三角恒等变换--基础知识资料包

三角恒等变换三角恒等变换是解决三角函数之间关系的重要工具，它们能够将一个三角函数表达式转化为与之等价的形式。

在解三角函数方程、简化和证明三角恒等式时，熟练掌握三角恒等变换是至关重要的。

1. 基本的三角恒等变换基本的三角恒等变换包括：- 正弦函数的平方加上余弦函数的平方等于1：sin^2(x) + cos^2(x) = 1- 1加上正切函数的平方等于secant函数的平方：1 + tan^2(x) = sec^2(x)- 1加上余切函数的平方等于cosecant函数的平方：1 + cot^2(x) = csc^2(x)这些基本的恒等变换在求解三角函数方程的时候经常会用到。

2. 倍角恒等变换倍角恒等变换是将角度翻倍的三角函数关系，其中包括：- 正弦函数的倍角公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)- 余弦函数的倍角公式：cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 2cos^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x)- 正切函数的倍角公式：tan(2x) = (2tan(x))/(1 - tan^2(x))倍角恒等变换可以帮助我们简化三角函数表达式，从而更容易进行计算和证明。

3. 和差恒等变换和差恒等变换是将两个三角函数的和或差转化为一个三角函数的形式，常见的和差恒等变换包括：- 正弦函数的和差公式：sin(x ± y) = sin(x)cos(y) ± cos(x)sin(y)- 余弦函数的和差公式：cos(x ± y) = cos(x)cos(y) ∓ sin(x)sin(y)- 正切函数的和差公式：tan(x ± y) = (tan(x) ± tan(y))/(1 ∓ tan(x)tan(y))和差恒等变换可以帮助我们将复杂的三角函数表达式转化为简单的形式，方便计算和处理。

4. 半角恒等变换半角恒等变换是将一个角度的一半与三角函数的关系转化为另一个角度的三角函数关系。

三角恒等变换知识点总结2014/10/24一、基本内容串讲1． 两角和与差的正弦、余弦和正切公式如下：sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=对其变形：tan α＋tan β=tan(α+β）(1— tan αtan β)，有时应用该公式比较方便。

2． 二倍角的正弦、余弦、正切公式如下：sin 2sin cos ααα=. 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-。

要熟悉余弦“倍角”与“二次”的关系(升角-降次，降角-升次)．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形， 22cos 1sin ,22cos 1cos 22α-=αα+=α 这两个形式常用。

3.辅助角公式：sin cos4x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭cos 2sin 6x x x π⎛⎫±=± ⎪⎝⎭()sin cos a x b x x ρ+=+。

4。

简单的三角恒等变换（1)变换对象:角、名称和形式，三角变换只变其形，不变其质.（2）变换目标：利用公式简化三角函数式，达到化简、计算或证明的目的。

（3)变换依据：两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。

（4)变换思路：明确变换目标，选择变换公式,设计变换途径. 5。

常用知识点：（1）基本恒等式：22sin sin cos 1,tan cos ααααα+==（注意变形使用，尤其‘1’的灵活应用,求函数值时注意角的范围）；（2）三角形中的角:A B C π++=，sinA sin(B ),cosA cos(B C)C =+=-+； （3）向量的数量积：cos ,a b a b a b =，1212a b x x y y =+，12120a b x x y y ⊥⇔+=1221//0a b x y x y ⇔-=;二、考点阐述考点1两角和与差的正弦、余弦、正切公式1、sin 20cos 40cos 20sin 40+的值等于（ ）2、若tan 3α=，4tan 3β=，则tan()αβ-等于( ） 3、若3,4παβ+=则(1tan )(1tan )αβ--的值是________． 4、(1tan1)(1tan 2)(1tan3)(1tan 44)(1tan 45)+︒+︒+︒+︒+︒=_______________。

实用标准文档2两角和与差的正弦、余弦和正切基础梳理1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C (α－β)： cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β；(2)C (α＋β)： cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S (α＋β)： sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S (α－β)： sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β；tan α＋tan β(5) T (α＋β)：tan(α＋β)＝1－tan αtanβ； tan α－tan β(6) T (α－β)：tan(α－β)＝1＋tan αtan β. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1) S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；(2) C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；2tan α(3) T 2α：tan 2α＝1－tan2α. 3．有关公式的逆用、变形等(1) tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)；1＋cos 2α 1－cos 2α (2) cos 2α＝ 2 ，sin 2α＝ 2 ；(3) 1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，π(α±)sin α±cos α＝ sin 4 .4．函数 f (α)＝a cosα＋b sinα(a ，b 为常数)，可以化为 f (α)＝ a 2＋b 2sin(α＋φ)或 f (α)＝ a 2＋b 2cos(α－φ)，其中 φ 可由 a ，b 的值唯一确定．两个技巧(1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝实用标准文档α＋β α－β α－β (α＋β) (α＋β)2 － 2； 2 ＝2 － 2 .(2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等． 三个变化(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”． (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦” 、“升幂与降幂”等．(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．双基自测11．(人教 A 版教材习题改编)下列各式的值为4的是()．π A ．2cos 212－1B ．1－2sin 275°2tan 22.5°C.1－tan222.5° D ．sin 15°cos 15°sin 2α2．(2011·福建)若 tan α＝3，则 cos2α 的值等于( )．23．已知 sin α＝3，则 cos(π－2α)等于()．π 14．(2011·辽宁)设 sin ( 4＋θ)＝3，则 sin 2θ＝()．5．tan 20°＋tan 40°＋ 3tan 20° tan 40°＝.考向一 三角函数式的化简12cos4x －2cos2x ＋π π2 【例 1】►化简2tan ( 4 －x )sin2( 4 ＋x ).[审题视点] 切化弦，合理使用倍角公式．β 1 α 2三角函数式的化简要遵循“三看”原则：(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式； (3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．sin α＋cos α－1sin α－cos α＋1【训练 1】 化简：sin 2α.考向二 三角函数式的求值π【例 2】►已知 0＜β＜ 2 ＜α＜π，且(α－ ) (－β)cos2 ＝－9，sin 2 ＝3，求 cos(α＋β)的值．【训练 2】 已知 α，β∈( )三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：(1) 已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．(2) 已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”关系．π4 1(0，2 )，sin α＝5，tan(α－β)＝－3，求 cosβ 的值．考向三 三角函数的求角问题1 13 π【例 3】►已知 cos α＝7，cos(α－β)＝14，且 0＜β＜α＜ 2 ，求 β.通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；0， π若角的范围是 2 ，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；π π (－ 2 ，2 )若角的范围为 ，选正弦较好． π π(－ ，)【训练3】 已知 α，β∈ 2 2 ，且tanα，tan β 是方程x 2＋3 3x ＋4＝0 的两个根，求 α＋β 的值．π考向四三角函数的综合应用【例 4】►(2010·北京)已知函数f(x)＝2cos 2x＋sin2x.( 3)(1)求f的值；(2)求f(x)的最大值和最小值．高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在研究三角函数性质中．需要利用这些公式，先把函数解析式化为y＝A sin(ωx＋φ)的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质．【训练 4】已知函数f(x)＝2sin(π－x)cos x. (1)求f(x)的最小正周期；[6 ] 2(2)求f(x)在区间ππ－，上的最大值和最小值．三角函数求值、求角问题策略面对有关三角函数的求值、化简和证明，许多考生一筹莫展，而三角恒等变换更是三角函数的求值、求角问题中的难点和重点，其难点在于：其一，如何牢固记忆众多公式，其二，如何根据三角函数的形式去选择合适的求值、求角方法．一、给值求值一般是给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论．(x＋π)tan x【示例】►(2011·江苏)已知tan 4 ＝2，则tan 2x的值为．二、给值求角“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．1 1 【示例】►(2011·南昌月考)已知tan(α－β)＝2，tan β＝－7，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．( 互相垂直，其中 θ∈ 2 )▲三角恒等变换与向量的综合问题两角和与差的正弦、余弦、正切公式作为解题工具，是每年高考的必考内容， 常在选择题中以条件求值的形式考查．近几年该部分内容与向量的综合问题常出现在解答题中，并且成为高考的一个新考查方向．【示例】► (2011·温州一模)已知向量 a ＝(sin θ，－2)与 b ＝(1，cos θ)π 0，.(1) 求 sin θ 和 cos θ 的值；π(2) 若 5cos(θ－φ)＝3 5cos φ，0＜φ＜ 2 ，求 cos φ 的值．【课后训练】A 组 专项基础训练 (时间：35 分钟，满分：57 分)一、选择题(每小题 5 分，共 20 分)22π ( )3 3tan 12°－311. (2012·江西)若 tan θ＋tan θ＝4，则 sin 2θ 等于( )1A.51B.4 1C.3 1D.22. (2012·大纲全国)已知 α 为第二象限角，sin α＋cos α＝ 3 ，则 cos 2α 等于()55 5 5 A ．－ 3B ．－ 9C. 9D. 35103. ， 则 α＋β 等于C. 4 和 4(0， )D ．－ 4 和－414． (2011·福建)若 α∈()A. 22 ，且 sin 2α＋cos 2α＝4，则 tan α 的值等于B. 3C.D.二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)5． cos 275°＋cos 215°＋cos 75°cos 15°的值等于．6.4cos212°－2sin 12°＝.3 3 0，π7．sin α＝5，cos β＝5，其中 α，β∈ 2 ，则 α＋β＝.三、解答题(共 22 分)1＋sin α 1－sin α 8． (10 分)已知集合．1－sin α－ 1＋sin α＝－2tan α，试确定使等式成立的 α 的取值3 3已知 α，β 都是锐角，若 sin ()α＝ 5 ， s in β＝ 10 π 3πA.4 π 3πB. 4π3π3π αα( ，π) 69． (12 分)已知 α∈ 2，且 sin 2 ＋cos 2 ＝ 2. (1) 求 cos α 的值； (π)(2)若 s in(α－β)＝－5，β∈4 1 (－3)2，π ，求 cos β 的值． 4 3＋3 ＝－ 2 ×5＋2× 5 ＝－ 10 .B 组 专项能力提升 (时间：25 分钟，满分：43 分)一、选择题(每小题 5 分，共 15 分)3( ) 5[π，π]1． (2012·山东)若 θ∈ 4 ( )3A.5 2 ，sin 2θ＝4B.5 3 8 ，则 sin θ 等于C. 4D.42 (β－π)1(α＋π)2. 已知 tan(α＋β)＝5，tan ()4 ＝4，那么 tan 4 等 于1313 A.18 3 B.22 1 C.22ππD.63. 当－ 2 ≤x ≤ 2 时，函数 f (x )＝sin x ＋ A. 最大值是 1，最小值是－11B. 最大值是 1，最小值是－2C. 最大值是 2，最小值是－2D. 最大值是 2，最小值是－13cos x 的( )二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)(π－α)4. 已知锐角 α 满足 cos 2α＝cos 4 ，则 sin 2α＝. cos 2απ12(0，π) sin (π＋α)5. 已知 cos ( 4 －α)＝13，α∈4 ，则 4 ＝.0，π 2sin2x ＋1 6. 设 x ∈ 2 ，则函数 y ＝ sin 2x 的最小值为 ．三、解答题7． (13 分)(2012·广东)已知函数 f (x )＝2cos为 10π.(ωx ＋π) 6 (其中 ω>0，x ∈R )的最小正周期(1) 求 ω 的值；π 56[0， ] (5α＋ π) (5β－ π) (2)设 α，β∈2 ，f3 ＝－5，f63 7 7实用标准文档16＝17，求 cos(α＋β)的值．文案大全“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。

三角恒等变换讲解三角恒等变换是指在三角函数之间相互变换的一系列等式关系，常用于简化和证明三角函数的性质以及求解三角方程。

下面介绍一些常见的三角恒等变换：1. 基本恒等变换：-正弦与余弦的关系：sin²θ+ cos²θ= 1-正切与余切的关系：tanθ= sinθ/ cosθ，cotθ= cosθ/ sinθ-余割与正割的关系：cscθ= 1 / sinθ，secθ= 1 / cosθ2. 倍角恒等变换：-正弦的倍角公式：sin(2θ) = 2sinθcosθ-余弦的倍角公式：cos(2θ) = cos²θ- sin²θ= 2cos²θ- 1 = 1 - 2sin²θ-正切的倍角公式：tan(2θ) = (2tanθ) / (1 - tan²θ)3. 和差恒等变换：-正弦的和差公式：sin(A ±B) = sinAcosB ±cosAsinB-余弦的和差公式：cos(A ±B) = cosAcosB ∓sinAsinB-正切的和差公式：tan(A ±B) = (tanA ±tanB) / (1 ∓tanAtanB)4. 反函数恒等变换：-正弦的反函数：sin⁻¹(x) = θ，其中sinθ= x，-π/2 ≤θ≤π/2-余弦的反函数：cos⁻¹(x) = θ，其中cosθ= x，0 ≤θ≤π-正切的反函数：tan⁻¹(x) = θ，其中tanθ= x，-π/2 < θ< π/2注意，上述恒等变换只是一部分常见的例子，实际上还有许多其他的三角恒等变换。

在解题或证明过程中，根据需要，可以根据题目的要求和三角函数的关系，使用适当的三角恒等变换来简化计算或推导出所需的结果。

第三章 三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式⑴；⑵；()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-⑶；⑷；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+⑸ （）；()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+⇒()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+⑹ （）．()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-⇒()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴．sin 22sin cos ααα=222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒⑵2222cos 2cossin 2cos 112sin ααααα=-=-=-升幂公式⇒2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+降幂公式，． ⇒2cos 21cos 2αα+=21cos 2sin 2αα-=26、 ．22tan tan 21tan ααα=-27、（后两个不用判断符号，更加好用）⇒28、合一变形把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的⇒形式。

，其B x A y ++=)sin(ϕϖ()sin cos αααϕA +B =+中．tan ϕB =A29、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，αα2tan 2cos ==2tan 12tan 1 cos ;2tan 12tan2sin :222αααααα万能公式+-=+=灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：①是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；α2αα4α2α2α2α4α②；问：；2304560304515o ooooo=-=-==12sin π=12cosπ；③；④；ββαα-+=)()4(24αππαπ--=+⑤；等等)4()4()()(2απαπβαβαα--+=-++=（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。

第四讲 三角恒等变形一、三角恒等变形知识点总结1．两角和与差的三角函数βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±；βαβαβαsin sin cos cos )cos(μ=±；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=m 。

2．二倍角公式αααcos sin 22sin =；ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；22tan tan 21tan ααα=-。

3．三角函数式的化简常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。

（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。

（1）降幂公式ααα2sin 21cos sin =；22cos 1sin 2αα-=；22cos 1cos 2αα+=。

（2）辅助角公式()sin cos sin a x b x x ϕ+=+，sin cos ϕϕ==其中4．三角函数的求值类型有三类（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。

5．三角等式的证明（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。

三角恒等变换知识点总结三角恒等变换是解决三角函数中相关问题的重要工具，它们可以帮助我们简化表达式、证明恒等式以及解决三角方程等。

在本文中，将总结三角恒等变换的一些基本知识点，包括正弦、余弦和正切的恒等变换。

1. 正弦和余弦的恒等变换：(1) 余弦的恒等变换：a. 基本恒等式：cos^2θ + sin^2θ = 1，该恒等式也被称为三角恒等式之母。

b. 余弦的平方差公式：cos(α - β) = cosα·cosβ + sinα·sinβ，该公式可以用于简化两个余弦的差的表达式。

c. 余弦的和的公式：cos(α + β) = cosα·cosβ - sinα·sinβ，该公式可以用于简化两个余弦的和的表达式。

d. 余弦的倍角公式：cos2θ = 2cos^2θ - 1或cos2θ = 1 - 2sin^2θ，该公式可以用于简化余弦的倍角表达式。

(2) 正弦的恒等变换：a. 正弦的平方差公式：sin(α - β) = sinα·cosβ - cosα·sinβ，该公式可以用于简化两个正弦的差的表达式。

b. 正弦的和的公式：sin(α + β) = sinα·cosβ + cosα·sinβ，该公式可以用于简化两个正弦的和的表达式。

c. 正弦的倍角公式：sin2θ = 2sinθ·cosθ，该公式可以用于简化正弦的倍角表达式。

2. 正切的恒等变换：正切的恒等变换是基于正弦和余弦的恒等变换推导而来的：a. 正切的平方差公式：tan(α - β) = (tanα - tanβ)/(1 + tanα·tanβ)，该公式可以简化两个正切的差的表达式。

b. 正切的和的公式：tan(α + β) = (tanα + tanβ)/(1 - tanα·tanβ)，该公式可以简化两个正切的和的表达式。

c. 正切的倍角公式：tan2θ = (2tanθ)/(1 - tan^2θ)，该公式可以简化正切的倍角表达式。

【最新整理，下载后即可编辑】三角函数cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβcos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβsin（α+β）=sinα·cosβ+cosα·sinβsin（α-β）=sinα·cosβ-cosα·sinβtan（α+β）=(tanα+tanβ）/（1-tanα·tanβ）tan（α-β）=(tanα-tanβ）/（1+tanα·tanβ）二倍角sin（2α）=2sinα·cosα=2tan（α）/[1-tan^2（α）]cos（2α）=cos^2（α）-sin^2（α）=2cos^2（α）-1=1-2sin^2（α）=[1-tan^2（α）]/[1+tan^2（α）]tan（2α）=2tanα/[1-tan^2（α）]三倍角sin3α=3sinα-4sin^3（α）cos3α=4cos^3（α）-3cosαtan3α=（3tanα-tan^3（α））÷（1-3tan^2（α））sin3α=4sinα×sin（60-α）sin（60+α）cos3α=4cosα×cos（60-α）cos（60+α)tan3α=tanα×tan（60-α）tan（60+α）半角公式sin^2（α/2）=（1-cosα）/2cos^2（α/2）=（1+cosα）/2tan^2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα半角变形sin^2（α/2）=（1-cosα）/2sin(a/2）=√[（1-cosα）/2] a/2在一、二象限=-√[（1-cosα）/2] a/2在三、四象限cos^2（α/2）=（1+cosα）/2cos(a/2）=√[（1+cosα）/2] a/2在一、四象限=-√[（1+cosα）/2] a/2在二、三象限tan^2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα=√[（1-cosα）/（1+cosα）] a/2在一、三象限=-√[（1-cosα）/（1+cosα）] a/2在二、四象限恒等变形tan(a+π/4）=(tana+1）/（1-tana)tan(a-π/4）=(tana-1）/（1+tana)asin x+bcosx=[√（a^2+b^2）]{[a/√（a^2+b^2）]sinx+[b/√（a^2+b^2）]cosx}=[√（a^2+b^2）]sin(x+y)（辅助角公式）tan y=b/a万能代换半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）sinα=2tan（α/2）/[1+tan^2（α/2）]cosα=[1-tan（α/2）]/[1+tan^2（α/2）]tanα=2tan（α/2）/[1-tan^2（α/2）]积和化差sinα·cosβ=（1/2）[sin（α+β）+sin（α-β）]cosα·sinβ=（1/2）[sin（α+β）-sin（α-β）]cosα·cosβ=（1/2）[cos（α+β）+cos（α-β）]sinα·sinβ= -（1/2）[cos（α+β）-cos（α-β）]（注：留意最前面是负号）和差化积sinα+sinβ=2sin[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]sinα-sinβ=2cos[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]cosα+cosβ=2cos[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]cosα-cosβ=-2sin[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]内角公式sinA+sinB+sinC=4cos（A/2）cos（B/2）cos（C/2）cosA+cosB+cosC=1+4sin（A/2）sin（B/2）sin（C/2）tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanCcot（A/2）+cot（B/2）+cot（C/2）=cot（A/2）cot（B/2）cot （C/2）tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1 cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1证明方法首先，在三角形ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c若A,B均为锐角，则在三角形ABC中，过C作AB边垂线交AB于D 由CD=asinB=bsinA（做另两边的垂线，同理）可证明正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC于是有：AD+BD=c AD=bcosA,BD=acosB AD+BD=c代入正弦定理，可得sinC=sin（180-C)=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA 即在A,B均为锐角的情况下，可证明正弦和的公式。

)sin(cos sin 22ϕωωω++=+=x x b x a y b a ；的取值范围为；其中22-tan πϕπϕϕ≤≤=a b 一、知识点总结1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+ ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）； ⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）． 2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin 22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒ ⑵2222cos2cossin 2cos 112sin ααααα=-=-=- ⑶22tan tan 21tan ααα=-． 3、辅助角公式：把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 bx a y ++=)sin(ϕω形式。

4、 5、（1）升幂公式 1+cos α=2cos 22α1-cos α=2sin 22α1±sin α=(2cos 2sin αα±)21=sin 2α+ cos 2α sin α=2cos 2sin2αα （2）降幂公式sin 2α22cos 1α-= cos 2α22cos 1α+= sin 2α+ cos 2α=1 sin α·cos α=α2sin 21 7、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的差， 倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如： ①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4α的二倍； ②ββαα-+=)(；④)4(24αππαπ--=+； ③)4()4()()(2απαπβαβαα--+=-++=；2tan 12tan 1 cos ;2tan 12tan 2 sin :222αααααα万能公式+-=+=必修4：第三章 三角恒等变换知识点总结⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=． （2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。