2019-2020学年四川省仁寿第一中学北校区高一下学期期末模拟数学试题

【模型二、水平转台】【无绳连接】1、如图所示A、B、C三个物体放在旋转圆台上，A、B与台面间动摩擦因数均为μ，C与台面间动摩擦因数为2μ，A、C的质量均为m，B质量为2m，A、B离轴为R,C离轴为2R，则当圆台匀速旋转时，（设A、B、C都没有滑动）（）A．C物的向心加速度最大B．A物所受静摩擦力最小C．当圆台转速缓慢增加时，C比A先滑动D．当圆台转速缓慢增加时，B比A先滑动【来源】福建省莆田第一中学2019-2020学年高一（下）期中物理试题【答案】ABC【解析】A．三个物体做圆周运动的角速度ω相同，根据C物的轨道半径最大，故C的向心加速度最大，故A正确；B．三个物体受静摩擦力提供向心力，所以A受静摩擦力B受静摩擦力C受静摩擦力由上面的向心力表达式可知，A需要的向心力最小，所以A受到的摩擦力最小，故B正确；CD．物体恰好滑动时，静摩擦力达到最大，有μmg =mω2r解得即转动半径最大的最容易滑动，故物体C 先滑动，物体A 、B 一起后滑动，故C 正确，D 错误。

故选ABC 。

2、如图，两个质量均为m 的小木块a 和b （可视为质点）放在水平圆盘上，a 与转轴OO ′的距离为l ，b 与转轴的距离为2l 。

木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k 倍，重力加速度大小为g 。

若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是（ ）A ．b 一定比a 先开始滑动B ．a 、b 所受的摩擦力始终相等C ．2kg l ω=是b 开始滑动的临界角速度D ．当2kgl ω=时，a 所受摩擦力的大小为kmg 【来源】甘肃省庆阳市第一中学2019-2020学年高一（下）期中考试物理试题【答案】AC【解析】B ．小木块都随水平转盘做匀速圆周运动时，在发生相对滑动之前，角速度相等，静摩擦力提供向心力即由于木块b 的半径大，所以发生相对滑动前木块b 的静摩擦力大，选项B 错。

C ．随着角速度的增大，当静摩擦力等于滑动摩擦力时木块开始滑动，则有代入两个木块的半径，小木块a 开始滑动时的角速度木块b 开始滑动时的角速度选项C 正确。

2024届四川省眉山市仁寿县第一中学校北校区数学高一下期末检测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．函数()sin()4f x x π=-的图像的一条对称轴是（ ）A ．4x π=B ．2x π=C ．4πx =-D ．2x π=-2．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒，若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（ ） A ．710B ．58C ．38D ．3103．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）A ．283π- B ．83π-C ．82π-D ．23π 4．在△ABC 中，222a b c bc =++，则A 等于（ ） A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°5．已知向量（2，0），||＝1，1，则与的夹角为（ ） A ．B ．C ．D ．6．设()f x 是周期为4的奇函数，当01x ≤≤时，()()1f x x x =+，则92f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．34-B ．14-C ．14D ．347．执行如下图所示的程序框图，若输出的0S =，则输入的a 的值为（ ）A ．255256B ．511512C ．10231024D ．204720488．在ABC ∆中，已知D 是AB 边上一点，3AD DB =，14CD CA CB λ=+，则λ等于（ ） A ．34B ．13C ．13-D ．23-9．已知正四棱锥的底面边长为25( )A ．43B ．23C ．43D ．43310．在ABC ∆中，若sin 2sin 6023A C B b =︒=＝，，ABC ∆的面积为( ). A ．8B ．2C ．23D ．4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

四川省仁寿第一中学校（北校区）2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题一、单选题1．复平面内复数z 所对应的点为()2,1--，则i z +=（ ）A B ．2 C D ．12．已知向量(1,2)a x =+-r ，(2,3)b x =-r ，若//a b r r ，则实数x 的值为（ ）A ．1B ．3C ．3-D ．37- 3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为300，200，400，为了了解学生的课业负担情况，该校采用分层抽样的方法，从这三个年级中抽取18名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取人数分别是（ ）A ．6,4,8B ．6，6，6C ．5，6，7D ．4，6，8 4．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A ．若m α∥，n ⊂α，则m n ∥B ．若m n ∥，m α⊥，则n α⊥C ．若m n ⊥，m α∥，则n α∥D ．若αβ⊥，m α⊥，则m β∥ 5．如图，某圆柱侧面展开图的斜二测直观图为平行四边形A B C D ''''，已知πA O B O OE C E D E ''''''''''=====，则该圆柱的体积为（ ）A ．42πB ．22πC ．4πD ．2π6．如图，一架高空侦察飞机以600m/s 的速度在海拔16000m 的高空沿水平方向飞行，在A 点处测得某山顶M 的俯角为45o ，经过15s 后在B 点处测得该山顶的俯角为75o ，若点A ，B ，M 在同一个铅垂平面内，则该山顶的海拔高度约为（ ）.414≈ 1.732≈）A ．2436mB ．3706mC ．3200mD ．3146m7．已知ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c o s c o s b C c B b +=，且c o s a c B =，则ABC V 是（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形8．点P 是ABC V 所在平面上一点，若1123AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，则ABP V 与ACP △的面积之比是（ ）A ．32B ．3C ．13D ．23二、多选题9．已知甲种杂交水稻近五年的产量（单位：吨/公顷）数据为：9.7，10.0，10.0，10.0，10.3，乙种杂交水稻近五年的产量（单位：吨/公顷）数据为：9.6，9.7，10.0，10.2，10.5，则（ ） A ．甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数B ．甲种的样本方差大于乙种的样本方差C ．甲种样本的70%分位数小于乙种样本的70%分位数D ．甲乙两种水稻近五年的总方差为0.07210．函数π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><图象与y 轴交于点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，且π,13⎛⎫ ⎪⎝⎭为该图像最高点，则（ ）A ．()sin 26πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()f x 的一个对称中心为π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．函数()f x 图像向右平移π6个单位可得πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象D ．7π12x =是函数()f x 的一条对称轴 11．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为正方体的中心，M 为1DD 的中点，F 为侧面正方形11AA D D 内一动点，且满足1B F ∥平面1BC M ，则（ ）A ．三棱锥1D DCB -的外接球表面积为12πB ．动点F 的轨迹是一条线段C ．三棱锥1F BC M -的体积是随点F 的运动而变化的D ．若过A ，M ，1C 三点作正方体的截面Ω，Q 为截面Ω上一点，则线段1AQ 长度的取值范围为⎣三、填空题12．cos66cos84sin 66sin84︒︒︒︒-的值是.13．已知1a =r ，2b =r ，3a b -=r r ，则向量a r 在向量b r 上的投影向量为．14．三棱锥P －ABC 中，二面角P －AB －C 为120°，PAB V 和ABC V 均为边长为2的正三角形，则三棱锥P －ABC 外接球的半径为．四、解答题15．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，12AC CC CB ===，且A C C B ⊥，1AA ⊥底面ABC ，E 为AB 中点．(1)求证：1BC AC ⊥；(2)求证：1//BC 平面1ACE 16．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛；从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[)40,50，[)50,60，…，[]90,100得到如图所示的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)求样本成绩的第75百分位数；(3)已知落在[)50,60的平均成绩是51，方差是7，落在[)60,70的平均成绩为63，方差是4，求两组成绩的总平均数z 和总方差2s ．17．已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m =r (),cos a A ，n =r ()cos ,B b c -，且m n ⋅r r cos c A =⋅，ABC V 外接圆面积为3π.(1)求A ；(2)求ABC V 周长的最大值.18．已知函数2π()2sin(π)cos 2f x x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭(1)求()f x 的最小正周期及单调递减区间；(2)求()f x 在区间ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值； (3)若00π103π,,π6134f x x ⎛⎫⎡⎤-=∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，求0sin 2x 的值． 19．任意一个复数z 的代数形式都可写成复数三角形式，即()i cos isin z a b r θθ=+=+，其中i 为虚数单位，0r z ==≥，[)0,2θ∈π.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667～1754）创立.设两个复数用三角函数形式表示为：()1111cos isin z r θθ=+，()2222cos isin z r θθ=+，则：()()12121212cos isin z z r r θθθθ⎡⎤=+++⎣⎦.如果令12n z z z z ====L ，则能导出复数乘方公式：()cos isin n n z r n n θθ=+.请用以上知识解决以下问题.(1)试将3i z =写成三角形式；(2)试应用复数乘方公式推导三倍角公式：3sin33sin 4sin θθθ=-；3cos34cos 3cos θθθ=-； (3)计算：()()444cos cos 120cos 120θθθ++︒+-︒的值.。

仁寿一中北校区2019-2020学年高一下期入学考试数学试题一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.在△ABC 中，3AB =，3C π=，O 为△ABC 的外接圆的圆心，则CO =（ A ）A.B. C. 3 D. 62.已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，33S =，33a =，则1011a =（ A ） A. 2019 B. 1010 C. 2018 D. 1011 3.在△ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（D ）A. a =7，b =3，B =30°B. b =6，c =B =45°C. a =10，b =15，A =120°D. b =6，c =C =60°4.已知一个三角形的三边是连续的三个自然数，且最大角是最小角的2倍，则该三角形的最小角的余弦值是（ B ）A. 45 B. 34 C. 18 D. 75.《九章算术》中有这样一个问题：今有竹九节，欲均减容之（其意为：使容量均匀递减），上三节容四升，下三节容二升，中三节容几何？(B ） A. 二升B. 三升C. 四升D. 五升6.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且B 为锐角，若sin 5sin 2A cB b =，sin 4B =，4ABC S =△，则b =（D ）A. B. C. D.7.在等差数列{a n }中，1713a a a π++=，则212cos()a a +的值为（B ）A. B. 12- C. 12 D. 28. 在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ D ）A 006030或B 006045或C 0060120或D 0015030或9.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知a =5，b =7，c =8，则A +C =（ B ） A. 90° B. 120° C. 135° D. 150°10.如图，测量河对岸的塔高AB 时可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得BCD ∠︒15＝，BDC ∠︒30＝，CD ＝30，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB 等于(D)A. 6B. 13C. 2D . 61511.在正项等比数列{a n }中，374a a =，数列{}2log n a 的前9项之和为（B ） A. 11 B. 9 C. 15 D. 1312.在△ABC 中，2cos 22B a c c +=（a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边），则△ABC 的形状为（ B ） A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.已知角α的终边与单位圆交于点43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭。

仁寿一中北校区2019级半期数学试题（2020.6.4）第I 卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分） 1.在ABC ∆中，点D 满足3BC BD =，则（ ） A. 1233AD AB AC =- B. 1233AD AB AC =+ C. 2133AD AB AC =- D. 2133AD AB AC =+ 【★答案★】D 【解析】【详解】因为3BC BD =，所以3()AC AB AD AB -=-，即2133AD AB AC =+；故选D. 2.已知{}n a 是等差数列，n S 是它的前n 项和，若75a =，则13S =（ ） A. 52 B. 65C. 70D. 75【★答案★】B 【解析】 【分析】利用等差数列的性质21(21)n n S n a -=-计算．【详解】∵{}n a 是等差数列，∴1371313565S a ==⨯=． 故选B ．【点睛】本题考查等差数列的性质，即在等差数列{}n a 中，若m n p q +=+（,,,m n p q 是正整数），则m n p q a a a a +=+，特别地2m n p +=，则2m n p a a a +=，由此可得前n 的性质：21(21)n n S n a -=-．3.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且2a =，2b =，30B =，则cos A =( ) A. 22-B.22C. 22±D.12【★答案★】C 【解析】 【分析】由正弦定理得：22sin sin 30A =，解得2sin 2A =，即可求出cos A .【详解】由正弦定理得：22sin sin 30A =，解得2sin 2A =，故45A ︒=或135︒， 当45A ︒=时，2cos 2A =， 当135A ︒=时，2cos 2A =-. 故选C.【点睛】本题考查了利用正弦定理解三角形，考查了计算能力，属于基础题. 4.等比数列{n a }的前n 项和为n S ，若103010,30,S S ==则20S =（ ） A .10B. 20C. 20或-10D. -20或1【★答案★】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质可得，S 10，S 20﹣S 10，S 30﹣S 20成等比数列，所以（S 20﹣S 10）2＝S 10•（S 30﹣S 20）可解得★答案★.【详解】由等比数列的性质可得，S 10，S 20﹣S 10，S 30﹣S 20成等比数列，且公比为10q ∴（S 20﹣S 10）2＝S 10•（S 30﹣S 20）即()()22020101030S S -=-解得20S =20或-10 由()10201011122010100S S a a a S q S =++++=+>所以20S =20 故选：B.【点睛】本题考查等比数列的前项和的性质，,注意值的取舍，属于中档题.5.在△ABC 中，A ＝60°，且最大边长和最小边长是方程x 2－7x ＋11＝0的两个根，则第三边的长为( ) A. 2B. 3C. 4D. 5【★答案★】C 【解析】60,A =︒∴第三边即为a,又()22227,11,2cos 316,4b c bc a b c bc A b c bc a +==∴=+-=+-=∴=,故选C.6.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos (2)cos c a B a b A -=-，则ABC 为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形【★答案★】D 【解析】 余弦定理得222222cos ,cos 22c b a c a b A B bc ac+-+-==代入原式得2222222222222222,22222c a b c b a c b a c a b c b a a c bc c ac bc-++-+--++-=-=解得2220a b c a b 或=-+= 则形状为等腰或直角三角形,选D. 点睛：判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用πA B C ++=这个结论．7.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知574a a +=，682a a +=-，则当n S 取最大值时n 的值是（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8【★答案★】B 【解析】 【分析】根据已知条件，求出数列{}n a 的通项公式，表示出n S ，等差数列的前n 项和是不含常数的二次函数，利用二次函数性质求解，要注意*n N ∈； 【详解】解：57624a a a +==，68722a a a +==-62a ∴=，71a =-3d ∴=-，117a =，320n n a =-+∴233722n S n n ∴=-+，*n N ∈223373371369222624n S n n n ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭当6n =时n S 取最大值 故选：B【点睛】本题主要考查了等差数列的和的最值的求解，由于数列是一类特殊的函数，在有关最值的求解中，要善于利用这一性质进行求解，但要注意n 为正整数的限制条件．8.在等差数列{}n a 中，若468101290a a a a a ++++=，则101413a a -的值为 A. 12 B. 14C. 16D. 18【★答案★】A 【解析】 【分析】根据等差数列性质化简条件与结论，即得结果.【详解】因为468101285a a a a a a ++++=，所以818a =， 因此101410141488148111132123333a a a a a a a a a -=-=++-==，选A. 【点睛】本题考查等差数列性质，考查等价转化求解能力，属中档题.9.一海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处．在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( ) A. 103海里 B. 102海里C. 203海里D. 202海里【★答案★】B 【解析】根据已知条件可知△ABC 中，AB ＝20，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝105°，所以∠C ＝45°，由正弦定理，有203045BC sin sin =︒︒，所以120222BC ⨯=＝102.故选B.10.已知数列{}n a 中，11a =，22a =，且()21n n n a a a n N *++⋅=∈，则2019a 的值为（ ）A. 2B. 1C.12D.14【★答案★】A 【解析】 【分析】由递推关系，结合11a =，22a =，可求得3a ，4a ，5a 的值，可得数列{}n a 是一个周期为6的周期数列，进而可求2019a 的值． 【详解】因为()*21n n n a a a n N ++⋅=∈，由11a=，22a =，得32a =；由22a =，32a =，得41a =；由32a =，41a =，得512a =； 由41a =，512a =，得612a =；由512a =，612a =，得71a =；由612a =，71a =，得82a =由此推理可得数列{}n a 是一个周期为6的周期数列，所以201932a a ==，故选A ． 【点睛】本题考查由递推关系求数列中的项，考查数列周期的判断，属基础题．11.已知点O 是内部ABC 一点，并且满足20OA OB OC ++=，AOC △的面积为1S ，ABC 的面积为2S ，则12S S =（ ） A.25 B.14C.13D.12【★答案★】D 【解析】 【分析】利用20OA OB OC →→→++=，确定点O 的位置，结合三角形面积公式求解. 【详解】因为20OA OB OC →→→++=，所以2=2OA OC OB BO +=-,所以()1=2BO OA OC + 取AC 的中点D ,则, 1OD (OA OC)2=+.BOOD →→∴=，即O 为中线BD 的中点,如图所示，则AOC △的面积为1S ，ABC 的面积为2S ，12AOC ABC S S ∆∆=,所以1212S S =. 故选:D.【点睛】本题主要考查平面向量的应用，利用向量的线性运算及共线定理确定点的位置是求解本题的关键.12.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，令12nn S S S T n++⋅⋅⋅+=，称n T 为数列1a ，2a ，……，n a 的“理想数”，已知数列1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为2004，那么数列2，1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为（ ） A. 2002 B. 2004C. 2006D. 2008【★答案★】A 【解析】 【分析】 由公式12n n S S S T n+++=…得，数列1a ，2a ，⋯，500a 的“理想数”为51002500S S S +++…，从而得12500S S S +++…；所以数列2，1a ，2a ，⋯，500a 的“理想数”为：125002(2)(2)(2)501S S S +++++⋯++，得出★答案★．【详解】解：根据题意得，数列1a ，2a ，⋯，500a 的“理想数”为500122004500S S S +=++…，即500122004500S S S =+⨯++…；∴数列2，1a ，2a ，⋯，500a 的“理想数”为：12500501202(2)(2)(2)2501()20045002220002002501501501S S S S S S ++++++⋯++⨯+⨯==+=+=++…故选：A【点睛】本题考查了数列前n 项和的公式，即12n n S a a a =++⋯+的灵活应用，解题时要弄清题意，灵活运用所学知识，解出正确★答案★．属于中档题．第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13.已知()()() 12203A B C x -，、，、，，且 A B C 、、三点共线，则x =__________． 【★答案★】52- 【解析】 【分析】由 ,,A B C 三点共线，得 //AB BC ，根据向量共线的坐标表示求x . 【详解】 ,,A B C 三点共线， //AB BC ∴.()()()()(),,, 1,22,0,3,2,33,2AB A B BC x C x ∴=---=，()()533220,2x x ∴⨯---=∴=-.故★答案★为：52-. 【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，属于基础题.14.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知4a =，30A =︒，4b =，则ABC 的面积为____. 【★答案★】43 【解析】 【分析】由已知条件可得30B A ==,120C =，根据三角形的面积公式求解即可. 【详解】在ABC 中,4a =，30A =︒，4b =，30B A ∴==,120C =113sin 4443222S ab C ∴==⨯⨯⨯=. 故★答案★为：43.【点睛】本题考查三角形的面积公式，考查计算能力，属于基础题.15.已知数列{}n a 中11a =，24a =，()223n n a a n -=+≥，n S 为{}n a 前n 项和，则2n S =______ 【★答案★】223n n +【解析】 【分析】由()223n n a a n -=+≥得出，{}n a 的奇数项和偶数项都是公差为2的等差数列，求得(),(21)2,(2)n n n k a k N n n k *=-⎧=∈⎨+=⎩，然后利用等差数列前n 项和公式进行分组求和即可得出结论. 【详解】解：由()223n n a a n -=+≥得，{}n a 的奇数项构成公差为2的等差数列，偶数项也构成公差为2的等差数列，∴(),(21)2,(2)n n n k a k N n n k *=-⎧=∈⎨+=⎩,21234212n n n S a a a a a a -∴=++++++()()1321242n n a a a a a a -=+++++++()()132146(22)n n =+++-+++++()()12142222n n n n +-⋅++⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=+ 223n n =+故★答案★为：223n n +.【点睛】本题主要考查等差数列的定义，通项公式和前n 项和公式，考查学生的计算能力，属于基础题.16.等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项的积为n T ，并且满足()()120192010200920101,10,110a a a a a >⋅->--<，给出下列结论①01q <<；②200920111a a ⋅<；③2010T 是n T 中最大的；④使得1n T >成立的最大的自然数是4018.其中正确结论的序号为___.（将你认为正确的全部填上） 【★答案★】①②④ 【解析】 详解】()()20092010110a a --<， 20091a ∴<或20101a <，如果20091a < ,那么20101a >，如果20090a <,那么0q <,又2009201012010,a a q a =∴应与1a 异号，即20100a < 和前面20101a > 假设矛盾了， 0q ∴> , 又或者20091a > ,20101a <，那么200820091a a q =应该大于1，又矛盾了，因此1q <，综上所述01q <<，故① 正确；22009201120101a a a ⋅=<，故②正确；由结论① 可知数列从2010项开始小于1，所以2009T 为最大项，故③不正确； 由结论① 可知数列从2010项开始小于1，123...n n T a a a a =， 因为数列从2010项开始小于1， 所以当()22009n T a =时，1nT>成立的最大的自然数，求得4018n =，故④正确，故★答案★为①②④.三、解答题（本题共6道小题，第1题10分，第2题12分，第3题12分，第4题12分，第5题12分，第6题12分，共70分）17.在△ABC 中，内角A,B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bsinA=3acosB ． （1）求角B 的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA ，求a ，c 的值 【★答案★】（1）B =60°（2）3,23a c == 【解析】 （1)由正弦定理得【考点定位】本题主要考察三角形中的三角函数，由正余弦定理化简求值是真理18.已知数列{}n a 的前n 项和()14433n n S n N +*=-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【★答案★】（1）4nn a =；（2）1314499n n n T +-=⋅+ 【解析】 【分析】（1）利用n a 与n S 的关系可求出数列的通项公式.（2）4nn b n =⋅，利用错位相减法即可求出数列的和.【详解】（1）因为数列{}n a 的前n 项和14433n n S +=-，当2n ≥时，14433n n S -=-，两式相减得4nn a =，当1n =时，21144433a S ==-=，满足上式，故4nn a =.（2）4nn n b na n ==⋅，则21424...4nn T n =⨯+⨯++⋅，23141424...4n n T n +=⨯+⨯++⋅，两式相减得到：()2111431424 (144)4414n nn n n T n n n ++--=⨯+⨯++-⋅-⋅=-⋅-，化简整理得到：1314499n n n T +-=⋅+. 【点睛】本题考查了求数列的通项公式，错位相减法求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.19.如图，在矩形ABCD 中，点E 是AC 的中点，点F 在边CD 上.（1）若点F 是CD 上靠近C 的三等分点，试用AB ，AD 表示EF ；（2）若有向量满足BM BC λ=，点F 是CD 上靠近C 的四等分点，且//AM EF ，求λ的值.【★答案★】（1）1162EF AB AD =+；（2）2λ=. 【解析】【分析】（1）以向量,AB AD 作为基底向量，结合向量的加法运算，得出EF ；（2）建立直角坐标系，利用坐标运算，得出λ的值.【详解】（1）EF EA AD DF =++ 1223AC AD DC =-++ 12()23AB AD AD AB =-+++ 1162AB AD =+ （2）以点A 为坐标原点，建立如下图所示的直角坐标系 设,AB a AD b ==则3(0,0),(,0),(,),,,,224a b A B a c a b E F a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(,0)(0,)(,)AM AB BM AB BC a b a b λλλ=+=+=+=，,42a b EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭//AM EF42b b a a λ∴⋅=⋅，解得2λ=【点睛】本题主要考查了用基底表示向量以及已知向量共线求参数，属于中档题.20.六安市某棚户区改造，四边形ABPC 为拟定拆迁的棚户区，测得3BPC π∠=,23BAC π∠=，4AC =千米，2AB =千米，工程规划用地近似为图中四边形ABPC 的外接圆内部区域.（Ⅰ）求四边形ABPC 的外接圆半径R ；（Ⅱ）求该棚户区即四边形ABPC 的面积的最大值.【★答案★】（Ⅰ）2213R =（Ⅱ）93 【解析】 试题分析：（Ⅰ）由题得：在2423ABC AC AB BAC 中，，，π∆==∠=，由余弦定理，求得27BC =，再由正弦定理，即可求解R 的值. （Ⅱ）由（Ⅰ）得，27BC =，由余弦定理得28PB PC ⋅≤， 进而得到323934APBC S PB PC =+⋅≤，即可得到结论. 试题解析： （Ⅰ）由题得：在2πΔABC AC 4AB 2BAC 3∠===中，，， 222πBC AC AB 2AC AB cos 273由余弦定理得=+-⋅⋅=BC 42R 21sin BAC 3由正弦定理得：∠== 所以2R 213= （Ⅱ）由（Ⅰ）得，BC 27=，由余弦定理得：222BC PB PC 2PB PC cos BPC ∠=+-⋅⋅即2228PB PC PB PC 2PB PC +⋅=+≥⋅所以PB PC 28⋅≤(当且仅当PB=PC 时等号成立) 而APBC ΔABC ΔPBC 11S S S AB AC cos BAC PB PC sin BPC 22∠∠=+=⋅⋅+⋅⋅ 故APBC 3S 23PB PC 934=+⋅≤ 21.已知数列{}n a 满足11a =，11n n n na a n a ++-=，n *∈N （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：22321232n a a a a +++⋅⋅⋅+<.【★答案★】（1）1n a n=；（2）证明见解析. 【解析】【分析】 (1) 11n n n na a n a ++-=,变形可得11n n a n a n +=+，利用累乘法即可求得数列{}n a 的通项公式； (2)由(1)可知1n a n =，则221n a n=利用放缩法可知()2111111k k k k k <=---，再利用裂项相消即可求得结果. 【详解】（1）由11n n n na a n a ++-=得()11n n n a na ++=，即11n na n a n +=+， ∴23411232112321(2)2341n n n n a a a a a n n n a a a a a n n-----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯≥- 即11n a a n=，∵11a =，所以1(2)n a n n =≥，又11a =满足，所以1n a n =（2）证明：∵()2111111k k k k k<=---，23,4,k n =⋅⋅⋅,. ∴223212322221111123n a a a a n +++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+ ()1111112231n n <+++⋅⋅⋅+⋅⋅-⋅1111111112231n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1=22n -<. 故22321232n a a a a +++⋅⋅⋅+<.【点睛】本题考查累乘法求数列通项公式，考查利用放缩法和裂项相消求和证明数列不等式，考查学生的计算能力与推理能力，属于中档题.22.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足.1333244n n n S a +=-- ，n *∈N （1）证明数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式. （2）若不等式()2235n n n a λ--<-，对任意n *∈N 恒成立，求λ的取值范围.【★答案★】（1）证明见解析，133n n n a a -=+；（2）449λ<. 【解析】【分析】（1）由n S 与n a 关系，得出{}n a 的递推关系，再用等差数列的定义，证明3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，求出其通项，即可求得{}n a 的通项公式；（2）不等式()2235n n n a λ--<-，对任意n *∈N 恒成立，分离参数转为()2353n n λ-->对任意n *∈N 恒成立，转为求数列233n n -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最大值，即可求出结果；【详解】解：（1）当1n =时，111393244S a a ==--，得16a =， 当2n ≥时，1333244n n n S a +=--，1333244n n n S a -=--， 两式相减得：133n n n a a -=+，∴111211333n n n n n n a a a ---=+=+，即11133n n n n a a ---=， 又1123a =，∴数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，1为公差的等差数列. （2）由（1）知13n n a n =+，即()13n n a n =+⋅ ∵0n a >∴不等式()2235n n n a λ--<-，对任意n *∈N 恒成立，等价于()2353n n λ-->对任意n *∈N 恒成立， 记233n n n b -=,2n ≥时，112121323693n n n n n b n n b n -+--==--, ∴当3n ≥时，11n n b b +<，∴2n =或3n =时，n b 取最大值为19， ∴159λ->，即449λ<, ∴λ的取值范围是：449λ<. 【点睛】本题考查等差数列的证明,数列的通项公式的求法及应用，着重考查学生的运算能力、转化能力和思维能力，注意过程的规范性书写，属中档题．感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。

仁寿一中北校区6月月考数学试卷本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考号填写在答题卡规定的位置上.2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔将答案书写在答题卡规定的位置上.4．考试结束后，将答题卡交回.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1.不等式x2+5x﹣6＞0的解集是（）A．{x|x＜﹣2或x＞3} B．{x|﹣2＜x＜3} C．{x|x＜﹣6或x＞l} D．{x|﹣6＜x＜l} 【解答】解：不等式x2+5x﹣6＞0化为（x+6）（x﹣1）＞0，解得x＜﹣6或x＞1，∴不等式的解集是{x|x＜﹣6或x＞1}．故选：C．2.设b＞a＞0，c∈R，则下列不等式中不一定成立的是（）A．a b B．C．D．ac2＜bc23.已知向量a＝(2,1)，b＝(m，－1)，且a⊥(a－b)，则实数m等于()A．3 B．1 C．4 D．2答案 A解析a－b＝(2－m,2)，根据a⊥(a－b)，得a·(a－b)＝2(2－m)＋2＝0，解得m＝3.4.已知数列{a n}为等差数列，若a2＋a5＝3a3，且a4与2a7的等差中项为6，则a5＝A.0B.1C.2D.35.在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB 等于( ) A.4 2 B.30 C.29 D.2 5 答案 A解析 ∵cos C 2＝55，∴cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×⎝⎛⎭⎫552－1＝－35.在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝52＋12－2×5×1×⎝⎛⎭⎫－35＝32， 6.已知在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝3，a 3＋a 4＝12，则a 5＋a 6等于( ) A ．3 B ．15 C ．48 D ．63 答案 C解析 a 3＋a 4a 1＋a 2＝q 2＝4，所以a 5＋a 6＝(a 3＋a 4)·q 2＝48.7.已知)1,3(,3||,1||=+==，则+与-的夹角为（ ）A.6πB.3πC .32π D.65π8.设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则zxy 的最小值为A.0B.-5C.1D.59.已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋bn ＋c ，等比数列{b n }的前n 项和T n ＝3n ＋d ，则向量a ＝(c ，d )的模为( )A.1B.2C. 3D.无法确定 答案 A解析 由等差数列与等比数列的前n 项和公式知，c ＝0，d ＝－1，所以向量a ＝(c ，d )的模为1.10.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知三个向量m ＝⎝⎛⎭⎫a ，cos A 2，n ＝⎝⎛⎭⎫b ，cos B 2，p ＝⎝⎛⎭⎫c ，cos C 2共线，则△ABC 的形状为( ) A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形答案 A解析 ∵向量m ＝⎝⎛⎭⎫a ，cos A 2，n ＝⎝⎛⎭⎫b ，cos B 2共线， ∴a cos B 2＝b cos A2.由正弦定理得sin A cos B 2＝sin B cos A2. ∴2sin A 2cos A 2 cos B 2＝2sin B 2cos B 2cos A2.则sin A 2＝sin B 2.∵0<A 2<π2，0<B 2<π2，∴A 2＝B2，即A ＝B .同理可得B ＝C .∴△ABC 的形状为等边三角形.故选A.11. 在R 上定义运算():x y=x 1y ⊗⊗-，若对任意x 2>，不等式()x a x a 2-⊗≤+都成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(7,⎤-∞⎦ B ．17,⎡⎤-⎣⎦ C ．(3,⎤-∞⎦ D ．()17,,⎤⎡-∞-+∞⎦⎣【答案】A 【解析】由题意可得：()()()12x a x x a x a -⊗=--≤+ 即：()222a x x x -≤-+对任意2x >恒成立2x > 20x ∴-> 222x x a x -+∴≤- 设()()()()2223242423222x x x x f x x x x x -+-+-+===-++---则()37f x ≥=（当且仅当1111426767==-⨯，即4x =时取等号） 即()min 7f x = 7a ∴≤，即(],7a ∈-∞ 本题正确选项：A12.已知数列 }{n a 满足：11=a ，)(2*1N n a a a n n n ∈+=+，若 )11)((1+-=+n n a n b λ，λ-=1b ，且数列 }{n b 是单调递增数列，则实数 λ 的取值范围是A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题 共64分）注意事项：1、请用0.5毫米黑色签字笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。

四川省仁寿第一中学北校区2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．在ABC ∆中，点D 满足3BC BD =u u u r u u u r，则（ ）A ．1233AD AB AC =-u u u r u u u r u u u rB ．1233AD AB AC =+u u u r u u u r u u u rC ．2133AD AB AC =-u u u r u u u r u u u rD ．2133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r2．已知{}n a 是等差数列，n S 是它的前n 项和，若75a =，则13S =（ ） A ．52B ．65C ．70D ．753．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且2a =，b =30B =o ，则cos A =( )A ．B ．2C ．±D ．124．等比数列{n a }的前n 项和为n S ，若103010,30,S S ==则20S =（ ） A ．10B ．20C ．20或-10D ．-20或15．在△ABC 中，A ＝60°，且最大边长和最小边长是方程x 2－7x ＋11＝0的两个根，则第三边的长为( ) A ．2B ．3C ．4D ．56．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos (2)cos c a B a b A -=-，则ABC V 为（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形7．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知574a a +=，682a a +=-，则当n S 取最大值时n 的值是（ ） A ．5B ．6C ．7D ．88．在等差数列{}n a 中，若468101290a a a a a ++++=，则101413a a -的值为 A ．12B ．14C ．16D ．189．一海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处．在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( ) A ．B ．海里C ．海里D ．10．已知数列{}n a 中，11a =，22a =，且()21n n n a a a n N *++⋅=∈，则2019a 的值为（ ）A ．2B ．1C ．12D ．1411．已知点O 是内部ABC V 一点，并且满足20OA OB OC ++=u u u ru u u r u u u r r，AOC △的面积为1S ，ABC V 的面积为2S ，则12S S =（ ）A ．25B ．14C ．13D ．1212．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，令12nn S S S T n++⋅⋅⋅+=，称n T 为数列1a ，2a ，……，n a 的“理想数”，已知数列1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为2004，那么数列2，1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为（ ）A ．2002B ．2004C ．2006D ．200813．已知()()() 12203A B C x -，、，、，，且 A B C 、、三点共线，则x =__________． 14．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知4a =，30A =︒，4b =，则ABC V 的面积为____.15．已知数列{}n a 中11a =，24a =，()223n n a a n -=+≥，n S 为{}n a 前n 项和，则2n S =______16．等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项的积为n T ，并且满足()()120192010200920101,10,110a a a a a >⋅->--<，给出下列结论①01q <<；②200920111a a ⋅<；③2010T 是n T 中最大的；④使得1n T >成立的最大的自然数是4018.其中正确结论的序号为___.（将你认为正确的全部填上）17．在△ABC 中，内角A,B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且． （1）求角B 的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA ，求a ，c 的值18．已知数列{}n a 的前n 项和()14433n n S n N +*=-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．如图，在矩形ABCD 中，点E 是AC 的中点，点F 在边CD 上.（1）若点F 是CD 上靠近C 的三等分点，试用AB u u u r，AD u u u r 表示EF u u u r ；（2）若有向量满足BM BC λ=u u u u r u u u r ，点F 是CD 上靠近C 的四等分点，且//AM EF u u u u r u u u r，求λ的值.20．六安市某棚户区改造，四边形ABPC 为拟定拆迁的棚户区，测得∠BPC =π3,∠BAC =2π3， AC =4千米，AB =2千米，工程规划用地近似为图中四边形ABPC 的外接圆内部区域.（Ⅰ）求四边形ABPC 的外接圆半径R ；（Ⅱ）求该棚户区即四边形ABPC 的面积的最大值. 21．已知数列{}n a 满足11a =，11n n n na a n a ++-=，n *∈N（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明：22321232n a a a a +++⋅⋅⋅+<.22．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足.1333244n n n S a +=-- ，n *∈N（1）证明数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式.（2）若不等式()2235n n n a λ--<-，对任意n *∈N 恒成立，求λ的取值范围.参考答案1．D 【解析】 【详解】因为3BC BD =u u u r u u u r，所以3()AC AB AD AB -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，即2133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ；故选D.2．B 【解析】 【分析】利用等差数列的性质21(21)n n S n a -=-计算． 【详解】∵{}n a 是等差数列，∴1371313565S a ==⨯=． 故选：B ． 【点睛】本题考查等差数列的性质，即在等差数列{}n a 中，若m n p q +=+（,,,m n p q 是正整数），则m n p q a a a a +=+，特别地2m n p +=，则2m n p a a a +=，由此可得前n 的性质：21(21)n n S n a -=-．3．C 【解析】 【分析】由正弦定理得：2sin A =，解得sin A =cos A . 【详解】由正弦定理得：2sin A =，解得sin 2A =，故45A ︒=或135︒，当45A ︒=时，cos A =当135A ︒=时，cos A =. 故选C. 【点睛】本题考查了利用正弦定理解三角形，考查了计算能力，属于基础题. 4．B 【解析】 【分析】由等比数列的性质可得，S 10，S 20﹣S 10，S 30﹣S 20成等比数列，所以（S 20﹣S 10）2＝S 10•（S 30﹣S 20）可解得答案. 【详解】由等比数列的性质可得，S 10，S 20﹣S 10，S 30﹣S 20成等比数列，且公比为10q ∴（S 20﹣S 10）2＝S 10•（S 30﹣S 20）即()()22020101030S S -=- 解得20S =20或-10由()10201011122010100S S a a a S q S =++++=+>L所以20S =20 故选：B. 【点睛】本题考查等比数列的前项和的性质，,注意值的取舍，属于中档题. 5．C 【解析】60,A =︒∴Q 第三边即为a,又()22227,11,2cos 316,4b c bc a b c bc A b c bc a +==∴=+-=+-=∴=,故选C.6．D 【解析】余弦定理得222222cos ,cos 22c b a c a b A B bc ac +-+-==代入原式得2222222222222222,22222c a b c b a c b a c a b c b a a c bc c ac bc-++-+--++-=-=解得2220a b c a b 或=-+= 则形状为等腰或直角三角形,选D.点睛：判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用πA B C ++=这个结论．7．B 【解析】 【分析】根据已知条件，求出数列{}n a 的通项公式，表示出n S ，等差数列的前n 项和是不含常数的二次函数，利用二次函数性质求解，要注意*n N ∈； 【详解】解：57624a a a +==Q ，68722a a a +==-62a ∴=，71a =-3d ∴=-，117a =，320n n a =-+∴233722n S n n ∴=-+，*n N ∈223373371369222624n S n n n ⎛⎫=-+=--+⎪⎝⎭Q 当6n =时n S 取最大值 故选：B 【点睛】本题主要考查了等差数列的和的最值的求解，由于数列是一类特殊的函数，在有关最值的求解中，要善于利用这一性质进行求解，但要注意n 为正整数的限制条件． 8．A 【解析】 【分析】根据等差数列性质化简条件与结论，即得结果. 【详解】因为468101285a a a a a a ++++=，所以818a =， 因此101410141488148111132123333a a a a a a a a a -=-=++-==，选A. 【点睛】本题考查等差数列性质，考查等价转化求解能力，属中档题. 9．B 【解析】根据已知条件可知△ABC 中，AB ＝20，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝105°，所以∠C ＝45°，由正弦定理，有203045BC sin sin =︒︒，所以1202BC ⨯=故选B. 10．A 【解析】 【分析】由递推关系，结合11a =，22a =，可求得3a ，4a ，5a gg g 的值，可得数列{}n a 是一个周期为6的周期数列，进而可求2019a 的值。