全面分析化学第二章误差和全面分析数据统计处理办法方式
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第二章 分析化学中的误差与数据处理
⑵求变量（测定值）或随机误差在某区间出现的概 率可取不同的U值对上式积分求面积而得到。
33
用数理统计方法可以证明并求出测定值 x 出现在不同 u 区间的概率(不同 u 值时所占的面积)即 x 落在 ± u 区间的概率：
随机误差出现的区间
测量值出现的区间
概率
= ± 1.00 x = ± 1.00 68.3% = ± 1.64 x = ± 1.64 90.0% = ± 1.96 x = ± 1.96 95.0% = ± 3.00 x = ± 3.00 99.7% 即：测量值中，随机误差超出1的测量值出现的概率 为31.7%；随机误差超出3的测量值出现的概率 为0.3%。 结论：多次重复测量中，出现特别大的误差的概率是很 小的
②仪器、试剂误差 仪器误差主要是仪器本身不够准确或未经校准引起的； 如：量器（容量平、滴定管等）和仪表刻度不准； 试剂误差 如：试剂不纯， 蒸馏水中含有微量杂质；
15
③操作误差 主要指在正常操作情况下，由于分析工作者掌握操 作规程与控制条件不当所引起的。
如：洗涤沉淀次数过多或过少，
灼烧温度过高或过低，
n
n
2 x x i i 1 n
2.样本标准偏差 s 样本均值 n→∞时， →μ ， s→σ
S
n 1
3.相对标准偏差（变异系数RSD）xBiblioteka S RSD 100 % x
26
4.衡量数据分散度：
标准偏差比平均偏差合理
5.总体标准偏差与总体平均偏差的关系
d ＝0.7979σ d: 总体平均偏差
10
例: 两组数据哪组数据好？
(1) 0.11, -0.73, 0.24, 0.51, -0.14, 0.00, 0.30, -0.21, (2) 0.18， 0.26 -0.25 -0.37 0.32 -0.28，0.31 -0.27
分析化学第2章-误差及分析数据的统计处理
第二章 误差及分析数据的统计处理
§2-１ 定量分析中的误差 §2-２ 分析结果的数据处理 §2-３ 误差的传递 §2-４ 有效数字及其运算规则
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基本内容和重点要求
掌握误差的表示方法、特点，减免措施；
掌握精密度和准确度定义、作用及其关系；
了解置信度与置信区间的定义、可疑数据的
解： n 9，f 8， 0.95，t表 2.31 p
x 10.79%，s 0.042% 0.042% t计 t表， 无显著性差异，即没引起系统误差。
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t计
x s
n
10.79% 10.77%
9 1.43
两组平均值的比较
x
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3. 过失误差（gross error）
由分析者粗心大意、过失或差错造成。
遵守操作规程，一丝不苟、耐心细致地进 行操作，在学习过程中养成良好的实验习 惯，完全可避免！
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例 4
判断正误
只有在消除了系统误差以后，精密度高 的分析结果才是既精密又准确的。
解： x 47.60%，s 0.08%，n 4
t90% t95% ts 2.35， x (47.60 0.09)% n 3.18， (47.60 0.13)%
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t99% 5.84， (47.60 0.23)%
二、可疑数据的取舍
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1. 基本概念
准确度（accuracy）
分析结果与真实值相接近的程度，说明 分析结果的可靠性，用误差来衡量。
§2-１ 定量分析中的误差 §2-２ 分析结果的数据处理 §2-３ 误差的传递 §2-４ 有效数字及其运算规则
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基本内容和重点要求
掌握误差的表示方法、特点，减免措施；
掌握精密度和准确度定义、作用及其关系；
了解置信度与置信区间的定义、可疑数据的
解： n 9，f 8， 0.95，t表 2.31 p
x 10.79%，s 0.042% 0.042% t计 t表， 无显著性差异，即没引起系统误差。
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t计
x s
n
10.79% 10.77%
9 1.43
两组平均值的比较
x
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3. 过失误差（gross error）
由分析者粗心大意、过失或差错造成。
遵守操作规程，一丝不苟、耐心细致地进 行操作，在学习过程中养成良好的实验习 惯，完全可避免！
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例 4
判断正误
只有在消除了系统误差以后，精密度高 的分析结果才是既精密又准确的。
解： x 47.60%，s 0.08%，n 4
t90% t95% ts 2.35， x (47.60 0.09)% n 3.18， (47.60 0.13)%
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t99% 5.84， (47.60 0.23)%
二、可疑数据的取舍
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1. 基本概念
准确度（accuracy）
分析结果与真实值相接近的程度，说明 分析结果的可靠性，用误差来衡量。
分析化学二误差及分析数据处理
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2020/12/13
除了系统误差和偶然误差外，还有过失误差，工作粗枝大 叶造成。
许多实用的分析方法在国际和国内均有标准的分析方法， 一般不存在方法误差，对于熟练的操作者，操作误差，主 观误差是可以消除的，仪器和试剂误差一般也易消除，所 以要提高分析的准确度和精密度必须对偶然误差有深入的 了解。
相对误差指误差在真实结果中所占的百分率
相对 误 E＝ 差 E10% 0 XT
它能反映误差在真实结果中所占的比例， 常用千分率‰表示。
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2020/12/13
说明：
测量值大于真实值，误差为正误值；测量值 小于真实值，误差为负误值。误差越小，测量值 的准确度越好；误差越大，测量值的准确度越差。
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2020/12/13
例2-1 某同学用分析天平直接称量两个物体，一 为5.0000g，一为0.5000g, 试求两个物体的相对 误差。
解：用分析天平称量，两物体称量的绝对误差均 为5.0000g, 则两个称量的相对误差分别为，
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2020/12/13
三、 精密度和偏差
在实际分析中，真实值难以得到，实际工作中常以多次平行测定 结果的算术平均值代替真实值。
说明在正常操作条件下，测量值与真实值之间存在差
异，即误差。也就是说分析的误差是客观存在的。因
此必须对分析结果进行分析，对结果的准确度和精密
度进行合理的评价和准确的表述。了解误差产生的原
2
因存在的客观规律，以及如何减小误差。
2020/12/13
本节主要内容 一、准确度和误差 二、精密度与偏差 三、准确度和精密度 四、误差的分类 五、提高分析结果准确度的方法
以控制，似乎无规律性， 但进行多次测定，便会发现偶然误差具有很多的规律性
分析化学中的误差分析及数据处理
例2：
用一种新方法来测定试样含铜量，用含量为11.7 mg/kg的标准试样，进行 5次测定，所得数据为：
10.9, 11.8, 10.9, 10.3, 10.0
判断该方法是否可行？（是否存在系统误差）。
解：计算平均值 = 10.8，标准偏差 S = 0.7，n=5，μ=11.7
x n 10.8 11.7 5
CYJ 21
特点：
1)不具单向性（大小、正负不定） 2)不可消除（原因不定）
但可减小（测定次数↑） 3) 分布服从统计学规律（正态分布）
随机误差
多次测量取平均值
CYJ 22
系统误差与随机误差的比较
项目
系统误差
随机误差
产生原因 固定因素，有时不存在 不定因素，总是存在
分类
方法误差、仪器与试剂 环境的变化因素、主
25.0 20.0
15.0
y
10.0
5.0
0.0 15.80 15.90 16.00 16.10 16.20
x
CYJ 24
分析结果表示：
置信度和置信区间
– 测定值或误差出现的概率称为置信度
– 真实值在指定概率下，分布在某一个区间，
这个区间称为置信区间
μ x
ts n 不确定度
x
ts n
,x
ts n
测量点
平均值
真值
CYJ 13
准确度和精密度——分析结果的衡量指标。
(1) 准确度──分析结果与真实值的接近程度 准确度的高低用误差的大小来衡量； 误差一般用绝对误差和相对误差来表示。
(2) 精密度──几次平行测定结果相互接近程度 精密度的高低用偏差来衡量， 偏差是指个别测定值与平均值之间的差值。
分析化学1-2误差和分析数据的处理
有效数字是由全部准确数字和再加一位可疑 数字组成，它们共同决定了有效数字的位数。 数字组成，它们共同决定了有效数字的位数。
有效数字的计位规则： 有效数字的计位规则： （1）记录的仪器能测定的数据都计位。 例如： 12.56mL——4 12.56mL——4位 5.1g——2 5.1g——2位
（2）对于数据中的“0”，其情况要作具体分析。 ） 数字之间与数字之后的“0”是有效数字 是有效数字， 数字之间与数字之后的“0”是有效数字，因 为它们是测量所得到的。 数字前面的“0”不是有效数字 不是有效数字， 数字前面的“0”不是有效数字，因为它们是 起定位作用的，它的个数与所取的单位有关而与测 量的准确度无关。 例如：20.00mL=0.02000 L 四位 例如：1.0005 五位 0.5000,31.05%,6.023×1023 0.0540,1.86×105 三 位 0.054,0.40% 二位 0.5,0.002% 一位
三、提高分析结果准确度的方法 1.减少系统误差的方法 （1）对照实验 （2）空白实验 （3）仪器校正 （4）方法校正 2.减少随机误差的方法 适当增加平行测定次数
四、有效数字及其运算规则 1.有效数字的意义和位数
万分之一的分析天平的感量为+0.0001g,使用它则记录质 量时应该保留小数点后面的4位数字;而台秤的感量为+0. 1g, 使用它则记录质量时应该保留小数点后面的1位数字。 例如:称取了某试样,如果记录时写成 1.0012g,由于小数点后 面有4位数字,因此可以判断是使用万分之一的分析天平 称量的;如果记录时写成 1.5g,由于小数点后面有1位数 字,因此可以判断是使用台秤称量的。 上述例子表明,在分析测定中,记录实验数据和记算测定结果 应该保留几位数字,应该根据分析仪器的准确度来确定, 时究竟应该保留几位数字,应该根据分析仪器的准确度来确定 人为地增减数字的位数是错误的。
分析化学第二章误差与分析数据处理
选择合适的分析方法
根据待测组分的性质和含量选择合适的分析 方法。
空白实验
通过扣除空白值来减小误差。
标准化样品分析
使用标准样品对实验过程进行质量控制。
回收率实验
通过添加已知量的标准物质来评估分析方法 的准确性。
04
有效数字及其运算规则
有效数字的定义与表示
01
有效数字是指测量或计算中能够反映被测量大小的部分数字 ，其位数与被测量的精密度有关。
数据统计
计算平均值、中位数、众数等统计量，以反映数据的集 中趋势和离散程度。
实验结果的评价与表达
误差分析
计算误差、偏差、相对误差 等，评估实验结果的可靠性
。
1
精密度与偏差
通过多次重复实验，评估实 验结果的精密度和偏差。
置信区间
根据实验数据，计算结果的 置信区间，反映结果的可靠 性。
结果表达
选择合适的单位和量纲，将 实验结果以表格、图表等形 式表达，便于分析和比较。
02
表示有效数字时，需保留一位不确定位，采用指数或修约的 形式表示。
03
有效数字的表示方法：科学记数法（a x 10^n）或一般表示法。
有效数字的运算规则
加减法
以小数点后位数最少的数字为标准，对 其他数字进行修约，然后再进行运算。
乘方和开方
运算结果的有效数字位数与原数相同。
乘除法
以有效数字位数最少的数为标准，对 其他数字进行修约，然后再进行运算。
THANKS
准确度检验
通过标准物质或标准方法对比，检验分析结 果的准确性。
线性检验
验证测量系统是否符合线性关系，确保数据 在一定范围内准确可靠。
范围检验
评估分析方法在一定浓度或含量范围内的适 用性。
根据待测组分的性质和含量选择合适的分析 方法。
空白实验
通过扣除空白值来减小误差。
标准化样品分析
使用标准样品对实验过程进行质量控制。
回收率实验
通过添加已知量的标准物质来评估分析方法 的准确性。
04
有效数字及其运算规则
有效数字的定义与表示
01
有效数字是指测量或计算中能够反映被测量大小的部分数字 ，其位数与被测量的精密度有关。
数据统计
计算平均值、中位数、众数等统计量，以反映数据的集 中趋势和离散程度。
实验结果的评价与表达
误差分析
计算误差、偏差、相对误差 等，评估实验结果的可靠性
。
1
精密度与偏差
通过多次重复实验，评估实 验结果的精密度和偏差。
置信区间
根据实验数据，计算结果的 置信区间，反映结果的可靠 性。
结果表达
选择合适的单位和量纲，将 实验结果以表格、图表等形 式表达，便于分析和比较。
02
表示有效数字时，需保留一位不确定位，采用指数或修约的 形式表示。
03
有效数字的表示方法：科学记数法（a x 10^n）或一般表示法。
有效数字的运算规则
加减法
以小数点后位数最少的数字为标准，对 其他数字进行修约，然后再进行运算。
乘方和开方
运算结果的有效数字位数与原数相同。
乘除法
以有效数字位数最少的数为标准，对 其他数字进行修约，然后再进行运算。
THANKS
准确度检验
通过标准物质或标准方法对比，检验分析结 果的准确性。
线性检验
验证测量系统是否符合线性关系，确保数据 在一定范围内准确可靠。
范围检验
评估分析方法在一定浓度或含量范围内的适 用性。
第二章分析化学中的误差与数据处理
第2章 分析化学中的误差 及数据处理
2.1 分析化学中的误差
2.2 有效数字及其运算规则
2.3 有限数据的统计处理
2.4 显著性检验
2.5 可疑数据的取舍
2.6 提高分析结果准确度方法
2019/10/31
1
2.1 分析化学中的误差
ห้องสมุดไป่ตู้
准确度: 测定结果与真值接近的程度，用误差衡量。
2.1.1 误差(error)与偏差(deviation)
当x →﹣∞或﹢∞时，曲线渐进x 轴，
小误差出现的几率大，大误差出现的
几率小，极大误差出现的几率极小
σ↑，y↓, 数据分散，曲线平坦 σ↓，y↑, 数据集中，曲线尖锐
测量值都落在－∞～＋∞， 总概率为1
2019/10/31
29
标准正态分布曲线—— x ～ N(0 ,1 )曲线
令u x
2019/10/31
17
2.2.2 有效数字运算中的修约规则 四舍六入五成双
尾数≤4时舍; 尾数≥6时入
尾数＝5时, 若后面数为0, 舍5成双;若5后面还有 不是0的任何数皆入
例 下列值修约为四位有效数字
0.324 74 0.324 75 0.324 76
0.324 7 0.324 8 0.324 8
2019/10/31
11
随机误差: 又称偶然误差 不可校正，无法避免，服从统计规律 不存在系统误差的情况下，测定次数越多其 平均值越接近真值。一般平行测定4-6次
过失 由粗心大意引起，可以避免的 2.1.4 公差
是生产部门根据实际情况规定的误差范围。
2019/10/31
12
2.1.5 误差的传递 1. 系统误差
2.1 分析化学中的误差
2.2 有效数字及其运算规则
2.3 有限数据的统计处理
2.4 显著性检验
2.5 可疑数据的取舍
2.6 提高分析结果准确度方法
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1
2.1 分析化学中的误差
ห้องสมุดไป่ตู้
准确度: 测定结果与真值接近的程度，用误差衡量。
2.1.1 误差(error)与偏差(deviation)
当x →﹣∞或﹢∞时，曲线渐进x 轴，
小误差出现的几率大，大误差出现的
几率小，极大误差出现的几率极小
σ↑，y↓, 数据分散，曲线平坦 σ↓，y↑, 数据集中，曲线尖锐
测量值都落在－∞～＋∞， 总概率为1
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标准正态分布曲线—— x ～ N(0 ,1 )曲线
令u x
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2.2.2 有效数字运算中的修约规则 四舍六入五成双
尾数≤4时舍; 尾数≥6时入
尾数＝5时, 若后面数为0, 舍5成双;若5后面还有 不是0的任何数皆入
例 下列值修约为四位有效数字
0.324 74 0.324 75 0.324 76
0.324 7 0.324 8 0.324 8
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随机误差: 又称偶然误差 不可校正，无法避免，服从统计规律 不存在系统误差的情况下，测定次数越多其 平均值越接近真值。一般平行测定4-6次
过失 由粗心大意引起，可以避免的 2.1.4 公差
是生产部门根据实际情况规定的误差范围。
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2.1.5 误差的传递 1. 系统误差
分析化学2第二章 分析化学中的误差和数据处理
d1 d2
s1 > s2
用标准偏差比用平均偏差更科学更准确。
二、准确度和精密度
1. 准确度
准确度表示分析结果与真实值之间的接近程度
误差： E=X-XT
X>XT，误差为正值，表示测定结果偏高； X<XT，误差为负值，表示测定结果偏低。
E越小，表示测定结果与真实值越接近， 准确度越高；反之，E越大，准确度越低。
例如：记录错了、计算错了等等
这类误差在工作上应该属于责任事故， 是不允许存在的。重做!
小结
掌握：
1.下列概念的含义：误差（系统误差 随 机误差）、偏差、准确度、精密度。
2.误差、平均值、偏差、平均偏差、相 对平均偏差、标准偏差、相对标准偏差 的计算。
理解：
1.系统误差和随机误差的性质和特点。 2.准确度与误差、精密度与偏差的关系。
例.称量：
基准物：硼砂
Na2B4O7·10H2O M=381
碳酸钠 Na2CO3
M=106
欲配制相同物质的量浓度、相同体积的标准溶液
时，选那一个更能使测定结果准确度高？（只考虑称
量误差）
滴定： 如何确定滴定体积消耗？ （一般要求相对误差
为０.1％）
0.00～10.00mL；20.00～25.00mL；40.00～50.00mL
系统误差产生的主要原因：
(1)方法误差 选择的方法不够完善 例: 重量分析中沉淀的溶解损失； 滴定分析中指示剂选择不当。
(2)仪器误差 仪器本身的缺陷 例：电光天平两臂不等，砝码未校正； 滴定管、容量瓶未校正。
三、系统误差和随机误差
系统误差产生的主要原因：
(3)试剂误差 所用试剂有杂质 例 去离子水不合格 试剂纯度不够（含待测组份或干扰离子）
分析化学第二章定量分析中的误差及结果处理
| dn
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ|
| di
i 1
|
n
n
• 相对平均偏差：
d X
100%
• 例：测定某试样中氯的百分含量，三次分析结果分别为 25.12、25.21和25.09，计算平均偏差和相对平均偏差。
如果真实百分含量为25.10,计算绝对误差和相对误差。
• 解：平均值
X
25. 12
25. 21 3
25.
误差的表示方法
• 误差可用绝对误差和相对误差表示。 • 绝对误差表示测定值与真实值之差。 • 绝对误差 E＝X (测定值) – T (真实值) • 正值表示测定结果偏高，负值表示测定结果偏低。
• 相对误差指误差在真实结果中所占的百分率
•
相对误差Er=
E T × 100%
• 它能反映误差在真实结果中所占的比例.
分析天平
±0.0001
5.1023
5.1023± 0.0001
半微量 分析天平
±0.00001
5.10228
5.10228 ± 0.00001
1、准确度与误差
• 准确度表示测量结果与真实值相接近的程度，以误差来表 示。
• 误差：分析结果与真实值之间的差值称为误差。 分析结果大于真实值，误差为正， 分析结果小于真实值，误差为负。
• 例3-1 某同学用分析天平直接称量两个物体，一为5.0000g， 一为0.5000g, 试求两个物体的相对误差。
• 解：用分析天平称量，两物体称量的绝对误差均为 5.0000g, 则两个称量的相对误差分别为，
2、精密度和偏差：
• 在实际分析中，真实值难以得到，常以多次平行测定结果 的算术平均值代替真实值。
分析化学2 误差及分析数据的统计处理
2.1 定量分析中的误差
二 、偏差与精密度
1.精密度定义：精密度表示同一测量中，各次 平行测定结果的相互接近程度。
精密度的高低用偏差衡量 偏差越小，精密度越高
分析化学 1/17/2014
23:45
2 误差及分析数据的统计处理
2.1 定量分析中的误差
2. 偏差的表示
绝对偏差和相对偏差 绝对偏差d ：单次测定值(x)与平均值( x )之差
0
x x-
测量值的正态分布 随机误差的正态分布
23:45
分析化学 1/17/2014
2 误差及分析数据的统计处理
2.1 定量分析中的误差
10 5 0 15.80
y
15.90
16.00
16.10
16.20
x
25.0 20.0 15.0
总体标准偏差 相同， 总体平均值不同 原因： 1、总体不同 2、同一总体，存在系统 误差 总体平均值相同，总 体标准偏差不同 原因： 同一总体，精密度不同
2、精密度高，不一定准确度就高。
动画
分析化学 1/17/2014
23:45
2 误差及分析数据的统计处理
2.1 定量分析中的误差
四、误差的分类及减免误差的方法
（一）系统误差（可定误差）: 由可定原因产生 1. 产生原因 a．方法误差：方法不恰当产生 b．试剂误差：试剂中含被测组分或不纯组分产生 c. 仪器误差：测量仪器本身缺陷造成的误差 d．操作误差： 操作方法不当引起 2．性质： 重复性：重复测定重复出现 单向性：（大小、正负一定 ） 恒定性：（原因固定）
y
10.0 5.0 0.0 15.80
分析化学 1/17/2014
15.90
2 分析化学中的误差及数据处理
s RSD = × 100% x
——标准偏差能表现出较大的偏差，较平均偏差能更 标准偏差能表现出较大的偏差 标准偏差能表现出较大的偏差， 好地反映测定结果的精密度。 好地反映测定结果的精密度。
6
如有两组数据： 如有两组数据：
+0.3，-0.2，-0.4，+0.2，+0.1，+0.4，0.0，-0.3，+0.2，-0.3； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 0.0，+0.1，-0.7，+0.2，-0.1，-0.2，+0.5，-0.2，+0.3，+0.1； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ；
9
随机误差： 随机误差：又称偶然误差 ——不可校正，无法避免，服从统计规律 不可校正， 不可校正 无法避免，服从统计规律
不存在系统误差的情况下， 不存在系统误差的情况下，测定次数越多其平均值越接 近真值。一般平行测定3次以上 次以上。 近真值。一般平行测定 次以上。
过失 由粗心大意引起， 由粗心大意引起，可以避免的
8
2.1.2 系统误差与随机误差
系统误差： 系统误差：又称可测误差 ——具单向性、重现性、可校正特点 具单向性、重现性、可校正特点
方法误差：溶解损失、终点误差－用其他方法校正 方法误差：溶解损失、终点误差－ 仪器误差：刻度不准、砝码磨损－校准(绝对 相对) 绝对、 仪器误差：刻度不准、砝码磨损－校准 绝对、相对 操作误差： 操作误差：颜色观察 试剂误差：不纯－ 试剂误差：不纯－空白实验 主观误差： 主观误差：个人误差
7
2. 准确度与精密度的关系
x1
x2
x3
x1
x x2
4
1. 精密度好是准确度好的前提； 精密度好是准确度好的前提； x4 3 2. 精密度好不一定准确度高。(系统误差 精密度好不一定准确度高。 系统误差) 系统误差
分析化学-第二章误差及分析数据的统计处理
也可用千分率表示(即式中乘以1000‰)。如以百分率表示又称 为变异系数 CV (Coefficient of Variation)。
平均偏差和标准偏差都可用于
表示测定结果的精密度。 但是通常分析工作者更倾向于
用标准偏差表示测定结果。
Why?
例1
x1
x2
+0.40
-0.20
x3
0.00
+0.90
置信区间 (Confidence Interval) ：
真实值在指定概率下，分布的某个区间。
μ±σ，μ±2σ，μ±3σ 等称为置信区间。 置信度选得高，置信区间就宽。
上图中68.3％,95.5％,99.7％即为置信度。
根据统计学可以推导出有限测定次数的平均值 与 ts 总体平均值 (真值)的关系 x n
• 主观误差：操作人员观察颜色偏深或偏浅等。
• 系统误差特点: 系统偏大或偏小.误差大小可以测
定出来,对测定结果进行校正.
偶然误差的统计规律
(1)大小相近的正误差、负误差出现的机会相
等,即绝对值相近,正负号相反的误差是以同
等的机会出现的。
(2)小误差出现频率高,大误差出现频率较低。 偶然误差特点:误差时大时小,无法消除是不 可测定的。
置信度为 95% 时：
28.56
置信度↑， 置信区间↑。
2.571 0.06 6
例3 测定钢中含铬量时，先测定两次，测得的质量分数为 1.12%和1.15%；再测定三次, 测得的数据为1.11%, 1.16%和 1.12%。计算两次测定和五次测定平均值的置信区间（95%置 信度）。
二 标准偏差（Standard Deviation）
又称均方根偏差，当n→∞时，无限多次测定的标准偏差，用 σ表示如下：
平均偏差和标准偏差都可用于
表示测定结果的精密度。 但是通常分析工作者更倾向于
用标准偏差表示测定结果。
Why?
例1
x1
x2
+0.40
-0.20
x3
0.00
+0.90
置信区间 (Confidence Interval) ：
真实值在指定概率下，分布的某个区间。
μ±σ，μ±2σ，μ±3σ 等称为置信区间。 置信度选得高，置信区间就宽。
上图中68.3％,95.5％,99.7％即为置信度。
根据统计学可以推导出有限测定次数的平均值 与 ts 总体平均值 (真值)的关系 x n
• 主观误差：操作人员观察颜色偏深或偏浅等。
• 系统误差特点: 系统偏大或偏小.误差大小可以测
定出来,对测定结果进行校正.
偶然误差的统计规律
(1)大小相近的正误差、负误差出现的机会相
等,即绝对值相近,正负号相反的误差是以同
等的机会出现的。
(2)小误差出现频率高,大误差出现频率较低。 偶然误差特点:误差时大时小,无法消除是不 可测定的。
置信度为 95% 时：
28.56
置信度↑， 置信区间↑。
2.571 0.06 6
例3 测定钢中含铬量时，先测定两次，测得的质量分数为 1.12%和1.15%；再测定三次, 测得的数据为1.11%, 1.16%和 1.12%。计算两次测定和五次测定平均值的置信区间（95%置 信度）。
二 标准偏差（Standard Deviation）
又称均方根偏差，当n→∞时，无限多次测定的标准偏差，用 σ表示如下：
分析化学实验：误差和分析数据处理
2. 偶然误差（不可定误差） accidental(indeterminate) error 由操作环境、条件的微小变化、
波动而产生
过失误差既不是偶然误差，也不
是操作误差！
偶然误差常与系统误差伴随出现。
二、误差表示法—准确度与精密度
1. 准确度(accuracy)
—测量值与真实值接近的程度，以误
2. G检验法 n 无限制，步骤如下 xq x ⑴ 计算包括xq的 x 和S。⑵ 计算G：G计＝ S ⑶ 查Gα，n表(p.26表2-6)
α — 显著性水平
n— 测量次数
⑷ 确定取舍：G计＞G表舍弃，否则保留。 二、判定两组测量值的精密度有无显著性差异：F检验 步骤 ⑴ 求出两组数据的标准偏差S1和S2。
一、有效数字(Significant figure) 1. 有效数字的概念 能测量的具有实际意义的数字，包括 所有的准确数字和一位可疑数字，可疑 数字的误差为±1。 “可疑数字”通常根据测量仪器的最小 分度值确定。
例：滴定管读数 24.02 mL 说明：真值为24.01mL或24.03mL 万分之一分析天平直接法称得 0.1800 g 说明：实际质量为0.1799g或0.1801g 2. 有效数字的表示（其位数的确定） ⑴ “0”的判断 ① “0”在第一个数字前均为非有效数字； ② “0”在数字中间均为有效数字；
极值误差法
＝±0.0002g
标准偏差法 （见教材p.12 表2~1）
系统误差偶然误差常混在一起，故常用第“1”法算 四、提高分析结果准确度的方法 1. 选择适当的分析方法可减少系统误差 如被测组分Fe的w (Fe)=30%，选择下列哪种方法？
滴定分析：Er=±0.1% w(Fe) = 29.97%~30.03%
分析化学实验中误差及分析数据处理
分析化学实验中误差及分析数据处理误差及分析数据处理在分析化学实验中起着至关重要的作用。
误差是指测量结果和真实值之间的差异，是无法避免的。
因此，在实验中正确评估和处理误差至关重要。
同时，对实验数据进行合理的分析也能提高实验结果的可靠性和准确性。
在分析化学实验中，误差可以分为系统误差和随机误差两种。
随机误差是指由于各种因素的不可避免的影响而导致的测量结果的变化，在统计学上符合正态分布。
随机误差不能通过提高仪器的准确度或操作方法来消除，但可以通过多次重复测量来减小其影响。
在实验中，通常我们使用平均值和标准偏差来描述数据的中心位置和离散程度，以量化随机误差的大小。
在评估和处理误差时，可以采取以下几个步骤：1.确定实验目的和测量对象：明确需要测量的物质及其性质，以及实验目的和要求。
2.选择合适的仪器和方法：根据实验要求和精度要求，选择准确度和灵敏度适当的仪器和方法进行测量。
3.进行仪器的校准和质量控制：在开始实验之前，对仪器进行校准，确保其测量准确性；同时进行质量控制，确保实验过程中的可重复性和可靠性。
4.重复测量和数据处理：进行多次重复测量，取平均值并计算标准偏差，以评估结果的准确性和可靠性。
5.误差分析和不确定度评定：通过误差传递法则，评估各个误差源对最终结果的贡献，并计算出合适的不确定度范围。
不确定度反映了测量结果的可靠程度，可以用于判断实验结果是否符合要求。
在数据处理方面，可以采取以下几个方法：1.数据整理和排序：将测量数据整理为合适的格式，并按大小排序，以便后续处理。
2.均值计算和误差分析：根据重复测量的结果，计算出平均值和标准偏差，并进行误差分析。
3.数据可视化和统计分析：使用适当的图表或图形展示数据分布情况，并进行统计分析，如计算相关系数、回归方程等。
4.结果判断和推导：根据对数据的分析和处理结果，判断实验结果是否符合预期，是否满足实验目的。
在结果推导时，可以利用统计学方法进行数据拟合和求解。
分析化学02_误差及分析数据的统计处理-PPT精选文档
37 . 45 % 37 . 20 % 37 . 50 % 37 . 30 % 37 . 25 % x 37 . 34 % 5
0 . 11 0 . 14 0 . 16 0 . 04 0 . 09 i 1 d % 0 . 11 % n 5
第二章 误差及分析数据的统计处理
Errors and statistical Treatment of Analytical Data
主要内容
§2.1 定量分析中的误差
§2.2 分析结果的数据处理 §2.3 误差的传递（自学） §2.4 有效数字及其运算规则
§2.5 标准曲线的回归分析
§2.1 定量分析中的误差
3. 两者的关பைடு நூலகம்：
(1) 准确度是测量结果接近真值的程度，精密度表示测量的再现性 (2)精密度是保证准确度的先决条件；精密度高不一定准确度高； (3) 两者的差别主要是由于系统误差的存在。
Good precision Good accuracy
Good precision Poor accuracy
为+0.04,-0.02,+0.01,-0.01,+0.06。则此计算结果应是
A.正确的 B.不正确的
C.全部结果是正值
答案：B
D.全部结果是负值
设一组测量数据为x1, x2, x3 , …算术平均值
x
n
i
x
x
n
n i 1
nx x di xi x
i i
d ( x x ) x n x 0
i 1
二、误差的分类、性质、产生的原因及减免
系统误差（可测误差）
2016分析化学第二章误差及分析数据的统计处理(武院)
不同置信度下的Q值表
测定次数n 3 4 5 6 7 8 9
偶然误 差所致
10
Q(90%) Q(95%)
Q(99%)
0.94 0.97
0.99
0.76 0.84
0.93
0.64 0.73
0.82
0.56 0.64
0.74
0.51 0.59
0.68
0.47 0.54
0.63
0.44 0.51
0.60
0.41 0.49
x
79.58 79.45 79.47 79.50 79.62 78.38 6 79.50%
3. 求出平均偏差：
d
0.08 0.05 0.03 0.12 0.12 6
2 2 2 2
0.07
4. 求出标准偏差s：
S
2016/11/8
0.08 0.05 0.03 0.12 0.12 6 1
五、随机误差的分布服从正态分布
0.40 0.30 0.20 0.10 0.00 -3 -2 -1 0 1 2 3
68.3％% 95.5% 99.7%
u
特点： ①随机性 ②大小相等的正负误差出现 的概率相等。 ③小误差出现的概率大， 大误差出现的概率小。
y
图中横坐标表示随机误差，也表示测定值，当 随机误差为0时，测量值等于μ；纵坐标表示随机 误差为某值时出现的次数与测量总次数之比，称 为概率密度y.
2)求出极差
R X n X1
3)求出可疑值与其最邻近值之差 x2 - x1 或 xn - xn-1
4)求出统计量Q
x n x n 1 Q x n x1
或
x 2 x1 Q x n x1
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结论
1 平均偏差不能表示各次测定之间彼此接近或分散 的情况。
因为即使在一组测量中偏差彼此较为接近， 另一组测量中，偏差彼此相差较大，但它们所得 平均值可能相同。
2 用标准偏差处理分析数据，是迄今衡量测定值分 散度最好，最有用的方法。
因为用标准偏差表示精密度时，将单次测量 的偏差平方后，较大的偏差可显著地反映出来， 这样就能较好地说明数据的符合程度。
n
di 1di 0.1 10.1 40.1 60.0 40.0 9 % 0.1% 1
n
5
n
si 1d i2(0 .1)21 (0 .1)2 4 (0 .1)2 6 (0 .0)2 4 (0 .0)2 9 1% 0 0 0 .1% 3
n 1
5 1
C Vs0.13 10 % 0 0.3% 5 x 3.3 74全面分析化学第二章误差和全面分
全面分析化学第二章误差和全面分 析数据统计处理办法方式
例3：分析铁矿中铁含量，得如下数据：37.45% ,
37.20% , 37.50% , 37.30% , 37.25%。计算此结果的平 均值、平均偏差、标准偏差、变异系数。计算：
x 3 .4 % 7 5 3 .2 % 7 0 3 .5 % 7 0 3 .3 % 7 0 3 .2 % 7 5 3 .3 % 7 4 5
值，表示为：
d1 n ni1
di
1 n ni1
xi x
单次测定的相对平均偏差表示为:
dr
d 100% x
必须掌握，在分析化学实验中会经常计算它们的数据结果 全面分析化学第二章误差和全面分 析数据统计处理办法方式
分析化学实验数据处理的通常步骤及结果
平均偏差是本科生实验数据处理所要求掌握的，例如
x 一般平行试验做3次x1, x2, x3。那么先求算出
μ——无限多次测定的平均值即总体平均值，代表真值 。 n 为测定次数。（实际上能进行的是有限次测定）
有限次测定时，标准偏差称为样本标准差，以 s 表示：
n
(xi x)2
s i1 n -1
(n-1) 表示 n 个测定值中具有独立偏差的数目，又称为自由度。
全面分析化学第二章误差和全面分 析数据统计处理办法方式
用相对误差表示 测定结果的准确 度更为确切
绝对误差相等，相对误差并不一定相同。减小误差称大样。
全面分析化学第二章误差和全面分 析数据统计处理办法方式
2 精密度(Precision) :各次分析结果相互接近的 程度。
偏差d(Deviation)----精密度的衡量标准。
个别测定结果 xi 与几次测定结果的平均值 x 的差。
用下式计算标准偏差更为方便：
s
n i 1
xi2
n
xi
i1
n
2
n 1
s与平均值之比称为相对标准偏差，以 sr 或CV表示:
sr
CVs100% x
Sr如以百分率表示又称为变异系数 CV (Coefficient of Variation)。
ห้องสมุดไป่ตู้
全面分析化学第二章误差和全面分 析数据统计处理办法方式
平均偏差和标准偏差都可用于 表示测定结果的精密度。
然后分别计算出： x i x
绝对偏差
再计算：dx1xx2xx3x
3
最后算出：
dr
d x
100%
全面分析化学第二章误差和全面分 析数据统计处理办法方式
二 标准偏差（Standard Deviation）
又称均方根偏差，当n→∞时，无限多次测定的标准偏差，用
σ表示如下：
n
(xi )2
i1 n
绝对偏差 di xi x
偏差有正负
相对偏差
xx dr x 100%
＋ 偏高
±
－ 偏低
相对偏差是绝对偏差在平均值中所占的百分率（或
千分率）。
全面分析化学第二章误差和全面分 析数据统计处理办法方式
两个重要的偏差概念及运算公式
一 平均偏差（Average Deviation ）
又称算术平均偏差，是各偏差值的绝对值的平均
误差（E）：测量值xi与真值μ之间的差值
误差－－准确度的衡量标准。
绝对误差 E = xi－μ
误差有正负
相对误差
Er xi 100%
± ＋ 偏高 － 偏低
相对误差表示误差占真值的百分率（或千分率）
全面分析化学第二章误差和全面分 析数据统计处理办法方式
例1：
分析天平称量两物体的质量各为1.6380 g 和0.1637 g，假
但是通常分析工作者更倾向于 用标准偏差表示测定结果。
Why?
全面分析化学第二章误差和全面分 析数据统计处理办法方式
例2：
x1 甲 +0.10
乙 -0.10
x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
+0.40 0.00 -0.30 +0.20 -0.30 +0.20 -0.20 -0.40 +0.30
第二章 误差及分析数据的 统计处理
Chapter 2 Errors and Statistical Treatment of
Analytical Data
全面分析化学第二章误差和全面分 析数据统计处理办法方式
§2－1 定量分析中的误差
Q：定量分析的任务是什么？
一 准确度和精密度
1 准确度：测量值xi与真实值μ的接近 程度。
全面分析化学第二章误差和全面分 析数据统计处理办法方式
-0.20 +0.90 0.00 +0.10 +0.10 0.00 +0.10 -0.70 -0.20
解：x 0
n甲＝10 d 甲 0 . 2 4 n乙＝10 d 乙 0 . 2 4
S甲=0.28 S乙=0.40
标准偏差甲<乙，甲测量结果的精密度比乙好
全面分析化学第二章误差和全面分 析数据统计处理办法方式
定两者的真实质量分别为1.6381 g 和0.1638 g，则两者称量的
绝对误差 E 分别为：
(1.6380－1.6381) g = －0.0001 g
(0.1637－0.1638) g = －0.0001 g
两者称量的相对误差 Er 分别为：
0.0001100%0.006% 1.6381 0.0001100%0.06% 0.1638
析数据统计处理办法方式
最后提醒大家注意： 分析结果在允许的误差范
围内即可，不必是越小越好， “小”是相对的。
全面分析化学第二章误差和全面分 析数据统计处理办法方式
3 准确度与精密度的关系
精密度 好 好 差 很差
准确度 好 稍差 差
偶然性
精密度是保证准确度的先决条件； 精密度高不一定准确度高； 两者的差别主要是由于系统误差的存在。