清华大学2002至2003学年第二学期数学实验期末考试试题A

2003春季学期数字电子期末试题教学站 班级 姓名一、 按要求回答下列问题： 1. 用代数法化简(1) )()(1C B A C B A C B A P ++⋅++⋅++=(2) P 2=AB +C B C A +2. 对逻辑运算判断下述说法是否正确，正确者在其后（ ）内打对号，反之打×。

（1） 若X+Y=X+Z ，则Y=Z ；( ) （2） 若XY=XZ ，则Y=Z ；( )（3） 若X ⊕Y=X ⊕Z ，则Y=Z ；( )3. 函数式F=C B A ⊕⊕写成最小项之和的形式，结果应为m ∑( )。

4. 用卡诺图化简:D C A C B A D C D C A ABD ABC F +++++=5填空：（1） 由TTL 门组成的电路如图1所示，已知它们的输入短路电流为I is ＝1.6mA ，高电平输入漏电流I iH ＝40μA 。

试问：当A=B=1时，G 1的（拉，灌） 电流为 mA ；A=0时，G 1的（拉，灌） 电流为 mA 。

3G AB图1（2） TTL 门电路输入端悬空时，应视为 ；（高电平，低电平，不定）此时如用万用表测量其电压，读数约为 （3.5V ，0V ，1.4V ）。

（3） 集电极开路门（OC 门）在使用时须在 之间接一电阻（输出与地，输出与输入，输出与电源）。

6. 由TTL 门组成的电路如图2所示，G 1和G 2为三态门，分别写出R=100Ω和R ＝100k Ω时输出Y 的表达式。

XG 1图2二、分析图3所示电路的逻辑功能，写出输出的逻辑表达式并化简，列出真值表，说明其逻辑功能。

A B &&&&&&&CY图3二、设计一个一灯两处控制的逻辑电路，要求当改变开关A 或B 的状态时，均可改变灯L 的状态。

列出真值表，写出逻辑表达式，用尽量少的与非门实现该逻辑电路。

四、图4 (a)是由与非门构成的基本R-S 触发器，试画出在图(b)所示输入信号的作用下的输出波形。

2002-2003学年第一学期概率论与数理统计（A ）期末考试试卷答案一．填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）请将合适的答案填在每题的空中 1．掷两颗骰子，已知两颗骰子的点数之和为6，则其中有一颗为1点的概率为________． 解：两颗骰子的点数之和为6共有5种可能情况：()()()()()1,5,2,4,3,3,4,2,5,1，而其中有一颗为1点有两种可能：()()1,5,5,1，因此所求概率（条件概率）为52． 应填：52． 2．设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为()()⎩⎨⎧<<<<--=其它042,206,y x y x k y x f 则=k ________． 解：由()1,=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f ，得()()()⎰⎰⎰⎰⎰---=--==+∞∞-+∞∞-422024220626,1dy y x k dx y x k dy dxdy y x f()()[]k dy y y k 84624222=---=⎰所以，81=k ． 应填：813．设总体()2,~σμNX ，()1021,,,X X X 是从X 中抽取的一个样本，样本量为10，则()1021,,,X X X 的联合概率密度函数()=1021,,,x x x g _________________________．解：由于总体()2,~σμNX ，所以总体X 的概率密度函数为()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=222exp 21σμσπx x f ()+∞<<∞-x ， 并且()1021,,,X X X 是从中抽取的一个样本，即()1021,,,X X X 是简单随机样本，所以样本中的n 个分量n X X X ,,,21 是独立同分布的随机变量，而且其分布与总体分布相同．因此样本()1021,,,X X X 的联合概率密度函数()()()()10211021,,,x f x f x f x x x g =()()()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--⎭⎬⎫⎩⎨⎧--⋅⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=22102222212exp 212exp 212exp 21σμσπσμσπσμσπx x x ()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=∑=10122210221exp 21i i x μσπσ ()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=∑=101225221exp 21i i x μσπσ 应填：()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧--∑=101225221exp 21i i x μσπσ． 4．设总体X其中10<<θ是未知参数，()n X X X ,,,21 是从中抽取的一个样本，则参数θ的矩估计量=θˆ__________________．解：()()()()θθθθθθθθθθ232134413122122222-=+-+-+=-⨯+-⨯+⨯=X E所以，()()X E -=321θ．将()X E 替换成样本均值X ，得参数θ的矩估计量为 ()X -=321ˆθ． 应填：()X -321．5．显著性检验是指____________________________________． 解：显著性检验是指只控制犯第Ⅰ类错误的概率，而不考虑犯第Ⅱ类错误的概率的检验． 应填：只控制犯第Ⅰ类错误的概率，而不考虑犯第Ⅱ类错误的概率的检验．二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内） 1．设随机变量()2,1~-N X ，()2,1~N Y ，而且X 与Y 不相关，令Y aX U +=，bY X V +=，且U 与V 也不相关，则有()A .0==b a ； ()B .0≠=b a ； ()C .0=+b a ； ()D .0=ab ．【 】解：()()bY X Y aX V U ++=,cov ,cov()()()()()()()()Y bD Y X ab X aD Y Y b Y X ab X X a +++=+++=,cov 1,cov ,cov 1,cov再由于随机变量()2,1~-N X ，()2,1~N Y ，而且X 与Y 不相关，所以()2=X D ，()2=Y D ，()0,cov =Y X ． 因此，()()b a V U +=2,cov ．这表明：随机变量U 与V 不相关，当且仅当()()02,cov =+=b a V U ，当且仅当0=+b a ． 应选：()C ．2．对两台仪器进行独立测试，已知第一台仪器发生故障的概率为1p ，第二台仪器发生故障的概率为2p ．令X 表示测试中发生故障的仪器数，则()=X E()A .21p p +； ()B .()()122111p p p p -+-； ()C .()211p p -+； ()D .21p p ．【 】解：由于X 表示测试中发生故障的仪器数，所以X 的取值为2,1,0，并且X 的分布律为所以()()()()()21211221212111110p p p p p p p p p p X E +=⨯+-+-⨯+--⨯=． 应选：()A ．3．若Y X ,ρ表示二维随机变量()Y X ,的相关系数，则“1,=Y X ρ”是“存在常数a 、b 使得{}1=+=bX a Y P ”的()A .必要条件，但非充分条件； ()B .充分条件，但非必要条件； ()C .充分必要条件； ()D .既非充分条件，也非必要条件．【 】解：由相关系数的性质，可知“1,=Y X ρ”是“存在常数a 、b 使得{}1=+=bX a Y P 的充分必要条件． 应选：()C ．4．根据辛钦大数定律，样本均值X 是总体期望()μ=X E 的()A .矩估计量； ()B .最大似然估计量； ()C .无偏估计量； ()D .相合估计量．【 】解：辛钦大数定律指出：设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且()μ=n X E 存在，则对任意给定的0>ε，有01lim 1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-∑=∞→εμn i i n X n P ， 即{}0lim =≥-∞→εμX P n这表明，样本均值X 是总体期望()μ=X E 的相合估计量． 应选：()D ．5．设总体X 服从参数10=λ的泊松（Poisson ）分布，现从该总体中随机选出容量为20一个样本，则该样本的样本均值的方差为()A . 1； ()B . 5.0； ()C . 5； ()D . 50．【 】解：由于总体服从参数10=λ的泊松（Poisson ）分布，所以()10==λX D ．又从该总体中随机选出容量为20一个样本，则若令X 是其样本均值，则()()5.02010===n X D X D ． 应选：()B ．三．（本题满分10分）某学生接连参加同一课程的两次考试．第一次考试及格的概率为p ，如果他第一次及格，则第二次及格的概率也为p ，如果他第一次不及格，则第二次及格的概率为2p． ⑴ 求他第一次与第二次考试都及格的概率． ⑵ 求他第二次考试及格的概率．⑶ 若在这两次考试中至少有一次及格，他便可以取得某种证书，求该学生取得这种证书的概率． ⑷ 若已知第二次考试他及格了，求他第一次考试及格的概率． 解：设{}该学生第一次考试及格=A ，{}该学生第二次考试及格=B ． 则由题设，()p A P =，()p A B P =，()2p B A P =． ⑴ ()()()2p A B P A P AB P ==．⑵ ()()()()()()()21212p p p p p A B P A P A B P A P B P +=-+=+=． ⑶ ()()()()()()23212p p p p p p AB P B P A P B A P -=-++=-+=⋃． ⑷ ()()()()p pp p p B P AB P B A P +=+==12212．四．（本题满分10分）设顾客在某银行等待服务的时间X （单位：分钟）是服从5=θ的指数分布．某顾客在窗口等待服务，若等待时间超过10分钟，他便离开．⑴ 求某次该顾客因等待时间超过10分钟而离开的概率．⑵ 若在某月中，该顾客来到该银行7次，但有3次顾客的等待时间都超过10分钟，该顾客是否有理由推断该银行的服务十分繁忙． 解：由于随机变量X 服从5=θ的指数分布，所以X 的概率密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-00515x x ex f x． ⑴ {}{}135335283.05110102105105==-==≥=-+∞-∞+-⎰e e dx e X P P x x分钟顾客等待时间超过 ⑵ 设Y 表示该顾客在一个月内等待时间超过10分钟的次数，则()2,7~-e b Y ．所以，()()()048494457.013423237=-==--e eC Y P ．这表明，()3=Y 是一个小概率事件，由于小概率事件在一次试验中是几乎不可能发生的，现在发生了．因此该顾客有理由推断该银行的服务十分繁忙． 五．（本题满分10分）一射手进行射击，击中目标的概率为p ()10<<p ，射击直至击中2次目标时为止．令X 表示首次击中目标所需要的射击次数，Y 表示总共所需要的射击次数． ⑴ 求二维随机变量()Y X ,的联合分布律．⑵ 求随机变量Y 的边缘分布律．⑶ 求在n Y =时，X 的条件分布律．并解释此分布律的意义． 解：⑴ 随机变量Y 的取值为 ,4,3,2；而随机变量X 的取值为1,,2,1-n ，并且(){}次第次，第二次命中目标在第一次命中目标在第n m P n Y m X P ===, 2211p q p q p q n m n m ----=⋅=， （其中p q -=1） ()1,,2,1;,4,3,2-==n m n ．⑵ ()()()221122111,p q n p q n Y m X P n Y P n n m n n m --=--=-======∑∑，() ,4,3,2=n ． 即随机变量Y 的边缘分布律为()()221p q n n Y P n --== () ,4,3,2=n ．⑶ 由于()()()()111,2222-=-=======--n p q n p q n Y P n Y m X P n Y m X P n n 因此在n Y =时，X 的条件分布律为 ()11-===n n Y m X P ()1,,2,1-=n m 这表明，在n Y =的条件下，X 的条件分布是一个“均匀”分布．它等可能地取值1,,2,1-n ．六．（本题满分10分）一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取1元、2.1元、5.1元各个值的概率分别为3.0、2.0、5.0．某天该食品店出售了300只蛋糕．试用中心极限定理计算，这天的收入至少为395元的概率． （附表：标准正态分布()x Φ的数值表：解：设k X 表示该食品店出售的第k 只蛋糕的价格()300,,2,1 =k ，则k X 的分布律为所以，()29.15.05.12.02.13.01=⨯+⨯+⨯=k X E ，()713.15.05.12.02.13.012222=⨯+⨯+⨯=k X E ， 所以，()()()[]0489.029.1713.1222=-=-=k k k X E X E X D ．因此，30021,,,X X X 是独立同分布的随机变量，故()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-<--=⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑∑∑∑∑======3001300130013001300130013951395k k k k k k k k k k k k X D X E X D X E X P X P ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯-<⨯⨯--=∑=0489.030029.130********.030029.130013001k k X P ()0183.09817.0109.2109.20489.030029.130013001=-=Φ-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<⨯⨯--=∑=k k X P ．七．（本题满分10分） 设总体X 的密度函数为()()⎩⎨⎧≤>=+-cx cx x c x f 01θθθ． 其中0>c 是已知常数，而1>θ是未知参数．()m X X X ,,,21 是从该总体中抽取的一个样本，试求参数θ的最大似然估计量． 解：似然函数为()()()()()121111+-=+-====∏∏θθθθθθθn n n ni i n i i x x x c x c x f L所以，()()∑=+-+=ni ixc n n L 1ln 1ln ln ln θθθθ．所以，()∑=-+=ni i x c n nL d d 1ln ln ln θθθ．令：()0ln =θθL d d ，即0ln ln 1=-+∑=n i i x c n nθ， 得到似然函数的唯一驻点cxnni iln ln 1-=∑=θ．所以参数θ的最大似然估计量为cXnni iln ln ˆ1-=∑=θ．八．（本题满分10分） 设总体()21,~σμNX ，总体()22,~σμN Y ，()m X X X ,,,21 是从总体X 中抽取的一个样本，()n Y Y Y ,,,21 是从总体Y 中抽取的一个样本．并且随机变量n m Y Y Y X X X ,,,,,,,2121相互独立．记21S 是样本()m X X X ,,,21 的样本方差，22S 是样本()n Y Y Y ,,,21 的样本方差．再设()()21122212-+-+-=n m S n S m S W证明：2W S 是2σ的无偏估计．解：由于总体()21,~σμNX ，()m X X X ,,,21 是从总体X 中抽取的一个样本，所以()()1~12221--m S m χσ．又由于总体()22,~σμNY ，()n Y Y Y ,,,21 是从总体Y 中抽取的一个样本，所以()()1~12222--n S n χσ．所以，()()()()()222122212211111σσσσσ-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=-m S m E S m E Sm E ， ()()()()()222222222221111σσσσσ-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=-n S n E S n E S n E ． 所以， ()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-=21122212n m S n S m E S E W()[]()[]22211121S n E S m E n m -+--+=()()[]2221121σσσ=-+--+=n m n m 所以，()()21122212-+-+-=n m S n S m SW是2σ的无偏估计．九．（本题满分10分）检验某批矿砂中的含镍量，随机抽取7份样品，测得含镍量百分比分别为：67.2 33.3 69.3 01.3 98.3 15.3 69.3假设这批矿砂中的含镍量的百分比服从正态分布，试在05.0=α下检验这批矿砂中的含镍量的百分比为25.3．（附表：t 分布的分位点表：()9432.1605.0=t ()4469.26025.0=t ()8946.1705.0=t ()3646.27025.0=t解：设X 表示这批矿砂中的含镍量的百分比，则()2,~σμNX ．25.3:0=μH ()25.3:1≠μH由于总体方差未知，故用检验统计量n SX T 25.3-=当0H 成立时，()1~25.3--=n t n SX T ．由于显著性水平05.0=α，7=n ，所以()4469.26025.0=t ．因此检验的拒绝域为()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-=4469.225.3:,,,7211n sx x x x W由样本观测值，得36.3=x ，455668007.0=s 所以，4469.2638694486.0745*******.025.336.325.3<=-=-n sx 所以，不拒绝0H ，可以认为这批矿砂中的含镍量的百分比为25.3．。

楚 雄 师 范 学 院2006—2007学年 第二 学期期末考试试卷 《数学实验》（A ）卷评分标准答题要求：１、写出各实验的ＭＡＴＬＡＢ求解命令或程序２、除绘图题外，写出各实验的实验结果一、完成以下实验（每个实验5分，共20分）。

实验一 曲线绘图1．抛物线232y x x =++解：clear;x=-2:0.1:2;y=x.^2+3*x+2;plot(x,y) 5分2．内摆线332cos ,2sin x t y t ==解：clear;t=linspace(0,2*pi);x=2*cos(t).^3;y=2*sin(t).^3;plot(x,y) 5分实验二 极限与导数3．求极限2121lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭解：clear;syms x;s=limit(2/(x^2-1)-1/(x-1),x,1)s =-1/2 5分4．求函数(ln y x x =阶导数解：syms x;y=x*log(x+sqrt(1+x^2))-sqrt(1+x^2);dy=diff(y,x,1)dy=log(x+(1+x^2)^(1/2))+x*(1+1/(1+x^2)^(1/2)*x)/(x+(1+x^2)^(1/2))-1/(1+x^2)^(1/2)*x 5分二、完成以下实验（每个实验5分，共20分）。

实验三 级数5．求出()()ln 1f x x =+马克劳林展开式的前５项解：clear;syms x;y=log(1+x);f=taylor(y,0,5)f =x-1/2*x^2+1/3*x^3-1/4*x^4 5分６．求级数11(1)(2)n n n n ∞=++∑的和解：clearsyms ns=1/(n*(n+1)*(n+2));symsum(s,n,1,inf)ans =1/4 5分实验四 积分７．计算积分145sin dx x -⎰解：clear;syms x;s=int(1/(4-5*sin(x)),x)s =1/3*log(tan(1/2*x)-2)-1/3*log(2*tan(1/2*x)-1)5分８．选用一种计算数值积分的方法，求数值积分210x e dx -⎰解：法1 复化梯形求积公式x=0:0.01:1;y=exp(-x.^2);s1=trapz(x,y)s1 = 0.7468 5分法2 复化抛物线求积公式先编写M-函数文件function y=ex08(x)y=exp(-x.^2);保存后，在命令 命令运行指令：s2=quad('ex08',0,1)s2 =0.7468法3 牛顿-科兹求积公式s3=quadl('ex08',0,1)s3 =0.7468三、完成以下实验（每个实验5分，共20分）。

清华大学经济管理学院计量经济学期末试题及答案（2002年）（2小时，开卷，满分100分）⒈（共40分，每小题4分）建立中国居民消费函数模型t t t t C I C εααα+++=−1210 t=1978,1979,…,2001 ),0(~2σεN t 其中表示居民消费总额，C I 表示居民收入总额。

⑴ 能否用历年的人均消费额和人均收入数据为样本观测值估计模型？为什么？⑵ 人们一般选择用当年价格统计的居民消费总额和居民收入总额作为样本观测值，为什么？这样是否违反样本数据可比性原则？为什么？⑶ 如果用矩阵方程表示该模型，写出每个矩阵的具体内容，并标明阶数； Ε+Β=X Y ⑷ 如果所有古典假设都满足，分别从最小二乘原理和矩方法出发，推导出关于参数估计量的正规方程组；⑸ 如果与存在共线性，证明：当去掉变量以消除共线性时，1−t C t I 1−t C 1α的估计结果将发生变化；⑹ 如果模型中为随机解释变量且与1−t C t ε相关，证明：如果用OLS 估计该消费函数模型，其参数估计量是有偏的；⑺ 如果模型中为随机解释变量且与1−t C t ε相关，选择政府消费为的工具变量（满足工具变量的所有条件），写出关于参数估计量的正规方程组；t G 1−t C t G ⑻ 如果经检验表明模型存在一阶序列相关，而需要采用广义差分法估计模型，指出在常用的软件中是如何实现的？⑼ 在不受到限制的情况下，的值域为t C ),0(∞，写出的对数似然函数；t C ⑽ 试分析，以t=1978,1979,…,2001数据为样本观测值，能否说“样本是从母体中随机抽取的”？那么采用OLS 估计模型参数，估计结果是否存在偏误？为什么？ 答：⑴ 不可以。

因为历年的人均消费额和人均收入并不是从居民消费总额和居民收入总额的总体中随机抽取的样本，违背了样本与母体的一致性。

⑵ 因为历年的居民消费总额和居民收入总额具有大致相同的“价格”指数，是否将它们转换为不变价数据并不重要，不影响数据在样本点之间的可比性。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，绝对值最小的是（）A. -2.5B. 0.3C. -1.2D. 22. 已知a > 0，b < 0，那么下列不等式中正确的是（）A. a > bB. -a < bC. a < -bD. -a > b3. 下列函数中，自变量x的取值范围正确的是（）A. y = √(x - 2)B. y = √(2x + 1)C. y = √(x^2 - 1)D. y = √(x^2 - 4)4. 下列方程中，解为整数的是（）A. 2x + 3 = 7B. 3x - 5 = 2C. 5x + 2 = 8D. 4x - 7 = 35. 在等腰三角形ABC中，AB = AC，且AB = 5cm，那么底边BC的长度可能是（）A. 4cmB. 5cmC. 6cmD. 7cm6. 下列图形中，中心对称图形是（）A. 正方形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 长方形7. 若一个数的三次方是27，那么这个数是（）A. 3B. -3C. 2D. -28. 下列函数中，是奇函数的是（）A. y = x^2B. y = x^3C. y = x^4D. y = x^59. 下列等式中，正确的是（）A. a^2 + b^2 = (a + b)^2B. a^2 - b^2 = (a - b)^2C. a^2 + b^2 = (a - b)^2D. a^2 - b^2 = (a + b)^210. 下列图形中，是平行四边形的是（）A. 等腰梯形B. 等腰三角形C. 矩形D. 菱形二、填空题（每题5分，共50分）11. 若x + y = 7，xy = 12，那么x^2 + y^2 = _______。

12. 在直角三角形ABC中，∠C = 90°，AB = 5cm，BC = 3cm，那么AC的长度是_______cm。

13. 若sinα = 1/2，那么α是第 _______象限的角。

北京市清华大学附属中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学2024.7一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合，且，则a 可以为（）A. －2B. －1C.D.2.在复平面内，复数对应点的坐标为，则（ ）A. B. C. D. 3. 若向量，，，则（ ）A.B. C. 4D. 4. 函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 5. 下列函数中，以为周期，且图象关于点中心对称的是（ ）A. B. C D. 6. 已知，那么在下列不等式中，不成立的是A. B. C. D. 7. 若是无穷数列，则“为等比数列”是“满足”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 已知甲、乙两人进行篮球罚球训练，每人练习10组，每组罚球40个，每组命中个数茎叶图如图所.的{}220A x x =-<a A ∈321iz+()2,1-z =13i +3i +3i-+13i--()2,5a = ()1,2b x x =-+ a b ⊥ x =1717-4-()f x =()1,1-()()1,12,-+∞ [)2,+∞()[)1,12,∞-⋃+ππ,04⎛⎫⎪⎝⎭tan y x =sin y x =212cos y x=-sin cos y x x=-1x <-210x ->12x x+<-sin 0x x ->cos 0x x +>{}n a {}n a {}n a ()*312N n n n n a a a a n +++⋅=⋅∈示，则下列结论错误的是（ ）A. 甲命中个数的极差为29B. 乙命中个数的众数是21C. 甲的命中率比乙高D. 甲每组命中个数的中位数是259. 已知，，，，成等比数列，且其中两项分别为1，9，则的最小值为（ ）A. B. C.D.10. 深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：）A. 72B. 74C. 76D. 78二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 设是等差数列，且，，则数列的前项和_____________.12. 现有甲、乙、丙、丁、戊五种智慧黑板，某学校要从中随机选取3种作为教学工具备选，则其中甲、乙、丙中至多有2种被选取的概率为_____________.13. 函数，其中且，若函数是单调函数，则的一个取值为______，若函数存在极值，则的取值范围为______.14. 已知函数，则_____________.15. 若等差数列满足.对，在中的所有项组成集合.记中最小值为，最大值为，元素个数为，所有元素和为，则下列命题中①为等比数列；②；③；④.所有正确的命题的序号是_____________.1a 2a 3a 4a 5a 5a 81-27-181127G G L L D=L 0L D G 0G 0.50.40.20.21g20.3010≈{}n a 11a =12n n a a +=+{}n a 1010S =()2,11,1x a x f x ax x x ⎧≤=⎨-+>⎩0a >1a ≠a a ()22sin sin 2cos f x x x x =+-5π12f ⎛⎫=⎪⎝⎭{}n a ()*3Nn a n n =∈*N k ∀∈{}na ()12,2kk +kT kTk b k c k L k S 12,,,,k c c c 32kk k b c +=⨯1k L k ≥-413kkS <<三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 在中，，，分别为，，所对的边，已知.（1）求的大小；（2）若且的长.17. 已知数列满足，且.（1）求证：数列是等比数列，并求出的通项公式；（2）若，求满足条件最大整数.18. 已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）证明：对，函数有且仅有两个极值点，，并求函数的单调区间；（3）在（2）的条件下，若，求实数的取值范围.19. 某学校为了解高一新生体质健康状况，对学生体质进行测试.现从男、女生中各随机抽取40人，测试数据按《国家学生体质健康标准》整理如下：等级数据范围男生人数男生平均分女生人数女生平均分优秀1091.3491良好883.98841及格 16702270.2不及格60以下649.6649.1总计\4075.04071.9（1）若按规定测试数据不低于60，则称体质健康为合格.试估计该校高一新生体质健康合格的概率；（2）在高一新生中，随机选取一名男生和一名女生，试估计恰有一人的体质健康等级是优秀的概率；（3）已知表中男生与女生在优秀、良好、及格、不及格四个等级的各级平均分都接近（差的绝对值不大的.ABC V a b c A ∠B ∠C ∠()sin 2a C c A =-A 2226a b c c -=-ABC S =V a {}n a 123a =()*121n n n a a n a +=∈+N 11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭{}n a 121112025na a a +++< n ()()2xf x x a e =-0a =()y f x =()()00f ，R a ∀∈()f x 1x 212()x x x <()f x ()()()2112214x f x x f x x x -≥-a []90100，[]8089，[]6079，于0.5），但男生的总平均分75.0却明显高于女生的总平均分71.9.经研究发现，若去掉四个等级中一个等级的数据，则男生、女生的总平均分也接近，请写出去掉的这个等级.（只需写出结论）20. 已知函数，.（1）若曲线在处切线过原点，求的值；（2）若在上最小值为1，求的值；（3）当时，若，都有，求整数的最小值.21. 对给定的正整数，设数列，若存在，使得，则将数列进行操作变换，得到数列，且为，或之一，记为. 设（个），从开始进行次操作变换，依次得到数列，即，.（1）当时，分别判断从开始进行次操作变换，是否可以得到如下数列？若不可以，直接判断即可；若可以，请写出相应的及；①；②；③；（2）当时，从开始进行次操作变换，是否可能得到数列？若不可以，请说明理由；若可以，求出与的所有可能取值.（3）给定正奇数，为使的各项均不相同，求操作变换次数的最小值.()ln 1f x k x x =++R k ∈()y f x =()()1,1f k ()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦k 1k =()0,x ∞∀∈+()()22f x m x x ≤+m 3n ≥12:,,...,n A a a a 1i j n ≤<≤i j a a =A T B B 121111,,...,,1,,...,,1,,...,i i i j j j n a a a a a a a a a -+-+-+121111,,...,,1,,...,,1,,...,i i i j j j n a a a a a a a a a -+-++-()B T A =0:0,0,...,0A n 00A m T 12,,...,m A A A ()1i i A T A -=1,2,...,i m =4n =0A m T m 121,,...,m A A A -2,0,0,2-2,1,0,2-3,0,1,2--5n =0A m T :,1,0,1,2m A x --x m 5n ≥m A n m北京市清华大学附属中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学 答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.【1题答案】【答案】B 【2题答案】【答案】B 【3题答案】【答案】D 【4题答案】【答案】D 【5题答案】【答案】C 【6题答案】【答案】D 【7题答案】【答案】A 【8题答案】【答案】D 【9题答案】【答案】B 【10题答案】【答案】B二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.【11题答案】【答案】【12题答案】【答案】##09.100910【13题答案】【答案】①. 2（满足均可）②. 【14题答案】【15题答案】【答案】②③④三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.【16题答案】【答案】（1） （2）【17题答案】【答案】（1）证明略， （2）2024【18题答案】【答案】（1） （2）答案略 （3）【19题答案】【答案】（1） （2）（3）去掉的等级为优秀.【20题答案】【答案】（1） （2）或 （3）1【21题答案】【答案】（1）①可以，，，，；②不可以；③不可以1a >()0,1π6A =a =221nn na =+0y =2a ≥17203101k =1ek =e k =-4m =1:1,0,0,1A -2:1,1,1,1A --3:2,0,1,1A --（2），（3）2x =5m =324n n -。

2023—2024学年北京市清华大学附属中学高二下学期期末数学试卷一、单选题(★) 1. 设集合，，则集合（）A．B．C．D．(★★) 2. 已知复数的共轭复数是，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(★★) 3. 已知向量，，若，则（）A．B．C．D．(★★) 4. 已知双曲线的左右焦点依次为，，且，若点在双曲线的右支上，则（）A．B．6C．8D．10(★★) 5. 设，若，则（）A．80B．40C．D．(★★) 6. “一尺之锤，日取其半，万世不竭”语出《庄子·天下》，意思是一尺长的棍棒，每日截取它的一半，永远截不完（一尺约等于33.33厘米）.若剩余的棍棒长度小于0.33厘米，则需要截取的最少次数为（）A．5B．6C．7D．8(★★★) 7. 已知直线与交于、两点，则“”是“的面积取得最大值”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(★★) 8. 设表示与的最大值，若，都是正数，，则的最小值为（）A．B．3C．8D．9(★★★) 9. 将的图象向左平移个单位后得到的图象，当时，，则（）A．B．C．D．(★★★★) 10. 边长为2的正方形的中心为，将其沿对角线折成直二面角.设为的中点，为的中点，将绕直线旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为（）A．B．C．D．二、填空题(★★★) 11. 某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查，参加活动的甲、乙两班的人数之比为2：3，其中甲班的女生占，乙班中女生占.则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为____________ .(★★★) 12. 设函数，若的最小值为，则的值为______ .(★★★) 13. 已知数列满足，，设，则 ____________ ；的最小值为 ____________ .(★★) 14. 已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于、两点，若，则 ____________ .(★★★★★) 15. 平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度.曲率半径主要是用来描述曲线上某处曲线弯曲变化的程度.如：圆越小，曲率越大，圆越大，曲率越小.定义函数的曲率函数（其中是的导数，是的导数），函数在处的曲率半径为此处曲率的倒数，给出下列四个结论：①函数在无数个点处的曲率为1；②函数的曲率恒为；③函数的曲率半径随着变大而变大；④若函数在与（）处的曲率半径相同，则.其中，所有正确结论的序号是 _____________ .三、解答题(★★★) 16. 在五面体中，平面，平面.(1)求证：；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.(★★★) 17. 已知函数，其中，，若在上单调递减，且，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在.(1)求，的值；(2)当时，函数恰有一个零点，求的取值范围.条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.(★★★) 18. 为了调研某地区学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地区随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：(1)从这10所学校中随机选取1所，已知这所学校参与“自由式滑雪”人数超过40人，求该校参与“单板滑雪”超过30人的概率；(2)已知参与“自由式滑雪”人数超过40人的学校评定为“基地学校”.现在从这10所学校中随机选取2所，设“基地学校”的个数为，求的分布列和数学期望；(3)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，并专门对这3个动作进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.在此集训测试中，李华同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响，每轮测试也互不影响.如果李华同学在集训测试中想获得“优秀”的次数的均值达到5次，那么至少要进行多少轮测试？（结果不要求证明）(★★★★) 19. 已知椭圆的右焦点坐标为，两个焦点与短轴一个端点构成等边三角形.(1)求椭圆的方程和离心率；(2)若过点与点的直线交椭圆于，两点，过点且与直线平行的直线交轴于点，直线与直线于点，求的值. (★★★★) 20. 已知函数，其中.(1)若在处取得极值，求的单调区间；(2)若对于任意，都有，求的值.(★★★★★) 21. 已知为有穷实数数列.对于实数，若中存在，使得，则称为连续可表数，将所有连续可表数构成的集合记作.(1)设数列，写出，并写出一个与不同的数列使得；(2)求所有的整数，使得存在数列满足；(3)设数列与数列满足，，，.证明：.。

2024届清华大学高一数学第二学期期末复习检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为（ ） A ．1：3B ．3：1C ．2：3D ．3：22．在边长为1的等边三角形ABC 中，D 是AB 的中点，E 为线段AC 上一动点，则EB ED ⋅的取值范围为（ ） A ．233,162⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．233,644⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．23,316⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．233,642⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．已知实数满足约束条件，则的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．44．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3a =，3A π=，sin 2sin C B =，则ABC 的周长为（ ） A ．33+B ．36+C ．333+D ．336+5．数列{a n }中a 1＝﹣2，a n +1＝11na -，则a 2019的值为（ ） A ．﹣2 B ．13 C ．12D ．326．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c 2，则C = A ．π12B ．π6C ．π4D ．π37．若(0,),(,0)22ππαβ∈∈-，13cos ,cos +4342ππβα⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,则cos 2βα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ （ ）A ．33B ．33-C ．69-D ．5398．已知*n N ∈，实数x 、y 满足关系式()2223n x y nx n +=++，若对于任意给定的*n N ∈，当x 在[)1,-+∞上变化时，x y +的最小值为n M ，则lim n n M →∞=（ ） A ．426-B ．0C ．424-D ．19．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若ABC ∆的面积15cos ,2,1S B a c ===，则b =( )A ．32B ．2C ．34D ．5210．如图，各棱长均为a 的正三棱柱111ABC A B C -，M 、N 分别为线段1A B 、1B C 上的动点，且MN ∥平面11ACC A ，M ，N 中点S 轨迹长度为3，则正三棱柱111ABC A B C -的体积为（ ）A 3B 233C ．3D ．3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

第二学期高等数学期末考试试卷答案清华大学第二学期期末考试模拟试卷一．填空题（本题满分30分，共有10道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中．1. 设向量的终点坐标为，它在轴、轴、轴上的投影依AB ()7,1,2-B x y z 次为、和，则该向量的起点的坐标为___________________________．44-7A 2. 设、、都是单位向量，且满足，则a b c0 =++c b a =⋅+⋅+⋅a c c b b a _____________________________．3. 设，则_____________________________．()()xy xy z 2cos sin +==∂∂yz4. 设，则___________________．yx z ==∂∂∂yx z25.某工厂的生产函数是，已知⑴.当时，),(K L f Q =20,64==K L ；（2）当时，劳力的边际生产率和投资的边际生产25000=Q 20,64==K L 率为，。

如果工厂计划扩大投入到，则产量270='Lf 350='K f 24,69==K L 的近似增量为_______________6. 交换积分顺序，有_____________________________．()=⎰⎰--221,y y ydx y x f dy7. 设级数收敛，且，则级数__________．∑∞=1n nuu u n n=∑∞=1()=+∑∞=+11n n n u u8. 级数在满足_____________条件下收敛．-p ∑∞=11n p n p9. 微分方程的通解为______________________．x x y sin +=''=y第二学期高等数学期末考试试卷答案10. 对于微分方程，利用待定系数法求其特解时，应设其xey y y -=+'+''23*y 特解______________________ （只需列出特解形式，不必具体求出系数）．=*y答案：1. ；()0,3,2-A2. ；23-3. ；()()()xy xy x xy x sin cos 2cos -4. ；()x y x y ln 11+-5. 单位；27506. ；()()⎰⎰⎰⎰----+11111012,,x xdy y x f dxdy y x f dx7. ；02u u -8. ；1>p9.；213sin 61C x C x x ++-10. ．xAxey -=*二．（本题满分8分）求过点，且与两平面和平行的直线方程．()3,2,10-P 12=+z x 23=-z y解：所求直线过点，设其方向向量为，l ()3,2,10-P s由于平行于平面和，所以其方向向量同时垂直于向量l 12=+z x 23=-z y s与．{}2,0,11=n {}3,1,02-=n第二学期高等数学期末考试试卷答案因此，方向向量可取为 ，s．k j i kj i s n s++-=-=⨯=32310201从而所求直线方程为．133221-=-=-+z y x 三．（本题满分8分）设函数，其中是常数，函数具有连续的一阶偏导数．试⎪⎭⎫⎝⎛=x y x zF x u k,k F 求．zuzy u y x u x∂∂+∂∂+∂∂解：⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂-22211,,,x y x y xz F x x z x y x z F x x y xz F kx x u kkk⎪⎭⎫⎝⎛'-⎪⎭⎫ ⎝⎛'-⎪⎭⎫ ⎝⎛=---x y xz F yx x y x z F zx x y xzF kx k k k ,,,22121⎪⎭⎫⎝⎛'=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛'=∂∂-x y xz F x x x y x z F x y u k k ,1,212⎪⎭⎫⎝⎛'=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛'=∂∂-x y xz F x x x y x zF x z u k k ,1,111所以，zuz y u y x u x∂∂+∂∂+∂∂第二学期高等数学期末考试试卷答案⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛'-⎪⎭⎫ ⎝⎛'-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=---x y xz F yx x y xz F zx x y x z F kx x k k k ,,,22121⎪⎭⎫⎝⎛'⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛'⋅+--x y xz F x z x y xzF x y k k ,,1121⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y xz F kx k ,四．（本题满分8分）计算二重积分的值．⎰⎰≤++=42222y x y x dxdy e I解：作极坐标变换：，则有θθsin ,cos r y r x ==⎰⎰⎰⎰==≤++2020422222rdre d dxdy eI r y x yx πθ．()12124202-=⋅=e e rππ五．（本题满分8分）某工厂生产两种型号的机床，其产量分别为台和台，成本函数为x y （万元）xy y x y x c -+=222),(若市场调查分析，共需两种机床8台，求如何安排生产，总成本最少？最小成本为多少？解：即求成本函数在条件下的最小值()y x c ,8=+y x第二学期高等数学期末考试试卷答案构造辅助函数 ())8(2,22-++-+=y x xy y x y x F λ解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+='=++-='=+-='080402y x F y x F y x F y x λλλ解得 3,5,7==-=y x λ这唯一的一组解，即为所求，当这两种型号的机床分别生产台和台时，总成53本最小，最小成本为：（万）2835325)3,5(22=⨯-⨯+=c 六．（本题满分10分）⑴. 将展开为的幂级数；()21ln arctan x x x x f +-=x⑵. 指出该幂级数的收敛域；⑶. 求级数的和．()()∑∞=--1121n n n n解： ⑴. 因为 ，且，所以，()()∑∞=-=+='22111arctan n nn x x x ()1<x 00arctan = ()()()∑∑⎰⎰∑∞=+∞=∞=+-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=01200200212111arctan n n nn xnn xn n n x n dt t dt t x()11≤<-x 而()()∑∞=-=+=+12221211ln 211ln n n nx nx x ()11≤≤-x()21ln arctan x x x x f +-=()()∑∑∞=∞=+--+-=12012121121n n nn n nxn x n x()()()()∑∑∞=+∞=++--+-=012022121121n n nn n n xn xn()∑∞=+⎦⎤⎢⎣⎡+-+-=0222211211n n n x n n()()()∑∞=+++-=02222121n n nx n n ()11≤≤-x⑵. 幂级数的收敛域为．()()()∑∞=+++-02222121n n nx n n []1,1-⑶. 令，则有1=x()()()()∑∑∞=∞=--=--1112212121n nn n n n n n()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+-⋅==2ln 214211ln 1arctan 12122πf．2ln 2-=π七．（本题满分10分）求微分方程的通解．()1ln ln +=+'x x y x y x解：该方程为一阶线性微分方程xx y x x y ln 1ln ln 1+=+'， ．()x x x P ln 1=()xx x Q ln 1ln +=代入一阶线性微分方程的求解公式，有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰+⎰=⎰-C dx e x x e y x x dx x x ln 1ln 1ln 1ln⎪⎭⎫⎝⎛+⋅+=⎰C xdx x x x ln ln 1ln ln 1()()C dx x x ++=⎰1ln ln 1()C x x x+=ln ln 1所以，原方程的通解为()xC x C x x x y ln ln ln 1+=+=八．（本题满分10分）讨论级数的绝对收敛性与条件收敛性．()∑∞=+-11ln 1n n nn解：⑴. 因为级数为交错级数，．由于，()∑∞=+-11ln 1n nnn nn u n 1ln+= ()()0122ln 12ln 1ln 12ln 2221<+++=++=+-++=-+n n nn n n n n n n n u u n n 所以数列单调减少而且．{}n u 01lnlim lim =+=∞→∞→nn u n n n因此由Leibniz 判别法知，级数收敛．()∑∞=+-11ln 1n nnn第二学期高等数学期末考试试卷答案⑵. 讨论级数．其前项部分和为()∑∑∞=∞=+=+-111ln1ln 1n n nn n n n n∑=+=n k n kk s 11ln()()()()[]n n ln 1ln 3ln 4ln 2ln 3ln 1ln 2ln -+++-+-+-=()∞→+=1ln n ()∞→n 所以，级数发散．()∑∑∞=∞=+=+-111ln1ln 1n n n n n n n综上所述知，级数条件收敛．()∑∞=+-11ln 1n nnn 九．（本题满分8分）设函数具有二阶连续的导函数，而且满足方程()u f ()y e f z x sin =，z e yzx z x 22222=∂∂+∂∂试求函数．()u f解：设，则有y e u xsin =，()y e u f xzx sin '=∂∂()y e u f y z x cos '=∂∂所以，()()ye uf y e u f xzx x sin sin 2222'+''=∂∂()()y e u f y e u f xz xx sin cos 2222'-''=∂∂第二学期高等数学期末考试试卷答案代入方程，z e yzx z x 22222=∂∂+∂∂得，()()()()ze y e uf y e u f y e u f y eu f x x x x x 22222sin cos sin sin ='-''+'+''即，()()xxe uf eu f 22=''由此得微分方程()()0=-''u f u f 解此二阶线性微分方程，得其通解为（与为任意常数）()u u e C e C u f -+=211C 2C 此即为所求函数．。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列数中，有理数是（）A. √9B. √16C. √-1D. π答案：A2. 已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，则第10项a10的值为（）A. 20B. 22C. 24D. 26答案：C3. 函数y=2x-1在x=2时的函数值为（）A. 3B. 4C. 5D. 6答案：B4. 下列不等式中，正确的是（）A. 3x > 2xB. 2x < 3xC. 3x ≤ 2xD. 3x ≥ 2x答案：A5. 已知等比数列{bn}的首项b1=2，公比q=3，则第5项b5的值为（）A. 18B. 24C. 36D. 54答案：C6. 若平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，则OA：OB=（）A. 1：1B. 2：1C. 1：2D. 3：1答案：A7. 下列图形中，是轴对称图形的是（）A. 正方形B. 等边三角形C. 梯形D. 长方形答案：A8. 已知一元二次方程x^2-4x+3=0的解为x1和x2，则x1+x2的值为（）A. 4B. -4C. 3D. -3答案：A9. 下列函数中，是奇函数的是（）A. y=x^2B. y=x^3C. y=x^4D. y=x^5答案：B10. 已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=2，则第n项an的表达式为（）A. an=2nB. an=2n-1C. an=2n+1D. an=2n^2答案：B二、填空题（每题5分，共50分）11. 二项式（a+b）^3的展开式中，a^2b的系数是______。

答案：312. 函数y=√(x^2-1)的定义域是______。

答案：x≤-1或x≥113. 若a=√2，b=√3，则a^2+b^2的值为______。

答案：714. 在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，则∠C=______。

答案：75°15. 一元二次方程x^2-5x+6=0的解为______。

(清华大学)材料科学基础真题2003年-2(总分：100.00，做题时间：90分钟)一、论述题(总题数：10，分数：100.00)1.标出图中(a)、(b)、(c)、(d)的晶向指数和(E)、(F)、(G)、(H)的晶面指数。

（分数：8.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：((a)的晶向指数是；(b)的晶向指数是；(c)的晶向指数是；(d)的晶向指数是。

(E)的晶面指数是；(F)的晶面指数是；(G)的晶面指数是；(H)。

) 解析：2.写出FCC、BCC、（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(见下表。

)解析：3.写出镍(Ni)晶体中面间距为0.1246nm的晶面族指数。

镍的点阵常数为0.3524nm。

（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(镍(Ni)的晶体结构和点阵都是面心立方(FCC)，立方晶体的晶面距公式是：所以有因为h、k、l都是整数，所以h、k、l可能取的可能值为：0、2、2，所以符合题意的晶面族指数为{022}。

) 解析：4.由600℃降至300℃时，锗晶体中的空位平衡浓度降低了六个数量级，试计算锗晶体中的空位形成能(波耳兹曼常数k=8.617×10-5eV/K)。

（分数：8.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(Schottky缺陷的平衡浓度公式为：有有有≈1.91432×105J·mol-1即锗晶体中空位形成能为1.91432×105J·mol-1。

北京科技大学2002-2003学年度第二学期高等数学（A）试题一、填空题（4分x5=20分）1、设f(x,y)=sin(xy2)，则fyx(" π2,1)=__________x2y2(2xy+3x2+4y2)dl=_________ 2、设l为椭圆+=1，其周长为a，则⎰l433、函数u=ln(x+4、交换积分次序∞沿点A(1,0,1)指向B(3,-2,2)方向的方向导数为_________ 1x2⎰dx⎰0n0nf(x,y)dy+⎰1dx⎰33-x20f(x,y)dy=___________ 5、若幂级数∑a(x-1)n=1在x=0收敛，在x=2发散，则该幂级数的收敛域为_________二、单项选择题（4分x5=20分）'1、fx'(x0,y0)与fy(x0,y0)存在是f(x,y)在点(x0,y0)可微的（）(A) 必要条件 (B) 充分条件 (C) 充要条件 (D) 既非充分也非必要条件2、函数f(x,y)在点(x0,y0)处不连续，则（）(A) limf(x,y)不存在 (B) f(x0,y0)必不存在x→x0y→y0' (C) f(x,y)在点(x0,y0)必不可微 (D) fx'(x0,y0)与fy(x0,y0)必不存在22223、设D1=(x,y)|1≤x+y≤4,x≥0,y≥0,D=(x,y)|1≤x+y≤4,且f(x,y)在D上连续，则{}{}必有（）(A)(C) ⎰⎰Df(x,y)dxdy=4⎰⎰f(x,y)dxdy (B) ⎰⎰f(x2,y2)dxdy=4⎰⎰f(x2,y2)dxdyD1DD1⎰⎰Df(x3,y3)dxdy=4⎰⎰f(x3,y3)dxdy (D) 上述说法都不成立 D14、当（）时，∑(-1)unn=1∞n(un>0)一定收敛。

∞1(A) un+1≤un(n=1,2, )(B) limun=0 (C) un> (D) ∑un收敛n→∞nn=15、设P(x,y),Q(x,y)具有一阶连续偏导数，若（）则⎰Pdy-Qdx与路径无关。

清华大学考试题及答案数学清华大学数学考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. -1答案：B2. 函数f(x) = x^2在x=2处的导数是：A. 2B. 4C. 6D. 8答案：A3. 不等式x^2 + 3x + 2 > 0的解集是：A. (-∞, -2)B. (-2, -1)C. (-1, ∞)D. (1, 2)答案：C4. 圆的方程为(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25，该圆的半径是：A. 5B. 10D. 20答案：A5. 极限lim (x->0) [sin(x)/x]的值是：A. 0B. 1C. ∞D. 不存在答案：B6. 方程组x + y = 52x - y = 1的解是：A. (1, 4)B. (2, 3)C. (3, 2)D. (4, 1)答案：C7. 集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∪B是：A. {1, 2, 3}B. {1, 2, 3, 4}C. {2, 3}D. {1, 4}答案：B8. 已知数列1, 4, 7, 10, ...的第n项是3n-2，那么该数列的第5项是：A. 10C. 16D. 19答案：B9. 如果一个平面图形的周长是固定的，要使其面积最大，该图形应该是：A. 正方形B. 长方形C. 圆形D. 三角形答案：C10. 微分方程dy/dx = x/y的通解是：A. y^2 = x^2 + CB. y^2 = 2x + CC. x^2 = y^2 + CD. x^2 = 2y^2 + C答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 圆心在原点，半径为5的圆的方程是________。

答案：(x-0)^2 + (y-0)^2 = 5^212. 函数f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 3x的拐点个数是________。

答案：213. 已知向量a = (3, 4)，b = (-2, 1)，则向量a与b的夹角余弦值为________。

微积分A (A) 答案一． 填空题（每空3分，共15题）（请将答案直接填写在横线上！）1. ∑=∞→++ni n i n i n n1)2)((lim= 。

答案：2ln 3ln − 2.∫dx e x x 2= 。

答案：C e xe e x xxx++−2223. =∫→320)sin(limxdt t xx 。

答案：314.∫+xx t d t dx d 22)sin 1ln(= 。

答案：)sin 1ln(2)2sin 1ln(22x x x +−+5. 求曲线x e y =、x y πcos −=、21−=x 、21=x 围成的区域面积 。

答案：π22121+−−ee6.=−∫π3sin sin dx x x 。

答案：34 7.∫=+)1(2x x dx。

答案：C x x ++−)1ln(21ln 2 8.=+∫21xx dx。

答案：2ln 2)12ln(2−+ 9. 悬链线 )(21x xe e y −+=，1||≤x 的弧长 =L 。

答案：1−−e e10. 二阶方程 03'''2=−−y xy y x 的通解为 。

答案：x c x c y /231+= 11. 常微分方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=+=z y dxdzzy dx dy22的通解为 。

答案：⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−x x x x e e C e e C z y 3321 12. 设2,xx 是二阶齐次线线性常微分方程解，则该微分方程为 。

答案：0222=+′−′′y xy x y 13. 0106=+′+′′y y y 的通解为 。

答案：x e C x e C y x xsin cos 3231−−+=14.xyx y dx dy tan +=的通解为 。

答案：Cx xy=sin15. 常微分方程26xy y xy −=−′的通解为 。

答案：8126x x C y +=二． 计算题（每题10分，共4题）（请写出详细计算过程和必要的根据！）1． 计算∫+4/022cos 3sin πxx dx. 解：原式 = ∫+4/022)tan 3(cos πx x dx∫=+=102tan 3tdt x t = 363arctan 311π=t。

清华大学大学几何与代数期末考试题一、填空题〔将正确答案填在题中横线上。

每题2分，共10分〕1. 假设022150131=---x ，则=χ________。

2．假设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。

3．矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。

4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。

5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。

二、推断正误〔正确的在括号内填“√〞，错误的在括号内填“×〞。

每题2分，共10分〕1. 假设行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。

〔 〕2. 零向量肯定可以表示成任意一组向量的线性组合。

〔 〕3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的重量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。

〔 〕4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0100100000010010A ，则A A =-1。

〔 〕 5. 假设λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。

( )三、单项选择题 (每题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。

每题2分，共10分)1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=TA A 〔 〕。

① n2② 12-n③ 12+n ④ 42. n 维向量组 s ααα，，， 21〔3 ≤ s ≤ n 〕线性无关的充要条件是〔 〕。

① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示④ s ααα，，， 21中不含零向量3. 以下命题中正确的选项是( )。

① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的选项是( )。