b )＝0，则A 错误；由9＝32>31＝3，则B 错误；取a ＝1，b ＝－2，满足a >b ，但|1|<|－2|，则D 错误；因为幂函数y ＝x 3是增函数，a >b ，所以a 3>b 3，即a 3－b 3>0，C 正确．故选C.3．(2021·东北三省四市一模)设a >0，b >0，若2a ＋b ＝2，则1a ＋2b 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 答案 B解析 方法一：1a ＋2b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ＋4a b ＋2≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋2b a ×4a b ＝4，当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝12，b ＝1时，等号成立．故选B. 方法二：1a ＋2b ＝2a ＋b 2a ＋2a ＋b b ＝1＋b 2a ＋2ab ＋1≥2＋2b 2a ×2a b ＝4，当且仅当b 2a ＝2a b ，即a ＝12，b ＝1时，等号成立．故选B.4．已知a ，b 都是实数，则“ln 1a <ln 1b ”是“a 2>b 2”的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 ∵ln 1a <ln 1b ，∴0<1a <1b ，∴a >b >0，∴a 2>b 2.而由a 2>b 2得到|a |>|b |，∴“ln 1a <ln 1b ”是“a 2>b 2”的充分不必要条件．故选C.5．下列各函数中，最小值为2的是( )A ．y ＝x ＋1xB ．y ＝sin x ＋4sin x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2C ．y ＝x 2＋3x 2＋2D ．y ＝x ＋1x答案 D解析 当x >0时，y ＝x ＋1x ≥2，当x <0时，y ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－x ）＋1（－x ）≤－2，故A 不正确； 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，sin x ∈(0，1)，令t ＝sin x ∈(0，1)，则y ＝t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝4t ，即t ＝2时等号成立，t ＝sin x ∈(0，1)，t ＝2取不到，所以y >4，故B 不正确；y ＝x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2，由于x 2＋2＝1x 2＋2无解，所以等号不能取得，故C不正确； y ＝x ＋1x≥2x ×1x ＝2，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时等号成立，故D 正确．故选D.6．(2021·山西晋中月考)已知a >－1，b >－2，(a ＋1)(b ＋2)＝16，则a ＋b 的最小值是( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 答案 B解析 由a >－1，b >－2，得a ＋1>0，b ＋2>0，a ＋b ＝(a ＋1)＋(b ＋2)－3≥2（a ＋1）（b ＋2）－3＝2×4－3＝5，当且仅当a ＋1＝b ＋2＝4，即a ＝3，b ＝2时等号成立，所以a ＋b 的最小值是5.故选B.7．(2021·湖北十一校联考)设a >0，b >0，则“1a ＋1b ≤4”是“ab ≥14”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 因为a >0，b >0，所以4≥1a ＋1b ≥21a ·1b ，当且仅当a ＝b 时取等号，则2≥1ab，所以ab ≥14；若ab ≥14，取a ＝14，b ＝1，则1a ＋1b ＝4＋1＝5>4，即1a ＋1b ≤4不成立．所以“1a ＋1b ≤4”是“ab ≥14”的充分不必要条件．故选A.8．(2021·四川省宜宾二模)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值是( )A ．0B ．－2C ．－52 D ．－3 答案 C解析 不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12成立，等价于a ≥－x －1x 对于一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12成立，∵y ＝－x －1x 在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上是增函数，∴－x －1x ≤－12－2＝－52，∴a ≥－52，∴a 的最小值为－52.故选C. 9．若log 3(2a ＋b )＝1＋log3ab ，则a ＋2b 的最小值为( )A ．6 B.83 C ．3 D.163 答案 C解析 本题考查基本不等式．由题意得log 3(2a ＋b )＝1＋log 3(ab )，所以2a ＋b ＝3ab ，a >0，b >0，即2b ＋1a ＝3，所以a ＋2b ＝13(a ＋2b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2b ＋1a ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2a b ＋2b a ≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2×2a b ×2b a ＝3，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立．故选C.10．已知a ∈[－1，1]，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a >0恒成立，则x 的取值范围为( ) A ．(－∞，2)∪(3，＋∞) B ．(－∞，1)∪(2，＋∞) C ．(－∞，1)∪(3，＋∞) D ．(1，3) 答案 C解析 把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则f (a )>0对任意a ∈[－1，1]恒成立，易知只需f (－1)＝x 2－5x ＋6>0，① 且f (1)＝x 2－3x ＋2>0，② 联立①②，解得x <1或x >3.故选C. 二、多项选择题11．(2021·河北衡水中学二调)已知0<log 12a <log 12b <1，则下列说法正确的是( )A ．1>a 2>b 2>14B ．2>1a >1b >1C.a b －1>b a －1D.1e >e －b >e －a >1e 答案 ACD解析 已知0<log 12a <log 12b <1，因为y ＝log 12x 在区间(0，＋∞)上单调递减，所以12<b <a <1，所以14<b 2<a 2<1，故A 正确；因为函数y ＝1x 在区间(0，＋∞)上单调递减，且12<b <a <1，所以2>1b >1a >1，故B 错误；因为a b －1－ba －1＝a （a －1）－b （b －1）（b －1）（a －1）＝（a 2－b 2）－（a －b ）（b －1）（a －1）＝（a －b ）（a ＋b －1）（b －1）（a －1）.又12<b <a <1，所以（a －b ）（a ＋b －1）（b －1）（a －1）>0，故C 正确；因为－12>－b >－a >－1，函数y ＝e x 为单调递增函数，所以1e <e －a <e －b <1e，故D 正确．12．(2021·长郡模拟)设a >b >1，0<c <1，则下列不等式中成立的是( ) A ．a c <b c B ．a b >b c C ．log b c <log a c D ．log c b <log c a 答案 BC解析 0<c <1⇒a c >b c ，故A 错误；因为a >b >1，0<c <1，所以a b >b b >b c ，故B 正确；由对数函数的单调性可得log c b >log c a ，故D 错误；因为log b c ＝1log cb ，log ac ＝1log ca ，0>log c b >log c a ，所以log b c <log a c ，故C 正确．故选BC. 13．下列结论正确的是( )A ．若ab >0，则b a ＋ab ≥2 B ．函数y ＝x 2＋3x 2＋2的最小值为2C ．若x 2＋y 2＝1(x >0，y >0)，则1x 2＋4y 2≥9 D ．函数f (x )＝e －x ＋e x (x >0)有最小值2 答案 AC解析 因为ab >0，所以a b >0，b a >0，所以由基本不等式可得b a ＋ab ≥2，当且仅当a ＝b 时等号成立，A 正确；易知y ＝x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2，因为x 2＋2≥2，f (x )＝x ＋1x 在[2，＋∞)上单调递增，所以y ＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2＋12＝322，所以函数y ＝x 2＋3x 2＋2的最小值为322，B 错误；因为x 2＋y 2＝1(x >0，y >0)，所以1x 2＋4y 2＝(x 2＋y 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2＝5＋y 2x 2＋4x 2y 2≥9，当且仅当y 2＝2x 2时等号成立，C 正确；f (x )＝e －x ＋e x ＝1e x ＋e x ≥2，当且仅当x ＝0时取等号，而x >0，故D 错误．故选AC.14．(2021·唐山市三模)已知函数f (x )＝x ＋1x (x >0)，若f (a )＝f (b )，且a <b ，则下列不等式成立的有( )A ．ab ＝1B ．a 2＋b 2>2 C.1a ＋2b ≥22 D ．log a b <log b a 答案 ABC解析 ∵f (x )＝x ＋1x (x >0)，f (a )＝f (b )，∴a ＋1a ＝b ＋1b ，即a －b ＝1b －1a ＝a －b ab .∵a <b ，∴a －b ≠0，∴1ab ＝1，即ab ＝1，故A 正确． ∵a <b ，ab ＝1，∴a 2＋b 2>2ab ，即a 2＋b 2>2，故B 正确． 1a ＋2b ≥22ab ＝22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝2b ，ab ＝1，即⎩⎨⎧a ＝22，b ＝2时“＝”成立，故C 正确． ∵ab ＝1，∴a ＝1b ，b ＝1a，∴log a b ＝log b a ＝－1，故D 错误．故选ABC. 15．已知2a ＝3b ＝6，则下列选项一定正确的是( ) A ．ab >4 B ．(a －1)2＋(b －1)2<2 C ．log 2a ＋log 2b >2 D ．a ＋b >4 答案 ACD解析 ∵2a＝3b＝6，∴a ＝log 26，b ＝log 36.∴1a ＝log 62，1b ＝log 63，∴1a ＋1b ＝1.∵1＝1a ＋1b ≥21ab ，∴ab ≥4.∵a ≠b ，∴ab >4，故A 正确．∵log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab )>log 24＝2，故C 正确．∵a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝a b ＋ba ＋2≥4.∵a ≠b ，∴a ＋b >4，故D 正确． ∵a －1＝log 23，b －1＝log 32，∴(a －1)·(b －1)＝1，∴(a －1)2＋(b －1)2≥2(a －1)·(b －1)＝2.∵a －1≠b －1，∴(a －1)2＋(b －1)2>2.故B 不正确．故选ACD.三、填空题16．(2021·济南学情诊断)若实数x ，y 满足lg x ＋lg y ＝lg(x ＋y )，则xy 的最小值为________． 答案 4解析 依题意可知x >0，y >0，由lg x ＋lg y ＝lg(x ＋y )得lg(xy )＝lg(x ＋y )，得xy ＝x ＋y .由基本不等式得xy ＝x ＋y ≥2xy ，即xy －2xy ＝xy (xy －2)≥0，所以xy ≥2，xy ≥4，当且仅当x ＝y ＝2时取等号，所以xy 的最小值为4.17．(2021·辽宁五校期末联考)已知正实数a ，b 满足ab －b ＋1＝0，则1a ＋4b 的最小值是________． 答案 9解析 本题考查基本不等式的应用．∵ab －b ＋1＝0，∴a ＝b －1b >0，∴b －1>0. 又1a ＋4b ＝b b －1＋4b ＝5＋1b －1＋4(b －1)≥5＋21b －1·4（b －1）＝5＋4＝9，当且仅当1b －1＝4(b －1)，即b ＝32，a ＝13时等号成立，则1a ＋4b 的最小值是9.18．(2021·吉林五校联考)若正实数a ，b 满足ab ＝1，则1a ＋1b ＋1a ＋b 的最小值为________．答案 52解析 方法一：因为a >0，所以a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1a ＝1时等号成立，又ab ＝1，所以a ＝1b ，则1a ＋1b ＋1a ＋b＝1a ＋a ＋1a ＋1a .令t ＝a ＋1a ≥2，f (t )＝t ＋1t ，则f (t )在[2，＋∞)上单调递增，所以f (t )min ＝f (2)＝2＋12＝52，所以1a ＋1b ＋1a ＋b的最小值为52.方法二：因为ab ＝1，所以a ＋b ≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ＝1时取“＝”.1a ＋1b ＋1a ＋b ＝b ＋a ＋1a ＋b ，令t ＝a ＋b ≥2，f (t )＝t ＋1t ，则f (t )在[2，＋∞)上单调递增，所以1a ＋1b ＋1a ＋b 的最小值为2＋12＝52.19．(2021·临渭期末)已知正数x ，y 满足x 2＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是( ) A ．1 B ．3 C ．6 D ．12 答案 B解析 ∵x 2＋2xy －3＝0，∴y ＝3－x 22x ，∴2x ＋y ＝2x ＋3－x 22x ＝3x 2＋32x ＝3x 2＋32x ≥23x 2·32x＝3，当且仅当3x 2＝32x ，即x ＝1时取等号．故选B.20．(2021·毕业班第二次文科卷)已知a －5＝ln a 5<0，b －4＝ln b 4<0，c －3＝ln c3<0，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b <c <aB ．a <c <bC ．a <b <cD ． c <b <a 答案 C解析 令f (x )＝x －ln x ，则f ′(x )＝1－1x ＝x －1x ， 当x >1时，f ′(x )>0，函数单调递增．当0<x <1时，f ′(x )<0，函数单调递减，故f (5)>f (4)>f (3)， ∴5－ln 5>4－ln 4>3－ln 3. ∵a －5＝ln a5＝ln a －ln 5<0， ∴a －ln a ＝5－ln 5，∴f (a )＝f (5)，且a ∈(0，1)．同理f (b )＝f (4)，f (c )＝f (3)，且b ∈(0，1)，c ∈(0，1)， ∴f (a )>f (b )>f (c )，∴a <b <c .故选C.1．(2021·山东滨州市一模)已知p ：|x －a |<1，q ：3x ＋1>1，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为( )A ．[0，1]B ．(0，1]C ．[－1，2)D ．(－1，2) 答案 A解析 因为|x －a |<1，所以a －1<x <a ＋1，即p ：a －1<x <a ＋1， 因为3x ＋1>1，所以－1<x <2，即q ：－1<x <2. 因为p 是q 的充分不必要条件，所以⎩⎨⎧a －1≥－1，a ＋1≤2，且等号不能同时取到，解得0≤a ≤1.故选A.2．不等式x2x －1>1的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B ．(－∞，1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 答案 A解析 原不等式等价于x2x －1－1>0，即x －（2x －1）2x －1>0，整理得x －12x －1<0，不等式等价于(2x －1)(x －1)<0，解得12<x <1.故选A.3．【多选题】(2021·梅州市高三总复习)若1a >1b >0，下列不等式中正确的是( )A ．a 2(1＋b )<ab (1＋a )B ．a 3＋b 3>2ab 2 C.b －a <b －a D ．log a ＋23>log b ＋13答案 AC解析 ∵1a >1b >0，∴b >a >0.a 2(1＋b )－ab (1＋a )＝a 2＋a 2b －ab －a 2b ＝a 2－ab ＝a (a －b )<0，故a 2(1＋b )<ab (1＋a )，故A 正确．a 3＋b 3－2ab 2＝a 3－ab 2＋b 3－ab 2＝a (a －b )·(a ＋b )＋b 2(b －a )＝(a －b )(a 2＋ab －b 2)． 令a ＝2，b ＝3，则a 2＋ab －b 2>0.∴此时a 3＋b 3<2ab 2，故B 不正确．b －a <b －a 等价于b ＋a －2ab <b －a ，即a <ab .即a <b .∴b －a <b －a 成立，故C 正确．令b ＝2，a ＝1，则log a ＋23＝log b ＋13＝1，故D 错误．故选AC.4．(2021·A 佳湖南大联考)已知a >0，b >0，则“a >b ”是“a －b >1a －1b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 若a >b >0，则1b >1a ，所以a ＋1b >b ＋1a ，所以a －b >1a －1b ，充分性成立．若a －b >1a －1b ，则a ＋1b －b －1a >0，即(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1ab >0，又a >0，b >0，所以1＋1ab >0，所以a －b >0，即a >b ，必要性成立．故“a >b ”是“a －b >1a －1b ”的充要条件．故选C.5．【多选题】(2021·山东滨州二模)下列命题为真命题的是( )A ．若a >b ，则2a －b >12B ．若a >b >0，则lg a lg b >1C ．若a >0，b >0，则ab ≥2ab a ＋bD ．若a >b ，则ac 2>bc 2 答案 AC 解析 对于A ，因为a >b ，所以a －b >0，所以2a －b >1>12，故正确；对于B ，a ＝10，b ＝110，lg a lg b >1不成立；对于C ，因为a >0，b >0，所以a ＋b ≥2ab ，所以ab ＝2ab 2ab ≥2ab a ＋b ，当且仅当a ＝b 时等号成立，故正确；对于D ，当c ＝0时不成立．故选AC.6．【多选题】(2021·高三5月数学)已知两个不为零的实数x ，y 满足x <y ，则下列结论正确的是( )A ．3|x －y |>1B ．xy <y 2C ．x |x |<y |y | D.1x －1y <e x －e y答案 AC解析 因为x <y ，所以|x －y |>0，所以3|x －y |>1，则A 正确；因为x <y ，当y >0时，xy <y 2，当y <0时，xy >y 2，则B 错误；令f (x )＝x |x |，易知f (x )在R 上单调递增，又x <y ，所以f (x )<f (y )，即x |x |<y |y |，则C 正确；对于D ，方法一：令g (x )＝1x －e x ，易知g (x )在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，不妨设0<x <y ，则g (x )>g (y )，即1x －e x >1y －e y ，亦即1x －1y >e x －e y ，则D 错误；方法二：取x ＝－1，y ＝1，则1x －1y ＝－2>e －1－e ，则D 错误．故选AC.7．【多选题】(2021·茂名第三次联考)已知1a <1b <0，则下列不等式错误的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －b >1B.1b －a >1b C ．a 3>b 3 D.b a ＋b <1a答案 ABD解析 ∵1a <1b <0，∴b <a <0.∴a －b >0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －b ∈(0，1)，故A 错误；不妨设b ＝－2，a ＝－1， ∴1b ＝－12，1b －a ＝－1，∴1b －a<1b ，故B 错误；∵b <a <0，y ＝x 3在R 上单调递增，∴a 3>b 3，故C 正确；不妨设b ＝－2，a ＝－1，∴b a ＋b ＝－2－3＝23，1a＝－1， ∴b a ＋b >1a，故D 错误．故选ABD. 8．【多选题】(2021·山东4月联考)若a >b >0，且ab ＝1，则( )A ．a >b ＋1 B.1a 2＋1<1b 2＋1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >⎝ ⎛⎭⎪⎫12b D ．log 2(a ＋b )>1 答案 BD解析 ∵a >b >0且ab ＝1，∴a >1>b >0，∴a －b －1＝1b －b －1＝1－b 2－b b ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋122＋54b，不能确定正负，故A 错误． ∵a >b >0，∴a 2>b 2.∴a 2＋1>b 2＋1>0.∴1a 2＋1<1b 2＋1，故B 正确． ∵a >b >0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ，故C 错误． 由基本不等式得a ＋b ≥2ab ＝2.∵a ≠b ，∴a ＋b >2，∴log 2(a ＋b )>1，故D 正确．故选BD.9．已知x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围为________．答案 (－4，2)解析 记t ＝x ＋2y ，由不等式恒成立可得m 2＋2m <t min .因为2x ＋1y ＝1，所以t ＝x ＋2y ＝(x ＋2y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y . 而x >0，y >0，所以4y x ＋x y ≥2 4y x ·xy ＝4.⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当4y x ＝x y ，即x ＝4，y ＝2时等号成立 所以t ＝4＋4y x ＋x y ≥4＋4＝8，即t min ＝8.故m 2＋2m <8，即(m －2)(m ＋4)<0，解得－4<m <2.所以实数m 的取值范围为(－4，2)．10．已知正实数x ，y 满足2xy ＋2x ＋y ＝3，则2x ＋3y 的最小值为________． 答案 43－4解析 由2xy ＋2x ＋y ＝3得2x ＝3－y y ＋1. 又x ，y 为正实数，所以2x ＝3－y y ＋1>0，得0<y <3. 则2x ＋3y ＝3－y y ＋1＋3y ＝4y ＋1＋3(y ＋1)－4≥2 4y ＋1×3（y ＋1）－4＝43－4， 当且仅当4y ＋1＝3(y ＋1)，即y ＝233－1时取等号．。

专题二 二次函数、方程与不等式一、单选题1．（2020·江苏省通州高级中学高一月考）不等式210ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()0,4 B ．[]0,4C ．[)0,4D ．(](),04,-∞⋃+∞2．（2021·山西高三一模（理））已知,,+∈a b c R ，且4,4a ab ac >+=，则2232a b c a b c+++++的最小值是（ ） A ．8B ．6C ．4D ．23．（2021·安徽省泗县第一中学高二月考（文））已知0x >，0y >，211x y+=，若222x y m m +>-恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．4m ≥或2m ≤-B ．2m ≥或4m ≤-C ．24m -<<D ．42m -<<4．（2020·河北石家庄市·石家庄一中高一月考）命题:{|19}p x x x ∃∈≤≤，2360x ax -+≤，若p 是真命题，则实数a 的取值范围为（ ）A ．37a ≥B ．13a ≥C ．12a ≥D ．13a ≤5．（2020·河北石家庄市·石家庄一中高一月考）已知0,0,236x y x y >>+=，则xy 的值可能为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．36．（2021·浙江高三专题练习）已知[]1,1a ∈-时，不等式()24420x a x a +-+->恒成立，则x 的取值范围为（ ） A ．(-∞，2)∪(3，+∞) B ．(-∞，1)∪(2，+∞) C ．(-∞，1)∪(3，+∞)D ．(1，3)7．（2021·全国高二单元测试）设x y z >>，n N ∈，且11nx y y z x z+≥---恒成立，则n 的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58．（2021·安徽高三月考（理））不定方程的整数解问题是数论中一个古老的分支，其内容极为丰富，西方最早研究不定方程的人是希腊数学家丢番图．请研究下面一道不定方程整数解的问题：已知()202022,x y y x Z y Z +=∈∈，则该方程的整数解有（ ）组． A ．1B ．2C ．3D ．49．（2020·河南高二月考（文））函数2y = ）A ．2B ．4C ．6D ．810．（2021·全国高三专题练习（理））已知正数,a b 是关于x 的方程()2240x m x m -++=的两根，则11a b+的最小值为（ ） A ．2 B．C ．4D．二、多选题11．（2020·江苏省包场高级中学高二月考）下列说法正确的是（ ） A ．1x x+的最小值为2 B ．21x +的最小值为1 C ．()32x x -的最大值为2D ．2272x x ++最小值为2 12．（2020·河北石家庄市·石家庄一中高一月考）已知a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题为假命题的是（ )A ．若,a b c d >>，则ac bd >B ．若a b >，则22ac bc ≥C ．若0a b >>，则()0a b c ->D ．若a b >，则a c b c ->-13．（2021·河北张家口市·高三一模）已知0,0a b >>，且281a b +=，则（ ） A．433a b ->B1b C ．22log log 6a b +-D ．221168a b +<14．（2021·江苏南通市·海门市第一中学高二期末）若0a b >>，则（ ） A ．11a b b a+>+ B ．11a b b b a a+<<+ C ．114a b a b +≥+ D ．144b a a ab ++的最小值为2 第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 三、填空题15．（2021·全国高三专题练习）已知1a >，b R ∈，当0x >时，[]24(1)1()02x a x b x---⋅-≥恒成立，则3b a +的最小值是_____. 16．（2021·天津高三一模）设0a >，0b >，且251ab b +=，则+a b 的最小值为___________.17．（2020·江苏常州市·常州高级中学高一期中）已知函数()21,1,23,1,x x f x x x ⎧+≤=⎨-+>⎩，若()2f a =，则实数a 所有可能的取值组成的集合为______．18．（2021·射阳县第二中学高二开学考试）若命题x R ∃∈，2410mx mx ++≤为假命题，则实数m 的取值范围是__________．19．（2021·江苏苏州市·苏州中学高二月考）已知正数a ，b 满足30a b ab +-+=，则ab 的最小值是________．20．（2021·浙江宁波市·高三月考）若正数,a b 满足2a b ab ++=，则3711a b +--的最小值是________．21．（2020·河北石家庄市·石家庄一中高一月考）已知1,0x y ，且1211x y+=-，则2x y +的最小值为________．22．（2021·江苏高三专题练习）设,a b 为正实数，且11410a b a b+++=，则4a b +的最大值与最小值之差为_______.23．（2020·上海高一专题练习）对于11a -≤≤，不等式()2210x a x a +-+->恒成立的x 的取值范围是_____________ 24．（2020·上海高一专题练习）若1,(0,0,,a bx y a b x y+=>>为正常数且a b ，则实数x y +的取值范围_________.25．（2021·吴县中学高一月考）已知110,0,121a b a b b >>+=++，则+a b 的最小值为________.26．（2021·苏州市第五中学校高一月考）正实数x ，y 满足：21x y +=，则当21x y+取最小值时，x =___________.27．（2021·浙江衢州市·高一月考）已知0a >，0b >且25a b +=，则21ab a b++的最小值为___________.28．（2021·浙江高三月考）设实数a ，b 满足0a >，1a b +=，则22212a b a b ++-的最大值是________.29．（2021·安徽滁州市·高一期末）已知0,0,4a b a b >>+=，则411a b ++的最小值为__________.四、解答题30．（2021·安徽高三二模（文））已知a ，b ，c 为正数，且满足3a b c ++=. （1）证明：1113ab bc ac++≥. （23≥.31．（2021·吉林吉林市·高二三模（文））已知函数()41,f x x x x R =-+-∈ （1）解不等式：()5f x ≤（2）记()f x 的最小值为M ，若正实数,a b 满足a b M +=，试求：1121a b +++的最小值32．（2020·江苏常州市·常州高级中学高一期中）已知0x >，0y >，4xy x y a =++． （1）当12a =时，求xy 的最小值； （2）当0a =时，求41x y x y+++的最小值． 33．（2020·泰州市第二中学高一期中）设函数2(),,,f x ax bx c a b c R =++∈.（1）若1a =，且关于x 的不等式()0f x <的解集是()1,2，解不等式210bx cx ++>； （2）若0,1,1a b a c <=-=-，解关于x 的不等式()0f x >；（3）若0,()a f x >在区间[1,0]-上的最大值是c ，且(1)(3)f f ≤-，求22453||ab a u a-=-的取值范围. 34．（2020·泰州市第二中学高一期中）（1）已知正数a b 、满足121a b+=，求ab 的最小值；（2）已知1x <，求函数1()1f x x x =+-的最大值． 35．（2020·江苏省通州高级中学高一月考）已知(),0a b ∈+∞,，1a b +=，求12y a b=+的最小值. 解法如下：()1212233b ay a b a b a b a b⎛⎫=+=++=++≥+ ⎪⎝⎭， 当且仅当2b a a b =，即1a =，2b =- 则12y a b=+的最小值为3+.应用上述解法，求解下列问题：（1）已知(),,0,a b c ∈+∞，1a b c ++=，求111y a b c=++的最小值； （2）已知10,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x ，求1812y x x=+-的最小值； （3）已知正数123,,,,n a a a a ，满足1231n a a a a ++++=.求证：2222312122334112n n a a a a a a a a a a a a ++++≥++++. 36．（2020·上海高一专题练习）已知关于x 的一元二次方程x 2－(2k －1)x ＋k 2＋k －1＝0有实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若此方程的两个实数根x 1，x 2满足2212x x +＝11，求k 的值．37．（2020·泰州市第二中学高二月考）关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0 （1）若a=－2解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0（2）若a >0解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<038．（2021·浙江高二期末）设函数2()f x x ax b =-+．（1）若不等式()0f x <的解集是{23}xx <<∣，求不等式210bx ax -+<的解集； （2）当3b a =-时，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．39．（2021·全国高三专题练习）已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5(a ＞1)．若f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求实数a 的取值范围．40．（2021·安徽芜湖市·高一期末）在“基本不等式”应用探究课中，甲和乙探讨了下面两个问题：（1）已知正数x 、y 满足21x y +=，求12x y+的最小值.甲给出的解法是：由21x y +=≥，则128x y +≥=≥，所以12x y +的最小值为8.而乙却说这是错的.请你指出其中的问题，并给出正确解法；（2）结合上述问题（1）的结构形式，试求函数()1310122f x x x x ⎛⎫=+<< ⎪-⎝⎭的最小值.41．（2020·上海高一专题练习）求下列函数的最小值（1）21(0)x x y x x++=>；（2）2)y x R =∈；（3）226(1)1x x y x x ++=>-.42．（2020·上海高一专题练习）已知a ＞0，b ＞0，且a +b =1（1）求证：11(1)(1)9ab ++≥；（2）求证：4418a b +≥；（3）求证 (a +1a )(b +1b )≥254. 43．（2021·山东日照市·高一期末）已知函数2()21f x kx kx =+-.（1）若不等式()0f x <的解集为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，求实数k 的值；（2）若方程()0f x =在[]12，有解，求实数k 的取值范围. 44．（2020·河南高二月考（文））已知关于x 的不等式222ax x ax -+<. （1）当1a =时，解不等式222ax x ax -+<； （2）当0a ≠时，解等式222ax x ax -+≥. 五、双空题45．（2021·渝中区·重庆巴蜀中学高一期末）已知a ，b R +∈，且2284a b +=，则2+a b的最大值为______；4122a b ++的最小值为______．。

高中数学竞赛与强基计划试题专题：不等式一、单选题1．（2020·北京·高三强基计划）若正实数x ，y ，z ，w 满足x y w ≥≥和2()x y z w +≤+，则w zx y+的最小值等于（）A ．34B ．78C ．1D ．前三个答案都不对2．（2021·北京·高三强基计划）已知,,a b c +∈R ，且111()3a b c a b c ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭，则()444444111a b c a b c ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭的最小值是（）A．417+B．417-C ．417D ．以上答案都不对3．（2021·北京·高三强基计划）若a ，b ，c 为非负实数，且22225a b c ab bc ca ++---=，则a b c ++的最小值为（）A ．3B ．5C ．7D ．以上答案都不对二、填空题4．（2021·北京·高三强基计划）在锐角ABC 中，tan tan 2tan tan 3tan tan A B B C C A ++的最小值是_________．5．（2021·全国·高三竞赛）已知正实数122020,,,a a a 满足1220201a a a +++= ，则222202012122320201a a a a a a a a a ++++++ 的最小值为________．6．（2022·浙江·高二竞赛）设a ，b ，c ，d +∈R ，1abcd =，则21914a a+∑∑的最小值为______.7．（2021·全国·高三竞赛）设正实数122020,,,a a a 满足202011i i a ==∑，则120201min1i ii kk a a ≤≤=+∑最大值为_________．8．（2021秋·天津河北·高三天津外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）设0,0,25y x y x >>+=，则当=x _______时，12y y x +取到最大值．三、解答题9．（2023·全国·高三专题练习）设0()R[]nii i f x a x x ==∈∑，满足00,1,2,,.i a a i n ≤≤= 又设()0,1,,2i b i n = 满足22[()]nii i f x b x ==∑，证明：()2111.2n b f +⎡⎤≤⎣⎦10．（2023·全国·高三专题练习）设0()n ii i f x a x ==∑，1()n ii i g x c x +==∑是两个实系数非零多项式，且存在实数r 使得()()().g x x r f x =-记{}{}001max ,max i i i n i n a a c c ≤≤≤≤+==，证明：()1.a n c ≤+11．（2021·全国·高三竞赛）已知：a ，b ，0,2c a b c ≥++=，求证：11()1()1()bc ca ababc a b abc b c abc c a ++≤++++++.12．（2021·全国·高三竞赛）求所有的正实数a ，使得存在实数x 满足22sin cos 22x x a a +≥．13．（2022·新疆·高二竞赛）（1）若实数x ，y ，z 满足2221++=x y z ，证明：||||||-+-+-≤x y y z z x ；（2）若2023个实数122023,,, x x x 满足2221220231+++= x x x ，求12232022202320231-+-++-+- x x x x x x x x 的最大值．14．（2021·全国·高三竞赛）设m 为正整数，且21n m =+，求所有的实数组12,,,n x x x ，使得22221221i i nmx x x x x =++++ ，对所有1,2,,i n = 成立．15．（2021·全国·高三竞赛）求最大的正实数λ，使得对任意正整数n 及正实数01,,,n x x x ，均有010111.nn k k k k x x x x λ==≥+++∑∑ ．16．（2021·全国·高三竞赛）已知01({0,1,,10})i x i <<∈ 证明：存在,{0,1,2,,10}i j ∈ ，使得()1030i j j i x x x x <-<.17．（2021·全国·高三专题练习）已知：0a >，0b >，1a b +=.2<.18．（2021·全国·高三专题练习）已知a ，b 为正数，且a b ¹2112a b a b+>>>+.19．（2022·湖北武汉·高三统考强基计划）设()1,,2n x x n ⋅⋅⋅≥皆为正数，且满足1211112022202220222022n x x x ++⋅⋅⋅+=+++2022≥20．（2023·全国·高三专题练习）实数,,a b c 和正数λ使得()32f x x ax bx c =+++有三个实数根123,,x x x ．且满足：（1）21x x λ-=；（2）()31212x x x >+，求332279a c ab λ+-的最大值.21．（2021·全国·高三竞赛）设,1,2,,i a i n +∈=R ，记：121kk kn i i i kD C aa a =+++∑ ，其中求和是对1，2，…，n 的所有kn C 个k 元组合12,,,k i i i 进行的，求证：1.(1,2,,1)k k D D k n +≥=- ．22．（2021·全国·高三竞赛）已知12,,,n a a a R ∈L ，且满足222121n a a a +++= ，求122311n n n a a a a a a a a --+-++-+-L 的最大值.23．（2021·全国·高三竞赛）已知正实数12,,,(2)n a a a n > 满足121n a a a +++= ．证明：23131212121222(1)n n n n a a a a a a a a a a n a n a n n -+++≤+-+-+-- ．24．（2021·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考竞赛）数列{}n a 定义为11a =，()11111n n k k a a n n +==+≥∑．证明，存在正整数n ，使得2020n a >．25．（2021·全国·高三竞赛）给定正整数3n ≥．求最大的实数M ．使得211nk k k k a M a a =+⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭∑对任意正实数12,,,n a a a 恒成立，其中11n a a +=．26．（2019·河南·高二校联考竞赛）锐角三角形ABC 中，求证：cos()cos()cos()8cos cos cos B C C A A B A B C --- .27．（2022·贵州·高二统考竞赛）正数a ，b 满足+=1a b ，求证：2332211318a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．28．（2022·江苏南京·高三强基计划）已知整数1n >，证明：11!32nnn n n ++⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.29．（2022·浙江杭州·高三学军中学校考竞赛）设实数12,,,n a a a 满足11(1)(1)n n i i i i a a ==+=-∏∏，求1ni i a =∑的最小值.30．（2021·浙江·高二竞赛）设x ，y ，0z >1=，证明4224224225552221()()()x y z y z x z y x x y z y z x z y x +++++≥+++.高中数学竞赛与强基计划试题专题：不等式一、单选题1．（2020·北京·高三强基计划）若正实数x ，y ，z ，w 满足x y w ≥≥和2()x y z w +≤+，则w zx y+的最小值等于（）A ．34B ．78C ．1D ．前三个答案都不对【答案】D【分析】利用基本不等式可求最小值，从而可得正确的选项.【详解】根据题意，有2111122222w z w x y w w x w x y x y x y y +-+≥+=++-≥+-≥-，等号当1::::12x y z w =12-．2．（2021·北京·高三强基计划）已知,,a b c +∈R ，且111()3a b c a b c ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭，则()444444111a b c a b c ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭的最小值是（）A ．417+B ．417-C ．417D ．以上答案都不对【答案】A【分析】根据题设条件可设1ab =，利用柯西不等式可求最小值.【详解】由111()3a b c a b c ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭可得22111a b c ab a b ab c +⨯=⨯++，由对称性可设1ab =，则条件即1()3a b c a b c ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭即221a b c c a b ++=+，从而2221a b a b a b+≥⇒+≥++根据柯西不等式()()24444444411a b c a b a b c ⎛⎫++++≥++ ⎪⎝⎭242()4()3a b a b ⎡⎤=+-++⎣⎦417≥+等号当1,1c a b =+=417+3．（2021·北京·高三强基计划）若a ，b ，c 为非负实数，且22225a b c ab bc ca ++---=，则a b c ++的最小值为（）A ．3B ．5C ．7D ．以上答案都不对【答案】B【分析】利用非负性可求最小值.【详解】根据题意，有5a b c ++=≥=，等号当cyc (,,)(5,0,0)a b c =时可以取得，因此所求最小值为5．二、填空题4．（2021·北京·高三强基计划）在锐角ABC 中，tan tan 2tan tan 3tan tan A B B C C A ++的最小值是_________．【答案】6+++【分析】利用柯西不等式及三角形的恒等式可取最小值.【详解】记题中代数式为M ，我们熟知三角形中的三角恒等式：cot cot cot cot cot cot 1A B B C C A ++=，于是tan tan 2tan tan 3tan tan M A B B C C A=++2(1cot cot cot cot cot cot A B B C C A ≥++2(16=+=+，等号当tan tan tan tan tan :tan :tan A B B C C A A B C ==⇒=时取得，因此所求最小值为6+++5．（2021·全国·高三竞赛）已知正实数122020,,,a a a 满足1220201a a a +++= ，则222202012122320201a a a a a a a a a ++++++ 的最小值为________．【详解】由柯西不等式知()()()22220201212232220112232021a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫+++++++++⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭ ()2122201a a a ≥+++= ，且()()()1223202012a a a a a a ++++++= ，所以2222201212232020112a a a a a a a a a +++≥+++ ，且当12202012020a a a ==== 时取到等号．故答案为：12.6．（2022·浙江·高二竞赛）设a ，b ，c ，d +∈R ，1abcd =，则21914a a+∑∑的最小值为______.【答案】7316【详解】由题意可得1abc d=，且a b c d ，则()222222911141f a a b c a b c a b c abc=+++++++，原问题等价于求函数()f a 的最小值.322291()2214()d f a a a b c a b c d a '-⎛⎫=-+⋅-⋅- ⎪+++⎝⎭322221924()a da a a d a abcd --=+⋅-⋅+++()22223232229()4()a d a d a d a d a a b c d d --=-+++()()222222328()9()4()a d a b c d a d a d a a b c d d -+++--=+++()2223228()()94()a d a d a b c d a d a a b c d d -=⋅++++-+++，3a b c d a d ++++ ，22()(3)12a b c d a d ad ∴++++ ，2228()()9a d a b c d a d ∴++++-[]228()129332()3a d ad a d ad a d ad +⋅-=+- ，令()32()3g a a d ad =+-，则()323g a d '=-，由a b c d可得1d ≤，则()()'0,g a g a >单调递增，2()()643(643)0g a g d d d d d ∴=-=-> ，则()()'0,f a f a >单调递增，()()f a f d ≥，此时1a b c d ====，73()(1)16f a f =.7．（2021·全国·高三竞赛）设正实数122020,,,a a a 满足202011i i a ==∑，则120201min1i ii kk a a ≤≤=+∑最大值为_________．【答案】1【详解】解析：最大值为1记01202011min,1,11ii i k ii k kk a S x a x a ≤≤====+=+∑∑，则1i i i a x x -=-，故111i i i i i x x xS x x ---≤=-，即11i ix S x --≥，对1,2,3,,2020i = ,求和，并结合算术-几何平均不等式，有120202020101202020202020(1)202020202i i i x x S x x -=⎛⎫-≥≥⨯=⎪⎝⎭∑，故1S ≤1(((1,2,3,,2020)i i i a i -=-= 时取到．所以原式的最大值为18．（2021秋·天津河北·高三天津外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）设0,0,25y x y x >>+=，则当=x _______时，12y y x +取到最大值．【答案】52或2.5【分析】巧妙利用换元2log z x =得到111022z y ++=+，将12y y M x +=取对数运算得到2log (1)(1)1M y z =++-，将所求问题转化为求(1)(1)y z ++的最大值问题，由111022z y ++=+使用两次基本不等式可求出(1)(1)y z ++的最大值，考查等号取得条件即可.【详解】设12y y M x +=，则22log (1)log M y y x =++，设2log z x =，则2z x =，可知225z y +=，2log (1)(1)(1)1M y y z y z =++=++-.1111210222222z y z y +++++=+≥⋅≥⋅，(当且仅当z y =，即522yx ==时取等号.)所以5≥，故(1)(1)y z ++有最大值22(log 5)，所以2log M 就有最大值，即12y y M x +=有最大值.【点睛】使用基本不等式求最值关键是要有定值才能求最值，没有明显的定值要进行变形拼凑.在此题中拼凑的定值有:①225z y +=及111022z y ++=+，为求(1)(1)z y +++最大值做准备;②通过提取公因式实现因式分解拼凑乘积，(1)(1)(1)1y y z y z ++=++-，产生了(1)(1)y z ++与上面(1)(1)z y +++遥相呼应，可以使用基本不等式.三、解答题9．（2023·全国·高三专题练习）设0()R[]nii i f x a x x ==∈∑，满足00,1,2,,.i a a i n ≤≤= 又设()0,1,,2i b i n = 满足22[()]nii i f x b x ==∑，证明：()2111.2n b f +⎡⎤≤⎣⎦【分析】根据给定条件，利用多项式平方运算求出2[()]f x ，再利用赋值法结合已知及进行不等式的放缩，推理判断作答.【详解】22200[()]()()nni si i ji s i j sf x a x a a x==+===∑∑∑，于是s iji j sb a a+==∑，222000001111[(1)]()(2)(2)2222n n i i i j i j i j i i i j n i j n i j n f a a a a a a a a ==≤<≤≤<≤≤<≤==+≥=∑∑∑∑∑001ni j j i j n j a a a a =<≤=≥=∑∑，因为00,1,2,,i a a i n ≤≤= ，则211211001010111[(1)]2nn i j n n n n n ji j n j b a a a a a a a a a a a a a a a a f +--+=+===+++≤+++=≤∑∑ ，所以211[(1)]2n b f +≤.10．（2023·全国·高三专题练习）设0()nii i f x a x ==∑，1()n ii i g x c x +==∑是两个实系数非零多项式，且存在实数r 使得()()().g x x r f x =-记{}{}001max ,max i i i n i n a a c c ≤≤≤≤+==，证明：()1.a n c ≤+【分析】根据给定条件，利用多项式恒等定理求出多项式(),()f x g x 的对应项系数的关系，再按||1r ≤和||1r >讨论，并结合含绝对值不等式的性质推理作答.【详解】因为()()()g x x r f x =-，即1110101()()n n nn niii ii n i i i i i i n i i i i i c x x r a x a xra x ra a ra x a x +++-======-=-=-+-+∑∑∑∑∑，则有()0011,1,2,,,i i i n n c ra c a ra i n c a -+=-=-== ，于是2211121101231,,,,nn n n n n n n n n n a c a c rc a c rc r c a c rc r c r c +-+--++==+=++=++++ ，若1r ≤，则1111,||2n n n n n n n a c c a c rc c r c c +-++=≤=+=+⋅≤，2221111||3,n n n n n n n a c rc r c c r c r c c --+-+=++≤+⋅+≤ ，()22012311231||||||||||||||||1n n n n a c rc r c r c c r c r c r c n c ++=++++≤+⋅+⋅++⋅≤+ ，所以()1i a n c ≤+，于是()1a n c ≤+，若1r >，则11,r<由()0011,1,2,,,i i i n n c ra c a ra i n c a -+=-=-== ，得()0011111,1,2,,,i i i n n a c a a c i n a c r r r-+=-=-== ，于是00101012120122321111111111,,,,a c a a c c c a a c c c c r r r r r r r r r r =-=-=--=-=--- 101111111,n n n n n n a c c c a c r r r--+-=----= ，于是0001010122111111,2a c c c a c c c c c r r r r r r =-=<=--≤+<，201201232321111113,,a c c c c c c c r r r r r r=---≤++< 1011011111111111,n n n n n n n n n a c c c c c c nc a c c r r r r r r---+--=----≤+++<=≤ ，所以i a nc <，于是()1a n c <+，综上得：()1a n c ≤+.11．（2021·全国·高三竞赛）已知：a ，b ，0,2c a b c ≥++=，求证：11()1()1()bc ca ababc a b abc b c abc c a ++≤++++++.【详解】()()()()111abc a b ab bc ca c a b ab ⎡⎤⎣⎦++-++=-+⨯-，因为a ，b ，0,2c a b c ≥++=，所以()1,1c a b ab +≤≤.于是()1abc a b ab bc ca ++≥++，同理()1abc b c ab bc ca ++≥++，()1abc c a ab bc ca ++≥++.则：1()1()1()bc ca ababc a b abc b c abc c a ++++++++1bc ca abab bc ca ab bc ca ab bc ca≤++=++++++.故题中的不等式成立.12．（2021·全国·高三竞赛）求所有的正实数a ，使得存在实数x 满足22sin cos 22x x a a +≥．【详解】设22sin x t a =，则不等式化为20at t+-≥．当01a <<时，2[,1]t a ∈；当1a =时，1t =；当1a >时，2[1,]t a ∈．因此不等式可化为220t t a +≥-．设2()2f t t t a =-+，考虑()f t 在1和2a 之间恒小于零，则2(1)0,()0,0f f a a <<>，故()()21110a a a a <⎧⎪⎨-+-<⎪⎩，1a <<．所以a的取值范围是10,[1,)2⎛⎤⋃+∞ ⎥ ⎝⎦．13．（2022·新疆·高二竞赛）（1）若实数x ，y ，z 满足2221++=x y z ，证明：||||||-+-+-≤x y y z z x ；（2）若2023个实数122023,,, x x x 满足2221220231+++= x x x ，求12232022202320231-+-++-+- x x x x x x x x 的最大值．【详解】（1）不妨设x y z ≤≤，则||||||-+-+-=-+-+-x y y z z x y x z y zx2()=-=≤≤=z x .（2）因为2023为奇数，则1220231,, i x x x x x 中必存在1,i i x x +（令20241=x x ）同号，不妨设12,x x 同号，则：20233232023112112211232++===-=-+-≤-+++=∑∑∑ii i i i i i i xx x x x x x x x x x S ．不妨设210≥≥x x ，则122122-++=x x x x x，所以：20232322=⎫⎫=+≤≤=⎪⎪⎪⎪⎭⎭∑i i S x x当且仅当124130,,====== x x x xx或124130,,====== x x x x x 因此12232022202320231-+-++-+- x x x x x x xx 的最大值为14．（2021·全国·高三竞赛）设m 为正整数，且21n m =+，求所有的实数组12,,,n x x x ，使得22221221i i nmx x x x x =++++ ，对所有1,2,,i n = 成立．【分析】第一步化简原式，第二步利用AM GM -不等式即可得到1k =或2m ，这两种情况是对称的，不妨证明1k =的时候成立，所以原式成立.【详解】由已知22121,1,2,,i i njj mx x i nx==+=⋅⋅⋅∑，得22121ni jj i mx x x ==-∑，故221i i mx x -全相等．注意到若实数a b ¹满足2211a b a b =--，则ab a b =+，即1b a b =-．因此,1i b x b b ⎧⎫∈⎨⎬-⎩⎭，0,1,2,,b i n ≠= ．设i x 中有1bb -，21n k m k -=+-个b ，则有201k m ≤≤+，且()2222221(1)1b mb k m k b b b ⋅++-=--，即()21(1)21km k b m b ++--=-．由AM GM -不等式，若201k m <<+，()21(1)21km k b m b ++--≥≥-，因此必取等，即1k =或2m ，这两种情况是对称的，不妨1k =，则21(1)21m b m b +-=-，知11b m -=，则1,1m b a m m+==+．若0k =，则()21(1)2m b m +-=，即222(1)(1),12m m b a m m++==+．若21k m =+，则2121m m b +=-，即222(1)(1),21m m b a m m ++==+．综上可知，12,,,n x x x 要么1个21,+m m 个1m m +；要么全是22(1)1m m ++．15．（2021·全国·高三竞赛）求最大的正实数λ，使得对任意正整数n 及正实数01,,,n x x x ，均有010111.nnk k k k x x x x λ==≥+++∑∑ ．【分析】先取101231,2,4,,2n n x x x x x -===== ，通过对其求和可得λ的范围，再利用放缩法可得010101201111333n nx x x x x x x x x x x +++≥+++++++++ ，最后求出最大的正实数λ的值.【详解】一方面，取101231,2,4,,2n n x x x x x -===== ，得1111322nn kk λ-=-≥∑即1113122n n λ-⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭．令n →∞，得3λ≤．另一方面对正实数x ，y 有114x y x y+≥+，故0101114x x x x +≥+，012012114x x x x x x +≥+++，01230123114x x x x x x x x +≥+++++，……01101114n n nx x x x x x x -+≥++++++ ．以上各式相加，得010101201111333n nx x x x x x x x x x x +++≥+++++++++ ．故3λ=时，原不等式恒成立．综上，λ的最大值为3．16．（2021·全国·高三竞赛）已知01({0,1,,10})i x i <<∈ 证明：存在,{0,1,2,,10}i j ∈ ，使得()1030i j j i x x x x <-<.【详解】不妨1210x x x ≤≤≤ ，设()(,)i j j i f i j x x x x =-，当010i j ≤≤≤时，因为()()()22333i j j i i i j j j i j i x x x x x x x x x x x x -≤++-=-，即333(,)j i f i j x x ≤-，当且仅当i j =时，等号成立.故()()10103311131,1i i i i f i i x x -==-<-<∑∑，所以存在{1,2,,10}i ∈ ，使得13(1,)10f i i -<，即1(1,)30f i i -<.所以存在,{0,1,2,,10}i j ∈ ，使得()1030i j j i x x x x <-<.17．（2021·全国·高三专题练习）已知：0a >，0b >，1a b +=.2<.【分析】构造一个直角三角形，，<cos )2αα+≤,即得证.【详解】证明：为了使得条件1a b +=与待证式的中间部分在形式上接近一些，我们将该条件作如下变形：11222a b ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，进而有222⎫+=⎪⎪⎭.①（如图所示）.显然，这个直角三角形的三边长之间的关系是符合①的，从而满足条件1a b +=.由图所示，根据定理“三角形任意两边之和大于第三边”<.α=，α=.cos )24πααα⎛⎫+=+≤ ⎪⎝⎭∴2<成立.18．（2021·全国·高三专题练习）已知a ，b 为正数，且a b ¹2112a b a b+>>>+.【分析】如图所示，可先构造Rt ABC △，再构造Rt BCD ，最后，作Rt Rt BC D BCD '△≌△，由图形直观得AB BC BD BE >>>，即得证.=可先构造Rt ABC △，使得2a b BC +=，2a bAC -=，如图所示.此时，AB =.再以2a bBC +=为斜边，2a b CD -=为直角边构造Rt BCD，则BD =最后，作Rt Rt BC D BCD '△≌△，过点D 作DE BC ⊥'交BC '于点E ，由2BD BE BC =⋅'得22112BD BE a b BC a b=='+，由图形直观得AB BC BD BE >>>，2112a b a b+>>>+.19．（2022·湖北武汉·高三统考强基计划）设()1,,2n x x n ⋅⋅⋅≥皆为正数，且满足1211112022202220222022n x x x ++⋅⋅⋅+=+++2022≥【详解】证法一：由AM-GM 不等式有：()=120222022ni i i x x +∏=11=2022nk i i k x ≠+∑∏()11i n n =⎛≥- ⎝∏()()=11=2022nn i i n x -+∏，2022≥.证法二：不妨设12022i i y x =+,则12022,1iix i n y =-≤≤.从而原题转化为:已知111=,0<<20222022ni i i y y =∑,求证()=11ln 2022ln 20221ni i n n y ⎛⎫-≥-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭∑.令()11ln 20222022i f y y y ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭,则()()2214044=2022''y f y y y --.不失一般性,我们设12n y y y ≤≤≤ ,则：(1)若1214044n y y y ≤≤≤≤,由Jesen 不等式有：()()1111ln 202212022nn i i i f y nf y nf n n n n ==⎛⎫⎛⎫≥==-⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭∑∑.(2)若12114044n n y y y y -≤≤≤≤≤ .容易得到()1ni i f y =∑取得最小值当且仅当121n y y y -=== .20．（2023·全国·高三专题练习）实数,,a b c 和正数λ使得()32f x x ax bx c =+++有三个实数根123,,x x x ．且满足：（1）21x x λ-=；（2）()31212x x x >+，求332279a c ab λ+-的最大值.【分析】解法一：设12x m λ=-，22x m λ=+，()30x m t t =+>，利用韦达定理可化简所求式子为解法二：由()()()32311321232279222a c ab x x x x x x x x x +-=+-+-+-可令21x x λ=+，()3102x x n n λ=++>，由此可化简所求式子为3922n n λλ⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭，令0n t λ=>，()()39202g t t t t =->，利用导数可求得()max g t ，即为所求式子的最大值.【详解】解法一：由题意可设：12x m λ=-，22x m λ=+，()31212x x x m >+= ，∴可令()30x m t t =+>，由韦达定理得：()()123221223312232123332444a x x x m t b x x x x x x m mt c x x x m m t m t λλλ⎧⎪=-++=-+⎪⎪=++=+-⎨⎪⎪=-=--++⎪⎩，则()323222327929292727244a ab a a b m m t m t t λλ-=-=+---，3222272727272744c m m t m t λλ=--++，则323332279942a c abt t λλλ+--=要取得最大值，则23940t t λ->，()3223322791942a c abt t λλλ+-=-2=（当且仅当222948t t λ-=，即t=时取等号），又t =满足23940t t λ->，∴取0m =，2λ=，则t =，此时11x =-，21x =，3x =a =1b =-，c =时，3322792a c ab λ+-=，332279a c abλ+-∴解法二：323227927273333a a a a a c ab a b c f⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-+-+-+=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()()12312327333333a a a x x x a x a x a x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=------=------ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又123a x x x -=++，()()()32311321232279222a c ab x x x x x x x x x ∴+-=+-+-+-，令21x x λ=+，()3102x x n n λ=++>，322339227922224a c ab n n n n n λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+-=+-=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2233339222799422n n a c ab n n λλλλλ⎛⎫- ⎪+-⎛⎫⎝⎭∴==⋅- ⎪⎝⎭；令0nt λ=>，则3332279922a c abt t λ+-=-，令()()39202g t t t t =->，则()2962g t t '=-，令()0g t '=，解得：t =，∴当0,2t ⎛∈ ⎝⎭时，()0g t '>；当,2t ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0g t '<；()g t ∴在2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，()max22482g t g ⎛⎫∴==-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭；∴当2λ=，n =11x =-，21x =，3x =a =1b =-，c =332279a c ab λ+-=332279a c abλ+-∴21．（2021·全国·高三竞赛）设,1,2,,i a i n +∈=R ，记：121kk k ni i i k D C aa a =+++∑ ，其中求和是对1，2，…，n 的所有kn C 个k 元组合12,,,k i i i 进行的，求证：1.(1,2,,1)k k D D k n +≥=- ．【详解】任取121,,,k i i i a a a + ，由柯西不等式，有：()()1211211212111(1)(1)k j k k k j i i i i i i i i i i k a a a a k a a a a a a ++++=+≥+++-++++-+++∑ 1212(1)1k i i i k k a a a ++=⋅+++ ．所以()1211212111(1)1k k jk j i i i i i i i k k aa a aa a a +++=+++++++-∑∑∑．其中求和对1，2，…，n 的所有1k n C +个1k +元组合进行．上式左边实际上是一些k 元组合的求和，因对任意k 元组合12,,,k i i i a a a ，选这k 个数的1k +元组合有n k -个（余下的n k -个数中任意一个数都与其构成一个1k +元组合），故121121111()k j kk j i i i i i i i n k a a a a a a a ++==-+++-+++∑∑∑ ．这样便有1212121(1)1()k k i i i i i i k n k a a a k aa a ++-≥++++++∑∑ ，所以1212121(1)1C ()C k k kkni i i ni i i kk a a a n k aa a ++≥+++-+++∑∑ ．再注意到1()(1)k k n n n k C k C +-=+，即得：121211111C C k k k k ni i i n i i i k k aa a a a a +++≥++++++∑∑．这就证明了1k k D D +≥，其中1,2,,1k n =- ．即有121k k n D D D D D +≥≥⋅⋅⋅≥≥≥⋅⋅⋅≥．22．（2021·全国·高三竞赛）已知12,,,n a a a R ∈L ，且满足222121n a a a +++= ，求122311n n n a a a a a a a a --+-++-+-L 的最大值.【答案】当n为偶数时，最大值为n为奇数时，最大值为【详解】i j i j a a a a -≤+当且仅当·0i j a a ≤时等号成立.（1）当n 为偶数时，122311n n n a a a a a a a a --+-++-+-L 最大时，显然需满足10i i a a +⋅≤，否则用1i a +-替换1i a +依然满足条件，且值增大.设11n a a +=，所以()111112nn nii i i i i i i a aa a a ++===-≤+=≤=∑∑∑当且仅当i j a a ==i 为奇数，j 为偶数或i 为偶数，j 为奇数）时等号成立.（2）当n 为奇数时，122311,,,,n n n a a a a a a a a ----- 必存在()111,i i n a a a a ++=同号，不妨设12,a a 同号，则：112112211232A nn nii i i i i i i a aa a a a a a a a a ++===-=-+-≤-+++=∑∑∑.不妨设210a a ≥≥，则122122a a a a a -++=，所以：23A 2222ni i a a ==+≤≤=⎝∑当且仅当124130,a a a a a =======L L124130,,a a a a a ======L L .23．（2021·全国·高三竞赛）已知正实数12,,,(2)n a a a n > 满足121n a a a +++= ．证明：23131212121222(1)n n n n a a a a a a a a a a n a n a n n -+++≤+-+-+-- ．【详解】当4n ≥时，由平均值不等式知1111111n nn j i nj i j j j ia a a a n n --==≠⎛⎫- ⎪-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭⎪⎝⎭∑∏ ．又111i a n -<-，则131111n i i a a n n ---⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，所以231312112222n n n n a a a a a a a a a a n a n a n -++++-+-+- ()()3311(1)2ni i i a n a n =-≤-+-∑33321(10)1(1)(02)(1)(2)(1)ni n n n n n n =-<=≤-+----∑．当3n =时，即证312311(1)4=≤+∑i i i a a a a a ．由于()()()()11123121311111111411a a a a a a a a a ⎛⎫=≤+ ⎪+-+---⎝⎭，所以3112131111((1)4(1)(1)=≤++--∑∑i i i a a a a a a ()()2131111411a a a a ⎛⎫=+ ⎪--⎝⎭∑()2323123111414a a a a a a a +==-∑∑，所以31231111(1)44=≤=+∑∑i i i a a a a a a ．命题得证．24．（2021·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考竞赛）数列{}n a 定义为11a =，()11111nn k k a a n n +==+≥∑．证明，存在正整数n ，使得2020n a >．【详解】由题意2112a a =+=．对2n ≥，我们有：11nn k k na n a +==+∑；()1111n n k k n a n a -=-=-+∑．两式相减，得：11n n na na +-=，即()111n n a a n n+=+≥．对2n ≥有1111n n k a k-==+∑．取403621n =+，则114035220211122i i n n k i k a k k +-===+⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭∑∑∑1403521021122i i i i k ++==+⎛⎫>+ ⎪⎝⎭∑∑403501220202i ==+=∑，从而403621n =+满足要求．25．（2021·全国·高三竞赛）给定正整数3n ≥．求最大的实数M ．使得211nk k k k a M a a =+⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭∑对任意正实数12,,,n a a a 恒成立，其中11n a a +=．【答案】3,3,41, 4.n M n ⎧=⎪=⎨⎪≥⎩【详解】当4n ≥时，令1(1,2,,1)k k a xa k n +==- ，则2221111(1)11nk n k k k a x n a a x x -=+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑．当0x →时，2211(1)111n x n x x -⎛⎫⎛⎫-+→ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭．令1k k k a x a +=，则问题化为：121n x x x = ，证明：21111n k k x =⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭∑．当4n =时，首先证明：22111111x y xy⎛⎫⎛⎫+≥⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭．①①式332212x y xy x y xy ⇔++≥+，由均值不等式知成立．由①式知2412341123412341234211111111k k x x x x x x x x x x x x x x x x x =⎛⎫++≥+== ⎪++++++⎝⎭∑．假设n k =时，对任意正实数12,,,k x x x 结论成立．则1n k =+时，由对称性不妨设121,,,,k k x x x x + 中1k x +最大，则11k x +≥，所以22211111111k k k k x x x x ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≥ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由归纳假设知，此时结论成立．由数学归纳法知，2111nk k k k a a a =+⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭∑．故1M =．当1233,n a a a ===时，231134k k k k a a a =+⎛⎫= ⎪+⎝⎭∑．由于24111k k k k a a a =+⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭∑，令34a a =，则231134k k k k a a a =+⎛⎫≥⎪+⎝⎭∑，所以34M =．综上所述，3,3,41, 4.n M n ⎧=⎪=⎨⎪≥⎩26．（2019·河南·高二校联考竞赛）锐角三角形ABC 中，求证：cos()cos()cos()8cos cos cos B C C A A B A B C --- .【详解】原不等式等价于cos()cos()cos()8cos cos cos B C C A A B A B C--- .在三角形ABC 中，tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，cos()sin sin cos cos cos sin sin cos cos B C B C B C A B C B C -+=-tan tan 1tan tan 1B C B C +=-tan (tan tan 1)tan tan A B C B C +=+2tan tan tan tan tan A B CB C++=+.令tan tan tan tan tan tan A B xB C y C A z+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，则原不等式等价于()()()8z x y z x y yxz +++ .而上式左边8=，故原不等式得证27．（2022·贵州·高二统考竞赛）正数a ，b 满足+=1a b ，求证：2332211318a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．【详解】332211a b a b ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()()55234234222211(1)(1)11a b a b a aa ab b b b a b a b ----++++++++==()()23423411a aa ab b b b ab++++++++=23231111a a a b b b a b ⎛⎫⎛⎫=++++++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭231ab ⎫≥++++⎪⎭（柯西不等式），122a b +=，令t =231()1g t t t t t=++++，其中102t <≤，则2213()12341104g t t t t =-+++≤-+++<'，所以131()28g t g ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭．所以2332211318a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．28．（2022·江苏南京·高三强基计划）已知整数1n >，证明：11!32nnn n n ++⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【详解】解同除!n ：()()11111!3!2nnn nn n n n ++⋅<<，设()1!nnn a n +=，原题即证：23n nn a <<，而()2211111111C C 2nn nn n n n n n n aa n n n n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=++⋅+⋅⋅⋅+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以112121···2n n n n n a a a a a a ----⋅⋅⋅>，即1122n nn a a ->⋅=，1n >，又2211111C C nn n n n n a a n n -⎛⎫⎛⎫=++⋅++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭ 11122!3!!n <+++⋅⋅⋅+211112222n -<+++⋅⋅⋅+11332n -=-<，所以112121···<3n n n n n a a aa a a ----⋅⋅⋅，即1133n nn a a -<⋅<，1n >，综上可得：1n >时，23nnn a <<，即11!32n nn n n ++⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.29．（2022·浙江杭州·高三学军中学校考竞赛）设实数12,,,n a a a 满足11(1)(1)n n i i i i a a ==+=-∏∏，求1ni i a =∑的最小值.【分析】由特例可得当n 为偶数时，1||ni i a =∑的最小值为0，当n 为奇数时，问题可转化为“给定正奇数n ，设11,,n x x +⋯满足1(1,2,)i i x x i n +≠=，111n n i i i i x x +===∏∏,则111||2ni i i i i x x x x +=++≥-∑恒成立.”，利用逐步调整法可证后者.【详解】当n 为偶数时，取10n a a =⋯==，故1||ni i a =∑的最小值为0；当n 为奇数时，也可只取121,1a a =-=，其余为0，此时1||2ni i a ==∑，下证当n 为奇数时，12ni i a =≥∑恒成立.（利用换元可以得到更直观的形式如问题2）.问题2：给定正奇数n ，设11,,n x x +⋯满足1(1,2,)i i x x i n +≠=，111n n i i i i x x +===∏∏,则111||2ni i i i i x x x x +=++≥-∑恒成立.证明：注意到若10i i x x +⋅≥同号，即有111i i i i x x x x +++≥-，因为n 为正奇数，则必定存在一组0010i i x x +⋅≥同号，否则若1,i i x x +均异号，则111,nni i i i x x +==∏∏的符号必定相异.若还存在其他组10i i x x +≥，则可得111||2ni i i i i x x x x +=++≥-∑成立，若无其他组10,i i x x +≥同号，不妨10n n x x +≥，可设10,0n n x x +>>，（若等于0的可以进行小范围微调，只要不影响绝对值内数值的符号即可）.因为无其他组10,i i x x +≥同号，故122221221110,0,,0,0,0,0,,0,0,0k k k k n n n x x x x x x x x x --+-+><<>><<>> ，此时11,n x x +同号.记1i i i x d x +=，则11ni i d ==∏且对1i n ≤≤，11111.1i i i ii i i i i i x x d x x x x x x d ++++--+==-++设1121|1|1(,,,)11n i n n i i nd d f d d d d d -=-+=++-∑ ，下面将在11n i i d ==∏条件下进行调整.①若存在1,1k d k n >≤-.令()1,,,,n n k n i k i d d d d d d d i k n '==>='≠'则()()()()()'''1212211,,,,,,0.111n k k n n k n n k d d d f d d d f d d d d d d d --⋯-⋯=+>+--②若存在,1,1k l d d k l n <<≤-.令()'''1,,,,k l k l i i d d d d d d i k l ===≠则()()1212111,,,,,,111k l k l n n k l k l d d d d f d d d f d d d d d d d '''---⋯-⋯=+-+++()()()()()()1110111k l k l k l k l d d d d d d d d ---=>+++由上述讨论知，经过有限次调整可得：对1i n ≤-，除至多一个1i d ≠（设为)1d 外，其余1i d =.因此就有11n d d =，不妨设1n d >，则101d <<，故1121|1|1(,,,)11n i n n i i n d d f d d d d d -=-+⋯=++-∑111111n n n nd d d d -+≥+-+1111n n n n d d d d -+=++-2≥，原不等式得证.至此我们完成了问题2在奇数情况下的解答，即所求()max 2n λλ==.综上，当n 为偶数时，1||ni i a =∑的最小值为0；当n 为奇数时，1||ni i a =∑的最小值为2.30．（2021·浙江·高二竞赛）设x ，y ，0z >1=，证明4224224225552221()()()x y z y z x z y x x y z y z x z y x +++++≥+++.【详解】等价于已知x ，y ，0z >，1x y z ++=，证：()8445221x y z x y z +≥+∑，由三元均值不等式有()844522x y z x y z +≥+∑由柯西不等式有()84444622()x y z x y xyz yx ∏+⎛⎫=≥∏+ ⎪⎝⎭，所以有()()8446653()()xy z x y xyz xyz ++≥∏∏，则可知()844522x y z x y z +≥+∑由柯西不等式有()()()866444444322()893xyx y x xyxyz xxy ++≥≥≥+∏∏∑∑∑∏，则有()844522x y z x y z+≥+∑1x y z =++≥13≥，所以()8445221x y z x y z +≥+∑,所以原不等式成立.。

专题2.2基本不等式及其应用练基础1．（2021·曲靖市第二中学高三二模（文））已知(),,0,a b c ∈+∞，320a b c -+=，则b的（）A B ．最大值是3C ．最小值是D ．最小值是3【答案】B 【解析】由题意得32a cb +=，再代入所求式子利用基本不等式，即可得到答案；【详解】因为320a b c -+=，所以32a cb +=，所以3323c a b =≤=+，等号成立当且仅当3a c =.故选：B.2．（2021·山东高三其他模拟）已知a b ，均为正实数，则“2aba b≤+”是“16ab ≤”的（）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】取100,2a b ==可得由2ab a b ≤+推不出16ab ≤，反过来，由基本不等式可得由16ab ≤能推出2aba b≤+，然后可选出答案.【详解】取100,2a b ==，则2002102ab a b =<+，但20016ab =>，所以由2ab a b≤+推不出16ab ≤，反过来，若16ab ≤，则22ab a b ≤=≤+，当且仅当4a b ==时取等号，所以由16ab ≤能推出2ab a b ≤+，所以“2aba b≤+”是“16ab ≤”的必要不充分条件，故选：C3．（2021·吉林长春市·东北师大附中高三其他模拟（文））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC 的面积是()2214S b c =+，则ABC 的三个内角大小为（）A ．60ABC === B ．90,45A B C ===C ．120,30A B C ===D ．90,30,60A B C ===【答案】B 【解析】由ABC 的面积是()2214S b c =+，利用面积公式及基本不等式判断出90A =︒，由b=c 得45B C == .【详解】因为222b c bc +≥，所以()221142S b c bc =+≥（当且仅当b=c 时取等号）.而ABC 的面积是1sin 2S bc A =,所以11sin 22S bc A bc =≥，即sin 1A ≥，所以sin =1A ，因为A 为三角形内角，所以90A =︒.又因为b=c ，所以90,45A B C === .故选：B4．（2021·浙江高三月考）已知实数x ，y 满足2244x y +=，则xy 的最小值是（）A ．2-B ．C ．D ．1-【答案】D 【解析】运用三角代换法，结合二倍角的正弦公式、正弦型函数的最值性质进行求解即可.【详解】由22224414x x y y +=⇒+=，令2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，因此2cos sin sin 2xy θθθ==，因为1sin 21θ-≤≤，所以11xy -≤≤，因此xy 的最小值是1-，5．（2021·北京高三二模）某公司购买一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润s (万元)与机器运转时间t (年数，*t ∈N )的关系为22364s t t =-+-，要使年平均利润最大，则每台机器运转的年数t 为（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D 【解析】根据题意求出年平均利润函数。

专题05 一元二次不等式与其他常见不等式解法【考点预测】 1、一元二次不等式一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>≠，其中24b ac ∆=-，12,x x 是方程20(0)ax bx c a ++>≠的两个根，且12x x <（1）当0a >时，二次函数图象开口向上. （2）①若0∆>，解集为{}21|x x x x x ><或. ②若0∆=，解集为|2b x x R x a ⎧⎫∈≠-⎨⎬⎩⎭且. ③若0∆<，解集为R .(2) 当0a <时，二次函数图象开口向下. ①若0∆>，解集为{}12|x x x x << ②若0∆≤，解集为∅ 2、分式不等式 （1）()0()()0()f x f xg x g x >⇔> （2）()0()()0()f x f xg x g x <⇔< （3）()()0()0()0()f x g x f x g x g x ≥⎧≥⇔⎨≠⎩ （4）()()0()0()0()f x g x f x g x g x ≤⎧≤⇔⎨≠⎩ 3、绝对值不等式（1）22()()[()][()]f x g x f x g x >⇔>（2）()()(()0)()()()()f x g x g x f x g x f x g x >>⇔><-或；()()(()0)()()()f x g x g x g x f x g x <>⇔-<<；（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解1.已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)(n m ，（其中0>mn ），解关于x 的不等式02>++a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2>++c x b x a 的解集为)11(m n ，，即关于x 的不等式02>++a bx cx 的解集为)11(mn ，．已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，解关于x 的不等式02≤++a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2≤++c x b x a 的解集为)1[]1(∞+-∞，，m n 即关于x 的不等式02≤++a bx cx 的解集为)1[]1(∞+-∞，，mn ．2.已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)(n m ，（其中0>>m n ），解关于x 的不等式02>+-a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2>+-c x b x a 的解集为)11(n m --，即关于x 的不等式02>+-a bx cx 的解集为)11(nm --，． 3.已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，解关于x 的不等式02≤+-a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2≤+-c x b x a 的解集为)1[]1(∞+---∞，，n m 即关于x 的不等式02≤+-a bx cx 的解集为)1[]1(∞+---∞，，nm ，以此类推． 4.已知关于x 的一元二次不等式02>++c bx ax 的解集为R ，则一定满足⎩⎨⎧<∆>00a ；5.已知关于x 的一元二次不等式02>++c bx ax 的解集为φ，则一定满足⎩⎨⎧≤∆<00a ；6.已知关于x 的一元二次不等式02<++c bx ax 的解集为R ，则一定满足⎩⎨⎧<∆<00a ；7.已知关于x 的一元二次不等式02<++c bx ax 的解集为φ，则一定满足⎩⎨⎧≤∆>00a ．【题型归纳目录】题型一：不含参数一元二次不等式的解法 题型二：含参数一元二次不等式的解法例1．（2022·新疆乌鲁木齐·二模（理））不等式(2)(1)0x x +->的解集为（ ） A ．{2}xx <-∣ B ．{1}x x >∣ C ．{21}x x -<<∣ D ．{2∣<-xx 或1}x > 例2．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()25x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图象过定点(),m n ，则不等式210x mx n +++<的解集为（ ） A ．()1,3B ．()3,1--C ．()(),31,-∞-⋃+∞D ．()3,1-例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x =()21,02,0ln x x x x ⎧+≥⎨-<⎩，则不等式()2f x +<()22f x x +的解集是（ ） A ．（﹣2，1）B ．（0，1）C ．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）D ．（1，+∞）例4．（2022·全国·高三专题练习）关于x 的不等式()2210m m x m x -+++>的解集为R ，则实数m 的范围是（ ）A ．m <B ．m >C ．0m >D ．m >m <例5．（2022·全国·高三专题练习）若函数()23x f x x =+，则不等式()()124f x f x +≥-的解集为（ ）A ．[)3,+∞B ．(],2-∞C ．[]2,3D ．[]1,5【方法技巧与总结】解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相应方程根，将根标在x 轴上，结合图象，写出其解集 题型二：含参数一元二次不等式的解法例6．（2022·浙江·高三专题练习）不等式()()22200ax a x a -++≥<的解集为（ ）A ．2,1a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,[1,)a ⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．2(,1],a ⎫⎡-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭例7．（2022·全国·高三专题练习）设1a <-，则关于x 的不等式1()0a x a x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭的解集为（ ）A ．{|x x a <或1x a ⎫>⎬⎭B ．{x |x >a }C ．{x x a 或1x ⎫<⎬D ．1|x x ⎧⎫<⎨⎬ 8002222A ．2x m x m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B ．{|x x m <或2}x m > C ．2x x m m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．{|x x m >或2}x m<例9．（2022·全国·高三专题练习）在关于x 的不等式2(1)0x a x a -++<的解集中至多包含2个整数，则a 的取值范围是 A ．(3,5)-B ．(2,4)-C ．[3,5]-D ．[2,4]-例10．（2022·浙江·高三专题练习）设R a ∈，关于x 的二次不等式2220ax x a -->的解集为A ，集合{}12B x x =<<，满足A B ⋂≠∅，求实数a 的取值范围.例11．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式(kx －k 2－4)(x －4)＞0，其中k ∈R. (1)当k 变化时，试求不等式的解集A ；(2)对于不等式的解集A ，若满足A ∩Z ＝B (其中Z 为整数集)．试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最少的k 的所有取值，并用列举法表示集合B ；若不能，请说明理由．例12．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式21ln 02x mx x m ---<的解集为(,)a b ，其中0a >，若该不等式在(,)a b 中有且只有一个整数解，求实数m 的取值范围【方法技巧与总结】 1．数形结合处理． 2．含参时注意分类讨论．题型三：一元二次不等式与韦达定理及判别式例13．（2022·湖南岳阳·二模）已知关于x 的不等式2240ax bx ++<的解集为4,m m ⎛⎫⎪⎝⎭，其中0m <，则44b a b +的最小值为（ ） A ．2-B ．1C ．2D ．8例14．（2022·江苏南京·模拟预测）已知关于x 的不等式22430(0)x ax a a -+<<的解集为()12x x ，，则1212ax x x x ++的最大值是（ ） AB．CD． （多选题）例15．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(,2)(3,)-∞-⋃+∞，则（ ） A ．0a >0|6 0201132例16．（2022·全国·高三专题练习）若不等式2510ax x ++≤的解集为1123x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭，则不等式303x ax -<-的解集为___________.例17．（2022·全国·高三专题练习）已知不等式210ax bx --≥的解集是11|23⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭x x ，则不等式20x bx a --< 的解集是________.【方法技巧与总结】1．一定要牢记二次函数的基本性质．2．含参的注意利用根与系数的关系找关系进行代换． 题型四：其他不等式解法例18．（2022·上海市青浦高级中学高三阶段练习）不等式是12x>的解集为______． 例19．（2022·全国·高三专题练习）不等式111x >+的解集为___________. 例20．（2022·全国·高三专题练习）写出一个解集为()0,2的分式不等式___________.例21．（2022·上海·高三专题练习）关于x 230≥的解集为_________.例22．（2022·四川德阳·三模（文））对于问题:“已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()1,2-,解关于x 的不等式20ax bx c -+>”,给出如下一种解法: 解析:由20ax bx c ++>的解集()1,2-,得()()20a x b x c -+-+>的解集为()2,1-,即关于x 的不等式20ax bx c -+>的解集为()2,1-. 参考上述解法,若关于x 的不等式0k x b x a x c ++<++的解集为111,,1,32⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭关于x 的不等式1011kx bx ax cx ++<++的解集为____. 【方法技巧与总结】1．分式不等式化为二次或高次不等式处理． 2．根式不等式绝对值不等式平方处理． 题型五：二次函数根的分布问题例23．（2022·浙江·高三专题练习）若关于x 的方程2210ax ax -+=有两个不同的正根，则实数a 的取值范围24321131上为减函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,1]-∞-B ．55,34⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．5,13⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．55,34⎛⎫-- ⎪⎝⎭例25．（2022·全国·高三专题练习）若函数()()()1cos 23sin cos 212f x x a x x a x =+++-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数a 的取值范围为A ．11,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[)1,1,5⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．(]1,1,5⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭例26．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线322()13f x x x ax =-+-上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a 可能的取值（ ）A ．196B ．3C ．103 D ．92例27．（2022·全国·高三专题练习）若一元二次方程2(1)30mx m x -++=的两个实根都大于1-，则m 的取值范围____例28．（2022·全国·高三专题练习）设2()32f x ax bx c =++，若0,(0)0,(1)0a b c f f ++=>>，求证： (Ⅰ) 0a >且21ba-<<-； (Ⅰ)方程()0f x =在(0,1)内有两个实根. 【方法技巧与总结】解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正负，所对应的二次函数图象的开口方向.【过关测试】 一、单选题1．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））已知集合{}2280A x x x =--≤，203x B xx ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，则A B ⋃=（ ） A ．{}22x x -≤≤ B ．{}42,3x x x -≤≤≠- C ．{}34x x ≤≤D ．{}34x x -<≤2．（2022·河北·模拟预测）“11a <”是“2,20x x x a ∃∈-+<R ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3234|0{}2| 1114．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知函数()()ln ln 2cos 2f x x x x π=---，则关于t 的不等式()()20f t f t +<的解集为（ ）A ．()2,1-B ．(-C ．()0,1D ．(5．（2022·山西·二模（理））已知集合{}23A x x =∈<Z ，32B x a x a ⎧⎫=<<+⎨⎬⎩⎭，若A B 有2个元素，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()3,01,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．31,1,022⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6．（2022·重庆·高三阶段练习）若关于x 的不等式sin |sin |2x x k -≤对任意5,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数k 的取值范围为（ ）A ．[1,3]-B ．75,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[1,-D ．[1,7．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知实数a ，b 满足如下两个条件：（1）关于x 的方程2320x x ab --=有两个异号的实根；（2）211a b+=，若对于上述的一切实数a ，b ，不等式222a b m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()4,2-B ．()2,4-C ．][(),42,-∞-⋃+∞D ．][(),24,-∞-⋃+∞8．（2022·全国·高三专题练习）已知[1a ∈-，1]，不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，则x 的取值范围为()A ．(-∞，2)(3⋃，)∞+B ．(-∞，1)(2⋃，)∞+C ．(-∞，1)(3⋃，)∞+D ．(1,3)二、多选题9．（2022·全国·高三专题练习）若不等式2sin sin 20x a x -+≥对任意的0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则实数a 可能是A ．1B ．2C ．3D ．410．（2022·江苏·高三专题练习）已知不等式20ax bx c ++>的解集为{}x m x n <<，其中0m >，则以下选项正确的有（ ） A ．0a <B ．0c >2011201111222A ．当0m ≠时，()0f x <的解集为2mx x m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．当1m =时，[)12,1,x x ∀∈+∞时，()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦C ．121,,4x x m ⎛⎤∀∈-∞ ⎥⎝⎦且12x x ≠时，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭D ．当0m <时，若120x x <<，则()()2112>x f x x f x12．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知两个变量x ，y 的关系式(,)(1)f x y x y =-，则以下说法正确的是（ ）A ．(1,3)(3,1)0f f ==B ．对任意实数a ，都有1(,)4f a a ≤成立 C ．若对任意实数x ，不等式(,)4f x a x a -≤-+恒成立，则实数a 的取值范围是[5,3]- D ．若对任意正实数a ，不等式(,)4f x a x a -≤-+恒成立，则实数x 的取值范围是(,0)-∞ 三、填空题13．（2022·全国·高三专题练习）不等式210ax x c a++>的解集为{|21}x x -<<，则函数y =递增区间是_______14．（2022·浙江·高三专题练习）若不等式2(3)16x b -<的解集中的整数有且仅有1，2，3，则实数b 的取值范围是___________.15．（2022·全国·高三专题练习）若关于x 的不等式()2220x a x a -++->恰有1个正整数解，则a 的取值范围是___________.16．（2022·全国·高三专题练习）设a ，b ，c R ∈，对任意满足1x 的实数x ，都有21ax bx c ++，则a b c++的最大可能值为__. 四、解答题17．（2022·北京·高三学业考试）已知函数2()1f x x mx =++（m 是常数）的图象过点(1,2)． (1)求()f x 的解析式；(2)求不等式()21f x x <+的解集．18．（2022·江西·高三期末（文））已知()|2||1|f x x x =++-. (1)解不等式()8f x x ≤+；(2)若关于x 的不等式2()2f x m m ≥-在R 上恒成立，求实数m 的取值范围.192320010 0 21(3)设1x ，2x 是方程()0f x =123||2x x -<．20．（2022·浙江·高三专题练习）若不等式2(1)460a x x 的解集是{31}x x -<<． (1)解不等式22(2)0x a x a ；(2)b 为何值时，230ax bx ++≥的解集为R ．21．（2022·全国·高三专题练习）解关于x 的不等式：()()21100ax a x a +--<<. 22．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数()2f x ax bx c =++.（1）若()10f -=，试判断函数()f x 零点个数； （2）是否存在,,a b c ∈R ，使()f x 同时满足以下条件： ①对任意,(4)(2)x R f x f x ∈-=-，且()0f x ≥； ②对任意x ∈R ，都有210()(1)2f x x x ≤-≤-.若存在，求出,,a b c 的值，若不存在，请说明理由.专题05 一元二次不等式与其他常见不等式解法【考点预测】 1、一元二次不等式一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>≠，其中24b ac ∆=-，12,x x 是方程20(0)ax bx c a ++>≠的两个根，且12x x <（1）当0a >时，二次函数图象开口向上. （2）①若0∆>，解集为{}21|x x x x x ><或. ②若0∆=，解集为|2b x x R x a ⎧⎫∈≠-⎨⎬⎩⎭且. ③若0∆<，解集为R .(2) 当0a <时，二次函数图象开口向下. ①若0∆>，解集为{}12|x x x x << ②若0∆≤，解集为∅ 2、分式不等式 （1）()0()()0()f x f xg x g x >⇔> （2）()0()()0()f x f xg x g x <⇔< （3）()()0()0()0()f x g x f x g x g x ≥⎧≥⇔⎨≠⎩ （4）()()0()0()0()f x g x f x g x g x ≤⎧≤⇔⎨≠⎩ 3、绝对值不等式（1）22()()[()][()]f x g x f x g x >⇔>（2）()()(()0)()()()()f x g x g x f x g x f x g x >>⇔><-或；()()(()0)()()()f x g x g x g x f x g x <>⇔-<<；（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解1.已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)(n m ，（其中0>mn ），解关于x 的不等式02>++a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2>++c x b x a 的解集为)11(m n ，，即关于x 的不等式02>++a bx cx 的解集为)11(mn ，．已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，解关于x 的不等式02≤++a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2≤++c x b x a 的解集为)1[]1(∞+-∞，，m n 即关于x 的不等式02≤++a bx cx 的解集为)1[]1(∞+-∞，，mn ．2.已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)(n m ，（其中0>>m n ），解关于x 的不等式02>+-a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2>+-c x b x a 的解集为)11(n m --，即关于x 的不等式02>+-a bx cx 的解集为)11(nm --，． 3.已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，解关于x 的不等式02≤+-a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2≤+-c x b x a 的解集为)1[]1(∞+---∞，，n m 即关于x 的不等式02≤+-a bx cx 的解集为)1[]1(∞+---∞，，nm ，以此类推． 4.已知关于x 的一元二次不等式02>++c bx ax 的解集为R ，则一定满足⎩⎨⎧<∆>00a ；5.已知关于x 的一元二次不等式02>++c bx ax 的解集为φ，则一定满足⎩⎨⎧≤∆<00a ；6.已知关于x 的一元二次不等式02<++c bx ax 的解集为R ，则一定满足⎩⎨⎧<∆<00a ；7.已知关于x 的一元二次不等式02<++c bx ax 的解集为φ，则一定满足⎩⎨⎧≤∆>00a ．【题型归纳目录】题型一：不含参数一元二次不等式的解法 题型二：含参数一元二次不等式的解法例1．（2022·新疆乌鲁木齐·二模（理））不等式(2)(1)0x x +->的解集为（ ） A ．{2}xx <-∣ B ．{1}x x >∣ C ．{21}x x -<<∣ D ．{2∣<-xx 或1}x > 【答案】D 【解析】 【分析】结合一元二次不等式的解法求得正确答案即可. 【详解】由(2)(1)0x x +->解得2x <-，或1x >，所以不等式(2)(1)0x x +->的解集为{2∣<-x x 或1}x >， 故选：D.例2．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()25x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图象过定点(),m n ，则不等式210x mx n +++<的解集为（ ） A ．()1,3 B ．()3,1-- C ．()(),31,-∞-⋃+∞ D ．()3,1-【答案】D 【解析】 【分析】根据指数型函数的定点求解,m n ，代入后再求解一元二次不等式. 【详解】当2x =时，()220255154f aa -=-=-=-=-，故2,4m n ==-，所以不等式为2230x x +-<，解得31x -<<，所以不等式的解集为()3,1-. 故选：D例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x =()21,02,0ln x x x x ⎧+≥⎨-<⎩，则不等式()2f x +<()22f x x +的解集是（ ） A ．（﹣2，1） B ．（0，1）C ．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）D ．（1，+∞）【答案】C 【解析】 【分析】根据()f x 解析式，可得()f x 的单调性，根据条件，可得x +2＜x 2+2x ，根据一元二次不等式的解法，即可得21020 0所以()f x 在R 上递增，不等式()2f x +<()22f x x +，可化为x +2＜x 2+2x ，即x 2+x ﹣2＞0，解得x ＞1或x ＜﹣2， 则原不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）. 故选：C例4．（2022·全国·高三专题练习）关于x 的不等式()2210m m x m x -+++>的解集为R ，则实数m 的范围是（ ）A ．m <B ．m >C ．0m >D ．m >m <【答案】B 【解析】 【分析】根据该不等式是否为二次不等式，分情况讨论. 【详解】当0m =时，该不等式为210x -+>，解集为12x <，不成立； 当0m ≠时，由不等式的解集为R ，得()()2Δ2410m m m m >⎧⎪⎨=+-+<⎪⎩，解得m >故选：B.例5．（2022·全国·高三专题练习）若函数()23x f x x =+，则不等式()()124f x f x +≥-的解集为（ ）A ．[)3,+∞B ．(],2-∞C ．[]2,3D ．[]1,5【答案】D 【解析】 【分析】根据奇偶性定义可知()f x 为偶函数，并根据指数函数和二次函数单调性确定()f x 的单调性，从而将所求不等式转化为124x x +≥-，解不等式可求得结果.【详解】223302332()f x ∴在[)0,∞+上为增函数，则()f x 在(],0-∞上为减函数；由()()124f x f x +≥-可得：124x x +≥-，即()()22124x x +≥-，解得：15x ≤≤，即不等式()()124f x f x +≥-的解集为[]1,5. 故选：D.【方法技巧与总结】解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相应方程根，将根标在x 轴上，结合图象，写出其解集 题型二：含参数一元二次不等式的解法例6．（2022·浙江·高三专题练习）不等式()()22200ax a x a -++≥<的解集为（ ）A ．2,1a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,[1,)a ⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．2(,1],a ⎫⎡-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】解：原不等式可以转化为：()()120x ax --≥，当0a <时，可知2()(1)0x x a --≤，对应的方程的两根为1，2a，根据一元二次不等式的解集的特点，可知不等式的解集为：2[,1]a. 故选：A.例7．（2022·全国·高三专题练习）设1a <-，则关于x 的不等式1()0a x a x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭的解集为（ ）A ．{|x x a <或1x a ⎫>⎬⎭B ．{x |x >a }C ．{x x a 或1x a ⎫<⎬⎭D ．1|x x a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭【答案】A 【解析】 【分析】111010又因为当1a <-时，1a a >，所以不等式1()0x a x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭的解集为：{|x x a <或1x a ⎫>⎬⎭． 故选：A ． 【点睛】本题考查含参一元二次不等式的解法，较简单，解答时，注意根的大小关系比较.例8．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y -=-，且当0x <时，()0f x >，则关于x 的不等式()()()()2222f mx f m f m x f x +>+（其中0m < ）A ．2x m x m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B ．{|x x m <或2}x m >C ．2x x m m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．{|x x m >或2}x m<【答案】A 【解析】 【分析】先判断函数()f x 单调递减，再利用已知条件和函数的单调性得()()20mx x m --<，解不等式即得解. 【详解】任取12x x <，由已知得()120f x x ->，即()()120f x f x ->，所以函数()f x 单调递减．由()()()()2222f mx f m f m x f x +>+可得()()()()2222f mx f x f m x f m ->-，即()22f mx x f ->()22m x m -，所以2222mx x m x m -<-，即()22220mx m x m -++<，即()()20mx x m --<，又因为0m << 所以2m m >，此时原不等式解集为2x m x m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．故选：A 【点睛】方法点睛：解抽象函数不等式一般先要判断函数的单调性，再利用单调性化抽象函数不等式为具体的函数不等式解答.9202【解析】 【详解】因为关于x 的不等式2(1)0x a x a -++<可化为(1)()0x x a --<， 当1a >时，不等式的解集为1x a <<， 当1a <时，不等式的解集为1<<a x ，要使得解集中至多包含2个整数，则4a ≤且2a ≥-，所以实数a 的取值范围是[2,4]a ∈-，故选D.点睛：本题主要考查了不等式解集中整数解的存在性问题，其中解答中涉及到一元二次不等式的求解，元素与集合的关系等知识点的综合应用，试题比较基础，属于基础题，同时着重考查了分类讨论思想的应用，解答中正确求解不等式的解集是解答的关键.例10．（2022·浙江·高三专题练习）设R a ∈，关于x 的二次不等式2220ax x a -->的解集为A ，集合{}12B x x =<<，满足A B ⋂≠∅，求实数a 的取值范围. 【答案】()(),22,∞∞--⋃+ 【解析】 【分析】由题意0a ≠，求出方程2220ax x a --=的两根，讨论a 的正负，确定二次不等式的解集A 的形式，然后结合数轴列出不等式求解即可得答案. 【详解】解：由题意0a ≠，令2220ax x a --=，解得两根为1211x x aa ==由此可知120,0x x <>， 当0a >时，解集{}{}12||A x x x x x x =<>，因为120,1x x <>，所以A B ⋂≠∅的充要条件是22x<，即12a ，解得2a >；当0a <时，解集{}12|A x x x x =<<，因为120,2x x <<，所以A B ⋂≠∅的充要条件是21>x ，即11a>，解得2a <-；综上，实数a 的取值范围为()(),22,∞∞--⋃+.例11．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式(kx －k 2－4)(x －4)＞0，其中k ∈R. (1)当k 变化时，试求不等式的解集A ；(2)对于不等式的解集A ，若满足A ∩Z ＝B (其中Z 为整数集)．试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得2321012（1）对k 进行分类讨论，结合一元二次不等式的解法求得不等式的解集A . （2）结合（1）的结论进行分类讨论，结合基本不等式求得和正确答案. (1)当k ＝0时，A ＝{x |x <4}；当k >0且k ≠2时，A ＝{x |x <4或4x k k>+}； 当k ＝2时，A ＝{x |x ≠4}；当k <0时，A ＝{x |4k k+<x <4}． (2)由（1）知：当k ≥0时，集合B 中的元素的个数有无限个；当k <0时，集合B 中的元素的个数有限，此时集合B 为有限集． 因为4k k+＝－[(－k )＋()4k -]≤－4，当且仅当k ＝－2时取等号， 所以当k ＝－2时，集合B 中的元素个数最少，此时A ＝{x |－4<x <4}，故集合B ＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}．例12．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式21ln 02x mx x m ---<的解集为(,)a b ，其中0a >，若该不等式在(,)a b 中有且只有一个整数解，求实数m 的取值范围 【答案】12ln2(,]43-【解析】 【分析】将不等式转化为22ln 2(1)x x m x ->+，构造函数22ln ()=2(1)x xf x x -+，利用导数判断单调性，结合题意即可求解.【详解】关于x 的不等式21ln 02x mx x m ---<化为：22ln 2(1)x x m x ->+，令22ln ()=2(1)x xf x x -+，0x >，则3222222ln ()2(1)x x x x xf x x x +--+'=+．令32()2222ln u x x x x x x =+--+，2()342ln u x x x x '=++在(0,)+∞上单调递增，因此存在0(0,1)x ∈，使得20000()342ln 0u x x x x '=++=，20002ln 34x x x =--， 3232232200000000000000000()2222ln 222(34)22222(1)(1)0u x x x x x x x x x x x x x x x x x =+--+=+--+--=----=-++<，110210011011f （1）14=，f （2）2ln23-=．关于x 的不等式21ln 02x mx x m ---<的解集为(,)a b ，其中0a >， 该不等式在(,)a b 中有且只有一个整数解，∴实数m 的取值范围是12ln2(,]43-．【方法技巧与总结】 1．数形结合处理．2．含参时注意分类讨论．题型三：一元二次不等式与韦达定理及判别式例13．（2022·湖南岳阳·二模）已知关于x 的不等式2240ax bx ++<的解集为4,m m ⎛⎫⎪⎝⎭，其中0m <，则44b a b +的最小值为（ ） A ．2- B ．1 C ．2 D ．8【答案】C 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解与方程根的关系求出系数1a =，确定2b ≥，然后结合基本不等式得最小值． 【详解】2240ax bx ++<的解集为4,m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则2240ax bx ++=的两根为m ，4m ，∴44m m a ⋅=，∴1a =，42m b m +=-，则424b m m=-+≥-，即2b ≥，44244b b a b b +=+≥，当且仅当4b =时取“=”， 故选：C.例14．（2022·江苏南京·模拟预测）已知关于x 的不等式22430(0)x ax a a -+<<的解集为()12x x ，，则1212ax x x x ++的最大值是（ ） AB．CD． 【答案】D 【解析】124212322430(0)x ax a a -+<<的解集为()12x x ，，则12x x ，是方程22430-+=x ax a 的两个根，故124x x a +=，2123x x a =，故1212143a x x a x x a++=+ 因为0a <，所以有基本不等式得：114433a a a a ⎡⎤⎛⎫+=--+-≤-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，当且仅当143a a -=-即a =1212a x x x x ++的最大值为 故选：D（多选题）例15．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(,2)(3,)-∞-⋃+∞，则（ ） A ．0a >B ．不等式0bx c +>的解集是{}|6x x <-C ．0a b c ++>D ．不等式20cx bx a -+<的解集为11(,)(,)32-∞-⋃+∞【答案】ABD 【解析】 【分析】根据不等式20ax bx c ++>的解集判断出0a >，结合根与系数关系、一元二次不等式的解法判断BCD 选项的正确性.【详解】关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()(),23,,0,A a ∞∞--⋃+∴>选项正确； 且－2和3是关于x 的方程20ax bx c ++=的两根，由韦达定理得2323b a c a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，则,6b a c a =-=-，则60a b c a ++=-<，C 选项错误； 不等式0bx c +>即为60ax a -->，解得6,B x <-选项正确；不等式20cx bx a -+<即为260ax ax a -++<，即2610x x -->，解得13x <-或1,D 2x >选项正确. 故选：ABD .1625101123⎧⎫303 23【分析】由不等式2510ax x ++≤的解集为1123x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭可得参数a 的值，则不等式303x ax -<-也具体化了，按分式不等式解之即可. 【详解】由不等式2510ax x ++≤的解集为1123x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭，可知方程251=0ax x ++有两根121123x x =-=-，，故6a =，则不等式303x ax -<-即3603x x -<-等价于3(2)(3)0x x --<， 不等式3(2)(3)0x x --<的解集为{}23x x <<， 则不等式303x ax -<-的解集为{}23x x <<， 故答案为：{}23x x <<.例17．（2022·全国·高三专题练习）已知不等式210ax bx --≥的解集是11|23⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭x x ，则不等式20x bx a --< 的解集是________.【答案】{|23}x x << 【解析】【分析】根据给定的解集求出a ，b 的值，再代入解不等式即可作答. 【详解】依题意，12-，13-是方程210ax bx --=的两个根，且0a <，于是得11()()23111()()23b aa ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪-⨯-=-⎪⎩，解得：6,5ab =-=，因此，不等式20x bx a --<为：2560x x -+<，解得23x <<， 所以不等式20x bx a --< 的解集是{|23}x x <<. 故答案为：{|23}x x <<12例18．（2022·上海市青浦高级中学高三阶段练习）不等式是12x>的解集为______． 【答案】10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】 由12x>可得120x ->，结合分式不等式的解法即可求解.【详解】 由12x >可得120x ->，整理可得：120xx ->，则()210x x -<，解可得：102x <<. 所以不等式是12x >的解集为: 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故答案为：10,2⎛⎫⎪⎝⎭.例19．（2022·全国·高三专题练习）不等式111x >+的解集为___________. 【答案】()1,0- 【解析】【分析】根据分式不等式的解法进行求解. 【详解】1111000101111x x x x x x x ->⇒->⇒>⇒<⇒-<<++++, 故答案为：()1,0-.例20．（2022·全国·高三专题练习）写出一个解集为()0,2的分式不等式___________. 【答案】02xx <- 【解析】 【分析】由题意根据分式不等式的解法，得出结论. 【详解】一个解集为()0,2的分式不等式可以是02xx <-， 022123【答案】[4,5) 【解析】 【分析】通过2330x x -+>0≥恒成立，将不等式最终转化为405010x x x -≥⎧⎪->⎨⎪+≠⎩，解出即可.【详解】解：对于233x x -+，有23340∆=-⨯<，则2330x x -+>恒成立，0≥恒成立，2323(34)00150x x x x ⎧--≥⎪≥⇔+⎨⎪->⎩又2333(34)(4)(1)11x x x x x x ---+=++， 23(34)0150x x x x ⎧--≥⎪∴+⎨⎪->⎩， 2333(34)(4)(1)x x x x --=-+405010x x x -≥⎧⎪∴->⎨⎪+≠⎩解得不等式的解集为[4,5).故答案为：[4,5). 【点睛】本题考查分式不等式的求解，发现部分因式恒大于零，以及分母不为零是解题的关键，是中档题. 例22．（2022·四川德阳·三模（文））对于问题:“已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()1,2-,解关于x 的不等式20ax bx c -+>”,给出如下一种解法: 解析:由20ax bx c ++>的解集()1,2-,得()()20a x b x c -+-+>的解集为()2,1-,即关于x 的不等式20ax bx c -+>的解集为()2,1-. 参考上述解法,若关于x 的不等式0k x b x a x c ++<++的解集为111,,1,32⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭关于x 的不等式1011kx bx ax cx ++<++的解集为____. 【答案】()()3,11,2--.101111011【详解】 若关于x 的不等式0k x b x a x c ++<++的解集为111,,1,32⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则关于x 的不等式1011kx bx ax cx ++<++可看成前者不等式中的x 用1x 代入可得，则1111,,132x ⎛⎫⎛⎫∈--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()3,11,2x ∈--⋃. 故解集为：()()3,11,2--.【点睛】本题考查不等式的解法，考查方法的类比，正确理解题意是关键．【方法技巧与总结】1．分式不等式化为二次或高次不等式处理． 2．根式不等式绝对值不等式平方处理． 题型五：二次函数根的分布问题例23．（2022·浙江·高三专题练习）若关于x 的方程2210ax ax -+=有两个不同的正根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()0,1 B ．()0,∞+C ．()1,+∞D ．(),0-∞【答案】C 【解析】 【分析】由0a ≠，判别式0∆>及根与系数关系列出不等式组，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】因为关于x 的方程2210ax ax -+=有两个不同的正根，所以2044010a a a a ⎧⎪≠⎪∆=->⎨⎪⎪>⎩，解得1a >，故实数a 的取值范围是()1,+∞.故选：C例24．（2022·全国·高三专题练习）已知函数321()13f x x ax x =+++在(,0)-∞，(3,)+∞上为增函数，在()1,2上为减函数，则实数a 的取值范围为（ ） 55345135534求导得到2()21'=++f x x ax ，然后根据()f x 在(,0)-∞，(3,)+∞上为增函数，在()1,2上为减函数，由(0)0(1)0(2)0(3)0f f f f ''≥⎧⎪≤⎪⎨''≤⎪⎪≥⎩求解. 【详解】已知函数321()13f x x ax x =+++，则2()21'=++f x x ax ，因为()f x 在(,0)-∞，(3,)+∞上为增函数，在()1,2上为减函数，所以(0)0(1)0(2)0(3)0f f f f ''≥⎧⎪≤⎪⎨''≤⎪⎪≥⎩，即10121044109610a a a ≥⎧⎪++≤⎪⎨++≤⎪⎪++≥⎩，解得 5534a -≤≤-， 所以实数a 的取值范围为55,34⎡⎤--⎢⎥⎣⎦故选：B 【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性以及二次函数与根的分布，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.例25．（2022·全国·高三专题练习）若函数()()()1cos 23sin cos 212f x x a x x a x =+++-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数a 的取值范围为A ．11,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[)1,1,5⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．(]1,1,5⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】化简函数f （x ），根据f （x ）在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，f ′（x ）≤0恒成立，由此解不等式求出a 的取值范围．【详解】1232122∴在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上,f ′(x )=−sin 2x +3a (cosx −sinx )+2a −1≤0恒成立，∵设4t cosx sinx x π=⎛⎫ ⎪⎝-⎭-，∴当x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时,444x πππ-⎥∈-⎡⎤⎢⎣⎦，,t ∈[−1,1]，即−1≤cosx −sinx ≤1，令t ∈[−1,1],sin 2x =1−t 2∈[0,1]，原式等价于t 2+3at +2a −2≤0，当t ∈[−1,1]时恒成立，令g (t )=t 2+3at +2a −2，只需满足312(1)510a g a ⎧-≤-⎪⎨⎪=-≤⎩或312(1)10ag a ⎧-≥⎪⎨⎪-=--≤⎩或3112(1)510(1)10a g a g a ⎧-<-<⎪⎪=-≤⎨⎪-=--≤⎪⎩，解得∅或213a -≤≤-或2135a -<≤，综上，可得实数a 的取值范围是11,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选：A . 【点睛】本题考查三角函数的公式及导数的应用，解题的关键是利用换元将不等式恒成立问题转化为一元二次不等式恒成立问题，属于较难题.例26．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线322()13f x x x ax =-+-上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a 可能的取值（ ） A ．196B ．3C ．103 D ．92【答案】AC 【解析】 【分析】本题先求导函数并根据题意建立关于m 的方程，再根据根的分布求a 的取值范围，最后判断得到答案即可. 【详解】 解：∵ 322()13f x x x ax =-+-， 22222232223022230且可知1210m m +=>，则1200m m ∆>⎧⎨⋅>⎩，即2242(3)0302a a ⎧-⨯⨯->⎪⎨->⎪⎩， 解得：732a <<，所以a 的取值可能为196，103. 故选：AC. 【点睛】本题考查求导函数，导数的几何意义，根的分布，是中档题.例27．（2022·全国·高三专题练习）若一元二次方程2(1)30mx m x -++=的两个实根都大于1-，则m 的取值范围____【答案】2m <-或5m ≥+ 【解析】根据一元二次方程根的分布建立不等式组，解之可得答案. 【详解】由题意得应满足0,11,20,(1)0m m m mf ≠⎧⎪+⎪>-⎪⎨⎪∆≥⎪->⎪⎩解得：2m <-或5m ≥+.故答案为：2m <-或5m ≥+.例28．（2022·全国·高三专题练习）设2()32f x ax bx c =++，若0,(0)0,(1)0a b c f f ++=>>，求证： (Ⅰ) 0a >且21ba-<<-； (Ⅰ)方程()0f x =在(0,1)内有两个实根. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅰ）见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）先由条件求得,a c 的符号，结合条件可得； （Ⅰ）根据(0),(1)()3bf f f a-的符号可得. 【详解】020 000020故21ba-<<-. （Ⅰ）函数2()32f x ax bx c =++的顶点坐标为23(,)33b ac b a a--，在21b a -<<-的两边乘以13-，得12333b a <-<.又因为(0)0,(1)0,f f >>而22()0,33b a c acf a a+--=-<又因为2()32f x ax bx c =++在(0,)3ba -上单调递减，在(,1)3b a-上单调递增， 所以方程()0f x =在区间(0,)3ba -与(,1)3b a-内分别各有一实根. 【方法技巧与总结】解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正负，所对应的二次函数图象的开口方向.【过关测试】 一、单选题1．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））已知集合{}2280A x x x =--≤，203x B xx ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，则A B ⋃=（ ） A ．{}22x x -≤≤ B ．{}42,3x x x -≤≤≠- C ．{}34x x ≤≤ D ．{}34x x -<≤【答案】D 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解法和简单分式不等式的解法求出集合,A B ，然后根据并集的定义即可求解. 【详解】解：因为集合{}{}228024A x x x x x =--≤=-≤≤，()(){}2302032330x x x B x x x x x x ⎧⎫⎧-+≤⎧⎫-⎪⎪=≤==-<≤⎨⎬⎨⎨⎬++≠⎩⎭⎩⎪⎪⎩⎭，所以{}34A B x x ⋃=-<≤， 故选：D.2．（2022·河北·模拟预测）“11a <”是“2,20x x x a ∃∈-+<R ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件22012,20x x x a ∃∈-+<R ，则要满足440a ∆=->，解得：1a <，因为11a <⇒1a <，但111a a <⇒<故“11a <”是“2,20x x x a ∃∈-+<R ”的必要不充分条件. 故选：B3．（2022·陕西·模拟预测（理））已知集合234|0A x x x ，{}2|B x a x a =<<，若A B =∅，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞- B ．[)4,+∞ C ．()(),12,4-∞-⋃ D ．[][)1,24,-⋃+∞【答案】D 【解析】 【分析】由题知{}1,4A =-，进而分B =∅和B ≠∅空集两种情况讨论求解即可. 【详解】解：由题知{}{}2|3401,4A x x x =--==-，因为A B =∅， 所以，当{}2|B x a x a=<<=∅时，2a a≥，解得01a ≤≤，当{}2|B x a x a =<<≠∅时，2241a a a a ⎧≤⎪≥-⎨⎪>⎩或24a a a ≥⎧⎨>⎩，解得[)(][)1,01,24,a ∈-+∞，综上，实数a 的取值范围是[][)1,24,-⋃+∞. 故选：D4．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知函数()()ln ln 2cos 2f x x x x π=---，则关于t 的不等式()()20f t f t +<的解集为（ ）A ．()2,1- B．(-C ．()0,1D．(【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式判断函数关于点(1,0)成中心对称，再由基本初等函数判断函数单调性，转化原不等式后求 22022又()()ln ln 2cos2f x x x x π=---的定义域为(0,2)，由πln ,ln(2),cos 2y x y x y x ==--=-在(0,2)上单调递增知， ()()ln ln 2cos2f x x x x π=---在(0,2)上递增，()()20f t f t +<，()20(2)f f t t ∴+-<-，即()2(2)f t f t <-，22t t ∴<-，解得21t -<<，又20202t t <<⎧⎨<<⎩，解得0t << 所以01t <<. 故选：C5．（2022·山西·二模（理））已知集合{}23A x x =∈<Z ，32B x a x a ⎧⎫=<<+⎨⎬⎩⎭，若A B 有2个元素，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()3,01,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．31,1,022⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】由题知{}1,0,1A =-，进而根据题意求解即可. 【详解】解：因为{}{}231,0,1A x Z x =∈<=-，32B x a x a ⎧⎫=<<+⎨⎬⎩⎭，若A B 有2个元素，则13012a a <-⎧⎪⎨<+≤⎪⎩或10312a a -≤<⎧⎪⎨+>⎪⎩，解得312a -<<-或102a -<<， 所以，实数a 的取值范围是31,1,022⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D ．6．（2022·重庆·高三阶段练习）若关于x 的不等式sin |sin |2x x k -≤对任意5,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数k 的7522。

《基本不等式》专题一、相关知识点1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)； (2)a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)．(3)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号且不为零)； (4)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(5)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R)．2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2(a ，b ∈R)．(6)a 2＋b 22≥(a ＋b )24≥ab (a ，b ∈R)．(7)a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a >0，b >0)． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则：(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)5．重要不等式链 若a ≥b ＞0，则a ≥a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b≥b . 题型一 基本不等式的判断1．若a ，b ∈R ，则下列恒成立的不等式是( )A.|a ＋b |2≥|ab | B ．b a ＋ab ≥2 C.a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 D ．(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4 2．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2abC ．1a ＋1b >2abD ．b a ＋ab ≥23．下列命题中正确的是( )A ．函数y ＝x ＋1x 的最小值为2 B ．函数y ＝x 2＋3x 2＋2的最小值为2C ．函数y ＝2－3x －4x (x ＞0)的最小值为2－4 3D ．函数y ＝2－3x －4x(x ＞0)的最大值为2－4 34．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，则( )A ．R <P <QB ．Q <P <RC ．P <Q <RD ．P <R <Q题型二 利用基本不等式求最值类型一 直接法或配凑法利用基本不等式求最值1．若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________．2．已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝4，则1ab 的最小值为3．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为4．已知x <0，则函数y ＝4x ＋x 的最大值是5．函数f (x )＝xx ＋1的最大值为6．若x ＞1，则x ＋4x －1的最小值为________．7．设0<x <2，则函数y ＝x (4－2x )的最大值为________．8．若x ，y 均为正数，则3x y ＋12yx ＋13的最小值是9．已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________．10．已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．11．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为12．已知x ，y 为正实数，则4x x ＋3y ＋3yx的最小值为13．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________.14．已知a >0，b >0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是15．已知x ，y 都为正实数，且x ＋y ＋1x ＋1y ＝5，则x ＋y 的最大值是16．已知a >b >0，则2a ＋4a ＋b ＋1a －b的最小值为17．已知正数a ，b 满足2a 2＋b 2＝3，则a b 2＋1的最大值为________．类型二 常数代换法利用基本不等式求最值1．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的最小值为________．2．已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3，则2a ＋1b 的最小值为________．3．已知正实数x ，y 满足2x ＋y ＝2，则2x ＋1y 的最小值为________．4．已知正项等比数列{a n }的公比为2，若a m a n ＝4a 22，则2m ＋12n 的最小值为5．已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)，且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x ＋2y 的最小值是6．已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为7．若直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，则2a ＋b 的最小值为________．8．已知a >0，b >0，函数f (x )＝a log 2x ＋b 的图像经过点⎝⎛⎭⎫4，12，则1a ＋2b 的最小值为________．9．已知函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋1n 的最小值为10．已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值是11．已知直线l ：ax ＋by －ab ＝0(a >0，b >0)经过点(2,3)，则a ＋b 的最小值为________．12．已知x ，y 均为正实数，且1x ＋2＋1y ＋2＝16，则x ＋y 的最小值为13．若a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝2，则4a ＋1＋1b ＋c 的最小值是14．已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝3，则y x ＋1y 的最小值为________．15．设a >0，b >1，若a ＋b ＝2，则3a ＋1b －1的最小值为________．16．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求：(1)xy 的最小值；(2)x ＋y 的最小值．类型三 通过消元法利用基本(均值)不等式求最值1．若正实数m ，n 满足2m ＋n ＋6＝mn ，则mn 的最小值是________．2．已知正实数x ，y 满足xy ＋2x ＋y ＝4，则x ＋y 的最小值为________．3.设x ，y 均为正数，且xy ＋x －y －10＝0，则x ＋y 的最小值是________.4．已知x >0，y >0，且2x ＋4y ＋xy ＝1，则x ＋2y 的最小值是________．类型四：利用基本不等式求参数值或取值范围1．若对于任意的x ＞0，不等式xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则实数a 的取值范围为2．已知函数y ＝x ＋mx －2(x >2)的最小值为6，则正数m 的值为________．3．若对x >0，y >0，x ＋2y ＝1，有2x ＋1y ≥m 恒成立，则m 的最大值是________．4．已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b恒成立，则m 的最大值为5．正数a ，b 满足1a ＋9b ＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是________．6．已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意的正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为7．已知函数f (x )＝3x 2＋ax ＋26x ＋1，若存在x ∈N ＋使得f (x )≤2成立，则实数a 的取值范围为___题型三 基本不等式的综合问题类型一 基本不等式的实际应用问题1．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元2．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝__________吨．3．某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x (单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S (单位：m 2)． (1)求S 关于x 的函数关系式；(2)求S 的最大值．类型二 基本不等式与函数的交汇问题1．已知A ，B 是函数y ＝2x 的图象上不同的两点，若点A ，B 到直线y ＝12的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，－2)C ．(－∞，－3)D ．(－∞，－4)类型三 基本不等式与数列的交汇问题1．已知a >0，b >0，并且1a ，12，1b 成等差数列，则a ＋9b 的最小值为2．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 8－2S 4＝5，则a 9＋a 10＋a 11＋a 12的最小值为3．设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n (n ∈N ＋)，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n 的最小值是______.类型四 基本不等式与解析几何的交汇问题1． 已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c的最小值是2．当双曲线M ：x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率最小时，M 的渐近线方程为3．两圆x 2＋y 2－2my ＋m 2－1＝0和x 2＋y 2－4nx ＋4n 2－9＝0恰有一条公切线，若m ∈R ，n4m2＋1n2的最小值为∈R，且mn≠0，则。

（每个专题时间：35分钟，满分：60分）1．函数y =的定义域是（ ）A ．[1,)+∞B ．23(,)+∞ C ．23[,1] D ．23(,1]2．函数221()1x f x x -=+, 则(2)1()2f f = （ ） A ．1 B ．－1 C ．35D ．35-3．圆222430x y x y +-++=的圆心到直线1x y -=的距离为（ ）A ．2 BC ．1 D4．不等式221x x +>+的解集是（ ） A ．(1,0)(1,)-+∞ B ．(,1)(0,1)-∞- C ．(1,0)(0,1)- D ．(,1)(1,)-∞-+∞5．sin163sin 223sin 253sin313+=（ ）A ．12-B ．12C． D6．若向量a 与b 的夹角为60，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-,则向量a 的模为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．127．已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件。

那么p 是q 成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 8．不同直线,m n 和不同平面,αβ，给出下列命题 （ ）①////m m αββα⎫⇒⎬⊂⎭ ② //////m n n m ββ⎫⇒⎬⎭ ③ ,m m n n αβ⊂⎫⇒⎬⊂⎭异面 ④ //m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⎭其中假命题有：（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个9． 若{}n a 是等差数列，首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，则使前n 项和0n S > 成立的最大自然数n 是 （ ） A ．4005 B ．4006 C ．4007 D ．400810．已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为 （ ）A ．43B ．53C ．2D ．7311．已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯炮，这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯炮使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯炮的概率为 （ ）A ．2140B ．1740C ．310D ．712012． 如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是A ．258B ．234C ．222D ．2101．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，3，5}，则()U C A B 等于( )A ．{1，2，4}B ．{4}C ．{3，5}D ．∅2．︒+︒15cot 15tan 的值是（ ）A ．2B ．2+3C ．4D ．334 3．命题p ：若a 、b ∈R ，则|a |+|b|>1是|a +b|>1的充要条件；命题q ：函数y=2|1|--x 的定义域是（－∞，－1]∪[3，+∞).则（ ）A ．“p 或q ”为假B ．“p 且q ”为真C ．p 真q 假D ．p 假q 真4．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率为（ ）A ．32 B ．33 C ．22 D ．235．设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S Sa a 则（ ） A ．1B ．－1C ．2D ．216．已知m 、n 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题：其中真命题的个数是（ ） ①若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n ； ②若m ∥α，m ∥β，则α∥β； ③若α∩β=n ，m ∥n ，则m ∥α且m ∥β； ④若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β.A ．0B ．1C ．2D ．37．已知函数y=log 2x 的反函数是y=f —1(x )，则函数y= f —1(1－x )的图象是（ ）8．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b) ⊥a ，(b －2a ) ⊥b ，则a 与b 的夹角是（ ）A ．6π B ．3π C ．32π D ．65π 9．已知8)(xa x -展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是（ ）A ．28B ．38C ．1或38D ．1或2810．如图，A 、B 、C 是表面积为48π的球面上三点，AB=2，BC=4，∠ABC=60º，O 为球心，则直线OA 与截面ABC 所成的角是（ ） A ．arcsin 63 B ．arccos 63C ．arcsin 33 D ．arccos 3311．定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x +2)，当x ∈[3，4] 时，f(x)= x －2，则 （ ） A ．f (sin21)<f (cos 21) B ．f (sin 3π)>f (cos 3π) C ．f (sin1)<f (cos1) D ．f (sin 23)>f (cos 23) 12．如图，B 地在A 地的正东方向4 km 处，C 地在B 地的北偏东30°方向2 km 处，河流的沿岸PQ （曲线）上任意一点到A 的距离比到B 的距离远2km ，现要在曲线PQ 上任意选一处M 建一座码头，向B 、C 两地转运货物，经测算，从M 到B 、C 两地修建公路的费用都是a 万元/km 、那么修建这两条公路的总费用最低是（ ）A ．(7+1)a 万元B ．(27－2) a 万元C ．27a 万元D ．(7－1) a 万元专题训练（三）1．已知平面向量a =（3，1），b =（x ，–3），且a b ⊥，则x= （ ） A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 2．已知{}{}2||1|3,|6,A x x B x xx =+>=+≤则A B =（ ）A ．[)(]3,21,2-- B ．(]()3,21,--+∞C ． (][)3,21,2--D ．(](],31,2-∞-3．设函数2322,(2)()42(2)x x f x x x a x +⎧->⎪=--⎨⎪≤⎩在x=2处连续,则a= （ ）A ．12-B ．14- C ．14 D ．134．已知等比数列{n a }的前n 项和12-=n n S ，则++2221a a …2n a +等于（ ）A ．2)12(-nB ．)12(31-nC ．14-nD ．)14(31-n5．函数f(x)22sin sin 44f x x x ππ=+--（）（）（）是（ ） A ．周期为π的偶函数 B ．周期为π的奇函数 C ． 周期为2π的偶函数 D ．.周期为2π的奇函数6．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000,有四台这中型号的自动机床各自独立工作,则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（ ）A ．0.1536B ． 0.1808C ． 0.5632D ． 0.97287．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是（ ）A ．23 B ． 76 C ． 45 D ． 568．若双曲线2220)x y kk -=>（的焦点到它相对应的准线的距离是2，则k= （ ） A ． 6 B ． 8C ． 1D ． 49．当04x π<<时,函数22cos ()cos sin sin xf x x x x =-的最小值是（ ） A ． 4 B ． 12 C ．2 D ． 1410．变量x 、y 满足下列条件：212,2936,2324,0,0.x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨+=⎪⎪≥≥⎩ 则使z=3x+2y 的值最小的（x ，y ）是 （ ）A ． ( 4.5 ,3 )B ． ( 3,6 )C ． ( 9, 2 )D ． ( 6, 4 )11．若tan 4f x x π=+（）（），则（ ） A ． 1f -（）>f (0)>f (1) B ． f （0）>f(1)>f (-1) C ． 1f （）>f (0)>f (-1) D ． f （0）>f(-1)>f (1) 12．如右下图,定圆半径为 ( b ,c ), 则直线ax+by+c=0 与直线 x –y+1=0的交点在( )A ． 第四象限B ． 第三象限C ．第二象限D ． 第一象限1．设集合P={1A ．{1，2} B ． {3，4} C ． {1} D ． {-2，-1，0，1，2}2．函数y=2cos 2x+1(x ∈R )的最小正周期为 （ ）A ．2πB ．πC ．π2D ．π43．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有（ ）A ．140种B ．120种C ．35种D ．34种4．一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是（ ）A ．33π100cmB ． 33π208cmC ． 33π500cmD ． 33π3416cm 5．若双曲线18222=-by x 的一条准线与抛物线x y 82=的准线重合，则双曲线的离心率为 （ ）A ．2B ．22C ． 4D ．246．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示. 根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 （ ）A ．0.6小时B ．0.9小时C ．1.0小时D ．1.5小时 7．4)2(x x +的展开式中x 3的系数是（ ） A ．6 B ．12 C ．24 D ．488．若函数)1,0)((log ≠>+=a a b x y a 的图象过两 点(-1，0)和(0，1)，则（ ）A ．a =2,b=2B ．a = 2 ,b=2C ．a =2,b=1D ．a = 2 ,b= 29．将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分 别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是（ ）A ．5216B ．25216C ．31216D ．9121610．函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是（ ）A ．1，-1B ．1，-17C ．3，-17 D．9，-1911．设k>1，f(x)=k(x-1)(x ∈R ) . 在平面直角坐标系xOy 中，函数y=f(x)的图象与x 轴交于A 点，它的反函数y=f -1(x)的图象与y 轴交于B 点，并且这两个函数的图象交于P 点. 已知四边形OAPB 的面积是3，则k 等于 （ ）A ．3B ．32C ．43D ．6512．设函数)(1)(R x xxx f ∈+-=，区间M=[a ，b](a<b)，集合N={M x x f y y ∈=),(}，则使M=N 成立的实数对(a ，b)有 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数多个人数(人)时间(小时)专题训练（五）1．若θθθ则角且,02sin ,0cos <>的终边所在象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．对于10<<a ，给出下列四个不等式，其中成立的是( )① )11(log )1(log a a a a +<+ ②)11(log )1(log aa a a +>+ ③aa a a 111++<④aaaa 111++>A ．①与③B ．①与④C ．②与③D ．②与④3．已知α、β是不同的两个平面，直线βα⊂⊂b a 直线,，命题b a p 与:无公共点；命题βα//:q . 则q p 是的( )A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件 4．圆064422=++-+y x y x 截直线x -y -5＝0所得弦长等于（ ） A ．6 B ．225 C ．1 D ．5 5．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p 1，乙解决这个问题的概率是p 2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是( )A ．21p pB ．)1()1(1221p p p p -+-C ．211p p -D ．)1)(1(121p p --- 6．已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(x y x P =⋅满足，则点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 7．已知函数1)2sin()(--=ππx x f ，则下列命题正确的是( )A ．)(x f 是周期为1的奇函数B ．)(x f 是周期为2的偶函数C ．)(x f 是周期为1的非奇非偶函数D ．)(x f 是周期为2的非奇非偶函数 8．已知随机变量ξ的概率分布如下：则==)10(ξP ( )A ．932 B ．103 C ．93 D ．103 9．已知点)0,2(1-F 、)0,2(2F ，动点P 满足2||||12=-PF PF . 当点P 的纵坐标是21时，点P 到坐标原点的距离是( )A ．26 B ．23 C ．3D ．210．设A 、B 、C 、D 是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是( )A ．π68B ．π664C ．π224D ．π27211．若函数)sin()(ϕω+=x x f 的图象（部分）如图所示，则ϕω和的取值是( )A ．3,1πϕω==B ．3,1πϕω-==C ．6,21πϕω==D ．6,21πϕω-== 12．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐， 并且这2人不．左右相邻，那么不同排法的种数是( )A ．234B ．346C ．350D ．3631．设集合U A ．{2} B ．{2，3} C ．{3} D ． {1，3} 2．已知函数=-=+-=)(,21)(,11lg )(a f a f x x x f 则若（ ） A ．21 B ．－21 C ．2 D ．－23．已知a +b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a +3b |=（ ） A ．7 B ．10C ．13D ．44．函数)1(11>+-=x x y 的反函数是 （ ）A ．)1(222<+-=x x x yB ．)1(222≥+-=x x x y C ．)1(22<-=x x x y D ．)1(22≥-=x x x y5．73)12(xx -的展开式中常数项是（ ）A ．14B ．－14C ．42D ．－426．设)2,0(πα∈若,53sin =α则)4cos(2πα+=（ ） A ．57B ．51C ．27 D ．47．椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF =（ ） A ．23B ．3C ．27 D ．48．设抛物线x y 82=的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是（ ）A ．]21,21[-B ．[－2，2]C ．[－1，1]D ．[－4，4]9．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度10．已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H ，设四面体EFGH 的表面积为T ，则ST等于（ ）A ．91 B ．94 C ．41 D ．31 11．从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是（ ）A ．95 B ．94 C ．2111 D ．2110 12．已知ca bc ab a c c b b a ++=+=+=+则,2,2,1222222的最小值为（ ）A ．3－21B ．21－3C ．－21－3D ．21+31．已知集合}032|{|,4|{22<--=<=x x x N x x M ，则集合N M ⋂=（ ） A ．{2|-<x x } B ．{3|>x x } C ．{21|<<-x x } D ． {32|<<x x }2．函数)5(51-≠+=x x y 的反函数是（ ） A ．)0(51≠-=x x y B ．)(5R x x y ∈+=C ．)0(51≠+=x xy D ．)(5R x x y ∈-=3．曲线1323+-=x x y 在点（1，－1）处的切线方程为（ ） A ．43-=x y B ．23+-=x y C ．34+-=x y D ．54-=x y4．已知圆C 与圆1)1(22=+-y x 关于直线x y -=对称，则圆C 的方程为（ ）A ．1)1(22=++y xB ．122=+y xC ．1)1(22=++y xD ．1)1(22=-+y x5．已知函数)2tan(ϕ+=x y 的图象过点)0,12(π，则ϕ可以是（ ）A ．6π-B ．6π C ．12π-D ．12π 6．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（ ） A ．75° B ．60° C ．45° D ．30° 7．函数xe y -=的图象（ ） A ．与xe y =的图象 关于y 轴对称B ．与xe y =的图象关于坐标原点对称C ．与x e y -=的图象关于y 轴对称D ．与xe y -=的图象关于坐标原点对称 8．已知点A （1，2）、B （3，1），则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A ．524=+y x B ．524=-y x C ．52=+y x D ．52=-y x 9．已知向量a 、b 满足：|a |=1，|b |=2，|a －b |=2，则|a +b |=（ ） A ．1B ．2C ．5D ．610．已知球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为2π，则球心O 到平面ABC 的距离为（ ）A ．31 B ．33 C ．32 D ．36 11．函数x x y 24cos sin +=的最小正周期为（ ）A ．4π B ．2π C ．π D ．2π12．在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（ ） A ．56个 B ．57个 C ．58个 D ．60个专题训练（八）1、设集合22,1,,M x y xy x R y R =+=∈∈，2,0,,N x y xy x R y R =-=∈∈，则集合MN 中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42、函数sin 2xy =的最小正周期是（ ） A ．2πB ．πC ．2πD ．4π3、记函数13xy -=+的反函数为()y g x =，则(10)g =（ ） A ． 2 B ． 2-C ． 3D ． 1- 4、等比数列{}n a 中，29,a = 5243a =，则{}n a 的前4项和为（ ）A ． 81B ． 120C ．168D ． 1925、圆2240x y x +-=在点(P 处的切线方程是（ ）A ． 20x +-=B ． 40x +-=C ． 40x -+=D ． 20x +=6、61x ⎫⎪⎭展开式中的常数项为（ ）A ． 15B ． 15-C ． 20D ． 20-7、若△ABC 的内角满足sin A ＋cos A ＞0，tan A -sin A ＜0，则角A 的取值范围是（ ）A ．（0，4π） B ．（4π，2π） C ．（2π，43π） D ．（43π，） 8、设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为12y x =±，则双曲线的离心率e =（ ）A ． 5B ．C ．D ． 549、不等式113x <+<的解集为（ ）A ． ()0,2B ． ()()2,02,4- C ． ()4,0- D ． ()()4,20,2--10、正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为（ ）A ．B ．C ． 3D ．11、在ABC 中，3,4AB BC AC ===，则边AC 上的高为（ ）A ．B ．C ． 32D ．12、4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（ ）A ． 12 种B ． 24 种C 36 种D ． 48 种1．设集合U={1U A ．{5} B ．{0，3} C ．{0，2，3，5} D ． {0，1，3，4，5}2．函数)(2R x e y x∈=的反函数为（ ） A ．)0(ln 2>=x x y B ．)0)(2ln(>=x x y C ．)0(ln 21>=x x y D ．)0(2ln 21>=x x y 3．正三棱柱侧面的一条对角线长为2，且与底面成45°角，则此三棱柱的体积为（ ） A ．26 B ． 6C ．66 D ．36 4． 函数)1()1(2-+=x x y 在1=x 处的导数等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．为了得到函数xy )31(3⨯=的图象，可以把函数xy )31(=的图象（ ）A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度6．等差数列}{n a 中，78,24201918321=++-=++a a a a a a ，则此数列前20项和等于 A ．160 B ．180 C ．200 D ．2207．已知函数kx y x y ==与41log 的图象有公共点A ，且点A 的横坐标为2，则k （ ）A ．41-B ．41 C ．21-D ．21 8．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆C 的方程为（ ）A ．03222=--+x y xB ．0422=++x y xC ．03222=-++x y x D ．0422=-+x y x9．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（ ）A ．210种B ．420种C ．630种D ．840种10．函数))(6cos()3sin(2R x x x y ∈+--=ππ的最小值等于（ ） A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．－511．已知球的表面积为20π，球面上有A 、B 、C 三点.如果AB=AC=BC=23，则球心到平面ABC 的距离为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．212．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为23，那么b =（ ） A ．231+ B ．31+ C ．232+ D ．32+1．设集合A ．PQ P = B ．P Q 包含Q C ．P Q Q = D ． P Q 真包含于P2． 不等式21≥-xx 的解集为（ ） A ． )0,1[- B ． ),1[+∞- C ．]1,(--∞ D ．),0(]1,(+∞--∞ 3．对任意实数,,a b c 在下列命题中，真命题是（ ）A ．""ac bc >是""a b >的必要条件B ．""ac bc =是""a b =的必要条件C ．""ac bc >是""a b >的充分条件D ．""ac bc =是""a b =的充分条件 4．若平面向量b 与向量)2,1(-=的夹角是o 180，且53||=，则=b （ ） A ． )6,3(- B ． )6,3(- C ． )3,6(- D ． )3,6(-5．设P 是双曲线19222=-y ax 上一点，双曲线的一条渐近线方程为023=-y x ，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点。

考点05一元二次方程、不等式（2种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法．【知识点】1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)与一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)，不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解的对应关系判别式Δ＝b 2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数的图象方程的根有两个不相等的实数根x 1，x 2(x 1<x 2)有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－b 2a没有实数根不等式的解集{x |x ≠－b2a}R 2．分式不等式与整式不等式(1)f (x )g (x )>0(<0)⇔ ；(2)f (x )g (x )≥0(≤0)⇔ .3．简单的绝对值不等式|x |>a (a >0)的解集为，|x |<a (a >0)的解集为．【核心题型】题型一　一元二次不等式的解法对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．命题点1　不含参数的不等式【例题1】（2024·青海·一模）已知集合(){}2lg 23A x y x x ==-++，{}240B x x =-<，则A B È=（ ）A ．()1,3-B ．()1,2-C ．()2,3-D ．()2,2-【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知集合{}2|680,{|13}M x x x N x x =-+<=<£，则M N Ç=（ ）A ．{|23}x x ££B ．{|23}x x <£C ．{|24}x x <£D ．{|13}x x <£【变式2】（2024·山东济宁·一模）设集合{}2|60A x x x =--<，{|}B x a x a =-££，若A B Í，则实数a 的取值范围是 ．【变式3】（2024·安徽合肥·一模）已知集合{}{}24,11A xx B x a x a =£=-££+∣∣，若A B Ç=Æ，则a 的取值范围是.命题点2　含参数的一元二次不等式【例题2】（2024·云南红河·二模）已知,a b 均为正实数，则“11a b>”是“2223a b ab +>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【变式1】（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）在区间[]05，内随机取一个实数a ，则关于x 的不等式()2220x a x a +--<仅有2个整数解的概率为（ ）A ．25B ．310C ．15D ．110【变式2】（2023·江西南昌·三模）函数22e ,0()(2)2,0x ax x f x x a x a x ì->=í-+-+£î，若关于x 的不等式()0f x ³的解集为[2,)-+¥，则实数a 的取值范围是（ ）A ．e 2,2æù-çúèûB ．e 0,2éùêúëûC ．20,4éùêúëûe D ．2e {0},4¥éö+÷êëøU 【变式3】．（2023·湖南·模拟预测）若关于x 的不等式()277x a a x +<+的解集恰有50个整数元素，则a 的取值范围是 ，这50个整数元素之和为 ．题型二　一元二次不等式恒成立问题恒成立问题求参数的范围的解题策略(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．(2)一元二次不等式在R 上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．命题点1　在R 上恒成立问题【例题3】（2024·浙江·模拟预测）若不等式()2620kx k x +-+>的解为全体实数，则实数k的取值范围是（ ）A ．218k ££B ．182k -<<-C ．218k <<D ．02k <<【变式1】（23-24高三上·河南·期中）“关于x 的不等式()()2232340a x a x ---+³的解集为R ”是“392a <<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【变式2】（2023·福建厦门·二模）“()0,4b Δ是“R x "Î，210bx bx -+>成立”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【变式3】（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）“不等式2210ax ax +-<恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）A ．10a -£<B ．0a £C ．10a -<£D ．10a -<<命题点2　在给定区间上恒成立问题【例题4】（2023·浙江宁波·一模）已知函数()2f x x ax b =++，若不等式()2f x £在[]1,5x Î上恒成立，则满足要求的有序数对(,)a b 有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个【变式1】（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知命题p ：任意1,22x éùÎêúëû，使222log log 30x m x -×-£为真命题，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(],2-¥B ．(],2-¥-C ．[]22-,D ．[)2,-+¥【变式2】（2023·辽宁鞍山·二模）已知当0x >时，不等式：2160x mx -+>恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()8,8-B ．(],8¥-C ．(),8¥-D ．()8,+¥【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知函数2()f x x ax b =++，若对任意[1,5],()2x f x Σ，则所有满足条件的有序数对(,)a b 是 ．命题点3　在给定参数范围内的恒成立问题【例题5】（23-24高三上·河南信阳·阶段练习）若210mx -<对于[]0,2m Î恒成立，则实数x 的取值范围为 ．【变式1】（2024高三·全国·专题练习）设函数()f x 是定义在(,)-¥+¥上的增函数．若不等式()21(2)--<-f ax x f a 对于任意[0,1]a Î恒成立，求实数x 的取值范围.【变式2】（22-23高三上·山东潍坊·阶段练习）若对于任意[]1,1m Î-，任意R y Î，使得不等式()23613x m x y y +--<-+-成立，则实数x 的取值范围是．【变式3】（2023高三·全国·专题练习）若不等式()2211x m x ->-对任意[]1,1m Î-恒成立，实数x 的取值范围是 .【课后强化】基础保分练一、单选题1．（2024高三·全国·专题练习）已知集合{}{}2450,34A x x x B x a x a =--³=-<<+，若A B =U R ，则实数a 的取值范围为（ ）A ．{}1a a >B ．{}12a a <<C ．{}2a a <D ．{}12a a ££2．（2024·浙江·模拟预测）若不等式()2620kx k x +-+>的解为全体实数，则实数k 的取值范围是（ ）A ．218k ££B ．182k -<<-C ．218k <<D ．02k <<3．（2024·云南红河·二模）已知,a b 均为正实数，则“11a b>”是“2223a b ab +>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2024高三·全国·专题练习）若不等式()()222240a x a x -+--<对一切x ÎR 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],2-¥B ．[]22-,C ．(]2,2-D ．(),2-¥-5．（23-24高三下·湖南衡阳·阶段练习）条件p 是q 的充分不必要条件是（ ）A ．函数()y f x =定义域为A ，p ：()0f x ¢³在A 上成立.q ：()y f x =为增函数；B ．p ：2R,30x x x a "Î-+>成立，q ：12a a +-最小值为4；C ．p :函数2()2441f x ax x =+-在区间(1,1)-恰有一个零点，q : 1184a -<<；D ．p :函数()cos 2cos sin 2sin f x x x j j =+为偶函数（x ÎR ），q :π(Z)k k j =Î6．（2024高三·全国·专题练习）已知,a b ÎR 且0ab ¹，若()()()20x a x b x a b ----³在0x ³上恒成立，则（ ）A ．0a <B ．0a >C ．0b <D ．0b >二、多选题1．（23-24高三上·湖南邵阳·阶段练习）已知0a >，0b >，且27a b +=，若223a b t +£恒成立，则实数t 的值可能为（ ）A ．20B ．21C ．49D ．502．（2024高三·全国·专题练习）(多选)下列命题正确的是（ ）A ．若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0B ．若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为RC ．不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0D ．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集一定不是空集三、填空题1．（23-24高三下·上海·阶段练习）设0a >，若关于x 的不等式20x ax -<的解集是区间()0,1的真子集，则a 的取值范围是 ．2．（23-24高三下·河北保定·开学考试）已知集合(){}(){}2log 32,540A x x B x x x =-<=--³，则A B =I .四、解答题1．（2024·全国·模拟预测）已知函数()2f x x a =-，且()f x b £的解集为[]1,3-．(1)求a 和b 的值；(2)若()f x x t £-在[]1,0-上恒成立，求实数t 的取值范围．2．（2024高三·全国·专题练习）（1）解关于实数x 的不等式：2(1)0x a x a -++<．（2）解关于实数x 的不等式：210x ax -+<．3．（2024·全国·模拟预测）已知函数()21f x x =+．(1)求不等式()()11f x f x -->的解集；(2)若()()()1h x f x f x =+-，且存在x ÎR 使不等式()221a a h x +-³成立，求实数a 的取值范围．综合提升练一、单选题1．（2023·辽宁鞍山·二模）若对任意的2(0,),10x x mx Î+¥-+>恒成立，则m 的取值范围是（ ）A ．(2,2)-B ．(2,)+¥C ．(,2)-¥D ．(,2]-¥2．（2023高三·全国·专题练习）已知命题p ：“∀x ∈R ，(a ＋1)x 2－2(a ＋1)x ＋3>0”为真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．－1<a <2B ．a ≥1C ．a <－1D ．－1≤a <23．（2024·陕西西安·模拟预测）已知集合{{}2N 40A x y B y y =Î==-£∣，∣，则集合A B Ç中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．（23-24高三上·重庆长寿·期末）已知函数2()2f x ax x a =-+，对1,22x éùÎêúëû都有()0f x ³成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)1,¥+B ．4,5¥éö+÷êëøC ．4,15éùêúëûD ．4,5¥æù-çúèû5．（23-24高三上·内蒙古通辽·阶段练习）已知命题0:p x $ÎR ，()200110x a x +-+<，若命题p 是假命题，则a 的取值范围为（ ）A ．13a ££B ．13a -<<C ．13a -££D ．02a ££6．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知条件q ：“不等式()()224210a x a x -++-³的解集是空集”，则条件p ： “21a -£<”是条件q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．（2024·天津河西·一模）“2x x £”是“11x³”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．（2023·广东广州·三模）定义{},max ,,p p q p q q p q³ì=í<î，设函数(){}2max 22,2x f x x ax a =--+，若R x $Î使得()0f x £成立，则实数a 的取值范围为（ ）．A ．(][),01,-¥+¥U B ．[][)1,01,-È+¥C ．()(),11,-¥-È+¥D ．[]1,1-二、多选题1．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知R a Î，关于x 的一元二次不等式()()220ax x -+>的解集可能是（ ）A ．2x x a ì>íî或}2x <-B ．{}2x x >-C ．22x x a ìü-<<íýîþD ．22x x a ìü<<-íýîþ2．（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（ ）A ．不等式24510x x -+>的解集是114x x x ìü><íýîþ或B ．不等式2260x x --£的解集是322x x x ìü£-³íýîþ或C ．若不等式28210ax ax ++<恒成立，则a 的取值范围是ÆD ．若关于x 的不等式2230x px +-<的解集是(),1q ，则p q +的值为12-3．（22-23高三上·河北唐山·阶段练习）若()()240ax x b -+³对任意(],0x Î-¥恒成立，其中a ，b 是整数，则+a b 的可能取值为（ ）A ．7-B ．5-C ．6-D ．17-三、填空题1．（2024高三·全国·专题练习）已知R a Î，函数()2222,022,0x x a x f x x x a x ì++-£=í-+->î若对任意[)–3,x Î+¥，()f x x £恒成立，则a 的取值范围是．2．（23-24高三上·河南·阶段练习）若命题“x $ÎR ，()()221110a x a x -+--³”为假命题，则a 的取值范围为 .3．（23-24高三下·上海闵行·阶段练习）设集合2{|41}A x x =£，{|ln 0}B x x =<，则A B =I .四、解答题1．（2024高三·全国·专题练习）已知集合A ＝{x |x 2－4x －5≤0}，B ＝{x |2x －6≥0}，M ＝A ∩B .(1)求集合M ；(2)已知集合C ＝{x |a －1≤x ≤7－a ，a ∈R }，若M ∩C ＝M ，求实数a 的取值范围．2．（23-24高三上·河南南阳·阶段练习）二次函数()f x 满足(1)()2f x f x x +-=，且(0)1f =(1)求()f x 的解析式；(2)在区间[1,1]-上，函数()y f x =的图象恒在直线y m =的上方，试确定实数m 的取值范围．3．（2024高三·全国·专题练习）设函数()f x ax =，其中0a >．解不等式()1f x £；4．（2024高三·全国·专题练习）已知f (x )＝2,02,0xx x x ìïíï<î…求f (f (x ))≥1的解集．5．（2023·河南开封·模拟预测）已知函数()f x 满足()()()()2213221R f x f x x a x a x +-=+--+Î．(1)讨论()f x 的奇偶性；(2)设函数()()()ln 1h x x f x x éù=+³ëû，求证：[)(){}1,yy h x ¥+Í=∣．拓展冲刺练一、单选题1．（2024高三·全国·专题练习）已知集合{}2120A x x x =--<，(){}2R log 51B x x =Î-<，则()A B =R I ð（ ）A ．{}34x x -<£B ．{}34x x -£<C ．{}4x x ³D ．{}45x x £<2．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）在区间[]05，内随机取一个实数a ，则关于x 的不等式()2220x a x a +--<仅有2个整数解的概率为（ ）A ．25B ．310C ．15D ．1103．（2023·福建厦门·二模）不等式2210ax x -+>（R a Î）恒成立的一个充分不必要条件是（）A ．2a >B ．1a ³C ．1a >D ．102a <<4．（2023·全国·模拟预测）已知函数()3sin f x x x =+，若不等式()220f x ax -+³恒成立，则实数a 的最大值为（ ）A B ．2C ．D ．4二、多选题5．（2023·全国·模拟预测）已知平面向量,a b r r 满足||2a =r ，||4b =r ，且对任意的实数t ，都有b ta b a +³-r r r恒成立，则下列结论正确的是（ ）A ．4a b -r r 与b r垂直B ．(3)27a b b +×=r rrC ．14a b a b l l -+-rr r r 的最小值为D ．12a b a b l l ---r rr r 的最大值为6．（23-24高三上·辽宁葫芦岛·阶段练习）若关于x 的不等式()277x a a x +<+的解集恰有50个整数元素，则下列各选项正确的是（ ）A ．a 的值可能为-43B ．这50个整数元素之和可能为-925C ．a 的值可能为57.5D ．这50个整数元素之和可能为1625三、填空题7．（2022高三上·河南·专题练习）已知:11p x -<，()2:10q x a x a -++£，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是 ．8．（23-24高三上·江苏·阶段练习）已知二次函数()()1y ax x a =--．甲同学：0y >的解集为()1,,a a æö-¥+¥ç÷èøU ；乙同学：0y <的解集为()1,,a a æö-¥+¥ç÷èøU ；丙同学：y 的对称轴大于零．在这三个同学的论述中，只有一个假命题，则a 的范围为 ．9．（2024高三·全国·专题练习）已知函数2()f x x ax b =++，若对任意[]()1,5,2x f x Σ，则所有满足条件的有序数对(),a b 是 ．10．（23-24高三上·全国·阶段练习）对任意的x ÎR ，不等式()()()2222714613817x x m x x x x -+³-+-+恒成立，则实数m 的取值范围为 ．四、解答题11．（23-24高三上·福建莆田·阶段练习）解关于x 的不等式：()()2220R ax a x a -++<Î.12．（2024高三·全国·专题练习）设函数()21f x mx mx =--．(1)若对于一切实数x ，()0f x <恒成立，求实数m 的取值范围；(2)若对于[]1,3x Î，()5f x m <-+恒成立，求实数m 的取值范围．13．（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知函数21()32ln 2f x x x x =-+.(1)求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程;(2)（ⅰ）若对于任意12,[1,3]x x Î，都有12()()22f x f x m -£-，求实数m 的取值范围;（ⅱ）设21()()2g x f x x =+，且12()()0g x g x +=，求证:1272x x +>.14．（23-24高三上·天津南开·期中）设函数2()(0,1)x xa b f x a a a -=>¹且是定义域为R 的奇函数，且()y f x =的图象过点31,2æöç÷èø.(1)求a ，b 的值；(2)设2()()(),g x x p x q p q =--<，若(),(())()0x f g x f mxg x ¢"Î-+£R （()g x ¢为函数()g x 的导数），试写出符合上述条件的函数()g x 的一个解析式，并说明你的理由．。

第二节基本不等式1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2.(1)基本不等式成立的条件：01a >0，b >0．(2)等号成立的条件：当且仅当02a ＝b 时，等号成立．(3)其中03a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，04ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 205≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋ab 06≥2(a ，b同号)．(3)(a ，b ∈R )．(a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为09a ＝b ．3．利用基本不等式求最值(1)已知x ，y 都是正数，如果积xy 等于定值P ，那么当10x ＝y 时，和x ＋y 有最小值112P ．(简记：积定和最小)(2)已知x ，y 都是正数，如果和x ＋y 等于定值S ，那么当12x ＝y 时，积xy 有最大值1314S 2．(简记：和定积最大)注意：(1)利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”，其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．(2)形如y ＝x ＋ax (a >0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解．1．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件要一致．2．若a >0，b >0，则21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22，当且仅当a ＝b 时，等号成立．3．常见求最值的模型模型一：mx ＋nx≥2mn (m >0，n >0，x >0)，当且仅当x ＝nm时，等号成立；模型二：mx ＋n x －a ＝m (x －a )＋nx －a ＋ma ≥2mn ＋ma (m >0，n >0，x >a )，当且仅当x －a ＝n m时，等号成立；模型三：xax 2＋bx ＋c ＝1ax ＋b ＋c x ≤12ac ＋b(a >0，c >0，x >0)，当且仅当x ＝ca时，等号成立；模型四：x (n －mx )＝mx (n －mx )m ≤1m ·>0，n >0，0<x 当且仅当x ＝n 2m时，等号成立．4．三个正数的均值不等式：若a ，b ，c >0，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y ＝x ＋1x 的最小值是2.()(2)|b a ＋a b |≥2.()(3)已知0<x <12，则x (1－2x )的最大值为18.()(4)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 的最小值为4.()答案(1)×(2)√(3)√(4)×2．小题热身(1)设a ＞0，则9a ＋1a 的最小值为()A ．4B ．5C ．6D ．7答案C 解析9a ＋1a≥29a ·1a ＝6，当且仅当9a ＝1a ，即a ＝13时，等号成立．(2)矩形两边长分别为a ，b ，且a ＋2b ＝6，则矩形面积的最大值是()A ．4 B.92C.322D ．2答案B解析依题意，可得a ＞0，b ＞0，则6＝a ＋2b ≥2a ·2b ＝22·ab ，当且仅当a ＝2b 时取等号，所以ab ≤628＝92，即矩形面积的最大值为92.故选B.(3)(2024·河南郑州高三模拟)已知实数a >0，b >0，a ＋b ＝2，则1a ＋ab 的最小值为________．答案12＋2解析1a ＋a b ＝12×a ＋b a ＋a b ＝12＋b 2a ＋a b ≥12＋2b 2a ·a b ＝12＋2，当且仅当b 2a ＝ab，即a ＝22－2，b ＝4－22时，等号成立．(4)(人教A 必修第一册习题2.2T1(2)改编)函数y ＝x (3－2x )(0≤x ≤1)的最大值是________．答案98解析因为0≤x ≤1，所以3－2x ＞0，所以y ＝12·2x ·(3－2x )≤122x ＋(3－2x )22＝98，当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时取等号．(5)(人教A 必修第一册复习参考题2T5改编)已知a ，b >0，且ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围为________．答案[9，＋∞)解析因为a，b>0，所以ab－3＝a＋b≥2ab，于是ab－2ab－3≥0，解得ab≤－1(舍去)或ab≥3，所以ab≥9，当且仅当a＝b＝3时，等号成立，所以ab的取值范围是[9，＋∞)．考点探究——提素养考点一利用基本不等式求最值(多考向探究)考向1配凑法求最值例1(1)(2024·福建福州四校高三期中联考)已知0<x<2，则y＝x4－x2的最大值为() A．2B．4C．5D．6答案A解析因为0<x<2，所以y＝x4－x2＝x2(4－x2)≤x2＋(4－x2)2＝2，当且仅当x2＝4－x2，即x＝2时，等号成立，即y＝x4－x2的最大值为2.故选A.(2)函数y＝x2＋3x＋3x＋1(x<－1)的最大值为()A．3B．2C．1D．－1答案D解析y＝x2＋3x＋3x＋1＝(x＋1)2＋(x＋1)＋1x＋1＝－－(x＋1)＋1－(x＋1)＋1≤－1＝－1，当且仅当x＋1＝1x＋1＝－1，即x＝－2时，等号成立．故选D.【通性通法】配凑法求最值的关键点【巩固迁移】1．函数y ＝3x ()A ．8B ．7C ．6D ．5答案D解析因为x >13，所以3x －1>0，所以y ＝3x ＋43x －1＝(3x －1)＋43x －1＋1≥2(3x －1)·43x －1＋1＝5，当且仅当3x －1＝43x －1，即x ＝1时，等号成立，故函数y ＝3x 值为5.故选D.2．(2023·浙江杭州高三教学质量检测)已知a >1，b >1，且log 2a ＝log b 4，则ab 的最小值为()A ．4B ．8C ．16D ．32答案C解析∵log 2a ＝log b 4，∴12log 2a ＝log b 4，即log 2a ＝2log 24log 2b ，∴log 2a ·log 2b ＝4.∵a >1，b >1，∴log 2a >0，log 2b >0，∴log 2(ab )＝log 2a ＋log 2b ≥2log 2a ·log 2b ＝4，当且仅当log 2a ＝log 2b ＝2，即a ＝b ＝4时取等号，所以ab ≥24＝16，当且仅当a ＝b ＝4时取等号，故ab 的最小值为16.故选C.考向2常数代换法求最值例2(1)已知0<x <1，则9x ＋161－x 的最小值为()A ．50B ．49C ．25D ．7答案B解析因为0<x <1，所以9x ＋161－x ＝(x ＋1－x )25＋9(1－x )x＋16x 1－x ≥25＋29(1－x )x ·16x 1－x ＝49，当且仅当9(1－x )x＝16x 1－x ，即x ＝37时，等号成立，所以9x ＋161－x 的最小值为49.故选B.(2)已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3，则1a ＋1b 的最小值为()A.223B.233C ．1＋223D ．1＋233答案C解析因为a ＋2b ＝3，所以13a ＋23b ＝1，＋23b ＝13＋23＋a 3b ＋2b 3a≥1＋2a 3b ·2b3a＝1＋223，当且仅当a 3b ＝2b3a ，即a ＝3(2－1)，b ＝3(2－2)2时，等号成立．故选C.【通性通法】常数代换法求最值的基本步骤【巩固迁移】3．若正实数x ，y 满足2x ＋y ＝9，则－1x －4y 的最大值是()A.6＋429B ．－6＋429C ．6＋42D ．－6－42答案B解析因为1x ＋4y ＝19x ＋y )＋y x ＋8x y＋6＋429，当且仅当y x ＝8xy ，即x ＝9(2－1)2，y ＝9(2－2)时，等号成立，所以－1x －4y ≤－6＋429.故选B.4．(2024·湖北荆门三校高三联考)已知实数a ，b 满足lg a ＋lg b ＝lg (a ＋2b )，则2a ＋b 的最小值是()A ．5B ．9C ．13D ．18答案B解析由lg a ＋lg b ＝lg (a ＋2b )，可得lg (ab )＝lg (a ＋2b )，所以ab ＝a ＋2b ，即2a ＋1b ＝1，且a >0，b >0，则2a ＋b ＝(2a ＋b 5＋2b a ＋2ab ≥5＋22b a ·2a b ＝9，当且仅当2b a ＝2ab，即a ＝b ＝3时，等号成立，所以2a ＋b 的最小值为9.故选B.考向3消元法、换元法求最值例3(1)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是()A.14B.45C.255D ．2答案B解析因为5x 2y 2＋y 4＝1，所以x 2＝1－y 45y 2，又x 2≥0，所以y 2∈(0，1]，所以x 2＋y 2＝y 2＋1－y 45y2＝4y 4＋15y 2＝y 2≥15×24y 2·1y 2＝45，当且仅当4y 2＝1y 2，即y 2＝12，x 2＝310时取等号，所以x 2＋y 2的最小值是45.故选B.(2)(2024·浙江嘉兴第一中学高三期中)若x >0，y >0，且1x ＋1＋1x ＋2y＝1，则2x ＋y 的最小值为()A ．2B ．23C.12＋3D ．4＋23答案C解析设x ＋1＝a ，x ＋2y ＝b ，则x ＝a －1，y ＝b －a ＋12，且a >0，b >0，则1a ＋1b ＝1，2x ＋y＝2(a －1)＋b －a ＋12＝3a ＋b 2－32，而3a ＋b ＝(3a ＋b 4＋3a b ＋ba ≥4＋23a b ·ba＝4＋23，当且仅当3a b ＝ba ，即a ＝3＋33，b ＝3＋1时，等号成立，则2x ＋y ≥4＋232－32＝12＋ 3.故选C.【通性通法】当所求最值的代数式中变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值．【巩固迁移】5．(2023·江苏南京高三调研)设a ≥0，b ≥0，且2a ＋b ＝1，则ab 的最小值为__________．答案解析因为2a ＋b ＝1，所以a ＝(b －1)24，所以a b ＝(b －1)24b＝b 4＋14b －12≥2b 4·14b－12＝0，当且仅当a ＝0，b ＝1时取等号．6．(2024·湖北襄阳五中高三质量检测)若正数a ，b 满足2a ＋b ＝1，则a 2－2a ＋b2－b的最小值是________．答案223－12解析设u ＝2－2a ，v ＝2－b ，则a ＝2－u 2，b ＝2－v ，则u ＋v ＝3(u >0，v >0)，所以a 2－2a ＋b2－b＝1－12u u＋2－v v ＝1u ＋2v －32＝13(u ＋v 32＋v u ＋－32＋321＋223－32＝223－12，当且仅当v ＝6－32，u ＝32－3时，等号成立，所以a 2－2a ＋b 2－b 的最小值为223－12.考向4“和”“积”互化求最值例4(多选)设a >1，b >1，且ab －(a ＋b )＝1，那么()A ．a ＋b 有最小值22＋2B ．a ＋b 有最大值22－2C ．ab 有最大值3－22D ．ab 有最小值3＋22答案AD解析∵a >1，b >1，∴ab －1＝a ＋b ≥2ab ，当a ＝b 时取等号，即ab －2ab －1≥0，解得ab ≥2＋1，∴ab ≥(2＋1)2＝3＋22，∴ab 有最小值3＋2 2.又ab ，当a ＝b 时取等号，∴1＝ab －(a ＋b )－(a ＋b )，即(a ＋b )2－4(a ＋b )≥4，则[(a ＋b )－2]2≥8，解得a ＋b －2≥22，即a ＋b ≥22＋2，∴a ＋b 有最小值22＋2.故选AD.【通性通法】“和”“积”互化求最值的方法(1)基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值．(2)如果条件中含有两个变量的和与积的形式，可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解，或者通过构造一元二次方程，利用根的分布解决问题．【巩固迁移】7．正实数x ，y 满足4x 2＋y 2＋xy ＝1，则xy 的最大值为________，2x ＋y 的最大值为________．答案152105解析∵1－xy ＝4x 2＋y 2≥4xy ，∴5xy ≤1，∴xy ≤15，当且仅当y ＝2x ，即x ＝1010，y ＝105时取等号．∵4x 2＋y 2＋xy ＝1，∴(2x ＋y )2－3xy ＝1，∴(2x ＋y )2－1＝3xy ＝32·2x ·y，即(2x ＋y )2－1≤38(2x ＋y )2，∴(2x ＋y )2≤85，∴2x ＋y ≤2105，当且仅当2x ＝y ，即x ＝1010，y＝105时取等号．考点二基本不等式的综合应用例5(2024·河南濮阳外国语学校模拟)若对任意正数x ，不等式2x 2＋4≤2a ＋1x恒成立，则实数a 的取值范围为()A ．[0，＋∞) B.－14，＋∞C.14，＋∞ D.12，＋∞答案B解析依题意得，当x >0时，2a ＋1≥2x x 2＋4＝2x ＋4x恒成立，又x ＋4x ≥4，当且仅当x ＝2时取等号，所以2x ＋4x 的最大值为12，所以2a ＋1≥12，解得实数a 的取值范围为－14，＋故选B.【通性通法】1．利用基本不等式求参数的值或范围时，要观察题目的特点，先确定是恒成立问题还是有解问题，再利用基本不等式确定等号成立的条件，最后通过解不等式(组)得到参数的值或范围．2．当基本不等式与其他知识相结合时，往往是为其他知识提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常数代换法求最值．【巩固迁移】8．在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，若AC 边上的中线BD 的长为3，则△ABC 面积的最大值是()A ．6B ．12C ．18D ．24答案A解析设AB ＝AC ＝2m ，BC ＝2n ，因为∠ADB ＝π－∠CDB ，所以m 2＋9－4m 26m ＝－m 2＋9－4n 26m，整理得m 2＝9－2n 2.设△ABC 的面积为S ，则S ＝12BC ＝12×2n ×4m 2－n 2＝3n 4－n 2＝3n 2(4－n 2)≤3×n 2＋4－n 22＝6，当且仅当n ＝2时，等号成立．故选A.考点三基本不等式的实际应用例6网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2022年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x (万件)与投入实体店体验安装的费用t (万元)之间满足函数关系式x ＝3－2t ＋1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是________万元．答案37.5解析由题意知t ＝23－x－1(1<x <3)，设该公司的月利润为y 万元，则y －32x －3－t ＝16x －t 2－3＝16x －13－x ＋12－3＝45.5－16(3－x )＋13－x ≤45.5－216＝37.5，当且仅当x ＝114时取等号，即最大月利润为37.5万元．【通性通法】利用基本不等式解决实际应用问题的技巧【巩固迁移】9．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10g 黄金，售货员先将5g 的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g 的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．若顾客实际购得的黄金为m g ，则()A ．m >10B ．m ＝10C ．m <10D ．以上都有可能答案A解析由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为a ，右臂长为b ，则a ≠b ，设先称得黄金为xg ，后称得黄金为y g ，则bx ＝5a ，ay ＝5b ，∴x ＝5a b ，y ＝5b a ，∴x ＋y ＝5a b ＋5ba＝5×2a b ·b a ＝10，当且仅当a b ＝ba，即a ＝b 时，等号成立，但a ≠b ，等号不成立，即x ＋y >10.因此顾客实际购得的黄金克数m >10.故选A.课时作业一、单项选择题1．当x ＜0时，函数y ＝x ＋4x ()A ．有最大值－4B ．有最小值－4C ．有最大值4D ．有最小值4答案A解析y ＝x ＋4x＝－(－x )－4，当且仅当x ＝－2时，等号成立．故选A.2．(2023·陕西咸阳高三模拟)已知x >0，y >0，若2x ＋y ＝8xy ，则xy 的最小值是()A.18B.14C.24D.22答案A解析因为2x ＋y ≥22xy ，所以8xy ≥22xy ，解得xy ≥18，当且仅当2x ＝y ，即x ＝14，y ＝12时，等号成立．故选A.3．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29＋y 24＝1的两个焦点，点M 在C 上，则|MF 1|·|MF 2|的最大值为()A ．13B ．12C ．9D ．6答案C解析由椭圆的定义可知，|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝6.由基本不等式可得|MF 1|·|MF 2|＝9，当且仅当|MF 1|＝|MF 2|＝3时，等号成立．故选C.4．(2024·浙江绍兴第一中学高三期中)已知直线ax ＋by －1＝0(ab >0)过圆(x －1)2＋(y －2)2＝2024的圆心，则1a ＋1b 的最小值为()A ．3＋22B ．3－22C ．6D ．9答案A解析由圆的方程知，圆心为(1，2)．∵直线ax ＋by －1＝0(ab >0)过圆的圆心，∴a ＋2b ＝1(ab >0)，∴1a ＋1b ＝(a ＋2b )＝3＋a b ＋2ba≥3＋2a b ·2b a＝3＋当且仅当a b ＝2ba，即a ＝2b ，∴1a ＋1b的最小值为3＋2 2.故选A.5．(2023·湖南五市十校联考)原油作为“工业血液”“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济．小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下列说法正确的是()A ．第一种方案更划算B ．第二种方案更划算C ．两种方案一样D ．无法确定答案B解析设小李这两次加油的油价分别为x 元/升、y 元/升(x ≠y )，则第一种方案：两次加油的平均价格为40x ＋40y 80＝x ＋y 2>xy ，第二种方案：两次加油的平均价格为400200x ＋200y ＝2xyx ＋y <xy ，故无论油价如何起伏，第二种方案都比第一种方案更划算．故选B.6．(2023·浙江杭州调研)对任意m ，n ∈(0，＋∞)，都有m 2－amn ＋2n 2≥0，则实数a 的最大值为()A ．4 B.92C.2D ．22答案D 解析由m 2－amn ＋2n 2≥0得m 2＋2n 2≥amn ，即a ≤m 2＋2n 2mn＝m n ＋2n m 恒成立，因为m n ＋2nm≥2m n ·2n m ＝22，当且仅当m n ＝2nm，即m ＝2n 时取等号，所以a ≤22，故实数a 的最大值为2 2.故选D.7．(2024·浙江名校协作体高三模拟)设x ，y 为正实数，若2x ＋y ＋2xy ＝54，则2x ＋y 的最小值是()A ．4B ．3C ．2D ．1答案D解析因为x ，y 为正实数，且54＝2x ＋y ＋2xy ＝(2x ＋1)(y ＋1)－1，令m ＝2x ＋1，n ＝y ＋1，则mn ＝94，所以2x ＋y ＝m ＋n －2≥2mn －2＝1，当且仅当m ＝n ，即y ＝12，x ＝14时取等号．故选D.8．(2024·湖北襄阳第四中学高三适应性考试)若a ，b ，c 均为正数，且满足a 2＋2ab ＋3ac ＋6bc ＝1，则2a ＋2b ＋3c 的最小值是()A ．2B ．1C.2D ．22答案A解析因为a 2＋2ab ＋3ac ＋6bc ＝1，所以a (a ＋2b )＋3c (a ＋2b )＝(a ＋2b )(a ＋3c )＝1，又a ，b ，c 均为正数，(a ＋2b )(a ＋3c )＝(2a ＋2b ＋3c )24，当且仅当a ＋2b ＝a ＋3c ＝1时取等号，所以(2a＋2b＋3c)24≥1，即2a＋2b＋3c≥2.故选A.二、多项选择题9．下列四个函数中，最小值为2的是()A．y＝sin xxB．y＝ln x＋1ln x(x＞0，x≠1)C．y＝x2＋6 x2＋5D．y＝4x＋4－x 答案AD解析对于A，因为0＜x≤π2，所以0＜sin x≤1，则y＝sin x＋1sin x≥2，当且仅当sin x＝1sin x，即sin x＝1时取等号，故y＝sin x x2，符合题意；对于B，当0＜x＜1时，ln x＜0，此时y＝ln x＋1ln x为负值，无最小值，不符合题意；对于C，y＝x2＋6x2＋5＝x2＋5＋1x2＋5，设t＝x2＋5，则t≥5，则y≥5＋15＝655，其最小值不是2，不符合题意；对于D，y＝4x＋4－x＝4x＋14x≥24x·14x＝2，当且仅当x＝0时取等号，故y＝4x＋4－x的最小值为2，符合题意．故选AD.10．(2024·湖北部分名校高三适应性考试)已知正实数a，b满足ab＋a＋b＝8，下列说法正确的是()A．ab的最大值为2B．a＋b的最小值为4C．a＋2b的最小值为62－3D.1a(b＋1)＋1b的最小值为12答案BCD解析对于A，因为ab＋a＋b＝8≥ab＋2ab，即(ab)2＋2ab－8≤0，解得0<ab≤2，则ab≤4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故A错误；对于B，ab＋a＋b＝8≤(a＋b)24＋(a＋b)，即(a＋b)2＋4(a＋b)－32≥0，解得a＋b≤－8(舍去)，a＋b≥4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故B正确；对于C，由题意可得b(a＋1)＝8－a，所以b＝8－aa＋1>0，解得0<a<8，a＋2b＝a＋2·8－a a ＋1＝a ＋18a ＋1－2＝a ＋1＋18a ＋1－3≥2(a ＋1)·18a ＋1－3＝62－3，当且仅当a ＋1＝18a ＋1，即a ＝32－1时取等号，故C 正确；对于D ，因为1a (b ＋1)＋1b ＝181a (b ＋1)＋1b [a (b ＋1)＋b ]＝182＋b a (b ＋1)＋a (b ＋1)b ≥18＋2)＝12，当且仅当b a (b ＋1)＝a (b ＋1)b ，即b ＝4，a ＝45时取等号，故D 正确，故选BCD.11．已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则()A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b >12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2D.a ＋b ≤2答案ABD解析对于A ，a 2＋b 2＝a 2＋(1－a )2＝2a 2－2a ＋1＝＋12≥12，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，故A 正确；对于B ，a －b ＝2a －1>－1，所以2a －b >2－1＝12，故B 正确；对于C ，log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ≤log＝log 214＝－2，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，故C 不正确；对于D ，因为(a ＋b )2＝1＋2ab ≤1＋a ＋b ＝2，所以a ＋b ≤2，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，故D 正确．故选ABD.三、填空题12．(2023·山东滨州三校联考)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝________．答案3解析当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)·1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3.13．(2024·河北衡水中学高三第三次综合素养评价)已知实数a >b >1，满足a ＋1a －1≥b ＋1b －1，则a ＋4b 的最小值是________．答案9解析由已知条件，得a －b ≥1b －1－1a －1＝(a －1)－(b －1)(b －1)(a －1)＝a －b (b －1)(a －1)，∵a －b >0，∴1≥1(b －1)(a －1)，又a －1>0，b －1>0，∴(b －1)(a －1)≥1，∴a ＋4b ＝(a －1)＋4(b －1)＋5≥2(a －1)·4(b －1)＋5＝9，－1＝4(b －1)，－1)(a －1)＝1，＝3，＝32时，等号成立．14．(2023·湖北荆宜三校高三模拟)已知正数a ，b 满足a ＋3b ＋3a ＋4b ＝18，则a ＋3b 的最大值是________．答案9＋36解析设t ＝a ＋3b ，则3a ＋4b ＝18－t ，所以t (18－t )＝(a ＋3b 15＋9b a ＋4ab≥15＋29b a ·4ab＝27，当且仅当2a ＝3b 时取等号．所以t 2－18t ＋27≤0，解得9－36≤t ≤9＋36，即a ＋3b 的最大值是9＋36，当且仅当2a ＝3b ，即a ＝3＋6，b ＝2＋263时取等号．15．(2024·浙江名校联盟高三上学期第一次联考)已知正实数x ，y 满足1x ＋4y ＋4＝x ＋y ，则x＋y 的最小值为()A.13－2B ．2C ．2＋13D ．2＋14答案C解析因为正实数x ，y 满足1x ＋4y＋4＝x ＋y ，等式两边同乘以x ＋y ，可得(x ＋y )2＝4(x ＋y )＋5＋y x ＋4xy≥4(x ＋y )＋5＋2y x ·4xy ＝4(x ＋y )＋9，所以(x ＋y )2－4(x ＋y )－9≥0，因为x ＋y >0，所以x ＋y ≥2＋13，当且仅当y ＝2x 时，等号成立．因此x ＋y 的最小值为2＋13.故选C.16．已知点E 是△ABC 的中线BD 上的一点(不包括端点)，若AE →＝xAB →＋yAC →，则2x ＋1y 的最小值为()A ．4B ．6C ．8D ．9答案C解析设BE →＝λBD →(0<λ<1)，∵AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋λBD →＝AB →＋λ(AD →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λ2AC →，∴x ＝1－λ，y ＝λ2(x >0，y >0)，∴2x ＋1y ＝21－λ＋2λ＝－λ)＋λ]＝4＋2λ1－λ＋2(1－λ)λ≥4＋22λ1－λ·2(1－λ)λ＝8，当且仅当2λ1－λ＝2(1－λ)λ，即λ＝12时取等号，故2x ＋1y 的最小值为8.故选C.17．(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若x ，y 满足x 2＋y 2－xy ＝1，则()A ．x ＋y ≤1B ．x ＋y ≥－2C ．x 2＋y 2≤2D ．x 2＋y 2≥1答案BC解析由x 2＋y 2－xy ＝1得(x ＋y )2－1＝3xy ≤，解得－2≤x ＋y ≤2，当且仅当x ＝y ＝－1时，x ＋y ＝－2，当且仅当x ＝y ＝1时，x ＋y ＝2，所以A 错误，B 正确；由x 2＋y 2－xy ＝1得x 2＋y 2－1＝xy ，又x 2＋y 2≥2x 2·y2＝2|xy |，所以|x 2＋y 2－1|≤x2＋y 22即－x 2＋y 22≤x 2＋y 2－1≤x 2＋y 22，所以23≤x 2＋y 2≤2，当且仅当x ＝y ＝±1时，x 2＋y 2＝2，当x ＝33，y ＝－33或x ＝－33，y ＝33时，x 2＋y 2＝23，所以C 正确，D 错误．故选BC.18．(多选)(2024·湖北襄阳第五中学高三月考)若a >b >0，且a ＋b ＝1，则()A ．2a ＋2b ≥22B ．2a ＋ab ≥2＋22C ．(a 2＋1)(b 2＋1)<32D ．a 2a ＋2＋b 2b ＋1≥14答案BD解析因为a >b >0，且a ＋b ＝1，所以0<b <12，12<a <1.对于A ，因为2a ＋2b ≥22a ·2b ＝22a ＋b＝22，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，但a >b >0，所以等号取不到，故A 错误；对于B ，因为b a >0，a b >0，由基本不等式，得2a ＋a b ＝2a ＋2b a ＋a b ＝2＋2b a ＋a b ≥2＋22b a ·ab＝2＋22，当且仅当2b a ＝a b ，即a ＝2－2，b ＝2－1时，等号成立，所以2a ＋ab≥2＋22，故B 正确；对于C ，因为a ＋b ＝1，所以(a 2＋1)(b 2＋1)＝a 2b 2＋a 2＋b 2＋1＝a 2b 2＋(a ＋b )2－2ab ＋1＝a 2b 2－2ab ＋2＝(ab －1)2＋1，其中ab ≤(a ＋b )24＝14，当且仅当a ＝b 时取等号，但a >b >0，所以等号取不到，所以0<ab <14，(a 2＋1)(b 2＋1)＝(ab －1)2＋1故C 错误；对于D ，a 2a ＋2＋b 2b ＋1＝[(a ＋2)－2]2a ＋2＋[(b ＋1)－1]2b ＋1＝(a ＋2)＋4a ＋2－4＋(b ＋1)＋1b ＋1－2＝4a ＋2＋1b ＋1－2，因为a ＋b＝1，所以a ＋2＋b ＋1＝4，故a ＋24＋b ＋14＝1，所以4a ＋2＋1b ＋1＝＝1＋14＋b ＋1a ＋2＋a ＋24(b ＋1)≥54＋2b ＋1a ＋2·a ＋24(b ＋1)＝94，当且仅当b ＋1a ＋2＝a ＋24(b ＋1)，即a ＝23，b ＝13时，等号成立，所以a 2a ＋2＋b 2b ＋1＝4a ＋2＋1b ＋1－2≥94－2＝14，故D 正确．故选BD.19．(2024·湖北百校高三联考)已知正数x ，y 满足3x ＋4y ＝4，则y是________．答案1解析因为x ，y 是正数，所以＝y xy ＋3＋y 2xy ＋1＝1x ＋3y ＋12x ＋1y，且x ＋3y ＋2x ＋1y ＝3x ＋4y ＝4，所以y＝14＋3y ＋2x·＝＋2x ＋1y x ＋3y ＋≥14×(2＋2)＝1，当且仅当2x ＋1y x ＋3y ＝x ＋3y 2x ＋1y，即x ＝45，y ＝52，等号成立，所以y 1.20．(2023·广东深圳高三二模)足球是一项很受欢迎的体育运动．如图，某标准足球场的底线宽AB ＝72码，球门宽EF ＝8码，球门位于底线的正中位置．在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点P ，使得∠EPF 最大，这时候点P 就是最佳射门位置．当攻方球员甲位于边线上的点O 处(OA ＝AB ，OA ⊥AB )时，根据场上形势判断，有OA →，OB →两条进攻线路可供选择．若选择线路OA →，则甲带球________码时，到达最佳射门位置；若选择线路OB →，则甲带球________码时，到达最佳射门位置．答案72－165722－165解析若选择线路OA →，设AP ＝t ，其中0<t ≤72，AE ＝32，AF ＝32＋8＝40，则tan ∠APE ＝AEAP＝32t ，tan ∠APF ＝AF AP ＝40t ，所以tan ∠EPF ＝tan(∠APF －∠APE )＝tan ∠APF －tan ∠APE 1＋tan ∠APF tan ∠APE＝40t －32t 1＋1280t 2＝8t 1＋1280t2＝8t ＋1280t ≤82t ·1280t ＝520，当且仅当t ＝1280t ，即t ＝165时，等号成立，此时OP ＝OA －AP ＝72－165，所以若选择线路OA →，则甲带球72－165码时，到达最佳射门位置；若选择线路OB →，以线段EF 的中点N 为坐标原点，BA →，AO →的方向分别为x ，y 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则B (－36，0)，O (36，72)，F (－4，0)，E (4，0)，k OB ＝7236＋36＝1，直线OB 的方程为y ＝x ＋36，设点P (x ，x ＋36)，其中－36<x ≤36，tan ∠AFP ＝k PF ＝x ＋36x ＋4，tan ∠AEP ＝k PE ＝x ＋36x －4，所以tan ∠EPF ＝tan(∠AEP －∠AFP )＝tan ∠AEP －tan ∠AFP1＋tan ∠AEP tan ∠AFP＝x ＋36x －4－x ＋36x ＋41＋x ＋36x －4·x ＋36x ＋4＝8(x ＋36)x 2－161＋(x ＋36)2x 2－16＝8(x ＋36)＋x 2－16x ＋36，令m ＝x ＋36∈(0，72]，则x ＝m －36，所以x ＋36＋x 2－16x ＋36＝m ＋(m －36)2－16m ＝2m ＋1280m －72≥22m ·1280m72＝3210－72，当且仅当2m ＝1280m，即m ＝810，即x ＝810－36时，等号成立，所以tan ∠EPF ＝82m＋1280m－72≤83210－72＝1410－9，当且仅当x＝810－36时，等号成立，此时|OP|＝2·|36－(810－36)|＝722－165，所以若选择线路OB→，则甲带球722－165码时，到达最佳射门位置．。

2022-2023学年届全国名校高三数学模拟试题分类汇编(上) 06 不等式 一、选择题1、(河南省实验中学2022-2023学年-2022-2023学年学年高三第二次月考)对任意实数x , 若不等式k x x >+++|1||2|恒成立, 则实数k 的取值范围是 A ．k ＞1 B k=1 C ．k ≤ 1 D ．k＜1 答案：D2、(河南省实验中学2022-2023学年-2022-2023学年学年高三第二次月考)命题p :若a 、b ∈R ，则|a |+|b |＞1是|a +b |＞1的充分而不必要条件； 命题q :函数y =2|1|--x 的定义域是（－∞，－1］∪［3，+∞），则A “p 或q ”为假B “p 且q ”为真C p 真q 假D p假q 真 答案：D3、(湖南省长郡中学2022-2023学年届高三第二次月考)函数∑=-=20071)(n n x x f 的最小值为（ ）A. 1003×1004B. 1004×1005C. 2006×2007D. 2005×2006答案：A4、(湖南省长郡中学2022-2023学年届高三第二次月考)若实数z y x ,,满足1222=++z y x ，则zx yz xy ++的取值范围是（ ）（A ）]1,1[- （B ）]21,21[- （C ）]21,1[- （D ）]1,21[- 答案：D5、(江西省南昌二中2022-2023学年～2022-2023学年学年度第一轮第二次段考)1)(2-+=ax ax x f 在R 上恒满足0)(<x f ，则a 的取值范围是（ ）A ．0≤aB ．4-<aC ．04<<-aD ．04≤<-a 答案：D6、(江西省南昌二中2022-2023学年～2022-2023学年学年度第一轮第二次段考)设a 、b 、c 都是正数，那么三个数ba 1+、c b 1+、ac 1+（ ）A ．都不大于2B ．都不小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2答案：D7、(江西省南昌二中2022-2023学年～2022-2023学年学年度第一轮第二次段考)已知d c b a 、、、均为正数,bd c da d c c db a bc b a a s +++++++++++=,则有（ ）A ．20<<sB ．21<<sC ．32<<sD ．43<<s 答案：B8、(2022-2023学年年重庆一中高2022-2023学年级第一次月考)若()sin f x x x λ=+是区间[1,1]-上的减函数，且2()1f x t t λ≤++在[1,1]x ∈-上恒成立，求实数t 的取值范围（ ）A ．12t <-B ．1t ≤-C ．1t >-D ．2t ≥- 答案：B9、(湖北黄陂一中2022-2023学年届高三数学综合检测试题)已知120a a >>，则使得2(1)1i a x -<(1,2)i =都成立的x 范围的充要条件是A ．2222(,)a a - B ．12(0,)a C ．1122(,)a a -D.22(0,)a答案：B10、(湖北黄陂一中2022-2023学年届高三数学综合检测试题)设函数lg ||(0)()21(0)xx x f x x <⎧=⎨-≥⎩ ，若0()0f x >，则0x 的取值范围是A.(,1)(1,)-∞-+∞B.(,1)(0,)-∞-+∞C.(1,0)(0,1)-D.(1,0)(0,)-+∞答案：B11、(湖北黄陂一中2022-2023学年届高三数学综合检测试题)关于x 的不等式22cos lg(9)cos lg(9)x xx x +-<+-的解集为A．(- B ．(3,3)- C．(3,(22,3)--D ．()(,22)22ππ--答案：D12、(安徽省潜山县三环中学2022-2023学年届高三上学期第三次联考)不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对于R x ∈恒成立，那么a 的取值范围是（ ）A ．)2,2(-B ．]2,2(-C ．]2,(-∞D ．)2,(--∞答案：B13、(安徽省潜山县三环中学2022-2023学年届高三上学期第三次联考)设奇函数()f x 在（0，+∞）上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集是 ( ) A ．(1,0)(1,)-+∞ B ．(,1)(0,1)-∞- C ．(,1)(1,)-∞-+∞ D ．(1,0)(0,1)- 答案：D14、(甘肃省兰州一中2022-2023学年—2022-2023学年高三上学期第三次月考)设2)(,2),1(log ,2,2)(231>⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=-x f x x x e x f x 则不等式的解集为 （ ） A ．),3()2,1(+∞⋃ B ．),10(+∞C ．),10()2,1(+∞⋃D ．（1，2）答案：C15、(甘肃省兰州一中2022-2023学年—2022-2023学年高三上学期第三次月考)对于满足40≤≤p 的所有实数p ，使不等式x p x px x 都成立的342-+>+的取值范围（ ）A ．13-<>x x 或B ．13-≤≥x x 或C ．31<<-xD ．31≤≤-x答案：A16、(广东省深圳中学2022-2023学年—2022-2023学年学年度高三第一学段考试)设a>1，若对于任意的]2,[a a x ∈，都有],[2a a y ∈满足方程,3log log =+y x a a 这时a 的取值集合为（）A ．}21|{≤<a aB ．}2|{≥a aC ．}32|{≤≤a aD ．}3,2{答案：B17、(河北省衡水中学2022-2023学年—2022-2023学年学年度第一学期期中考试)设b ,a 是两个实数，且b a ≠在①2223b ab a >+；②322355b a b a b a +>+；③)1(222--≥+b a b a ；④2>+abb a 这四个式子中，恒成立的有A.1个B.2个C.3个 D 4.个 答案：A18、(河北省衡水中学2022-2023学年—2022-2023学年学年度第一学期期中考试)已知函数)0(18),20(cos 4cos ),0(42321>+=<<+=≠+=x x xy x x x y x x x y π)20)(tan 221)(cot 1(4π<<++=x x x y ，其中以4为最小值的函数个数是A.0B.1C.2D.3 答案：A19、(河北省衡水中学2022-2023学年—2022-2023学年学年度第一学期期中考试)若不等式0lg ])1[(<--x x t x 对任意的正整数t 恒成立，则实数x 的取值范围是A.}1|{>x xB.}210|{<<x x C.}1210|{><<x x x 或 D.}1310|{><<x x x 或 答案：C20、(四川省成都市高2022-2023学年届高中毕业班第一次诊断性检测)下列四个命题中正确的是A 、若a 、b ∈R ，则|a |－|b |＜|a ＋b |B 、若a 、b ∈R ，则|a －b |＜|a |＋|b |C 、若实数a 、b 满足|a －b |＝|a |＋|b |，则ab ≤0D 、若实数a 、b 满足|a |－|b |＜|a ＋b |，则ab ＜0 答案：C21、(湖南省衡阳市八中2022-2023学年届高三第三次月考试题)设函数()sin ,[,]22f x x x x ππ=∈-，若12()()f x f x >，则下列不等式必定成立的是( ). A ．120x x +>B ．2212x x >C ．12x x >D ． 12x x <答案：B22、(江西省崇仁一中2022-2023学年届高三第四次月考)若a 、b 、c 为实数，则下列命题正确的是（ ）A ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2B ．若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ＞b 2C ．若a ＜b ＜0，则1a ＜1bD ．若a ＜b ＜0，则b a ＞ab答案：B23、(江西省崇仁一中2022-2023学年届高三第四次月考)已知函数f (x )满足条件①f (x )＞0；②对任意x 、y ∈R ，都有f (x ＋y )＝f (x )·f (y )；③x ＞0时，0＜f (x )＜1．则不等式f －1(x 2－4x ＋3)＞f－1(3)的解集为（）A ．(－∞，0)∪(4，＋∞)B ．(0，4)C ．(0，1)∪(3，4)D ．(－∞，0)∪(3，4)答案：C24、(揭阳市云路中学2022-2023学年届高三数学第六次测试)不等式3112x x-≥-的解集是（ ）A ．324x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭B ．324x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．324x x x ⎧⎫>≤⎨⎬⎩⎭或 D ．{}2x x <答案：B ．原不等式等价于(43)(2)020x x x --≤-≠且25、(山东省平邑第一中学2022-2023学年届高三元旦竞赛试题)“0,0x y ><”是“222x y xy+≤-”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件答案：A26、(山东省平邑第一中学2022-2023学年届高三元旦竞赛试题)已知p>0,q>0,p,q 的等差中项是12，x=p+,1,1q q y p +=则x+y 的最小值为（ ）A. 6B. 5 C 4 D 3 答案：B27、(山东省德州市宁津高中2022-2023学年-2022-2023学年学年高三第一次月考)若011<<ba ，则下列结论不正确．．．的是 A ．||||||b a b a -=-B ．22b a < C ．2>+baa b D ．2b ab < 答案：A28、(山东省德州市宁津高中2022-2023学年-2022-2023学年学年高三第一次月考)已知函数11()()12x f x xa =-+（a >0）,若()f x ≤0恒成立,则a 的取值范围是A ．（0，1）B ．（0，1]C ．（1，+∞）D ．[1，+∞） 答案：D29、(陕西省西安铁一中2022-2023学年届高三12月月考)若不等式na n n1)1(2)1(+-+<-对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．)23,2[-B ．]23,2(-C ．)23,3[-D ．)23,3(-答案：A30、(上海市张堰中学高2022-2023学年届第一学期期中考试)设z y x >>，N n ∈，且zx nz y y x -≥-+-11恒成立，则n 的最大值为 （ ）A 、2B 、3C 、4D 、5答案：C31、(西南师大附中高2022-2023学年级第三次月考)已知4a b ab +=，a 、b 均为正数，则使a b m +>恒成立的m 的取值范围是（ ）A ．m < 9B ．9m ≤C ．m < 8D ．8m ≤答案：A32、(福建省福州三中高三年级第二次月考)设|13|)(-=x x f ，a b c <<且)()()(b f a f c f >>，则下列关系中一定成立的是（ ）A ．b c 33>B ．a b 33>C ．233>+a cD ．233<+a c答案：D33、(福建省福州三中高三年级第二次月考)已知()()()1f x x a x b =--+，n m ,是方程0)(=x f 的两根，且a ＜b ，m ＜n ，则a ．b ．m ．n 的大小关系是（ ） A ．m ＜a ＜b ＜n B ．a ＜m ＜n ＜bC ．a ＜m ＜b ＜nD ．m ＜a ＜n ＜b答案：B34、(福建省南安一中、安溪一中、养正中学2022-2023学年届高三期中联考)给出以下4个结论，其中正确的个数为（ ） A ．0 B ．１ Ｃ．２ Ｄ．３ ①函数2log (sin cos )y x x =-不是周期函数； ②函数5sin(3)2y x π=+既不是奇函数也不是偶函数； ③已知4个数a 、b 、c 、d ，满足ad bc =，则a 、b 、c 、d 成等比数列； ④1023101(12)1222212⋅-+++++=-．答案：A35、(福建省南安一中、安溪一中、养正中学2022-2023学年届高三期中联考)关于210,x ax ax x R -+>∈的不等式对恒成立的充要条件是（ ）A ．0＜a ＜4B ．a ＝0或4 Ｃ．0≤a ≤4 Ｄ．0≤a ＜4 答案：D36、(福建省南安一中、安溪一中、养正中学2022-2023学年届高三期中联考)已知实数对2222(,)326(,)2346x y x y x f x y x y x y +==+--满足，则的取值范围是（ ） A ．55[22-+ B ．[5,10] Ｃ．1,1]Ｄ．[7-+答案：A37、(广东省高明一中2022-2023学年届高三上学期第四次月考)同时满足条件：①函数图象成中心对称图形；②对任意,[0,1]a b ∈，若b a ≠，有)2(2)()(ba fb f a f +<+的函数是（ ） A ．||log x y a = B ．x y 2cos =C ．)3tan(π-=x yD ．3x y =答案：C天天向上独家原创11 / 11 38、(黑龙江省双鸭山一中2022-2023学年-2022-2023学年学年上学期期中考试)-1()f x 是函数+1()=2x f x 的反函数，若-1-1()+()=0f a f b ，则a+b 的最小值是（ ）A.1B. 2C.答案：D。