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动量矩定理蜻蜓、飞机和直升机儿时的我很爱雨后捉蜻蜓。
夏天一场大雨过后，街道上和低洼处到处是水坑。
许多蜻蜓在水面上下飞舞，并不时用尾巴尖端表演“蜻蜓点水”的特技。
我们就用长竿端部的网兜捕捉蜻蜓，捉到后用细线拴住它的腰部，看它在我的掌握之中乱飞，快乐异常。
长大后对蜻蜓的兴趣转为对飞机的热爱，考大学选了飞机设计专业。
飞机（为了与直升机区别，可称其为“平飞飞机”，这里是按它们的飞行状态来区分的）的机翼与蜻蜓的翅膀极为相似，可是它在天空只能不停地往前飞行，不能停止。
蜻蜓就有这个本事。
直升机克服了平飞飞机（下文中仍简称为飞机）不能在空中悬停的缺点，它依靠旋转的翅膀（正确术语为旋翼）能在空中悬停，并可将重物吊起或降下，所以它在反潜、救灾、反恐、反海盗任务中有独特的优势。
直升机的先祖，至少可追朔到中国明代就出现的竹蜻蜓，直到如今仍是许多孩童的好玩具。
现代人又把它叫做“飞螺旋”和“中国陀螺”。
它用旋转叶片产生升力，使竹蜻蜓飞起来。
直升机和飞机的主要区别在于它们产生升力的机理不同。
飞机靠机身两侧的形似蜻蜓翅膀（见图1）的平直机翼提供升力，前进的动力是由机头的螺旋桨或尾部喷管（即尾喷管）的喷气来提供；而直升机则是借助旋转的机翼（旋翼）产生升力。
直升机的旋翼和飞机的螺旋桨都是用旋转的叶片推动空气产生作用力的。
飞机的螺旋桨基本不提供升力，只起克服空气阻力使飞机前进的作用；而直升机的旋翼，主要提供升力；在需要前进时，倾斜旋转轴，从而造成水平分力，使直升机前进。
一般而言，直升机旋翼叶片的尺寸（长宽和面积）要比飞机螺旋桨叶片大得多。
直升机旋翼的种类为了讨论直升机的动力学问题，先对直升机的类别进行简介。
按照旋翼的数目与配置以及叶片数目来区分，直升机有如下几种：01单旋翼直升机顾名思义，单旋翼直升机就是它只有一个旋翼。
一般它必须带一个尾桨负责抵消旋翼产生的反转矩。
例如，欧洲直升机公司制造的EC-135直升机。
图2就是一个带尾桨的单旋翼直升机图片。
动量矩定理2、动量矩定理动量矩定理动量矩守恒定律若 则 常量。
(e)()0z M F ∑≡ z L =有心力：力作用线始终通过某固定点, 该点称力心. ()0O M F = ()M mv r mv =×= 常矢量若 (e)()0O M F ∑≡ O L = 则 常矢量,面积速度定理：质点在有心力作用下其面积速度守恒.(1) 与 必在一固定平面内,即点M 的运动轨迹是平面曲线.r v d (2)d r r mv r m b t×=×== 常量d d rr t ×=即 常量d 2d r r A×= d d A t=因此, 常量 人造卫星绕地球运动动量矩定理(e)sin OMM mg Rθ=−⋅R mg M mvR J t⋅−=+θωsin ][d d22sin mRJ mgR MR a +−=θRv m J L O +=ω解: R v =ωa tv =d d 由 ,得例1求：小车的加速度a 。
取小车和鼓轮为研究对象，受力如图所示。
高炉运送矿石的卷扬机如图所示。
已知鼓轮的半径为R ，转动惯量为J ，作用在鼓轮上的力偶矩为M 。
小车和矿石的总质量为m ，轨道的倾角为 。
设绳的质量和各处摩擦不计。
θ动量矩定理已知： , , , , , ,不计摩擦. m O J 1m 2m 1r 2r α求:（1）NF （2）O 处约束力 （3）绳索张力， 1T F 2T F例2动量矩定理)(222211r m r m J O ++=ω(e)1122()()O M F m r m r g∑=− 2222112211)(d d r m r m J g r m r m t O ++−==ωα 由 ,得(e)d ()d OO L M F t=∑ 222111r v m r v m J L O O ++=ω解：(1)分析系统，受力如图所示。
（2）由质心运动定理Cya m m m g m m m F )()(2121N ++=++−212211212211)(m m m r m r m m m m a m a m m y m y a ii i C Cy+++−=+++−=∑∑==αα1111T 11r m a m F g m ==−)(11T 1αr g m F −=)()(221121N r m r m g m m m F +−+++=α（3）研究1m α22222T 2r m a m g m F ==−2m（4） 研究求：剪断绳后, 角时的 。
第十三章
动量矩定理
即：
外力矢量和质心运动定理
C
（外力系的主矢）
v p c m =0
=p
随质心平动
相对于质心转动
动量定理
动量矩
定点（或定轴）或质心
动量矩定理
质点系的动量矩定理和刚体平面运动
第13章动量矩定理主要内容：
谁最先到达顶点
直升飞机如果没有尾翼将发生什么现象
航天器是怎样实现姿态控制的
为什么二者转动方向相反
一．质点的动量矩
)(m O v M
二．质点系的动量矩
r'r r i
c i +=v v v ir c
ia +=
∑∑
ia
i
m v ()L
r L C
C
C
O
mv +×=()()
L v v v +×∑c ir i i c i m m v ia
三．刚体动量矩计算：
1．平动刚体
2．定轴转动刚体
转动惯量
3．平面运动刚体
点的动量矩等于O到质心C的矢量叉乘平面运动刚体的动量加上刚体对于质心
C 1
2
1+
一．定义：∑=
2
i
i z r
m J ∫
=
dm
r J m
z 2
１．积分法二．转动惯量的计算
−l
2
m
J z
2
z
z m J ρ=均质刚体2. 回转半径
3. 平行轴定理
2
'md
J J zC z +=通过质心该轴平行的轴的转动惯量刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积
证明例如)ml ml =
+
=
4．计算转动惯量的组合法5. 求转动惯量的实验方法
212
3l m +2
321l m +
§13-3动量矩定理
一．质点的动量矩定理
v r m −×)()()]([
, )(F M v M F r v r O O m dt
d m dt d =×=×质点对固定点的动量矩定理。
)()( ),()( ),()(F v F v F v z z y y x x M m M dt d M m M dt d M m M dt
d ===质点对固定轴的动量矩定理动量矩定理的投影形式同一轴质点的动量矩守恒
由动量矩定理 , sin )(+−=ϕϕϕl mgl ml dt d t l g 22l
g
ππω=
二．质点系的动量矩定理
=i i O )(m v M (e)O O dt
d M L =
质点系对固定点的动量矩对于时间的一阶导数等于外力系对同一点的主矩dL dt dL dt z y x (e)O O dt
d M L =
或某定轴或力矩的代数和或该轴
矢量方程
质点系的动量和动量矩
动量系基本特征量动量系的主矢和主矩。
两者对时间的变化率等于外力系
力系的主矢和主矩。
B
A g
r v g +⋅)
2( , 2P P g L r g B A O ++=得代入P P g dt B A 2⎢
⎜++B
A ⋅
=
相对绳子的速度解：
O
R
B
v A
v
A B
O
R
B
v A
v A
B
Aa
v Ba
v v v 同时到达顶点思考
§13-4刚体定轴转动微分方程
解决两类问题：
但不能求出轴承处的约束反力，需用质心运动定理求解。
P l ⋅=⋅αF P F a O y O y Cy =⇒−=
2(3222g r g
dt +⋅ω得：3
22g a =1
1P P P 23
11++1
§13-5质点系相对于质心的动量矩定理
一．质点系动量矩
二．质点系对质心的动量矩定理
)
1
i ∑=)(c c c c c m m v r v +×+×
等式可化为：∑×=c i
i c 'F r 质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，外力系对质心的主矩。
质点系对质心的动量矩定理。
()(i n c c c c c c dt d m dt d m dt d F r L v r v r ×=+×+×∑0
=
？
？
§13–6 刚体的平面运动微分方程
写成投影形式
上式称为平面运动微分方程。
C
C
α
θαθ ; sin ,sin F g g ==
r
, , , ===F F F A NA B f r d r
f f dt
∫+⋅−=⋅+−='1
, ''1ω)
'1('20
f gf +r。
