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初二上册数学全册.第十一章全等三角形综合复习1. 全等三角形的概念及性质；2. 三角形全等的判定；3. 角平分线的性质及判定。
知识点一：证明三角形全等的思路通过对问题的分析，将解决的问题归结到证明某两个三角形的全等后，采用哪个全等判定定理加以证明，可以按下图思路进行分析：⎧→⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎪→⎩⎪⎪→→⎧⎪⎪→⎧⎪⎪⎨⎨⎪→⎨⎪⎪⎪⎪⎪→⎩⎩⎪⎪→⎧⎪⎨→⎪⎩⎪⎩SAS SSSHL AAS SAS ASAAAS ASA AAS 找夹角已知两边找第三边找直角边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一对边切记：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。
. 例1. 如图，,,,A F E B 四点共线，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =。
求证：ACF BDE ∆≅∆。
知识点二：构造全等三角形 例2. 如图，在ABC ∆中，BE 是∠ABC 的平分线，AD BE ⊥，垂足为D 。
求证：21C ∠=∠+∠。
例3. 如图，在ABC ∆中，AB BC =，90ABC ∠=。
F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，BE BF =，连接,AE EF 和CF 。
求证：AE CF=。
知识点三：常见辅助线的作法..1. 连接四边形的对角线例4. 如图，AB //CD ，AD //BC ，求证：AB CD =。
2. 作垂线，利用角平分线的知识..例5. 如图，,AP CP 分别是ABC ∆外角MAC ∠和NCA ∠的 平分线，它们交于点P 。
求证：BP 为MBN ∠的平分线。
例6. 如图，D 是ABC ∆的边BC 上的点，且CD AB =，ADB BAD ∠=∠，AE 是ABD ∆的中线。
求证：2AC AE =。
4. “截长补短”构造全等三角形.例7. 如图，在ABC ∆中，AB AC >，12∠=∠，P 为AD 上任意一点。
特别鸣谢资源原创者，本人仅仅便于自己的备课整理排版了一下。
第十一章全等三角形复习一、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形.2、全等三角形有哪些性质(1)：全等三角形的对应边相等、对应角相等。
（2）：全等三角形的周长相等、面积相等。
（3):全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等.3、全等三角形的判定边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS")边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”)）2、(判定）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
三、学习全等三角形应注意以下几个问题：（1)要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义；(2表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；(3）“有三个角对应相等"或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等; （4）时刻注意图形中的隐含条件，如“公共角”、“公共边"、“对顶角”第十二章轴对称一、轴对称图形1. 把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。
这条直线就是它的对称轴.这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称.2. 把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。
这条直线叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点,叫做对称点4。
轴对称的性质①关于某直线对称的两个图形是全等形。
②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
二、线段的垂直平分线1。
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线.2.线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等3.与一条线段两个端点距离相等的点,在线段的垂直平分线上三、用坐标表示轴对称小结：在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数。
全等三角形知识点总结及复习一、知识网络⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪→⇒⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎨⎩对应角相等性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图 角平分线性质与判定定理二、基础知识梳理 （一）、基本概念1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。
同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
全等三角形定义 ：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。
（注：全等三角形是相似三角形中的特殊情况）当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。
由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； (3)有公共边的，公共边一定是对应边； (4)有公共角的，角一定是对应角；(5)有对顶角的，对顶角一定是对应角； 2、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等； 3、全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等。
（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
4、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上（二）灵活运用定理1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。
2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。
全等三⾓形判定-专题复习50题（含答案解析）全等三⾓形判定⼀、选择题：1.如图所⽰，亮亮书上的三⾓形被墨迹污染了⼀部分，很快他就根据所学知识画出⼀个与书上完全⼀样的三⾓形，那么这两个三⾓形完全⼀样的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA2.⽅格纸中,每个⼩格顶点叫做⼀个格点，以格点连线为边的三⾓形叫做格点三⾓形.如图,在4×4的⽅格纸中,有两个格点三⾓形△ABC、△DEF,下列说法中成⽴的是（）A．∠BCA=∠EDF B．∠BCA=∠EFDC.∠BAC=∠EFD D．这两个三⾓形中，没有相等的⾓3.如图所⽰，△ABD≌△CDB，下⾯四个结论中，不正确的是（）A．△ABD和△C DB的⾯积相等B．△ABD和△CDB的周长相等C.∠A+∠ABD＝∠C+∠CBD D．AD∥BC，且AD＝BC4.下列判断中错误．．的是（）A．有两⾓和⼀边对应相等的两个三⾓形全等B．有两边和⼀⾓对应相等的两个三⾓形全等C．有两边和其中⼀边上的中线对应相等的两个三⾓形全等D．有⼀边对应相等的两个等边三⾓形全等5.使两个直⾓三⾓形全等的条件是（）A．⼀个锐⾓对应相等B．两个锐⾓对应相等C．⼀条边对应相等D．两条边对应相等6.如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC=BD，AB=ED，BC=BE，则∠ACB等于（）A．∠EDB B．∠BED C．∠AFB D．2∠ABF7.在△ABC和△A/B/C/中,已知∠A=∠A/,AB=A/B/,在下⾯判断中错误的是( )A．若添加条件AC=A/C/,则△ABC≌△△A/B/C/B.若添加条件BC=B/C/,则△ABC≌△△A/B/C/C.若添加条件∠B=∠B/,则△ABC≌△△A/B/C/D.若添加条件∠C=∠C/,则△ABC≌△△A/B/C/8.如图，△ABC和△DEF中，AB=DE、∠B=∠DEF，添加下列哪⼀个条件⽆法证明△ABC≌△DEF（）A．AC∥DF B．∠A=∠D C．AC=DF D．∠ACB=∠F9.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=8cm，F是⾼AD和BE的交点，则BF的长是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．9cm10.在如图所⽰的5×5⽅格中,每个⼩⽅格都是边长为1的正⽅形,△ABC是格点三⾓形（即顶点恰好是正⽅形的顶点），则与△ABC有⼀条公共边且全等的所有格点三⾓形个数是（）A．1 B．2 C．3 D．411.如图，点E在正⽅形ABCD的对⾓线AC上，且EC=2AE，直⾓三⾓形FEG的两直⾓边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正⽅形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的⾯积为（）A．a2B．a2C．a2D．a212.在连接A地与B地的线段上有四个不同的点D、G、K、Q，下列四幅图中的实线分别表⽰某⼈从A地到B地的不同⾏进路线（箭头表⽰⾏进的⽅向），则路程最长的⾏进路线图是（）A．B．C．D．⼆、填空题：13.如图所⽰，有⼀块三⾓形的镜⼦，⼩明不⼩⼼弄破裂成1、2两块，现需配成同样⼤⼩的⼀块．为了⽅便起见，需带上块，其理由是．14.如图⽰,点B在AE上,∠CBE=∠DBE,要使ΔABC≌ΔABD, 还需添加⼀个条件是__________.（填上你认为适当的⼀个条件即可）15.如图，已知∠1=∠2，AC=AD，请增加⼀个条件，使△ABC≌△AED，你添加的条件是．16.如图，∠1=∠2，要使△ABD≌△ACD，需添加的⼀个条件是（只添⼀个条件即可）．17.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，E、F分别为DB、DC的中点，则图中共有全等三⾓形对．18.如图，△ABD≌△BAC，若AD=BC，则∠BAD的对应⾓是．19.如图，已知AB⊥BD，垂⾜为B，ED⊥BD，垂⾜为D，AB=CD，BC=DE，则∠ACE= 度．20.如图，如果两个三⾓形的两条边和其中⼀条边上的⾼对应相等，那么这两个三⾓形的第三边所对的⾓的关系是．三、解答题：21.如图，∠DCE=90°，CD=CE，AD⊥AC，BE⊥AC，垂⾜分别为A．B．试说明AD+AB=BE．22.如图，E、A．C三点共线，AB∥CD，∠B=∠E,，AC=CD。
全等三角形复习专题一、全等三角形基本概念与性质全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，即形状相同和大小相等的三角形。
全等三角形的性质是全等三角形的边、角及其对应线段之间具有一些特殊的数量关系和位置关系。
如全等三角形的对应边相等，对应角相等，对应线段相等，以及全等三角形的中点连线等于其一边。
二、全等三角形的判定全等三角形的判定是全等三角形研究的核心内容，主要有以下五个判定方法：1、边角边定理（SAS）：若两个三角形的两边及其夹角对应相等，则这两个三角形全等。
2、角边角定理（ASA）：若两个三角形的两个角及其夹边对应相等，则这两个三角形全等。
3、边边边定理（SSS）：若两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形全等。
4、角角边定理（AAS）：若两个三角形的两个角及其一边对应相等，则这两个三角形全等。
5、斜边直角边定理（HL）：若两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，则这两个直角三角形全等。
三、全等三角形的应用全等三角形在数学、几何、物理等领域中都有广泛的应用。
如证明线段相等、角相等、平行四边形、矩形、菱形、正方形等几何图形的性质和判定，以及解决一些实际问题等。
四、全等三角形的复习策略1、掌握全等三角形的基本概念和性质，理解判定方法的意义和适用范围。
2、熟练掌握全等三角形的判定方法，能够根据题目条件选择合适的判定方法解决问题。
3、熟悉全等三角形的应用，能够将全等三角形的知识应用到实际问题和数学问题中。
4、多做练习题，熟悉各种题型和解题方法，提高解题能力和思维水平。
5、注意对易错点和难点进行重点复习和强化训练，避免出现常见的错误和失误。
全等三角形动点专题在数学的世界里，全等三角形和动点问题是两个重要的概念。
全等三角形是指两个或两个以上的三角形，它们的边长和角度都相等，可以完全重合。
动点问题则涉及到在给定的图形或轨迹上移动的点，以及这些点的变化和规律。
将这两个概念结合起来，我们可以研究一类非常有趣的数学问题，即全等三角形动点专题。
全等三角形的判定复习与总结教学目标：1.复习和巩固全等三角形的判定方法；2.总结全等三角形判定的规律和技巧；3.小组合作，培养学生的合作能力和思维能力。
教学准备：1.教学素材：全等三角形判定题目，活动卡片；2.教学工具：黑板、彩色粉笔、计算器。
教学过程：一、引入课题（5分钟）1.引入话题：今天我们要来复习和总结全等三角形的判定方法。
2.引发思考：请回顾一下，全等三角形的判定条件是什么？二、复习全等三角形的判定法（15分钟）1.复习SSS判定法：如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。
2.复习SAS判定法：如果两个三角形的一边和两个角度分别相等（这个边是两个角的夹边），则这两个三角形全等。
3.复习ASA判定法：如果两个三角形的两个角度和一边分别相等（这个边是两个角的边），则这两个三角形全等。
4.复习AAS判定法：如果两个三角形的两个角度和一边分别相等（这个边不是两个角的边），则这两个三角形全等。
三、总结全等三角形判定的规律和技巧（15分钟）1.全等三角形判定的基本规律：要判断两个三角形是否全等，只需对应两边相等且夹角相等即可。
2.技巧一：当给出两个三角形的三个边的长度时，先比较三边的长度是否相等，再比较夹角是否相等。
3.技巧二：当给出两个三角形的两边和夹角时，先比较两边的长度是否相等，再比较夹角是否相等。
四、小组合作活动（30分钟）1.分成若干小组，每组3-4个学生，每组发放一组活动卡片。
2.活动内容：每组成员轮流拿一张卡片，上面写有一组给定的边长和角度。
学生根据卡片上的数据，判断这两个三角形是否全等，并给出理由。
其他组员通过提问和讨论来验证判断的正确性。
3.活动要求：每个学生都要积极参与，提出问题和表达自己的观点；每个小组要有一个组长，负责组织小组讨论和总结。
五、展示与总结（20分钟）1.每个小组派出一位学生上台展示他们分析判断的过程，并给出判断的结果和理由。
2.全班一起讨论和比较不同小组的判断结果和理由，总结全等三角形判定的规律和技巧。
第十一章：全等三角形一、基础知识1.全等图形的有关概念 （1）全等图形的定义能够完全重合的两个图形就是全等图形。
例如：图13-1和图13-2就是全等图形图13-1图13-2 （2）全等多边形的定义两个多边形是全等图形，则称为全等多边形。
例如：图13-3和图13-4中的两对多边形就是全等多边形。
图13-3 图13-4（3）全等多边形的对应顶点、对应角、对应边两个全等的多边形，经过运动而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角。
（4）全等多边形的表示例如：图13-5中的两个五边形是全等的，记作五边形ABCDE ≌五边形A ’B ’C ’D ’E ’（这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”）。
图13-5表示图形的全等时，要把对应顶点写在对应的位置。
（5）全等多边形的性质全等多边形的对应边、对应角分别相等。
A B DC E B ’A ’ C ’ D ’ E ’（6）全等多边形的识别多边形相等、对应角相等的两个多边形全等。
2.全等三角形的识别（1）根据定义若两个三角形的边、角分别对应相等，则这两个三角形全等。
（2）根据SSS如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
相似三角形的识别法中有一个与（SSS）全等识别法相类似，即三条边对应成比例的两个三角形相似，而相似比为1时，就成为全等三角形。
（3）根据SAS如果两个三角形有两边机器夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
相似三角形的识别法中同样有一个是与（SAS）全等识别法相类似，即一角对应相等而夹这个角的两边对应成比例的两个三角形相似，当相似比为1时，即为全等三角形。
（4）根据ASA如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
（5）根据AAS如果两个三角形有两个角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
3.直角三角形全等的识别（1）根据HL如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。
专题总复习（一）全等三角形、轴对称一、复习目标：1、理解全等三角形概念及全等多边形的概念.2、掌握并会运用三角形全等的判定和性质，能应用三角形的全等解决一些实际问题.3、通过复习，能够应用所学知识解决一些实际问题，提高学生对空间构造的思考能力.二、重难点分析：1、全等三角形的性质与判定；2、全等三角形的性质、判定与解决实际生活问题.三、知识点梳理：知识点一：全等三角形的概念——能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.知识点二：全等三角形的性质.（1）全等三角形的对应边相等. （2）全等三角形的对应角相等.知识点三：判定两个三角形全等的方法.（1）SSS （2）SAS （3）ASA （4）AAS （5）HL（只对直角三形来说）知识点四：寻找全等三形对应边、对应角的规律.①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边.②全等三角形对应边所对的角是对应角，两个对应边所夹的角是对应角.③有公共边的，公共边一定是对应边.④有公共角的，公共角一定是对应角.⑤有对顶角的，对顶角是对应角.⑥全等三角形中的最大边（角）是对应边（角），最小边（角）是对应边（角）.知识点五：找全等三角形的方法.（1）一般来说，要证明相等的两条线段（或两个角），可以从结论出发，看它们分别落在哪两具可能的全等三角形中.（常用的办法）（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等.（3）可以从已知条件和结论综合考虑，看它们能否一同确定哪两个三角形全等.（4）如无法证证明全等时，可考虑作辅助线的方法，构造成全等三角形.知识点六：角平分线的性质及判定.（1）角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等.（2）角平分线的判定：在角的内部到角的两边距离相等的点在角平分线上.（3）三角形三个内角平分线的性质：三角形三条角平分线交于一点，且到三角形三边距离相等.知识点七：证明线段相等的方法.（重点）（1）中点性质（中位线、中线、垂直平分线）（2）证明两个三角形全等，则对应边相等（3）借助中间线段相等.知识点八：证明角相等的方法.（重点）（1）对顶角相等；（2）同角或等角的余角（或补角）相等；（3）两直线平行，内错角相等、同位角相等；（4）角平分线的定义；（5）垂直的定义；（6）全等三角形的对应角相等；（7）三角形的外角等于与它不相邻的两内角和.知识点九：全等三角形中几个重要的结论.（1）全等三角形对应角的平分线相等；（2）全等三角形对应边上的中线相等；（3）全等三角形对应边上的高相等.知识点十：三角形中常见辅助线的作法.（重难点）（1）延长中线构造全等三角形（倍长线段法）；（2）引平行线构造全等三角形；（3）作垂直线段（或高）；（4）取长补短法（截取法）.四、例题精讲：考点一：考查全等三角形的性质定理及判定定理.ODCBAEF NBM120°AEDCB ACC类型1 下列三角形全等的判定中，只适用于直角三角形的是（ ）A 、SSSB 、SASC 、ASAD 、HL类型2 下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）A 、一锐角和一直角边对应用相等B 、两直角边对应相等C 、两锐角对应相等D 、斜边、直角边对应相等.类型3 如图，AC 和BD 相交于点O ，BO =DO ，AO =CO ，则图中的全等三角形共有多少对（ ）A 、1对B 、2对C 、3对D 、4对考点二：考查全等三角形与垂直平分线的应用.类型1 在ABC ∆中，AB cm BC A AC AB ，，，6120=︒=∠=的垂直平分线交BC 于点M ，交AB 于E ，AC 的垂直平分线交BC 于点N ，交AC 于F ，求证：NC MN BM ==.类型2 如图所示，在ABC ∆中，AC AB =，BD 平分ABC ∠，AD BC BD ==，DE AB ⊥. （1）求A ∠的度数； （2）求证：AE BE =.考点三：全等三角形与等边三角形的综合运用.类型1 已知ABC ∆和DEB ∆为等边三角形，点B D A 、、在同一直线上，如图1所示. （1）求证：AE DC =；EFDCB AQAEBDCPABCF E D（2）若AE BN CD BM ⊥⊥，，垂足分别为N M 、，如图2，求证：BMN ∆是等边三角形.类型 2 如图所示，ABC ∆是边长为1的等边三角形，︒=∠=120BDC CD BD ，，F E 、分别在AC AB 、上，且︒=∠60EDF ，求AEF ∆的周长.类型3 如图所示，ABC ∆是等边三角形，AD BQ CD AE ⊥=，于点Q BE 交AD 于点P ， （1）求PBQ ∠的度数；（2）请判断PQ 与PB 的数量关系，并说明理由； （3）若31PQ PE ==，，求AD 的长.类型4 如图所示，ABC ∆为等边三角形，D 为BC 边上的一点，且AC DF AB DE ⊥⊥，，若A B C ∆的高为32，求DF DE +的值.DACBE AB DC FGECADBCAEDGABC考点四：角平分线与全等三角形的综合运用.类型1 在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AD CE ⊥于E ，求证：ACE B ECB ∠=∠+∠.类型2 如图所示，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，B C ∠=∠2，求证：CD AC AB +=.类型3 如图所示，//AB CD ，BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠，求证：BC AB CD =+.类型4 如图所示，在ABC ∆中，︒=∠60C ，BE AF ,分别为ABC CAB ∠∠,的角平分线，AF 交BC 于点E ，BE 交AC 于点F ，BE AF ,相交于点G ，求证：GF GE =.考点五：等腰三角形与全等三角形的综合运用.类型 1 如图所示，ABC ∆为等腰三角形，AB AC =，点,D E 分别在AB 和AC 的延长线上，且BD CE =，DE 交BC 于点G ，求证：DG GE =.AB 21CDEDCBAF EDCBACBDAE类型2 如图所示，在ABC ∆中，CD BD =，21∠=∠，求证：AD 平分BAC ∠.类型3 如图所示，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，BC AC =，D 为BC 中点，AD CE ⊥于E ，交AB 于F ，连接DF ，求证：BDF ADC ∠=∠.类型4 如图所示，已知AB CE AC BD AC AB ⊥⊥=，，，垂足分别为E D 、，CE BD ,相交于点F ， 求证：CD BE =.类型5 已知ADE ABC ∆∆、是两个腰互不相等的等腰直角三角形，，，AE AD AC AB ==︒=∠=∠90DAE BAC ，连结DC . （1）求证：CD BE =；（2）求证：CD BE ⊥.AB CD ABDCE BDC A考点六：考查中线与全等三角形的综合运用.类型1 如图所示，AD 是ABC ∆的中线，求证：AC AB AD +<2类型2 如图所示，CE CB 、分别是ABC ∆，ADC ∆的中线，且AB AC =，求证：2CD CE =.类型3 已知如图所示，在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，CD 是ABC Rt ∆的中线，求证：CD BD AD ==.考点七：考查全等三角形关于“质点运动”问题（通常与一次函数相结合）（难点）类型1 已知直线AB 的函数解析式为8+-=x y ，且与x 轴、y 轴分别交于B A 、两点，点O 到直线AB 的距离为24，动点Q 从点B 开始在线段BA 上向点A 移动，同时动点P 从点A 开始向线段AO 上向点O 移动，两点速度均以1个单位长度的速度移动，设点Q 、P 移动时间为t s . （1）求出B A 、两点的坐标.（2）当t 为何值时，APQ ∆与OBQ ∆全等.αADB OC110°E CF NBM120°A（3）是否存在AOQ ∆与OBQ ∆全等？若存在，试求出此时t 的取值 范围及线段OQ 所在直线的函数解析式；若不存在，请说明理由.考点八：旋转与全等三角形、等腰三角形、等边三角形的综合运用.类型1：如图所示，点O 是等边ABC ∆内一点，a BOC AOB =∠︒=∠，110，将BOC ∆绕点C 按顺时针方向旋转︒60得ADC ∆，连接OD . （1）求证：COD ∆是等边三角形；（2）当︒=150a 时，试AOD ∆判断的形状，并说明理由； （3）探究：当a 为多少度时，AOD ∆是等腰三角形？五、练习巩固.1、如上图若︒=∠105A ，NF ME 、分别为AC AB 、的垂直平分线，求MAN ∠的度数.2、如图所示，在ABC ∆中，AC AB =，︒=∠36A ，BD 平分ABC ∠，AB DE ⊥，ABDC F ABEDCA BCDMCEDCB A（1）图中有多少个等腰三角形，请写出来. （2）求证：AD BC BD ==；（3）若BDC ∆的周长为24cm ，14=AB cm ，求ABC ∆的周长.3、如图所示，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，CD AC AB +=，求证：B C ∠=∠24、如图所示，在ABC ∆中，BD DC =，ED DF ⊥，求证：BE CF EF +>.5、如图所示，在ABC Rt ∆中，︒=∠45B ，AD 平分BAC ∠，求证：CD AC AB +=6、如图所示，90B C ∠=∠=︒，M 为BC 的中点，AM 平分DAB ∠，求证：DM 平分ADC ∠.(4)(3)(2)(1)FE(C )D (A )BED C(A )BE D(A )BABDEFAE BCF F E DCBAE CDBA7、如图(1)所示，ABC ∆沿着DE 对折，使点A 刚好落在点B 上，如图(2)所示，将图(2)再沿着()BF AF 对折（图(3)所示），使点C 刚好落在点D 上，得到图(4).请问：(1) ABC ∆中A ∠的度数为__________；(2)根据上述的折叠，图(1)中，有_______个等腰三角形.8、如图所示，在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的角平分线，AC DF AB DE ⊥⊥，，228cm S ABC =∆，，cm AB 20=cm AC 8=，求DE 的长.9、如图所示，已知AB CE AD BD ⊥=，垂足为E ，CE BD ,相交于点F ， 求证：CDF ∆为等腰三角形.10、如图所示，在ABC ∆中，CD AB =，BDA BAD ∠=∠，AE 是ABD ∆的中线.求证：AE AC 2=.图1DFABCEG图2DBCA11、如图所示，已知在ABC ∆中，cm BC cm AC AB 810===，，点D 为AB 的中点，（1）如果点P 在线段BC 上以s cm /3的速度由点B 向点C 运动，同时，点Q 在线段CA 上由点C 向点A 运动.①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1s 后，BPD ∆与CQP ∆是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD ∆与CQP ∆全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC ∆三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC ∆的哪条边上相遇？12、如图1所示，ABC ∆和DEB ∆为等边三角形，E B A 、、在同一条直线上，连接CE AD 、分别交BD BC 、于点F G 、，连结GF . （1）求证：CE AD =.（2）求证：BGF ∆是等边三角形.（3）将BDE ∆绕点B 按顺时针方向旋转︒90，其他条件不 变的情况下，在图2中补出符合要求的条件，并判断第（1） （2）两小题的结论是否成立？FEDCBAM N NM ABCD E F321NMABCD EF 321DECBAM M ABCEDDEC B A13、如图①所示，在ABC Rt ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D E 、是直线AC 上的两动点，且AD CE =，AM BD ⊥，垂足为M ，延长AM 交BC 于点N ，直线BD 交直线NE 于点F . (1)试探究EDF ∠与DEF ∠的大小关系；(2)如图②所示，若D E 、运动到如图位置，其他条件不变，图①中的EDF ∠与DEF ∠的大小关系还成立吗？若成立，请证明出来，若不存在，试说明理由.(3)如图③所示，当DE 运动到如图的位置，此时的EDF ∠与DEF ∠的大小关系又是如何？请证明你的结论.课前练习1、如图所示，已知两个等边ABC ∆、CDE ∆有公共的顶点C .(1)如图①，当D 在AC 上，E 在BC 上时，AD 与BE 之间的数量关系为______________. (2)如图②，当B C D 、、共线时，连接AD BE 、交于点M ，连接CM ，线段BM 、AM 、CM 之间有何数量关系？试说明理由.(3)如图③，当B C D 、、不共线时，线段BM 、AM 、CM 之间有又何数量关系？不要求证明.21BEC DANMMNADC EB2、如图所示，已知四边形ABCD 是正方形，(1)如图①，若M 为BC 的中点，AM MN ⊥，CN 平分DCE ∠并交MN 于点N .求证：AM MN = (2)如图②，若M 为BC 边上的一点，其它条件不变，AM MN =还能成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.。
