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初中数学(北师大版)九年级-因式分解法教案(课件免费下载)

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因式分解法
【教学目标】
1．知识与技能
1）、掌握因式分解法的基本步骤；
2）、能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。

2．过程与方法
1）、在灵活选择方程的解法中，体会解决问题方法的多样性；
2）、会用因式分解法解一元二次方程。

3．情感、态度与价值观
1）、通过探讨一元二次方程的解法，了解因式分解法是一元二次方程解法中较为广泛的简便方法，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度；
2）、体会“降次”化归的思想。

【教学重点】
熟练掌握用因式分解法解一元二次方程
【教学难点】
能灵活地应用因式分解法解一元二次方程
【教学方法】
启发引导式归纳教学法
【教学过程】
一、引入新课
问：我们已经学过了几种解一元二次方程的方法 ?
[生]直接开平方法、配方法、公式法
[师]很好，我们知道：在已经学习的解一元二次方程的三种方法——直接开平方法、配方法、公式法中，直接开平方法只能解某些特殊形式的方程，配方法不如公式法简便。

因此，大家选用的方法主要是直接开平方法和公式法。

公式法是解一元二次方程的通法，有普遍的适用性，即可以解任何一个一元二次方程。

用公式法解一元二次方程，首先要把方程化为一般形式，从而正确地确定a、b、c的值；其次，判断b2-4ac的值是否大于或等于0，然后求解。

一元二次方程是不是只有这三种解法呢?有没有其他简便的方法?今天我们就来进一步探讨一元二次方程的解法。

二、新课讲解
[师]下面我们共同来解一道一元二次方程：
解方程：x2=9（师生互动，共同探究）
这个方程化成一般形式为：x2—9=0，
方程的左边可以因式分解吗？因式分解，得
(x+3)(x-3)＝0
我们知道：如果两个因式中有一个等于0，（问：）那么它们的积也就等于0，反过来，两个因式的乘积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0；因此，有
x+3＝0或x-3=0。

这样，就把一元二次方程降次转化为一元一次方程，解这两个一元一次方程，得
x1=-3，x2=3
口算检验：它们是否是方程的根？
这种通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫
做因式分解法。

（点题：板书）
下面请同学们试一试，可否用因式分解法解下来两道题
试一试：解下列方程，并与同学交流，检查解得结果是否正确？
（1）x2+3x = 0 （2）x2 = x
解（2）时可提醒同学们是否是一元二次方程的一般形式？
注意：解（2）两边同时约去x，得 x = 1
故方程的根为x = 1
这样解正确吗？为什么？
小结：这样，形如：ax2+bx=0(a≠0)的一元二次方程,都可用因式分解法求解，并且总有一
根为0，千万不要丢了，这种题型也是中考的热门题型。

三、例题讲解
例1、解方程： x2—5x+6 = 0 （引导学生，互动完成）
解：把方程左边分解因式，得
（x—2）（x—3）=0
因此，有
x—2=0或．x—3=0（要求：书写规范，强调“或”）
解得
x1=2，x2=3
练一练：x2—5x—6=0
例2、解方程：（x-1）（x+4）=6
以下是马虎同学的解法：
解：原方程化为：（x-1）（x+4）=2×3
∴x-1=2或x+4=3
∴ x1=3，x2=—1
这样对吗？为什么？（口头检验）你认为应怎样求解呢？
解：（师生互动，共同完成）将原方程化为一般形式，得
x2+3x—10 = 0
把方程左边分解因式，得
（x+5）（x—2）=0
∴x+5=0或x—2=0
解得
x1=—5，x2=2（口头检验）
结合这道题我们总结一下因式分解法解法步骤：
（1）一移：移项，使方程右边为零；
（2）二分：将方程左边因式分解；
（3）三化：将一元二次方程降次转化为两个一元一次方程；
（4）四解：分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根
简记口诀：右化零，左分解，两因式，各求解。

练一练：课本P48 练习：
用因式分解法解下列方程
①（x-2）(x-3)=0 ②4x2-3x=0
③3(x+1)=x（x+1）④x2-6x-7=0
⑤t(t+3)=28 ⑥(x+1)(x+3)=15
四、巩固提高
1.慧眼识金
解方程2(3x＋1)2－5(3x＋1)=0最适当的方法是（）
A 直接开平方法
B 配方法
C 公式法
D 因式分解法
解法选用：1．先观察能否用直接开平方法，能用就优先采用；2．再观察能否用因式分解法；3．然后选用公式法。

注意：一般不采用配方法，但配方法是一种较重要的数学方法，公式法就是由它推导出来的，而且在后面的二次函数中还要用到配方法，所以要掌握好；4．因式分解法使用方便，是解一元二次方程最常用的方法，但不是所有的二次三项式都能很方便地进行因式分解。

应用时要注意，因式分解法的条件：方程的右边一定要为0，而方程的左边易于因式分解。

2.一锤定音
方程2x2=7x的解为＿＿＿＿＿＿＿（强调：不要丢根）
3.马到成功
（1）x2-2x=8 (2) （x-3）2+x2=9 （3）（2x+1）2+3(2x+1)+2=0
（4）3x2 -2x-5=0
五、自结自悟
1.通过本节课的学习，你会用因式分解法了吗？说说因式分解法解方程的一般步骤？
2.通过因式分解法解方程，你感悟到了怎样的数学思想？（降次化归）
六、作业
P49习题5，6
七、板书设计
因式分解法
因式分解法的步骤例1……例 2
……
（ 1 ）…… ……
（ 2 ）…… ……
（ 3 ）……
（ 4 ）……
但要具体情况具体分析。

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北师大版初中九年级上册数学课件 《用因式分解法解一元二次方程》一元二次方程PPT课件

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x1
100 ， 49
x2 0
探究
10x 4.9x2 0
如果a·b=0，那么 a=0或b=0。
因式分解
x 10 4.9x 0
两个因式乘积为0，说明什么 降次，化为两个一次方程
x 0 或 10 4.9x 0
解两个一次方程，得出原方程的根
x1 0,
x2
100 49
2.04
这种解法是不是很简单？
（2）3x(x 2) 5(x 2)
（3）x2－4=0 （4）(3x＋1)2－5=0
（1）2x2－4x＋2=0 解：因式分解，得 2 (x－1) =0
x－1=0 或 2x－1=0
∴x1= x2=1
分解因式的方法有那些? （1）提取公因式法: am+bm+cm=m(a+b+c). （2）公式法: a2-b2=(a+b)(a-b), a2±2ab+b2=(a±b)2.
（2） 3x(x 2) 5(x 2)
解：移项，得 3x(x 2) 5(x 2) 0
因式分解，得 (x 2) (3x 5) 0
x＋2=0 或 3x－5=0
∴x1=－2，
5
x2=
3
（3）x2－4=0
解：因式分解，得 (x＋2) (x－2) =0
x＋2=0 或 x－2=0
∴x1=－2， x2=2
ax2+bx+c=0(a≠0).
2.b2-4ac≥0.
x b
b2 2a
4ac
.b2
4ac
0
.
1.用因式分解法的条件是:方程左边能够 分解,而右边等于零; 2.理论依据是:如果两个因式的积等于零 那么至少有一个因式等于零. 因式分解法解一元二次方程的一般步骤:
2.4 用因式分解法求解一元二次方程第一课时课件2024-2025学年北师大版数学九年级上册

2.4 用因式分解法求解一元二次方程第一课时课件2024-2025学年北师大版数学九年级上册

2.能根据具体的一元二次方程的特征，灵活 选择方程的解法，体会解决问题的多样性
复习回顾
1.将下列各式因式分解
2.一物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过X秒 物体离地的高度为10x-4.9x²，物体经过多少秒落回地面 呢？
解：设物体经过x秒后落回地面
依题意，得 10x-4.9x²=0
①
思考：除配方法和公式法外找其他的方法解方程①
次方程的方法叫
。
例1 解下列一元二次方程
（1）5X2=4X
解：原方程可变形为 5X2-4X=0 X(5X-4)=0
X=0或5X-4=0
X1=0, X2=
（2）X-2=X(X-2)
解：原方程可变形为 （X-2）-X(X-2)=0 (X-2)(1-X)=0 X-2=0或1-X=0 X1=2, X2=1.
2.一个数平方的两倍等于这个数的7倍，求这个数 解：设这个数为x
依题意，得2x²=7x
解得x=0或x=3.5
归纳
课堂小结
1.解一元二次方程的基本思路
转化 一元二次方程
一次方程 即降次
2.应用因式分解法解某些一元二次方程时比较简单
课后作业
习题2.7 第1～3题
课间休息时间
请做做眼保健操，记得保护眼睛哦。
小华：对于x(x-2)=x-2,两边都除以x-2,得x=1 小丽：由x(x-2)=x-2，得(x-2)(x-1)=0,得x1=2 x2=1
小华是错误的，x-2可以为0，方程两边除以x-2，会 造成丢根
随堂练习
1.解下列一元二次方程
(1)2x²+3x=0
(2)2(y-3)=3y(y-3)
（3）x²-4=0
想一想
10x-4.9x²=0
新北师大版九年级数学上册《用因式分解法求解一元二次方程》优课件(共14张PPT)

新北师大版九年级数学上册《用因式分解法求解一元二次方程》优课件(共14张PPT)

2.4 用因式分解法求解一元二次方程
1．因式分解常用的方法有 提公因式法 、 公式法 ． 2．因式分解法就是把一元二次方程的一边化为__0__，另一边分 解成两个一次因式的 乘积 的形式，让两个一次因式分别等 于__0__，得到的两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，得 到的两个根就是原方程的两个根． 3．解一元二次方程的方法有： 直接开平方法 、 配方法 、
知识点二：根的判别式
6．下列关于x的方程有实数根的是( D )
A．x2＋1＝0 B．x2＋x＋1＝0
C．x2－x＋1＝0 D．x2－x－1＝0
7．已知命题“关于x的一元二次方程x2＋bx＋1＝0，当b<0
时，必有实数解”，能说说这个命题是假命题的反例是(
)
A
A．b＝－1 B．b＝2
C．b＝－2 D．b＝0
(1)甲同学的解法正确吗？为什么？ (2)对甲同学的解法，你若有不同见解，请你写出对上述方程的 解法．
解：(1)不正确．因为当x＋5＝0时，甲的解法便无意义，而 当x＋5＝0时，方程两边仍相等
(2)原方程可化为x(x＋5)－3(x＋5)＝0，(x＋5)·(x－3)＝0，∴x1 ＝3，x2＝－5
11．用适当的方法解方程： (1)2(x＋3)2＝8
解：(x＋3)2＝4，∴x＋3＝±2，∴x1＝－1，x2＝－5 (2)x2＋2x－2014＝0
解：(x＋1)2＝2015，∴x＋1＝± 2015，∴x1＝－1＋ 2015， x2＝－1－ 2015
(3)(x＋3)(x－4)＝－12 解：整理得 x2－x＝0，即 x(x－1)＝0，∴x1＝0，x2＝1
请依照上述方法，用因式分解法解下列方程： (1)x2＋8x＋7＝0；
解：∵x2＋(7＋1)x＋7×1＝0，(x＋7)(x＋1)＝0，∴x1＝－1 ，x2＝－7
【北师大版初三数学】第9讲：因式分解法解一元二次方程-教案

【北师大版初三数学】第9讲：因式分解法解一元二次方程-教案

知识讲解：1.因式分解x 2-5x ；； 2x(x-3)-5(x-3); 25y 2-16； x 2+12x+36；4x 2+4x+1分析：复习因式分解知识，，为学习本节新知识作铺垫.2.若ab=0,则可以得到什么结论？分析：由积为0，得到a 或b 为0，为下面用因式分解法解方程作铺垫.3.试求下列方程的根 ：x(x-5)=0; (x-1)(x+1)=0；(2x-1)(2x+1)=0；(x+1)2 =0; (2x-3)2=0.分析：解左边是两个一次式的积，右边是0的一元二次方程，初步体会因式分解法解方程实现降次的方法特点，只要令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解.4. 试求下列方程的根○14x 2-11x =0; x(x-2)+ (x-2)=0; (x-2)2 -(2x-4)=0 ○225y 2-16=0; (3x+1)2 -(2x-1)2 =0; (2x-1)2 =(2-x)2 ○3x 2+10x+25=0; 9x 2-24x+16=0; ○45x 2-2x-41= x 2-2x+43; 2x 2+12x+18=0; 分析：观察○1○2○3三组方程的结构特点，在方程右边为0的前提下，对左边灵活选用合适的方法因式分解，并体会整体思想.总结用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：首先使方程右边为0，其次将方程的左边分解成两个一次因式的积，再令两个一次因式分别为0，从而实现降次，得到两个一元一次方程，最后解这两个一元一次方程，它们的解就都能是原方程的解.这种解法叫做因式分解法.○4中的方程结构较复杂，需要先整理. 5.选用合适方法解方程x 2+x+41=0；x 2+x-2=0；(x-2)2 =2-x ；2x 2-3=0.分析：四个方程最适合的解法依次是：利用完全平方公式，求根公式法，提公因式法，直接开平方法或利用平方差公式.归纳：配方法要先配方，再降次；公式法直接利用求根公式；因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法用于某些一元二次方程. 解一元二次方程的基本思路：化二元为一元，即降次.课堂练习：考点一：用提公因式法解一元二次方程【例题】 1、用因式分解法解一元二次方程0)1(2)1(=---x x x ，正确的步骤是（ ）A ．0)2)(1(=++x xB ．0)2)(1(=-+x xC ．0)2)(1(=--x xD ．0)2)(1(=+-x x2、一元二次方程x 2=3x 的解是：【答案】1、D【解析】根据题意，可将方程化为x(x-1)+2(x-1)=0，提公因式（x-1）,有（x-1）（x+2）=0.试题分析：因式分解的一般步骤是：第一，看能不能用提公因式法；第二，公式法，平方差公式和完全平方公式；第三步，对于二次三项式，看能不能用十字相乘法.考点：因式分解.2、x 1=0，x 2=3．【解析】试题分析：利用因式分解法解方程．试题解析：x 2=3x ，x 2-3x=0，x （x-3）=0，x 1=0，x 2=3．考点：解一元二次方程-因式分解法．【练习】1、方程x(x-2)=2-x 的根是（ ）A ．x=-1B ．x=2C ．120,2x x == D ．121,2x x =-=2、解方程2(2)3(2)x x +=+【答案】1、D 2、122,1x x =-=考点二：用乘法公式解一元二次方程【例题】1、一元二次方程(2x －1)2＝(3－x)2的解是_______________________．2、写出一个既能直接开方法解，又能用因式分解法解的一元二次方程是__________。