2009年中考数学专项讲解_整体思想
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中考数学专项讲解 整体思想
知识梳理
整体思想就是在解决数学问题时，将要解决的问题看作一个整体，通过对问题的整体形式、整体结构、已知条件和所求综合考虑后．得出结论．整体思想的应用，要做到观察全局、整体代入、整体换元、整体构造．整体思想作为重要的数学思想之一，我们在解题过程中经常使用．整体思想使用得恰当，能提高解题效率和能力，减少不必要的计算和走弯路，直奔主题．因而在处理数与式的运算、方程、几何计算等方面有着广泛应用．是初中数学学习中的重要思想方法．
典型例题
一、在数与式的运算中的应用
【例1】(07潍坊)已知代数式3x 2－4x+6的值为9，则2463
x x -+的值为 ( ) A ．18 B ．12 C ．9 D ．7
【分析】 如果根据题意直接求出x 再代入到2
463
x x -+中求值将非常麻烦，特别是x 为一个无理数．考虑到由题意3x 2－4x=3成立，而3x 2－4x 是243
x x -的3倍，所以可以将243x x -看作一个整体，则2461673x x -+=+=． 【解】D
【例2】先化简，再求值： 222142442
a a a a a a a a +--⎛⎫-÷ ⎪--+-⎝⎭，其中a 满足a 2－2a －1=0． 【分析】 对分式进行化筒结果为
212a a
-，如果把a 求出具体值再代入计算会很麻烦，但如果把a 2－2a 看成一个整体，则由已知可得a 2－2a =1，所以原式=2112a a =-． 【解】原式=()()()222214*********a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫+-----÷== ⎪ ⎪------⎝⎭
当a 2－2a =1时，原式=2112a a
=-． 【例3】计算：11111111123420082342007⎛⎫⎛⎫+++++++++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
(111111111234)
20082342007⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭…+
【分析】 如果直接计算，运算量非常大，观察括号内的算式的特征．考虑用“整体替换”． 【解】设：
11112342008a +++=…+，11112342007
b +++=…+， 则原式=a (1+b)－(1+a )b=a －b=12008． 二、在方程中的应用
【例4】(08绍兴)若买2支圆珠笔、1本日记本需4元；买1支圆珠笔、2本日记本需5元，则买4支圆珠笔、4本日记本需__________元．
【分析】 设日记本、圆珠笔的单价分别为x 元，y 元，根据题意得方程组：2425
x y x y +=⎧⎨+=⎩，
如果解出x 和y 再求4支圆珠笔、4本日记本需多少元完全可以，但只要我们细心观察只要将方程的两式相加得3x+3y=9，这样可得x+y=3，即圆珠笔和日记本的单价和为3，把它作为一个整体直接乘以4就能得到答案为12元．
【解】D
【例5】(08苏州)解方程：()2
221160x x x x
+++-=． 【分析】 直接去分母解方程固然可以，但观察方程可以先用换元的方法简化方程． 【解】 设
1x t x +=，则原方程可化为2t 2+t －6=0，解方程得：t 1=－2，232
t =， 113x ∴=-，x 2=2，经检验113x =-，x 2=2是原方程的解． 三、在几何计算中的应用
【例6】如图⊙A ，⊙B ，⊙C 两两不相交，且半径都是0．5 cm ，则图中的阴影部分的面积是 ( )
A ．12πcm 2
B ．8πcm 2
C ．4πcm 2
D ．6
πcm 2 【分析】 由于不能求出各个扇形的面积，因此要将三个阴影部分作整体考虑，注意到三角形内角和为180°，所以三个扇形的圆心角和为180°，又因为各个扇形的半径相等，所以阴影部分的面积就是半径为0．5 cm 的半圆的面积，即2210.528
cm ππ⨯⨯
=．选择B ． 【答案】B
综合训练
1．当代数式a+b的值为3时，代数式2a+2b+1的值是( ) A．5 B．6 C．7 D．8
2．用换元法解方程(x2+x) 2+2(x2+x)－1=0，若设y=x2+x，则原方程可变形为( ) A．y2+2y+1=0 B．y2－2y+1=0 C．y2+2y－1=0 D．y2－2y－1=0
3．当x=1时，代数式a x3+bx+7的值为4，则当x=－l时，代数式a x3+bx+7的值为A．7 B．10 C．11 D．12 ( )
4．若方程组
361
33
x y k
x y
+=+
⎧
⎨
+=
⎩
的解x，y满足0<x+y<1，则k的取值范围是( )
A．－4<k<0 B．－1<k<0 C．0<k<8 D．k>－4
5．(08芜湖)已知11
3
x y
-=，则代数式
2142
2
x xy y
x xy y
--
--
的值为_________．
6．已知x2－2x－1=0，且x<0，则
1
x
x
-=__________．
7．如果(a2+b2) 2－2(a2+b2)－3=0，那么a2+b2=_________．
8．如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少需________米．
9．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7 cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为__________cm2．10．如图，ABCD是各边长都大于2的四边形，分别以它的顶点为圆心、1为半径画弧(弧的端点分别在四边形的相邻两边上)，则这4条弧长的和是__________．
11．如图，半圆A 和半圆B 均与y 轴相切于点O ，其直径CD 、EF 均和x 轴垂直，以O 为顶点的两条抛物线分别经过点C 、E 和点D 、F ，则图中阴影部分的面积是________．
12．若买铅笔4支，日记本3本，圆珠笔2支共需10元，若买铅笔9支，日记本7本，圆珠笔5支共需25元，则购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需_________元．
13．(08烟台)已知x(x －1)－(x 2－y)=－3，求x 2+y 2－2xy 的值．
14．(07泰州)先化简，再求值：
2224124422a a a a a a
⎛⎫--÷ ⎪-+--⎝⎭，其中a 是方程x 2+3x+1=0的根． 15．阅读材料，解答问题．
为了解方程(x 2－1) 2－5(x 2－1)+4=0．我们可以将x 2－1视为一个整体，然后设x 2－1= y ，则原方程可化为y 2－5y+4=0①．解得y 1=1，y 2=4．当y=1时，x 2－1=1，∴x 2=2，
∴x =当y=4时，x 2－1=4，∴x 2=5，
∴x =
∴1x
，2x =
3x
4x =
解答问题：
(1)填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用_______法达到了降次的目的，体现了________的数学思想；
(2)用上述方法解方程：x 4－x 2－6=0．
参考答案
1．C 2．C 3．B 4．A 5．4 6．2 7．3 8．
2+2+ 9．49 10．2π
11．2
π 12．5 13．原题化简得x －y=3，∴x 2+y 2－2xy=(x －y) 2=32=9．
14．解：原式=()()()()()22222121222222a a a a a a a a a a a ⎡⎤+---+⎛⎫+⨯=+⨯⎢⎥ ⎪---⎝⎭-⎢⎥⎣⎦
()()231322a a a a +==+ a 是方程x 2+3x+1=0的根，∴a 2+3a +1=0，∴a 2+3a =－1，∴原式=－
12． 15．(1)换元 整体
(2)设x 2=y 则原方程可化为y 2－y －6=0，解得y 1=3，y 2=－2<0(舍去)
∴当y=3时，x 2=3，
∴x =
x =。
