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4.2量子力学02

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所以散射光的频率要比入射光的频率小， 及散射光波长总比入射光波长长。
2) 如果光子与被原子束缚的很紧的电子发生碰撞， 光子就相当于与整个原子相碰撞， 由于原子的质量要比光子的质量大的多， 按照碰撞理论，光子不会显著失去能量， 因而散射光的频率也不会显著地改变， 所以散射线中也有与入射线相同的射线。
康普顿想到了爱因斯坦光子理论
康普顿以爱因斯坦的光子学说作为出发点， 把光的散射看成是光子与原子中的电子的弹性碰撞。 在碰撞过程中，遵循能量守恒和动量守恒， 同时考虑到相对论效应
1.
定性解释
1) 一个光子与散射物质中的一个自由电子 或束缚较弱的电子发生碰撞后光子将向某一方向 散射，这一方向就是康普顿散射的方向， 当碰撞时，光子有一部分能量传给电子， 被散射的光子的能量就比入射光子能量少， 因为光子的能量与频率之间有一定关系 ε ＝hν
3.
光电效应和康普顿效应的区别和联系
联系： 物理本质是相同的。 都是光子与个别电子之间的相互作用 区别： • 入射光的波长不同
光电效应：可见光、紫外线，波长长 康普顿效应： x 射线、γ 射线，波长短
用可见光入射时，也可以产生康普顿效应， 但波长的相对改变太小，实验中不易观察到
例如： 紫光 波长改变
400nm
散射角
0.0046nm
时 5 10
例如： 紫光 波长改变
400nm
散射角
0.0046nm

x 射线 0.05nm
相对波长改变
时 5 10

0.1
同样在康普顿效应中也会产生光电子 一般说来，当光子能量与电子束缚能同数量级时， 主要表现为光电效应， 当光子的能量远大于电子的束缚能时， 主要表现为康普顿效应
2) 实验结果 散射线中有与入射线波长相同的射线，
λ= λ0 正常散射
散射线中有大于入射线波的射线，
λ＞ λ0 反常散射
把这种散射线波长改变的散射称作康普顿效应
x 射线源
准直系统

0
散射光 石墨
x 射线谱仪
3) 实验规律
0 2 K sin
2
散射光波长的改变量 Δ λ=λ－λ0 与 原入射波波长 λ0 和散射物质无关，
§3
康普顿效应
一.康普顿效应 二.光子理论的解释
§3
康普顿效应
爱因斯坦光子理论对光电效应作了成功解释， 并为实验所证实， 在随后得康普顿效应的研究中， 爱因斯坦光子理论的正确性得到了更进一步的证实。
一.康普顿效应 1. 光的散射 在几何光学中知道， 光通过不均匀媒质要发生散射现象， 散射光的波长等于入射光的波长。 散 射 入 射
当电磁波通过物质时， 将引起物质内带电粒子作受迫振动， 每个振动着的带电粒子将向四周辐射电磁波， 形成散射光。从波动观点来看， 带电粒子作受迫振动的频率等于入射光的频率， 所发射的光的频率应等于入射光的频率。 光的波动理论能够解释正常散射， 而不能解释康普顿散射
按照经典电磁理论，光的散射解释为：
二.光子理论的解释 当时正值爱因斯坦光子理论得到人们的公认，
3) 轻原子的电子一般束缚较弱， 重原子中的电子只有外层电子束缚的较弱， 内部电子是是束缚的很紧的， 所以原子量小的物质，康普顿散射较强， 而原子量大的物质，康普顿散射较弱。
2.
定量分析 假设一个光子与一个自由电子发生碰撞 下面推导光子被电子散射后波长的改变 假设电子e 原来静止， 频率为ν0 的光子沿x方向入射， 与电子碰撞， 碰后光子以散射角φ 散射， 电子将向某一方向反冲。
x 射线是波长很短的电磁波，0.01nm ～10 nm
象可见光一样 x 射线经过物体时也会产生散射现象
在1922—1923 年，康普顿研究了x 射线 经金属、石墨等物质散射后的光谱成分。
2.
x 射线散射实验及结果
1) 实验装置
x 射线源
准直系统 散射光
0
石墨Байду номын сангаас

x 射线谱仪
φ 是散射光线与原入射光线的夹角，称作散射角
2
而与散射方向有关。与散射角φ 的关系为
K为常数，称为康普顿波长，它表示 φ＝90° 时， 波长的改变量， K=2.41×10－12m
x 射线源
准直系统

0
散射光 石墨
x 射线谱仪
0 2 K sin
2

2

原子量小的物质,康普顿效应明显，反之弱。
2.
x 射线散射实验结果与经典电磁理论的矛盾
P0

P

x
反冲电子
碰前光子能量、动量
0 h 0
h 0 P0 c
碰后光子能量、动量 h h P c
h 2h 2 0 (1 cos ) sin me 0 c me 0 c 2
意义： 康普顿利用爱因斯坦光子理论成功地解释了 康普顿效应，证实爱因斯坦光子理论的正确性 证实能量守恒和动量守恒， 在微观粒子相互作用的过程中同样严格遵守。 光电效应和康普顿效应都是 光子和电子的相互作用， 它们有什么区别和联系呢？
• 光子和电子相互作用的微观机制不同。 光电效应：满足能量守恒 康普顿效应：满足能量守恒；动量守恒。 光子的粒子性表现的更充分

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量子力学第二章总结

量子力学第二章总结

第二章1.波函数/平面波：（1）频率和波长都不随时间变化的波叫平面波。

（2）如果，粒子受到随时间或位置变化的力场作用，他的动量和能量不再是常量，这时的粒子就不能用平面波来描写。

在一般情况下，我们用一个复函数表示描写粒子的波，并称这个函数为波函数2.自由粒子/粒子的状态：不被位势束缚的粒子叫做自由粒子.3.波函数的几率解释/波恩解释： （1）粒子衍射试验中，如果入射电子流的强度很大，则照片上很快就会出现衍射图样；如果入射电子流强度很小，电子一个一个的从晶体表面上反射，开始它们看起来是毫无规则的散布着，随时间变化在照片上同样出现了衍射图样。

由此可见，实验所显示的电子的波动性是许多电子在同一实验的统计结果，或者是一个电子在许多次相同试验中的统计结果。

（2）波恩提出了统计解释，即：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和该点找到粒子的概率成比例，按照这种解释，描写粒子的波乃是概率波。

4.几率密度: 在t 时刻r 点，单位体积内找到粒子的几率是： ω(r,t) ={dW(r,t)/d τ}= C|Ψ(r,t)|25.平方可积： 由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况）， 所以在全空间找到粒子的几率应为一，即： C ∫∞|Ψ(r,t)|2d τ= 1 而得常数C 之值为： C = 1/∫∞|Ψ(r,t)|2d τ 若 ∫∞|Ψ(r , t)|2d τ→∞,则 C → 0, 这是没有意义的。

故要求描写粒子量子状态的波函数Ψ必须是绝对值平方可积的函数。

7.归一化： C ∫∞|Φ(x,y,z,t)|2d τ= 1 （波函数乘以一个常数以后，并不改变空间各点找到粒子的概率，不改变波函数的状态） C = 1/∫∞|Φ(x,y,z,t)|2d τ 现把上式所确定的C 开平方后乘以Φ，并以Ψ表示所得函数： Ψ(x,y,z,t)=C ½Φ(x,y,z,t) 在t 时刻 在（x,y,z ）点附近单位体积内找到粒子的概率密度是： ω( x,y,z,t) = C|Φ(x,y,z,t)|2故把（1）式改写成 ∫∞|Ψ(r , t)|2d τ=1 把Φ换成Ψ的步骤称为归一化。

量子力学第二章知识点

量子力学第二章知识点

量子力学第二章知识点基本概念波粒二象性量子力学中的粒子既可以表现出粒子性，也可以表现出波动性。

这种既是粒子又是波动的性质被称为波粒二象性。

波函数波函数是量子力学中描述粒子状态的数学函数。

波函数的模的平方表示在某一位置发现粒子的概率密度。

叠加原理量子力学中，两个波函数的线性叠加仍然是一个有效的波函数。

这个原理被称为叠加原理。

量子态所有可能的状态（波函数）构成了量子力学中的量子态。

一个量子态可以通过线性叠加得到另一个量子态。

算符和测量算符算符是描述量子系统性质变化的数学操作。

在量子力学中，算符通常用来描述物理量的测量和演化。

算符的本征值和本征态对于一个算符，它的本征值是测量该物理量时可能得到的值；而本征态是对应于这些本征值的一组特定的波函数。

观测量和平均值观测量是指用来测量物理量的实际实验装置，而平均值则是对同一量子态进行多次测量得到的结果的平均值。

不确定性原理不确定性原理是量子力学的基本原理之一，它描述了在某些物理量的测量中，有些对应物理量无法同时精确确定的限制。

氢原子壳层和轨道氢原子中，电子围绕原子核运动的轨道被称为壳层。

氢原子的壳层用主量子数 n 来标记。

能级和能量氢原子中电子的能量是量子化的，称为能级。

能级由主量子数 n 决定，能级越高，能量越大。

轨道角动量氢原子中，电子的轨道运动导致了其具有轨道角动量。

轨道角动量用量子数 l 来标记。

磁量子数氢原子中，轨道角动量的分量在某一方向上的投影用磁量子数 m 来标记。

自旋和电子态自旋自旋是粒子固有的一种角动量，与粒子的旋转运动无关。

电子具有自旋角动量。

自旋量子数自旋量子数用 s 来标记，对于电子，其自旋量子数为 1/2。

自旋态自旋态是描述粒子自旋状态的波函数。

对于电子，自旋态可以是自旋向上的态，记作|↑⟩，也可以是自旋向下的态，记作|↓⟩。

自旋磁量子数自旋磁量子数用 m_s 来标记，对于电子，其自旋磁量子数可以是 1/2 或 -1/2。

总结本文介绍了量子力学第二章的知识点，包括波粒二象性、波函数、叠加原理、量子态、算符和测量、算符的本征值和本征态、观测量和平均值、不确定性原理、氢原子的壳层和轨道、能级和能量、轨道角动量、磁量子数、自旋和电子态等内容。

量子力学——第二章作业参考答案

量子力学——第二章作业参考答案


+
⎛ ⎜ ⎝
∂ψ ∂t
*
Vψ
+
∂ψ ∂t
Vψ
*
⎞ ⎟
，
⎠
（2）
ψ 、ψ * 满足薛定谔方程
i
∂ψ ∂t
=
⎛ ⎜ ⎝
−
2
2m
∇2
+V
⎞⎟ψ ⎠
，
−i
∂ψ * ∂t
=
⎛ ⎜
−
⎝
2
∇2 2m
+V
⎞⎟ψ * ， ⎠
（3） （4）
用 ∂ψ * 乘以（3）式加上用 ∂ψ 乘以（4）式得
∂t
∂t
∂ψ ∂t
Vψ *
dt
s
通常 < 2V2 >≠ 0 ，也就是说在整个区域找到粒子的概率随时间发生变化，概率守恒破缺；
即使 < 2V2 >= 0 ，由（8）式知概率守恒也存在局域破缺除非V2 (r ) = 0
（b）证明如下： 由（a）得
d dt
∫∫∫ d 3rψ τ
*ψ
=
−∫∫ dsi s
j
+
∫∫∫ d 3rψ τ
*
2V2 ψ
第二章作业参考答案
(曾谨言著《量子力学教程》(第二版) 习题 1 P24-P26)
∫ 1.1 证明：（a）能量的平均值 < E >= d 3rψ *Hˆψ ，
哈密顿量 Hˆ = Pˆ 2 2m +V (r ) ，波函数ψ =ψ (r ,t ) ，（1）式变为
（1）
∫ < E >=
d 3r
⎛ ⎜ψ
*
Pˆ 2
+
∂ψ ∂t
第二章量子力学

第二章量子力学


原子的总角动量 总角动量量子数 J 原子的总角动量 PJ = J ( J + 1) h 总角动量z分量量子数 mJ = − J , − J + 1,L, J − 1, J 原子总角动量的z分量 PJz = mJ h 角动量及其z分量与量子数之间关系的一般规律性： ⎯⎯角动量与量子数的关系为
PJ = J ( J + 1) h
远远不够。如： 四个量子数的物理含义是什么？ 固体中电子态与孤立原子相比有何差别？ ——结合成键过程中电子态如何改变
各类材料的电导率σ与载流子
材料类 超导体 导体 107～105 半导体 105～10-5 绝缘体 10-9～10-18
σ (Ω-1m-1) ≥1015
载流子
电子对 自由电子 电子、空穴 电子和/或离子
量子力学基础
1. De Broglie假设——微观粒子的波动性
（1） De Broglie假设(1924)
自由粒子 (E 、 p )∼平 面 波 (ν 、λ ) ，其中：
E = hν = hω
p = hk
间的关系为：
h = 2 π h = 6.623 × 10 −34 Js 为普朗克常数，k为粒子的波矢，它与波长之
PS = 6h
PJ = 2 5h
PSz = −2h, − h, 0, h, 2h
PJ Z = −4h, − 3h,L, 3h, 4h
亚电子层未达或超过半满时： 轨道角动量与自旋角动量分别为反平行 和平行。
氢分子中的电子态与原子结合能 固体中原子结合能一般可用下面 公式表达：
a b U (r) = − m + n r r
三、孤立原子中电子的排布与角动量合成 例：基态Fe原子(Z=26)的核外电子排布及角动量 全满的亚电子层—如3p6：L＝S＝J＝0，各角动量都为0； 未满的亚电子层为3d6：电子的排布情况