2019届山东省高三最后一模理科数学试卷【含答案及解析】

2019年山东省济宁市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|y＝ln（x﹣1）}，则A∩B＝（）A．[1，3]B．（1，3]C．[2，3]D．[﹣1，+∞）2．（5分）若复数z＝，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（）A．z的虚部为﹣i B．|z|＝2C．z2为纯虚数D．z的共轭复数为﹣1﹣i3．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入a的值为﹣1，则输出的S的值是（）A．B．C．D．4．（5分）若变量x，y满足，则z＝2x+y的最大值是（）A．﹣B．1C．2D．5．（5分）函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1+x）＝f（1﹣x），若f（1）＝9，则f （2019）＝（）A．﹣9B．9C．﹣3D．06．（5分）已知直线m，n和平面α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）若sin x＝3sin（x﹣），则cos x cos（x+）＝（）A．B．C．D．8．（5分）如图为某市国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线图，小明同学根据折线图对这7天的认购量（单位：套）与成交量（单位：套）作出如下判断：①日成交量的中位数是16；②日成交量超过日平均成交量的有2天；③认购量与日期正相关；④10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅．则上述判断正确的个数为（）A．0B．1C．2D．39．（5分）《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的外接球的体积为（）A．B．πC．6πD．8π10．（5分）已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）的零点构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数g（x）的图象关于函数g （x），下列说法正确的是（）A．在[]上是增函数B．其图象关于直线x＝对称C．函数g（x）是偶函数D．在区间[]上的值域为[﹣，2]11．（5分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，实轴长为4，渐近线方程为y＝，|MF1|﹣|MF2|＝4，点N在圆x2+y2﹣4y＝0上，则|MN|+|MF1|的最小值为（）A．2B．5C．6D．712．（5分）已知当x∈（1，+∞）时，关于x的方程xlnx+（3﹣a）x+a＝0有唯一实数解，则a所在的区间是（）A．（3，4）B．（4，5）C．（5，6）D．（6，7）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）某学校从编号依次为01，02，…，90的90个学生中用系统抽样（等间距抽样）的方法抽取一个样本，已知样本中相邻的两个组的编号分别为14，23，则该样本中来自第四组的学生的编号为．14．（5分）（2x+y）（x﹣2y）5的展开式中，x2y4的系数为．（用数字作答）15．（5分）如图所示，在正方形OABC内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率为．16．（5分）在△ABC中，记＝﹣3，＝，若⊥，则sin A的最大值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．（12分）等差数列{a n}的公差为正数，a1＝1，其前n项和为S n；数列{b n}为等比数列，b1＝2，且b2S2＝12，b2+S3＝10．（Ⅰ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n＝b n+，求数列{c n}的前n项和T n．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，P A⊥底面ABCD，∠ABC＝60°，AB＝，AD＝2，AP＝3．（Ⅰ）求证：平面PCA⊥平面PCD；（Ⅱ）设E为侧棱PC上的一点，若直线BE与底面ABCD所成的角为45°，求二面角E ﹣AB﹣D的余弦值．19．（12分）某学校为了了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100人的体重数据，结果这100人的体重全部介于45公斤到75公斤之间，现将结果按如下方式分为6组：第一组[45，50），第二组[50，55），…第六组[70，75），得到如图（1）所示的频率分布直方图，并发现这100人中，其体重低于55公斤的有15人，这15人体重数据的茎叶图如图（2）所示，以样本的频率作为总体的概率．（Ⅰ）求频率分布直方图中a，b，c的值；（Ⅱ）从全校学生中随机抽取3名学生，记X为体重在[55，65）的人数，求X的概率分布列和数学期望；（Ⅲ）由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重ξ近似服从正态分布N（μ，σ2），其中μ＝60，σ2＝25．若P（μ﹣2σ≤ξ＜μ+2σ）＞0.9545，则认为该校学生的体重是正常的．试判断该校学生的体重是否正常？并说明理由20．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆C过点P（1，）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆C的右焦点为F，直线l与椭圆C相切于点A，与直线x＝3相交于点B，求证：∠AFB的大小为定值．21．（12分）已知函数f（x）＝x﹣alnx+a﹣1（a∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若x∈[e a，+∞）时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知点M的直角坐标为（1，0），直线l的参数方程为（t为参数）；以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2cosθ．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）直线l和曲线C交于A，B两点，求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x+b|（a＞0，b＞0）．（Ⅰ）当a＝b＝1时，解不等式f（x）＞x+2；（Ⅱ）若f（x）的值域为[2，+∞），求≥1．2019年山东省济宁市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}，B＝{x|y＝ln（x﹣1）}＝{x|x＞1}，∴A∩B＝{x|1＜x≤3}＝（1，3]．故选：B．2．【解答】解：∵z＝＝，∴z的虚部为﹣1，|z|＝，z2＝（1﹣i）2＝﹣2i为纯虚数，z的共轭复数为1+i．∴正确的选项为C．故选：C．3．【解答】解：模拟程序的运行，可得a＝﹣1，S＝0，k＝1满足条件k＜5，执行循环体，S＝﹣1，a＝1，k＝2满足条件k＜5，执行循环体，S＝﹣，a＝3，k＝3满足条件k＜5，执行循环体，S＝，a＝5，k＝4满足条件k＜5，执行循环体，S＝，a＝7，k＝5此时，不满足条件k＜5，退出循环，输出S的值为．故选：C．4．【解答】解：由变量x，y满足作出可行域如图，化z＝2x+y为2x+y﹣z＝0，由图可知，当直线y＝﹣2x+z与圆相切于A时，直线在y轴上的截距最大，z最大，此时．z＝．故选：D．5．【解答】解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），又由f（1+x）＝f（1﹣x），则f（﹣x）＝f（2+x），则有f（x+2）＝﹣f（x），变形可得f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，则f（2019）＝f（﹣1+505×4）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣9；故选：A．6．【解答】解：直线m，n和平面α，n⊂α，则“m∥n”与“m∥α”相互推不出．∴“m∥n”是“m∥α”的既不充分也不必要条件．故选：D．7．【解答】解：sin x＝3sin（x﹣）＝﹣3cos x，解得：tan x＝﹣3，所以：cos x cos（x+）＝﹣sin x cos x＝＝，故选：A．8．【解答】解：对于①日成交量的中位数是26，故①错误，对于②因为日平均成交量为＝，日成交量超过日平均成交量的只有10月7日1天，故②错误，对于③认购量与日期不是正相关，故③错误，对于④10月7日认购量的增幅为164套，10月7日成交量的增幅为128套，即10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅．故④正确，综合①②③④得：正确个数为1，故选：B．9．【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：下底面为等腰三角形腰长为，高为2的直三棱柱，故外接球的半径R，满足，解得：R＝，所以：V＝．故选：A．10．【解答】解：f（x）＝sinωx+cosωx＝2sin（ωx+），由函数f（x）的零点构成一个公差为的等差数列，则周期T＝π，即ω＝2，即f（x）＝2sin（2x+），把函数f（x）的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）＝2sin[2（x﹣）+]＝2sin2x，易得：y＝g（x）是在[，]为减函数，其图象关于直线x＝（k∈Z）对称的奇函数，故选项A，B，C错误，当x时，2x∈[，]，函数g（x）的值域为[﹣，2]，故选项D正确，故选：D．11．【解答】解：由题意可得2a＝4，即a＝2，渐近线方程为y＝±x，即有＝，即b＝1，可得双曲线方程为﹣y2＝1，焦点为F1（﹣，0），F2，（，0），由双曲线的定义可得|MF1|＝2a+|MF2|＝4+|MF2|，由圆x2+y2﹣4y＝0可得圆心C（0，2），半径r＝2，|MN|+|MF1|＝4+|MN|+|MF2|，连接CF2，交双曲线于M，圆于N，可得|MN|+|MF2|取得最小值，且为|CF2|＝＝3，则则|MN|+|MF1|的最小值为4+3﹣2＝5．故选：B．12．【解答】解：由xlnx+（3﹣a）x+a＝0，得，令f（x）＝（x＞1），则f′（x）＝．令g（x）＝x﹣lnx﹣4，则g′（x）＝1﹣＝＞0，∴g（x）在（1，+∞）上为增函数，∵g（5）＝1﹣ln5＜0，g（6）＝2﹣ln6＞0，∴存在唯一x0∈（5，6），使得g（x0）＝0，∴当x∈（1，x0）时，f′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0．则f（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．∴f（x）min＝f（x0）＝．∵x0﹣lnx0﹣4＝0，∴，则∈（5，6）．∴a所在的区间是（5，6）．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【解答】解：样本间隔为23﹣14＝9，则第四个编号为14+2×9＝14+18＝32，故答案为：3214．【解答】解：∵（2x+y）（x﹣2y）5＝（2x+y）（x5﹣10x4y+40x3y2﹣80x2y3+80xy4﹣32y5），∴x2y4的系数为2×80﹣80＝80，故答案为：80．15．【解答】解：正方形的面积为e2，由lnxdx＝（xlnx﹣x）|＝1，由lnydy＝1，故S阴影＝2，故此点取自黑色部分的概率为，故答案为：16．【解答】解：∵在△ABC中，记＝﹣3＝﹣﹣3＝﹣4，＝＝﹣，⊥，∴＝﹣5•+4＝0cos A＝＝＝≥＝，当且仅当时取到等号．又因为sin2A+cos2A＝1，所以sin A的最大值为．故答案为三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．【解答】解：（Ⅰ）等差数列{a n}的公差d为正数，a1＝1，数列{b n}为等比数列，设公比为q，b1＝2，且b2S2＝12，b2+S3＝10，可得2q（2+d）＝12，2q+3+3d＝10，解得q＝2，d＝1，则a n＝1+n﹣1＝n，b n＝2n；（Ⅱ）c n＝b n+＝2n+＝2n+2（），则前n项和T n＝（2+4+…+2n）+2（1﹣+﹣+…+）＝+2（1﹣）＝2n+1﹣．18．【解答】证明：（Ⅰ）在平行四边形ABCD中，∠ADC＝60°，CD＝，AD＝2，由余弦定理得AC2＝AD2+CD2﹣2AD•CD cos∠ADC＝12+3﹣2×＝9，∴AC2+CD2＝AD2，∴∠ACD＝90°，∴CD⊥AC，∵P A⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，∴P A⊥CD，又AC∩CD＝C，∴CD⊥平面PCA，又CD⊂平面PCD，∴平面PCA⊥平面PCD．解：（Ⅱ）E为侧棱PC上的一点，若直线BE与底面ABCD所成的角为45°，如图，以A为坐标原点，AB，AC，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（，0，0），C（0，3，0），D（﹣，3，0），P（0，0，3），设E（x，y，z），＝，（0≤λ≤1），则（x，y，z﹣3）＝λ（0，3，﹣3），∴E（0，3λ，3﹣3λ），∵平面ABCD的一个法向量＝（0，0，1），∴sin45°＝|cos＜＞|＝，解得λ＝，∴点E的坐标为（0，1，2），∴＝（0，1，2），＝（），设平面EAB的法向量＝（x，y，z），则，取z＝1，得＝（0，﹣2，1），设二面角E﹣AB﹣D的平面角为θ，则cosθ＝＝，∴二面角E﹣AB﹣D的余弦值为．19．【解答】解：（Ⅰ）由图（2）知，100名样本中体重低于50公斤的有2人，用样本的频率估计总体的频率，可得体重低于50公斤的概率为＝0.02；所以a＝＝0.004；在[50，55]上有13人，该组的频率为0.13，则b＝＝0.065，所以2c＝＝0.14，即c＝0.07；（Ⅱ）用样本的频率估计总体的频率，可知从全校学生中随机抽取1人，体重在[55，65）的概率为0.07×10＝0.7，随机抽取3人，相当于3次独立重复实验，随机变量X服从二项分布B（3，0.7），则P（X＝0）＝•0.70•0.33＝0.027，P（X＝1）＝•0.7•0.32＝0.189，P（X＝2）＝•0.72•0.3＝0.441，P（X＝3）＝•0.73•0.30＝0.343；所以X的概率分布列为：数学期望为E（X）＝3×0.7＝2.1；（Ⅲ）由题意知ξ服从正态分布N（60，25），其中σ＝5；则P（μ﹣2σ≤ξ＜μ+2σ）＝P（50≤ξ＜70）＝0.96＞0.9545，所以可以认为该校学生的体重是正常的．20．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，解得a2＝3，b2＝2，c2＝1，∴椭圆C的方程为+＝1．证明（Ⅱ）显然直线l的斜率存在，设l：y＝kx+m，联立，得（3k2+2）x2+6kmx+3m2﹣6＝0△＝36k2m2﹣12（3k2+2）（m2﹣2）＝0，得m2＝3k2+2，设A（x1，y1），则x1＝﹣＝﹣＝﹣，∴y1＝kx1+m＝﹣+m＝＝，∴A（﹣，），∵点B为（3，3k+m），右焦点F（1，0），∴＝（﹣﹣1，），＝（2，3k+m），∴•＝﹣﹣2++2＝0，∴∠AFB＝90°，即∠AFB的大小为定值．21．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）＝1﹣＝，①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，②当a＞0时，由f′（x）＝0，解得：x＝a，故f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）递增，当a＞0时，f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增；（Ⅱ）①当a＝0时，∵x≥1，∴f（x）＝x﹣1≥0恒成立，故a＝0符合题意，②当a＜0时，e a＜0，∵f（1）＝a＜0，故f（x）≥0不恒成立，舍，③当a＞0时，由（Ⅰ）知f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，下面先证明：e a＞a（a＞0），设p（a）＝e a﹣a，∵p′（a）＝e x﹣1＞0，∴p（a）在（0，+∞）递增，p（a）≥p（0）＝1＞0，故e a＞a，故f（x）在[e a，+∞）递增，故f（x）min＝f（e a）＝e a﹣a2+a﹣1，设q（a）＝e a﹣a2+a﹣1（a＞0），则q′（a）＝e a﹣2a+1，q″（a）＝e a﹣2，由q″（a）＞0，解得：a＞ln2，由q″（a）＜0，解得：0＜a＜ln2，故q′（a）在（0，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，故q′（a）≥q′（ln2）＝3﹣2ln2＞0，故q（a）在（0，+∞）递增，故q（a）＞q（0）＝0，故f（x）min＞0，故f（x）≥0恒成立，故a＞0符合题意，综上，a的范围是[0，+∞）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数）；转换为直角坐标方程为：x﹣y﹣1＝0，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2cosθ．转换为直角坐标方程为：y2＝2x．（Ⅱ）将直线l的参数方程为（t为参数）；代入y2＝2x，得到：（t1和t2为A、B对应的参数）所以：，t 1•t2＝﹣4，则：＝＝＝1．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（Ⅰ）当a＝b＝1时，f（x）＝|x﹣1|+|x+1|＞x+2，（i）当x＜﹣1时，不等式可化为：﹣2x＞x+2，即x＜﹣，故x＜﹣1，（ii）当﹣1≤x≤1时，不等式可化为：2＞x+2，即x＜0，故﹣1≤x＜0，（iii）当x＞1时，不等式可化为2x＞x+2，即x＞2，故x．2，综上，不等式的解集是{x|x＞2或x＜0}；（Ⅱ）证明f（x）＝|x﹣a|+|x+b|≥|a+b|，∵f（x）的值域是[2，+∞），故a+b＝2，故a+1+b+1＝4，故＝（+）＝（2++）当且仅当＝，即a＝b＝1时取“＝”，即≥1．。

2019年山东省高考理科数学模拟试题与答案(一)2019年山东省高考理科数学模拟试题与答案（一）考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数z满足(1+i)z=i，则在复平面内，复数z所对应的点位于：A。

第一象限。

B。

第二象限。

C。

第三象限。

D。

第四象限2.设集合A=N，B={x|0≤x<3}，则A∩B=A。

{0,1,2}。

B。

{1,2}。

C。

{0,1,2,3}。

D。

{0,1,2,3}3.若某多面体的三视图（单位：cm）如右图所示，则此多面体的体积是：A。

7 cm³。

B。

2 cm³。

C。

5 cm³。

D。

1 cm³4.设x,y满足约束条件{x≤4，y≤4，x+y≥4}，则z=2x+y的最大值为：A。

4.B。

8.C。

12.D。

165.《中国诗词大会》（第二季）亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，XXX 齐声朗诵，别有韵味。

若《将进酒》、《山居秋暝》、《望岳》、《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》与《望岳》相邻且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有：A。

144种。

B。

48种。

C。

36种。

D。

72种6.已知cos(π/4-α)=4/5，则sin2α=A。

-7/25.B。

-5/7.C。

1/5.D。

7/257.现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为：A。

/3π。

B。

6π。

C。

8π/3.D。

4π8.当0<x<1时，f(x)=ln(x/2)/2x，则下列大小关系正确的是：A。

f(1/3)<f(1/4)<f(1/5)。

一、选择题1．已知集合3{(,)|}A x y y x ==，{(,)|}B x y y x ==，则A B 的元素个数是（）A.0B. 1C. 2D. 3 答案： D 解答：【评析】本题考查集合的表示、交集的运算，考查幂函数的图像.凸显了直观想象考查.解答本题首先要能理解集合,A B 表示的是点集，表示的是两个幂函数的图像上所有点组成的集合，其次需要熟悉常见幂函数的图像，最后要理解集合A B 的元素个数就是这两个函数图像交点的个数.由幂函数3,y x y x ==的图像可以知道，它们有三个交点(1,1),(0,0),(1,1)--，所以集合A B有三个元素．2．已知在复平面内，复数12,z z 对应的点分别是12(2,1),(1,1)Z Z -，则复数12z z 对应的点在（） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限D.第四象限 答案： D 解答：【评析】本题考查复数的几何意义、复数运算，突显数学运算、直观想象的考查.解答本题首先 要理解复平面内点与复数的对应关系，其次要能熟练进行复数的四则运算.122i (2i)(1i)13i 1i 22z z ----===+，对应的点的坐标是13(,)22-，在第四象限． 3．已知{}n a 是等差数列，且12343,6a a a a +=-+=-，则{}n a 的前10项和等于（）A. 15-B. 25-C. 45-D. 60- 答案： C 解答：【评析】本题考查等差数列的判定、通项公式、前n 项和公式，考查方程思想.突显了数学建模的考查.解答本题首先要知道{}n a 是等差数列，则212{}nn a a 也是等差数列，建立等差数列模型，其次是要找好新等差数列的首项123a a +=-及公差3412'()()d a a a a ,最后需要理解到{}n a 的前10项和即为数列212{}nn a a 的前5项和.解答本题也可以首先根据条件列出两个关于1,a d的方程，从而求出1,a d,再利用前n 项和公式求解.101234910()()()3(12345)45S a a a a a a =++++++=-⨯++++=-．4.已知向量(1,0),(3,4)a b ==-的夹角为θ，则cos θ2等于（）A. 725-B.725 C. 2425-D.2425答案： A 解答：【评析】本题考查向量的坐标运算、二倍角公式，突显了数学抽象的考查.解答本题首先要根据 向量夹角公式和坐标运算公式求出cos ,再利用二倍角的余弦公式求解.33cos 155θ-==-⨯，所以27cos 22cos 125θθ=-=-． 5．已知00(,)A x y 是抛物线24y x =上的点，点F 的坐标为(1,0)，则“0[1,3]x ∈”是“||[3,4]AF ∈”的（）A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 答案： B 解答：【评析】本题考查抛物线的定义、标准方程、充要条件的判定，突显了逻辑推理的考查.解答本题首先要根据抛物线的标准方程和定义找到||AF 与0x的关系，从而发现||[3,4]AF 的等价条件，其次要正确理解条件与结论的关系，准确作出判断.||[3,4]AF ∈001[3,4][2,3]x x ⇔+∈⇔∈，因为[2,3][1,3]⊂≠，所以选B ．6．下图是相关变量,x y 的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程11y b x a =+，相关系数为1r ；方案二：剔除点(10,21)，根据剩下数据得到线性回归方程：22y b x a =+，相关系数为2r .则（）A.1201r r <<<B. 2101r r <<<C. 1210r r -<<<D. 2110r r -<<< 答案： D 解答：【评析】本题考查线性回归分析，重点考查散点图、相关系数，突显了数据分析、直观想象的考查.解答本题首先要能理解散点图，其次需要理解相关系数与正负相关的关系，最后还需要理解相关系数的意义：其绝对值越接近1，说明两个变量越具有线性相关性.负相关，所以12,0r r <，因为剔除点(10,21)后，剩下点数据更具有线性相关性，||r 更接近1，所以2110r r -<<<．7.设23342,log 15,log 20a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（） A.a b c << B. a c b << C. b c a << D. c b a << 答案： B 解答：【评析】本题考查对数运算，考查指数、对数函数的性质，考查不等式的性质，考查函数与方程思想，突显了数学运算、数学建模的考查.解答本题首先需要根据对数运算将,b c 化简，然后建立指数函数、对数函数模型，根据指数函数、对数函数的性质判断,,a b c 与2的大小关系，最后还需要根据换底公式、不等式性质等判断出,b c 的大小关系.122a <=，3log 92b >=，4log 162c >=，所以a 最小，341log 5,1log 5b c =+=+，因为11lg 5lg 50lg 3lg 4lg 3lg 4lg 3lg 4b c <<⇒>⇒>⇒>． 8.执行如图所示程序框图，输出的结果是（）A.5B. 6C. 7D. 8 答案： B 解答：【评析】本题考查程序框图、等比数列的判定、等比数列的前n项和公式，突显了数学运算、数学建模的考查.解答本题首先要根据程序框图正确得到等比数列模型，再根据等比数列前n 项和公式求解.该题易错点是B 是数列1{2}n 的前1n 项和，而不是数列{2}n 的前n 项和. 如图所示i n =时，B 是等比数列1{2}n -的前1n +项和，即21122221n n B +=++++=-，由1100210117n B n +≥⇒≥⇒+≥，所以输出的是6．9．过两点(4,0),(4,0)A B -分别作斜率不为0且与圆226290(0)x y x my m +--+=≠相切的直线,AC BC ，当m 变化时，交点C 的轨迹方程是（）A.221(3)97x y x -=> B. 221(4)169x y x -=>C. 212(0)y x x => D. 216(0)y x x => 答案： A 解答：【评析】本题考查圆的方程、双曲线的定义及其标准方程.突显了直观想象、逻辑推理的考查.解答本题首先要正确根据圆的方程找到圆心和半径，然后根据圆的切线性质发现动点C 满足的几何条件，从而判断出动点C 的轨迹，再根据双曲线的标准方程找出轨迹方程.圆方程为222(3)()x y m m -+-=与x 轴相切于点(3,0)M ，设,AC BC 与圆的切点分别为,N P ，则||||||||||||6AC BC AN BP AM BM -=-=-=，所以点C 的轨迹是以,A B 为焦点且实轴长为6的双曲线的右支，所以选A ．10.在解三角形的问题中，其中一个比较困难的问题是如何由三角形的三边,,a b c 直接求三角形的面积，据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的，他得到了海伦公式即()()()S p p a p b p c =---，其中1()2p a b c =++．我国南宋著名数学家秦九韶（约1202-1261）也在《数书九章》里面给出了一个等价解法，这个解法写成公式就是2221()4S c a =-∆，这个公式中的∆应该是（） A.2()2a cb ++ B.2a c b+- C. 2222c a b +-D.2a b c++ 答案： C 解答：【评析】本题考查余弦定理、三角形面积公式、同角三角函数关系式，弘扬中国古代数学文化，突显了数学抽象的考查.解答本题首先要注意观察、联想三角形面积公式1sin 2Sca B ,从而发现∆应该等于|cos |ca B ,再根据余弦定理得到答案.因为222cos 2c a b ac B +-=1sin 2ac B S ==．11．如图，1111ABCD A B C D -是棱长为4的正方体，P QRH -是棱长为4的正四面体，底面ABCD ,QRH 在同一个平面内，QH BC //，则正方体中过AD 且与平面PHQ 平行的截面面积是（）A.B.C.D. 答案： C 解答：【评析】本题考查正棱锥的平行关系、等角定理，考查空间想象能力，突显了直观想象的考查.解答本题首先要根据面面平行的性质定理确定截面的形状，再根据正四面体的性质、等角定理等确定点,E F 的具体位置、AE 的长度，从而求出截面面积.设截面与1111,A B D C 分别相交于点,E F 则//EF AD ，过点P 作平面QRH 的垂线，垂足为O，则O 是底面QRH 的中心.设OR HQ G =，则EAB PGO ∠=∠，又因为23RG RO OG ===，3PO ==，所以sin sin 3PO EAB PGO PG ∠=∠==，所以43EA EA =⇒=，所以四边形AEFD的面积4S =⨯=．12．已知函数e ,0,()2e (1),0xx m mx x f x x x -⎧++<⎪=⎨⎪-≥⎩（e 为自然对数的底），若方程()()0f x f x -+=有且仅有四个不同的解，则实数m 的取值范围是（） A.(0,e) B. (e,+)∞ C. (0,2e) D.(2e,)+∞答案： D 解答：【评析】本题考查函数的奇偶性、函数零点、导数的几何意义，考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想，突显了直观想象、数学抽象、逻辑推理的考查.解答本题首先需要根据方程特点构造函数()()()F x f x f x ,将方程根的问题转化为函数零点问题，并根据函数的奇偶性判断出函数()F x 在(0,)上的零点个数，再转化成方程1e ()2x x m x =-解的问题，最后利用数形结合思想，构造两个函数，转化成求切线斜率问题，从而根据斜率的几何意义得因为函数()()()F x f x f x =-+是偶函数，(0)0F ≠，所以零点成对出现，依题意，方程有两个不同的正根，又当0x >时，()e 2x mf x mx -=-+，所以方程可以化为： e e e 02x x x m mx x -++-=，即1e ()2x x m x =-，记()e x g x x =，()e (1)x g x x '=+，设直1()2y m x =-与()g x 图像相切时的切点为(,e )tt t ，则切线方程为e e (1)()tty t t x t -=+-，过点1(,0)2，所以1e e (1)()12t t t t t t -=+-⇒=或12-（舍弃），所以切线的斜率为2e ，由图像可以得2e m >． 二、填空题13．5(2)(1)a b c --的展开式中，32a b c 的系数是. 答案：40-解答：【评析】本题考查二项式定理，突显了数学运算的考查.解答本题首先要将5(2)(1)a b c --化成55(2)(2)a b c a b ---，并注意到5(2)a b -的展开式中不会出现32a b c ，最后用二项式定理求5(2)c a b -⋅-中32a b c 的系数，从而得解.依题意，只需求5(2)c a b -⋅-中32a b c 的系数，是225(2)40C -⋅-=-．14. 已知ABC ∆是等腰直角三角形，||||1AC BC ==，()(R,0)CP CA CB λλλ=+∈>，4AP BP ⋅=，则λ等于.2解答：【评析】本题考查向量的运算、坐标法，考查方程思想，突显直观想象的考查.解答本题首先需要依据直观想象，根据条件建立直角坐标系，将向量的几何运算转化为坐标运算，其次需要根据条件建立关于实数的方程，通过解方程得到解.以,CA CB 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立直角坐标系，则(1,0),(0,1),(0,0),(,)A B C P λλ，所以(1,),(,1)AP BP λλλλ=-=-， 所以2(1)4λλ-=，解得2λ=或1-（舍去）.15. 如图，已知四棱锥P ABCD -底面是边长为4的正方形，侧面PBC 是一个等腰直角三角形，PB PC =，平面PBC ⊥平面ABCD ，四棱锥P ABCD -外接球的表面积是.答案：32π解答：【评析】本题考查两平面垂直的性质、球的性质及表面积公式，考查空间想象能力，突显了直观想象的考查.解答本题首先要理解到外接球球心与各面中心连线垂直该面，从而通过找两个面的中心，并依据面面垂直的性质过中心作垂线，找到外接球的球心，然后确定外接球的半径，并计算球的表面积得到解.DCBAP过PBC ∆的外心即BC 的中点E 作平面PBC 的垂线，该垂线过正方形的中心O ，所以点O 为该四棱锥外接球的球心，其半径R OA ==2432S R ππ==．16. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足12,a =-2S 是34,S S 的等差中项．设m 是整数，若存在N n +∈，使得等式3(1)402n n n S a m a m ++⋅+=成立，则m 的最大值是. 答案：16解答：【评析】本题考查等差中项、等比数列的通项公式及前n 项和公式，考查函数思想.突显了数学运算、数学建模的考查.解答本题首先需要依据条件求出等比数列的通项公式及前n 项和公式，然后要利用函数思想，为了求m 的最值，需要把m 表示成n 的函数，最后根据,m n 是整数确定这个函数的定义域，从而找到这个函数值域，得到m 的最大值. 因为2S 是34,S S 的等差中项，所以34243234322222S S S S S S S a a q +=⇒-=-⇒=-⇒=-，所以(2)nn a =-，12(2)3n n S +---=，等式3(1)402n n n S a m a m ++⋅+=，化为：2(2)[(2)4]0n n m -+-+=， OE DCB AP因此2(2)16(2)4(2)4(2)4n nn n m --==--+-+-+，因为m 为整数，所以|(2)4|161,2,3nn -+≤⇒=，当1n =时，2482m m -=--+⇒=-， 当2n =时，164428m m -=-+⇒=-， 当3n =时，1684164m m -=--+⇒=-． 三、解答题17．如图，点,A B 分别是圆心在原点，半径为1和2的圆上的动点．动点A 从初始位置0(cos,sin )33A ππ开始，按逆时针方向以角速度s /rad 2作圆周运动，同时点B 从初始位置)0,2(0B 开始，按顺时针方向以角速度s /rad 2作圆周运动．记t 时刻，点B A ,的纵坐标分别为12,y y ．（Ⅰ）求4t π=时刻，,A B 两点间的距离；（Ⅱ）求12yy y =+关于时间(0)t t >的函数关系式，并求当(0,]2t π∈时，这个函数的值域．答案：（Ⅰ）7；（Ⅱ）[2．解答：【评析】考查余弦定理、三角函数的定义、两角和与差的三角函数公式、三角函数的图像，考查函数思想、数形结合思想，突显了数学建模的考查.解答本题第一问首先要确定π4t=时刻,A B两点的坐标及,OA OB的长度、夹角，再利用两点距离公式或余弦定理求解；解答本题第二问，需要根据三角函数的定义先确定12,y y与t的函数关系式，从而得到所求函数关系式，再利用两角和与差的三角函数公式将函数关系式化成sin()y A x k（或cos()y A x k）的形式，最后根据三角函数图像确定值域.（Ⅰ）4tπ=时，,232xOA xOBπππ∠=+∠=，所以23AOBπ∠=，…… 2分又||1,||2OA OB==，所以2222||12212cos73ABπ=+-⨯⨯=，即,A B两点间的距离为7. ………………6分（Ⅱ）依题意，1sin(2)3y tπ=+，ty2sin22-=，………………8分所以3sin(2)2sin22sin2)323y t t t t tππ=+-=-=+，即函数关系为)(0)3y t tπ=+>，………………10分当(0,]2tπ∈时，2(,]333tπππ4+∈，所以1cos(2)[1,)32tπ+∈-，[2y∈．…12分18．已知四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是等腰梯形，CD AB //，ACBD O =，AC PB ⊥，222====CD AB PB PA ，3=AC .（Ⅰ）证明：平面⊥PBD 平面ABCD ；（Ⅱ）点E 是棱PC 上一点，且//OE 平面PAD ，求二面角A OB E --的余弦值． 答案： （Ⅰ）见解析；（Ⅱ）2-． 解答：【评析】本题考查线面、面面垂直关系的判定，考查线面平行的性质，考查空间向量的应用，考查二面角的计算，考查转化与化归思想，考查空间想象能力，突显了直观想象、数学运算的考查.解答本题第一问首先需要在面ABCD 内发现垂直关系，再利用判定定理转化为线面垂直，从而得到面面垂直；解答本题第二问首先要通过垂直关系的判定正确建立空间直角坐标系找好,,A B P 的坐标，然后将线面平行即//OE 平面PAD 转化为线线平行PA OE //，从而确定平面的法向量，最后根据法向量求出二面角的余弦.本题特色是通过平行关系的转化避开了计算点E 的坐标，简化了求法向量的运算，本题要特别注意的是所求二面角是钝角，其余弦值为负.（Ⅰ）证明：等腰梯形ABCD 中，OAB ∆∽OCD ∆，所以2OA ABOC CD==，又3AC =，所以2OA =，所以2=OB . 所以222OA OB AB +=，所以OB OA ⊥，即BD AC ⊥，………………3分 又因为AC PB ⊥，且BDPB 于点B ，所以⊥AC 平面PBD ，又因为AC ⊂平面ABCD ，因此平面⊥PBD 平面ABCD . …6分 （Ⅱ）连接PO ，由（Ⅰ）知，⊥AC 平面PBD ，所以PO AC ⊥，所以222=-=OA PA PO ，所以222PO OB PB +=，即OB PO ⊥，………………7分 如图以,,OA OB OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2)A B P ，平面AOB 的法向量(0,0,1)m =， 因为//OE 平面PAD ，⊂OE 平面PAC ， 平面PAC平面PA PAD =，所以PA OE //，………………9分设平面EOB 的法向量为(,,)n x y z =，则n OB ⊥，即0=y ，(,,)(2,0,2)0n OE n AP x y z x z ⊥⇒⊥⇒⋅-=⇒=，令1x =，则(1,0,1)n =，……11分所以cos ,2m n <>==，所以所求二面角的余弦值是2-．……………12分19．某公司生产某种产品，一条流水线年产量为10000件，该生产线分为两段，流水线第一段生产的半成品的质量指标会影响第二段生产成品的等级，具体见下表：从第一道生产工序抽样调查了100件，得到频率分布直方图如图：若生产一件一等品、二等品、三等品的利润分别是100元、60元、100 元.（Ⅰ）以各组的中间值估计为该组半成品的质量指标，估算流水线第一段生产的半成品质量指标的平均值；（Ⅱ）将频率估计为概率，试估算一条流水线一年能为该公司创造的利润；（Ⅲ）现在市面上有一种设备可以安装到流水线第一段，价格是20万元，使用寿命是1年，安装这种设备后，流水线第一段半成品的质量指标服从正态分布2(80,2)N ，且不影响产量.请你帮该公司作出决策，是否要购买该设备？说明理由．（参考数据：()0.6826P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9548P X μσμσ-<≤+=，(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=）答案： （Ⅰ）80.2； （Ⅱ）30万元； （Ⅲ）见解析. 解答：【评析】本题考查频率分布直方图、样本平均数的估算、独立事件的概率、随机变量的分布列及数学期望、正态分布，突显了数学建模、数据分析的考查.解答本题第一问首先要根据频率分布直方图确定各组的频率及中间值，再根据样本平均数的计算公式计算得到平均数；解答本题第二问首先要确定随机变量X 的所有可能取值，再根据独立事件的概率公式求出分布列，最后利用数学期望公式求X 的数学期望；本题第三问首先要根据正态分布的性质确定好,2μσμσ--等，然后类似第二问求出随机变量Y 的分布列及数学期望，最后根据随机变量,X Y 的数学期望的大小决策.本题特色综合考察概率统计的几个主要模型、体现概率统计在实际中的主要应用：用于决策. （Ⅰ）平均值为：720.1760.25800.3840.2880.1580.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.…3分 （Ⅱ）由频率直方图，第一段生产半成品质量指标(74P x ≤或86)x >0.25=，(7478P x <≤或8286)x <≤0.45=，(7882)0.3P x <≤=，………………4分设生产一件产品的利润为X 元，则(100)P X ==0.20.250.40.450.60.30.41⨯+⨯+⨯=， (60)0.30.250.30.450.30.30.3P X ==⨯+⨯+⨯=，(100)0.50.250.30.450.10.30.29P X =-=⨯+⨯+⨯=，………………7分所以生产一件成品的平均利润是1000.41600.31000.2930⨯+⨯-⨯=元，所以一条流水线一年能为该公司带来利润的估计值是30万元. ………………8分 （Ⅲ）374,78,82,386μσμσμσμσ-=-=+=+=，………………9分 设引入该设备后生产一件成品利润为Y 元，则(100)0.00260.20.31480.40.68260.60.536P Y ==⨯+⨯+⨯=， (60)0.00260.30.31480.30.68260.30.3P Y ==⨯+⨯+⨯=，(100)0.00260.50.31480.30.68260.10.164P Y =-=⨯+⨯+⨯=，………………11分所以引入该设备后生产一件成品平均利润为1000.536600.31000.16455.2EY =⨯+⨯-⨯=元，所以引入该设备后一条流水线一年能为该公司带来利润的估计值是55.2万元， 增加收入55.23020 5.2--=万元， 综上，应该引入该设备.………………12分20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -，点000(,)(0)P x y y >是椭圆C 上的一个动点，当直线OP的斜率等于2时，2PF x ⊥轴. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点P 且斜率为02x y -的直线1l 与直线2:2l x =相交于点Q ，试判断以PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由. 答案：（Ⅰ）2212x y +=； （Ⅱ）见解析. 解答：【评析】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程，考查数形结合思想、特殊与一般思想，突显了直观想象、数学运算、逻辑推理的考查.解答本题第一问首先要根据题设给的点P 的特殊位置，建立关于,,a b c 的等式，再通过解方程求出,,a b c ，从而得到所求标准方程；解答本题第二问首先要根据条件利用直线方程的点斜式得到直线1l 的方程，并能利用椭圆方程整理化简方程，然后求出点Q 的坐标，再根据圆的知识转化成向量垂直，待定出定点坐标.本题特色是回避了直线与椭圆方程联立，利用韦达定理求解.（Ⅰ）依题意22b a ac =⇒=，………………2分又因为221a b -=，所以2a =2=a .所以椭圆C 的方程为2212x y +=. ………………5分（Ⅱ）直线1l 的方程：0000()2x y y x x y -=--即22000022y y x x x y =-++，………………6分依题意，有220012x y +=，即220022x y +=，所以1l 的方程为0022x x y y +=，所以点01(2,)x Q y -，………………8分 设定点(,0)M m ，由000010()(2)0x MP MQ x m m y y -⋅=⇒--+⋅=，………………10分 即20(1)(1)0m x m -+-=，所以1m =，综上，存在定点(1,0)M 符合条件.………………12分 21．已知函数x xax a x f e )(e )(2-+=（e 为自然对数的底，a 为常数，a R ∈）有两个极值点21,x x ，且210x x <<．（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）若0)(2121<++x x m x x 恒成立，求实数m 的取值范围． 答案：（Ⅰ）(2e,)+∞；（Ⅱ）]21,(--∞.解答： 【评析】本题考查导数运算、导数的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想、分类与整合思想，突显了数学抽象、数学建模、逻辑推理的考查.解答本题第一问首先要通过导数运算将极值点问题转化为方程解的问题，从而转化成两个函数图像交点问题，再根据导数的应用确定函数的极值点、单调性，从而画出简图，判断出所求范围；解答本题第二问首先要灵活根据隐含条件消元，将不等式转化为关于12x x 的不等式，从而构造函数，建立函数模型，再通过分类讨论该函数的单调性，确定实数m 的取值范围.（Ⅰ）xxax x f e e 2)(2-='，由0)(='x f 得xa xe 2=，………………2分依题意，该方程有两个不同正实数根，记x x h x e 2)(=，则2)1(e 2)(x x x h x -='，当01x <<时，()0h x '<；当1>x 时，()0h x '>，所以函数()h x 在1x =处取得最小值(1)2e h =，所以a 的取值范围是(2e,)+∞.…………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得：21(1,)x x ∈+∞，且112e xax =，所以112ln ln ln x x a +=+，222ln ln ln x x a +=+，所以1212ln ln x x x x -=-，………………6分因此0)(2121<++x x m x x 恒成立，即22122121(ln ln )()0x x x x m x x -+-<恒成立，即22221112ln 0x x x m x x x -+<，设21x t x =，即1ln ()0t m t t +-<在(1,)t ∈+∞上恒成立，从而0m <，记1()ln ()g t t m t t =+-，(1)0g =，211()(1)g t m t t'=++22(1)m t tt ++=，…8分 ① 当12m ≤-时，t t 212>+，所以t t m -<+)1(2，从而()0g t '<， 则()g t 在区间[1,)+∞上单调递减，所以当1t >时，()(1)0g t g <=恒成立；……………10分② 102m -<<时，()0g t '>等价于2110t t m ++<，2140m∆=->， 所以2110t t m ++=有两根21,t t ，且121211,0t t t t m=+=->，可以不妨设2110t t <<<， ()0g t '>在),1(2t t ∈时成立，所以()g t 在区间),1(2t 上单调递增，当),1(2t t ∈时，()(1)0g t g >=，即1ln ()0t m t t+-<在(1,)t ∈+∞上不恒成立，综上，m 的取值范围是]21,(--∞．………………12分四、选做题（2选1）22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为4cos (0)ρθρ=>．M 为曲线1C 上的动点，点P 在射线OM 上，且满足||||20OM OP ⋅=． （Ⅰ）求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设2C 与x 轴交于点D ，过点D 且倾斜角为56π的直线l 与1C 相交于,A B 两点，求||||DA DB ⋅的值．答案： （Ⅰ）5x =； （Ⅱ）5. 解答：【评析】本题考查直线与圆的极坐标方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程的应用，突显了直观想象的考查.解答本题第一问首先要依据动点,P M 的极坐标的关系找到点P 的极坐标方程，再化为直角坐标方程；解答本题第二问首先要根据条件确定直线l 的参数方程，依据参数t 的几何意义，结合解方程，利用韦达定理得到解.（Ⅰ）设P 的极坐标为)0)(,(>ρθρ，M 的极坐标为)0)(,(11>ρθρ，由题设知1,4cos OP OM ρρθ===．所以20cos 4=θρ，………………2分即2C 的极坐标方程cos 5(0)ρθρ=>，所以2C 的直角坐标方程为5x =．………………5分（Ⅱ）交点)0,5(D ，所以直线l的参数方程为5,212x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 曲线1C 的直角坐标方程)0(0422≠=-+x x y x ， 代入得：05332=+-t t ，70∆=>，………………8分设方程两根为12,t t ，则12,t t 分别是,A B 对应的参数， 所以5||||||21==⋅t t DB DA ．………………10分 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数|1|||)(-++=x a x x f ．（Ⅰ）当1=a 时，求不等式4)(+≥x x f 的解集；（Ⅱ）若不等式1)(2-≥a x f 恒成立，求实数a 的取值范围．答案：（Ⅰ）4{|3x x ≤-或4}x ≥； （Ⅱ）[1,2]-． 解答：【评析】本题考查绝对值不等式的解法、绝对值不等式定理，考查转化与化归思想、分类与整合思想，突显了数学运算、逻辑推理的考查.解答本题第一问首先要通过对绝对值内式子符号的讨论，将不等式转化为一元一次不等式组，再分别解各不等式组，最后求各不等式组解集的并集，得到所求不等式的解集；解答本题第二问首先要利用绝对值不等式定理得到函数()f x 的最小值，将不等式恒成立问题转化为关于a 的不等式解的问题，再通过对绝对值内式子符号的讨论，转化为不含绝对值的不等式组，最后求解不等式组.（Ⅰ）不等式为4|1||1|+≥-++x x x ，可以转化为：1,114x x x x ≤-⎧⎨---+≥+⎩或11,114x x x x -<<⎧⎨+-+≥+⎩或1,114x x x x ≥⎧⎨++-≥+⎩，………………2分 解得43x ≤-或4x ≥，所以原不等式的解集是4{|3x x ≤-或4}x ≥. ………………5分 （Ⅱ）|1||)1()(|)(min +=--+=a x a x x f ，所以1|1|2-≥+a a ⎩⎨⎧-≥---<⇔11,12a a a 或2111a a a ≥-⎧⎨+≥-⎩，………………8分 解得a ∈∅或21≤≤-a .所以实数a 的取值范围是[1,2]-．………………10分。

2019年山东省青岛市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，集合A={﹣1，1}，B={1，4}，则A∩（∁U B）=（）A．{﹣1，1} B．{﹣1}C．{1}D．∅2．已知数据x1，x2，x3，...，x50，500（单位：公斤），其中x1，x2，x3，...，x50，是某班50个学生的体重，设这50个学生体重的平均数为x，中位数为y，则x1，x2，x3， (x50)500这51个数据的平均数、中位数分别与x、y比较，下列说法正确的是（）A．平均数增大，中位数一定变大B．平均数增大，中位数可能不变C．平均数可能不变，中位数可能不变D．平均数可能不变，中位数可能变小3．设随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），则函数f（x）=x2+2x+ξ不存在零点的概率为（）A．B．C．D．4．已知a∈R，则“a＜1”是“|x﹣2|+|x|＞a恒成立”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．定义min，则由函数f（x）的图象与x 轴、直线x=2所围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．6．已知点F1，F2为双曲线的左，右焦点，点P在双曲线C 的右支上，且满足|PF2|=|F1F2|，∠F1F2P=120°，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7．如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．B．C．D．8．已知x，y∈R，且满足，则z=|x+2y|的最大值为（）A．10 B．8 C．6 D．39．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为平行四边形，NB=2PN，则三棱锥N﹣PAC与三棱锥D﹣PAC的体积比为（）A．1：2 B．1：8 C．1：6 D．1：310．已知抛物线x2=4y，直线y=k（k为常数）与抛物线交于A，B两个不同点，若在抛物线上存在一点P（不与A，B重合），满足，则实数k的取值范围为（）A．k≥2 B．k≥4 C．0＜k≤2 D．0＜k≤4二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知i是虚数单位，m，n∈R，且m+2i=2﹣ni，则的共轭复数为_______．12．二项式的展开式中，常数项等于_______（用数字作答）．13．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）是偶函数，它的部分图象如图所示．M是函数f（x）图象上的点，K，L是函数f（x）的图象与x轴的交点，且△KLM 为等腰直角三角形，则f（x）=_______．14．若a＞0，b＞0，则的最小值是_______．15．定义在区间[x1，x2]上的函数y=f（x）的图象为C，M是C上任意一点，O为坐标原点，设向量，且实数λ满足x=λx1+（1﹣λ）x2，此时向量．若|≤K恒成立，则称函数y=f（x）在区间[x1，x2]上可在标准K下线性近似，其中K是一个确定的实数．已知函数f（x）=x2﹣2x在区间[1，2]上可在标准K下线性近似，那么K的最小值是_______．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知函数f（x）=sin2wx﹣sin2（wx﹣）（x∈R，w为常数且＜w＜1），函数f（x）的图象关于直线x=π对称．（I）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，f（A）=．求△ABC面积的最大值．17．为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动，该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时．（Ⅰ）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ．求ξ的分布列与数学期望E（ξ）．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BCA=45，AP=AD=AC=2，E为PA的中点．（Ⅰ）设面PAB∩面PCD=l，求证：CD∥l；（Ⅱ）求二面角B﹣CE﹣D的余弦值．19．已知等差数列{a n}的公差d=2，其前n项和为S n，数列{a n}的首项b1=2，其前n项和为T n，满足．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{|a n b n﹣14|}的前n项和W n．20．已知椭圆E： +=1，A、B分别是椭圆E的左、右顶点，动点M在射线1：x=4（y＞0）上运动，MA交椭圆E于点P，MB交椭圆E于点Q．（1）若△MAB垂心的纵坐标为﹣4，求点的P坐标；（2）试问：直线PQ是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．21．已知函数f（x）=sinx﹣ax．（Ⅰ）对于x∈（0，1），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=1时，令h（x）=f（x）﹣sinx+lnx+1，求h（x）的最大值；（Ⅲ）求证：．2019年山东省青岛市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，集合A={﹣1，1}，B={1，4}，则A∩（∁U B）=（）A．{﹣1，1} B．{﹣1}C．{1}D．∅【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出全集中y的值确定出U，再由B利用补集的定义求出B的补集，找出A与B 补集的交集即可．【解答】解：由全集U中y=log2x，x=，1，2，16，得到y=﹣1，0，1，4，即全集U={﹣1，0，1，4}，∵A={﹣1，1}，B={1，4}，∴∁U B={﹣1，0}，则A∩（∁U B）={﹣1}，故选：B．2．已知数据x1，x2，x3，...，x50，500（单位：公斤），其中x1，x2，x3，...，x50，是某班50个学生的体重，设这50个学生体重的平均数为x，中位数为y，则x1，x2，x3， (x50)500这51个数据的平均数、中位数分别与x、y比较，下列说法正确的是（）A．平均数增大，中位数一定变大B．平均数增大，中位数可能不变C．平均数可能不变，中位数可能不变D．平均数可能不变，中位数可能变小【考点】众数、中位数、平均数．【分析】根据平均数与中位数的定义，分析这组数据，即可得出正确的结论．【解答】解：根据题意得，数据x1，x2，x3，…，x50，是某班50个学生的体重，其平均数应在50公斤左右，再增加一个数据500，这51个数据的平均数一定增大，而中位数有可能不变，如：按大小顺序排列后，第25、26个数据相等时，其中位数相等．故选：B．3．设随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），则函数f（x）=x2+2x+ξ不存在零点的概率为（）A．B．C．D．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；函数的零点；古典概型及其概率计算公式．【分析】函数f（x）=x2+2x+ξ不存在零点，可得ξ＞1，根据随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），可得曲线关于直线x=1对称，从而可得结论．【解答】解：∵函数f（x）=x2+2x+ξ不存在零点，∴△=4﹣4ξ＜0，∴ξ＞1∵随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），∴曲线关于直线x=1对称∴P（ξ＞1）=故选C．4．已知a∈R，则“a＜1”是“|x﹣2|+|x|＞a恒成立”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】要判断“a＜1”是“|x﹣2|+|x|＞a恒成立”的条件，我们可先构造函数y=|x﹣2|+|x|并求出函数的值域，然后转化为一个恒成立的判断与性质问题，最后结合充要条件的定义，进行判断．【解答】解：函数y=|x﹣2|+|x|的值域为[2，+∞）则当a＜1时，|x﹣2|+|x|＞a恒成立反之若，|x﹣2|+|x|＞a，则说明a小于函数y=|x﹣2|+|x|的最小值2恒成立，即a＜2故“a＜1”是“|x﹣2|+|x|＞a恒成立”的充分不必要条件故选：A．5．定义min，则由函数f（x）的图象与x 轴、直线x=2所围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】根据题目给出的函数定义，写出分段函数f（x）=min{x2， }，由图象直观看出所求面积的区域，然后直接运用定积分求解阴影部分的面积．【解答】解：由=x2，得：x=1，又当x＜0时，＜x2，所以，根据新定义有f（x）=min{x2， }=，图象如图，所以，由函数f（x）的图象与x轴、x=2直线所围成的封闭图形为图中阴影部分，其面积为S=x2dx+dx=|+lnx|=+ln2，故选：C．6．已知点F1，F2为双曲线的左，右焦点，点P在双曲线C 的右支上，且满足|PF2|=|F1F2|，∠F1F2P=120°，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用余弦定理可得|PF1|=2c，再由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，即为2c﹣2c=2a，运用离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可得|PF2|=|F1F2|=2c，∠PF2F1=120°，即有|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2|•|F1F2|cos∠PF2F1=4c2+4c2﹣2•4c2•（﹣）=12c2，即有|PF1|=2c，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，即为2c﹣2c=2a，即有c=a，可得e==．故选：A．7．如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】题目给出了当型循环结构框图，首先引入累加变量s和循环变量n，由判断框得知，算法执行的是求2n cosnπ的和，n从1取到100，利用等比数列求和公式即可计算得解．【解答】解：通过分析知该算法是求和2cosπ+22cos2π+23cos3π+…+2100cos100π，由于2cosπ+22cos2π+23cos3π+...+2100cos100π=﹣2+22﹣23+24﹣ (2100)=．故选：C．8．已知x，y∈R，且满足，则z=|x+2y|的最大值为（）A．10 B．8 C．6 D．3【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式组，对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=|x+2y|，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x ﹣z 经过点A 时，z 取得最大值，此时z 最大．即A （﹣2，﹣2），代入目标函数z=|x +2y |得z=2×2+2=6故选：C ．9．如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 为平行四边形，NB=2PN ，则三棱锥N ﹣PAC 与三棱锥D ﹣PAC 的体积比为（ ）A ．1：2B ．1：8C ．1：6D ．1：3【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据两个棱锥的底面和高与棱锥P ﹣ABC 的底面与高的关系得出两棱锥的体积与棱锥P ﹣ABC 的关系，得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴S △ABC =S △ACD ．∴V D ﹣PAC =V P ﹣ACD =V P ﹣ABC ．∵NB=2PN ，∴NB=PB ，∴V N ﹣ABC =V P ﹣ABC ，∴V N ﹣PAC =V P ﹣ABC ﹣V N ﹣ABC =V P ﹣ABC ．∴．故选：D ．10．已知抛物线x2=4y，直线y=k（k为常数）与抛物线交于A，B两个不同点，若在抛物线上存在一点P（不与A，B重合），满足，则实数k的取值范围为（）A．k≥2 B．k≥4 C．0＜k≤2 D．0＜k≤4【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意可得设A（2，k），B（﹣2，k），P（m，），运用向量的数量积的坐标表示，由换元法可得二次方程，由判别式大于等于0和两根非负的条件，运用韦达定理，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：由y=k（k＞0），代入抛物线x2=4y，可得x=±2，可设A（2，k），B（﹣2，k），P（m，），由，可得（2﹣m，k﹣）•（﹣2﹣m，k﹣）=0，即为（2﹣m）（﹣2﹣m）+（k﹣）2=0，化为m4+m2（1﹣）+k2﹣4k=0，可令t=m2（t≥0），则t2+t（1﹣）+k2﹣4k=0，可得△=（1﹣）2﹣（k2﹣4k）≥0，即1≥0恒成立，由韦达定理可得﹣（1﹣）≥0，k2﹣4k≥0，解得k≥4．故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知i是虚数单位，m，n∈R，且m+2i=2﹣ni，则的共轭复数为i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数相等，求出m，n然后求解复数的代数形式．【解答】解：m，n∈R，且m+2i=2﹣ni，可得m=2，n=﹣2，====﹣i．它的共轭复数为i．故答案为：i．12．二项式的展开式中，常数项等于1215（用数字作答）．【考点】二项式定理．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项【解答】解：展开式的通项公式为，由6﹣3k=0得k=2，所以常数项为，故答案为1215．13．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）是偶函数，它的部分图象如图所示．M是函数f（x）图象上的点，K，L是函数f（x）的图象与x轴的交点，且△KLM为等腰直角三角形，则f（x）=cosπx．【考点】正弦函数的图象．【分析】由函数的最值求出A，由函数的奇偶性求出φ的值，由周期求出ω，可得函数的解析式．【解答】解：由题意可得A=，φ=2kπ+，k∈Z，再结合0＜φ＜π，可得φ=，函数f（x）=sin（ωx+）=cosωx．再根据•=，可得ω=π，函数f（x）=cosπx，故答案为：cosπx．14．若a＞0，b＞0，则的最小值是2+3．【考点】基本不等式．【分析】化简可得=++3，从而利用基本不等式求解即可．【解答】解：=2+++1=++3≥2+3，（当且仅当=，即a=b时，等号成立）；故答案为：2+3．15．定义在区间[x1，x2]上的函数y=f（x）的图象为C，M是C上任意一点，O为坐标原点，设向量，且实数λ满足x=λx1+（1﹣λ）x2，此时向量．若|≤K恒成立，则称函数y=f（x）在区间[x1，x2]上可在标准K下线性近似，其中K是一个确定的实数．已知函数f（x）=x2﹣2x在区间[1，2]上可在标准K下线性近似，那么K的最小值是．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】y N﹣y M=λf（x1）+（1﹣λ）f（x2）﹣+2[λx1+（1﹣λ）x2]=，由题意可得：=|y N﹣y M|=||≤|λ（1﹣λ）|，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：y N﹣y M=λf（x1）+（1﹣λ）f（x2）﹣+2[λx1+（1﹣λ）x2]=+﹣+2[λx1+（1﹣λ）x2] =，|x1﹣x2|≤|1﹣2|=1，由题意可得：=|y N﹣y M|=||≤|λ（1﹣λ）|≤=，由于|≤K恒成立，∴，∴K的最小值为．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知函数f（x）=sin2wx﹣sin2（wx﹣）（x∈R，w为常数且＜w＜1），函数f（x）的图象关于直线x=π对称．（I）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，f（A）=．求△ABC面积的最大值．【考点】正弦函数的图象；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）化简f（x），根据对称轴求出ω，得出f（x）的解析式，利用周期公式计算周期；（2）由f（A）=解出A，利用余弦定理和基本不等式得出bc的最大值，代入面积公式得出面积的最大值．【解答】解：（I）f（x）=cos2ωx﹣[﹣cos（2ωx﹣）]=cos（2ωx﹣）﹣cos2ωx=﹣cos2ωx+sin2ωx=sin（2ωx﹣）．令2ωx﹣=+kπ，解得x=．∴f（x）的对称轴为x=，令=π解得ω=．∵＜w＜1，∴当k=1时，ω=．∴f（x）=sin（x﹣）．∴f（x）的最小正周期T=．（2）∵f（）=sin（A﹣）=，∴sin（A﹣）=．∴A=．由余弦定理得cosA===．∴b2+c2=bc+1≥2bc，∴bc≤1．∴S△ABC==≤．∴△ABC面积的最大值是．17．为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动，该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时．（Ⅰ）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ．求ξ的分布列与数学期望E（ξ）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）甲、乙两人所付费用相同即为0，40，80元，求出相应的概率，利用互斥事件的概率公式，可求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（Ⅱ）确定变量的取值，求出相应的概率，即可求得ξ的分布列与数学期望．【解答】解：（Ⅰ）甲、乙两人所付费用相同即为0，40，80元．…都付0元的概率为P1==，都付40元的概率为P2==，都付80元的概率为P3=（1﹣）（1﹣）=，故所付费用相同的概率为P=P1+P2+P3=．（Ⅱ）由题意甲、乙两人所付的滑雪费用之和ξ的可能取值为0，40，80，120，160，P（ξ=0）==，P（ξ=40）==，P（ξ=80）=+=，P（ξ=120）=+=，P（ξ=160）=（1﹣）（1﹣）=，∴ξ的分布列为：ξ0 40 80 120 160P数学期望E（ξ）=+=80．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BCA=45，AP=AD=AC=2，E为PA的中点．（Ⅰ）设面PAB∩面PCD=l，求证：CD∥l；（Ⅱ）求二面角B﹣CE﹣D的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；棱锥的结构特征．【分析】（Ⅰ）根据线面平行的判定定理以及性质定理即可证明CD∥l；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出对应平面的法向量，利用向量法进行求解即可．【解答】证明：（Ⅰ）取CD的中点H，∵AC⊥AD，AB⊥BC，∠BCA=45，AP=AD=AC=2，∴AH⊥CD，∠CAH=∠CAB=45°，即∠BAH=90°，即四边形ABCH是矩形，则AB∥CH，AB∥CD∵CD⊄面PAB，AB⊂面PAB，∴CD∥面PAB，∵CD⊂面PCD，面PAB∩面PCD=l，∴根据线面平行的性质得CD∥l．（Ⅱ）∵AC=2，∴AB=BC=AH=，DH=，建立以A为原点，AH，AB，AP分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：则A（0，0，0），B（0，，0），C（，，0），P（0，0，2），E（0，0，1），D（，﹣，0），=（﹣，﹣，1），=（，0，0），=（0，﹣2，0）设平面BPC的一个法向量为=（x，y，z），则，则x=0，令y=，则z=2，即=（0，，2），设平面PCD的一个法向量为=（x，y，z），，则y=0，令x=，则z=2，=（，0，2），则cos＜，＞====，即二面角B﹣CE﹣D的余弦值是．19．已知等差数列{a n}的公差d=2，其前n项和为S n，数列{a n}的首项b1=2，其前n项和为T n，满足．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{|a n b n﹣14|}的前n项和W n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（I）由，可得=T1+2=22，解得a1．利用等差数列的通项公式及其前n项和公式可得a n，S n．可得2n+1=T n+2，利用递推关系可得b n．（II）令c n=a n b n﹣14=（2n﹣1）•2n﹣14．可得：c1=﹣12，c2=﹣2，n≥3，c n＞0．n≥3，W n=c1+c2+…+c n﹣2c1﹣2c2．W n=1×2+3×22+…+（2n﹣1）2n﹣14n+28，令Q n=1×2+3×22+…+（2n﹣1）2n，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（I）∵，∴=T1+2=2+2=4=22，∴+1=2，解得a1=1．∴a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．∴S n==n2．∴2n+1=T n+2，+2）=b n，∴当n≥2时，2n+1﹣2n=T n+2﹣（T n﹣1∴b n=2n，当n=1时也成立．∴b n=2n．（II）令c n=a n b n﹣14=（2n﹣1）•2n﹣14．∴c1=﹣12，c2=﹣2，n≥3，c n＞0．∴n≥3，W n=﹣c1﹣c2+c3+…+c n=c1+c2+…+c n﹣2c1﹣2c2．W n=1×2+3×22+…+（2n﹣1）2n﹣14n+28，令Q n=1×2+3×22+…+（2n﹣1）2n，2Q n=1×22+3×23+…+（2n﹣3）•2n+（2n﹣1）•2n+1，∴﹣Q n=2（2+22+…+2n）﹣2﹣（2n﹣1）•2n+1=2×﹣2﹣（2n﹣1）•2n+1=（3﹣2n）•2n+1﹣6，∴Q n=（2n﹣3）•2n+1+6．∴W n=．20．已知椭圆E： +=1，A、B分别是椭圆E的左、右顶点，动点M在射线1：x=4（y＞0）上运动，MA交椭圆E于点P，MB交椭圆E于点Q．（1）若△MAB垂心的纵坐标为﹣4，求点的P坐标；（2）试问：直线PQ是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设M（4，m），由A（﹣2，0），B（2，0），垂心H（4，﹣4），由BH⊥MA，运用直线斜率公式和斜率之积为﹣1，可得m，再由直线MA与椭圆求得交点P；（2）设M（4，m），由A（﹣2，0），B（2，0），可得MA的方程为y=（x+2），代入椭圆方程，运用韦达定理，解得P的坐标；同理求得Q的坐标，运用直线的斜率公式可得PQ的斜率，由点斜式方程可得PQ的方程，再由恒过定点思想，即可得到所求定点．【解答】解：（1）设M（4，m），由A（﹣2，0），B（2，0），垂心H（4，﹣4），由BH⊥MA，可得k BH•k MA=﹣1，即有•=﹣1，可得m=，由MA的方程：y=（x+2），代入椭圆方程，可得8x2+4x﹣48=0，解得x=﹣2，或，即有P（，）；（2）设M（4，m），由A（﹣2，0），B（2，0），可得MA的方程为y=（x+2），代入椭圆方程，可得（36+m2）x2+4m2x+8m2﹣288=0，由﹣2x P=，可得x P=，y P=（x P+2）=；又MB：y=（x﹣2），代入椭圆方程，可得（4+m2）x2﹣4m2x+8m2﹣32=0，由2+x Q=，可得x Q=，y Q=（x Q﹣2）=﹣，即有直线PQ的斜率为k==，则直线PQ：y﹣=（x﹣），化简即有y=（x﹣1），由x﹣1=0，解得x=，y=0．故直线PQ恒过定点（，0）．21．已知函数f（x）=sinx﹣ax．（Ⅰ）对于x∈（0，1），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=1时，令h（x）=f（x）﹣sinx+lnx+1，求h（x）的最大值；（Ⅲ）求证：．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式求出a的范围即可；（Ⅱ）求出h（x）的导数，解关于导函数的不等式求出h（x）的单调区间，从而求出h（x）的最大值即可；（Ⅲ）构造函数f（x）=ln（1+x）﹣x，利用导数法可证得ln（1+x）≤x（当x≠0时，ln（1+x）＜x），令x=，利用对数函数的运算性质及累加法求和即可证得结论成立．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sinx﹣ax，f′（x）=cosx﹣a，若对于x∈（0，1），f（x）＞0恒成立，即a＜cosx在（0，1）恒成立，故a≤0；（Ⅱ）a=1时，h（x）=lnx﹣x+1，（x＞0），h′（x）=﹣1=，令h′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令h′（x）＜0，解得：x＞1，∴h（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，∴h（x）的最大值是h（1）=0；证明：（Ⅲ）构造函数g（x）=ln（1+x）﹣x，则g′（x）=﹣1=，当﹣1＜x＜0时，g′（x）＞0，g（x）在（﹣1，0）上单调递增；当x＞0时，g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上单调递减；所以，当x=0时，g（x）=ln（1+x）﹣x取得极大值，也是最大值，所以，g（x）≤g（0）=0，即ln（1+x）≤x，当x≠0时，ln（1+x）＜x．令x=，则ln（1+）=ln（n+1）﹣lnn＜，即ln（n+1）﹣lnn＜，∴ln2﹣ln1＜1，ln3﹣ln2＜，…，lnn﹣ln（n﹣1）＜，ln（n+1）﹣lnn＜，以上n个不等式相加得：ln（n+1）﹣ln1＜1+++…+，即．2019年9月9日。

2019年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学第Ⅰ卷（共60分）参考公式：球的表面积公式：24πS R =，其中R 是球的半径．如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率：()(1)(012)k kn k n nP k C p p k n -=-=L ，，，，． 如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B +=+． 如果事件A B ，相互独立，那么()()()P AB P A P B =g ．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．满足{}1234M a a a a ⊆，，，，且{}{}12312M a a a a a =I ，，，的集合M 的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4解析：本小题主要考查集合子集的概念及交集运算。

集合M 中必含有12,a a ,则{}12,M a a =或{}124,,M a a a =.选B. 2．设z 的共轭复数是z ，若4z z +=，8z z =g ，则zz等于（ ） A ．i B ．i - C ．1± D ．i ±解析：本小题主要考查共轭复数的概念、复数的运算。

可设2z bi =+，由8z z ⋅=得248, 2.b b +==±()2222.88i z z i z ±===±选D.3．函数ππln cos 22y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是（ ）xxA ．B ．C ．D ．解析：本小题主要考查复合函数的图像识别。

ln cos ()22y x x ππ=-<<是偶函数，可排除B 、D ，由cos 1lncos 0x x ≤⇒≤排除C,选A.4．设函数()1f x x x a =++-的图象关于直线1x =对称，则a 的值为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．1-解：1x +、x a -在数轴上表示点x 到点1-、a 的距离，他们的和()1f x x x a =++-关于1x = 对称，因此点1-、a 关于1x =对称，所以3a =（直接去绝对值化成分段函数求解比较麻烦，如取特殊值解也可以） 5．已知πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭7πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（ ） A． BC ．45-D ．45解：：3cos()sin sin 62παααα-+=+=14cos 25αα=，714sin()sin()sin cos .66225ππαααα⎛⎫+=-+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭6．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）A ．9πB ．10πC ．11πD ．12π解：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面及为22411221312.S ππππ=⨯+⨯⨯+⨯⨯=7．在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为12318L ，，，，的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为（ ） A ．151B ．168C ．1306D ．1408解：古典概型问题，基本事件总数为31817163C =⨯⨯。

2019年高三下学期一模考试数学（理）试题含答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知复数，则等于（）A． B． C． D．2、设集合{0,1},{|1}==∈=-，则（）M N x Z y xA． B． C． D．3、给定函数①②③④，其中在区间上单调递减的函数序号是（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④4、在中，若sin sin cos cos sin-=，则的形状是（）A A C A CA．等腰三角形 B．正三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形5、为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（10分制）的频率分布直方图如图所示，假设得分值的中位数为，众数，平均数为，则（）A． B．C． D．6、某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法共有（）A．192种 B．216种 C．240种 D．288种7、若函数的图象如图所示，则的范围为（）A． B． C． D．8、设双曲线的离心率为2，且一个焦点与抛物线的交点相同，则此双曲线的方程为（）A． B． C． D．9、已知函数()0()210x e a x f x a R x x ⎧+≤=∈⎨->⎩，若函数在R 上有两个零点，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．10、若函数，并且，则下列各结论正确的是（ ）A ．()()()2a b f a f ab f +<<B ．()()()2a bf ab f f b +<< C ．()()()2a b f ab f f a +<< D ．()()()2a bf b f ab f +<<二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。

. 11、如图，正方体的棱长为1，E 为棱上的点， 为AB 的中点，则三棱锥的体积为12、已知满足不等式组22y x x y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则的最大值与最小值的比为 13、定义在实数集R 上的函数满足， 且现有以下三种叙述①8是函数的一个周期； ②的图象关于直线对称；③是偶函数。

一、选择题1.已知集合3{(,)|}A x y y x ==,{(,)|}B x y y x ==,则A B 的元素个数是( ）A. 0B. 1C. 2D. 3 答案： D 解答：【评析】本题考查集合的表示、交集的运算,考查幂函数的图像.凸显了直观想象考查.解答本题首先要能理解集合,A B 表示的是点集,表示的是两个幂函数的图像上所有点组成的集合,其次需要熟悉常见幂函数的图像,最后要理解集合A B 的元素个数就是这两个函数图像交点的个数.由幂函数3,y x y x ==的图像可以知道,它们有三个交点(1,1),(0,0),(1,1)--,所以集合A B有三个元素.2.已知在复平面内,复数12,z z 对应的点分别是12(2,1),(1,1)Z Z -,则复数12z z 对应的点在( ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 答案： D 解答：【评析】本题考查复数的几何意义、复数运算,突显数学运算、直观想象的考查.解答本题首先 要理解复平面内点与复数的对应关系,其次要能熟练进行复数的四则运算.122i (2i)(1i)13i1i 22z z ----===+,对应的点的坐标是13(,)22-,在第四象限. 3.已知{}n a 是等差数列,且12343,6a a a a +=-+=-,则{}n a 的前10项和等于( ）A. 15-B. 25-C. 45-D. 60- 答案： C 解答：【评析】本题考查等差数列的判定、通项公式、前n 项和公式,考查方程思想.突显了数学建模的考查.解答本题首先要知道{}n a 是等差数列,则212{}n n a a -+也是等差数列,建立等差数列模型,其次是要找好新等差数列的首项123a a +=-及公差3412'()()d a a a a =+-+,最后需要理解到{}n a 的前10项和即为数列212{}n n a a -+的前5项和.解答本题也可以首先根据条件列出两个关于1,a d 的方程,从而求出1,a d ,再利用前n 项和公式求解.101234910()()()3(12345)45S a a a a a a =++++++=-⨯++++=-.4. 已知向量(1,0),(3,4)a b ==-的夹角为θ,则cos θ2等于( ）A. 725-B.725C. 2425-D.2425答案： A 解答：【评析】本题考查向量的坐标运算、二倍角公式,突显了数学抽象的考查.解答本题首先要根据 向量夹角公式和坐标运算公式求出cos q ,再利用二倍角的余弦公式求解.33cos 155θ-==-⨯,所以27cos 22cos 125θθ=-=-. 5.已知00(,)A x y 是抛物线24y x =上的点,点F 的坐标为(1,0),则“0[1,3]x ∈”是 “||[3,4]AF ∈”的( ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 答案： B 解答：【评析】本题考查抛物线的定义、标准方程、充要条件的判定,突显了逻辑推理的考查.解答本题首先要根据抛物线的标准方程和定义找到||AF 与0x 的关系,从而发现||[3,4]AF Î的等价条件,其次要正确理解条件与结论的关系,准确作出判断.||[3,4]AF ∈001[3,4][2,3]x x ⇔+∈⇔∈,因为[2,3][1,3]⊂≠,所以选B .6.下图是相关变量,x y 的散点图,现对这两个变量进行线性相关分析,方案一：根据图中所有数据,得到线性回归方程11y b x a =+,相关系数为1r ；方案二：剔除点(10,21),根据剩下数据得到线性回归方程：22y b x a =+,相关系数为2r .则( ）A. 1201r r <<<B. 2101r r <<<C. 1210r r -<<<D. 2110r r -<<< 答案： D 解答：【评析】本题考查线性回归分析,重点考查散点图、相关系数,突显了数据分析、直观想象的考查.解答本题首先要能理解散点图,其次需要理解相关系数与正负相关的关系,最后还需要理解相关系数的意义：其绝对值越接近1,说明两个变量越具有线性相关性.负相关,所以12,0r r <,因为剔除点(10,21)后,剩下点数据更具有线性相关性,||r 更接近1,所以2110r r -<<<.7. 设23342,log 15,log 20a b c ===,则,,a b c 的大小关系是( ） A. a b c << B. a c b <<C. b c a <<D. c b a << 答案： B 解答：【评析】本题考查对数运算,考查指数、对数函数的性质,考查不等式的性质,考查函数与方程思想,突显了数学运算、数学建模的考查.解答本题首先需要根据对数运算将,b c 化简,然后建立指数函数、对数函数模型,根据指数函数、对数函数的性质判断,,a b c 与2的大小关系,最后还需要根据换底公式、不等式性质等判断出,b c 的大小关系.122a <=,3log 92b >=,4log 162c >=,所以a 最小,341log 5,1log 5b c =+=+,因为11lg5lg50lg3lg 4lg3lg 4lg3lg 4b c <<⇒>⇒>⇒>. 8. 执行如图所示程序框图,输出的结果是( ）A. 5B. 6C. 7D. 8 答案： B 解答：【评析】本题考查程序框图、等比数列的判定、等比数列的前n 项和公式,突显了数学运算、数学建模的考查.解答本题首先要根据程序框图正确得到等比数列模型,再根据等比数列前n 项和公式求解.该题易错点是B 是数列1{2}n -的前1n +项和,而不是数列{2}n的前n 项和. 如图所示i n =时,B 是等比数列1{2}n -的前1n +项和,即21122221n n B +=++++=-,由1100210117n B n +≥⇒≥⇒+≥,所以输出的是6.9.过两点(4,0),(4,0)A B -分别作斜率不为0且与圆226290(0)x y x my m +--+=≠相切的直线,AC BC ,当m 变化时,交点C 的轨迹方程是( ）A.221(3)97x y x -=> B. 221(4)169x y x -=>C. 212(0)y x x =>D. 216(0)y x x => 答案： A 解答：【评析】本题考查圆的方程、双曲线的定义及其标准方程.突显了直观想象、逻辑推理的考查.解答本题首先要正确根据圆的方程找到圆心和半径,然后根据圆的切线性质发现动点C 满足的几何条件,从而判断出动点C 的轨迹,再根据双曲线的标准方程找出轨迹方程.圆方程为222(3)()x y m m -+-=与x 轴相切于点(3,0)M ,设,AC BC 与圆的切点分别为,N P ,则||||||||||||6AC BC AN BP AM BM -=-=-=,所以点C 的轨迹是以,A B 为焦点且实轴长为6的双曲线的右支,所以选A .10. 在解三角形的问题中,其中一个比较困难的问题是如何由三角形的三边,,a b c 直接求三角形的面积,据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的,他得到了海伦公式即()()()S p p a p b p c =---,其中1()2p a b c =++.我国南宋著名数学家秦九韶(约1202-1261）也在《数书九章》里面给出了一个等价解法,这个解法写成公式就是2221()4S c a =-∆,这个公式中的∆应该是( ） A. 2()2a cb ++ B.2a c b+- C. 2222c a b +-D.2a b c++ 答案：C 解答：【评析】本题考查余弦定理、三角形面积公式、同角三角函数关系式,弘扬中国古代数学文化,突显了数学抽象的考查.解答本题首先要注意观察、联想三角形面积公式1sin 2S ca B=,从而发现∆应该等于|cos |ca B ,再根据余弦定理得到答案.因为222cos 2c a b ac B +-=,1sin 2ac B S ==.11．如图,1111ABCD A BC D -是棱长为4的正方体,P QRH -是棱长为4的正四面体,底面ABCD ,QRH 在同一个平面内,QH BC //,则正方体中过AD 且与平面PHQ 平行的截面面积是( ）A.B.C.D. 答案： C 解答：【评析】本题考查正棱锥的平行关系、等角定理,考查空间想象能力,突显了直观想象的考查.解答本题首先要根据面面平行的性质定理确定截面的形状,再根据正四面体的性质、等角定理等确定点,E F 的具体位置、AE 的长度,从而求出截面面积.设截面与1111,A B D C 分别相交于点,E F 则//EF AD ,过点P 作平面QRH 的垂线,垂足为O ,则O 是底面Q R H 的中心.设ORHQ G =,则EAB PGO ∠=∠,又因为2RG RO OG ===,3PO =,所以sin sin 3PO EAB PGO PG ∠=∠==,所以4EA EA =⇒=,所以四边形AEFD的面积4S =⨯=12.已知函数e ,0,()2e (1),0xx m mx x f x x x -⎧++<⎪=⎨⎪-≥⎩(e 为自然对数的底）,若方程()()0f x f x -+=有且仅有四个不同的解,则实数m 的取值范围是( ） A. (0,e) B. (e,+)∞ C. (0,2e) D. (2e,)+∞ 答案： D 解答：【评析】本题考查函数的奇偶性、函数零点、导数的几何意义,考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想,突显了直观想象、数学抽象、逻辑推理的考查.解答本题首先需要根据方程特点构造函数()()()F x f x f x =+-,将方程根的问题转化为函数零点问题,并根据函数的奇偶性判断出函数()F x 在(0,)+?上的零点个数,再转化成方程1e ()2xx m x =-解的问题,最后利用数形结合思想,构造两个函数,转化成求切线斜率问题,从而根据斜率的几何意义得到解. 因为函数()()()F x f x f x =-+是偶函数,(0)0F ≠,所以零点成对出现,依题意,方程有两个不同的正根,又当0x >时,()e 2xmf x mx -=-+,所以方程可以化为：e e e 02x x x m mx x -++-=,即1e ()2x x m x =-,记()e x g x x =,()e (1)x g x x '=+,设直1()2y m x =-与()g x 图像相切时的切点为(,e )t t t ,则切线方程为e e (1)()t t y t t x t -=+-,过点1(,0)2,所以1e e (1)()12t tt t t t -=+-⇒=或12-(舍弃）,所以切线的斜率为2e ,由图像可以得2e m >.二、填空题13.5(2)(1)a b c --的展开式中,32a b c 的系数是 . 答案：40-解答：【评析】本题考查二项式定理,突显了数学运算的考查.解答本题首先要将5(2)(1)a b c --化成55(2)(2)a b c a b ---,并注意到5(2)a b -的展开式中不会出现32a b c ,最后用二项式定理求5(2)c a b -⋅-中32a b c 的系数,从而得解.依题意,只需求5(2)c a b -⋅-中32a b c 的系数,是225(2)40C -⋅-=-.14. 已知ABC ∆是等腰直角三角形,||||1AC BC ==,()(R,0)CP CA CB λλλ=+∈>u u r u u r u u r,4AP BP ⋅=uu u r uu r,则λ等于 .答案：2解答：【评析】本题考查向量的运算、坐标法,考查方程思想,突显直观想象的考查.解答本题首先需要依据直观想象,根据条件建立直角坐标系,将向量的几何运算转化为坐标运算,其次需要根据条件建立关于实数l 的方程,通过解方程得到解.以,CA CB 所在直线分别为x 轴,y 轴,建立直角坐标系,则(1,0),(0,1),(0,0),(,)A B C P λλ,所以(1,),(,1)AP BP λλλλ=-=-u u u r u u r,所以2(1)4λλ-=,解得2λ=或1-(舍去）.15. 如图,已知四棱锥P ABCD -底面是边长为4的正方形,侧面PBC 是一个等腰直角三角形,PB PC =,平面PBC ⊥平面ABCD ,四棱锥P ABCD -外接球的表面积是 .答案：32π解答：【评析】本题考查两平面垂直的性质、球的性质及表面积公式,考查空间想象能力,突显了直观想象的考查.解答本题首先要理解到外接球球心与各面中心连线垂直该面,从而通过找两个面的中心,并依据面面垂直的性质过中心作垂线,找到外接球的球心,然后确定外接球的半径,并计算球的表面积得到解.过PBC ∆的外心即BC 的中点E 作平面PBC 的垂线,该垂线过正方形的中心O ,所以点O 为该四棱锥外接球的球心,其半径R OA ==,所以外接球的表面积是2432S R ππ==.16. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足12,a =-2S 是34,S S 的等差中项.设m 是整数,若存在N n +∈,使得等式3(1)402n n n S a m a m ++⋅+=成立,则m 的最大值是 . 答案：DCBAPOE DCB AP16解答：【评析】本题考查等差中项、等比数列的通项公式及前n 项和公式,考查函数思想.突显了数学运算、数学建模的考查.解答本题首先需要依据条件求出等比数列的通项公式及前n 项和公式,然后要利用函数思想,为了求m 的最值,需要把m 表示成n 的函数,最后根据,m n 是整数确定这个函数的定义域,从而找到这个函数值域,得到m 的最大值. 因为2S 是34,S S 的等差中项,所以34243234322222S S S S S S S a a q +=⇒-=-⇒=-⇒=-,所以(2)nn a =-,12(2)3n n S +---=,等式3(1)402n n n S a m a m ++⋅+=,化为：2(2)[(2)4]0n n m -+-+=, 因此2(2)16(2)4(2)4(2)4n nn n m --==--+-+-+, 因为m 为整数,所以|(2)4|161,2,3n n -+≤⇒=, 当1n =时,2482m m -=--+⇒=-, 当2n =时,164428m m -=-+⇒=-, 当3n =时,1684164m m -=--+⇒=-. 三、解答题17.如图,点,A B 分别是圆心在原点,半径为1和2的圆上的动点.动点A 从初始位置0(cos,sin )33A ππ开始,按逆时针方向以角速度s /rad 2作圆周运动,同时点B 从初始位置)0,2(0B 开始,按顺时针方向以角速度s /rad 2作圆周运动.记t 时刻,点B A ,的纵坐标分别为12,y y .(Ⅰ）求4t π=时刻,,A B 两点间的距离；(Ⅱ）求12y y y =+关于时间(0)t t >的函数关系式,并求当(0,]2t π∈时,这个函数的值域.答案：(Ⅰ）7；(Ⅱ）[2. 解答：【评析】考查余弦定理、三角函数的定义、两角和与差的三角函数公式、三角函数的图像,考查函数思想、数形结合思想,突显了数学建模的考查.解答本题第一问首先要确定π4t =时刻,A B 两点的坐标及,OA OB 的长度、夹角,再利用两点距离公式或余弦定理求解；解答本题第二问,需要根据三角函数的定义先确定12,y y 与t 的函数关系式,从而得到所求函数关系式,再利用两角和与差的三角函数公式将函数关系式化成sin()y A x k w j =++(或cos()y A x k w j =++）的形式,最后根据三角函数图像确定值域. (Ⅰ）4t π=时,,232xOA xOB πππ∠=+∠=,所以23AOB π∠=, …… 2分 又||1,||2OA OB ==,所以2222||12212cos73AB π=+-⨯⨯=, 即,A B 两点间的距离为7. ………………6分(Ⅱ）依题意,1sin(2)3y t π=+,t y 2sin 22-=, ………………8分所以3sin(2)2sin 22sin 2)3223y t t t t t ππ=+-=-=+,即函数关系为)(0)3y t t π=+>, ………………10分当(0,]2t π∈时,2(,]333t πππ4+∈,所以1cos(2)[1,)32t π+∈-,[y ∈.…12分18.已知四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是等腰梯形,CD AB //,AC BD O =I ,AC PB ⊥,222====CD AB PB PA ,3=AC .(Ⅰ）证明：平面⊥PBD 平面ABCD ；(Ⅱ）点E 是棱PC 上一点,且//OE 平面PAD ,求二面角A OB E --的余弦值. 答案： (Ⅰ）见解析；(Ⅱ）2-. 解答：【评析】本题考查线面、面面垂直关系的判定,考查线面平行的性质,考查空间向量的应用,考查二面角的计算,考查转化与化归思想,考查空间想象能力,突显了直观想象、数学运算的考查.解答本题第一问首先需要在面ABCD 内发现垂直关系,再利用判定定理转化为线面垂直,从而得到面面垂直；解答本题第二问首先要通过垂直关系的判定正确建立空间直角坐标系找好,,A B P 的坐标,然后将线面平行即//OE 平面PAD 转化为线线平行PA OE //,从而确定平面的法向量,最后根据法向量求出二面角的余弦.本题特色是通过平行关系的转化避开了计算点E 的坐标,简化了求法向量的运算,本题要特别注意的是所求二面角是钝角,其余弦值为负. (Ⅰ）证明：等腰梯形ABCD 中,OAB ∆∽OCD ∆,所以2OA ABOC CD==,又3AC =,所以2OA =,所以2=OB . 所以222OA OB AB +=,所以OB OA ⊥,即BD AC ⊥, ………………3分 又因为AC PB ⊥,且BD PB I 于点B ,所以⊥AC 平面PBD ,又因为AC ⊂平面ABCD ,因此平面⊥PBD 平面ABCD . …6分 (Ⅱ）连接PO ,由(Ⅰ）知,⊥AC 平面PBD ,所以PO AC ⊥,所以222=-=OA PA PO ,所以222PO OB PB +=,即OB PO ⊥, ………………7分如图以,,OA OB OP 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2)A B P ,平面AOB 的法向量(0,0,1)m =u r,因为//OE 平面PAD ,⊂OE 平面PAC ,平面PAC I 平面PA PAD =,所以PA OE //, ………………9分设平面EOB 的法向量为(,,)n x y z =r ,则n OB ⊥r u u u r,即0=y ,(,,)(2,0,2)0n OE n AP x y z x z ⊥⇒⊥⇒⋅-=⇒=r u u u r r u u u r ,令1x =,则(1,0,1)n =r,……11分所以cos ,2m n <>==u r r,所以所求二面角的余弦值是2-.……………12分19.某公司生产某种产品,一条流水线年产量为10000件,该生产线分为两段,流水线第一段生产的半成品的质量指标会影响第二段生产成品的等级,具体见下表：从第一道生产工序抽样调查了100件,得到频率分布直方图如图：若生产一件一等品、二等品、三等品的利润分别是100元、60元、100-元.(Ⅰ）以各组的中间值估计为该组半成品的质量指标,估算流水线第一段生产的半成品质量指标的平均值；(Ⅱ）将频率估计为概率,试估算一条流水线一年能为该公司创造的利润；(Ⅲ）现在市面上有一种设备可以安装到流水线第一段,价格是20万元,使用寿命是1年,安装这种设备后,流水线第一段半成品的质量指标服从正态分布2(80,2)N ,且不影响产量.请你帮该公司作出决策,是否要购买该设备？说明理由.(参考数据：()0.6826P X μσμσ-<≤+=,(22)0.9548P X μσμσ-<≤+=,(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=）答案： (Ⅰ）80.2； (Ⅱ）30万元； (Ⅲ）见解析. 解答：【评析】本题考查频率分布直方图、样本平均数的估算、独立事件的概率、随机变量的分布列及数学期望、正态分布,突显了数学建模、数据分析的考查.解答本题第一问首先要根据频率分布直方图确定各组的频率及中间值,再根据样本平均数的计算公式计算得到平均数；解答本题第二问首先要确定随机变量X 的所有可能取值,再根据独立事件的概率公式求出分布列,最后利用数学期望公式求X 的数学期望；本题第三问首先要根据正态分布的性质确定好,2μσμσ--等,然后类似第二问求出随机变量Y 的分布列及数学期望,最后根据随机变量,X Y 的数学期望的大小决策.本题特色综合考察概率统计的几个主要模型、体现概率统计在实际中的主要应用：用于决策. (Ⅰ）平均值为：720.1760.25800.3840.2880.1580.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= . …3分 (Ⅱ）由频率直方图,第一段生产半成品质量指标(74P x ≤或86)x >0.25=,(7478P x <≤或8286)x <≤0.45=,(7882)0.3P x <≤=, ………………4分设生产一件产品的利润为X 元,则(100)P X ==0.20.250.40.450.60.30.41⨯+⨯+⨯=, (60)0.30.250.30.450.30.30.3P X ==⨯+⨯+⨯=,(100)0.50.250.30.450.10.30.29P X =-=⨯+⨯+⨯=, ………………7分所以生产一件成品的平均利润是1000.41600.31000.2930⨯+⨯-⨯=元,所以一条流水线一年能为该公司带来利润的估计值是30万元. ………………8分 (Ⅲ）374,78,82,386μσμσμσμσ-=-=+=+=, ………………9分 设引入该设备后生产一件成品利润为Y 元,则(100)0.00260.20.31480.40.68260.60.536P Y ==⨯+⨯+⨯=,(60)0.00260.30.31480.30.68260.30.3P Y ==⨯+⨯+⨯=,(100)0.00260.50.31480.30.68260.10.164P Y =-=⨯+⨯+⨯=, ………………11分所以引入该设备后生产一件成品平均利润为1000.536600.31000.16455.2EY =⨯+⨯-⨯=元,所以引入该设备后一条流水线一年能为该公司带来利润的估计值是55.2万元, 增加收入55.23020 5.2--=万元,综上,应该引入该设备. ………………12分20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -,点000(,)(0)P x y y >是椭圆C 上的一个动点,当直线OP 的斜率等于2时,2PF x ⊥轴.(Ⅰ）求椭圆C 的方程； (Ⅱ）过点P 且斜率为02x y -的直线1l 与直线2:2l x =相交于点Q ,试判断以PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是,求出定点坐标；若不是,说明理由.答案：(Ⅰ）2212x y +=； (Ⅱ）见解析. 解答：【评析】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程,考查数形结合思想、特殊与一般思想,突显了直观想象、数学运算、逻辑推理的考查.解答本题第一问首先要根据题设给的点P 的特殊位置,建立关于,,a b c 的等式,再通过解方程求出,,a b c ,从而得到所求标准方程；解答本题第二问首先要根据条件利用直线方程的点斜式得到直线1l 的方程,并能利用椭圆方程整理化简方程,然后求出点Q 的坐标,再根据圆的知识转化成向量垂直,待定出定点坐标.本题特色是回避了直线与椭圆方程联立,利用韦达定理求解.(Ⅰ）依题意22b a ac =⇒=, ………………2分又因为221a b -=, 所以2a =解得2=a .所以椭圆C 的方程为2212x y +=. ………………5分(Ⅱ）直线1l 的方程：0000()2x y y x x y -=--即22000022y y x x x y =-++,………………6分 依题意,有220012x y +=,即220022x y +=, 所以1l 的方程为0022x x y y +=,所以点01(2,)x Q y -, ………………8分 设定点(,0)M m ,由000010()(2)0x MP MQ x m m y y -⋅=⇒--+⋅=uuu r uuu r , ………………10分即20(1)(1)0m x m -+-=,所以1m =,综上,存在定点(1,0)M 符合条件. ………………12分 21.已知函数x xax a x f e )(e )(2-+=(e 为自然对数的底,a 为常数,a R ∈）有两个极值点21,x x ,且210x x <<.(Ⅰ）求a 的取值范围；(Ⅱ）若0)(2121<++x x m x x 恒成立,求实数m 的取值范围. 答案：(Ⅰ）(2e,)+∞； (Ⅱ）]21,(--∞. 解答：【评析】本题考查导数运算、导数的应用,考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想、分类与整合思想,突显了数学抽象、数学建模、逻辑推理的考查.解答本题第一问首先要通过导数运算将极值点问题转化为方程解的问题,从而转化成两个函数图像交点问题,再根据导数的应用确定函数的极值点、单调性,从而画出简图,判断出所求范围；解答本题第二问首先要灵活根据隐含条件消元,将不等式转化为关于12x x 的不等式,从而构造函数,建立函数模型,再通过分类讨论该函数的单调性,确定实数m 的取值范围.(Ⅰ）xxax x f e e 2)(2-=',由0)(='x f 得xa xe 2=, ………………2分依题意,该方程有两个不同正实数根,记x x h x e 2)(=,则2)1(e 2)(x x x h x -=',当01x <<时,()0h x '<；当1>x 时,()0h x '>,所以函数()h x 在1x =处取得最小值(1)2e h =,所以a 的取值范围是(2e,)+∞. …………5分(Ⅱ）由(Ⅰ）得：21(1,)x x ∈+∞,且112e x ax =,所以112ln ln ln x x a +=+,222ln ln ln x x a +=+,所以1212ln ln x x x x -=-, ………………6分 因此0)(2121<++x x m x x 恒成立,即22122121(ln ln )()0x x x x m x x -+-<恒成立,即22221112ln 0x x x m x x x -+<,设21x t x =,即1ln ()0t m t t +-<在(1,)t ∈+∞上恒成立,从而0m <,记1()ln ()g t t m t t =+-,(1)0g =,211()(1)g t m t t '=++22(1)m t tt++=,…8分 ① 当12m ≤-时,t t 212>+,所以t t m -<+)1(2,从而()0g t '<, 则()g t 在区间[1,)+∞上单调递减,所以当1t >时,()(1)0g t g <=恒成立； ……………10分② 102m -<<时,()0g t '>等价于2110t t m ++<,2140m∆=->, 所以2110t t m ++=有两根21,t t ,且121211,0t t t t m=+=->,可以不妨设2110t t <<<,()0g t '>在),1(2t t ∈时成立,所以()g t 在区间),1(2t 上单调递增,当),1(2t t ∈时,()(1)0g t g >=,即1ln ()0t m t t+-<在(1,)t ∈+∞上不恒成立,综上,m 的取值范围是]21,(--∞. ………………12分 四、选做题(2选1）22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线1C 的极坐标方程为4cos (0)ρθρ=>.M 为曲线1C 上的动点,点P 在射线OM 上,且满足||||20OM OP ⋅=. (Ⅰ）求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；(Ⅱ）设2C 与x 轴交于点D ,过点D 且倾斜角为56π的直线l 与1C 相交于,A B 两点,求||||DA DB ⋅的值.答案： (Ⅰ）5x =； (Ⅱ）5. 解答：【评析】本题考查直线与圆的极坐标方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程的应用,突显了直观想象的考查.解答本题第一问首先要依据动点,P M 的极坐标的关系找到点P 的极坐标方程,再化为直角坐标方程；解答本题第二问首先要根据条件确定直线l 的参数方程,依据参数t 的几何意义,结合解方程,利用韦达定理得到解.(Ⅰ）设P 的极坐标为)0)(,(>ρθρ,M 的极坐标为)0)(,(11>ρθρ,由题设知1,4cos OP OM ρρθ===.所以20cos 4=θρ, ………………2分 即2C 的极坐标方程cos 5(0)ρθρ=>,所以2C 的直角坐标方程为5x =. ………………5分(Ⅱ）交点)0,5(D ,所以直线l的参数方程为5,12x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数）, 曲线1C 的直角坐标方程)0(0422≠=-+x x y x ,代入得：05332=+-t t ,70∆=>, ………………8分 设方程两根为12,t t ,则12,t t 分别是,A B 对应的参数,所以5||||||21==⋅t t DB DA . ………………10分23.选修4-5：不等式选讲已知函数|1|||)(-++=x a x x f .(Ⅰ）当1=a 时,求不等式4)(+≥x x f 的解集；(Ⅱ）若不等式1)(2-≥a x f 恒成立,求实数a 的取值范围.答案：(Ⅰ）4{|3x x ≤-或4}x ≥； (Ⅱ）[1,2]-.解答：【评析】本题考查绝对值不等式的解法、绝对值不等式定理,考查转化与化归思想、分类与整合思想,突显了数学运算、逻辑推理的考查.解答本题第一问首先要通过对绝对值内式子符号的讨论,将不等式转化为一元一次不等式组,再分别解各不等式组,最后求各不等式组解集的并集,得到所求不等式的解集；解答本题第二问首先要利用绝对值不等式定理得到函数()f x 的最小值,将不等式恒成立问题转化为关于a 的不等式解的问题,再通过对绝对值内式子符号的讨论,转化为不含绝对值的不等式组,最后求解不等式组.(Ⅰ）不等式为4|1||1|+≥-++x x x ,可以转化为：1,114x x x x ≤-⎧⎨---+≥+⎩或11,114x x x x -<<⎧⎨+-+≥+⎩或1,114x x x x ≥⎧⎨++-≥+⎩, ………………2分 解得43x ≤-或4x ≥,所以原不等式的解集是4{|3x x ≤-或4}x ≥. ………………5分 (Ⅱ）|1||)1()(|)(min +=--+=a x a x x f ,所以1|1|2-≥+a a ⎩⎨⎧-≥---<⇔11,12a a a 或2111a a a ≥-⎧⎨+≥-⎩, ………………8分 解得a ∈∅或21≤≤-a .所以实数a 的取值范围是[1,2]-. ………………10分。

山东省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z=（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合M={x|x2﹣2x﹣8≤0}，集合N={x|lgx≥0}，则M∩N=（）A．{x|﹣2≤x≤4} B．{x|x≥1} C．{x|1≤x≤4} D．{x|x≥﹣2}3．某校高一、高二、高三年级学生人数分别是400，320，280．采用分层抽样的方法抽取50人，参加学校举行的社会主义核心价值观知识竞赛，则样本中高三年级的人数是（）A．20 B．16 C．15 D．144．已知命题p：∃x0∈R，使sinx0=；命题q：∀x∈（0，），x＞sinx，则下列判断正确的是（）A．p为真B．￢q为假C．p∧q为真D．p∨q为假5．已知x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值是（）A．﹣7 B．﹣3 C．1 D．46．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．28+6 B．40 C．D．30+67．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（w＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（0）+f（）的值为（）A．2﹣B．2+C．1﹣D．1+8．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12 B．24 C．36 D．489．在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B分别为x轴，y轴上一点，且|AB|=1，若P（1，），则|++|的取值范围是（）A．[5，6] B．[6，7] C．[6，9] D．[5，7]10．设函数f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，f（0）=1，且3f（x）=f′（x）﹣3，则4f（x）＞f′（x）的解集为（）A．（，+∞）B．（，+∞）C．（，+∞） D．（，+∞）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11．二项式的展开式中常数项的值为．12．已知向量，其中，且，则向量与的夹角是．13．已知等比数列{a n}为递增数列，其前n项和为S n，若a3=8，S3=（4x+3）dx，则公比q= ．14．过点（0，3b）的直线l与双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条斜率为正值的渐近线平行，若双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，则双曲线C的离心率的最大值是．15．已知函数f（x）=，g（x）=kx+1，若方程f（x）﹣g（x）=0有两个不同实根，则实数k的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．在△ABC中，内角A，B，C的对边为a，b，c，已知2cos2+（cosB﹣sinB）cosC=1．（I）求角C的值．（Ⅱ）若c=2，且△ABC的面积为，求a，b．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，∠ABC=90°，△ABC≌△ADC，PA=AC=2AB=2，E是线段PC的中点．（I）求证：DE∥面PAB；（Ⅱ）求二面角D﹣CP﹣B的余弦值．18．2011年，国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源是中国古代数学家祖冲之的圆周率．为庆祝该节日，某校举办的数学嘉年华活动中，设计了如下有奖闯关游戏：参赛选手按第一关、第二关、第三关的顺序依次闯关，若闯关成功，分别获得5个、10个、20个学豆的奖励．游戏还规定，当选手闯过一关后，可以选择带走相应的学豆，结束游戏；也可以选择继续闯下一关，若有任何一关没有闯关成功，则全部学豆归零，游戏结束．设选手甲能闯过第一关、第二关、第三关的概率分别为，选手选择继续闯关的概率均为，且各关之间闯关成功与否互不影响．（Ⅰ）求选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率；（Ⅱ）设该选手所得学豆总数为X，求X的分布列与数学期望．19．已知数列a n是公差不为零的等差数列，且a3=5，a2，a4，a12成等比数列．数列{b n}的每一项均为正实数，其前n项和为S n，且满足4S n=b n2+2b n﹣3（n∈N*）（I）数列{a n}，{b n}的通项公式（Ⅱ）令c n=，记数列{c n}的前n项和为T n，若≥对∀n∈N*恒成立，求正整数m的最大值．20．已知函数f（x）=﹣aln（1+x）（a∈R），g（x）=x2e mx（m∈R）．（1）当a=1，求函数f（x）的最大值（2）当a＜0，且对任意实数x1，x2∈[0，2]，f（x1）+1≥g（x2）恒成立，求实数m的取值范围．21．设椭圆C：+=1（a＞b＞0），定义椭圆C的“相关圆”方程为x2+y2=．若抛物线y2=4x的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和两个焦点构成直角三角形（Ⅰ）求椭圆C的方程和“相关圆”E的方程；（Ⅱ）过“相关圆”E上任意一点P作“相关圆”E的切线与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点（i）证明：∠AOB为定值；（ii）连接PO并延长交“相关圆”E于点Q，求△ABQ面积的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z=（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出z在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：z==，则z在复平面内对应的点的坐标为：（，），位于第三象限．故选：C．2．已知集合M={x|x2﹣2x﹣8≤0}，集合N={x|lgx≥0}，则M∩N=（）A．{x|﹣2≤x≤4} B．{x|x≥1} C．{x|1≤x≤4} D．{x|x≥﹣2}【考点】交集及其运算．【分析】求出M中不等式的解集确定出M，求出N中x的范围确定出N，找出M与N的交集即可．【解答】解：由M中不等式变形得：（x﹣4）（x+2）≤0，解得：﹣2≤x≤4，即M=[﹣2，4]，由N中lgx≥0，得到x≥1，即N=[1，+∞），则M∩N=[1，4]，故选：C．3．某校高一、高二、高三年级学生人数分别是400，320，280．采用分层抽样的方法抽取50人，参加学校举行的社会主义核心价值观知识竞赛，则样本中高三年级的人数是（）A．20 B．16 C．15 D．14【考点】分层抽样方法．【分析】先求出抽取样本的比例是多少，再计算从高三学生中应抽取的人是多少．【解答】解：根据题意，得抽取样本的比例是=，∴从高三学生中应抽取的人数为280×=14．故选：D．4．已知命题p：∃x0∈R，使sinx0=；命题q：∀x∈（0，），x＞sinx，则下列判断正确的是（）A．p为真B．￢q为假C．p∧q为真D．p∨q为假【考点】复合命题的真假．【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可．【解答】解：∀x∈R，都有sinx≤1，故命题p：∃x0∈R，使sinx0=是假命题；令f（x）=x﹣sinx，f′（x）=1+cosx＞0，y=f（x）在区间（0，）上单调递增，∴f（x）＞f（0）=0，故命题q：∀x∈（0，），x＞sinx是真命题，故B正确，故选：B．5．已知x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值是（）A．﹣7 B．﹣3 C．1 D．4【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域，化简z=3x﹣2y为y=x﹣，从而利用数形结合求解即可．【解答】解：由题意作平面区域如下，，z=3x﹣2y可化为y=x﹣，故当过点A（1，5）时，z有最小值，即z=3x﹣2y的最小值是3﹣10=﹣7，故选：A．6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．28+6 B．40 C．D．30+6【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是一个三棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥，由俯视图和侧视图知，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是5、4，由正视图知，三棱锥的高是4，∴该几何体的体积V==，故选：C．7．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（w＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（0）+f（）的值为（）A．2﹣B．2+C．1﹣D．1+【考点】正弦函数的图象．【分析】根据函数f（x）的部分图象，求出周期T与ω的值，再计算φ的值，写出f（x）的解析式，从而求出f（0）+f（）的值．【解答】解：根据函数f（x）=2sin（ωx+φ）（w＞0，|φ|＜）的部分图象，得T=﹣（﹣）=，又T==π，∴ω=2；当x=﹣时，函数f（x）取得最小值﹣2，∴2×（﹣）+φ=﹣+2kπ，k∈Z，解得φ=﹣+2kπ，k∈Z，又|φ|＜，∴φ=﹣，∴f（x）=2sin（2x﹣）；∴f（0）+f（）=2sin（﹣）+2sin（2×﹣）=2×（﹣）+2sin=2﹣．故选：A．8．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12 B．24 C．36 D．48【考点】程序框图．【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：B．9．在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B分别为x轴，y轴上一点，且|AB|=1，若P（1，），则|++|的取值范围是（）A．[5，6] B．[6，7] C．[6，9] D．[5，7]【考点】向量的加法及其几何意义．【分析】设出A，B两点坐标，求出三个向量的坐标，对|++|取平方得出关于A点坐标的函数，利用三角函数的性质求出|++|的范围．【解答】解：设A（x，0），B（0，y），则x2+y2=1．∴=（1﹣x，），=（1，y）.=（1，）．∴++=（3﹣x，3）．∴|++|2=（3﹣x）2+（3﹣y）2=37﹣6x﹣6y．令x=cosθ，y=sinθ，则|++|2=37﹣6cosθ﹣6sinθ=37﹣12sin（θ+）．∴当sin（θ+）=﹣1时，|++|取得最大值=7，当sin（θ+）=1时，|++|取得最小值=5．故选：D．10．设函数f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，f（0）=1，且3f（x）=f′（x）﹣3，则4f（x）＞f′（x）的解集为（）A．（，+∞）B．（，+∞）C．（，+∞） D．（，+∞）【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】根据题意，设函数f（x）=ae bx+c，由f（0）=1得a+c=1；再由3f（x）=f′（x）﹣3，得；由此求出f（x）的解析式，再解不等式4f（x）＞f′（x）即可．【解答】解：∵3f（x）=f′（x）﹣3，∴f′（x）=3f（x）+3；可设f（x）=ae bx+c，由f（0）=1，∴a+c=1；又3f（x）=f′（x）﹣3，∴3ae bx+3c=abe bx﹣3，即（3a﹣ab）e bx=﹣3﹣3c，∴，解得b=3，c=﹣1，a=2；∴f（x）=2e3x﹣1，x∈R；又4f（x）＞f′（x），∴8e3x﹣4＞6e3x，即e3x＞2，解得x＞，所求不等式的解集为（，+∞）．故选：B．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11．二项式的展开式中常数项的值为20 ．【考点】二项式定理的应用．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0求出常数项．【解答】解：展开式的通项为T r+1=C6r x6﹣2r令6﹣2r=0得r=3故展开式的常数项为T4=C63=20故答案为2012．已知向量，其中，且，则向量与的夹角是150°．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；数量积表示两个向量的夹角．【分析】由，，且，知+cos＜＞=0，即3+cos＜＞=0，由此能求出向量与的夹角．【解答】解：∵，，且，∴+cos＜＞=0，即3+cos＜＞=0，解得cos＜＞=﹣，∴向量与的夹角是150°，故答案为：150°．13．已知等比数列{a n}为递增数列，其前n项和为S n，若a3=8，S3=（4x+3）dx，则公比q= 2 ．【考点】等比数列的通项公式；定积分．【分析】求定积分S3=（4x+3）dx=14，从而可得8（1++）=14，从而解得．【解答】解：S3=（4x+3）dx=2x2+3x|=8+6=14，则S3=a3（1++）=14，解得，q=2，故答案为：2．14．过点（0，3b）的直线l与双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条斜率为正值的渐近线平行，若双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，则双曲线C的离心率的最大值是3 ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出直线l的方程，利用双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，直线l与bx ﹣ay=0的距离恒大于等于b，运用平行直线的距离公式，建立不等式，即可求出双曲线C的离心率的最大值．【解答】解：由双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程y=±x，可得直线l的方程为y=x+3b，即bx﹣ay+3ab=0，由双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，可得直线l与bx﹣ay=0的距离恒大于等于b，即有≥b，化简可得8a2≥b2，8a2≥c2﹣a2，即c2≤9a2，即有c≤3a，可得离心率e=≤3．则离心率的最大值为3．故答案为：3．15．已知函数f（x）=，g（x）=kx+1，若方程f（x）﹣g（x）=0有两个不同实根，则实数k的取值范围为（，1）∪（1，e﹣1] ．【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系．【分析】方程f（x）﹣kx=1有两个不同实根可化为函数f（x）与函数y=kx+1有两个不同的交点，作函数f（x）与函数y=kx+1的图象，结合函数的图象求解．【解答】解：∵g（x）=kx+1，∴方程f（x）﹣g（x）=0有两个不同实根等价为方程f（x）=g（x）有两个不同实根，即f（x）=kx+1，则等价为函数f（x）与函数y=kx+1有两个不同的交点，当1＜x≤2，则0＜x﹣1≤1，则f（x）=f（x﹣1）=e x﹣1，当2＜x≤3，则1＜x﹣1≤2，则f（x）=f（x﹣1）=e x﹣2，当3＜x≤4，则2＜x﹣1≤3，则f（x）=f（x﹣1）=e x﹣3，…当x＞1时，f（x）=f（x﹣1），周期性变化；函数y=kx+1的图象恒过点（0，1）；作函数f（x）与函数y=kx+1的图象如下，C（0，1），B（2，e），A（1，e）；故k AC=e﹣1，k BC=；在点C处的切线的斜率k=e0=1；结合图象可得，实数k的取值范围为（，1）∪（1，e﹣1]；故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．在△ABC中，内角A，B，C的对边为a，b，c，已知2cos2+（cosB﹣sinB）cosC=1．（I）求角C的值．（Ⅱ）若c=2，且△ABC的面积为，求a，b．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得﹣sinBsinC=﹣sinBcosC，结合范围B∈（0，π），sinB≠0，解得tanC=，又C∈（0，π），即可求C的值．（Ⅱ）由三角形面积公式可解得ab=4，又由余弦定理可解得a+b=4，联立可解得a，b的值．【解答】解：（I）∵2cos2+（cosB﹣sinB）cosC=1，∴1+cosA+（cosB﹣sinB）cosC=1，可得：﹣cosA=（cosB﹣sinB）cosC，∴cos（B+C）=cosBcosC﹣sinBsinC=cosBcosC﹣sinBcosC，可得：﹣sinBsinC=﹣sinBcosC，∵B∈（0，π），sinB≠0，∴sinC=cosC，即：tanC=，∵C∈（0，π），∴C=．（Ⅱ）∵c=2，C=，△ABC的面积为=absinC=ab，∴解得：ab=4，①又∵由余弦定理可得：4=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab=（a+b）2﹣12，解得：a+b=4，②∴①②联立可解得：a=b=2．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，∠ABC=90°，△ABC≌△ADC，PA=AC=2AB=2，E是线段PC的中点．（I）求证：DE∥面PAB；（Ⅱ）求二面角D﹣CP﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）设线段AC的中点为O，连接OD，OE，推导出四边形ABOD是平行四边形，从而DO∥AB，进而面ODE∥面PAB，由此能证明DE∥面PAB．（Ⅱ）以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，过点B平行于AP的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D﹣CP﹣B的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）设线段AC的中点为O，连接OD，OE，∵∠ABC=90°，∴BO=，同理，DO=1，又∵AB=AD=1，∴四边形ABOD是平行四边形，∴DO∥AB，又∵OD∩OE=O，PA∩AB=A，OD，OE⊂平面ODE，PA，AB⊂面PAB，∴面ODE∥面PAB，又∵DE⊂面ODE，∴DE∥面PAB．解：（Ⅱ）∵AB⊥BC，PA⊥面ABCD，∴以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，过点B平行于AP的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），C（0，，0），P（1，0，2），D（，，0），=（0，，0），=（1，0，2），=（﹣，，0），=（﹣，﹣，2），设面PBC的法向量为=（x，y，z），则，取x=2，得=（2，0，﹣1），设平面DPC的法向量为=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，，1），设二面角D﹣CP﹣B的平面角为θ，则cosθ===，∴二面角D﹣CP﹣B的余弦值为．18．2011年，国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源是中国古代数学家祖冲之的圆周率．为庆祝该节日，某校举办的数学嘉年华活动中，设计了如下有奖闯关游戏：参赛选手按第一关、第二关、第三关的顺序依次闯关，若闯关成功，分别获得5个、10个、20个学豆的奖励．游戏还规定，当选手闯过一关后，可以选择带走相应的学豆，结束游戏；也可以选择继续闯下一关，若有任何一关没有闯关成功，则全部学豆归零，游戏结束．设选手甲能闯过第一关、第二关、第三关的概率分别为，选手选择继续闯关的概率均为，且各关之间闯关成功与否互不影响．（Ⅰ）求选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率；（Ⅱ）设该选手所得学豆总数为X，求X的分布列与数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设甲“第一关闯关成功且所得学豆为零”为事件A，“第一关闯关成功第二关闯关失败”为事件A1，“前两关闯关成功第三关闯关失败”为事件A2，则A1，A2互斥，由此能求出选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率．（Ⅱ）X所有可能的取值为0，5，15，35，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设甲“第一关闯关成功且所得学豆为零”为事件A，“第一关闯关成功第二关闯关失败”为事件A1，“前两关闯关成功第三关闯关失败”为事件A2，则A1，A2互斥，，…，……（Ⅱ）X所有可能的取值为0，5，15，35，…，，，…所以，X的分布列为：X 0 5 15 35P……19．已知数列a n是公差不为零的等差数列，且a3=5，a2，a4，a12成等比数列．数列{b n}的每一项均为正实数，其前n项和为S n，且满足4S n=b n2+2b n﹣3（n∈N*）（I）数列{a n}，{b n}的通项公式（Ⅱ）令c n=，记数列{c n}的前n项和为T n，若≥对∀n∈N*恒成立，求正整数m的最大值．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）通过设数列{a n}的首项为a1，公差为d（≠0），代入计算即得a n=3n﹣4；当n=1时由4S1=b12+2b1﹣3可知b1=3，当n≥2时，利用4S n=b n2+2b n﹣3与4S n﹣1=b n﹣12+2b n ﹣1﹣3作差，整理可知数列{b n}是首项为3、公差为2的等差数列，进而可知b n=2n+1；（Ⅱ）通过（I）裂项可知c n=（﹣），并项相加可知T n=，进而可知=1﹣，通过令f（x）=1﹣，借助函数知识可知≥，从而问题转化为解不等式≤，计算即得结论．【解答】解：（I）设数列{a n}的首项为a1，公差为d（≠0），由已知可得，解得：或（舍），∴a n=3n﹣4；当n=1时，4S1=b12+2b1﹣3，解得：b1=3或b1=﹣1（舍），当n≥2时，4S n﹣1=b n﹣12+2b n﹣1﹣3，∴4b n=4S n﹣4S n﹣1=b n2+2b n﹣b n﹣12﹣2b n﹣1，整理得：（b n﹣b n﹣2﹣2）（b n+b n﹣2）=0，又∵数列{b n}的每一项均为正实数，∴b n﹣b n﹣2﹣2=0，∴数列{b n}是首项为3、公差为2的等差数列，∴b n=2n+1；（Ⅱ）由（I）可知c n===（﹣），则T n=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=，∴==1﹣，令f（x）=1﹣，则当x＞0时，f（x）＞0，∴{}为递增数列，≥=，又∵≥对∀n∈N*恒成立，∴=≤，解得：m≤，故正整数m的最大值为6．20．已知函数f（x）=﹣aln（1+x）（a∈R），g（x）=x2e mx（m∈R）．（1）当a=1，求函数f（x）的最大值（2）当a＜0，且对任意实数x1，x2∈[0，2]，f（x1）+1≥g（x2）恒成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）把a=1代入函数解析式，直接利用导数求得函数的最值；（2）构造函数h（x）=f（x）+1，对任意的x1，x2∈[0，2]，f（x1）+1≥g（x2）恒成立，等价于当a＜0时，对任意的x1，x2∈[0，2]，h min（x）≥g max（x）成立，分类求得f（x）在[0，2]上的最小值，再求g（x）的导数，对m讨论，结合单调性，求得最大值，解不等式即可得到实数m的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=﹣aln（1+x）=，f′（x）=（x＞﹣1），当x∈（﹣1，0）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为增函数．∴f（x）max=f（0）=0；（2）令h（x）=f（x）+1，当a＜0，对任意实数x1，x2∈[0，2]，f（x1）+1≥g（x2）恒成立，即当a＜0，对任意实数x1，x2∈[0，2]，h（x1）≥g（x2）恒成立，等价于当a＜0时，对任意的x1，x2∈[0，2]，h min（x）≥g max（x）成立，当a＜0时，由h（x）=﹣aln（1+x）+1，得h′（x）==（x＞﹣1），当x∈（﹣1，1﹣a）时，h′（x）＞0，h（x）为增函数，当x∈（1﹣a，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）为减函数，若1﹣a＜2，即﹣1＜a＜0，h（x）在（0，1﹣a）上为增函数，在（1﹣a，2）上为减函数，h（x）的最小值为min{h（0），h（2）}=min{1，}=1，若1﹣a≥2，即a≤﹣1，h（x）在（0，2）上为增函数，函数f（x）在[0，2]上的最小值为f （0）=1，∴f（x）的最小值为f（0）=1，g（x）的导数g′（x）=2xe mx+x2e mx•m=（mx2+2x）e mx，当m=0时，g（x）=x2，x∈[0，2]时，g max（x）=g（2）=4，显然不满足g max（x）≤1，当m≠0时，令g′（x）=0得，，①当﹣≥2，即﹣1≤m≤0时，在[0，2]上g′（x）≥0，∴g（x）在[0，2]单调递增，∴，只需4e2m≤1，得m≤﹣ln2，则﹣1≤m≤﹣ln2；②当0＜﹣＜2，即m＜﹣1时，在[0，﹣]，g′（x）≥0，g（x）单调递增，在[﹣，2]，g′（x）＜0，g（x）单调递减，∴g（x）max=g（﹣）=，只需≤1，得m≤﹣，则m＜﹣1；③当﹣＜0，即m＞0时，显然在[0，2]上g′（x）≥0，g（x）单调递增，g（x）max=g（2）=4e2m，4e2m≤1不成立．综上所述，m的取值范围是（﹣∞，﹣ln2]．21．设椭圆C：+=1（a＞b＞0），定义椭圆C的“相关圆”方程为x2+y2=．若抛物线y2=4x的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和两个焦点构成直角三角形（Ⅰ）求椭圆C的方程和“相关圆”E的方程；（Ⅱ）过“相关圆”E上任意一点P作“相关圆”E的切线与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点（i）证明：∠AOB为定值；（ii）连接PO并延长交“相关圆”E于点Q，求△ABQ面积的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由抛物线y2=4x的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和两个焦点构成直角三角形，得到b=c=1，由此能求出椭圆C的方程．∴“相关圆”E的方程为x2+y2=．（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，直线AB方程为x=，；当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，代入椭圆方程，得x2+2（kx+m）2=2，由此利用根的判别式、韦达定理、直线与圆相切，结合已知条件推导出为定值．（ii）要求△ABQ的面积的取值范围，只需求弦长|AB|的范围，由此利用椭圆弦长公式能求出△ABQ面积的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线y2=4x的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和两个焦点构成直角三角形，∴b=c=1，∴a2=1+1=2，∴椭圆C的方程为．∴“相关圆”E的方程为x2+y2=．证明：（Ⅱ）（i）当直线l的斜率不存在时，不妨设直线AB方程为x=，则A（，），B（，﹣），∴，当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，得x2+2（kx+m）2=2，即（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=8（2k2﹣m2+1）＞0，即2k2﹣m2+1＞0，（*），∵直线与圆相切，∴==，∴3m2=2+2k2，∴+km（x1+x2）+m2===0，∴，∴为定值．解：（ii）∵PQ是“相关圆”的直径，∴，∴要求△ABQ的面积的取值范围，只需求弦长|AB|的范围，当直线AB的斜率不存在时，由（i）知|AB|=，|AB|====，①当k≠0时，|AB|=，∵，∴0＜，∴≤3，∴＜|AB|，当且仅当k=时，取“=”号．②当k=0时，|AB|=．|AB|的取值范围为≤|AB|，∴△ABQ面积的取值范围是[，]．。

高考模拟考试理科数学本试卷分第I 卷和第n 卷两部分，共 5页.满分150分.考试用时120分钟，考试结束 后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答题前，考生务必用 0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科 类写在答题卡和试卷规定的位置上.2•第I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.3.第H 卷必须用 0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使 用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4•填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：如果事件 A , B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件 A , B 独立，那么P(AB)=P(A) • P(B).第I 卷(共50分)一、选择题：本大题共 10个小题，每小题5分，共50分•每小题给出的四个选项中只有一 项是符合题目要求的.(1)设集合 A = [x 二2 E o [,B ={x —4Ex 兰1}，贝V A c B= I x+3 J(A)[- 3, 1] (B)[ — 4, 2] (C)[- 2, 1] (D)(- 3, 1]⑵若复数z 满足 5 i z=4i ，其中i 为虚数单位，则z=(A) 1 - .3i (B) 5-i (C) ,3 i (D) 1⑶中国诗词大会的播出引发了全民的读书热，某小学语文老师在 班里开展了一次诗词默写比赛，班里 40名学生得分数据的茎叶图如右图.若规定得分不小于 85分的学生得到“诗词达人”的称号， 小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学 生得到“诗词爱好者”的称号.根据该次比赛的成绩按照称号的不 同进行分层抽样抽选 10名学生，则抽选的学生中获得 “诗词能手” 称号的人数为(A)2 (B)4 (C)5 (D)6⑷在 ABC 中，AC 「13,BC =1,B =60°，则 ABC 的面积为(A) -3 (B)2 (C) 2 3 (D)31256800124578022******** 02234445776689x 2y _0, ⑸若变量x , y 满足约束条件 x - y 空0, 则z=— 的最小值等于 x —3 x-2y 2 _0. 1 (A) -4 (B) -2 (C) -- (D)0 8 2 (6)设x € R,若“ X —a c 1(a 壬R )”是“ x +x —2>0”的充分不必要条件，则 a 的取值 范围是 (A) -：：, (B)」：,-3 一〔2,：： (C) -3,2 (D)[ - 3, 2] (7)我国古代数学家刘徽在学术研究中，不迷信古人，坚持实事 求是•他对《九章算术》中“开立圆术”给出的公式产生质疑, 为了证实自己的猜测，他引入了一种新的几何体“牟合方盖” 以正方体相邻的两个侧面为底做两次内切圆柱切割，然后剔除 外部，剩下的内核部分•如果“牟合方盖”的主视图和左视图 都是圆，则其俯视图形状为-0 ,有四个不等式：① a 3 ：：： b 3 ；② log a .2 3 log b d3；③b — .a ：：： -..b — a ；当-1,1时恒有f x • a :: f x ，则实数a 的IL 2 2取值范围是刘徽 (D ) ④ a 3 b 32ab 2 .则下列组合中全部正确的为 (A)①② (B)①③ (C)②③ (D)①④ (9)已知O 为坐标原点, 2 2 F 是双曲线C:%…*7=1 a 0, b 0的左 a b 焦点，A , B 分别为左、 Q ,连结PB 交y 轴于点E ,连结AE 交QF 于点M ，若M 是线段 QF 的中点，则双曲线 C 的离心率为 5 (B)- 2 右顶点，过点F 做x 轴的垂线交双曲线于点 P , (A) 2 (C) 3 7(D)2(10)设函数 QX 2 +x,x 启 0, f X 2 -ax x, x ：： 0.第(9)題图G - 75 i +扬i1[i+苗"(A)! -------- , -------- (B) 1 一，I 2 2丿I 2丿(12)执行下边的程序框图，当输入的n *(13)已知(1 -2x ) (n E N )的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则展开式中所有 项的系数和为9兰x 兰2、 (14)在平面直角坐标系内任取一个点 P x, y 满足° . 2，则点P 落在曲线 线x =2, y =2围成的阴影区域(如图所示)内的概率为 _____________(15) 如图，正方形 ABCD 的边长为8，点E , F 分别在边 AD, BC 上，且 AE=3ED CF=FB 如uir uuu果对于常数m ，在正方形ABCD 的四条边上有且只有 6个不同的点P ,使得PEgPF =m 成立, 那么m 的取值范围是 __________________ .二、填空题：第U 卷(共100分)每小题5分，共25分.I i 3(11)函数 f x =、2x 一一 的定义域为x 为2019时，输出的y=第(15)题图三、解答题：本大题共6小题，共75分.(16) (本小题满分12分)已知函数f x = sin 仝cos- -2.3cos2- 3 .I 2 2丿2(l)求f x的单调区间；(II)求f x在〔0,二1上的值域.(17) (本小题满分12分)如图，正四棱台ABCD —ABQQ j 的高为2，下底面中心为 上、下底面边长分别为 2和4.(I) 证明：直线OC 1 //平面ADD 1A 1 ；(II) 求二面角B-CG -0的余弦值.(18) (本小题满分12分)已知是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，£=9,并且a 2,a 5,a i4成等比数列,r 3n+ -3数列tb ，的前n 项和为T n : 2 (I)求数列：a n /, % ?的通项公式;(19) (本小题满分12分)2019年1月25日智能共享单车项目摩拜单车正式登陆济南， 两种车型采用分段计费的方式， Mobike Lite 型(Lite 版)每30分钟收费0.5元(不足30分钟的部分按 30分钟计算)；Mobike(经 典版)每30分钟收费1元(不足30分钟的部分按30分钟计算)•有甲、乙、丙三人相互独立 的到租车点租车骑行 (各租一车一次)•设甲、乙、丙不超过 30分钟还车的概率分别为(I)求甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率;(n )设甲、乙、丙三人所付的费用之和为随机变量 •，求的分布列和数学期望.(20) (本小题满分13分)1 2已知函数 f x ax -'l a ■ 1 x ■ In x ,其中 a R .(I) 当a 0时，讨论函数f (x )的单调性；(II) 当a = 0时，设g x = -xf x 2，是否存在区间〔m, n •二〔1,= 使得函数g x 在区 间m,n 1上的值域为||k m 2 , k n • 2 ?若存在，求实数 k 的取值范围；若不存在，请 说明理由.(21) (本小题满分14分)2 2设椭圆C:笃，每可a b 0，定义椭圆的“伴随圆”方程为 x 2a 2b 2 ；若抛 a b 物线x 2 =4y 的焦点与椭圆C 的一个短轴端点重合，且椭圆C 的离心率为 (n )若 c n 2 a n 8 gb na n 1b n ，求数列 的前n 项和M3 2 14'3'2 三人租60分钟•甲、乙均租用Lite 版单车，丙租用经典版单车. C3(I) 求椭圆C的方程和“伴随圆” E的方程；(II) 过“伴随圆” E上任意一点P作椭圆C的两条切线PA PB, A, B为切点，延长PA与“伴随圆” E交于点Q，O为坐标原点.(i) 证明：PA I PB;(ii) 若直线OP, OQ的斜率存在，设其分别为k i,k2，试判断匕k2是否为定值，若是，求出该值；若不是，请说明理由.高考模拟考试数学(理科)参考答案与评分标准2017.3一、选择题I. D 2.D 3. B 4. A 5. B 6. A 7. B &B 9.C 10. C二、填空題II.(-k+oo) 12.4 13.-1 14.^7^ 15. <-1>8)4三■解答题16•解：(I )/( / ) = 1 + siar—()-；= l+2sin(j—-y ) .......................................................................................................................... 2 分由2kn— <丫—寻•点€刁・得单调递增区何［2抵一卡・次兀+普］・^€Z由2b+号号=轴+导・2 人得/Cr)单调递减区间 ......................................................... 6分(11)才€［0・兀］・貝U 丁_号€［一手•年］............................... 8 分sin(x—y)6 —1 ^sinC-^j—y)€ ［—73.2］/Cr)在［0・<|上值域［1-73.3］.............................................................................................. 12 分17. (1 )证明：取AD的中点M・连结(AW.MD,.正四枝台ABCD-AMGO中四边形Alk'D是正方形则()M±-^CD•由己知得G D 上長、D •所以OMJLC. D,.四边形<X',O M W是平行四边形•则(X\//MD xMDU 平面ADDCX10 半面ADD.A,.所以OG〃平面ADD t.................................................................................................................. 6分(用面面平行证明或建系用向量证明酌情给分！)(II )以0为空间坐标原点•如图建立空间直角坐标系O—xyz.(X0.0.0) B(2・2・0) C(—2.2.0) C>( —bl>2) Cfi=(4<0e0)Cf l =(k-1.2) 令需= (*，•"是平面BCG法向址则有;；-cfi=Q和•哼+余+*+•••+写1+第1寺 M ・ = l+2 谆+*+•••+£)一勞1g-守 19.解：(I )由題意得•甲乙丙在30分钟以上且不超过60分钟还乍的概率分别为+•占• +…1分 记甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用为事件A.* p<A)=T x 4x T +T x T x T =n答：甲、乙两人所付的费用Z 和等于丙所付的费用的概率为召 .................... 4分 < II >e 可能取值有 2、2. 5.3,3. 5、4.3 2 11P(£=2)=A x |x ±=±i P (e =2.5)=|x|x|+4-x|x|=A i P(^3)=fxfx|+|x|xf^；p (^x5)»|x|x|+|xfxf^； 4/=0 ”1 •CCi -0 即H 亠 c 山=(°・2・1) • I 』一y+2s ：=0 同理可御平面(X ；O 的法向&W2=( 1.1.0) .......................................................................... 10分 18.解：(1)令等差数列｛“.｝的首项s •公比为d •由題总知(a 1+4J)2 = (ai+J)(ai + 13J) »=3u]+3J=9 •又〃工0・Aui = 1 •J=2^. = 2w—1b\ =3.；2^2 时 b H = T,~T.-i =3" b =3 符合 h. = M 所以：h a =3* •6分.(2)r. 二 2刃+1 _ 3* ⑶M. 胡+”$2卄1 T 71"12分|M W =1+2(22.5 33.5 41 5 7 5 1 P724242424所以女=2洱+2.5碼+3X 《+3・5X 窃+4X»另 ...............................20•解：（I ）f （.r ）定义域才€（0・+8几令f （.r ）=0得才=+或〃=1 ① 若o<a<n 则«o ・】>时 /（x ）>o.xc （】•*）时厂a 〉vo“c）时 /（^）>0.故函数/Cr ）在（0・1）・（+・+8）上眾调递増•在（I.*）上星调递减； ② 若u=l 时•則/€（0・+8 ）时/（x ）» •当且仅当』=1时/（j-）=0. 故函数/\才）在（0・+8）上单调递增；③ 若“>1时•則才€（（）•+）时厂（才>>0•才€（+•】）时厂（才）<0」€（1・+8）时厂（小>0.故函数八才）在（0・+）・（1・+8）上单调递如在（+・1）上单调递减. 综_h ：（Xa<l 时./（x ）flj 区间（0・ 1 ） •（+・+8）•减区间（1 •» ）； “=1时JGr ）増区间（O.+oo ）.无减区间；“>1时・/（』）増区间（0.» ）・（1・+8）.减区间（+・1 ） ............................ （U ）为 “=0 时•/（』）ulor —\r ・X （』）nF —*lnz+2・ /.g （^） = 2^—liu —1 令夕（』〉=“（才〉・则^（-r ） =2—j-ZX ）,■所以”（』）在（1・+E ）上小调递增.所以V J -€（1*+OO ）有/（』）>“'（1）= 1>0・即函数承乃在区间（l.+oo ）当单调递增. 假设存在区间［加・“］U （1. +oo ）使得甬数g （T ）在区间［加・“］上的值域为 ［怡（加+2） •怡（〃+2）］“”）下】严=丫+2）■原问题转化为关升的方程g （n ）=w 2—川ln”+2=h （〃+2 ）/一却2+2=虹才+2）在区间（1・+8）上是否存在两个不等实根. 即方程—川一 £吁+2在区间（］.+8）上是否存在两个不等实根.11分12(u>0)才+2令力（』）=▽-”昨+2」€（】・+oo ）・"Gr ）—"」-^"4 』+2 .rGr+2T令 /> (x) = F + 3/ — 2liv — 4.才€ (1 ・+8)■则 />' (^)=—+ J >0・才€（1 t+oo ）故 per 〉在（1.+8）上单调递增•所以 Vj-€（U+oo ）.p （j-）＞p （l ）-0＞即於Gr ）＞o ・ 所以从才）在区间（1・+8）上单调递增•所以方程上=/-［厂?在区间（1.+8）上不 存在两个不等实根.综上可知：不存在区间［加・”］U （l ・+oo ）使得换数£（才）在区间［加・"］上的值域为 0（加+2）/（”+2）］ ............................................................................................................... 13 分 21.解：（1 ）因为抛物线F=4y 的焦点为（0・1）与椭関C 的一个短轴端点重合.所以6=1 ZW 为椭圆（'的离心率为鲁.所以,=3・故椭鬪C 的方程为号+b = l •“伴随闘”E 的方程为.厂+" = 4 ............................................ 4分 （D （i ）设P （J *, •力）・QCn •加）•当过P 点的椭恻C 的切线編率存在且不为苓・ 设其方程设为,=心+加弄0）因为直线y=hr+加过点P （中•，］ ） •所以m=y\ —k^i •且+工=4 应• 消去，得（3J P + 1 J-r 2+6kmj-4-3//r —3=0 I 丁+"=】于是△=（6b/i ）2 —4（3F + ］）（3肿一3）= 0 得肿=弘2 + ］・把m=y i ^kj l 代入上式得关于A 的方程（# —3）於一InyS+yf —1=0（*—3工0） 的两根分别为直线为PAJF 的斜率•所以知人・知勺=普吕=一1（・・・#+気=4） 当切线的斜率不存在或等于零时结论显然成立. 所以PA 丄PB ................... 9分 （ii ）当直线PQ 的斜率存在时. 止（i ）知设直线PQ 的方程为y=£r+,” 主（严得（X +1〉X+2hz +加-4=0=4则 /!= （2km ）2-4（it 2 +1） （//?-4） •将〃2=3P +1 代入整理得"4卩+】2＞0设 P （X1 ）.Q （J-2,j2）.M n +』2 =代 2：；才2 = ；2 + :易鲨证kik t —— 洛将宀※+】代入上式得砧一吉. ＜+/”）（ h 」、+ 加）_怡'』| +A 加（』| +・兀）+ 加'所以kik2——是定值14分。

烟台市2019届高三高考一模数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）已知复数z满足（1﹣i）z＝2i（i为虚数单位），则＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．1﹣i2．（5分）若集合M＝{x|x＞1}，N＝{x∈Z|0≤x≤4}，则（∁R M）∩N＝（）A．{0}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{2，3，4}3．（5分）已知甲袋中有1个红球1个黄球，乙袋中有2个红球1个黄球，现从两袋中各随机取一个球，则取出的两球中至少有1个红球的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）“b＞a＞0”是“”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角θ的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（﹣3，1），则cos2θ＝（）A．B．C．D．6．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．8B．16C．32D．647．（5分）在，＝，则＝（）A．B．C．D．8．（5分）我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为圆周，则该不规则几何体的体积为（）A．B．C．1+2πD．9．（5分）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称，且，则当ω取最小值时，函数f（x）的解析式为（）A．B．C．D．10．（5分）设A，B，C，D是同一个球面上四点，△ABC是斜边长为6的等腰直角三角形，若三棱锥D﹣ABC体积的最大值为27，则该球的表面积为（）A．36πB．64πC．100πD．144π11．（5分）若函数f（x）＝e x﹣e﹣x+sin2x，则满足f（2x2﹣1）+f（x）＞0的x的取值范围为（）A．B．C．D．12．（5分）已知F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，M为双曲线右支上一点且满足，若直线MF2与双曲线的另一个交点为N，则△MF1N的面积为（）A．12B．C．24D．二、填空题：本大题共有4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知（a﹣x）（2+x）5的展开式中x3的系数为40，则实数a的值为．14．（5分）己知x，y满足约束条件的最小值是．15．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，则△ABC 周长的最大值为．16．（5分）已知f（x）＝，若方程f（x）﹣mx＝0有2个不同的实根，则实数m的取值范围是（结果用区间表示）．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分．17．（12分）已知数列{a n}中，．（1）记b n＝log2（a n+1），判断{a n}是否为等差数列，并说明理由：（2）在（1）的条件下，设，求数列{c n}的前n项和T n．18．（12分）如图，在平面四边形ABCD中，△ABC等边三角形，AC⊥DC，以AC为折痕将△ABC 折起，使得平面ABC⊥平面ACD．（1）设E为BC的中点，求证：AE⊥平面BCD：（2）若BD与平面ABC所成角的正切值为，求二面角A﹣BD﹣C的余弦值．19．（12分）已知F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过F的动直线交抛物线C于A，B两点．当直线与x轴垂直时，|AB|＝4．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线AB的斜率为1且与抛物线的准线l相交于点M，抛物线C上存在点P使得直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，求点P的坐标．20．（12分）2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X（单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图．（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中间值代表）；（2）由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间X服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若X～N（μ，σ2），令Y ＝，则Y～N（0，1），且P（X≤a）＝P（Y≤）．利用直方图得到的正态分布，求P（X≤10）．（ii）从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求P（Z≥2）（结果精确到0.0001）以及Z的数学期望．参考数据：．若Y～N（0，1），则P（Y≤0.75）＝0.7734．21．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣2ax+3a2e﹣x（a∈R），其中e＝2.71828…为自然对数的底数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x∈（0，+∞）时，e x（x﹣a）+3a2e﹣x﹣x2﹣a2+10＞f（x）恒成立，求a的取值范围．（二）选考题：共10分．请在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）设点，直线l与曲线C相交于两点A，B，求的值．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣m|x+2|．（1）当m＝1时，求不等式f（x）≥2的解集；（2）若实数m使得不等式f（x﹣2）＞m在x∈[﹣1，1]恒成立，求m的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）已知复数z满足（1﹣i）z＝2i（i为虚数单位），则＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．1﹣i【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由（1﹣i）z＝2i，得z＝，∴．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2．（5分）若集合M＝{x|x＞1}，N＝{x∈Z|0≤x≤4}，则（∁R M）∩N＝（）A．{0}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{2，3，4}【分析】可求出集合N，然后进行补集、交集的运算即可．【解答】解：N＝{0，1，2，3，4}，∁R M＝{x|x≤1}；∴（∁R M）∩N＝{0，1}．故选：B．【点评】考查描述法、列举法的定义，以及补集、交集的运算．3．（5分）已知甲袋中有1个红球1个黄球，乙袋中有2个红球1个黄球，现从两袋中各随机取一个球，则取出的两球中至少有1个红球的概率为（）A．B．C．D．【分析】现从两袋中各随机取一个球，基本事件总数n＝＝6，取出的两球中至少有1个红球的对立事件是取出的两球都是黄球，利用对立事件概率计算公式能求出取出的两球中至少有1个红球的概率．【解答】解：甲袋中有1个红球1个黄球，乙袋中有2个红球1个黄球，现从两袋中各随机取一个球，基本事件总数n＝＝6，取出的两球中至少有1个红球的对立事件是取出的两球都是黄球，∴利用对立事件概率计算公式得：取出的两球中至少有1个红球的概率为p＝1﹣＝．故选：D．【点评】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．（5分）“b＞a＞0”是“”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：当b＞a＞0时，成立，反之当b＜0，a＞0时，满足，但b＞a＞0不成立，即b＞a＞0”是“”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角θ的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（﹣3，1），则cos2θ＝（）A．B．C．D．【分析】由任意角的三角函数的定义求得sinθ，然后展开二倍角公式求cos2θ．【解答】解：∵角θ的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（﹣3，1），∴|OP|＝，∴sinθ＝．则cos2θ＝1﹣2sin2θ＝．故选：D．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查任意角的三角函数的定义，是基础题．6．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．8B．16C．32D．64【分析】根据程序框图进行模拟计算即可．【解答】解：当a＝1，b＝2时，S＝ab＝2，S＜100成立，则a＝2，b＝2，S＝ab＝2×2＝4，S＜100成立，则a＝2，b＝4，S＝ab＝2×4＝8，S＜100成立，则a＝4，b＝8，S＝ab＝4×8＝32，S＜100成立，则a＝8，b＝32，S＝ab＝8×32＝256，S＜100不成立，输出b＝32，故选：C．【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟运算是解决本题的关键．7．（5分）在，＝，则＝（）A．B．C．D．【分析】本题主要是找到两个基底向量，然后用两个基底向量表示，再通过向量的运算即可得出结果．【解答】解：由题意，画图如下：则：＝＝，＝＝．∴＝＝＝＝＝．故选：A．【点评】本题主要考查基底向量的建立，以及用两个基底向量表示别的向量．本题属基础题．8．（5分）我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为圆周，则该不规则几何体的体积为（）A．B．C．1+2πD．【分析】根据三视图知该几何体是三棱锥与圆锥体的所得组合体，结合图中数据计算该组合体的体积即可．【解答】解：根据三视图知，该几何体是三棱锥与圆锥体的组合体，如图所示；则该组合体的体积为V＝××1×1×2+×π×12×2＝+；所以对应不规则几何体的体积为+．故选：B．【点评】本题考查了简单组合体的体积计算问题，也考查了三视图转化为几何体直观图的应用问题，是基础题．9．（5分）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称，且，则当ω取最小值时，函数f（x）的解析式为（）A．B．C．D．【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，可得所得函数的解析式，由，求出φ，再根据所得图象关于y轴对称求出ω，可得f（x）的解析式．【解答】解：将函数的图象向右平移个单位长度后，可得y＝sin（ωx﹣+φ）的图象；∵所得图象关于y轴对称，∴﹣+φ＝kπ+，k∈Z．∵＝sin（π+φ）＝﹣sinφ，即sinφ＝，则当ω取最小值时，φ＝，∴﹣＝kπ+，取k＝﹣1，可得ω＝4，∴函数f（x）的解析式为f（x）＝sin（4x+），故选：C．【点评】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的性质，属于中档题．10．（5分）设A，B，C，D是同一个球面上四点，△ABC是斜边长为6的等腰直角三角形，若三棱锥D﹣ABC体积的最大值为27，则该球的表面积为（）A．36πB．64πC．100πD．144π【分析】由题意画出图形，求出三棱锥D﹣ABC的外接球的半径，代入表面积公式求解．【解答】解：如图，△ABC是斜边BC长为6的等腰直角三角形，则当D位于直径的端点时，三棱锥D﹣ABC体积取最大值为27，由AB＝AC，AB⊥AC，BC＝6，可得斜边BC上的高AE＝3，AB＝AC＝，由，解得DE＝9，则EF＝．∴球O的直径为DE+EF＝10，则球O的半径为．∴该球的表面积为S＝4π×52＝100π．故选：C．【点评】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．11．（5分）若函数f（x）＝e x﹣e﹣x+sin2x，则满足f（2x2﹣1）+f（x）＞0的x的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】判断函数f（x）为定义域R上的奇函数，且为增函数；把f（2x2﹣1）+f（x）＞0化为2x2﹣1＞﹣x，求出解集即可．【解答】解：函数f（x）＝e x﹣e﹣x+sin2x，定义域为R，且满足f（﹣x）＝e﹣x﹣e x+sin（﹣2x）＝﹣（e x﹣e﹣x+sin2x）＝﹣f（x），∴f（x）为R上的奇函数；又f′（x）＝e x+e﹣x+2cos2x≥2+2xos2x≥0恒成立，∴f（x）为R上的单调增函数；又f（2x2﹣1）+f（x）＞0，得f（2x2﹣1）＞﹣f（x）＝f（﹣x），∴2x2﹣1＞﹣x，即2x2+x﹣1＞0，解得x＜﹣1或x＞，所以x的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）．故选：B．【点评】本题考查了利用定义判断函数的奇偶性和利用导数判断函数的单调性问题，是中档题．12．（5分）已知F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，M为双曲线右支上一点且满足，若直线MF2与双曲线的另一个交点为N，则△MF1N的面积为（）A．12B．C．24D．【分析】设|MF1|＝m，|MF2|＝n，根据双曲线的定义和MF1⊥MF2，可求出m＝6，n＝2，再设|NF2|＝t，则|NF1|＝4+t根据勾股定理求出t＝6即可求出三角形的面积【解答】解：设|MF1|＝m，|MF2|＝n，∵F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，∴m﹣n＝2a＝4，|F1F2|＝2c＝2∵，∴MF1⊥MF2，∴m2+n2＝4c2＝40，∴（m﹣m）2＝m2+n2﹣2mn，即2mn＝40﹣16＝24，∴mn＝12，解得m＝6，n＝2，设|NF2|＝t，则|NF1|＝2a+t＝4+t在Rt△NMF1中可得（4+t）2＝（t+2）2+62，解得t＝6，∴|MN|＝6+2＝8，∴△MF1N的面积S＝|MN|•|MF1|＝×8×6＝24故选：C．【点评】本题考查了双曲线的定义和向量的数量积和三角形的面积，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．二、填空题：本大题共有4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知（a﹣x）（2+x）5的展开式中x3的系数为40，则实数a的值为3．【分析】把（2+x）5按照二项式定理展开，可得（a﹣x）（2+x）5的展开式中x3的系数，再根据（a﹣x）（2+x）5的展开式中x3的系数为40，求得a的值．【解答】解：∵（a﹣x）（2+x）5＝（a﹣x）（32+80x+80x2+40x3+10x4+x5）的展开式中x3的系数为40a﹣80＝40，∴a＝3，故答案为：3．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14．（5分）己知x，y满足约束条件的最小值是．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．【解答】解：作出x，y满足约束条件的对应的平面区域如图：由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A时，直线的截距最小，此时z最小，由解得A（，）此时z＝×2+＝，故答案为：．【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法．15．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，则△ABC 周长的最大值为6．【分析】由正弦定理化简已知等式可得：sin A sin B＝sin B cos A，结合sin B＞0，可求tan A＝，结合范围A∈（0，π），可求A＝，由余弦定理，基本不等式可求4≥bc，进而可求b+c≤4，即可计算得解△ABC周长的最大值．【解答】解：∵，∴由正弦定理可得：sin A sin B＝sin B cos A，∵sin B＞0，∴sin A＝cos A，可得：tan A＝，∵A∈（0，π），∴A＝，∴由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得：4＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc，当且仅当b＝c时等号成立，∴由4＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc，可得：（b+c）2＝4+3bc≤4+3×4＝16，即b+c≤4，当且仅当b＝c时等号成立，∴△ABC周长a+b+c≤2+4＝6，即其最大值为6．故答案为：6．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16．（5分）已知f（x）＝，若方程f（x）﹣mx＝0有2个不同的实根，则实数m的取值范围是（结果用区间表示）．【分析】由方程的解与函数图象的交点个数的关系可得：f（x）﹣mx＝0有2个不同的实根等价于y＝f（x）的图象与直线y＝mx的交点个数为2，由函数图象的性质及利用导数求切线方程可得：设过原点的直线与y＝f（x）相切与点P（x0，y0），由f′（x）＝，则此切线方程为：y﹣lnx0＝（x﹣x0），又此直线过原点（0，0），则求得x0＝e，即切线方程为：y＝再结合图象可得：实数m的取值范围是m，得解【解答】解：由f（x）＝，可得：y＝f（x）在（0，4e）的图象关于直线x＝2e对称，f（x）﹣mx＝0有2个不同的实根等价于y＝f（x）的图象与直线y＝mx的交点个数为2，y＝f（x）的图象与直线x＝mx的位置关系如图所示，设过原点的直线与y＝f（x）相切与点P（x0，y0），由f′（x）＝，则此切线方程为：y﹣lnx0＝（x﹣x0），又此直线过原点（0，0），则求得x0＝e，即切线方程为：y＝，由图可知：当y＝f（x）的图象与直线y＝mx的交点个数为2时，实数m的取值范围是m，故答案为：（﹣∞，）．【点评】本题考查了方程的解与函数图象的交点个数的相互转化、函数图象的性质及利用导数求切线方程，属难度较大的题型．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分．17．（12分）已知数列{a n}中，．（1）记b n＝log2（a n+1），判断{a n}是否为等差数列，并说明理由：（2）在（1）的条件下，设，求数列{c n}的前n项和T n．【分析】（1）根据题意，由于b n＝log2（a n+1），分析可得当n＝1时，计算可得b1的值，当n≥2时，分析b n﹣b n的值，综合即可得答案；﹣1（2）由（1）的结论求出{b n}的通项公式，进而可得，由错位相减法分析可得答案．【解答】解：（1）根据题意，b n＝log2（a n+1），当n＝1时，有b1＝log2（a1+1）＝log22＝1；当n≥2时，＝；所以数列{b n}是以1为首项、公差为1的等差数列．（2）由（1）的结论，数列{b n}是以1为首项、公差为1的等差数列，则b n＝2+（n﹣1）＝n，则，于是，，①，②①﹣②可得：，＝，所以．【点评】本题考查数列的递推公式以及数列的求和，关键是求出数列{b n}的通项公式，属于综合题．18．（12分）如图，在平面四边形ABCD中，△ABC等边三角形，AC⊥DC，以AC为折痕将△ABC 折起，使得平面ABC⊥平面ACD．（1）设E为BC的中点，求证：AE⊥平面BCD：（2）若BD与平面ABC所成角的正切值为，求二面角A﹣BD﹣C的余弦值．【分析】（1）推导出CD⊥平面ABC，从而CD⊥AE，再求出AE⊥BC，由此能证明AE⊥平面BCD．（2）由DC⊥平面ABC，知∠DBC即为BD与平面ABC所成角，从而在直角△DCB中，，以C为坐标原点，分别以所在的方向作为x轴、y轴的正方向，建立空间直角坐标系C﹣xyz．利用向量法能求出二面角A﹣BD﹣C的余弦值．【解答】证明：（1）因为平面ABC⊥平面ACD，平面ABC∩平面ACD＝AC，CD⊂平面ACD，CD⊥AC，所以CD⊥平面ABC．………………………（1分）又AE⊂平面ABC，所以CD⊥AE．………………………（2分）在等边△ABC中，因为E为BC的中点，所以AE⊥BC．…………………（3分）因为AE⊥CD，AE⊥BC，CD∩BC＝C，所以AE⊥平面BCD．…………………（4分）解：（2）由（1）知DC⊥平面ABC，所以∠DBC即为BD与平面ABC所成角，于是在直角△DCB中，．…………………（5分）以C为坐标原点，分别以所在的方向作为x轴、y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C﹣xyz．设等边△ABC的边长为a，则，C（0，0，0），A（0，a，0），，，，，，．……………………（7分）设平面ABD的一个法向量为＝（x1，y1，z1），则，即，令z1＝1，则，，于是＝（，）．……………………（9分）设平面BCD的一个法向量为＝（x2，y2，z2），则，即，解得x2＝0，令z2＝1，则，于是＝（0，﹣，1）．……………………（11分）所以cos＜＞＝＝＝﹣．由题意知二面角A﹣BD﹣C为锐角，所以二面角A﹣BD﹣C的余弦值为．……………………（12分）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19．（12分）已知F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过F的动直线交抛物线C于A，B两点．当直线与x轴垂直时，|AB|＝4．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线AB的斜率为1且与抛物线的准线l相交于点M，抛物线C上存在点P使得直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，求点P的坐标．【分析】（1）由题意可得|AB|＝2p＝4，即可求出抛物线的方程，（2）设直线AB的方程为y＝x﹣1，联立消去x，得y2﹣4y﹣4＝0，根据韦达定理结合直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，即可求出点P的坐标【解答】解：（1）因为，在抛物线方程y2＝2px中，令，可得y＝±p．于是当直线与x轴垂直时，|AB|＝2p＝4，解得p＝2．所以抛物线的方程为y2＝4x．（2）因为抛物线y2＝4x的准线方程为x＝﹣1，所以M（﹣1，﹣2）．设直线AB的方程为y＝x﹣1，联立消去x，得y2﹣4y﹣4＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝4，y1y2＝﹣4．若点P（x0，y0）满足条件，则2k PM＝k PA+k PB，即，因为点P，A，B均在抛物线上，所以．代入化简可得，将y1+y2＝4，y1y2＝﹣4代入，解得y0＝±2．将y0＝±2代入抛物线方程，可得x0＝1．于是点P（1，±2）为满足题意的点．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数列与解析几何的综合，考查直线的斜率，综合性强．20．（12分）2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X（单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图．（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中间值代表）；（2）由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间X服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若X～N（μ，σ2），令Y＝，则Y～N（0，1），且P（X≤a）＝P（Y≤）．利用直方图得到的正态分布，求P（X≤10）．（ii）从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求P（Z≥2）（结果精确到0.0001）以及Z的数学期望．参考数据：．若Y～N（0，1），则P（Y≤0.75）＝0.7734．【分析】（1）直接由平均数公式及方差公式求解；（2）（i）由题知μ＝9，σ2＝1.78，则X～N（9，1.78），求出σ，结合已知公式求解P（X≤10）．（ⅱ）由（i）知P（X＞10）＝1﹣P（X≤10）＝0.2266，可得Z～B（20，0.2266），由P（Z≥2）＝1﹣P（Z＝0）﹣P（Z＝1）求解P（Z≥2），再由正态分布的期望公式求Z的数学期望E（Z）．【解答】解：（1），s2＝（6﹣9）2×0.03+（7﹣9）2×0.1+（8﹣9）2×0.2+（9﹣9）2×0.35+（10﹣9）2×0.19+（11﹣9）2×0.09+（12﹣9）2×0.04＝1.78；（2）（i）由题知μ＝9，σ2＝1.78，∴X～N（9，1.78），．∴；（ⅱ）由（i）知P（X＞10）＝1﹣P（X≤10）＝0.2266，可得Z～B（20，0.2266），P（Z≥2）＝1﹣P（Z＝0）﹣P（Z＝1）＝＝1﹣（0.7734+20×0.2266）×0.0076≈0.9597．∴Z的数学期望E（Z）＝20×0.2266＝4.532．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查离散型随机变量得期望，是中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣2ax+3a2e﹣x（a∈R），其中e＝2.71828…为自然对数的底数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x∈（0，+∞）时，e x（x﹣a）+3a2e﹣x﹣x2﹣a2+10＞f（x）恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）令g（x）＝e x（x﹣a﹣1）﹣x2+2ax﹣a2+10只需在x∈（0，+∞）使g min（x）＞0即可，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最值，从而确定a的范围即可．【解答】解：（1）由题意可知，＝，………………（1分）当a＝0时，f'（x）＝e x＞0，此时f（x）在R上单调递增；………………（2分）当a＞0时，令f'（x）＝0，解得x＝ln（3a），当x∈（﹣∞，ln（3a））时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（ln（3a），+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；………………（3分）当a＜0时，令f'（x）＝0，解得x＝ln（﹣a），当x∈（﹣∞，ln（﹣a））时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（ln（﹣a），+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；………………（4分）综上，当a＝0时，f（x）在R上单调递增；当a＞0时，x∈（﹣∞，ln（3a））时，f（x）单调递减，x∈（ln（3a），+∞）时单调递增；当a＜0时，x∈（﹣∞，ln（﹣a））时，f（x）单调递减，x∈（ln（﹣a），+∞）时单调递增．………………（5分）（2）由e x（x﹣a）+3a2e﹣x﹣x2﹣a2+10＞f（x），可得，e x（x﹣a﹣1）﹣x2+2ax﹣a2+10＞0，令g（x）＝e x（x﹣a﹣1）﹣x2+2ax﹣a2+10只需在x∈（0，+∞）使g min（x）＞0即可，g'（x）＝e x（x﹣a﹣1）+e x﹣2x+2a＝（e x﹣2）（x﹣a），………………（6分）①当a≤0时，x﹣a＞0，当0＜x＜ln2时，g'（x）＜0，当x＞ln2时，g'（x）＞0，所以g（x）在（0，ln2）上是减函数，在（ln2，+∞）上是增函数，只需g（ln2）＝﹣a2+（2ln2﹣2）a﹣ln22+2ln2+8＞0，解得ln2﹣4＜a＜ln2+2，所以ln2﹣4＜a≤0；………………（8分）②当0＜a＜ln2时，g（x）在（0，a）上是增函数，在（a，ln2）上是减函数，在（ln2，+∞）上是增函数，则，解得0＜a＜ln2，………………（9分）③当a＝ln2时，g'（x）≥0，g（x）在（0，+∞）上是增函数，而g（0）＝9﹣ln2﹣ln22＞0成立，………………（10分）④当a＞ln2时，g（x）在g（x）在（0，ln2）上是增函数，在（ln2，a）上是减函数，在（a，+∞）上是增函数，则，解得ln2＜a＜ln10．………（11分）综上，a的取值范围为（ln2﹣4，ln10）．………（12分）【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．（二）选考题：共10分．请在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）设点，直线l与曲线C相交于两点A，B，求的值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．【解答】解：（1）直线l的普通方程为；因为，所以2ρ2﹣ρ2cos2θ＝8，将x＝ρcosθ，ρ2＝x2+y2，代入上式，可得x2+2y2＝8．（2）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，可得，设A，B两点所对应的参数分别为t1，t2，则，．于是＝．【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣m|x+2|．（1）当m＝1时，求不等式f（x）≥2的解集；（2）若实数m使得不等式f（x﹣2）＞m在x∈[﹣1，1]恒成立，求m的取值范围．【分析】（1）分3种情况去绝对值，解不等式组可得；（2）将不等式分离参数m后构造函数求最小值可得．【解答】解：（1）当m＝1时，|2x﹣1|﹣|x+2|≥2，当x≤﹣2时，原不等式转化为1﹣2x+x+2≥2，解得x≤﹣2；………………（1分）当﹣2＜x≤时，原不等式转化为1﹣2x﹣x﹣2≥2，解得﹣2＜x≤﹣1；…（2分）当x＞时，原不等式转化为2x﹣1﹣x﹣2≥2，解得x≥5；………………（3分）综上，不等式的解集为{x|x≤﹣1或x≥5}．………………（4分）（2）由已知得：f（x﹣2）＝|2x﹣5|﹣m|x|＞m，即.，由题意m＜g（x）min．………………（5分）当x∈[0，1]时，为减函数，此时最小值为；………………（7分）当x∈[﹣1，0）时，为增函数，此时最小值为．………………（9分）又，所以．所以m的取值范围为．………………（10分）【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。

2019届山东省高三第一次大联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合，，则的元素个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】根据两个函数图像交点的个数确定的元素个数.【详解】由幂函数的图像可以知道，它们有三个交点，所以集合有三个元素.选D.【点睛】本题考查集合的表示、交集的运算，考查幂函数的图像.考查直观想象能力.属基础题2．已知在复平面内，复数对应的点分别是，则复数对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】先根据复数除法法则化简计算，再根据复数几何意义确定点坐标，最后作判断. 【详解】，对应的点的坐标是，在第四象限.选D.【点睛】本题考查复数的几何意义、复数运算，考查数学运算能力.属基础题.3．已知是等差数列，且，则的前项和等于（）B．C．D．【答案】C【解析】根据也是等差数列，再利用等差数列了前项和公式求解. 【详解】.选C. 【点睛】本题考查等差数列的判定、通项公式、前项和公式，考查基本求解能力，属基本题. 4．已知向量的夹角为，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先根据向量夹角公式求，再根据二倍角公式得结果.【详解】因为，所以.选A.【点睛】本题考查向量的坐标运算、二倍角公式，考查基本求解能力，属基本题.5．已知是抛物线上的点，点的坐标为，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B价条件，最后根据两范围包含关系确定充要关系.【详解】因为，所以，因为真子集，所以“”是“”的必要不充分条件，选B.【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程、充要条件的判定，考查基本判断分析能力，属基础题.6．相关变量的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下数据得到线性回归直线方程：，相关系数为.则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据相关系数的意义：其绝对值越接近，说明两个变量越具有线性相关，以及负相关的意义作判断.【详解】由散点图得负相关，所以，因为剔除点后，剩下点数据更具有线性相关性，更接近，所以.选D.【点睛】本题考查线性回归分析，重点考查散点图、相关系数，突显了数据分析、直观想象的考查.属基础题.7．设，则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先根据指数函数、对数函数的性质判断与的大小关系，再根据对数运算将化简，最后根据换底公式、不等式性质等判断出的大小关系.【详解】，，，所以最小，，因为.选B.【点睛】本题考查对数运算，考查指数、对数函数的性质，考查不等式的性质，考查基本分析判断能力.属基本题.8．执行如图所示程序框图，输出的结果是（）A．B．C．D．【答案】B解.【详解】如图所示时，是等比数列的前项和，即，由，所以输出的是.选B.【点睛】本题考查程序框图、等比数列的判定、等比数列的前项和公式，考查基本分析判断与求解能力.属基本题.9．过两点分别作斜率不为且与圆相切的直线，当变化时，交点的轨迹方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】首先根据圆的方程找到圆心和半径，然后根据圆的切线性质发现动点满足的几何条件，从而判断出动点的轨迹，再根据双曲线的标准方程求出轨迹方程.【详解】圆方程为与轴相切于点，设与圆的切点分别为，则，所以点的轨迹是以为焦点且实轴长为的双曲线的右支，，方程为，所以选A.【点睛】本题考查圆的方程、双曲线的定义及其标准方程. 考查基本分析判断与求解能力.属基本题.10．在解三角形的问题中，其中一个比较困难的问题是如何由三角形的三边直接求三角形的面积，据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的，他得到了海伦公式即，其中.我国南宋著名数学家秦九韶（约1202-1261）也在《数书九章》里面给出了一个等价解法，这个解法写成公式就是，这个公式中的应该是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】首先根据三角形面积公式,确定应该等于,再根据余弦定理得到答案.【详解】因为，所以.选C.【点睛】本题考查余弦定理、三角形面积公式、同角三角函数关系式，考查基本分析求解能力.属基本题.11．如图，是棱长为的正方体，是棱长为的正四面体，底面,在同一个平面内，，则正方体中过且与平面平行的截面面积是（）B．C．D．【答案】C【解析】首先要根据面面平行的性质定理确定截面的形状，再根据正四面体的性质、等角定理等确定点的具体位置、的长度，从而求出截面面积.【详解】设截面与分别相交于点则，过点作平面的垂线，垂足为，则是底面的中心.设，则，又因为，，所以，所以，所以四边形的面积.选C.【点睛】本题考查正棱锥的平行关系、等角定理，考查空间想象能力，突显了直观想象的考查.属中档题.12．已知函数（为自然对数的底），若方程有且仅有四个不同的解，则实数的取值范围是（）A．D．【答案】D【解析】首先需要根据方程特点构造函数,将方程根的问题转化为函数零点问题，并根据函数的奇偶性判断出函数在上的零点个数，再转化成方程解的问题，最后利用数形结合思想，构造两个函数，转化成求切线斜率问题，从而根据斜率的几何意义得到解.【详解】因为函数是偶函数，，所以零点成对出现，依题意，方程有两个不同的正根，又当时，，所以方程可以化为：，即，记，，设直线与图像相切时的切点为，则切线方程为，过点，所以或（舍弃），所以切线的斜率为，由图像可以得.选D.【点睛】本题考查函数的奇偶性、函数零点、导数的几何意义，考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想，突显了直观想象、数学抽象、逻辑推理的考查.属中档题.二、填空题【答案】【解析】首先要将化成，再用二项式定理求中的系数，从而得解.【详解】，依题意，只需求中的系数，是.【点睛】本题考查二项式定理，考查基本分析求解能力，属基础题.14．已知是等腰直角三角形，，，，则等于________.【答案】【解析】首先根据条件建立直角坐标系，将向量的几何运算转化为坐标运算，再根据条件建立关于实数的方程，通过解方程得到解.【详解】以所在直线分别为轴，轴，建立平面直角坐标系，则，所以，所以，解得或（舍去）.等于2.【点睛】本题考查向量的运算、坐标法，考查基本分析求解能力，属基础题..15．如图，已知四棱锥底面是边长为的正方形，侧面是一个等腰直角三角形，，平面平面，四棱锥外接球的表面积是________.【答案】【解析】首先根据外接球球心与各面中心连线垂直该面，从而通过找两个面的中心，并依据面面垂直的性质过中心作垂线，找到外接球的球心，然后确定外接球的半径，并计算球的表面积得到解.过的外心即的中点作平面的垂线，该垂线过正方形的中心，所以点为该四棱锥外接球的球心，其半径，所以外接球的表面积是.【点睛】本题考查两平面垂直的性质、球的性质及表面积公式，考查空间想象能力，突显了直观想象的考查.属中档题.16．已知等比数列的前项和为，满足是的等差中项.设是整数，若存在，使得等式成立，则的最大值是________.【答案】【解析】首先需要依据条件求出等比数列的通项公式及前项和公式，然后把表示成的函数，最后根据是整数确定这个函数的定义域，从而找到这个函数值域，得到的最大值.【详解】因为是的等差中项，所以，所以，，所以等式，化为：，因此，因为为整数，所以，当时，，当时，，当时，.从而的最大值是16.本题考查等差中项、等比数列的通项公式及前项和公式，考查基本分析求解能力，属基本题.三、解答题17．如图，点分别是圆心在原点，半径为和的圆上的动点.动点从初始位置开始，按逆时针方向以角速度作圆周运动，同时点从初始位置开始，按顺时针方向以角速度作圆周运动.记时刻，点的纵坐标分别为.（Ⅰ）求时刻，两点间的距离；（Ⅱ）求关于时间的函数关系式，并求当时，这个函数的值域.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）首先确定时刻两点的坐标及的长度、夹角，再利用两点距离公式或余弦定理求解；（Ⅱ）根据三角函数的定义先确定与的函数关系式，从而得到所求函数关系式，再利用两角和与差的三角函数公式将函数关系式化成（或）的形式，最后根据三角函数图像确定值域.【详解】（Ⅰ）时，，所以，又，所以，即两点间的距离为.（Ⅱ）依题意，，，所以，即函数关系为，当时，，所以，.【点睛】考查余弦定理、三角函数的定义、两角和与差的三角函数公式、三角函数的图像，考查函数思想、数形结合思想，突显了数学建模的考查.18．已知四棱锥的底面是等腰梯形，，，，，.（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）点是棱上一点，且平面，求二面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）首先通过计算得，再利用判定定理转化为线面垂直，从而得到面面垂直；（Ⅱ）首先通过垂直关系的判定正确建立空间直角坐标系找好的坐标，然后将线面平行即平面转化为线线平行，从而确定平面的法向量，最后根据法向量求出二面角的余弦.【详解】（Ⅰ）证明：等腰梯形中，∽，所以，又，所以，所以.所以，所以，即，又因为，且于点，所以平面，又因为平面，因此平面平面. （Ⅱ）连接，由（Ⅰ）知，平面，所以，所以，所以，即，如图以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，平面的法向量，因为平面，平面，平面平面，所以，设平面的法向量为，则，即，，令，则，所以，所以所求二面角的余弦值是.【点睛】本题考查线面、面面垂直关系的判定，考查线面平行的性质，考查空间向量的应用，考查二面角的计算，考查转化与化归思想，考查空间想象能力.19．某公司生产某种产品，一条流水线年产量为件，该生产线分为两段，流水线第一段生产的半成品的质量指标会影响第二段生产成品的等级，具体见下表：从第一道生产工序抽样调查了件，得到频率分布直方图如图：若生产一件一等品、二等品、三等品的利润分别是元、元、元.（Ⅰ）以各组的中间值估计为该组半成品的质量指标，估算流水线第一段生产的半成品质量指标的平均值；（Ⅱ）将频率估计为概率，试估算一条流水线一年能为该公司创造的利润；（Ⅲ）现在市面上有一种设备可以安装到流水线第一段，价格是万元，使用寿命是年，安装这种设备后，流水线第一段半成品的质量指标服从正态分布，且不影响产量.请你帮该公司作出决策，是否要购买该设备？说明理由.（参考数据：，，）【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）万元；（Ⅲ）见解析.【解析】（Ⅰ）首先根据频率分布直方图确定各组的频率及中间值，再根据样本平均数的计算公式计算得到平均数；（Ⅱ）首先确定随机变量的所有可能取值，再根据独立事件的概率公式求出分布列，最后利用数学期望公式求的数学期望；（Ⅲ）首先根据正态分布的性质确定好等，然后类似第二问求出随机变量的分布列及数学期望，最后根据随机变量的数学期望的大小作决策.【详解】（Ⅰ）平均值为： .（Ⅱ）由频率直方图，第一段生产半成品质量指标或，或，，设生产一件产品的利润为元，则，，，所以生产一件成品的平均利润是元，所以一条流水线一年能为该公司带来利润的估计值是万元.（Ⅲ），设引入该设备后生产一件成品利润为元，则，，，所以引入该设备后生产一件成品平均利润为元，所以引入该设备后一条流水线一年能为该公司带来利润的估计值是万元，增加收入万元，综上，应该引入该设备.【点睛】本题考查频率分布直方图、样本平均数的估算、独立事件的概率、随机变量的分布列及数学期望、正态分布，考查数学建模、数据分析能力.20．已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上的一个动点，当直线的斜率等于时，轴.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点且斜率为的直线与直线相交于点，试判断以为直径的圆是否过轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.【解析】（Ⅰ）首先根据题设给的点的特殊位置，建立关于的等式，再通过解方程求出，从而得到所求标准方程；（Ⅱ）首先根据条件利用直线方程的点斜式得到直线的方程，并利用椭圆方程整理化简方程，然后求出点的坐标，再根据圆的知识转化成向量垂直，进而求出定点坐标.【详解】（Ⅰ）依题意，又因为，所以，解得.所以椭圆的方程为.（Ⅱ）直线的方程：即，依题意，有，即，所以的方程为，所以点，设定点，由，即，所以，综上，存在定点符合条件.【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程，考查数形结合思想、特殊与一般思想. 21．已知函数（为自然对数的底，为常数，）有两个极值点，且.（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）首先通过导数运算将极值点问题转化为方程解的问题，从而转化成两个函数图像交点问题，再根据导数的应用确定函数的极值点、单调性，从而画出简图，判断出所求范围；（Ⅱ）首先根据隐含条件消元，将不等式转化为关于的不等式，从而构造函数，建立函数模型，再通过分类讨论该函数的单调性，确定实数的取值范围. 【详解】（Ⅰ），由得，依题意，该方程有两个不同正实数根，记，则，当时，；当时，，所以函数在处取得最小值，所以的取值范围是.（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，且，所以，，所以，因此恒成立，即恒成立，即，设，即在上恒成立，从而，记，，，①当时，，所以，从而，则在区间上单调递减，所以当时，恒成立；②时，等价于，，所以有两根，且，可以不妨设，在时成立，所以在区间上单调递增，当时，，即在上不恒成立，综上，的取值范围是.【点睛】本题考查导数运算、导数的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想、分类与整合思想，突显了数学抽象、数学建模、逻辑推理的考查.22．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.为曲线上的动点，点在射线上，且满足.（Ⅰ）求点的轨迹的直角坐标方程；（Ⅱ）设与轴交于点，过点且倾斜角为的直线与相交于两点，求的值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）首先依据动点的极坐标的关系找到点的极坐标方程，再化为直角坐标方程；（Ⅱ）首先根据条件确定直线的参数方程，依据参数的几何意义，结合解方程，利用韦达定理得到解.【详解】（Ⅰ）设的极坐标为，的极坐标为，由题设知.所以，即的极坐标方程，所以的直角坐标方程为.（Ⅱ）交点，所以直线的参数方程为（为参数），曲线的直角坐标方程，代入得：，，设方程两根为，则分别是对应的参数，所以.【点睛】本题考查直线与圆的极坐标方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程的应用，突显了直观想象的考查.23．已知函数.（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）首先通过对绝对值内式子符号的讨论，将不等式转化为一元一次不等式组，再分别解各不等式组，最后求各不等式组解集的并集，得到所求不等式的解集；（Ⅱ）首先利用绝对值不等式定理得到函数的最小值，将不等式恒成立问题转化为关于的不等式解的问题，再通过对绝对值内式子符号的讨论，转化为不含绝对值的不等式组，最后求解不等式组.【详解】（Ⅰ）不等式为，可以转化为：或或，解得或，所以原不等式的解集是或.（Ⅱ），所以或，解得或.所以实数的取值范围是.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法、绝对值不等式定理，考查转化与化归思想、分类与整合思想，突显了数学运算、逻辑推理的考查.。

2019届山东省聊城市高三一模考试
数学（理）试卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知函数的定义域为集合，集合，则
（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出函数的定义域为再求得解.
【详解】由得即函数的定义域为
故选：
2.设，则复数的虚部为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出z=1+2i,再求复数的虚部得解.
【详解】，复数的虚部为.
故选：
3.已知向量，，若，则的值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出，再利用求出的值.
【详解】
故选：
4.记为等比数列的前项和，若，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据得到，求出q的值，再求的值.
【详解】由题得
化为：解得则.
故选：
5.AQI是表示空气质量的指数,AQI指数值越小,表明空气质量越好,当AQI指数值不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某地4月1日到12日AQI指数值的统计数据,图中点A表示4月1日的AQI指数值为201,则下列叙述不正确的是()
A. 这12天中有6天空气质量为“优良”
B. 这12天中空气质量最好的是4月9日
C. 这12天的AQI指数值的中位数是90
D. 从4日到9日,空气质量越来越好
【答案】C
【解析】
由图可知,不大于100天有6日到11日,共6天,所以A对,不选. 最小的。

2018—2019学年度济宁市高考模拟考试数学(理工类)试题2019.3第I卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合则( )A. [1，3]B. (1，3]C. [2，3]D. [－l，+∞)【答案】B【解析】【分析】先求出集合A，B，由此能求出A∩B．【详解】∵集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}，B＝{x|y＝ln（x﹣1）}＝{x|x＞1}，∴A∩B＝{x|1＜x≤3}＝（1，3]．故选：B．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.若复数，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是( )A. z的虚部为B.C. 为纯虚数D. z的共轭复数为【答案】AC【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案【详解】∵z，∴z的虚部为﹣1，|z|，z2＝（1﹣i）2＝﹣2i为纯虚数，z的共轭复数为1+i．，故选：AC．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.执行如图所示的程序框图，若输入a的值为，则输出的S的值是( )A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】模拟程序的运行，可得a＝﹣1，S＝0，k＝1满足条件k＜5，执行循环体，S＝﹣1，a＝1，k＝2满足条件k＜5，执行循环体，S，a＝3，k＝3满足条件k＜5，执行循环体，S，a＝5，k＝4满足条件k＜5，执行循环体，S，a＝7，k＝5此时，不满足条件k＜5，退出循环，输出S的值为．故选：C．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．4.若变量满足则的最大值是( )A. B. 1 C. 2 D.【答案】D【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的一般式，通过圆心到直线的距离，求解即可．【详解】由变量x，y满足作出可行域如图，化z＝2x+y为2x+y﹣z＝0，由图可知，当直线y＝﹣2x+z与圆相切于A时，直线在y轴上的截距最大，z最大，此时．z．故选：D．【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．5.函数是定义在R上的奇函数，且若则( )A. B. 9 C. D. 0【答案】A【解析】【分析】由函数的奇偶性可知f（﹣x）＝﹣f（x），将f（1+x）＝f（1﹣x）变形可得f（﹣x）＝f（2+x），综合分析可得f（x+4）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，据此可得f（2019）＝﹣f（1），即可得答案．【详解】根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），又由f（1+x）＝f（1﹣x），则f（﹣x）＝f（2+x），则有f（x+2）＝﹣f（x），变形可得f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，则f（2019）＝f（﹣1+505×4）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣9；故选：A．【点睛】本题考查抽象函数的应用，涉及函数的周期性，奇偶性，关键是分析函数f（x）的周期性，是中档题.6.已知平面，直线，满足，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据线面平行的定义和性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】当m∥n时，若，则充分性不成立，当m∥α时，m∥n不一定成立，即必要性不成立，则“m∥n”是“m∥α”的既不充分也不必要条件．故选：D．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据线面平行的定义和性质是解决本题的关键，是基础题．7.若则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用三角函数的诱导公式和同角三角函数关系式的应用求出结果．【详解】sinx＝3sin（x-）＝﹣3cosx，解得：tanx＝﹣3，所以：cosxcos（x）＝﹣sinxcosx==，故选：A．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，诱导公式,同角三角函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．8.如图为某市国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线图，小明同学根据折线图对这7天的认购量(单位：套)与成交量(单位：套)作出如下判断：①日成交量的中位数是16；②日成交量超过日平均成交量的有2天；③认购量与日期正相关；④10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅．则上述判断正确的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】结合图形及统计的基础知识逐一判定即可．【详解】7天假期的楼房认购量为：91、100、105、107、112、223、276；成交量为：8、13、16、26、32、38、166．对于①，日成交量的中位数是26，故错；对于②，日平均成交量为：，有1天日成交量超过日平均成交量，故错；对于③，根据图形可得认购量与日期不是正相关，故错；对于④，10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅，正确．故选：B【点睛】本题考查了统计的基础知识，解题关键是弄清图形所表达的含义，属于基础题，9.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的外接球的体积为( )A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先将几何体的三视图转换为几何体进一步求出几何体的外接球半径，最后求出体积．【详解】根据几何体的三视图转换为几何体为：下底面为等腰三角形腰长为，高为2的直三棱柱，故外接球的半径R，满足，解得：R=，所以：V=．故选：A．【点睛】本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．10.已知函数的零点构成一个公差为的等差数列，把函数的图象沿轴向右平移个单位，得到函数的图象．关于函数，下列说法正确的是( )A. 在上是增函数B. 其图象关于直线对称C. 函数是偶函数D. 在区间上的值域为【答案】D【解析】【分析】化简f（x）=2sin（ωx），由三角函数图象的平移得：g（x）＝2sin2x，由三角函数图象的性质得y＝g（x）的单调性，对称性，再由x时，求得函数g（x）值域得解.【详解】f（x）＝sinωx cosωx＝2sin（ωx），由函数f（x）的零点构成一个公差为的等差数列，则周期T＝π，即ω＝2，即f（x）＝2sin（2x），把函数f（x）的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）＝2sin[2（x）]＝2sin2x，当≤2x≤,即≤x≤, y＝g（x）是减函数，故y＝g（x）在[，]为减函数，当2x=即x（k∈Z）,y＝g（x）其图象关于直线x（k∈Z）对称,且为奇函数，故选项A，B，C错误，当x时，2x∈[，]，函数g（x）的值域为[，2]，故选项D正确，故选：D．【点睛】本题考查了三角函数图象的平移、三角函数图象的性质及三角函数的值域，熟记三角函数基本性质，熟练计算是关键，属中档题11.已知双曲线的左、右焦点分别为，实轴长为4，渐近线方程为，点N在圆上，则的最小值为( )A. B. 5 C. 6 D. 7【答案】B【解析】【分析】求得双曲线的a，b，可得双曲线方程，求得焦点坐标，运用双曲线的定义和三点共线取得最小值，连接CF2，交双曲线于M，圆于N，计算可得所求最小值．【详解】由题意可得2a＝4，即a＝2，渐近线方程为y＝±x，即有，即b＝1，可得双曲线方程为y2＝1，焦点为F1（，0），F2，（，0），由双曲线的定义可得|MF1|＝2a+|MF2|＝4+|MF2|，由圆x2+y2﹣4y＝0可得圆心C（0，2），半径r＝2，|MN|+|MF1|＝4+|MN|+|MF2|，连接CF2，交双曲线于M，圆于N，可得|MN|+|MF2|取得最小值，且为|CF2|3，则则|MN|+|MF1|的最小值为4+3﹣2＝5．故选：B．【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查圆的方程的运用，以及三点共线取得最值，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题．12.已知当时，关于的方程有唯一实数解，则所在的区间是( )A. (3，4)B. (4，5)C. (5，6)D. (6．7)【答案】C【解析】【分析】把方程xlnx+（3﹣a）x+a＝0有唯一实数解转化为有唯一解，令f（x）（x＞1），利用导数研究其最小值所在区间得答案．【详解】由xlnx+（3﹣a）x+a＝0，得，令f（x）（x＞1），则f′（x）．令g（x）＝x﹣lnx﹣4，则g′（x）＝10，∴g（x）在（1，+∞）上为增函数，∵g（5）＝1﹣ln5＜0，g（6）＝2﹣ln6＞0，∴存在唯一x0∈（5，6），使得g（x0）＝0，∴当x∈（1，x0）时，f′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0．则f（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．∴f（x）min＝f（x0）．∵﹣4＝0，∴，则∈（5，6）．∴a所在的区间是（5，6）．故选：C【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，考查数学转化思想方法，熟练运用零点存在定理得x0﹣lnx0﹣4＝0并反代入f（x0）是本题关键，属中档题．第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.某学校从编号依次为01，02，…，90的90个学生中用系统抽样(等间距抽样)的方法抽取一个样本，已知样本中相邻的两个组的编号分别为14，23，则该样本中来自第四组的学生的编号为______．【答案】32【解析】【分析】根据条件求出样本间隔，即可得到结论．【详解】样本间隔为23﹣14＝9，则第一个编号为5，第四个编号为14+2×9＝14+18＝32，故答案为：32【点睛】本题主要考查系统抽样的应用，熟记系统抽样的原则与方法，求出样本间隔是解决本题的关键．比较基础．14.的展开式中，的系数为______．(用数字作答)．【答案】80【解析】【分析】把（x﹣2y）5按照二项式定理展开，可得（2x+y）（x﹣2y）5的展开式中，x2y4的系数．【详解】∵（2x+y）（x﹣2y）5＝（2x+y）（x5﹣10x4y+40x3y2﹣80x2y3+80xy4﹣32y5），∴x2y4的系数为2×80﹣80＝80，故答案为：80．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，项的系数的性质，属于基础题．15.如图所示，在正方形OABC内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率为______．【答案】【解析】【分析】结合定积分计算阴影部分平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式易求解．【详解】正方形的面积为e2，由lnxdx＝（xlnx﹣x）1，由函数图像的对称性知黑色区域面积为2lnxdx=2即S阴影＝2，故此点取自黑色部分的概率为，故答案为：【点睛】本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积．16.在△ABC中，记若．则sinA的最大值为______．【答案】【解析】【分析】把给定的，用基础向量，来表示，借助余弦定理和基本不等式求出cosA的最小值，从而得sinA的最大值．【详解】∵在△ABC中，记334，，⊥，∴5•40cosA，当且仅当时取到等号．又因为sin2A+cos2A＝1，所以sinA的最大值为．故答案为【点睛】本题考查向量向量基本定理，余弦定理，基本不等式的应用，熟练运用向量向量基本定理及余弦定理，合理构造基本不等式是关键，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17.等差数列的公差为正数，，其前项和为；数列为等比数列，，且．(I)求数列与的通项公式；(II)设，求数列的前项和．【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ).【解析】【分析】（Ⅰ）等差数列{a n}的公差d为正数，数列{b n}为等比数列，设公比为q，运用等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式；（Ⅱ）求得c n＝b n2n 2n+2（），数列的分组求和和裂项相消求和，化简整理即可得到所求和．【详解】解：(Ⅰ)设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，则解得∴，.(Ⅱ)由(Ⅰ)知.∴，∴.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和和裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．18.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，底面ABCD，．(I)求证：平面PCA⊥平面PCD；(II)设E为侧棱PC上的一点，若直线BE与底面ABCD所成的角为45°，求二面角的余弦值．【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ).【解析】【分析】（Ⅰ）推导出CD⊥AC，PA⊥CD，从而CD⊥平面PCA，由此能证明平面PCA⊥平面PCD．（Ⅱ）以A为坐标原点，AB，AC，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E﹣AB﹣D的余弦值．【详解】解：(Ⅰ)在平行四边形ABCD中，∠ADC=60°，，，由余弦定理得，∴，∴∠ACD=90°，即CD⊥AC，又PA⊥底面ABCD，CD底面ABCD，∴PA⊥CD，又，∴CD⊥平面PCA.又CD平面PCD，∴平面PCA⊥平面PCD.(Ⅱ)如图，以A为坐标原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.则，，，，.设，，则∴x=0，，，即点E的坐标为∴又平面ABCD的一个法向量为∴sin45°解得∴点E的坐标为，∴，，设平面EAB的法向量为由得令z=1，得平面EAB的一个法向量为∴.又二面角E-AB-D的平面角为锐角，所以，二面角E-AB-D的余弦值为【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.某学校为了了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100人的体重数据，结果这100人的体重全部介于45公斤到75公斤之间，现将结果按如下方式分为6组：第一组[45，50)，第二组[50，55)，…，第六组[70，75)，得到如下图(1)所示的频率分布直方图，并发现这100人中，其体重低于55公斤的有15人，这15人体重数据的茎叶图如图(2)所示，以样本的频率作为总体的概率．(I)求频率分布直方图中的值；(II)从全校学生中随机抽取3名学生，记X为体重在[55，65)的人数，求X的概率分布列和数学期望；(III)由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重近似服从正态分布，其中若，则认为该校学生的体重是正常的．试判断该校学生的体重是否正常?并说明理由．【答案】(Ⅰ)a=0.004，b=0.026，c=0007；(Ⅱ)详见解析；(Ⅲ)正常.【解析】【分析】（Ⅰ）由茎叶图中的数据，用样本的频率估计总体的频率，求得对应的概率值，再计算a、b、c的值；（Ⅱ）用由题意知随机变量X服从二项分布B（3，0.7），计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值；（Ⅲ）由题意知ξ服从正态分布N（60，25），计算P（μ﹣2σ≤ξ＜μ+2σ）的值，再判断学生的体重是否正常．【详解】解：(Ⅰ)由图（2）知，100名样本中体重低于50公斤的有2人，用样本的频率估计总体的概率，可得体重低于50公斤的概率为，则，在上有13人，该组的频率为0.13，则，所以，即c=0.07.(Ⅱ)用样本的频率估计总体的概率，可知从全体学生中随机抽取一人，体重在的概率为0.07×10=0.7，随机抽取3人，相当于三次独立重复试验，随机变量X服从二项分布，则，，，，所以，X的概率分布列为：X0123P0.0270.1890.4410.343E(X)=3×0.7=2.1(Ⅲ)由N(60,25)得由图（2）知.所以可以认为该校学生的体重是正常的.【点睛】本题考查了茎叶图与频率分布直方图的应用问题，也考查了概率分布与数学期望的计算问题，熟记频率分布直方图性质，熟练计算二项分布是关键，是中档题．20.已知椭圆的离心率为，且椭圆C过点．(I)求椭圆C的方程；(II)设椭圆C的右焦点为F，直线与椭圆C相切于点A，与直线相交于点B，求证：的大小为定值．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)详见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）由题意可知，解得a2＝3，b2＝2，即可求出椭圆C的方程，（Ⅱ）显然直线l的斜率存在，设l：y＝kx+m，联立，根据直线l与椭圆相切，利用判别式可得m2＝3k2+2，求出点A，B 的坐标，根据向量的运算可得可得•0，即∠AFB＝90°，故∠AFB的大小为定值．【详解】解：(Ⅰ)∵椭圆C过点，∴①∵离心率为∴②又∵③由①②③得，，.∴椭圆C的方程为C：.(Ⅱ)显然直线l的斜率存在，设l:y=kx+m.由消y得由得.∴∴∴切点A的坐标为又点B的坐标为，右焦点F的坐标为，∴，，∴∴∠AFB=90°，即∠AFB的大小为定值.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，准确转化题目，准确计算切点坐标是关键，属于中档题．21.已知函数．(I)讨论的单调性；(II)若时，恒成立，求实数的取值范围．【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ).【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）通过讨论a的范围，结合函数的单调性求出函数的最小值，从而确定a的范围即可．【详解】解：(Ⅰ)函数f(x)的定义域为，，①当时，，f(x)在上为增函数.②当a>0时，由得；由得,所以f(x)在上为减函数，在上为增函数.综上所述，①当时，函数f(x)在上为增函数②当a>0时，f(x)在上为减函数，在上为增函数.(Ⅱ)①当a=0时，因为，所以恒成立，所以a=0符合题意.②当a<0时，，因为，所以不恒成立，舍去.③当a>0时，由(Ⅰ)知f(x)在上为减函数，f(x)在上为增函数.下面先证明：.设，因为，所以p(a)在上为增函数.所以，因此有.所以f(x)在上为增函数.所以.设，则，.由得；由得.所以在上为减函数，在上为增函数.所以.所以q(a)在上为增函数，所以.所以.所以恒成立.故a>0符合题意.综上可知，a的取值范围是.【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22.在平面直角坐标系中，已知点M的直角坐标为(1，0)，直线的参数方程为（t为参数）；以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．(I)求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(II)直线和曲线C交于A，B两点，求的值．【答案】(Ⅰ)直线l的普通方程为，曲线C的直角坐标方程为；(Ⅱ)1.【解析】【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．【详解】解：(Ⅰ)将中的参数t消去可得：由得，由可得：所以直线l的普通方程为，曲线C的直角坐标方程为(Ⅱ)将代入得：设A，B两点对应的参数分别为，，则，所以【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.已知函数．(1)当时，解不等式；(2)若的值域为[2，+∞)，求证：.【答案】(1)或；(2）详见解析.【解析】【分析】（1）代入a，b的值，通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）求出a+b＝2，根据绝对值不等式的性质证明即可．【详解】(1)解：当a=b=1时，i)当时，不等式可化为：，即，所以ii)当时，不等式可化为：2>x+2，即x<0，所以iii)当x>1时，不等式可化为：2x>x+2，即x>2，所以x>2综上所述：不等式的解集为(2)证明，∵f(x)的值域为，∴a+b=2，∴a+1+b+1=4∴，当且仅当，即a=b=1时取“=”即.【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，熟练利用绝对值三角不等式得到a,b的关系是关键，是一道中档题．。

2019届山东省烟台市高三数学（理科）一模试题答案及解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1．（5分）已知复数z满足（1﹣i）z＝2i（i为虚数单位），则＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．1﹣i【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由（1﹣i）z＝2i，得z＝，∴．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2．（5分）若集合M＝{x|x＞1}，N＝{x∈Z|0≤x≤4}，则（∁R M）∩N＝（）A．{0}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{2，3，4}【分析】可求出集合N，然后进行补集、交集的运算即可．【解答】解：N＝{0，1，2，3，4}，∁R M＝{x|x≤1}；∴（∁R M）∩N＝{0，1}．故选：B．【点评】考查描述法、列举法的定义，以及补集、交集的运算．3．（5分）已知甲袋中有1个红球1个黄球，乙袋中有2个红球1个黄球，现从两袋中各随机取一个球，则取出的两球中至少有1个红球的概率为（）A．B．C．D．【分析】现从两袋中各随机取一个球，基本事件总数n＝＝6，取出的两球中至少有1个红球的对立事件是取出的两球都是黄球，利用对立事件概率计算公式能求出取出的两球中至少有1个红球的概率．【解答】解：甲袋中有1个红球1个黄球，乙袋中有2个红球1个黄球，现从两袋中各随机取一个球，基本事件总数n＝＝6，取出的两球中至少有1个红球的对立事件是取出的两球都是黄球，∴利用对立事件概率计算公式得：取出的两球中至少有1个红球的概率为p＝1﹣＝．故选：D．【点评】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．（5分）“b＞a＞0”是“”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：当b＞a＞0时，成立，反之当b＜0，a＞0时，满足，但b＞a＞0不成立，即b＞a＞0”是“”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角θ的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（﹣3，1），则cos2θ＝（）A．B．C．D．【分析】由任意角的三角函数的定义求得sinθ，然后展开二倍角公式求cos2θ．【解答】解：∵角θ的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（﹣3，1），∴|OP|＝，∴sinθ＝．则cos2θ＝1﹣2sin2θ＝．故选：D．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查任意角的三角函数的定义，是基础题．6．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．8B．16C．32D．64【分析】根据程序框图进行模拟计算即可．【解答】解：当a＝1，b＝2时，S＝ab＝2，S＜100成立，则a＝2，b＝2，S＝ab＝2×2＝4，S＜100成立，则a＝2，b＝4，S＝ab＝2×4＝8，S＜100成立，则a＝4，b＝8，S＝ab＝4×8＝32，S＜100成立，则a＝8，b＝32，S＝ab＝8×32＝256，S＜100不成立，输出b＝32，故选：C．【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟运算是解决本题的关键．7．（5分）在，＝，则＝（）A．B．C．D．【分析】本题主要是找到两个基底向量，然后用两个基底向量表示，再通过向量的运算即可得出结果．【解答】解：由题意，画图如下：则：＝＝，＝＝．∴＝＝＝＝＝．故选：A．【点评】本题主要考查基底向量的建立，以及用两个基底向量表示别的向量．本题属基础题．8．（5分）我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为圆周，则该不规则几何体的体积为（）A．B．C．1+2πD．【分析】根据三视图知该几何体是三棱锥与圆锥体的所得组合体，结合图中数据计算该组合体的体积即可．【解答】解：根据三视图知，该几何体是三棱锥与圆锥体的组合体，如图所示；则该组合体的体积为V＝××1×1×2+×π×12×2＝+；所以对应不规则几何体的体积为+．故选：B．【点评】本题考查了简单组合体的体积计算问题，也考查了三视图转化为几何体直观图的应用问题，是基础题．9．（5分）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称，且，则当ω取最小值时，函数f（x）的解析式为（）A．B．C．D．【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，可得所得函数的解析式，由，求出φ，再根据所得图象关于y轴对称求出ω，可得f（x）的解析式．【解答】解：将函数的图象向右平移个单位长度后，可得y＝sin（ωx﹣+φ）的图象；∵所得图象关于y轴对称，∴﹣+φ＝kπ+，k∈Z．∵＝sin（π+φ）＝﹣sinφ，即sinφ＝，则当ω取最小值时，φ＝，∴﹣＝kπ+，取k＝﹣1，可得ω＝4，∴函数f（x）的解析式为f（x）＝sin（4x+），故选：C．【点评】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的性质，属于中档题．10．（5分）设A，B，C，D是同一个球面上四点，△ABC是斜边长为6的等腰直角三角形，若三棱锥D﹣ABC体积的最大值为27，则该球的表面积为（）A．36πB．64πC．100πD．144π【分析】由题意画出图形，求出三棱锥D﹣ABC的外接球的半径，代入表面积公式求解．【解答】解：如图，△ABC是斜边BC长为6的等腰直角三角形，则当D位于直径的端点时，三棱锥D﹣ABC 体积取最大值为27，由AB＝AC，AB⊥AC，BC＝6，可得斜边BC上的高AE＝3，AB＝AC＝，由，解得DE＝9，则EF＝．∴球O的直径为DE+EF＝10，则球O的半径为．∴该球的表面积为S＝4π×52＝100π．故选：C．【点评】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．11．（5分）若函数f（x）＝e x﹣e﹣x+sin2x，则满足f（2x2﹣1）+f（x）＞0的x的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】判断函数f（x）为定义域R上的奇函数，且为增函数；把f（2x2﹣1）+f（x）＞0化为2x2﹣1＞﹣x，求出解集即可．【解答】解：函数f（x）＝e x﹣e﹣x+sin2x，定义域为R，且满足f（﹣x）＝e﹣x﹣e x+sin（﹣2x）＝﹣（e x﹣e﹣x+sin2x）＝﹣f（x），∴f（x）为R上的奇函数；又f′（x）＝e x+e﹣x+2cos2x≥2+2xos2x≥0恒成立，∴f（x）为R上的单调增函数；又f（2x2﹣1）+f（x）＞0，得f（2x2﹣1）＞﹣f（x）＝f（﹣x），∴2x2﹣1＞﹣x，即2x2+x﹣1＞0，解得x＜﹣1或x＞，所以x的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）．故选：B．【点评】本题考查了利用定义判断函数的奇偶性和利用导数判断函数的单调性问题，是中档题．12．（5分）已知F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，M为双曲线右支上一点且满足，若直线MF2与双曲线的另一个交点为N，则△MF1N的面积为（）A．12B．C．24D．【分析】设|MF1|＝m，|MF2|＝n，根据双曲线的定义和MF1⊥MF2，可求出m＝6，n＝2，再设|NF2|＝t，则|NF1|＝4+t根据勾股定理求出t＝6即可求出三角形的面积【解答】解：设|MF1|＝m，|MF2|＝n，∵F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，∴m﹣n＝2a＝4，|F1F2|＝2c＝2∵，∴MF1⊥MF2，∴m2+n2＝4c2＝40，∴（m﹣m）2＝m2+n2﹣2mn，即2mn＝40﹣16＝24，∴mn＝12，解得m＝6，n＝2，设|NF2|＝t，则|NF1|＝2a+t＝4+t在Rt△NMF1中可得（4+t）2＝（t+2）2+62，解得t＝6，∴|MN|＝6+2＝8，∴△MF1N的面积S＝|MN|•|MF1|＝×8×6＝24故选：C．【点评】本题考查了双曲线的定义和向量的数量积和三角形的面积，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．二、填空题：本大题共有4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知（a﹣x）（2+x）5的展开式中x3的系数为40，则实数a的值为3．【分析】把（2+x）5按照二项式定理展开，可得（a﹣x）（2+x）5的展开式中x3的系数，再根据（a﹣x）（2+x）5的展开式中x3的系数为40，求得a的值．【解答】解：∵（a﹣x）（2+x）5＝（a﹣x）（32+80x+80x2+40x3+10x4+x5）的展开式中x3的系数为40a﹣80＝40，∴a＝3，故答案为：3．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14．（5分）己知x，y满足约束条件的最小值是．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．【解答】解：作出x，y满足约束条件的对应的平面区域如图：由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A时，直线的截距最小，此时z最小，由解得A（，）此时z＝×2+＝，故答案为：．【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法．15．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，则△ABC周长的最大值为6．【分析】由正弦定理化简已知等式可得：sin A sin B＝sin B cos A，结合sin B＞0，可求tan A ＝，结合范围A∈（0，π），可求A＝，由余弦定理，基本不等式可求4≥bc，进而可求b+c≤4，即可计算得解△ABC周长的最大值．【解答】解：∵，∴由正弦定理可得：sin A sin B＝sin B cos A，∵sin B＞0，∴sin A＝cos A，可得：tan A＝，∵A∈（0，π），∴A＝，∴由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得：4＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc，当且仅当b＝c 时等号成立，∴由4＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc，可得：（b+c）2＝4+3bc≤4+3×4＝16，即b+c≤4，当且仅当b＝c时等号成立，∴△ABC周长a+b+c≤2+4＝6，即其最大值为6．故答案为：6．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16．（5分）已知f（x）＝，若方程f（x）﹣mx＝0有2个不同的实根，则实数m的取值范围是（结果用区间表示）．【分析】由方程的解与函数图象的交点个数的关系可得：f（x）﹣mx＝0有2个不同的实根等价于y＝f（x）的图象与直线y＝mx的交点个数为2，由函数图象的性质及利用导数求切线方程可得：设过原点的直线与y＝f（x）相切与点P （x0，y0），由f′（x）＝，则此切线方程为：y﹣lnx0＝（x﹣x0），又此直线过原点（0，0），则求得x0＝e，即切线方程为：y＝再结合图象可得：实数m的取值范围是m，得解【解答】解：由f（x）＝，可得：y＝f（x）在（0，4e）的图象关于直线x＝2e对称，f（x）﹣mx＝0有2个不同的实根等价于y＝f（x）的图象与直线y＝mx的交点个数为2，y＝f（x）的图象与直线x＝mx的位置关系如图所示，设过原点的直线与y＝f（x）相切与点P（x0，y0），由f′（x）＝，则此切线方程为：y﹣lnx0＝（x﹣x0），又此直线过原点（0，0），则求得x0＝e，即切线方程为：y＝，由图可知：当y＝f（x）的图象与直线y＝mx的交点个数为2时，实数m的取值范围是m，故答案为：（﹣∞，）．【点评】本题考查了方程的解与函数图象的交点个数的相互转化、函数图象的性质及利用导数求切线方程，属难度较大的题型．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分．17．（12分）已知数列{a n}中，．（1）记b n＝log2（a n+1），判断{a n}是否为等差数列，并说明理由：（2）在（1）的条件下，设，求数列{c n}的前n项和T n．【分析】（1）根据题意，由于b n＝log2（a n+1），分析可得当n＝1时，计算可得b1的的值，综合即可得答案；值，当n≥2时，分析b n﹣b n﹣1（2）由（1）的结论求出{b n}的通项公式，进而可得，由错位相减法分析可得答案．【解答】解：（1）根据题意，b n＝log2（a n+1），当n＝1时，有b1＝log2（a1+1）＝log22＝1；当n≥2时，＝；所以数列{b n}是以1为首项、公差为1的等差数列．（2）由（1）的结论，数列{b n}是以1为首项、公差为1的等差数列，则b n＝2+（n﹣1）＝n，则，于是，，①，②①﹣②可得：，＝，所以．【点评】本题考查数列的递推公式以及数列的求和，关键是求出数列{b n}的通项公式，属于综合题．18．（12分）如图，在平面四边形ABCD中，△ABC等边三角形，AC⊥DC，以AC为折痕将△ABC折起，使得平面ABC⊥平面ACD．（1）设E为BC的中点，求证：AE⊥平面BCD：（2）若BD与平面ABC所成角的正切值为，求二面角A﹣BD﹣C的余弦值．【分析】（1）推导出CD⊥平面ABC，从而CD⊥AE，再求出AE⊥BC，由此能证明AE ⊥平面BCD．（2）由DC⊥平面ABC，知∠DBC即为BD与平面ABC所成角，从而在直角△DCB中，，以C为坐标原点，分别以所在的方向作为x轴、y轴的正方向，建立空间直角坐标系C﹣xyz．利用向量法能求出二面角A﹣BD﹣C的余弦值．【解答】证明：（1）因为平面ABC⊥平面ACD，平面ABC∩平面ACD＝AC，CD⊂平面ACD，CD⊥AC，所以CD⊥平面ABC．………………………（1分）又AE⊂平面ABC，所以CD⊥AE．………………………（2分）在等边△ABC中，因为E为BC的中点，所以AE⊥BC．…………………（3分）因为AE⊥CD，AE⊥BC，CD∩BC＝C，所以AE⊥平面BCD．…………………（4分）解：（2）由（1）知DC⊥平面ABC，所以∠DBC即为BD与平面ABC所成角，于是在直角△DCB中，．…………………（5分）以C为坐标原点，分别以所在的方向作为x轴、y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C﹣xyz．设等边△ABC的边长为a，则，C（0，0，0），A（0，a，0），，，，，，．……………………（7分）设平面ABD的一个法向量为＝（x1，y1，z1），则，即，令z1＝1，则，，于是＝（，）．……………………（9分）设平面BCD的一个法向量为＝（x2，y2，z2），则，即，解得x2＝0，令z2＝1，则，于是＝（0，﹣，1）．……………………（11分）所以cos＜＞＝＝＝﹣．由题意知二面角A﹣BD﹣C为锐角，所以二面角A﹣BD﹣C的余弦值为．……………………（12分）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19．（12分）已知F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过F的动直线交抛物线C于A，B两点．当直线与x轴垂直时，|AB|＝4．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线AB的斜率为1且与抛物线的准线l相交于点M，抛物线C上存在点P使得直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，求点P的坐标．【分析】（1）由题意可得|AB|＝2p＝4，即可求出抛物线的方程，（2）设直线AB的方程为y＝x﹣1，联立消去x，得y2﹣4y﹣4＝0，根据韦达定理结合直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，即可求出点P的坐标【解答】解：（1）因为，在抛物线方程y2＝2px中，令，可得y＝±p．于是当直线与x轴垂直时，|AB|＝2p＝4，解得p＝2．所以抛物线的方程为y2＝4x．（2）因为抛物线y2＝4x的准线方程为x＝﹣1，所以M（﹣1，﹣2）．设直线AB的方程为y＝x﹣1，联立消去x，得y2﹣4y﹣4＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝4，y1y2＝﹣4．若点P（x0，y0）满足条件，则2k PM＝k PA+k PB，即，因为点P，A，B均在抛物线上，所以．代入化简可得，将y1+y2＝4，y1y2＝﹣4代入，解得y0＝±2．将y0＝±2代入抛物线方程，可得x0＝1．于是点P（1，±2）为满足题意的点．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数列与解析几何的综合，考查直线的斜率，综合性强．20．（12分）2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X（单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图．（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中间值代表）；（2）由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间X服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若X～N（μ，σ2），令Y＝，则Y～N（0，1），且P（X≤a）＝P（Y≤）．利用直方图得到的正态分布，求P（X≤10）．（ii）从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求P（Z≥2）（结果精确到0.0001）以及Z的数学期望．参考数据：．若Y～N（0，1），则P（Y≤0.75）＝0.7734．【分析】（1）直接由平均数公式及方差公式求解；（2）（i）由题知μ＝9，σ2＝1.78，则X～N（9，1.78），求出σ，结合已知公式求解P （X≤10）．（ⅱ）由（i）知P（X＞10）＝1﹣P（X≤10）＝0.2266，可得Z～B（20，0.2266），由P（Z≥2）＝1﹣P（Z＝0）﹣P（Z＝1）求解P（Z≥2），再由正态分布的期望公式求Z 的数学期望E（Z）．【解答】解：（1），s2＝（6﹣9）2×0.03+（7﹣9）2×0.1+（8﹣9）2×0.2+（9﹣9）2×0.35+（10﹣9）2×0.19+（11﹣9）2×0.09+（12﹣9）2×0.04＝1.78；（2）（i）由题知μ＝9，σ2＝1.78，∴X～N（9，1.78），．∴；（ⅱ）由（i）知P（X＞10）＝1﹣P（X≤10）＝0.2266，可得Z～B（20，0.2266），P（Z≥2）＝1﹣P（Z＝0）﹣P（Z＝1）＝＝1﹣（0.7734+20×0.2266）×0.0076≈0.9597．∴Z的数学期望E（Z）＝20×0.2266＝4.532．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查离散型随机变量得期望，是中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣2ax+3a2e﹣x（a∈R），其中e＝2.71828…为自然对数的底数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x∈（0，+∞）时，e x（x﹣a）+3a2e﹣x﹣x2﹣a2+10＞f（x）恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）令g（x）＝e x（x﹣a﹣1）﹣x2+2ax﹣a2+10只需在x∈（0，+∞）使g min（x）＞0即可，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最值，从而确定a的范围即可．【解答】解：（1）由题意可知，＝，………………（1分）当a＝0时，f'（x）＝e x＞0，此时f（x）在R上单调递增；………………（2分）当a＞0时，令f'（x）＝0，解得x＝ln（3a），当x∈（﹣∞，ln（3a））时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（ln（3a），+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；………………（3分）当a＜0时，令f'（x）＝0，解得x＝ln（﹣a），当x∈（﹣∞，ln（﹣a））时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（ln（﹣a），+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；………………（4分）综上，当a＝0时，f（x）在R上单调递增；当a＞0时，x∈（﹣∞，ln（3a））时，f（x）单调递减，x∈（ln（3a），+∞）时单调递增；当a＜0时，x∈（﹣∞，ln（﹣a））时，f（x）单调递减，x∈（ln（﹣a），+∞）时单调递增．………………（5分）（2）由e x（x﹣a）+3a2e﹣x﹣x2﹣a2+10＞f（x），可得，e x（x﹣a﹣1）﹣x2+2ax﹣a2+10＞0，令g（x）＝e x（x﹣a﹣1）﹣x2+2ax﹣a2+10只需在x∈（0，+∞）使g min（x）＞0即可，g'（x）＝e x（x﹣a﹣1）+e x﹣2x+2a＝（e x﹣2）（x﹣a），………………（6分）①当a≤0时，x﹣a＞0，当0＜x＜ln2时，g'（x）＜0，当x＞ln2时，g'（x）＞0，所以g（x）在（0，ln2）上是减函数，在（ln2，+∞）上是增函数，只需g（ln2）＝﹣a2+（2ln2﹣2）a﹣ln22+2ln2+8＞0，解得ln2﹣4＜a＜ln2+2，所以ln2﹣4＜a≤0；………………（8分）②当0＜a＜ln2时，g（x）在（0，a）上是增函数，在（a，ln2）上是减函数，在（ln2，+∞）上是增函数，则，解得0＜a＜ln2，………………（9分）③当a＝ln2时，g'（x）≥0，g（x）在（0，+∞）上是增函数，而g（0）＝9﹣ln2﹣ln22＞0成立，………………（10分）④当a＞ln2时，g（x）在g（x）在（0，ln2）上是增函数，在（ln2，a）上是减函数，在（a，+∞）上是增函数，则，解得ln2＜a＜ln10．………（11分）综上，a的取值范围为（ln2﹣4，ln10）．………（12分）【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．（二）选考题：共10分．请在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）设点，直线l与曲线C相交于两点A，B，求的值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．【解答】解：（1）直线l的普通方程为；因为，所以2ρ2﹣ρ2cos2θ＝8，将x＝ρcosθ，ρ2＝x2+y2，代入上式，可得x2+2y2＝8．（2）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，可得，设A，B两点所对应的参数分别为t1，t2，则，．于是＝．【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣m|x+2|．（1）当m＝1时，求不等式f（x）≥2的解集；（2）若实数m使得不等式f（x﹣2）＞m在x∈[﹣1，1]恒成立，求m的取值范围．【分析】（1）分3种情况去绝对值，解不等式组可得；（2）将不等式分离参数m后构造函数求最小值可得．【解答】解：（1）当m＝1时，|2x﹣1|﹣|x+2|≥2，当x≤﹣2时，原不等式转化为1﹣2x+x+2≥2，解得x≤﹣2；………………（1分）当﹣2＜x≤时，原不等式转化为1﹣2x﹣x﹣2≥2，解得﹣2＜x≤﹣1；…（2分）当x＞时，原不等式转化为2x﹣1﹣x﹣2≥2，解得x≥5；………………（3分）综上，不等式的解集为{x|x≤﹣1或x≥5}．………………（4分）（2）由已知得：f（x﹣2）＝|2x﹣5|﹣m|x|＞m，即.，由题意m＜g（x）min．………………（5分）当x∈[0，1]时，为减函数，此时最小值为；………………（7分）当x∈[﹣1，0）时，为增函数，此时最小值为．………………（9分）又，所以．所以m的取值范围为．………………（10分）【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。

2018—2019学年度济宁市高考模拟考试数学(理工类)试题2019.3第I卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合则( )A. [1，3]B. (1，3]C. [2，3]D. [－l，+∞)【答案】B【解析】【分析】先求出集合A，B，由此能求出A∩B．【详解】∵集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}，B＝{x|y＝ln（x﹣1）}＝{x|x＞1}，∴A∩B＝{x|1＜x≤3}＝（1，3]．故选：B．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.若复数，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是( )A. z的虚部为B.C. 为纯虚数D. z的共轭复数为【答案】AC【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案【详解】∵z，∴z的虚部为﹣1，|z|，z2＝（1﹣i）2＝﹣2i为纯虚数，z的共轭复数为1+i．，故选：AC．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.执行如图所示的程序框图，若输入a的值为，则输出的S的值是( )A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】模拟程序的运行，可得a＝﹣1，S＝0，k＝1满足条件k＜5，执行循环体，S＝﹣1，a＝1，k＝2满足条件k＜5，执行循环体，S，a＝3，k＝3满足条件k＜5，执行循环体，S，a＝5，k＝4满足条件k＜5，执行循环体，S，a＝7，k＝5此时，不满足条件k＜5，退出循环，输出S的值为．故选：C．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．4.若变量满足则的最大值是( )A. B. 1 C. 2 D.【答案】D【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的一般式，通过圆心到直线的距离，求解即可．【详解】由变量x，y满足作出可行域如图，化z＝2x+y为2x+y﹣z＝0，由图可知，当直线y＝﹣2x+z与圆相切于A时，直线在y轴上的截距最大，z最大，此时．z．故选：D．【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．5.函数是定义在R上的奇函数，且若则( )A. B. 9 C. D. 0【答案】A【解析】【分析】由函数的奇偶性可知f（﹣x）＝﹣f（x），将f（1+x）＝f（1﹣x）变形可得f（﹣x）＝f（2+x），综合分析可得f（x+4）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，据此可得f（2019）＝﹣f（1），即可得答案．【详解】根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），又由f（1+x）＝f（1﹣x），则f（﹣x）＝f（2+x），则有f（x+2）＝﹣f（x），变形可得f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，则f（2019）＝f（﹣1+505×4）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣9；故选：A．【点睛】本题考查抽象函数的应用，涉及函数的周期性，奇偶性，关键是分析函数f（x）的周期性，是中档题.6.已知平面，直线，满足，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【解析】【分析】根据线面平行的定义和性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】当m∥n时，若，则充分性不成立，当m∥α时，m∥n不一定成立，即必要性不成立，则“m∥n”是“m∥α”的既不充分也不必要条件．故选：D．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据线面平行的定义和性质是解决本题的关键，是基础题．7.若则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用三角函数的诱导公式和同角三角函数关系式的应用求出结果．【详解】sinx＝3sin（x-）＝﹣3cosx，解得：tanx＝﹣3，所以：cosxcos（x）＝﹣sinxcosx==，故选：A．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，诱导公式,同角三角函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．8.如图为某市国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线图，小明同学根据折线图对这7天的认购量(单位：套)与成交量(单位：套)作出如下判断：①日成交量的中位数是16；②日成交量超过日平均成交量的有2天；③认购量与日期正相关；④10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅．则上述判断正确的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】结合图形及统计的基础知识逐一判定即可．【详解】7天假期的楼房认购量为：91、100、105、107、112、223、276；成交量为：8、13、16、26、32、38、166．对于①，日成交量的中位数是26，故错；对于②，日平均成交量为：，有1天日成交量超过日平均成交量，故错；对于③，根据图形可得认购量与日期不是正相关，故错；对于④，10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅，正确．故选：B【点睛】本题考查了统计的基础知识，解题关键是弄清图形所表达的含义，属于基础题，9.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的外接球的体积为( )A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先将几何体的三视图转换为几何体进一步求出几何体的外接球半径，最后求出体积．【详解】根据几何体的三视图转换为几何体为：下底面为等腰三角形腰长为，高为2的直三棱柱，故外接球的半径R，满足，解得：R=，所以：V=．故选：A．【点睛】本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．10.已知函数的零点构成一个公差为的等差数列，把函数的图象沿轴向右平移个单位，得到函数的图象．关于函数，下列说法正确的是( )A. 在上是增函数B. 其图象关于直线对称C. 函数是偶函数D. 在区间上的值域为【答案】D【解析】【分析】化简f（x）=2sin（ωx），由三角函数图象的平移得：g（x）＝2sin2x，由三角函数图象的性质得y＝g（x）的单调性，对称性，再由x时，求得函数g（x）值域得解.【详解】f（x）＝sinωx cosωx＝2sin（ωx），由函数f（x）的零点构成一个公差为的等差数列，则周期T＝π，即ω＝2，即f（x）＝2sin（2x），把函数f（x）的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）＝2sin[2（x）]＝2sin2x，当≤2x≤,即≤x≤, y＝g（x）是减函数，故y＝g（x）在[，]为减函数，当2x=即x（k∈Z）,y＝g（x）其图象关于直线x（k∈Z）对称,且为奇函数，故选项A，B，C错误，当x时，2x∈[，]，函数g（x）的值域为[，2]，故选项D正确，故选：D．【点睛】本题考查了三角函数图象的平移、三角函数图象的性质及三角函数的值域，熟记三角函数基本性质，熟练计算是关键，属中档题11.已知双曲线的左、右焦点分别为，实轴长为4，渐近线方程为，点N在圆上，则的最小值为( )A. B. 5 C. 6 D. 7【答案】B【解析】【分析】求得双曲线的a，b，可得双曲线方程，求得焦点坐标，运用双曲线的定义和三点共线取得最小值，连接CF2，交双曲线于M，圆于N，计算可得所求最小值．【详解】由题意可得2a＝4，即a＝2，渐近线方程为y＝±x，即有，即b＝1，可得双曲线方程为y2＝1，焦点为F1（，0），F2，（，0），由双曲线的定义可得|MF1|＝2a+|MF2|＝4+|MF2|，由圆x2+y2﹣4y＝0可得圆心C（0，2），半径r＝2，|MN|+|MF1|＝4+|MN|+|MF2|，连接CF2，交双曲线于M，圆于N，可得|MN|+|MF2|取得最小值，且为|CF2|3，则则|MN|+|MF1|的最小值为4+3﹣2＝5．故选：B．【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查圆的方程的运用，以及三点共线取得最值，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题．12.已知当时，关于的方程有唯一实数解，则所在的区间是( )A. (3，4)B. (4，5)C. (5，6)D. (6．7)【答案】C【解析】【分析】把方程xlnx+（3﹣a）x+a＝0有唯一实数解转化为有唯一解，令f（x）（x＞1），利用导数研究其最小值所在区间得答案．【详解】由xlnx+（3﹣a）x+a＝0，得，令f（x）（x＞1），则f′（x）．令g（x）＝x﹣lnx﹣4，则g′（x）＝10，∴g（x）在（1，+∞）上为增函数，∵g（5）＝1﹣ln5＜0，g（6）＝2﹣ln6＞0，∴存在唯一x0∈（5，6），使得g（x0）＝0，∴当x∈（1，x0）时，f′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0．则f（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．∴f（x）min＝f（x0）．∵﹣4＝0，∴，则∈（5，6）．∴a所在的区间是（5，6）．故选：C【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，考查数学转化思想方法，熟练运用零点存在定理得x0﹣lnx0﹣4＝0并反代入f（x0）是本题关键，属中档题．第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.某学校从编号依次为01，02，…，90的90个学生中用系统抽样(等间距抽样)的方法抽取一个样本，已知样本中相邻的两个组的编号分别为14，23，则该样本中来自第四组的学生的编号为______．【答案】32【解析】【分析】根据条件求出样本间隔，即可得到结论．【详解】样本间隔为23﹣14＝9，则第一个编号为5，第四个编号为14+2×9＝14+18＝32，故答案为：32【点睛】本题主要考查系统抽样的应用，熟记系统抽样的原则与方法，求出样本间隔是解决本题的关键．比较基础．14.的展开式中，的系数为______．(用数字作答)．【答案】80【解析】【分析】把（x﹣2y）5按照二项式定理展开，可得（2x+y）（x﹣2y）5的展开式中，x2y4的系数．【详解】∵（2x+y）（x﹣2y）5＝（2x+y）（x5﹣10x4y+40x3y2﹣80x2y3+80xy4﹣32y5），∴x2y4的系数为2×80﹣80＝80，故答案为：80．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，项的系数的性质，属于基础题．15.如图所示，在正方形OABC内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率为______．【答案】【解析】【分析】结合定积分计算阴影部分平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式易求解．【详解】正方形的面积为e2，由lnxdx＝（xlnx﹣x）1，由函数图像的对称性知黑色区域面积为2lnxdx=2即S阴影＝2，故此点取自黑色部分的概率为，故答案为：【点睛】本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积．16.在△ABC中，记若．则sinA的最大值为______．【答案】【解析】【分析】把给定的，用基础向量，来表示，借助余弦定理和基本不等式求出cosA的最小值，从而得sinA的最大值．【详解】∵在△ABC中，记334，，⊥，∴5•40cosA，当且仅当时取到等号．又因为sin2A+cos2A＝1，所以sinA的最大值为．故答案为【点睛】本题考查向量向量基本定理，余弦定理，基本不等式的应用，熟练运用向量向量基本定理及余弦定理，合理构造基本不等式是关键，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17.等差数列的公差为正数，，其前项和为；数列为等比数列，，且．(I)求数列与的通项公式；(II)设，求数列的前项和．【答案】(Ⅰ) ，；(Ⅱ) .【解析】【分析】（Ⅰ）等差数列{a n}的公差d为正数，数列{b n}为等比数列，设公比为q，运用等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式；（Ⅱ）求得c n＝b n2n2n+2（），数列的分组求和和裂项相消求和，化简整理即可得到所求和．【详解】解：(Ⅰ)设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，则解得∴，.(Ⅱ)由(Ⅰ)知.∴，∴.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和和裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．18.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，底面ABCD，．(I)求证：平面PCA⊥平面PCD；(II)设E为侧棱PC上的一点，若直线BE与底面ABCD所成的角为45°，求二面角的余弦值．【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ).【解析】【分析】（Ⅰ）推导出CD⊥AC，PA⊥CD，从而CD⊥平面PCA，由此能证明平面PCA⊥平面PCD．（Ⅱ）以A为坐标原点，AB，AC，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E﹣AB﹣D 的余弦值．【详解】解：(Ⅰ)在平行四边形ABCD中，∠ADC=60°，，，由余弦定理得，∴，∴∠ACD=90°，即CD⊥AC，又PA⊥底面ABCD，CD底面ABCD，∴PA⊥CD，又，∴CD⊥平面PCA.又CD平面PCD，∴平面PCA⊥平面PCD.(Ⅱ)如图，以A为坐标原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.则，，，，.设，，则∴x=0，，，即点E的坐标为∴又平面ABCD的一个法向量为∴sin45°解得∴点E的坐标为，∴，，设平面EAB的法向量为由得令z=1，得平面EAB的一个法向量为∴.又二面角E-AB-D的平面角为锐角，所以，二面角E-AB-D的余弦值为【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.某学校为了了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100人的体重数据，结果这100人的体重全部介于45公斤到75公斤之间，现将结果按如下方式分为6组：第一组[45，50)，第二组[50，55)，…，第六组[70，75)，得到如下图(1)所示的频率分布直方图，并发现这100人中，其体重低于55公斤的有15人，这15人体重数据的茎叶图如图(2)所示，以样本的频率作为总体的概率．(I)求频率分布直方图中的值；(II)从全校学生中随机抽取3名学生，记X为体重在[55，65)的人数，求X的概率分布列和数学期望；(III)由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重近似服从正态分布，其中若，则认为该校学生的体重是正常的．试判断该校学生的体重是否正常?并说明理由．【答案】(Ⅰ)a=0.004，b=0.026，c=0007；(Ⅱ)详见解析；(Ⅲ)正常.【解析】【分析】（Ⅰ）由茎叶图中的数据，用样本的频率估计总体的频率，求得对应的概率值，再计算a、b、c的值；（Ⅱ）用由题意知随机变量X服从二项分布B（3，0.7），计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值；（Ⅲ）由题意知ξ服从正态分布N（60，25），计算P（μ﹣2σ≤ξ＜μ+2σ）的值，再判断学生的体重是否正常．【详解】解：(Ⅰ)由图（2）知，100名样本中体重低于50公斤的有2人，用样本的频率估计总体的概率，可得体重低于50公斤的概率为，则，在上有13人，该组的频率为0.13，则，所以，即c=0.07.(Ⅱ)用样本的频率估计总体的概率，可知从全体学生中随机抽取一人，体重在的概率为0.07×10=0.7，随机抽取3人，相当于三次独立重复试验，随机变量X服从二项分布，则，，，，所以，X的概率分布列为：E(X)=3×0.7=2.1(Ⅲ)由N(60,25)得由图（2）知.所以可以认为该校学生的体重是正常的.【点睛】本题考查了茎叶图与频率分布直方图的应用问题，也考查了概率分布与数学期望的计算问题，熟记频率分布直方图性质，熟练计算二项分布是关键，是中档题．20.已知椭圆的离心率为，且椭圆C过点．(I)求椭圆C的方程；(II)设椭圆C的右焦点为F，直线与椭圆C相切于点A，与直线相交于点B，求证：的大小为定值．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)详见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）由题意可知，解得a2＝3，b2＝2，即可求出椭圆C的方程，（Ⅱ）显然直线l的斜率存在，设l：y ＝kx+m，联立，根据直线l与椭圆相切，利用判别式可得m2＝3k2+2，求出点A，B的坐标，根据向量的运算可得可得•0，即∠AFB＝90°，故∠AFB的大小为定值．【详解】解：(Ⅰ)∵椭圆C过点，∴①∵离心率为∴②又∵③由①②③得，，.∴椭圆C的方程为C：.(Ⅱ)显然直线l的斜率存在，设l:y=kx+m.由消y得由得.∴∴∴切点A的坐标为又点B的坐标为，右焦点F的坐标为，∴，，∴∴∠AFB=90°，即∠AFB的大小为定值.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，准确转化题目，准确计算切点坐标是关键，属于中档题．21.已知函数．(I)讨论的单调性；(II)若时，恒成立，求实数的取值范围．【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ).【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）通过讨论a的范围，结合函数的单调性求出函数的最小值，从而确定a的范围即可．【详解】解：(Ⅰ)函数f(x)的定义域为，，①当时，，f(x)在上为增函数.②当a>0时，由得；由得,所以f(x)在上为减函数，在上为增函数.综上所述，①当时，函数f(x)在上为增函数②当a>0时，f(x)在上为减函数，在上为增函数.(Ⅱ)①当a=0时，因为，所以恒成立，所以a=0符合题意.②当a<0时，，因为，所以不恒成立，舍去.③当a>0时，由(Ⅰ)知f(x)在上为减函数，f(x)在上为增函数.下面先证明：.设，因为，所以p(a)在上为增函数.所以，因此有.所以f(x)在上为增函数.所以.设，则，.由得；由得.所以在上为减函数，在上为增函数.所以.所以q(a)在上为增函数，所以.所以.所以恒成立.故a>0符合题意.综上可知，a的取值范围是.【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22.在平面直角坐标系中，已知点M的直角坐标为(1，0)，直线的参数方程为（t为参数）；以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．(I)求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(II)直线和曲线C交于A，B两点，求的值．【答案】(Ⅰ)直线l的普通方程为，曲线C的直角坐标方程为；(Ⅱ)1.【解析】【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．【详解】解：(Ⅰ)将中的参数t消去可得：由得，由可得：所以直线l的普通方程为，曲线C的直角坐标方程为(Ⅱ)将代入得：设A，B两点对应的参数分别为，，则，所以【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.已知函数．(1)当时，解不等式；(2)若的值域为[2，+∞)，求证：.【答案】(1)或；(2）详见解析.【解析】【分析】（1）代入a，b的值，通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）求出a+b＝2，根据绝对值不等式的性质证明即可．【详解】(1)解：当a=b=1时，i)当时，不等式可化为：，即，所以ii)当时，不等式可化为：2>x+2，即x<0，所以iii)当x>1时，不等式可化为：2x>x+2，即x>2，所以x>2综上所述：不等式的解集为(2)证明，∵f(x)的值域为，∴a+b=2，∴a+1+b+1=4∴，当且仅当，即a=b=1时取“=”即.【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，熟练利用绝对值三角不等式得到a,b的关系是关键，是一道中档题．。

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.（1）设函数A ，函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A B =（A ）（1,2） （B ）⎤⎦(1,2 （C ）（-2,1） （D ）[-2,1) 【答案】D【解析】由240x -≥得22x -≤≤，由10x ->得1x <，故A B={|22}{|1}{|21}x x x x x x -≤≤⋂<=-≤<，选D.（2）已知a R ∈,i是虚数单位，若,4z a z z =+⋅=，则a= （A ）1或-1 （B（C ）（D【答案】A【解析】由4z a z z =+⋅=得234a +=，所以1a =±，故选A.（3）已知命题p:()x x ∀+＞0,ln 1＞0；命题q ：若a ＞b ，则a b 22＞，下列命题为真命题的是（A ） p q ∧ （B ）p q ⌝∧ （C ）p q ⌝∧ （D ）p q ⌝⌝∧【答案】B（4）已知x,y 满足x y 3x y ⎧-+≤⎪+≤⎨⎪+≥⎩30+5030x ，则z=x+2y 的最大值是（A ）0 （B ） 2 （C ） 5 （D ）6 【答案】C【解析】由x y 3x y ⎧-+≤⎪+≤⎨⎪+≥⎩30+5030x 画出可行域及直线20x y +=如图所示，平移20x y +=发现，当其经过直线3x +y 50=+与x -3=的交点(3,4)-时，2z x y =+最大为3245z =-+⨯=，选C. （5）为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+．已知101225ii x==∑，1011600i i y ==∑，ˆ4b=．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为 （A ）160 （B ）163 （C ）166 （D ）170 【答案】C【解析】22.5,160,160422.570,42470166x y a y ==∴=-⨯==⨯+= ,选C.（6）执行两次右图所示的程序框图，若第一次输入的x 的值为7，第二次输入的x 的值为9，则第一次、第二次输出的a 的值分别为（A ）0，0 （B ）1，1 （C ）0，1 （D ）1，0【答案】D【解析】第一次227,27,3,37,1x b a =<=>= ；第二次229,29,3,39,0x b a =<===，选D.（7）若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是（A ）()21log 2a b a a b b +<<+ （B ）()21log 2a b a b a b<+<+ （C ）()21log 2a ba ab b +<+< （D ）()21log 2a b a b a b +<+<【答案】B【解析】221,01,1,log ()log 1,2aba b a b ><<∴<+>= 12112log ()a ba ab a a b b b+>+>+⇒+>+ ，所以选B. （8）从分别标有1，2，⋅⋅⋅，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 （A ）518 （B ）49 （C ）59（D ）79 【答案】C【解析】125425989C C =⨯ ,选C. （9）在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若C ∆AB 为锐角三角形，且满足()sin 12cosC 2sin cosC cos sinC B +=A +A ，则下列等式成立的是（A ）2a b = （B ）2b a = （C ）2A =B （D ）2B =A 【答案】A【解析】sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+ 所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A.（10）已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图象与y m =的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是 （A ）(])0,123,⎡+∞⎣（B ）(][)0,13,+∞（C ）()23,⎡+∞⎣（D ）([)3,+∞【答案】B二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分（11）已知()13nx +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n = . 【答案】4【解析】()1C 3C 3rr r r rr n n x x +T ==⋅⋅，令2r =得：22C 354n ⋅=，解得4n =．（12）已知12,e e 12-e 与12λ+e e 的夹角为60，则实数λ的值是 .【解析】)()221212112122333e e e e e e e e e λλλλ-⋅+=+⋅-⋅-=，()2221233232e e e e e e e -=-=-⋅+=，()22221221e e e e e e e e λλλλ+=+=+⋅+=+2cos601λ==+，解得：λ=． (13)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为 .【答案】22π+【解析】该几何体的体积为21V 112211242ππ=⨯⨯⨯+⨯⨯=+． （14）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右支与焦点为F 的抛物线()220x px p =>交于,A B 两点，若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为 .【答案】2y x =±（15）若函数()x e f x （ 2.71828e =是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 .①()2x f x -=②()3x f x -=③()3f x x =④()22f x x =+【答案】①④【解析】①()22xx x x e e f x e -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递增，故()2xf x -=具有M 性质；②()33xx x x e e f x e -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，故()3xf x -=不具有M 性质；③()3xxe f x e x =⋅，令()3xg x e x =⋅，则()()32232xxxg x e x e x x ex '=⋅+⋅=+，∴当2x >-时，()0g x '>，当2x <-时，()0g x '<，∴()3x x e f x e x =⋅在(),2-∞-上单调递减，在()2,-+∞上单调递增，故()3f x x =不具有M 性质；④()()22x x e f x e x =+，令()()22x g x e x =+，则()()()2222110xx x g x exe x e x ⎡⎤'=++⋅=++>⎣⎦，∴()()22x x e f x e x =+在R 上单调递增，故()22f x x =+具有M 性质．三、解答题：本大题共6小题，共75分。