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边坡落石轨迹计算例题根据本项目地质勘查报告，边坡稳定性系数为 1.067~1.124，处于欠稳定~基本稳定状态。
在暴雨及地震情况下，边坡稳定性系数较小，可能失稳。
边坡失稳后，其崩落体将沿坡面滑落，并堆积于坡脚，下面采用rockfall软件计算其崩落体滑移过程对挡土堤的影响。
崩落体在坡面的运动模式有两种，一种是滚动或滑动模式，另一种为弹跳模式，如1所示。
图1 落石（土）坡面运动模式图采用rock fall软件，可以对边坡崩落体进行速度、弹起高度和落点等运动特征进行模拟分析计算，并自动计算其统计学规律，从而确定拦截系统的位置和高度。
该模拟计算分析，基于以下假定：1、由于失稳前的位移长期积累，崩落体的初速度一般很小，以初速度为零作自由落体运动，模拟计算时不考虑随机因素的影响。
2、采用偏保守的方法模拟时未考虑崩落体可能摔碎、破裂的情况。
3、假设崩落体重量对落点的路径和抛射距离无影响。
坡面为植被稀少或裸露的硬质土体，计算状态参数如表6-1所示。
崩落土体模拟的初始状态参数为：初始水平线速度为0m/s，初始垂直线速度为0m/s，初始角速度为0rad/s；落石块为球形、弹性体；重量以5000kg估算。
表1 坡面状况参数表DMSZDZSJ-04）为例，模拟分析结果如下图6-2～6-4。
图2 落点路径计算模型图图3 落点弹射轨迹及弹射高度图图4 落点弹射轨迹及总运动能量图由上述图中可以看到，从坡体顶部落下的崩落体运动轨迹都经过坡体中部平台（长度约7m）向下运动，在平台上的弹跳最大高度不超过1.5m，运动至浆砌块石挡土堤处高度远远小于0.5m；落点在平台坡脚处总运动能量最大（约700KJ），运动过程中被平台上填土逐渐吸收，至浆砌块石挡土堤处能量远远小于50KJ。
故本次设计浆砌块石挡土堤距离坡脚平均距离约7.0～7.5m，墙高约1.5m，墙后填土厚度约1.0m，墙体上余0.5m高度用于拦截崩落的土体。
根据珠海区域地质灾害的发育规律及发生机制，本市地质灾害一般发生在下雨过程中或之后的若干小时，并且以浅表层崩滑为主，方量一般不大。
落石撞击能量计算一、不同边坡落石速度及坠落点的计算根据前苏联尼·米·罗依尼会维里教授提出的落石运动速度的计算方法，用电脑可能计算出各种不同边坡形式的落石速度，进而计算出撞击能量及落石距边坡的距离。
为了便于分析，我们把边坡简化为以下四种形式进行分析。
1 边坡分类1.1 I--单一坡度边坡：包括山坡是台阶式的，但各个台阶的高度小于5m ，及山坡为折线，但其各段长度小于10m 或相邻坡度差在5°以内者。
1.2 II--缓折线形山坡：其中缓山坡的坡度角α＜30°，陡坡段坡度角α≤60°，坡段长超过10m ，相邻坡段的坡度角相差5°以上。
1.3 III--陡折线形山坡：上部坡段为极陡坡α＜60°，其高度超过10m ，下部坡段坡度较缓。
1.4 IV--，仅有一个台阶或没有。
2 落石运动速度计算2.1 I 型边坡计算公式：坠落石块沿单一山坡运动时的计算速度，可用任意形状物体滚动、滑动、跳跃运动的公式，即V=μ√2gH=ε√H（1-1）ε=μ√2g （1-2）式中H---石块坠落高度（m）；g---重力加速度（m/s2）；α---山坡坡度角（度）；K---石块沿山坡运动所受一切有关因素综合影响的阻力特性系数。
μ、ε值见表1。
2.2II型边坡计算公式：最高一个坡段坡脚的速度按公式（1-1）（1-2）计算，其余坡段终端的速度为：V j(i)= √V0(i)+2gH i(1-K i ctgαi) =√V0(i) 2+ εi2H i (1-3)式中V0(i)---石块运动所考虑坡段的起点的初速度，可按下列不同情况考虑，若α（i-1）＞αi时，则V0（i）=V j(i-1)cos(α（i-1）-αi)；若α（i-1）＜αi时，则V0（i）=V j(i-1)。
αi---所考虑坡段的坡度角（度）；α（i-1）---为相邻的前一坡段的坡度角（度）；V j(i-1)---石块在前一坡段终端的运动速度（m/s）；系数εi值可查表1，若αi＜30°，则系数K i值可用表2中公式1计算。
既有线路基边坡危岩落石的运动轨迹模拟及防护方案发表时间：2019-07-30T10:21:10.513Z 来源：《建筑细部》2018年第27期作者：丁泽镇[导读] 本文就既有线路基边坡危岩落石的运动轨迹模拟及防护方案展开探讨。
延边公路勘测设计有限责任公司吉林延吉 133002摘要：经济的发展，城镇化进程的加快，促进公路建设项目的增多。
对公路的保护工作也应该受到重视，公路路基边坡防护工作强度很大，受外部环境和施工人员的影响较大，在施工过程中会遇到各种各样的问题，根据具体的地质环境和地形做具体的分析，可能会出现路堤、或者半填半缺的现象。
在施工过程中必然会损坏原来的土地结构，破坏原来的平衡，随着时间的流逝，必然会出现徒弟的流失，所以对地基边坡的保护措施就显得尤为重要。
危岩落石是山区常见的一种不良地质现象，严重威胁着山区公路建设及行车安全。
本文就既有线路基边坡危岩落石的运动轨迹模拟及防护方案展开探讨。
关键词：路基工程；危岩落石；柔性防护网引言路基边坡危岩落石病害治理通常有以下二种方案可供选择：①采取刚性材料的坡面防护、支挡技术，如坡面喷锚和挡土墙等；②采取柔性防护技术，如斜坡稳定系统、落石拦阻系统和落石引导系统。
由于早期建设公路等级低，路基边坡大多未做防护措施。
边坡岩体风化严重以及维护便道无法满足大型施工机械、运输车辆通行。
位于山区且受施工场地地形限制，采取刚性材料的坡面防护、支挡技术，可靠性无法保证，且施工周期长，费用相对较高，对既有线的安全运营存在隐患。
因此，路基边坡危岩落石病害治理常采用柔性防护技术。
1公路路基边坡保护的必要性为了更好的保护公路的质量，对公路进行定期的维护也是必须的，其中加强路基边坡是保证公路稳定和高强度的关键因素。
路基的防护要因地制宜，在施工过程中要认真与设计图纸核对，严格按照图纸施工，保证施工的质量，以便以后维护时更加方便，除了路基边坡的防护，还要防护的部分是路肩表面、近旁河流，这些地方与路基是有密切联系的，路基的防护主要是一些特殊的土质进行，例如湿软地基，雨水较多的地区，造成土壤的严重流失，造成公路路基的损坏。
边坡落石运动轨迹计算新方法边坡落石是指悬崖或陡坡上个别岩块在自重或外力作用下突然脱离母体而急剧下落的现象。
落石是一种突发的地质灾害，虽然规模不如滑坡巨大，但落石发生往往很突然，同样会造成巨大损失。
落石运动是一种复杂的运动，影响边坡坡面的地质与性质、落石大小、形状等。
落石本身及地面条件是多样的，落石的运动形式也是多种多样，要实现对落石的运动轨迹精确计算有很大的困难。
现实中落石与边坡碰撞的受力情况有很大的不确定性。
落石运动可分为5种形式：自由落体、斜抛运动、碰撞、滑动和滚动等运动方式的一种或多种组合沿着坡面向下快速运动。
最后在较平缓的地带或有障碍物附近静止下来的一个动力学过程。
1.自由落体当岩块脱离母体，只在重力作用下自由坠落时，或者在只有一个初始角速度时，危石突然倾倒破坏后坠落，忽略空气阻力作用，角速度在坠落过程中保持不变，则落石的速度为v。
式中：1H为自1由落体高度，g为重力加速度。
2.斜抛运动阶段当落石在碰撞后法向恢复系数和切向恢复系数＞0时，落石将离地做斜抛运动，落石做斜抛运动的危害极大。
工程设计时常采用阻挡拦截结构物。
因此；需要确定落石做斜抛运动的弹跳最大高度和最大水平运动距离。
落石做斜抛运动时没有和地面接触，忽略空气阻力影响，可以根据能量守恒得到弹跳的最大高度为：23r 1t211h =v cos -v sin 2gθθ（） 式中3h 为弹跳最高点与坡面碰撞点的竖直距离。
最大水平运动距离为→2r 1v vt gL ⎡=⎢⎣ 式中1L 为起跳点与下一个碰撞点的水平距离。
3. 滑动阶段当落石与坡面碰撞都得法向速度为0时而切向速度不为0，且r d =0时，落石会沿坡面滑动，下滑速度为4vt 式中：f 为滑动摩擦系数；2l 为滑动的距离；3vt 为碰撞后的切向初速度；4vt 为滑动后的切向速度。
如果已知滑动后坡面的坡度不变且坡面较长时，可根据上式计算出落石滑动停止时所经过的切向距离。
4. 滚动阶段（椭圆落石）当落石与坡面碰撞后法向速度为0，而r d ﹤0，切向速度反向时，落石会向后滚动。
边坡计算方法一、边坡滑面的划块1、无论南帮或北帮，滑面多沿岩层层理面、裂隙面及断层、采空区等弱层面相关，尤其是与最终线同向断层尤为显著。
2、南帮多为断层面及弱层面相同。
3、北帮若无断层及弱层面的话，多数为岩层分界面及边帮整体及层部有关。
4、若无断层及弱面的话，单一岩体底面常用45。
-φ/2=①面，②、③多为‘+’或‘-’5。
（若①为30。
，则②面为30。
-5。
=25。
、③面为30。
+5。
=35。
）多适用于南帮。
二、Sarma法的滑面划法1、先确定底点A（可选坑底点或层面及断层面出露台阶点）2、由A点向坑边最终点连线（少量补些）-AC北点至坑帮最终帮坡线。
3、由AC线依照该点上岩层的内摩擦角φ划45。
-φ/2线AB，在AB线点取2等份点AE=EF（任意值，可取4cm~6cm）过E及F做AC的平行线向上划（可流上部少量线）。
4、在水位线处（水平线处）按上部岩层（冲积层除外）的内摩擦角φ。
作交叉的二角线OP、OQ，使∠OPQ=∠OQP=45。
+φ/2，并延长PO至W点，并在OW上取V点，使OV=VW过V、W两点划OQ的平行线与③的E、F点平行线相交于H、J，切记外线交外点H，即①交①’于H点。
5、连接HJ并延长AB线点于Q’点，再过Q点作PW线平行线交OQ及QO 延长线于G点，通常G点在OQ的延长线上，此图无比例，故取G’为G点。
6、过G’点作OQ线的垂线G’T，过A’作AB 的垂线A T，两线交于T点（此图无比例未取垂线，实践以实为上），7、过T点为圆心，TA或TG为半径（TA=TG，有时该点相差一点）划弧，即为滑面线。
8、若于断层（尤为同坡面）相进或相切时，该线与断层面相融合为一边式几条不同滑面。
以上地面滑的头在基岩中，若在冲积层中，则应冲积层裂缝角b——（裂点与坑边距离）及深度值。
三、在滑面确定后（有时有几条滑面，大的或局部的小滑面）即可用SARMA确定坡点，并填SARMA法稳定计算表划块原点①、反映出滑面拐点位置。
落石撞击能量计算一、不同边坡落石速度及坠落点的计算根据前苏联尼·米·罗依尼会维里教授提出的落石运动速度的计算方法，用电脑可能计算出各种不同边坡形式的落石速度，进而计算出撞击能量及落石距边坡的距离。
为了便于分析，我们把边坡简化为以下四种形式进行分析。
1 边坡分类1.1 I--单一坡度边坡：包括山坡是台阶式的，但各个台阶的高度小于5m ，及山坡为折线，但其各段长度小于10m 或相邻坡度差在5°以内者。
1.2 II--缓折线形山坡：其中缓山坡的坡度角α＜30°，陡坡段坡度角α≤60°，坡段长超过10m ，相邻坡段的坡度角相差5°以上。
1.3 III--陡折线形山坡：上部坡段为极陡坡α＜60°，其高度超过10m ，下部坡段坡度较缓。
1.4 IV--，仅有一个台阶或没有。
2 落石运动速度计算2.1 I 型边坡计算公式：坠落石块沿单一山坡运动时的计算速度，可用任意形状物体滚动、滑动、跳跃运动的公式，即V=μ√2gH=ε√H（1-1）μ=√1-Kctgαε=μ√2g （1-2）式中H---石块坠落高度（m）；g---重力加速度（m/s2）；α---山坡坡度角（度）；K---石块沿山坡运动所受一切有关因素综合影响的阻力特性系数。
μ、ε值见表1。
2.2II型边坡计算公式：最高一个坡段坡脚的速度按公式（1-1）（1-2）计算，其余坡段终端的速度为：V j(i)= √V0(i)+2gH i(1-K i ctgαi) =√V0(i) 2+ εi2H i (1-3)式中V0(i)---石块运动所考虑坡段的起点的初速度，可按下列不同情况考虑，若α（i-1）＞αi时，则V0（i）=V j(i-1)cos(α（i-1）-αi)；若α（i-1）＜αi时，则V0（i）=V j(i-1)。
αi---所考虑坡段的坡度角（度）；α（i-1）---为相邻的前一坡段的坡度角（度）；V j(i-1)---石块在前一坡段终端的运动速度（m/s）；系数εi值可查表1，若αi＜30°，则系数K i值可用表2中公式1计算。
边坡落石位移标准
边坡落石位移标准因具体情况而异，一般来说，边坡的位移标准取决于边坡的稳定性、地质条件、岩石类型、岩石质量、气候条件、降雨量等多种因素。
在大多数情况下，边坡位移的标准是根据国家或地区的标准和规范来确定的。
在中国，根据《建筑边坡工程技术规范》（GB50330-2013），建筑边坡应按照变形控制原则进行设计，并应综合考虑下列因素：
1.岩土体类型及力学性质；
2.边坡几何形态及物理力学性质；
3.地下水类型及水位；
4.坡顶荷载及外力作用；
类似工程的成功经验。
在制定边坡位移标准时，通常需要考虑以下几个因素：
1.安全性：位移标准应确保边坡的稳定性，避免发生坍塌、滑坡等安全事故。
2.经济性：位移标准应考虑工程成本和经济效益，过高的位移标准可能导致工程成本增加。
3.可操作性：位移标准应考虑实际施工的可操作性，避免过于复杂或难以实现的位移控制方法。
4.环境影响：位移标准还应考虑对周边环境的影响，避免因位移过大而对周边建筑物、道路等造成不利影响。
总之，制定边坡位移标准需要综合考虑多种因素，以确保工程的安全性、经济性和可操作性。
边坡落石运动轨迹计算新方法
边坡落石是指悬崖或陡坡上个别岩块在自重或外力作用下突然脱离母体而急剧下落的现象。
落石是一种突发的地质灾害，虽然规模不如滑坡巨大，但落石发生往往很突然，同样会造成巨大损失。
落石运动是一种复杂的运动，影响边坡坡面的地质与性质、落石大小、形状等。
落石本身及地面条件是多样的，落石的运动形式也是多种多样，要实现对落石的运动轨迹精确计算有很大的困难。
现实中落石与边坡碰撞的受力情况有很大的不确定性。
落石运动可分为5种形式：自由落体、斜抛运动、碰撞、滑动和滚动等运动方式的一种或多种组合沿着坡面向下快速运动。
最后在较平缓的地带或有障碍物附近静止下来的一个动力学过程。
1.自由落体
当岩块脱离母体，只在重力作用下自由坠落时，或者在只有一个初始角速度时，危石突然倾倒破坏后坠落，忽略空气阻力作用，角速
度在坠落过程中保持不变，则落石的速度为
v。
式中：1H为自
1
由落体高度，g为重力加速度。
2.斜抛运动阶段
当落石在碰撞后法向恢复系数和切向恢复系数＞0时，落石将离地做斜抛运动，落石做斜抛运动的危害极大。
工程设计时常采用阻挡拦截结构物。
因此；需要确定落石做斜抛运动的弹跳最大高度和最大水平运动距离。
落石做斜抛运动时没有和地面接触，忽略空气阻力影响，可以根
据能量守恒得到弹跳的最大高度为：
2
3r 1t211h =v cos -v sin 2g
θθ（） 式中3h 为弹跳最高点与坡面碰撞点的竖直距离。
最大水平运动距离为→2r 1v vt g
L ⎡=⎢
⎣ 式中1L 为起跳点与下一个碰撞点的水平距离。
3. 滑动阶段
当落石与坡面碰撞都得法向速度为0时而切向速度不为0，且r d =0
时，落石会沿坡面滑动，
下滑速度为4vt 式中：f 为滑动摩擦系数；2l 为滑动的距离；3vt 为碰撞后的切向初速度；4vt 为滑动后的切向速度。
如果已知滑动后坡面的坡度不变且坡面较长时，可根据上式计算出落石滑动停止时所经过的切向距离。
4. 滚动阶段（椭圆落石）
当落石与坡面碰撞后法向速度为0，而r d ﹤0，切向速度反向时，落石会向后滚动。
落石滚动与落石形状和落石的运动速度等有关 ⑴ 坠落
公式 201
v=v t+gt 2
②
公式①②V 为落石自由落体速度（-1m /s ）；0v 为落石初始滑动速度（-1m /s ）；g 为重力加速度9.8m/2s ；H 为铅直下落位移（m ） ⑵ 滑动 当危石在斜坡上，自重下滑分力大于摩擦力而发生沿斜坡面的滑动，在任意垂直位移H 时，落石速度为
③
③式中V 为落石滑动速度（-1m /s ）；0v 为落石初始滑动速度（-1m /s ）；g 为重力加速度9.8m/2s ；H 为垂直位移（m ）；f 为动摩擦系数，α为坡角。
⑶ 碰撞弹跳
落石碰撞弹跳时，做斜抛运动。
斜抛运动时将物体以一定的初速度和与水平方向成一定角度抛出在重力作用下，物体作匀变速曲线运动，它的运动轨迹是抛物线。
根据运动独立性原理，可以把抛物线运动看成是水平方向的匀速直线运动和竖直抛运动的合运动来处理图。
首先，根据碰撞理论计算碰撞能量损失后初始速度为： {
x2x1t y2y1n
v =v R v =v R } ④ ④式中，t R 为切向恢复系数；n R 为法向恢复系数。
落石碰撞弹跳法向恢复系数n R 和切向恢复系数t R 是落石运动轨迹的两个重要参数，经验表明边坡面出露的基岩越硬，碰撞就越趋向弹性碰撞，相应法向恢复系数n R 和切向恢复系数t R 就越大，经验告之，落石碰撞的法向恢复系数n R 在0.2-0.5之间，切向恢复系数t R 在0.4-0.9之间。
然后设β为落石开始弹跳时初速度方向与边坡坡面的夹角α为坡脚。
发生碰撞后的速度方程为：{
x 0y 0v =v cos +gt sin v =v sin -gt cos βαβα
} ⑸ ⑸式中0
v 为落石初始速度（-1m /s ）；x v 为任一时间沿x 方向的速度分量（-1m /s ）；y v 为任一时间沿
y 向的速度分量（-1m /s ）；β为初速度方向与斜坡坡
面的夹角，t 为碰撞发生开始至任一计算点的时间（s ）。
发生碰撞后的运动轨迹方程为：
{202
01
x=v t cos +gt sin 21y=v t sin -gt cos 2
βα
βα
} ⑥ ⑥式中x 为沿x 方向的位移分量，y 为沿y 方向的位移分量。
⑷ 滚动：当危石在斜坡面上，自重下滑分力大于摩擦力，并发生 斜坡面的滚动时。
（落石设为圆形刚体在坡面上有摩擦滚动）。
此时，
对于任意位置s
，落石速度为 ⑦
⑦式中v 为落石滚动速度（-1m /s ）；0v 为初始速度（-1m /s ）；
2=m /m+/)I R β（,β为与落石质量和形状有关的常数，其中I 为落石角转
动惯量：定义r r =d/R=tan μβ算为滚动摩擦系数，r β算为滚动摩擦角。
滚动摩擦系数r μ与落石大小、形状、速度及边坡、坡面地质及性质有关。
工程计算实例
1. 工程背景：该边坡坡向59°坡顶高程810m ，与地面高差70m ， 可分为工段上部陡峭岩壁和缓坡，其中公路高程728m 至742m 为缓坡，坡面25°，坡面略有起伏，局部坡面生长杂草和灌木，高程742m 至坡顶高程810m ，为陡峭岩壁，坡面陡直，危岩体和坡体岩性为莲花口厚层状一块状砾岩，坚硬。
公路离危岩体水平距离约35m ，严重威胁人员生命财产安全。
2. 落石计算 2.1运动状态分析
在坡型影响下，危岩体脱离母岩下落，整个落石运动过程简化2段：
坠落→碰撞弹跳。
首先发生坠落即自由落体运动，随后落石在缓坡面开始发生朝向公路的碰撞弹跳。
2.2参数选取→落石的初速度0v 为0-1m /s ；高度H 为70m ，重力加速度g 取9.8m/2s ，法向恢复系数Rn 取值0.3，切向恢复系数Rt 取值0.8. 2.3计算过程。
落石运动计算分析将落石理想化为半径为1m 的球体，从坡体最高处（H=70m ）发生崩塌落石。
计算结果见表。
根据公式①和②求得落石运动在坠落阶段历时约 3.7s ，碰撞缓坡面前的速度为37m/s ，根据公式④落石完成坠落后将完成第一次碰撞弹
跳，采用恢复系数得到沿x 、y 方向的速度分量为x1v =9.6-1m /s ，
y1v =10.5-1m /s 。
再由公式5、6求出第一次碰撞弹跳历时2s ，沿x 方向的总位
移为40m ，水平总位移39.2m 。
约1s 时落石弹跳高度为最大值5.6m ，此时沿x 方向的位移约7.7m ，水平位移为7.6m 。
在发生第二次碰撞弹跳前一瞬间，根据公式⑤速度计算结果为
1x1v =12.9-1m /s ，1y1v =8.7-1m /s 。
同理可得刚完成第二次碰撞弹跳后沿x 和y 方向的初速度分量分别为
x 2v =10.3-1m /s ，y2v =2.6-1m /s 。
根据公式⑥第二次碰撞弹跳历时0.5s ，沿x 方向新增总位移约5.4m ，
新增水平总位移5.3m 。
约0.3s 时落石弹跳高度最大值0.4m ，此时沿x 方向的新增位移为3m ，水平新增位移为3m 。
发生第三次碰撞弹跳时前，1x 2v =11.1-1m /s ，1y2v =-2.2-1m /s 。
第三次碰撞弹跳刚完成后的x 方向初速度为x3v =8.8-1m /s ，y 方向初速度y3v =0.6-1m /s 。
