17第十七章
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第十七章勾股定理教材分析勾股定理是直角三角形的一条非常重要的性质,也是几何中最重要的定理之一。
它揭示了三角形三条边之间的数量关系,主要用于解决直角三角形中的计算问题,是解直角三角形的主要根据之一,同时在实际生活中具有广泛的用途,“数学源于生活,又用于生活”是这章书所体现的主要思想。
教材在编写时注意培养学生的动手操作能力和分析问题的能力,通过实际操作,使学生获得较为直观的印象;通过联系比较、探索、归纳,帮助学生理解勾股定理,以利于进行正确的应用。
教学目标(1)通过对几种常见的勾股定理验证方法,进行分析和欣赏。
理解数学知识之间的内在联系,体会数形结合的思想方法,进一步感悟勾股定理的文化价值。
(2)通过拼图活动,尝试验证勾股定理,培养学生的动手实践和创新能力。
(3)让学生经历查询资料、自主探究、合作交流、观察比较、计算推理、动手操作等过程,获得一些研究问题的方法,取得成功和克服困难的经验,培养学生良好的思维品质,增进他们数学学习的信心。
(4)掌握勾股定理及其逆定理,并能运用这两个定理解决实际问题。
教学重点(1)分析和欣赏几种常见的验证勾股定理的方法。
(2)勾股定理和逆定理的探索和应用。
教学难点:(1)“数形结合”思想方法的理解和应用。
(2)通过拼图,探求验证勾股定理的新方法。
教法和学法:在整个教学过程中,本课的教法和学法体现如下特点:(1)以学生自我探索、合作交流为主,充分发挥教师的主导作用,运用各种手段激发学生学习欲望和兴趣,组织学生活动,让学生主动参与学习全过程。
(2)切实体现学生的主体地位,让学生通过观察、分析、讨论、操作、归纳,理解定理,提高学生动手操作能力,以及分析问题和解决问题的能力。
(3)通过学生自己得到获得新知的成功感受,从而激发学生钻研新知的欲望。
学情分析:八年级的学生虽然缺乏七年级学生那种强烈的新奇感,但他们已具备了一定的动手能力,分析归纳能力,而且勾股定理是在学生已经掌握了直角三角形的有关性质的基础上学习的,所以只要教师能通过各种教学手段调动学生的学习积极性,并进行适当的引导,他们能够就勾股定理这一主题展开探索,在探索中理解并掌握勾股定理。
方法技巧篇17 第十七章 反比例函数A .考点精析、重点突破、学法点拨双曲线的性质 1.双曲线的对称性双曲线x k y =(k ≠0)关于原点对称,也关于直线y =x (正比例函数y =x 的图象)(或直线y =-x )对称,两个函数图象的交点也关于原点对称;双曲线x k y =(k ≠0)与x k y -=(k ≠0)关于两坐标轴都对称;它们的四支组成优美的图形,共有____条对称轴.例1 (2012深圳市)如图,双曲线()k y k x=>0与⊙O 在第一象限内交于P 、Q 两点,分别过P 、Q 两点向x 轴和y 轴作垂线.已知点P的坐标为(1,3)则图中阴影部分的面积为 .2.双曲线的渐近线双曲线每一支的两端分别无限地趋近两坐标轴,我们把两坐标轴叫做双曲线的渐近线. 3.双曲线上到原点的最近点双曲线与直线y =x 或y =-x 的交点是双曲线上到原点最近的点.||k 越大,这个“最近点”就离原点越远,双曲线也就离原点越远.例2 (2012福州)如图,过点C (1,2)分别作x 轴、y 轴的平行线,交直线y =-x +6于A 、B 两点,若反比例函数xk y =(x >0)的图像与△ABC 有公共点,则k 的取值范围是( )A .2≤k ≤9 B. 2≤k ≤8 C. 2≤k ≤5 D. 5≤k ≤8B .中考常考题型与解题方法技巧一、巧用比例系数k 的几何意义如图,若点),(00y x P 是反比例函数xk y =上的任意一点,则有=⋅00y x ,即0x 与0y 的积必是一个定值.过点P 分别作x 轴和y 轴的垂线,垂足分别为点A 、点B ,则PA=OB=||0y ,PB=OA=||0x .故有||||210y x s s OPB OPA ⋅==∆∆P=||21k ,此时矩形OAPB 的面积为||||||00k y x s =⋅=.这就是说,过双曲线上任意一点作x 轴和y 轴的垂线,所得的矩形的面积为|k |,这是比例系数k 的几何意义. 1.确定解析式例3 如图,P 是反比例函数x k y =的图象上一点,过点P 分别向x 轴、y轴作垂线,所得的图形中阴影部分的面积为6,则这个反比例函数的解析式为( )A .x y 6-=B .x y 6=C .x y 3-=D .xy 3=2.求图形的面积例4 (2005·宁波市)如图,正比例函数x y =与反比例函数x y 1=的图象相交于A 、C 两点,AB⊥x 轴于点B ,CD⊥x 轴于点D ,则四边形ABCD 的面积为( )A .1B .23C .2D .25例5(2012·湖南株洲市)如图,直线(0)x t t =>与反比例函数21,y y x x-==的图象分别交于B 、C 两点,A 为y 轴上的任意一点,则∆ABC 的面积为( )A .3B .32t C .32 D .不能确定3.比较面积的大小例6 (2006·兰州市)如图,P l 、P 2、P 3分别是双曲线上的三点,过这三点分别作y 轴的垂线,得到三个三角形△P 1A 10、△P 2A 20、△P 3A 30,设它们的面积分别是S l 、S 2、S 3,则( )A .321s s s <<B .312s s s <<C .231s s s <<D .321s s s == 4.确定点是否在图像上例7 (2007·贵阳)在平面直角坐标系中有六个点A(1,5),)35,3(--B ,C(-5,-1),)25,2(-D ,)35,3(F ,)2,25(F ,其中有五个点在同一反比例函数的图象上,不在这个反比例函数图象上的点是( )A .点CB .点DC .点ED .点F 二、一次函数“牵手”反比例函数1.同一坐标系中的两个图象共存问题例8 反比例函数xk y 2-=与正比例函数kx y 2=在同一坐标系中的图象不可能是( )2.求函数关系式或图象交点坐标问题例9 已知反比例函数)0(≠=k xk y 和一次函数6--=x y .(1)若一次函数和反比例函数的图象交于点(-3,m ),求m 和k 的值.(2)当k 满足什么条件时,这两个函数的图象有两个不同的交点?(3)当k =-2时,设(2)中的两个函数的图象的交点分别为A 和B ,试判断此时A 、B 两点分别在第几象限?∠AOB 是锐角还是钝角(只要求直接写出结论)?例10 (山东课改实验区)如图,直线22--=x y 与双曲线x k y =交于点A ,与x 轴、y 轴分别交于点B 、C ,AD⊥x 轴于点D ,如果C DB ADB s s ∆∆=,那么k =______.例11 (2012·湖北襄阳)如图,直线y =k 1x +b 与双曲线y =2kx相交于A (1,2),B (m ,-1)两点.(1)求直线和双曲线的解析式;(2)若A 1(x 1,y 1),A 2(x 2,y 2),A 3(x 3,y 3)为双曲线上的三点,且x 1<x 2<0<x 3,请直接写出y 1,y 2,y 3的大小关系式;(3)观察图象,请直接写出不等式k 1x +b >2k x的解集.四、反比例函数的应用例12 (2012·安徽)甲、乙两家商场进行促销活动,甲商场采用“满200减100”的促销方式,即购买商品的总金额满200元但不足400元,少付100元;满400元但不足600元,少付200元,……;乙商场按顾客购买商品的总金额打6折促销. ⑴若顾客在甲商场购买了510元的商品,付款时应付多少钱? 解:⑵若顾客在甲商场购买商品的总金额为x (400≤x <600)元,优惠后得到商家的优惠率为p (p=购买商品的总金额优惠金额),写出p 与x 之间的函数关系式,并说明p 随x 的变化情况; 解:⑶品牌、质量、规格等都相同的某种商品,在甲乙两商场的标价都是x (200≤x <400)元,你认为选择哪家商场购买商品花钱较少?请说明理由.C .数学思想方法与中考能力要求一、数形结合思想例13 如图是三个反比例函数x k y 1=,x k y 2=,x k y 3=在x 轴上方的图象,由此观察,得到k 1,k 2,k 3 的大小关系为( ) A .321k k k >> B .123k k k >> C .132k k k >> D .213k k k >>二、函数思想例14 在某一电路中,电源电压U 保持不变,电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数图象如图所示.(1)I 与R 的函数关系式为______;(2)结合图象回答:当电路中的电流不得超过12 A 时,电路中电阻R 的取值范围是______.。
第十七章 多元函数微分学§1可微性一 可微性与全微分与一元函数一样,在多元函数微分学中,主要讨论多元函数的可微性及其应用.本章首先建立二元函数可微性概念,至于一般n 元函数的可微性不难据此相应地给出(对此,在第二十三章有更详细的论述).定义1 设函数),(y x f z =在点()000,y x P 的某领域)(0P U 内有定义,对于)(0P U 中的点),,(),(00y y x x y x P ∆+∆+=若函数f 在点0P 处的全增量z ∆可表示为: ),(),(00y x f y y x x f z -∆+∆+=∆),(ρo y B x A +∆+∆= )1(其中A,B 是仅与点0P 有关的常数,)(,22ρρo y x ∆+∆=是较ρ高阶的无穷小量,则称函数f 在点0P 可微,并称)1(式中关于y x ∆∆,的线性函数y B x A ∆+∆为函数f 在点0P 的全微分,记作y B x A y x df dz P ∆+∆==),(|000)2(由)1()2(可见dz 是z ∆的线性主部,特别当y x ∆∆,充分小时,全微分dz 可作为全增量z ∆的近似值,即).()(),(),(0000y y B x x A y x f y x f -+-+≈ )3(在使用上,有时.也把()1式写成如下形式,y x y B x A z ∆+∆+∆+∆=∆βα )4( 这里()()()().0lim lim 0,0,0,0,==→∆∆→∆∆βαy x y x例1 考察函数xy y x f =),(在点),(00y x 处的可微性. 解 在点),(00y x 处函数f 的全增量为()000000,),(,y x y y x x y x f -∆+∆+=∆ =.00y x y x x y ∆∆+∆+∆ 由于(),00→→≤∆∆=∆∆ρρρρρρyx yx因此()p o y x =∆∆.从而函数f 在00,y x 可微,且.00y x x y df ∆+∆= □二 偏导数由一元函数微分学知道:若()x f 在点0x 可微,则函数增量(),)()(00x o x A x f x x f ∆+∆=-∆+其中()0'x f =A .同样,由上一段已知,若二元函数f 在点),(00y x 可微,则f 在点),(00y x 处的全增量可由(1)式表示.现在讨论其中A 、B 的值与函数f 的关系.为此,在(4)式中令()00≠∆=∆x y ,这时得到z ∆关于x 的偏增量z x ∆,且有x x A z x ∆+∆=∆α或.α+=∆∆A xzx 现让0→∆x ,由上式便得A 的一个极限表示式.),(),(lim lim000000xy x f y x x f x z A x x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆ ()5容易看出,(5)式右边的极限正是关于x 的一元函数()0,y x f 在0x x =处的导数.类似地,令()00≠∆=∆y x ,由(4)式又可得到.),(),(limlim000000yy x f y y x f y zB y y y ∆-∆+=∆∆=→∆→∆ ()6它是关于y 的一元函数()y x f ,0在0y y =处的导数.二元函数当固定其中一个自变量时,它对另一个自变量的导数称为偏导数,定义如下: 定义2 设函数.),(),,(D y x y x f z ∈=若D y x ∈),(00,且()0,y x f 在0x 的某一邻域内有定义,则当极限.),(),(lim ),(lim00000000xy x f y x x f x y x f x x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆ ()7存在时,称这个极限为函数f 在点),(00y x 关于x 的偏导数,记作()00,y x f x 或 ().00,y x xf ∂∂注意1 这里符号y x ∂∂∂∂,专用于偏导数算符,与一元函数的导数符号dxd相仿,但又有差别.注意2 在上述定义中,f 在点),(00y x 关于x (或y )的偏导数,f 至少在(){}(){}),|,(,|,000δδ<-=<-=y y x x y x xx y y y x 或上必须有定义. 若函数()y x f z ,=在区域D 上每一点()y x ,都存在对x (或对y )的偏导数,则得到函数),(y x f z =在区域D 上对x (或对)y 的偏导函数(也简称偏导数),记作),(y x f x 或xy x f ∂∂),( ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂y y x f y x f y ),(,或, 也可简单地写作x f ,x z 或x f ∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂.,y f z f y y 或 在上一章中已指出,二元函数),(y x f z =的几何图象通常是三维空间中的曲面.设()0000,,z y x P 为这曲面上一点,其中),(000y x f z =,过0P 作平面0y y =,它与曲面的交线⎩⎨⎧==),(,:0y x f z y y C是平面0y y =上的一条曲线。
第十七章从指南针到磁浮列车第十八章电能从哪里来编写人:姓名一、复习目标:1.知道磁场的定义、条形碲形磁体周围磁感线的分布及磁体间的相互作用。
2.理解磁场对电流的作用及其应用(安培定则)。
3.认识电源和用电器的能量转化。
4.理解电磁感应现象的产生条件。
5.知道远距离高压输电的原因。
二、基础知识与方法:1.物体能够吸引等物质的性质叫做磁性。
具有物体叫做磁体。
一些物体接触或靠近磁性物质会获得磁性,这种现象叫做。
2.磁体上磁性最强的部分叫做。
任何磁体都有两个磁极,一个叫极,用S表示;一个叫极,用N表示。
同名磁极互相,异名磁极互相。
3.磁体周围的空间存在着。
磁场是一种看不到摸不着而又确实存在的一种特殊形态的物质。
磁场的基本性质是对放入其中的磁体、铁、钴、镍等物质及电流产生作用。
磁体间的相互作用是通过而发生的。
磁场是有方向的。
在磁场中某一点放置的小磁针静止时极所指的方向规定为这一点的磁场方向。
磁场中某点的磁场方向、该点的磁感线方向、小磁针在该点静止时北极的指向。
4.实验发现了电流的周围存在磁场,它揭示了电现象与磁现象的联系。
通电螺线管的磁场跟的磁场相似,也有两个磁极。
5.通电导体在磁场中要受到磁场力的作用,受力的方向跟的方向和的方向有关。
通电导体在磁场中受力运动,实现了由能转化为能。
6.化学电池分为锌锰干电池、镍镉电池、锂电池、银锌电池等,它们都是将能转化为能。
7.闭合电路的导体在磁场中运动时产生电流的现象称为电磁感应。
在电磁感应现象中,实现了由能转化为能。
感应电流的方向与方向和方向有关。
8.为减少输电线上的电能损失,远距离送电要用。
9.在高压线路中,触电的形式有:触电和触电。
三、经典考题:1.图1中奥斯特实验说明通电导体周围存在着。
2.根据图2中通电螺线管的磁感线方向标出小磁针的N极。
图1图21四、课堂检测:1.已知小磁针静止时的指向,画出图3中电流的方向。
2.如图4所示,当弹簧测力计吊着一磁体,沿水平方向从水平放置的条形磁铁的A 端移到B 端的过程中,能表示测力计示数与水平位置关系的是图中的( ) 3.首先发现电磁感应现象的科学家是( )A.法拉第B.伏特C.安培D.奥斯特4.如图5,在磁场中悬挂一根导体棒ab ,把它的两端跟灵敏电流计连接起来,闭合开关,不能使电流表指针偏转的做法是( )A.导体ab 不动,磁体向右运动B.磁体不动,导体ab 向右运动C.磁体不动,导体ab 竖直向上运动D.磁体不动,导体ab 斜向上运动4.如图6所示为远距离输电系统示意图,请指出:(1)发电机的工作原理是: 。
第十七章 量子力学基础一、基本要求1. 了解德布罗意的物质波概念,理解实物粒子的波粒二象性,掌握物质波波长的计算。
2. 了解不确定性原理的意义,掌握用不确定关系式计算有关问题。
3. 了解波函数的概念及其统计解释,理解自由粒子的波函数。
4. 掌握用定态薛定谔方程求解一维无限深势阱的简单问题,并会计算一维问题中粒子在空间某区间出现的概率。
5. 了解能量量子化、角动量量子化和空间量子化,了解斯特恩-盖拉赫试验及微观粒子的自旋。
6. 理解描述原子中电子运动状态的四个量子数的物理意义,了解泡利不相容原理和原子的壳层结构。
二、基本内容1. 物质波与运动的实物粒子相联系的波动,在此意义下,微观粒子既不是经典意义下的粒子,也不是经典意义下的波。
描述其波动特性的物理量v 、λ和描述其粒子特性的物理量E 、p 由德布罗意关系h E v =ph =λ联系起来,构成一幅统一的图像。
2. 波函数对具有波粒二象性的微观粒子进行描述所使用的函数,一般写为(,)t ψr , 波函数的主要特点:(1)波函数必须是单值、有限、连续的; (2)*(,)(,)1t t d xd yd zψψ=⎰⎰⎰r r (归一化条件);(3)*(,)t ψr ,(,)t ψr 表示粒子在t 时刻在(x 、y 、z )处单位体积中出现的概率,称为概率密度。
特别注意自由粒子的波函数:/()i E t A e--ψ= p.r 式中P 和E 分别为自由粒子的动量和能量。
3. 不确定性原理1927年海森堡提出:对于一切类型的测量,不确定量∆x和∆xp 之间总有如下关系:∆x ∆x p ≥2同时能量的不确定量∆E与测定这个能量所用的时间(间隔)∆t的关系为:∆E ∆t ≥2不确定性原理完全起源于粒子的波粒二象特性,与所用仪器与测量方法无关。
4. 薛定谔方程波函数(,)t ψr 所满足的方程。
若已知微观粒子的初始条件,则可由薛定谔方程决定任一时刻粒子的状态。
在势场(,)U t r 中,薛定谔方程可写为222∇-m(,)U t ψ+r ti ∂ψ∂=ψ若势能函数()UU ≡r 与时间无关,则可将(),t ψr 写成()()f t ψr ,其中()ψr 满足定态薛定谔方程222∇-m()ψr +()Ur ()ψr =E()ψr而)(t f =Eti e-,此时有(),t ψr 、)t =()ψr Eti e-这种形式的波函数称为定态波函数,它所描写的微观粒子的状态则称为定态。
在一维情况下,定态薛定谔方程成为222()()()()2dx U x x E x m d x-ψ+ψ=ψ5. 一维无限深势阱中粒子的定态薛定锷方程及波函数定态薛定锷方程2222d E m d xψ-=ψ(0x a<<)定态波函数()inn n x xaπψ=(n =1,2,3,….)6. 描述原子中电子运动状态的四个量子数 描述原子中电子运动状态的四个量子数如表17-1 表17-1四个量子数7. 泡利不相容原理1925年泡利提出:一个原子系统内,不能有两个或两个以上的电子具有完全相同的一组量子数n (,l ,m ,s m )。
不相容原理是确定电子组态和原子壳层结构的重要理论依据。
在结合能量最低原理,就可以对元素周期表进行成功的解释。
三、习题选解17-1 试求出质量为0.01kg ,速度为10m·s -1的一个小球的德布罗意波长。
解:1001.010626.634⨯⨯===-vm h p h λm331063.6-⨯=m17-2 若光子和电子的德布罗意波长均为0.5nm ,试求: (1)光子的动量和电子的动量之比。
(2)光子的动能和电子的动能之比。
解:给定波长为λ的光子的动量和能量为λhpp=λhchv E P ==相同波长电子的动量为λhp e =所以(1) 波长同为5.0nm 的光子和电子动量之比为1=epp p(2)高速运动电子的动能为总能量和静能量之差20cm E E k -=由相对论动量与能量关系有42022cm p c E +=2042022cm c m pc E k -+=而光子静质量为0,其动能即为其总能量λhcEp=所以,波长同为5.0nm 的光子和电子动能之比为22042022102.4⨯=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=cm cm hc c hcE Ekpλλ17-3 试证明,当一个粒子的能量远大于其静止能量时,这个粒子的德布罗意波长与具有相同能量的光子的波长大致相等。
证:能量为E 的光子波长为Ehc p=λ同样能量的电子波长为ph e =λ对于高速运动的粒子有==v m p 2201cm v v -222021cc m mcE v -==将E 平方,再减去p 的平方乘c 的平方4202222202242022211cm cc m cc m pc E=---=-v v v42021cm Ecp -=这样能量为E 的电子的波长为4202cm Ehc p h e -==λ由题意E 〉〉20cm因而2202202)(11Ec m Ehc cm Ehce -⋅=-=λpEhc λ=≈结论得证。
17-4 一束带电粒子经206V 的电势差加速后,测得其德布罗意波长为0.002nm ,已知这带电粒子所带电量与电子电量相等,求这粒子的质量。
解:设粒子经电势差U 加速后速度为υeUm =221v电子的动量为λhm p ==v由此可以解出222λeU hm =271067.1-⨯=kg这个粒子是质子。
17-5 实物粒子的德布罗意波与电磁波有什么不同?解释描述实物粒子的波函数的物理意义。
答:实物粒子的德布罗意波反映粒子在空间各点分布的规律;电磁波反映的是电场强度与磁场强度在空间各点的分布。
实物粒子的波函数的物理意义,是波函数的绝对值的平方表示粒子在空间某一区域出现的概率密度。
17-6 试用球坐标表示的粒子波函数为),,(ϕθr ψ,试求: (1)粒子在球壳(r .drr+)中被观测到的概率;(2)在),(ϕθ方向上的立体角元ϕθθd d d sin =Ω中找到粒子的概率。
解:(1)在球坐标体积元τd 发现一个粒子的概率为rd (ω,θ,ϕ)=*ψr(,θ,ϕ)ψr(,θ,ϕ)τd球坐标体积元τd =ϕθθd r rd drsin ⋅⋅=Ω=drd r d drd r 22sin ϕθθ其中ϕθθd d d s i n =Ωθ的取值范围为0到π,ϕ的取值范围为0到π2粒子在(r .drr +)的球壳中被观测到的概率是指在r 和drr+之间,θ和ϕ取全部范围的概率⎢⎣⎡=⎰⎰ππθθω020sin )(d r d *ψr(,θ,ϕ)ψr(,θ,ϕ)]ϕd drr 2(2)在体积元ϕθθd d d ⋅⋅=Ωsin 中被测到的概率为),(ϕθωd =ϕθθϕθϕθd d dr r r r sin ),,(),,(02*⎥⎦⎤⎢⎣⎡ψψ⎰∞Ω⎥⎦⎤⎢⎣⎡ψψ=⎰∞d d r r r r 02*),,(),,(ϕθϕθ17-7 一个质量为m 的粒子,约束在长度为L 的一维线段上。
试根据不确定关系估算这个粒子所能具有的最小能量的值。
由此,试估算在直径10-14m 的核内质子和中子的最小动能。
解:由海森堡不确定原理2≥∆∆x p粒子被约束在长度为L 的势阱中运动,x 的最大不确定范围为L 。
即Lx =∆max 因而Lp 2mi n≥∆P的最小不确定范围在2/min p ∆-到2/minp ∆,因为粒子在正负两个方向运动的概率是等同的。
因此P 的最小取值为2/minp ∆。
2minmin p p ∆=因而,其动能的最小值为222min min 322mLmp E==对于质子和中子271067.1-⨯=m kg1410-=L m代入数据22min 32mLE=2214272344)10(1067.132)10055.1(π⨯⨯⨯⨯⨯=---J=4103.1⨯ eV17-8 试根据关系式2≥∆⋅∆xp 证明,对于在圆周上运动的一个粒子,2≥∆⋅∆θL 。
其中L ∆是角动量的不确定量,θ∆是角度的不确定量。
证:如图所示,设粒子在平面上做圆周 运动,当粒子在某一微小线段上运动时, 可以看成在此线段上粒子做的是直线运 动。
在l ∆线元中动量的不准确量是p ∆,满足不确定原理 题17-8图2 ≥∆⋅∆l p 即 ()2m r θ∆∆≥v于是()2m r θ∆⋅∆≥v2≥∆⋅∆θL17-9 如果一个电子处于原子某能态的时间为10-8s ,这个原子的这个能态的能量的最小不确定量是多少? 设电子从上述能态跃迁到基态,对应的能量为3.39eV ,试确定所辐射光子的波长及这波长的最小不确定量。
解:按不确定性原理:2≥∆⋅∆t E 有2683410528.01014.341063.62---⨯=⨯⨯⨯=∆≥∆tE J710329.0-⨯=eV按光子能量与波长的关系式λhcE=,有7198341067.31060.139.31031063.6---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==Ehc λm367=nm故有波长的最小不确定值为219268342)1060.139.3(10528.01031063.6---⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=∆=∆EE hc λm6151055.31055.3--⨯=⨯=m nm17-10 在发现中子之前,人们曾经认为原子核是由A 个质子和)(Z A -个电子组成,试用不确定关系证明电子不可能是原子核的结构单元。
解:原子核线度大约10-14 m ,电子限制在核内,位置不确定度为1410-=∆x m, 由不确定性原理~xp ∆⋅∆,动量的不确定度为24143410~1010~~xp ∆∆ kg ·m ·s 1-电子的动量不可能比它的不确定度小,据此估计电子动能约为20~2042022cm cm pc E k -+=MeV通常核内电子衰变的动能小于1eV 。
所以简单的估计排除电子处在核内的可能性。
17-11 试证明:若势能函数)(x U具有空间反射不变性,即)()(x U x U =-而)(x ψ是一维定态薛定谔方程)()()](2[222x E x x U dxd mψ=ψ+⋅-的相应于能量本征值E 的解,则)(x -ψ也是该方程的相应于该能量本征值E的解。
证:当xx-→时,定态的薛定谔方程变为[])()()()()(2222x E x x U x x d dm-ψ=-ψ-+-ψ-⋅-由于[]2222)(dxd x d d=- 按题意有 )()(x U x U =-所以定态薛定谔方程可化为)()()()(2222x E x x U x dxdm -ψ=-ψ+-ψ-由此可以看出)(x -ψ与)(x ψ一样都满足同一定态薛定谔方程,且属于同一能量本征值E 。