新高考总复习 数学 第二章 函数 第3节 函数的奇偶性与周期性 习题

高考数学一轮总复习知识梳理：第三讲 函数的奇偶性与周期性知 识 梳 理知识点一 函数的奇偶性 偶函数 奇函数定义 如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x 都有 f (－x )＝f (x ) ，那么函数f (x )是偶函数 都有 f (－x )＝－f (x ) ，那么函数f (x )是奇函数图象特征 关于 y 轴 对称关于 原点 对称 知识点二 函数的周期性1．周期函数对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有 f (x ＋T )＝f (x ) ，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个 最小的正数 ，那么这个 最小正数 就叫做f (x )的最小正周期．归 纳 拓 展1．奇(偶)函数定义的等价形式(1)f (－x )＝f (x )⇔f (－x )－f (x )＝0⇔f －xf x ＝1(f (x )≠0)⇔f (x )为偶函数；(2)f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0⇔f －xf x ＝－1(f (x )≠0)⇔f (x )为奇函数．2．若y ＝f (x )为奇函数，y ＝g (x )为奇函数，在公共定义域内(1)y ＝f (x )±g (x )为奇函数；(2)y ＝f (x )g (x )与y ＝f xg x 为偶函数；(3)y ＝f [g (x )]与y ＝g [f (x )]为奇函数．同理若y ＝f (x )与y ＝g (x )在公共定义域内均为偶函数，则y ＝f (x )±g (x )，y ＝f (x )g (x )，y ＝f xg x ，y ＝f [g (x )]，y ＝g [f (x )]均为偶函数．若y ＝f (x )为奇函数，y ＝g (x )为偶函数，则在公共定义域内y ＝f (x )g (x )与y ＝f xg x 均为奇函数，y ＝f [g (x )]与y ＝g [f (x )]为偶函数．3．对f (x )的定义域内任一自变量的值x ，最小正周期为T(1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2|a |；(2)若f (x ＋a )＝1f x ，则T ＝2|a |；(3)若f (x ＋a )＝f (x ＋b )，则T ＝|a －b |.4．函数图象的对称关系(1)若函数f (x )满足关系f (a ＋x )＝f (b －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称；(2)若函数f (x )满足关系f (a ＋x )＝－f (b －x )，则f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，0对称．5．一些重要类型的奇偶函数(1)函数f (x )＝a x ＋a －x 为偶函数，函数f (x )＝a x －a －x为奇函数； (2)函数f (x )＝a x －a －x a x ＋a －x ＝a 2x －1a 2x ＋1为奇函数；(3)函数f (x )＝log a b －xb ＋x 为奇函数；(4)函数f (x )＝log a (x ＋x 2＋1)为奇函数．双 基 自 测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝x 2，x ∈(－2,2]是偶函数．( × )(2)若函数f (x )是奇函数，则必有f (0)＝0.( × )(3)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．( √ )(4)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )的图象关于点(b,0)中心对称．( √ )(5)2π是函数f (x )＝sin x ，x ∈(0，＋∞)的一个周期．( × )(6)周期为T 的奇函数f (x )，一定有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫T 2＝0.( × )[解析] (6)举反例．函数f (x )＝tan x ，T ＝π，f (T )＝f (π)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫T 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2无意义，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫T 2＝0不对．题组二 走进教材2．(多选题)(必修1P 85T2改编)给出下列函数，其中是奇函数的为( BC )A ．f (x )＝x 4B ．f (x )＝x 5C ．f (x )＝x ＋1xD ．f (x )＝1x 2[解析] 对于f (x )＝x 4，f (x )的定义域为R ，由f (－x )＝(－x )4＝x 4＝f (x )，可知f (x )＝x 4是偶函数，同理可知f (x )＝x 5，f (x )＝x ＋1x 是奇函数，f (x )＝1x 2是偶函数． 3．(必修1P 85T3改编)若函数y ＝f (x )(x ∈(a ，b ))为奇函数，则a ＋b ＝ 0 .4．(必修1P 85T1改编)若函数y ＝f (x )(x ∈R )是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数y ＝f (x )图象上的是( B )A ．(a ，－f (a ))B ．(－a ，－f (a ))C ．(－a ，－f (－a ))D ．(a ，f (－a ))[解析] ∵函数y ＝f (x )为奇函数，∴f (－a )＝－f (a )．即点(－a ，－f (a ))一定在函数y ＝f (x )的图象上．5. (必修1P 87T12改编)设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图所示，则不等式f (x )<0的解集为_(－2,0)∪(2,5]__.[解析] 由图象可知，当0<x <2时，f (x )>0；当2<x ≤5时，f (x )<0，又f (x )是奇函数，∴当－2<x <0时，f (x )<0，当－5≤x <－2时，f (x )>0.综上，f (x )<0的解集为(－2,0)∪(2,5]．6．(必修1P 87T11改编)定义在R 上的奇函数f (x )以2为周期，则f (1)＋f (2)＋f (3)的值是( A )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] 根据函数的周期性和奇偶性得到f (3)＝f (－1)＝－f (1)、f (2)＝f (0)＝0，从而可求f (1)＋f (2)＋f (3)．因为函数以2为周期，所以f (3)＝f (－1)，f (2)＝f (0)，因为函数是定义在R 上的奇函数，所以f (－1)＝－f (1)，f (0)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (1)＋f (0)－f (1)＝0，故选A.7．(必修1P 86T3改编)已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋m ，则f (－3)＝ －7 .[解析] 因为f (x )为R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1，故f (x )＝2x－1(x ≥0)，则f (－3)＝－f (3)＝－(23－1)＝－7.题组三 走向高考8．(2023·新课标Ⅱ，4,5分)若f (x )＝(x ＋a )·ln 2x －12x ＋1为偶函数，则a ＝( B )A ．－1B ．0 C.12 D ．1 [解析] f (－x )＝(－x ＋a )ln －2x －1－2x ＋1＝(－x ＋a )ln 2x ＋12x －1＝(x －a )ln 2x －12x ＋1，∵f (x )为偶函数，∴f (x )＝f (－x )，∴x ＋a ＝x －a ，∴a ＝0.9．(2021·全国乙，4)设函数f (x )＝1－x1＋x ，则下列函数中为奇函数的是( B )A. f ()x －1－1B ． f ()x －1＋1 C. f ()x ＋1－1 D ． f ()x ＋1＋1[解析] 思路一：将函数f (x )的解析式分离常数，通过图象变换可得函数图象关于(0,0)对称，此函数即为奇函数；思路二：由函数f (x )的解析式，求出选项中的函数解析式，由函数奇偶性定义来判断．解法一：f (x )＝－1＋2x ＋1，其图象的对称中心为(－1，－1)，将y ＝f (x )的图象沿x 轴向右平移1个单位，再沿y 轴向上平移1个单位可得函数f (x －1)＋1的图象，关于(0,0)对称，所以函数f (x －1)＋1是奇函数，故选B.解法二：选项A ，f (x －1)－1＝2x －2，此函数为非奇非偶函数；选项B ，f (x －1)＋1＝2x ，此函数为奇函数；选项C ，f (x ＋1)－1＝－2x －2x ＋2，此函数为非奇非偶函数；选项D ，f (x ＋1)＋1＝2x ＋2，此函数为非奇非偶函数，故选B.。

2-3 函数的奇偶性与周期性习题1.(2010·北京西城区抽检)下列各函数中，( )是R 上的偶函数( ) A ．y ＝x 2－2x B ．y ＝2xC ．y ＝cos2xD ．y ＝1|x |－1[答案] C[解析] A 、B 不是偶函数，D 的定义域{x ∈R|x ≠±1}不是R ，故选C.2．(文)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝2x－3，则f (－2)的值等于( )A ．－1 B.114C ．1D ．－114[答案] A[解析] f (2)＝22－3＝1，又f (x )是奇函数， ∴f (－2)＝－f (2)＝－1，故选A.(理)(2011·浙江杭州月考)已知函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x ＋m (m 为常数)，则f (－1)的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3[答案] A[解析] ∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1. ∴f (x )＝2x＋2x －1，f (1)＝21＋2×1－1＝3，f (－1)＝－f (1)＝－3.3．(文)(2011·济南模拟)函数f (x )(x ∈R)是周期为3的奇函数，且f (－1)＝a ，则f (2011)的值为( )A ．aB ．－aC ．0D ．2a[答案] B[解析] ∵f (x )周期为3， ∴f (2011)＝f (670×3＋1)＝f (1)， ∵f (x )为奇函数，f (－1)＝a ， ∴f (1)＝－a ，故选B.(理)(2011·兰州诊断、河北三校联考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并满足f (x＋2)＝－1f x，当1≤x≤2时，f(x)＝x－2，则f(6.5)＝( ) A．4.5 B．－4.5C．0.5 D．－0.5[答案] D[解析] ∵f(x＋2)＝－1f x，∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－1f x＋2＝f(x)，∴f(x)周期为4，∴f(6.5)＝f(6.5－8)＝f(－1.5)＝f(1.5)＝1.5－2＝－0.5.4．(文)(2011·北京东城一模)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x>0时，f(x)＝ln(x＋1)，则函数f(x)的图象大致为( )[答案] C[解析] 函数f(x)＝ln(x＋1)的图象由f(x)＝ln x的图象向左平移1个单位得到，选取x>0的部分，然后作关于y轴的对称图形即得．(理)(2011·北京西城模拟)定义在R 上的偶函数f (x )的部分图象如图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f (x )的单调性不同的是( )A ．y ＝x 2＋1B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥0x 3＋1，x <0D ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≥0e －x，x <0[答案] C[解析] ∵f (x )为偶函数，由图象知，f (x )在(－2,0)上为减函数，而y ＝x 3＋1在(－∞，0)上为增函数．5．(2011·青岛模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (3)＝2－3，且对任意的x 都有f (x ＋3)＝1－fx，则f (2010)的值为( )A ．－2－ 3B ．－2＋3C ．2－ 3D ．－3－3[答案] A[解析] 由题意得f (x ＋6)＝f (x ＋3＋3)＝1－fx ＋3＝1－－1f x＝f (x )．∴函数f (x )的周期为6.f (2010)＝f (335×6)＝f (6)，而f (6)＝f (3＋3)＝－1f 3＝－12－3＝－2－ 3. 6．(文)(2011·合肥模拟)设f (x )是偶函数，且当x >0时是单调函数，则满足f (2x )＝f (x ＋1x ＋4)的所有x 之和为( ) A ．－92B ．－72C ．－8D ．8[答案] C[解析] ∵f (x )是偶函数，f (2x )＝f (x ＋1x ＋4)∴f (|2x |)＝f (|x ＋1x ＋4|) 又∵f (x )在(0，＋∞)上为单调函数， ∴|2x |＝|x ＋1x ＋4|， 即2x ＝x ＋1x ＋4或2x ＝－x ＋1x ＋4整理得2x 2＋7x －1＝0或2x 2＋9x ＋1＝0设方程2x 2＋7x －1＝0的两根为x 1，x 2，方程2x 2＋9x ＋1＝0的两根为x 3，x 4. 则(x 1＋x 2)＋(x 3＋x 4)＝－72＋(－92)＝－8.(理)已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 123)，c ＝f (0.20.6)，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．c <b <aB ．b <c <aC ．b <a <cD ．a <b <c[答案] C[解析] 由题意知f (x )＝f (|x |)．∵log 47＝log 27>1，|log 12 3|＝log 23>log 27，0<0.20.6<1， ∴|log 123|>|log 47|>|0.20.6|.又∵f (x )在(－∞，0]上是增函数，且f (x )为偶函数， ∴f (x )在[0，＋∞)上是减函数． ∴b <a <c .故选C.7．(文)若f (x )是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x ＝2对称，且当x ∈(－2,2)时，f (x )＝－x 2＋1.则f (－5)＝________.[答案] 0[解析] 由题意知f (－5)＝f (5)＝f (2＋3)＝f (2－3)＝f (－1)＝－(－1)2＋1＝0. (理)(2010·深圳中学)已知函数y ＝f (x )是偶函数，y ＝g (x )是奇函数，它们的定义域都是[－π，π]，且它们在x ∈[0，π]上的图象如图所示，则不等式f xg x<0的解集是________．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π [解析] 依据偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称，先补全f (x )、g (x )的图象，∵f xg x <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧f x <0g x >0，或⎩⎪⎨⎪⎧fx >0gx <0，观察两函数的图象，其中一个在x 轴上方，一个在x 轴下方的，即满足要求，∴－π3<x <0或π3<x <π.8．设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0<φ<π)．若f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝________.[答案]π6[解析] ∵f ′(x )＝－3sin(3x ＋φ)．∴f (x )＋f ′(x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ) ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋φ＋π3. f (x )＋f ′(x )是奇函数⇔φ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z)，即φ＝k π＋π6(k ∈Z)．又∵0<φ<π，∴k ＝0时，φ＝π6.9．定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，且f (12)＝0，则满足f (log 14 x )<0的集合为________．[答案] (0，12)∪(2，＋∞)1 2或x<－12，[解析] 由题意知f(x)<0的解为x>∴由f (log 14 x )<0得log 14 x >12或log 14 x <－12，∴0<x <12或x >2.10．(文)已知函数f (x )＝1－42a x＋a(a >0且a ≠1)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数． (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的值域；(3)当x ∈(0,1]时，tf (x )≥2x－2恒成立，求实数t 的取值范围．[解析] (1)∵f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，即f (－x )＝－f (x )恒成立，∴f (0)＝0.即1－42×a 0＋a＝0， 解得a ＝2.(2)∵y ＝2x－12x ＋1，∴2x＝1＋y 1－y ，由2x>0知1＋y 1－y>0，∴－1<y <1，即f (x )的值域为(－1,1)． (3)不等式tf (x )≥2x－2即为t ·2x －t2x＋1≥2x－2.即：(2x )2－(t ＋1)·2x ＋t －2≤0.设2x＝u ， ∵x ∈(0,1]，∴u ∈(1,2]．∵u ∈(1,2]时u 2－(t ＋1)·u ＋t －2≤0恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧12－t ＋1×1＋t －2≤022－t ＋1×2＋t －2≤0，解得t ≥0.(理)(2011·烟台模拟)已知函数f (x )＝ax ＋1x2(x ≠0，常数a ∈R)．(1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在x ∈[3，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围． [解析] (1)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当a ＝0时，f (x )＝1x2，满足对定义域上任意x ，f (－x )＝f (x )，∴a ＝0时，f (x )是偶函数；当a ≠0时，f (1)＝a ＋1，f (－1)＝1－a ， 若f (x )为偶函数，则a ＋1＝1－a ，a ＝0矛盾；若f(x)为奇函数，则1－a＝－(a＋1)，1＝－1矛盾，∴当a ≠0时，f (x )是非奇非偶函数． (2)对任意x 1，x 2∈[3，＋∞)，且x 1>x 2，f (x 1)－f (x 2)＝ax 1＋1x 21－ax 2－1x 22＝a (x 1－x 2)＋x 22－x 21x 21x 22＝(x 1－x 2)(a －x 1＋x 2x 21x 22)． ∵x 1－x 2>0，f (x )在[3，＋∞)上为增函数， ∴a >x 1＋x 2x 21x 22，即a >1x 1x 22＋1x 21x 2在[3，＋∞)上恒成立． ∵1x 1x 22＋1x21x 2<227，∴a ≥227.11.(2011·泰安模拟)f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且f (2)＝0，则方程f (x )＝0在区间(0,6)内解的个数至少是( )A ．1B ．4C ．3D ．2 [答案] B[解析] 由f (2)＝0，得f (5)＝0， ∴f (－2)＝0，f (－5)＝0. ∴f (－2)＝f (－2＋3)＝f (1)＝0，f (－5)＝f (－5＋9)＝f (4)＝0，故f (x )＝0在区间(0,6)内的解至少有1,2,4,5四个．12．(2011·开封调研)已知f (x )(x ∈R )为奇函数，f (2)＝1，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (3)等于( )A.12 B ．1 C.32 D ．2[答案] C[分析] 为求f (3)先求f (1)，为求f (1)先在f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)中，令x ＝－1，利用f (x )为奇函数，可解出f (1)．[解析] 令x ＝－1得f (1)＝f (－1)＋f (2)＝f (2)－f (1)，∴f (1)＝12f (2)＝12，∴f (3)＝f (1)＋f (2)＝32.[点评] 解答此类题目，一般先看给出的值和待求值之间可以通过条件式怎样赋值才能产生联系，赋值时同时兼顾奇偶性或周期性的运用，请再练习下题：若奇函数f (x )(x ∈R)满足f (3)＝1，f (x ＋3)＝f (x )＋f (3)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32等于( )A ．0B ．1 C.12 D ．－12[答案] C[解析] 在f (x ＋3)＝f (x )＋f (3)中取x ＝－32得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋f (3)，∴f (x )是奇函数，且f (3)＝1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝12. 13．(文)(2011·山东淄博一模)设奇函数f (x )的定义域为R ，最小正周期T ＝3，若f (1)≥1，f (2)＝2a －3a ＋1，则a 的取值范围是( ) A ．a <－1或a ≥23B ．a <－1C ．－1<a ≤23D ．a ≤23[答案] C[解析] 函数f (x )为奇函数，则f (－1)＝－f (1)． 由f (1)＝－f (－1)≥1得，f (－1)≤－1； 函数的最小正周期T ＝3，则f (－1)＝f (2)，由2a －3a ＋1≤－1解得，－1<a ≤23.(理)(2011·新方一模)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11) [答案] D[解析] ∵f (x －4)＝－f (x )， ∴f (x －8)＝－f (x －4)＝f (x )，∴f (x ＋8)＝f (x )，∴f (x )周期为8.∴f (80)＝f (0)，又∵f (x )为奇函数，∴f (－25)＝f (－24－1)＝f (－1)， ∴f (11)＝f (3)＝－f (3－4)＝f (1)， 由条件知f (x )在[－2,2]上为增函数，∴f (－1)<f (0)<f (1)，∴f (－25)<f (80)<f (11)．14．(文)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f (x )的图象关于直线x ＝12对称，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝________.[答案] 0[解析] ∵f (x )的图象关于直线x ＝12对称，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，对任意x ∈R 都成立， ∴f (x )＝f (1－x )，又f (x )为奇函数， ∴f (x )＝－f (－x )＝－f (1＋x ) ＝f (－1－x )＝f (2＋x )，∴周期T ＝2 ∴f (0)＝f (2)＝f (4)＝0 又f (1)与f (0)关于x ＝12对称∴f (1)＝0 ∴f (3)＝f (5)＝0 填0.(理)若函数f (x )＝a －e x1＋a ex (a 为常数)在定义域上为奇函数，则实数a 的值为________．[答案] 1或－1[解析] f (－x )＝a －e －x 1＋ae －x ＝ae x －1e x＋a f (x )＋f (－x )＝a －e xa ＋e x ＋1＋ae xae x －11＋ae xe x ＋a＝a 2－e 2x ＋a 2e 2x －11＋ae xe x ＋a＝0恒成立， 所以a ＝1或－1.15．已知函数f (x )＝e x －e －x(x ∈R 且e 为自然对数的底数)． (1)判断函数f (x )的奇偶性与单调性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．[解析] (1)∵f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x－e x＝－f (x )，∴f (x )为奇函数；∵f (x )＝e x －1e x ，而y ＝e x为增函数，y ＝－1ex 为增函数，∴f (x )为增函数．(2)∵f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0，∴f (x 2－t 2)≥－f (x －t )， ∵f (x )为奇函数，∴f (x 2－t 2)≥f (t －x )，∵f (x )为增函数，∴x 2－t 2≥t －x ，∴t 2＋t ≤x 2＋x . 由条件知，t 2＋t ≤x 2＋x 对任意实数x 恒成立， 当x ∈R 时，x 2＋x ＝(x ＋12)2－14≥－14.∴t 2＋t ≤－14，∴(t ＋12)2≤0，∴t ＝－12.故存在t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切实数x 都成立．16．(2010·泉州模拟)已知函数f (x )＝log a 1－mxx －1(a >0且a ≠1)是奇函数．(1)求m 的值；(2)判断f (x )在区间(1，＋∞)上的单调性并加以证明；(3)当a >1，x ∈(1，3)时，f (x )的值域是(1，＋∞)，求a 的值．[解析] (1)∵f (x )是奇函数，x ＝1不在f (x )的定义域内，∴x ＝－1也不在函数定义域内，令1－m ·(－1)＝0得m ＝－1. (也可以由f (－x )＝－f (x )恒成立求m ) (2)由(1)得f (x )＝log ax ＋1x －1(a >0且a ≠1)， 任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2， 令t (x )＝x ＋1x －1，则t (x 1)＝x 1＋1x 1－1，t (x 2)＝x 2＋1x 2－1， ∴t (x 1)－t (x 2)＝x 1＋1x 1－1－x 2＋1x 2－1＝2x 2－x 1x 1－1x 2－1， ∵x 1>1，x 2>1，x 1<x 2， ∴x 1－1>0，x 2－1>0，x 2－x 1>0. ∴t (x 1)>t (x 2)，即x 1＋1x 1－1>x 2＋1x 2－1， ∴当a >1时，log a x 1＋1x 1－1>log a x 2＋1x 2－1， 即f (x 1)>f (x 2)； 当0<a <1时，log ax 1＋1x 1－1<log a x 2＋1x 2－1，即f (x 1)<f (x 2)，∴当a>1时，f(x)在(1，＋∞)上是减函数，当0<a<1时，f(x)在(1，＋∞)上是增函数．(3)∵a >1，∴f (x )在(1，3)上是减函数， ∴当x ∈(1，3)时，f (x )>f (3)＝log a (2＋3)， 由条件知，log a (2＋3)＝1，∴a ＝2＋ 3.1．已知g (x )是定义在R 上的奇函数，且在(0，＋∞)内有1005个零点，则f (x )的零点共有( )A ．1005个B ．1006个C ．2009个D ．2011个[答案] D[解析] ∵奇函数的图象关于原点对称，g (x )在(0，＋∞)上与x 轴有1005个交点，故在(－∞，0)上也有1005个交点，又f (0)＝0，∴共有零点2011个．2．(2010·杭州模拟)若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)＝0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(2，＋∞) [答案] B[解析] ∵f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数，由f (x )<f (2)得f (|x |)<f (2)，∴|x |<2，∴－2<x <2.3．下列函数中既是奇函数，又在区间[－1,1]上单调递减的是( ) A ．f (x )＝sin x B ．f (x )＝－|x ＋1| C ．f (x )＝12(a x ＋a －x)D ．f (x )＝ln 2－x2＋x[答案] D[解析] y ＝sin x 与y ＝ln 2－x 2＋x 为奇函数，而y ＝12(a x ＋a －x)为偶函数，y ＝－|x ＋1|是非奇非偶函数．y ＝sin x 在[－1,1]上为增函数．故选D.4．(2010·安徽理，4)若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2[答案] A[解析] f(3)－f(4)＝f(－2)－f(－1)＝－f(2)＋f(1)＝－2＋1＝－1，故选A.5．定义两种运算：a⊗b＝a2－b2，a⊕b＝|a－b|，则函数f(x)＝2⊗xx⊕2－2( )A．是偶函数B．是奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数[答案] B[解析] f(x)＝4－x2|x－2|－2，∵x2≤4，∴－2≤x≤2，又∵x≠0，∴x∈[－2,0)∪(0,2]．则f(x)＝4－x2－x，f(x)＋f(－x)＝0，故选B.6．已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，若g(1)＝2，则f(2012)的值为( )A．2 B．0C．－2 D．±2[答案] A[解析] 由已知：g(－x)＝f(－x－1)，又g(x)、f(x)分别为R上的奇、偶函数，∴－g(x)＝f(x＋1)，∴f(x－1)＝－f(x＋1)，∴f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x)＝f(x＋4)，即f(x)的周期T＝4，∴f(2012)＝f(0)＝g(1)＝2，故选A.（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。

5.已知定义在R上的奇函数 ，满足 ，且在区间[0，2]上是增函数，若方程f(x)=m(m>0)在区间 上有四个不同的根 ，则
6．(多选题)函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数，则()
A.f(x)为奇函数B.f(x)为周期函数
C.f(x＋3)为奇函数D.f(x＋4)为偶函数
专题03函数的奇偶性、对称性、周期性
【方法点拨】
1.常见的与周期函数有关的结论如下：
(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
(2)如果f(x＋a)＝ (a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
对于 ， 是函数 的一条对称轴，且函数 是周期为4的周期函数，则 是函数 的一条对称轴，
又由函数为奇函数，则直线 是函数 图象的一条对称轴， 正确；
对于 ，函数 在 ， 上有7个零点：分别为 ， ， ，0，2，4，6； 错误；
对于 ， 在区间 ， 上为增函数且其周期为4，函数 在 ， 上为增函数，
又由 为函数 图象的一条对称轴，则函数 在 ， 上为减函数， 正确；
2.函数奇偶性、对称性间关系：
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；一般的，若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝ 对称．
(2)若函数y＝f(x＋a)是奇函数，即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝0恒成立，则函数y＝f(x)关于点(a，0)中心对称；一般的，若对于R上的任意x都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b恒成立，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称.

考点03函数的奇偶性与周期性1．（2021·全国高考真题（文））设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-.若1133f ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则53f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．53-B ．13-C ．13D ．53【答案】C 【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得53f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值.【详解】由题意可得：522213333f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而21111133333f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==--=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故5133f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数关于y 轴对称奇函数一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，非零常数T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．1．（2021·全国高三月考（文））函数()x x e e f x ln x-+=的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．2．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三月考（文））已知定义域为R 的奇函数()f x 满足1322f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当01x ≤≤时()1x f x e =-，则23x ≤≤时()f x 的解析式为（）A ．2()1x f x e -=-B ．2()1x f x e -=-C ．1()1x f x e -=-D ．1()1x f x e -=-3．（2021·陕西高三其他模拟（文））已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x =-．当12x ≤≤时，()()2log 7f x x =+，则()2021f =（）A ．3B ．3-C ．5-D ．54．（2021·江西高三其他模拟（理））已知函数()()ln sin ,033,3x x x f x f x x ⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，则()f x 在()0,10上的零点个数为（）A ．6B ．7C ．8D ．95．（2021·全国高三其他模拟（文））已知定义域为R 的偶函数y ＝f （x ）﹣3x 在[0，+∞）单调递增，若f （m ）+3≤f （1﹣m ）+6m ，则实数m 的取值范围是（）A ．（﹣∞，2]B ．[2，+∞）C ．[12，+∞）D ．（﹣∞，12]6．（2021·全国高三二模）已知函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（）A ．()4ln 11cos 2xf x x +=+B ．()2cos xx x f x e=C ．()cos ln 2sin x x f x x⋅=+D ．()22ln cos x f x x x+=+7．（2021·浙江杭州市·学军中学高三其他模拟）已知函数(21()log f x x x=+，则（）A ．()f x 在（0，+∞）上单调递增B ．对任意m ∈R ，方程()f x +m =0必有解C ．()f x 的图象关于y 轴对称D ．()f x 是奇函数8．（2021·河南高三月考（文））已知函数()32sin f x x ax x =++，现有下列四个结论:①()f x 是奇函数；②当23a =时，()f x 恰有两个零点；③若()f x 为增函数，则12a ≥-；④当23a =-时，()f x 恰有两个极值点.所有正确结论的编号是（）A ．①③B ．①③④C ．②④D ．①②③9．（2021·新疆高三其他模拟（文））定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且0x >时，()ln xf x x=.若关于x 的方程()f x kx =有三个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（）A ．11,0,e e ⎛⎫⎛⎫-∞-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．11,00,ee ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．11,0,22e e ⎛⎫⎛⎫-∞-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．11,00,22e e ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10．（2021·吉林高三月考（文））已知()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于点()1,0对称．以下关于()f x 的结论：①()f x 是周期函数；②()f x 满足()()4f x f x =-；③()f x 在（0，2）上单调递减；④()cos2xf x π=是满足条件的一个函数．其中所有正确的结论是（）A ．①②③④B ．②③④C ．①②④D ．①④11．（2021·云南红河哈尼族彝族自治州·高三三模（文））已知函数()f x 是R 上的奇函数，且满足()()11f x f x =+-，当(]0,1x ∈，()ln f x x =，则下列关于函数()f x 叙述正确的是（）A ．函数()f x 的最小正周期为1B ．函数()f x 在()0,2021内单调递增C ．函数()f x 相邻两个对称中心的距离为2D ．函数()ln y f x x =+在区间()0,2021内有1010个零点12．（2021·江西南昌市·高三三模（文））奇函数()f x 满足()()2f x f x -=，当[]0,1x ∈时，()()2log a f x x =+，则()2021f =（）A ．0B ．1C ．2D ．1-13．（2021·安徽高三二模（文））定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x -=，当(]0,1x ∈，()2log f x x x =-，则20212f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．32B ．12C ．12-D ．32-14．（2021·安徽蚌埠市·高三三模（文））若把定义域为R 的函数()f x 的图象沿x 轴左右平移后，可以得到关于原点对称的图象，也可以得到关于y 轴对称的图象，则关于函数()f x 的性质叙述一定正确的是（）A ．()()0f x f x -+=B ．()()11f x f x -=-C ．()f x 是周期函数D ．()f x 存在单调递增区间15．（2018·全国高考真题（文））已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=A ．50-B ．0C ．2D ．5016．（2019·北京高考真题（文））设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件17．（2019·全国高考真题（文））设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当x <0时，f (x )=A ．e 1x --B ．e 1x -+C ．e 1x ---D ．e 1x --+18．（2011·全国高考真题（文））下列函数中，既是偶函数又区间上单调递增的是A ．3y x =B ．1y x =+C ．21y x =-+D ．2xy -=19．（2014·安徽高考真题（文））若函数()()f x x R ∈是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为(1),01()sin ,12x x x f x x x π-≤≤⎧=⎨<≤⎩，则2941(()46f f +=___________20．（2017·山东高考真题（文））已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.1．C【分析】根据函数的奇偶性，可排除A 、D ；根据()f e 的值，可排除B ，即可求解.【详解】由题意，函数()x xe ef x ln x -+=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，可得定义域关于原点对称，又由()() ln ln x x x xe e e ef x f x x x--++-===-，所以()f x 是偶函数，故排除选项A 、D ；因为()()++ln eeee e e ef e e e e e--==>，可排除B.故选：C .2．A 【分析】由13()()22f x f x +=-得()f x 对称轴为1x =，结合奇偶性得10x -≤≤时()1x f x e -=-，再设23x ≤≤时2(2)1x f x e --=-即可.【详解】因为()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()()f x f x -=-因为13()()22f x f x +=-，所以()f x 的一条对称轴为1x =，有(2)()f x f x -=，当01x ≤≤时()1x f x e =-，所以当10x -≤≤时01x ≤-≤，()1=()x f x e f x --=--，即()1x f x e -=-，当23x ≤≤时120x -≤-≤，所以(2)2(2)1=1x x f x e e ----=--即2()1x f x e -=-故选：A 【点睛】函数的奇偶性、对称性及单调性是函数的三大性质，在解题中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和对称性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．3．A 【分析】首先判断函数的周期，再利用周期求函数值.【详解】由条件可知，()()f x f x -=-，且()()2f x f x =-，即()()2f x f x -=--，即()()2f x f x +=-，那么()()()42f x f x f x +=-+=，所以函数()f x 是周期为4的函数，()()()22021505411log 83f f f =⨯+===.故选：A 4．B 【分析】先作出函数ln y x =与sin y x =在03x <≤上的图像，得出()f x 在(]0,3上零点个数，再由周期性得出()3,10上的零点个数，得出答案.【详解】由题意，当03x <≤时，作出函数ln y x =与sin y x =的图像.由图可知，函数ln y x =与sin y x =在()0,1和[]1,3内各有一个交点，所以()f x 在(]0,3上有2个零点.由当3x >时，()()3f x f x =-，由函数周期性的性质可得当36x <≤时，()f x 上有2个零点,当69x <≤时，()f x 上有2个零点,当910x <<时，()f x 上有1个零点,所以()f x 在()0,10上有7零点个数故选：B ．5．D 【分析】设()()3g x f x x =-，由题意可知函数()g x 为偶函数，并且在[0，+∞）单调递增，由()3(1)6f m f m m +≤-+，得()(1)g m g m ≤-，从而得1m m ≤-，进而可求出实数m 的取值范围【详解】解：设()()3g x f x x =-，由题意可知函数()g x 为偶函数，并且在[0，+∞）单调递增，由()3(1)6f m f m m +≤-+，得()3(1)3(1)f m m f m m -≤---，即()(1)g m g m ≤-，所以()(1)g m g m ≤-，因为()g x 在[0，+∞）单调递增，所以1m m ≤-，两边平方得22(1)m m ≤-，解得12m ≤，所以实数m 的取值范围是（﹣∞，12]，故选：D 6．D 【分析】根据图象得函数()f x 定义域为{}|0x x ≠，图象关于y 轴对称，结合选项一一判断即可．【详解】根据图象得函数()f x 定义域为{}|0x x ≠，图象关于y 轴对称，即()f x 为偶函数．对于A 选项，()41211cos12f =>+，排除；对于B 选项，函数定义域为R ，排除；对于C 选项，函数定义域为{}|0x x ≠，()()()cos ln cos ln 2sin 2sin x x x xf x x x-⋅-⋅-==+--，故函数为非奇非偶函数，排除；对于D 选项，函数()f x 符合图象要求．故选：D 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，从函数的值域判断图象的上下位；(2)从函数的单调性判断；(3)从函数的奇偶性判断；(4)从函数的特征点排除不合要求的选项.7．C 【分析】A 选项：对()f x 求导，进一步判断单调性；B 选项：判断函数的奇偶性，以及根据单调性判断函数()f x 的图像在x 轴上方，从而得出结论.CD 选项：根据B 选项可知结论.【详解】A 选项：函数()f x 定义域为0x≠，(221()log 1f x x x ⎛⎫'=-+++=设(2()log g x x =+()()()11222222111211222()ln 21x x x g x x x x ---+⋅++⋅'=-+==在（0，+∞）上，所以()0g x '<，即()g x 单调递减，()(0)0g x g <=故()0f x '<∴当0x >时，()0f x '<，即()f x 在（0，+∞）上单调递减，故A 错误；B选项：((222111()log log log =()f x x x f x x x x ⎛⎫-=-==+-∴()f x 为偶函数，关于y 轴对称，在(,0)-∞，()f x 单调递增，在(0+)∞，，()f x 单调递减，当0x >时1x +>，(2log 0x +>，(21()log 0f x x x =+>∴()f x 的图像在x 轴上方，∴当0m >时，()y f x =与y m =-的图像无交点，说明方程()f x +m =0无解，故B 错误；C 选项：根据B 选项可知()f x 是关于y 轴对称C 正确；D 选项：根据B 选项可知()f x 是偶函数，故D 错误.故选：C.【点睛】求函数单调性的方法：1.变化趋势法；2.复合函数法；3.定义证明方法；4.等价形式法；5.导数法，注意：不管使用什么方法，首先都要确定定义域和求分界点；8．B【分析】由奇偶性的定义可判断出①正确；利用导数可求得()0f x '>，知()f x 单调递增，结合()00f =知②错误；将()f x 为增函数转化为()0f x '≥恒成立，利用分离变量法可得()223cos a h x x x ≥=--，利用导数可求得()()max 01h x h ==-，由此得到12a ≥-，知③正确；利用导数可求得()f x '在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，结合零点存在定理可知()f x '存在两个变号零点，由此知④正确.【详解】对于①，()f x 定义域为R ，()()32sin f x x ax x f x -=---=-，()f x ∴为奇函数，①正确；对于②，当23a =时，()34sin 3f x x x x =++，()243cos 3f x x x '∴=++，[]cos 1,1x ∈-Q ，4cos 03x ∴+>，()0f x '∴>，()f x ∴在R 上单调递增，又()00f =，()f x ∴有且仅有0x =一个零点，②错误；对于③，()232cos f x x a x =++'，若()f x 为增函数，则()0f x '≥对x ∈R 恒成立，223cos a x x ∴≥--，令()23cos h x x x =--，则()6sin h x x x '=-+，()6cos 0h x x ''=-+<，()h x '∴在R 上单调递减，又()00h '=，∴当(),0x ∈-∞时，()0h x '>；当()0,x ∈+∞时，()0h x '<；()h x ∴在(),0-∞上单调递增，在()0,∞+上单调递减，()()01h x h ∴≤=-21a ∴≥-，解得：12a ≥-，即若()f x 为增函数，则12a ≥-，③正确；对于④，当23a =-时，()34sin 3f x x x x =-+，则()243cos 3f x x x '=-+，()6sin f x x x ''∴=-，()6cos 0f x x '''=->，()f x ''∴在R 上单调递增，又()00f ''=，()f x '∴在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，()1003f '=-< ，()()51cos 103f '-=+->，()51cos103f '=+>，()f x '∴在()1,0-和()0,1上分别存在一个变号零点，()f x ∴有两个极值点，④正确.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查函数与导数知识的综合应用问题，涉及到函数奇偶性的判断、利用导数讨论函数零点个数问题、根据函数单调性求解参数范围问题；其中根据函数单调性求解参数范围的关键是能够将问题转化为与导函数有关的恒成立问题的求解，进而利用分离变量法求得结果.9．D【分析】根据函数为偶函数，通过求导先求0x >时函数的图像与性质，然后结合图像，求临界点时k 的值，即()f x 和直线kx 相切时的切线斜率，再根据对称性即可得解.【详解】当0x >时，令()21ln 0x f x x-'==，则e x =.即()0,x e ∈时，()f x 单调递增.(),x e ∈+∞时，()f x 单调递减.若关于x 的方程()f x kx =有三个不相等的实数根，如图，当0k >时，设过点()0,0做曲线的切线交曲线于点000ln ,x P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，切线方程为：()000200ln 1ln x x y x x x x --=-切线又过点()0,0，则0000ln 1ln x x x x --=-，即0x =又∵ln x y x =在()0,x e ∈时单调递增.∴0x =，切线的斜率为12e ，∴10,2k e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭由对称性知：11,00,22k e e ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：D.【点睛】本题考查了函数方程问题，考查了利图象交点求参数范围，同时考查了利用导数研究函数的单调性，有一定的计算量，属于中档题.本题的关键点有：（1）利用导数研究函数的单调性，并能正确画出函数图像；（2）求临界值，掌握过某点求切线方程.10．C【分析】对于①，由已知得()()f x f x -=，()()2f x f x +=-，由此可判断；对于②，由已知得()()4f x f x -=-，由此可判断；对于③，由函数关于y 轴对称，且函数()f x 关于(1,0)对称可判断；对于④，由()()cos()2x f x f x π--==，()2(2)cos ()2x f x f x π--==-，由此可判断．【详解】解：函数()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称．对于①，由于()()f x f x -=，函数的图象关于(1,0)对称，故()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，所以函数()f x 是周期函数，故①正确；对于②，函数()f x 为偶函数，则()()4f x f x -=-，由于函数为偶函数，故满足()()4f x f x =-，故②正确；对于③，令()cos 2f x x π=-，()f x 满足题意，但在(0,2)上单调递增，故③错误；对于④，因为()()coscos ()22x x f x f x ππ--===，()22(2)cos cos cos ()222x x x f x f x ππππ---===-=-，所以函数()cos2x f x π=既关于y 轴对称，又关于(1,0)对称，故④正确．故选：C ．【点睛】方法点睛：函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值，以及解决与周期有关的函数综合问题．解决此类问题的关键是充分利用题目提供的信息，找到函数的周期，利用周期在有定义的范围上进行求解．11．D【分析】根据已知关系式可推导得到()()2f x f x +=，知A 错误；由周期性、奇偶性和函数在(]0,1上的解析式可得()f x 图象，通过图象可判断出BC 错误；将()ln y f x x =+零点个数问题转化为()f x 与ln y x =-交点个数问题，通过数形结合的方式可确定结果，知D 正确.【详解】由()()11f x f x =+-得：()()2f x f x +=，()f x ∴最小正周期为2，A 错误；当(]0,1x ∈时，()ln f x x =，又()f x 为R 上的奇函数，则()00f =，可得()f x 大致图象如下图所示：由图象可知：()f x 在()0,2021上没有单调性，B 错误；()f x 的对称中心为()()0,k k Z ∈，则相邻的对称中心之间距离为1，C 错误；()ln y f x x =+在区间()0,2021内的零点个数等价于()f x 与ln y x =-在()0,2021内的交点个数，在平面直角坐标系中画出()f x 与ln y x =-大致图象如下图所示：由图象可知：()f x 与ln y x =-在每个()()2,22k k k Z +∈内都有1个交点，且在区间内的交点横坐标等于或小于21k +，∴两个函数在()0,2021内有1010个交点，即()ln y f x x =+在区间()0,2021内有1010个零点，D 正确.故选：D.【点睛】思路点睛：本题考查函数性质和函数图象的综合应用问题，解题的基本思路是能够根据奇偶性、周期性和函数的部分解析式确定函数的图象，进而通过数形结合的方式来进行分析求解.12．B【分析】由()00f =计算得出实数a 的值，推导出函数()f x 的周期为4，可得出()()20211f f =，即可得解.【详解】因为函数()f x 为奇函数，则()20log 0f a ==，解得1a =，所以，当[]0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，由已知条件可得()()()()224f x f x f x f x =-=--=-，所以，函数()f x 是以4为周期的周期函数，则()()220211log 21f f ===.故选：B.【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论：（1）若函数()f x 的图象关于直线x a =和x b =对称，则函数()f x 的周期为2T a b =-；（2）若函数()f x 的图象关于点(),0a 和点(),0b 对称，则函数()f x 的周期为2T a b =-；（3）若函数()f x 的图象关于直线x a =和点(),0b 对称，则函数()f x 的周期为4T a b =-.13．D【分析】先由已知条件判断出()f x 为周期函数，且周期T =4，把20212f ⎛⎫⎪⎝⎭转化为12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入即可.【详解】因为()f x 满足()()2f x f x -=，所以()f x 的图像关于x=1对称.又()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()()()22f x f x f x =-=--，所以()()()42f x f x f x +=-+=，所以()f x 为周期函数，且周期T =4.所以2021552524222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而25511132log 222222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以20212f ⎛⎫=⎪⎝⎭32-.故选：D【点睛】综合利用函数性质求值的方法步骤：（1）利用性质，将给定的自变量转换到有解析式的区间内；（2）将转换后的自变量代入已知的解析式求解.14．C【分析】通过举例说明选项ABD 错误；对于选项C 可以证明判断得解.【详解】定义域为R 的函数()f x 的图象沿x 轴左右平移后，可以得到关于原点对称的图象，也可以得到关于y 轴对称的图象，∴()f x 的图象既有对称中心又有对称轴，但()f x 不一定具有奇偶性，例如()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由()()0f x f x -+=，则()f x 为奇函数，故选项A 错误；由()()11f x f x -=-，可得函数()f x 图象关于0x =对称，故选项B 错误；由()0f x =时，()f x 不存在单调递增区间，故选项D 错误；由已知设()f x 图象的一条对称抽为直线x a =，一个对称中心为(),0b ，且a b ¹，∴()()2f a x f x +=-，()()2f x f b x -=-+，∴()()22f a x f b x +=-+，∴()()()2222f a x b f b x b f x +-=-+-=-，∴()()()()442222f x a b f b x b f x a b f x +-=-+-=-+-=，∴()f x 的一个周期()4T a b =-，故选项C 正确.故选：C【点睛】关键点睛：解答本题的关键是判断选项C 的真假，关键是利用函数周期性的定义、对称性进行推理.15．C【详解】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+，所以(1)(1)(3)(1)(1)4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=,因此(1)(2)(3)(50)12[(1)(2)(3)(4)](1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++ ，因为(3)(1)(4)(2)f f f f =-=-，，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，(2)(2)(2)(2)0f f f f =-=-∴= ，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++== ，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．16．C【分析】根据定义域为R 的函数()f x 为偶函数等价于()=()f x f x -进行判断.【详解】0b =时，()cos sin cos f x x b x x =+=,()f x 为偶函数；()f x 为偶函数时，()=()f x f x -对任意的x 恒成立，()cos()sin()cos sin f x x b x x b x-=-+-=-cos sin cos sin x b x x b x +=-，得0bsinx =对任意的x 恒成立，从而0b =.从而“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件，故选C.【点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.17．D【分析】先把x <0，转化为-x>0,代入可得()f x -，结合奇偶性可得()f x .【详解】()f x 是奇函数，0x ≥时，()1x f x e =-．当0x <时，0x ->，()()1x f x f x e -=--=-+，得()e 1x f x -=-+．故选D ．【点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的思想解题．18．B【详解】试题分析：因为A 项是奇函数，故错，C ，D 两项项是偶函数，但在(0,)+∞上是减函数，故错，只有B 项既满足是偶函数，又满足在区间(0,)+∞上是增函数，故选B ．考点：函数的奇偶性，单调性．19．516【分析】通过函数的奇偶性以及函数的周期性，分析可得293((44f f =-，417(()66f f =-，由函数的解析式可得29()4f 与41()6f 的值，将其相加即可得答案．【详解】根据题意，函数()()f x x R ∈是周期为4的奇函数，则29333((8)()(4444f f f f =-+=-=-，41777()(8)()(6666f f f f =-+=-=-，又由函数()f x 在[0，2]上的解析式为(1),01()sin ,12x x x f x x x π-⎧=⎨<⎩则293333()((1)444416f f =-=--=-，41771()()sin 6662f f π=-=-=，则2941315((4616216f f +=-+=，故答案为：516【点睛】方法点睛：对于周期函数求值，一般要利用周期先把函数的自变量转化到已知函数的定义域内，再求值.20．6【分析】先求函数周期，再根据周期以及偶函数性质化简()()9191f f =-，再代入求值.【详解】由f (x +4)=f (x -2)可知,()f x 是周期函数,且6T =,所以()()()919615311f f f =⨯+=()16f =-=.。