东方随机过程填空题总练习

一．填空题（每空2分，共20分）1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为it (e -1)eλ。

2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为1(sin(t+1)-sin t)2ωω。

3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为1λ的同一指数分布。

4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从Γ分布。

5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e t t X ,,3)(，则 这个随机过程的状态空间212t,t,;e,e 33⎧⎫⎨⎬⎩⎭。

6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ij P (p )=，二者之间的关系为(n)n P P =。

7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为(n)ji ij i Ip (n)p p ∈=⋅∑。

8．在马氏链{}n X ,n 0≥中，记 {}(n)ij v n 0f P X j,1v n-1,X j X i ,n 1,=≠≤≤==≥(n)ij ij n=1f f ∞=∑，若ii f 1<，称状态i 为非常返的。

9．非周期的正常返状态称为遍历态。

10．状态i 常返的充要条件为(n)iin=0p∞=∑∞。

二．证明题（每题6分，共24分）1.设A,B,C 为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式：P(BC A)=P(B A)P(C AB)。

证明：左边=P(ABC)P(ABC)P(AB)P(C AB)P(B A )P(A)P(AB)P(A)===右边2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。

随机过程习题一、判断题：5个，10分1、随机过程依照状态空间，可分为离散状态过程和连续状态过程。

2、非齐次泊松过程一定是独立增量过程。

3、设?N(t),t?0?是一个更新过程，Tn是第n次更新发生的时刻，N(t)?n?Tn?t4、任意马尔可夫链都存在极限分布。

5、时齐的连续时间马尔可夫链的转移速率qij有qii?二、填空题：5个，15分?qj?iij。

1、若随机变量X的矩母函数为et2?2，则其期望E(X)为．2、设随机过程X(t)?R?t?C,t?(0,?),C为常数， R服从区间[0,1]上的均匀分布,则其均值函数为．3、设某设备的使用期限为10年, 在前5年内它平均2.5年需要维修一次,后5年平均2年需要维修一次。

则它在使用期内只维修过一次的概率是．4、人的健康状况分为健康和疾病两种状态，设对特定年龄段的人，今年健康、明年保持健康状态的概率为0.8, 而今年患病、明年转为健康状态的概率为0.7，若某人投保时健康, 3年后他仍处于健康状态的概率是．5、设时齐连续时间马尔可夫链{X(t),t?0}是正则的，由状态i经时间t后转移到状态j的概率为Pij(t)，则limP(t)? ．ijt?0三、计算题：5个，40分1、设数Y在区间(0,1)上随机地取值,当观察到Y=y(02求P{N(1)?2N(1)?1}。

4、设?N(t),t?0?是一个更新过程，Xn是第n?1次更新和第n次更新相距的时间，且P(Xi?1)?1， 3P(Xi?2)?2，i?1,2,?，求P{N(2)?1}。

35、设马尔可夫链的状态空间S?{1,2,3,4}，转移概率矩阵为 ?1??4P??0?0??1?14000141001??4?0?， 1??0??试判断状态1是否是常返态。

四、应用题：2个，1题10,2题15分，共25分 1、一队同学顺次等候体检，设每人体检所需要的时间服从均值为2min的指数分布，并且与其他人所需时间是相互独立的，则1h内平均有多少同学接受过体检？在这1h内最多有40名同学接受过体检的概率是多少？ 2、我国某种商品在国外销售情况共有连续24个季度的数据（1表示畅销，2表示滞销）： 112122111212112211212111 如该商品销售状态满足马尔可夫性和齐次性. 1)确定销售状态的转移概率矩阵； 2)如果现在是畅销，预测这以后第四个季度的销售情况； 3)如果影响销售所有因素不变，预测长期的销售情况. 五、证明题：1个，10分将2个红球放入盒子甲，4个白球放入盒子乙，每次从两个盒子中各取一球交换，以X(n)记第n次交换后盒子甲中的红球数。

1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。

2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为 。

3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为 的同一指数分布。

4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从 分布。

5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e tt X ,,3)(，则 这个随机过程的状态空间 。

6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ijP (p )=，二者之间的关系为 。

7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为 。

8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则{(5)6|(3)4}______P X X ===9．更新方程()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为 。

10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。

二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）P(BC A)=P(B A)P(C AB)。

2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。

3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1<n l ≥≤和i,j I ∈，n 步转移概率(n)()(n-)ij ik kjk Ip p p l l ∈=∑ ，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。

一．填空题（每空2分，共20分）1．设随机变量X~U(a,b)，则X 的特征函数为itbitaeei(b-a)t-。

2．设随机过程X(t)=Asint,-<t<∞∞ 其中A 是随机变量，具有概率分布列:则X (t)的数学期望为2sint 。

3．强度为λ的泊松过程{}X (t),t 0≥,{}n T ,n 1≥是对应的时间间隔序列，则随机变量n T (n =1,2,) 是独立同分布均值为_λ___的指数分布。

4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X (t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从参数为n 与λ的___Γ___分布。

5．设随机过程 X (t)只有两条样本曲线，1X (t,)=acost,ω2X (t,)=-acost,ω其中常数a>0，且12P ()=3ω，21P ()=3ω，则这个随机过程的状态空间I=[]a,a -。

6．马氏链{}n X ,n 0≥，状态空间I ,记初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率j n p (n )P(X =j)=，n 步转移概率(n)ij p ，则j p (n )=(n)iiji Ip p∈∑7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，记初始概率i 0p P(X =i)=，一步转移概率{}ij n+1n p p X j X i ===，则{}0011n n P X =i ,X =i ,,X i == 00112n-1n i i i i i i i p p p p8．在马氏链{}n X ,n 0≥中，记 {}(n)ij v n 0f P X j,1v n-1,X j X i ,n 1,=≠≤≤==≥(n)ij ijn=1f f∞=∑，若ii f 1=，称状态i 为_常返____________。

9．遍历状态的定义为不可约非周期的正常返状态。

10．如果状态j 非常返或零常返，则(n)ij n lim p →∞=__0_____，i I ∀∈。