成绩评定表学生姓名吴宪班级学号1109020117专业光信息科学与技术课程设计题目拉盖尔高斯光束经透镜传输光场计算评语组长签字：成绩日期20 13 年12 月 27 日学院理学院专业光信息科学与技术学生姓名吴宪班级学号1109020117课程设计题目拉盖尔高斯光束经透镜传输光场计算实践教学要求与任务:要求：1）角向节线0，径向节线2的拉盖尔高斯光束（共焦参数=12000倍波长）通过薄透镜；2）薄透镜（前置圆形光阑）焦距=1500倍波长，光腰在透镜处；3）光阑半径=120倍波长。
任务：1）计算该拉盖尔高斯光束经过薄透镜后时的轴上光强变化，分析焦点变化；2）计算该拉盖尔高斯光束经过薄透镜前时的径向光强变化，计算截断参数；3）计算该拉盖尔高斯光束经过薄透镜后的径向–轴向光强变化；4）撰写设计论文。
工作计划与进度安排:1. 第一周教师讲解题目内容、任务和论文要求，学生查阅资料，星期四提出设计方案；2. 第一周星期四到第二周星期三（包括星期六星期日）完成设计；3. 第二周星期四上交论文；4. 星期四教师审查论文，合格者星期五论文答辩。
指导教师：2013年月日专业负责人：2013年月日学院教学副院长：2013年月日目录摘要 (4)设计原理 (5)一．普通球面波的传播规律 (5)二．高斯光束的基本性质及特征参数 (6)三．柯林斯（Collins）公式 (7)四．基模高级光束的特征参数 (6)计算结果10一. 计算该拉盖尔高斯光束经过薄透镜前时的轴上光强变化，分析焦点变化 (10)二. 计算该拉盖尔高斯光束经过薄透镜前时的径向光强变化，计算截断参数 (11)三．计算该拉盖尔高斯光束经过薄透镜后的径向–轴向光强变化 (12)摘要使用Collins（柯林斯）公式推导了拉盖尔高阶高斯光束通过光阑透镜分离系统的光强分布。
利用mathcad软件计算高斯光束经透镜后的光强变化并给出函数图形说明，分析焦点移动情况。
高斯光束在其传输轴线附近可看作是一种非匀速球面波，其曲率中心随着传输过程而不断改变，但其振幅和强度在横截面内始终保持高斯分布特性，且其等相应面始终保持为球面。
关键词：拉盖尔高斯光束；柯林斯积分公式；基模高斯光束在自由空间的传输规律。
设计原理一．普通球面波的传播规律考察沿z 轴传播的普通球面波，其曲率中心为O （如图所示）。
该球面波的波前曲率半径R （z ）随传播而变化R 1=R （z 1）=z 1 R 2=R （z 2）=z 2R 2=R 1+(z 2-z 1）=R 1+L （1） 式（1）表示了普通球面波在自由空间的传播规律。
当旁轴球面波通过焦距为F 的薄透镜时，其波前曲率半径满足FR R 1-1112= （2） 这里，以R 1入射在透镜表面上的球面波面的曲率半径，以R 2表示经过透镜出射的球面波面的曲率半径。
式(2)描述了旁轴球面波通过薄透镜的变化规律。
旁轴光线通过光学系统的变换矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1122r θθr CD AB当光线在自由空间中行进距离为L ，起变化矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=011L CD AB L T 而焦距为F 的薄透镜对旁轴光线的变化矩阵为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1F 1-0 1CD AB T F 以此，球面波的传播规律可以统写为DCR BAR R ++=112通过上述讨论可以看出，具有固体曲率中心的普通旁轴球面波可以由其曲率半径R 来描述，它的传播规律按上式由旁轴光线矩阵T 确定。
二．高斯光束的基本性质及特征参数沿z 轴方向传播的基模高斯光束的表示其中，c 为常数，r 2=x 2+y 2，k =2π/λ，ω0为基模高斯光束的腰斑半径，f 称为高斯光束的共焦参数 振幅因子→光斑半径ω(z )基模高斯光束在横截面内的场振幅分布按高斯函数所描述的规律从中心向外平滑地降落。
由振幅降落到中心值的1/e 处的点所定义的光斑半径为ω(z ) 远场发散角θ0（定义在基模高斯光束强度的1/e 2点的远场发散角） far-field beam angle]})2([exp{])(exp[)(),,(22200fzarctg R r z k i z r z c z y x -+--=ωωψ20)(1)(fzz +=ωω)(])(1[)(2zff z f z f z z R R +=+==πλωλπωf f ==020,002)(2limπωλωθ==∞→z z z相位因子→等相位面的曲率半径R (z )因子kr 2/2R 表示与横向坐标（x ,y ）有关的相位移动，表明高斯光束的等相位面是以R 为半径的球面，其曲率半径随坐标而变化，且曲率中心也随z 不同而不同；当z =±f 时，|R (z )| =2f ；当z =0时， R (z )→∞； z →∞时， R (z )→∞ 。
曲率中心的位置= z -R (z ) ，说明球心在共焦腔腔外 曲率中心的位置=z+R(z)，说明球心在共焦腔腔内三．柯林斯（Collins ）公式对经典衍射理论最重要的有方法性意义的推广是柯林斯的工作，柯林斯证明，当衍射面与观察面间不是自由空间，而是变换矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡D C B A 表征的复杂光学系统时，如菲涅尔积分公式（公式2.1）不能直接应用，按柯林斯的方法，将衍射积分写为（为清楚起见，设121==n n ，对21n n ≠情况可以类推） IA ∆zf ()E ∆zf f ⋅()()2:=∆zf 0.6-0.58-, 0.6..:=（柯林斯积分公式2.2，其中IA 为光强）入射平面是矩形孔的柯林斯公式的代数计算方法，给出近似计算公式，为数值计算光衍射场作准备。
由于任意形状的衍射孔总可以由不同尺寸及不同数量的矩形孔的叠加足够准确地描述，只要研究入射平面上的透光孔是一个任意位置矩形孔的衍射问题，便能根据衍射积分的线性叠加性质综合出入射平面是任意形状透光孔时的柯林斯公式的计算方法。
因此，设光学系统的入射平面是一个边长分别为2L xi ，2L yi 的矩形孔，照明光源的复振幅为U 0 (X 。
，Y 0)，矩形孔的两边分别与坐标轴平行，中心在( X 0i ，Y oi )处。
E ∆z ()i λB ∆z ()⋅exp i -2⋅π⋅z ∆z ()⋅λ⎛ ⎝⎫⎪⎭⋅02π⋅0a2r0ω0⋅⎛ ⎝⎫⎪⎭l Lagu l p , 2r02⋅ω02, ⎛ ⎝⎫⎪⎪⎭⋅e 1-r02⋅ω02⋅cos l φ0⋅()⋅exp i -π⋅λB ∆z ()⋅A ∆z ()r ⋅(⋅⎡⎢⎣⎤⎥⎦⋅⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎠⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣⋅:=通过数值分析，并引入符号函数sgn()，得出以下计算式()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡=），（，22y x 2Ai exp i ik exp y x KC AL U()[]y x y x y x 0x 0x 00，），（），（U U U ++ （1） 式中，()()()[]()()()()()[]{}y -y isgn y -y 1i 2i 1i 2i ηηηηS S AB C C +⨯ （2） 当U 0代表未经变换的，直接来自激光设备的激光振幅分布时，光束分布的空间变化率不高，在光学系统的傍轴区，只使用(2)式简明研究光波通过矩形孔衍射时的光场分布，也能够得到很好的结果。
(2)式中，S(x)，C(x)是菲涅耳函数，可以近似为：S （x ）=（3）()[]⎪⎩⎪⎨⎧>+≤)1(),2(sin )1-(2-exp 121.0-121)1x 6855x .0xcos 22x x x x ππ，（ （4） 通过验证，(3)式、(4)式的计算结果与菲涅耳函数准确值的相对误差通常不到1％ ，使用这个结果显著提高了计算衍射问题的效率。
于是，入射平面透光孔是矩形孔的柯林斯公式可以转化为代数式计算。
根据上述公式，则可以通过下式计算光波经过矩形孔径光阑及ABCD 系统衍射后的强度分布：I(x,y)=U(x,y)U*(x,y) （5） 可见，对于一个复杂的衍射孔，只要将其分解为若干不同尺寸的矩形孔之和，便能够通过各矩形衍射孑L 衍射场复振幅的叠加获得其解。
当照射光为单位振幅均匀平面波，矩形孔的边长足够大时，利用上述结果，有下述直边衍射条纹的间距公式。
从几何投影边界算起，第／7,个衍射亮条纹到投影边界的距离为： ),2,1,0(,22/1212)(m a x ⋅⋅⋅=⨯+++=n BA n n n D λ （6）以零级衍射亮条纹为基准，相邻衍射亮条纹与零级衍射亮条纹的间隔为： ]2/112/1212[21)(--+++⨯=n n AB n S λ （7）不难看出，(7)式简明地描述了直边衍射条纹分布与ABCD 系统参数的关系，它是由柯林斯公式的代数运算方法得出，因此，可以利用(7)式来计算衍射条纹间隔并通过与实验结果的比较，以证明近似计算的可行性。
四．基模高级光束的特征参数用参数ω0（或f ）及束腰位置表征高斯光束 用参数ω(z )和R (z )表征高斯光束如果知道了某给定位置处的ω(z )和R (z )，可决定高斯光束腰斑的大小ω0和位置z高斯光束的q 参数引入一个新的参数q (z )，定义为)](exp[]})()(1[2exp{)(),,(2200fz arctg kz i z i z R r ik z c z y x ----=πωλωψ)()(1)(12z iz R z q πωλ-=计算结果1.计算该拉盖尔高斯光束经过薄透镜前时的轴上光强变化，分析焦点变化拉盖尔 - 高斯光束共焦参数Z 0通过光阑半径a-透镜f 分离系统的轴上光强分布和焦移L ，m 角向，p ，n 径向 等相位面曲率半径R ，截断参数α（公式3.1）p:=2 l:=0 λ:=1 a:=120 f=1.5⨯103 得：Z 0:=12000 419.56:00=⋅=πλωZ f s ⋅=1:55.1055.30=⋅ωfzz A ∆-=∆:)(（公式2.2）IA ∆zf ()E ∆zf f ⋅()()2:=∆zf 0.6-0.58-, 0.6..:=软件绘图结果为：（图 P3.1）焦点变化由图可知，在光强极大值处即为焦点处。
2.计算该拉盖尔高斯光束经过薄透镜前时的径向光强变化，计算截断参数该高斯光束经过薄透镜前的径向光强变化如图所示（图P3.2）计算截断参数：p:=2 l:=0 λ:=1 a:=120 f=1.5⨯103419.56:00=⋅=πλωZ 142.3:20=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ωαa 3.计算该拉盖尔高斯光束经过薄透镜后的径向 – 轴向光强变化200:)(z z z z R +=（公式3.3.1）=∆:),,(φr z E（公式3.3.2）（图P3.3.1）（图P3.3.2）总结经过这一个课程设计，让我在学习的过程拓宽了知识，扩展了柯林斯公式的概念，对激光的传播方式有了更深的理解，对高阶光束也有了更深一层的理解。
