立体体积和侧面积计算中的微元法

如何利用微元法计算旋转体的体积在考研数学中，定积分有着举足轻重的地位，其几何意义是曲边梯形面积的代数和，该思想方法为微元法，具体概括为以下四步：1分割、2近似、3求和、4取极限。

该思想方法同样适用于定积分的应用----平面图形的面积、旋转体的体积、平面曲线的弧长（数学一、二）、旋转曲面的侧面积（数学一、二）等。

由于篇幅有限，不可能一一列举每种题型计算方法，我们就其中一个应用----旋转体的体积相关考情进行分析。

该部分知识点是历年考研数学试卷的高频考点，多以解答题形式出现，比如，16、15、14、13等年份，对于个别年份，该部分考点也会以填空题的形式出现，比如，11、10年份。

有关计算旋转体体积的题目，大多需要考生自己列出相应积分式，因此务必熟记以下3个公式：（1）由连续曲线)(x f y =，直线a x =，b x =及x 轴所围曲边梯形绕x 轴旋转一周而成的立体。

该立体的体积公式为dx x f V ba ⎰=)(2π。

推广：若该曲边梯形绕0y y =旋转一周而成的立体的体积公式为dx y x f V b a ⎰-=20])([π。

（2）由连续曲线)(y x ϕ=，直线a y =，b y =及y 轴所围曲边梯形绕y 轴旋转一周而成的立体。

该立体的体积公式为dy y V ba ⎰=)(2ϕπ。

推广：若该曲边梯形绕0x x =轴旋转一周而成的立体的体积公式为dy x y V ba ⎰-=20])([ϕπ。

（3）由连续曲线)(x f y =，直线a x =，b x =及x 轴所围曲边梯形绕y 轴旋转一周而成的立体。

该立体的体积公式为dx x xf V ba ⎰=)(2π。

推广：若该曲边梯形绕0x x =轴旋转一周而成的立体的体积公式为dx x f x x V ba ⎰-=)(||20π。

注：（2）、（3）均为绕y 轴旋转体的计算方法，但是（2）适用于)(y x ϕ=的情况，即能够找到x 关于y 的解析式，（3）适用范围是找不到)(y x ϕ=的关系式，那么我们可以根据)(x f y =来列相应的体积公式。

球体被平面截下的体积-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述球体被平面截下的体积是一个有趣而又实用的几何问题。

我们常常可以在生活中看到球体被平面截下的例子，比如切割水果或者切开一个球形蛋糕等等。

研究球体被平面截下的体积不仅涉及到基本的几何知识，还涉及到数学、物理等多个学科的知识。

这个问题既有理论上的求解方法，也有实际应用上的价值。

在本文中，我们将介绍球体的基本性质，探讨平面截下球体的体积计算方法，并探讨这个问题在实际应用中的意义。

首先，我们将回顾一些基本的几何概念和公式，以便更好地理解后续的内容。

然后，我们将详细介绍球体被平面截下的体积的计算方法，包括几何推导和解析几何方法。

最后，我们将探讨这个几何问题在现实生活中的应用，比如在建筑设计、工程计算以及科学研究中的应用。

本文的目的是帮助读者全面理解球体被平面截下的体积这个复杂的几何问题，并能够运用所学知识解决实际的问题。

通过学习本文，读者将能够掌握求解球体被平面截下的体积的计算方法，了解这个问题在实际应用中的意义，以及对未来研究的展望。

在下面的章节中，我们将一步步地介绍球体被平面截下的体积的计算方法，并提供实际应用中的例子来帮助读者更好地理解和应用所学知识。

希望本文能对读者在几何学和应用数学的学习中起到积极的促进作用。

1.2文章结构文章结构部分的内容如下：1.2 文章结构本文主要分为三个部分：引言、正文和结论。

在引言中，将对本文的研究主题进行概述，介绍球体被平面截下的体积的基本背景和相关问题。

同时，还将介绍本文的目的，即通过研究球体被平面截下的体积计算方法，探讨其实际应用与意义。

在正文部分，首先会介绍球体的基本性质，包括球体的定义、特点以及基本公式。

然后，将详细说明平面截下球体的体积计算方法，包括具体的数学推导和计算过程。

此外，还会探讨不同情况下的特殊情况和计算方法，提供更全面的研究结果。

最后，在结论部分，将对本文的研究进行总结，回顾讨论的主要内容和研究成果。

微元法1. 引言微元法是一种数学和物理学中常用的计算方法，用于求解曲线、曲面以及体积、质量、密度等相关问题。

它基于将一个复杂的形状或区域分割为无数个微小的元素，再对每个微元进行分析和计算的原理。

通过将微元的贡献累加起来，最终可以得到整体的属性或解答。

本文将介绍微元法的基本原理、应用领域以及常见的数学公式和计算方法。

2. 基本原理微元法基于微积分的概念，将一个复杂的形状或区域分割为许多无穷小的微元。

这些微元可以是线段、面积元或体积元，具体取决于问题的性质。

每个微元都具有一定的属性，如长度、面积或体积。

通过将微元的贡献进行累加，可以得到整体的属性或解答。

这是因为微元法假设微元足够小，可以近似地视为一条直线、一个平面或一个体积。

在微元法中，常用的方法包括求和、积分、微分等。

3. 应用领域微元法在各个领域中都有广泛的应用。

以下是几个常见的应用领域：3.1 物理学在物理学中，微元法常用于求解各种物理量。

例如，在力学中，可以使用微元法计算质点的质量、速度、加速度等。

在电磁学中，微元法可以用于计算电场、磁场的强度以及电势和磁势。

3.2 工程学微元法在工程学中也有广泛的应用。

例如，在结构力学中，可以使用微元法计算杆件或板件的应力、应变以及变形。

在流体力学中，微元法可以用于计算流体的速度、压力以及流量等。

3.3 经济学在经济学中，微元法被用于计算经济指标以及分析经济现象。

例如，在微观经济学中，微元法可以用于计算市场的需求曲线、供应曲线以及均衡价格和数量。

在宏观经济学中，微元法可以用于计算国民经济的总产出、总投资以及总消费等。

4. 常见公式和计算方法在微元法中，有一些常见的公式和计算方法可以用于求解问题。

下面是几个例子：4.1 长度的微元在计算曲线的长度时，可以使用以下公式：∆s = √(∆x^2 + ∆y^2 + ∆z^2)其中，∆s 表示曲线的微小长度，∆x、∆y 和∆z 分别表示曲线在 x、y 和 z 方向上的微小切线。

微元法求体积
微元法：任取x,x+dx小段，绕y轴旋转，得一个空心圆柱体，沿平行于y轴剪开，得一个长方体：厚为dx,宽为f(x),长2πx(圆的周长），故dV=2πxf(x)dx。

旋转而得的立体是一个中间圆台形镂空、以x＝2为旋转轴的立体，所谓在[0,1]上取小区间[x,x+dx]，实际上是在x处取了一个厚为dx、环绕直线x＝2的圆环，该圆环的周长是2π(2-x)，高是上半圆周对应的函数减去直线对应的函数，厚度是dx，周长×高×厚度就是微元dV
最常见的换“元”技巧有如下几种
（1）“时间元”与“空间元”间的相互代换（表现时、空关系的运动问题中最为常见）；
（2）“体元”、“面元”与“线元”间的相互代换（实质上是降“维”）；（3）“线元”与“角元”间的相互代换（“元”的表现形式的转换）；（4）“孤立元”与“组合元”间的相互代换（充分利用“对称”特征）。

推导过程立体几何体积的计算方法在立体几何中，求解各种形状物体的体积是一个基本的数学问题。

本文将介绍一些常见几何体的体积计算方法，包括球体、圆柱体和长方体。

1. 球体体积的计算方法球体是一种具有无限个半径相等的点所组成的几何体，其体积的计算方法如下：首先，我们知道球体的体积公式为V = (4/3) * π * r^3，其中V表示体积，r表示球的半径。

2. 圆柱体体积的计算方法圆柱体是由两个平行且相等的圆底面和一个连接两个底面圆心的圆柱面组成的几何体，其体积的计算方法如下：首先，我们需要计算出圆柱底面的面积，即A = π * r^2，其中A表示底面面积，r表示底面圆的半径。

然后，我们需要计算出圆柱体的高度h。

最后，圆柱体的体积V = A * h，即V = π * r^2 * h。

3. 长方体体积的计算方法长方体是一种具有三对互相平行的矩形面的几何体，其体积的计算方法如下：首先，我们需要计算出长方体的三个相邻面的面积，分别是底面积A，侧面积B和前后面积C。

然后，将这三个面积相加，即可得到长方体的体积V = A + B + C。

通过以上的推导过程，我们获得了计算球体、圆柱体和长方体体积的公式。

但是，在实际的问题中，可能会遇到其他更复杂的几何体，这时我们需要根据具体情况，寻找相应的公式来计算体积。

总结：本文介绍了求解球体、圆柱体和长方体体积的计算方法，通过推导过程，我们得到了相应的公式。

这些公式在解决几何体体积问题时非常有用。

然而，稍微复杂一些的几何体可能需要更复杂的计算方法，需要根据具体情况寻找相应的公式。

最后，通过运用这些公式，我们可以准确地计算出各种形状物体的体积。

立体几何的计算总结立体几何是数学的一个重要分支，涉及到三维空间中的图形、体积、表面积等计算问题。

在学习立体几何的过程中，我们需要掌握一些计算方法和公式，以便解决各种几何问题。

本文将对立体几何的常见计算方法进行总结和归纳。

一、长方体的计算长方体是最简单的立体图形之一，其计算公式如下：1. 长方体的体积计算公式：长方体的体积（V）等于长（L）乘以宽（W）乘以高（H），即V = L * W * H。

其中，长、宽、高的单位需保持一致。

2. 长方体的表面积计算公式：长方体的表面积（A）等于长方体的底面积（A底）加上长方体的四个侧面积（A侧）。

A = A底 + A侧，其中 A底 = L * W，A侧 = 2 * (L * H + W * H)。

二、正方体和立方体的计算正方体和立方体是特殊的长方体，其计算公式如下：1. 正方体和立方体的体积计算公式：正方体和立方体的体积（V）等于边长（a）的立方，即V = a^3。

2. 正方体和立方体的表面积计算公式：正方体和立方体的表面积（A）等于正方体或立方体的一个面积（A面）乘以6个，即 A = A面 * 6。

A面 = a * a，其中 a为边长。

三、圆柱体的计算圆柱体是由一个矩形和两个平行圆面组成的立体图形，其计算公式如下：1. 圆柱体的体积计算公式：圆柱体的体积（V）等于底面积（A底）乘以高（H），即 V = A 底 * H。

A底= πr^2，其中 r为底面圆的半径。

2. 圆柱体的表面积计算公式：圆柱体的表面积（A）等于底面积（A底）加上两个底面和侧面的面积和（A侧）。

A = A底+ 2πrh，其中 A底= πr^2，A侧= 2πrh，r为底面圆的半径，h为圆柱体的高。

四、圆锥体的计算圆锥体是由一个圆锥面和一个底面组成的立体图形，其计算公式如下：1. 圆锥体的体积计算公式：圆锥体的体积（V）等于底面积（A底）乘以高（H）再除以3，即 V = (A底 * H) / 3。

立体图形体积的计算方法
立体图形体积的计算方法
三维图形的体积是指图形中实际存在的立体空间，计算三维体积有多种方法，其中主要有以下几种：
一种是采用体积公式法，即利用三维图形的体积公式来求解，通常比较复杂的图形对应的体积公式将会更复杂，因此需要计算时需要谨慎考虑；
另一种是采用积分法，即利用积分定理来求解，其原理是将原有的三维图形分解成多个梯形的集合，然后再求出每一个梯形的面积乘上高度之和，从而得出最终的结果；
最后还有一种是采用分块法，即将三维图形分成数个小体积块，通过求出每一块体积之后相加，计算出最终的体积。

总之，计算三维图形体积是一门有趣又有挑战性的数学领域，我们可以根据自己的能力选择不同的方法来求解，只要我们善于专注、认真计算，就一定能得出满意的结果。

第29卷 第5期 高 师 理 科 学 刊 Vol. 29 No.5 2009年 9 月 Journal of Science of Teachers′College and University Sep. 2009文章编号：1007-9831（2009）05-0020-02利用扁圆台求旋转体的体积元素与侧面积元素田巍（齐齐哈尔大学 理学院，黑龙江 齐齐哈尔 161006）摘要：利用扁圆台求旋转体的体积元素与侧面积元素，并且得出利用扁圆柱体求侧面积元素产生错误的原因．关键词：旋转体；体积元素；面积元素；圆台中图分类号：O172.2 文献标识码：A1 引言及预备知识在微积分学中，可以用元素法计算旋转体的体积及其侧面积[1-5]．应用元素法计算旋转体的体积时，为确定体积元素，将“分割”后的小旋转体用扁圆柱体“近似代替”，而计算同一旋转体的侧面积时，则将“分割”后的小旋转体用扁圆台“近似代替”．同是一个旋转体，我们注意到，计算旋转体体积时用扁圆柱体代替小旋转体则体积元素的表达式正确，而计算旋转体侧面积时用扁圆柱体代替小旋转体，导致面积元素的表达式是错误的．本文利用扁圆台求旋转体的体积元素与侧面积元素，使旋转体的体积元素与侧面积元素在选取时将“近似代替”统一起来，并给出利用扁圆柱体求侧面积元素产生错误的原因．在文献[1-5]中，元素法如下：一般地，如果某一实际问题中所求量U 符合下列条件：（1）U 是与一个变量x 的变化区间] ,[b a 有关的量；（2）U 对于区间] ,[b a 具有可加性，就是说，如果把区间] ,[b a 分成许多部分区间，则U 相应地分成许多部分量，而U 等于所有部分量之和；（3）部分量i U Δ的近似值可表示为i i x f Δ)(ξ，那么就可以考虑用定积分来表达这个量U ．通常写出这个量U 的积分表达式的步骤是：（1）根据问题的具体情况，选取一个变量如x 为积分变量，并确定它的变化区间] ,[b a ；（2）设想把区间] ,[b a 分成n 个小区间，取其中任一小区间并记作]d ,[x x x +，求出相应于这个小区间的部分量U Δ的近似值．如果U Δ能近似地表示为] ,[b a 上的一个连续函数在x 处的值)(x f 与x d 的乘积，且U Δ与x x f d )(相差一个比x d 高阶的无穷小，就把x x f d )(称为量U 的元素且记作U d ，即x x f U d )(d =；（3）以所求量U 的元素x x f d )(为被积表达式，在区间] ,[b a 上做定积分，得∫=ba x x f U d )(，这就是所求量U 的积分表达式．这个方法通常叫做元素法．2 主要结果2.1 利用扁圆台求旋转体体积元素v d以连续曲线0)(≥=x f y 、直线a x =，b x =及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成的立体为例，我们寻求这种旋转体的体积元素v d ．如图1所示，取横坐标x 为积分变量，它的变化区间为] ,[b a ，相应于] ,[b a 上的任一小区间] ,[x x x Δ+的窄曲边梯形绕x 轴旋转而成的薄片收稿日期：2009-03-12基金项目：黑龙江省教育厅科学技术研究项目（11531426）作者简介：田巍（1971-），女，黑龙江齐齐哈尔人，副教授，硕士，从事微分方程研究．E-mail：qqhrmy@第5期 田巍：利用扁圆台求旋转体的体积元素与侧面积元素 21 的体积近似于以)(x f 为上底半径，)(x x f Δ+为下底半径，x Δ为高的扁圆台的体积，从而体积的改变量为x x x f x x f x f x f v ΔΔ++Δ++=Δ))()()()((π3122，选取体积元素x x f x f x f x f v )d )()()()(π(31d 22+⋅+=，即体积元素x x f v d ))(π(d 2=，因为()0)(2)()()(lim 3πd d lim 2200=−Δ++Δ+=−Δ→Δ→Δx f x x f x x f x f x v v x x ，即)d (d x v v ο=−Δ，所以，由元素法可知，利用扁圆台求得的旋转体体积元素是正确的．此时得到的旋转体体积体积公式与用圆柱体“近似代替” 小旋转体得到的旋转体体积公式相同．2.2 利用扁圆台求旋转体侧面积元素S d图1中，设0)(≥=x f y 是] ,[b a 上一条光滑曲线．相应于] ,[b a 上的任一小区间] ,[x x x Δ+对应的曲线为弧PQ ，其中：点))( ,(x f x P =；点))( ,(x x f x x Q Δ+Δ+=．窄曲边梯形绕x 轴旋转而成的小旋转体的侧面积近似等于以)(x f 为上底半径，)(x x f Δ+为下底半径，x Δ为高，母线为直线2))((1x f PQ ′+=的扁圆台的侧面积，从而小旋转体侧面积的改变量为 x x f x x f x f S Δ′+Δ++=Δ2))((1))()((π，选取旋转体侧面积元素x x f x f S d ))((1)(π2d 2′+=，因为0))()((lim ))((1πd lim 020=−Δ+′+=Δ−Δ→Δ→Δx f x x f x f xS S x x ，即)(d x S S Δ=−Δο，所以，由元素法的思想可知，利用扁圆台求得的旋转体侧面积元素是正确的．如果用扁圆柱体代替小旋转体，可以类似证明，相应的S S d ,Δ不满足)(d x S S Δ=−Δο，导致面积元素的表达式错误．3 结束语由结果的分析可知，在求同一个旋转体的体积元素和侧面积元素时，如果利用扁圆台，完全可以将“近似代替”统一起来，即：无论求旋转体体积或是求旋转体侧面积，都将分割后的小旋转体近似看作扁圆台，这样，同样一种“分割”方法，对“分割”后的小旋转体同样一种“近似代替”，使得在利用元素法求旋转体的体积和侧面积时的方式不再产生差异．而利用扁圆柱体计算旋转体的体积元素和旋转体侧面积元素时，导致体积元素的表达式正确而面积元素的表达式错误的原因是：用扁圆柱体替代小旋转体时的体积元素v d 是v Δ的线性主部，而用圆柱体替代小旋转体时的旋转体侧面积元素S d 并非是S Δ的线性主部．参考文献：[1] 四川大学数学系高等数学教研室．高等数学[M]．北京：高等教育出版社，1995：340-348．[2] 田巍．应用微元法求旋转体体积的一般公式[J]．克山师范专科学校学报，2003（3）：28-29．[3] Wilfred K ．Advanced Calculus[M]．New York ：Addison-Wesley Punlishing Company ，1984：217-247．[4] Michael S P ．Calculus[M]．New York ：W.A.Benjamin Inc.，1967：214-216.[5] 同济大学应用数学系．高等数学[M]．北京：高等教育出版社，2002：273-275.Searching the differential of volume for body of rotation and the area forsurface of revolution by using the frustum of coneTIAN Wei（School of Science ，Qiqihar University ，Qiqihar 161006，China ）Abstract ：Researched the differential of volume for body of rotation and the differential of area for surface of revolution by using the frustum of a cone ，and pointed out the faith reason by using the cylinder to do the same thing. Key words ：rotation ；differential of volume ；differential of area ；frustum of a cone。