互斥事件有一个发生的概率

互斥事件有一个发生的概率学习指导1、互斥事件（1）两个互斥事件：不可能同时发生的两个事件（2）多个互斥事件：如果事件A1，A2，…，A n中的任何两个事件都是互斥事件，则说事件A1，A2，…，A n彼此互斥。

（3）从集合角度看：记某次试验的结果为全集U如果A、B是这次试验的两个互斥事件所含有的结果组成的集合，则A∩B=φ，A∪B≠⊂I。

如果事件A1，A2，…，A n彼此互斥，则由各个事件所含的结果组成的集合的交集是空集。

2、对立事件：如果两个互斥事件在一次试验中必然有一个发生，那么这样两个互斥事件叫做对立事件。

符号：事件A的对立事件用A表示从集合角度看，记某次试验的结果为全集U，A与A是两个对立事件的结果组成的集合，则A∩A=φ，A∪A=U。

也就是说，由事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集。

3、互斥事件与对立事件比较区别：互斥事件强调两个事件不可能同时发生，并非说明两个互斥事件不可能同时不发生，即在一次试验中两个互斥的事件可能都不发生，因此互斥事件不一定是对立事件。

如果A与B是互斥事件，那么在一次试验中可能出现的结果是：①A发生B不发生，②B发生A不发生，③A与B均不发生。

对立事件是指在一次试验中必然有一个发生的两个事件。

用Veen图表示联系：互斥事件与对立事件都不可能同时发生。

对立事件一定是互斥事件，对立事件是特殊的互斥事件，两个事件对立是两个事件互斥的充分非必要条件。

4、加法公式（1）两个互斥事件至少有一个发生的概率的计算公式①两个事件的和。

设A、B是两个事件，如果在一次试验中，A或B至少有一个发生。

符号A+B即A+B表示这样的事件：如果在一次试验中，A或B中至少有一个发生就表示该事件发生。

特例，当事件A与B互斥时②两个互斥事件的和：两个互斥事件至少有一个发生此时P(A+B)=P(A)+P(B) ……加法公式即两个互斥事件至少有一个发生的概率等于这两个事件分别发生的概率之和推广（2）多个互斥事件至少有一个发生的概率①多个事件的和：若事件A1，A2，…，，A n中至少有一个发生符号：A1+A2+…+A n特别地，当A1，A2，…，A n彼此互斥时②多个互斥事件的加法公式：如果事件A1，A2，…，A n彼此互斥，那么事件A1+A2+…+A n的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和。

互斥事件有一个发生的概率人教版高中数学必修系列：11.2互斥事件有一个发生的概率(备课资料)一、参考例题［例1］判断下列事件是否是互斥事件.(1)将一枚硬币连抛2次，设事件A：“两次出现正面”，事件B：“只有一次正面”；(2)对敌机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A：“两次都击中敌机”,事件B：“至少有一次击中敌机”.分析：(1)中两事件不可能同时发生;(2)因为事件B中的结果中含有“两次都击中敌机”，所以事件A、B有可能同时发生.解：(1)事件A与B是互斥事件.(2)事件A与B不是互斥事件.评述：关键在于判断事件的结果是否有包容关系.［例2］在一个袋内装有均匀红球5只，黑球4只，白球2只，绿球1只，今从袋中任意摸取一球，计算：(1)摸出红球或黑球的概率.(2)摸出红球或黑球或白球的概率.分析：(1)设事件A：“摸出一球是红球”，事件B：“摸出一球是黑球”.因为事件A与B不可能同时发生，所以它们是互斥的.(2)设事件C：“摸出一球是白球”，则A、B、C彼此互斥.解：设事件A：“摸出一球是红球”，设事件B：“摸出一球是黑球”，设事件C：“摸出一球是白球”.∵A与B、B与C、C与A两两互斥,且P(A)= ，P(B)= ，P(C)∴(1)由互斥事件的概率加法公式，可知“摸出红球或黑球”的概率为P(A+B)=P(A)+P(B)(2)由互斥事件的概率加法公式，可知“摸出红球或黑球或白球”的概率为P(A+B+C) =P(A)+P(B)+P(C)［例3］某医院一天内派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下.医生人数012345人以上概率0.10.160.30.40.20.04求：(1)派出医生至多2人的概率；(2)派出医生至少2人的概率.分析：设“不派出医生”为事件A，“派出1名医生”为事件B，“派出2名医生”为事件C，“派出3名医生”为事件D，“派出4名医生”为事件E，“派出5名以上医生”为事件F，则有P(A)=0.1，P(B)=0.16，P(C)=0.3，P(D)=0.4，P(E)=0.2，P(F)=0.04.由于事件A、B、C、D、E、F彼此互斥，因此，(1)、(2)中的概率可求.解：设事件A：“不派出医生”，事件B：“派出1名医生”，事件C：“派出2名医生”，事件D：“派出3名医生”，事件E：“派出4名医生”，事件F：“派出5名以上医生”.∵事件A、B、C、D、E、F彼此互斥，且(A)=0.1,P(B)=0.16,P(C)=0.3,P(D)=0P(E)=0.2,P(F)=0. 04,∴“派出医生至多2人”的概率为P(A+B+C) =P(A)+P(B)+P(C) =0.1+0.16+0.3=0“派出医生至少2人”的概率为P(C+D+E+F) =P(C)+P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.4+0.2+0.04=0［例4］一批产品共50件，其中5件次品，45件合格品，从这批产品中任意抽取2件，求其中出现次品的概率.分析：由于从这批产品中任意取2件，出现次品可看成是两个互斥事件A：“出现一个次品”和事件B：“出现两个次品”中，有一个发生，故根据互斥事件的概率加法公式可求“出现次品”的概率.解：设事件A：“出现一个次品”,事件B：“出现两个次品”,∴事件A与B互斥.∵“出现次品”是事件A和B中有一个发生,∴P(A)P(B)∴所求的“出现次品”的概率为P(A+B)=P(A)+P(B)评述：注意对互斥事件概率加法公式的灵活运用.二、参考练习1.选择题(1)有10名学生，其中4名男生，6名女生，从中任选2名,则恰好是2名男生或2名女生的概率为A. BD.答案：D(2)一个口袋内装有大小相同的7个白球，3个黑球，5个红球，从中任取1球是白球或黑球的概率为A. BD.答案：B(3)某工厂的产品分一、二、三等品三种，在一般的情况下，出现一等品的概率为95%,出现二等品的概率为3%，其余均为三等品，那么这批产品中出现非三等品的概率为A.0.50B.00.97D.0.2答案：B(4)从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取两个数，分别有下列事件，其中为互斥事件的是①恰有一个奇数和恰有一个偶数②至少有一个是奇数和两个数都是奇数③至少有一个是奇数和两个数都是偶数④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数A.①B.②④C.③D.①③答案：C2.填空题(1)若事件A与B________，则称事件A与B是互斥的；若事件A1，A2，…，An彼此互斥，则P(A1+A2+…+An)=________.答案：不可能同时发生P(A1)+P(A2)+…+P(An)(2)甲、乙两人下棋，两个下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙输的概率是________.答案：(3)口袋内装有100个大小相同的红球、白球和黑球，其中红球有45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率是0.23,则摸出黑球的概率是________.答案：0.32(4)3人都以相同概率分配到4个单位中的每一个，则至少有2人被分配到一个单位的概率为________.答案：解答题(1)某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示：年降水量(单位：mm)［１００，１５０］［１５０，２００］［２００，２５０］［２５０，３００］概率0.100.250.200.12求：①降水量在［２００，３００］范围内的概率；②降水量在［１００，２５０］范围内的概率.解：①P=0.20+0.12=0.32，∴降水量在［２００，３００］范围内的概率为0.32.②P=0.10+0.25+0.20=0∴降水量在［１００，２５０］范围内的概率为0(2)从装有大小相同的4个红球，3个白球，3个黄球的袋中，任意取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率.分析：“2个球颜色相同”这一事件包括“2个球是红球”“2个球是白球”“2个球是黄球”3种结果.解：记“取出2个球为红球”为事件A,“取出2个球为白球”为事件B,“取出2个球为黄球”为事则A、B、C彼此互斥,且P(A)P(B)P(C)“2个球颜色相同”则可记为A+B+C, ∴P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)(3)有币按面值分类如下：壹分5枚，贰分3枚，伍分2枚，从中随机抽取3枚，试计算：①至少有2枚币值相同的概率；②3枚币值的和为7分的概率.分析：①至少有2枚币值相同包括恰好有2枚币值相同和3枚币值全相同2种情况;②3枚币值的和为7分包括“1枚伍分，2枚壹分”1种情况.解：①由题意可设“任取3枚币值各不相同”为事件A，则“至少有2枚币值相同”为事又∵P(A)∴P( )=1- .②设“3枚币值和为7分”为事件B,则P(B)评述：要注意认真分析题意，灵活应用对立事件的概率公式.●备课资料?一、参考例题［例1］抛掷一个均匀的正方体玩具，记事件A“落地时向上的数是奇数”，B为事件“落地时向上的数是偶数”，C为事件“落地时向上的数是3的倍数”，问下列事件是不是互斥事件，是不是对立事件？(1)A与B;(2)A与C;(3)B与C.分析：利用互斥事件与对立事件的概念.解：(1)∵事件A与事件B不可能同时发生，而且在试验中必有一个发生,∴事件A与B是互斥事件，也是对立事件.(2)∵事件A与C都可能含有同一结果“落地时向上的数为3”，故A与C可能同时发生.∴A与C不是互斥事件，因而也不是对立事件.(3)∵事件B与C都可能含有同一结果“落地时向上的数为6”，故B与C可能同时发生.∴B与C不是互斥事件.故也不是对立事件.［例2］某射手在一次射击中射中10环、9环、8环的概率分别为0.24、0.28、0.19，计算这一射手在一次射击中，不够8环的概率.分析：由于事件“射击击中不够8环”与事件“射击击中8环或8环以上”是相互对立事件，而后者的概率运用互斥事件中有一个发生的概率公式可求，因此利用对立事件的概率公式可求解.解：设事件A：“一次射击击中的不够8环”，事件B：“一次射击击中8环或8环以上”，∴事件A与B是互斥事件.∵事件A与B中必有一个发生,∴事件A与B又是对立事件.∴P(A)=1-P(B).∴P(B)=0.24+0.28+0.19=0∴P(A)=1-0.71=0.29.∴该射手在一次射击中不够8环的概率为0.29.评述：注意利用互斥事件中有一个发生的概率公式及对立事件的概率公式.［例3］有三个人，每人都以相同概率被分配到四个房间中的每一间，试求：(1)三人都分配到同一个房间的概率；(2)至少有两人分配到同一房间的概率.分析：(1)因为每人都以相同概率被分配到四个房间中的每一间，所以三人被分配到四个房间中的一间共有4×4×4=43种等可能性的结果出现，而事件“三人都分配到同一个房间”中含有4个结果，故根据等可能性的概率公式可求.(2)设事件A“至少有两人分配到同一房间”,事件B“三人都分配到不同的房间”,故事件A与B是对立事件.而P(B)因此，利用对立事件的概率关系可求P(A).解：(1)根据等可能事件的概率公式,得三人都分配到同一个房间的概率为P∴三人都分配到同一房间的概率为 .(2)设事件A“至少有两人分配到同一房间”，事件B“三人都分配到不同的房间”.∵事件A与B是对立事件，且P(B)∴P(A)=1- .∴至少有两人分配到同一房间的概率为 .［例4］某电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任意取3个，试求至少有一个二级品的概率.分析：设事件A：“至少有一个二级品”，则事件A 是指事件“有一个二级品”“有两个二级品”“有三个二级品”中有一个发生，因而，可用互斥事件的概率加法公式计算.另外，事件A与事件“没有一个二级品”是对立事件，故利用对立事件的概率公式也可求解，且比较简便.解法一：设事件A：“至少有一个二级品”，它是指事件“有一个二级品”“有两个二级品”“有三个二级品”中有一个发生，由于上述三个事件是互斥的，∴P(A)= ≈0.2解法二：事件A与“没有一个二级品”是对立事件，而事件“没有一个二级品”的概率为 , ∴P(A)=1- ≈0.2∴至少有一个二级品的概率约为0.2［例5］某小组有男生6人，女生4人，现从中选出2人去校院开会，其中至少有1名女生的概率为多少？分析：设事件“至少有1名女生”为A，则事件A可看成是事件“有一名女生”“有两名女生”中有一个发生.而事件“有一名女生”和“有两名女生”是互斥的，所以P(A)可利用互斥事件概率加法公式求得.另外事件A 与事件“没有女生”是对立事件，而事件“没有女生”的概率P解法一：P(A)解法二：P(A)=1-P( )=1-∴至少有1名女生的概率是 .二、参考练习1.选择题(1)下列命题中，真命题的个数是①将一枚硬币抛两次，设事件A：“两次出现正面”，事件B：“只有一次出现反面”，则事件A与B是对立事件②若事件A与B为对立事件，则事件A与B为互斥事件③若事件A与B为互斥事件，则事件A与B为对立事件④若事件A与B为对立事件，则事件A+B为必然事件A.1B.2D.4答案：B(2)袋中装白球和黑球各3个，从中任取2球，则至多有1黑球的概率是A. BD.答案：B2.填空题(1)在10件产品中有8件一级品，2件二级品，现从中任选3件，设事件A：“所取的都是一级品”，则事件表示为________.答案：所取的不都是一级品(2)口袋内有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一球，摸出红球的概率是0.3,摸出黑球的概率是0.5，那么摸出白球的概率是________.答案：0.23.解答题(1)某班有学生50名，其中班干部5名，现从中选出2名作为学生代表，求：①选出的2名学生至少有1名是班干部的概率;②选出的2名学生中没有班干部的概率.解：①P=1- .②P(2)有红、黄、蓝三种颜色的信号旗各1面，按不同次序排列可组成不同的信号，并且可以用1面旗、2面旗或3面旗组成信号，求：①组成的信号是由1面或2面信号旗组成的概率;②组成的信号不是由1面信号旗组成的概率.解：①P= = ;②P=1- .(3)某班共有学生n(n≤50)个人，若一年以365天计算，列式表示至少有2人在同一天过生日的概率.解：记“至少有2人在同一天生日”为事件A，则“没有人在同一天生日”为事件A的对立事件，即 . ∵P( )∴P(A)=1- .(4)某单位的36人的血型分别是：A型的有12人，B 型的有10人，AB型的有8人，O型的有6人，如果从这个单位随机地找出两个人，那么这两个人具有不同的血型的概率是多少？解：记“两个人具有不同血型”为事件A，则“两个人血型相同”为事件A的对立事件，即，且“两个人为A型血”“两个人为B型血”“两个人为AB型血”“两个人为O型血”为彼此互斥事件，这些互斥事件只要有一个发生，则发生，而P( )∴P(A)=1-P( )=1- .(5)一个袋内装有3个红球，n个白球，从中任取2个，已知取出的球至少有一个是白球的概率是，求n的值.解：记“至少有一个是白球”为事件A，则“任取2球，全是红球”是事件A的对立事件，即 .又∵P( )由对立事件的概率公式P(A)+P( )=1，得P(A)=1-即n2+5n-204=0.解得n=12.评述：对于带有词语“至多”“至少”等类型的较复杂的概率计算问题，利用对立事件的概率公式可转化为求其对立事件的概率。

第二节 互斥事件有一个发生的概率一、基本知识概要：1、互斥事件：如果事件A 与B 不能同时发生（即A 发生B 必不发生或者B 发生A 必不发生），那么称事件A ，B 为互斥事件（或称互不相容事件）。

如果事件A 1，A 2，…n A 中任何两个都是互斥事件，那么称事件A 1，A 2，…A n 彼此互斥。

互斥事件的概率加法公式：如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）； 如果事件A 1，A 2，…n A 彼此互斥，则P （A 1+A 2+…+n A ）=P （A 1）+P （A 2）+…+P （n A ）；2、对立事件：如果事件A 与B 不能同时发生，且事件A 与B 必有一个发生，则称事件A 与B 互为对立事件，事件A 的对立事件通常记作A 。

对立事件A 与A 的概率和等于1，即：P （A ）+P （A ）=P （A+A ）=1；注：对立事件是针对两个事件来说的，一般地说，两个事件对立是这两个事件互斥的充分条件，但不是必要条件。

3、事件的和事件：对于事件A 与B ，如果事件 A 发生或事件B 发生，也即A ，B 中有一个发生称为事件A 与B 的和事件。

记作：A+B ， 此时P （A+B ）=P （A ）+P （B ）()B A P ⋂-；4、从集合的角度来理解互斥事件，对立事件及互斥事件的概率加法公式：设事件A 与B 它们所含的结果组成的集合分别是A ，B 。

若事件A 与B 互斥，即集合Φ=⋂B A ，若事件A 与B 对立，即集合Φ=⋂B A 且U B A =⋃，也即：B C A U =或A C B U =，对互斥事件A+B （即事件A 发生或事件B 发生）即可理解为集合B A ⋃。

有等可能事件的概率公式知： )()()()()()()()(U card B card A card U card B A card U card B A card B A P +=⋃=+=+ =)()(U card A card +)()(U card B card =P （A ）+P （B ） 二、重点难点: 互斥事件的概念和互斥事件的概率加法公式是重点；互斥事件、对立事件的概念及二者的联系与区别及应用是难点。

1．2 互斥事件有一个发生的概率学法导引本节主要是学会用事件的互斥分解的方式来解决概率问题．加强对互斥这一概念的理解和运用是掌握这节知识的关键，而对较复杂的概率问题，可多联想用求事件的对立事件的方法求解．知识要点精讲知识点2互斥事件的概率，如果事件A、B互斥，那么事件A＋B发生的概率等于事件A、B 分别发生的概率和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．知识点4 对立事件的概率对立事件概率的和等于1，即解题方法、技巧培养出题方向1 互斥事件至少有一个发生的概率互斥事件至少有一个发生的概率，通常情况下，可以使用公式例1 有10件产品分3个等级，其中一等品4件，二等品3件，三等品3件，从10件产品中任意取出2件，求取出的2件产品同等次的概率．出题方向2 利用事件分解解决互斥事件的概率．通过对事件的分解来解决互斥事件的概率问题，是概率问题中的一个主要方法之一．例2 现有10张奖券，其中2张是有奖的，由甲、乙、丙三人按顺序各抽一张，求：(1)乙中奖的概率；(2)甲未中奖的概率；(3)乙、丙至少有一人中奖的概率；(4)三人中只有一人中奖的概率．[分析] 设A、B、C分别表示甲、乙、丙中奖这一事件．(1)事件乙中奖，可以分解成甲中乙中丙不中、甲不中乙中丙中、甲不中乙中丙不中这三个事件的和事件．所以乙中奖的概率为：点拨利用分解的方式来处理复杂事件的概率，是一种特别有效的方法．出题方向3 利用对立事件的概率来求事件概率有时求一个事件的概率比较麻烦，我们就可以利用该事件的对立事件的概率来求该事件的概率．例3 两台雷达独立地工作，在一段时间内，甲雷达发现飞行目标的概率为0.9，乙雷达发现飞行目标的概率为0.85，计算在这段时间内，下列各事件的概率(1)至少有一台雷达发现飞行目标；(2)至多有一台雷达发现目标．[分析] 设事件A：甲雷达发现飞行目标；事件B：乙雷达发现飞行目标．因为两雷达独立工作，故事件A与事件B相互独立．[解法一] 因为至少有一台雷达发现目标，即事件：[解法二] ①因为事件至少有一台雷达发现飞行目标，与事件两台雷达均未发现目标是对立事件，所以所求的概率为[解法三] 至多有一台雷达发现目标与两台雷达同时发现目标是对立事件，可以利用对立事件的概率来求解．所求事件的概率为1－P(A·B)＝1－P(A)·P(B)＝1－0.9×0.85＝0.235．易错易混点警示例4有一个电路图如图所示，A、B、C、D、E、F为6个开关，其闭合的概率都是0.25，图中都是断开的位置，而且各开关是否闭合均为独立的，则灯亮的概率是多少．[错解] 分类讨论．当AB段成为通路时，是A、B同时闭合，其概率为0.25×0.25；同理，当EF段成为通路时，是E、F同时闭合，其概率也为0.25×0.25；又AB段、EF段、D段、C 段分别成为通路是互斥的，所以灯亮的概率为[错因分析] 在错解中AB段、EF段、D段、C段分别成为通路并不是互斥的，它们可能同时发生．[正解] 设A、B中至少有一个不闭合的事件为T，E、F中至少有一个不闭合的事件为R，则综合应用创新【综合能力升级】概率与解析几何的综合是常见的题型，解题时，通常采用分类思想，将复杂的事件化为彼此互斥的事件的和．例5 已知直线Ax＋By＋C＝0，若A、B、C、从－5，－3，－1，0，2，4，7，9八个数中选取不同的三个数，求确定斜率小于0的直线的概率．例6 袋中装有3个五分硬币，3个二分硬币，4个一分硬币，现从中随机取3个，求总数超过八分的概率．[分析] 设总分超过八分为事件A，则A包含以下四个事件：(1)取到3个五分硬币；(2)取到2个五分硬币和1个一分硬币；(3)取到2个五分硬币和1个一分硬币；(4)取到1个五分硬币和2个二分硬币，并且把这四个事件分别设为B、C、D、E，则事件A＝B＋C＋D＋E，由于这四个事件分别互斥，所以由此可见，分解成互斥事件的和事件的形式，是解决问题的一种好办法．【应用创新能力升级】互斥事件的概率可应用于体育项目用以检查运动员的综合水平，对立事件的概率广泛应用于含“至少”，“至多”等类型的实际问题．例7 甲击中目标的概率是0.5，乙击中目标的概率是0.4，两人各射击一次，“目标被击中的概率是0.5＋0.4＝0.9”，这种说法对吗？为什么？[分析] 本题不是计算题，不妨逆向思考，看其是否符合概率的某种类型．[解] 题中说法不对．因为“甲射击一次，击中目标”与“乙射击一次，击中目标”这两件事不互斥，而且有可能同时发生，因此不能运用互斥事件的概率加法公式来计算．例8房间里有500个人，问其中至少有1人的生日在10月1日的概率是多少？(一年365天)[分析] 直接按互斥的类型去思考入手较繁，可考虑对立事件．[解] 设A为至少有1个人的生日在10月1日，则A为没有1人的生日在10月1日．点拨“至少”、“至多”问题，一般采用求此事件的对立事件的概率．高考链接本节知识是高考考查的重点内容之一，主要考查如何将一事件分解为互斥事件或利用对立事件求某一事件的概率，题型多以大题的形式出现．例9 (2002年，天津)某单位6名员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5，而且相互独立．(1)求至少3人同时上网的概率；(2)至少几人同时上网的概率小于0.3．[分析] (1)至少3人同时上网的概率等于1减去至多2人同时上网的概率．因此，至少5人同时上网的概率小于0.3．例10 (2004年，四川)已知8支球队有3支弱队，以抽签的方式将这8支球队分成A、B。

课题互斥事件有一个发生的概率文字资料从集合的角度看互斥事件更多专题例题学后反思典例剖析要点扫描更多相关练习同步练习强化训练随堂训练更多高考试题相关高考真题一更多从集合的角度看互斥事件互斥事件有一个发生的概率：（1）什么是互斥事件？不能同时发生的两个事件叫做互斥事件.为民服务热线电话一分钟内“呼唤次数大于3次”与“呼唤次数小于2次”就是互斥事件.从集合的角度看事件A与事件B彼此互斥是指A所含结果组成的集合与事件B所含结果组成的集合彼此不相交（如下图）.（2）什么是对立事件？事件A与事件B互斥，且其中必有一个发生，则称A、B为对立事件.此时记B=A.如为民服务热线电话，一分钟内“呼唤次数大于3次”与“呼唤次数不大于3次”就是对立事件.从集合的角度看，事件A所含结果组成的集合，是全集中由事件A所含结果组成的集合的补集（如下图）.计算事件A 或事件A的概率，通常用公式：).(1)(1)()(APAPAPAP-==+或（3）互斥事件与对立事件的联系.两个对立事件一定是互斥事件，反之两个互斥事件不一定是对立事件.两个事件对立是两个事件互斥的充分非必要条件；两个事件互斥是两个事件对立的必要非充分条件（见下图）.（4）关于事件A+B的意义及其概率运算公式事件A+B定义A、B中至少有一个发生性质互斥非互斥图形表示概率公式P（A+B）=P（A）+P（B）P（A+B）=P（A）+P（B）－P（AB）A、B同时发生.只有对于互斥事件才能运用概率运算的加法公式.学后反思1.概率加法定理仅适用于互斥事件，即当事件A 、B 互斥时，P(A ＋B ）＝Ｐ（A ）＋Ｐ（B ），否则公式不能使用。

2.如果某事件A 发生包含的情况较多，而它的对立事件(即A 不发生)所包含的情形较少，利用公式P(A)=1-P()计算A 的概率则比较方便。

特别是要计算“至少有个一发生”的概率P(A)，多数应用上述公式来计算。

［例1］袋中有5个白球，3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率： (1)摸出2个或3个白球； (2)至少摸出1个白球； (3)至少摸出1个黑球.解：从8个球中任意摸出4个共有48C 种不同的结果.记从8个球中任取4个，其中恰有1个白球为事件A 1，恰有2个白球为事件A 2，3个白球为事件A 3，4个白球为事件A 4，恰有i 个黑球为事件B ｉ，则(1)摸出2个或3个白球的概率P 1＝Ｐ（A 2＋A 3）＝Ｐ（A 2）＋Ｐ（A 3）767373C C C C C C 481335482325=+=+=(2)至少摸出1个白球的概率 P 2＝1－Ｐ（B 4）＝1－0＝1 (3)至少摸出1个黑球的概率Ｐ3＝1－Ｐ（A 4）＝1－1413C C 4845=［例2］盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率：(1)取到的2只都是次品；(2)取到的2只中正品、次品各一只； (3)取到的2只中至少有一只正品.解：从6只灯泡中有放回地任取两只，共有62＝36种不同取法.(1)取到的2只都是次品情况为22＝4种.因而所求概率为91364=. (2)由于取到的2只中正品、次品各一只有两种可能：第一次取到正品，第二次取到次品；及第一次取到次品，第二次取到正品.因而所求概率为P =9436423624=⨯+⨯ (3)由于“取到的两只中至少有一只正品”是事件“取到的两只都是次品”的对立事件.因而所求概率为P =1-9891= ［例3］从男女学生共有36名的班级中，任意选出2名委员，任何人都有同样的当选机会.如果选得同性委员的概率等于21，求男女生相差几名? 解：设男生有x 名，则女生有36-x 名.选得2名委员都是男性的概率为3536)1(C C 2362⨯-=x x x选得2名委员都是女性的概率为3536)35)(36(C C 236236⨯--=-x x x 以上两种选法是互斥的，又选得同性委员的概率等于21，得 213536)35)(36(3536)1(=⨯--+⨯-x x x x解得x =15或x =21即男生有15名，女生有36-15=21名，或男生有21名，女生有36-21=15名. 总之，男女生相差6名.要点扫描1.________________的两个事件叫做互斥事件.2.从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此________________.3.两个事件是对立事件的条件是：(1) ________________________________.(2) ________________________________.4.从集合的角度看，由事件A 的对立事件 所含的结果组成的集合，是全集中由事件A 所含的结果组成的集合的________________.5.如果事件A ，B 互斥，那么事件A+B 发生(即A ，B 中有一个发生)的概率P(A+B)= ________________6.对立事件的概率的和等于________________.相关练习例1.从男女学生共有36名的班级中，任意选出2名委员，任何人都有同样的当选机会.如果选得同性委员的概率等于21，求男女生相差几名？ 解：设男生有x 名，则女生有36－x 名.选得2名委员都是男性的概率为：.3536)1(C C 2362⨯-=x x x选得2名委员都是女性的概率为：3536)35)(36(C C 2362-36⨯--=x x x以上两种选法是互斥的，又选得同性委员的概率等于21，得 213536)35)(36(3536)1(=⨯--+⨯-x x x x解得x =15或 x =21.即男生有15名，女生有36－15=21名. 或男生有21名，女生有36－21=15名. 总之，男女生相差6名.例2.10件产品中有2件次品，任取2件检验，求下列事件的概率. （1）至少有1件是次品； （2）最多有1件是次品. 解：（1）“至少有1件次品”的对立事件是“2件都是正品”，而“2件都是正品”的概率为,4528C C 21028=∴“至少有1件次品”的概率为.451745281=-（2）“最多有1件次品”的对立事件为“2件都是次品”，而“2件都是次品”的概率为,451C C 21022=∴“最多有1件次品”的概率为.45444511=-例3.盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率：（1）取到的2只都是次品；（2）取到的2只中正品、次品各一只； （3）取到的2只中至少有一只正品.解：从6只灯泡中有放回地任取两只，共有62=36种不同取法.（1）取到的2只都是次品有22=4种. 所求概率为.91364= （2）由于取到的2只中正品、次品各一只有两种可能：第一次取到正品，第二次取到次品；及第一次取到次品，第二次取到正品，因而所求概率为：P =.9436423624=⨯+⨯ （3）由于“取到的两只中至少有一只正品”是事件“取到的两只都是次品”的对立事件.因而所求概率为P =.98911=-例4.袋中有5个白球，3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率： （1）摸出2个或3个白球； （2）至少摸出1个白球； （3）至少摸出1个黑球.解：从8个球中任意摸出4个共有C 48种不同的结果.记从8个球中任取4个，其中恰有1个白球为事件A 1，恰有2个白球为事件A 2，3个白球为事件A 3，4个白球为事件A 4，恰有i 个黑球为事件B i ，则：（1）摸出2个或3个白球的概率.767373C C C C C C )()A ()(48133548232532321=+=+=+=+=A P P A A P P（2）至少摸出1个白球的概率 P 2=1－P （B 4）=1－0=1（3）至少摸出1个黑球概率P 3=1－P （A 4）=1.1413C C 4845=-1.如果事件A 、B 互斥，那么（ ） A.A +B 是必然事件 B. A +B 是必然事件 C. A 与B 一定互斥 D. A 与B 一定不互斥2.下列说法中正确的是（ ）A.事件A 、B 中至少有一个发生的概率一定比A 、B 中恰有一个发生的概率大B.事件A 、B 同时发生的概率一定比事件A 、B 恰有一个发生的概率小C.互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件D.互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件 3.回答下列问题：(1)甲、乙两射手同时射击一目标，甲的命中率为0.65，乙的命中率为0.60，那么能否得出结论：目标被命中的概率等于0.65＋0.60＝1.25，为什么?(2)一射手命中靶的内圈的概率是0.25，命中靶的其余部分的概率是0.50.那么能否得出结论：目标被命中的概率等于0.2５＋0.５0＝0.7５，为什么?(3)两人各掷一枚硬币，“同时出现正面”的概率可以算得为221.由于“不出现正面”是上述事件的对立事件，所以它的概率等于1-221=43.这样做对吗?说明道理. 4.战士甲射击一次，问：(1)若事件A (中靶)的概率为0.95，A 的概率为多少?(2)若事件B (中靶环数大于5)的概率为0.7，那么事件C (中靶环数小于6)的概率为多少?事件D (中靶环数大于0且小于6)的概率是多少?5.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品.在正常生产情况下出现乙级品和丙级品的概率分别为3%和1%.求抽验一只是正品(甲级)的概率.6.在放有5个红球、4个黑球、3个白球的袋中，任意取出3个球，分别求出3个全是同色球的概率及全是异色球的概率.7.某单位36人的血型类别是：A 型12人，B 型10人，AB 型8人，O 型6人.现从这36人中任选2人，求此2人血型不同的概率.8.在一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球.从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个.试求：(1)取得两个红球的概率； (2)取得两个绿球的概率；(3)取得两个同颜色的球的概率； (4)至少取得一个红球的概率.9.在房间里有4个人.问至少有两个人的生日是同一个月的概率是多少?参考答案：1.B 2.D3.(1)不能.因为甲命中目标与乙命中目标两事件不互斥. (2)能.因为命中靶的内圈和命中靶的其余部分是互斥事件.(3)不对.因为“不出现正面”与“同时出现正面”不是对立事件，故其概率和不为1. 4.(1)0.05 (2)P (C )=0.3 P (D )=0.25 5.0.966.全是同色球的概率为443，全是异色球的概率为113. 7.45348.(1) 157 （2）151 (3) 158 (4) 15149. 96411.若A 表示四件产品中至少有一件是废品的事件，B 表示废品不少于两件的事件，试问对立事件A 、B 各表示什么?2.一个射手进行一次射击，试判断下面四个事件A 、B 、C 、D 中有哪些是互斥事件? 事件A ：命中的环数大于8； 事件B ：命中的环数大于5； 事件C ：命中的环数小于4； 事件D ：命中的环数小于6.3.某市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军赛.甲乙两队夺取冠军的概率分别是73和41.试求该市足球队夺得全省足球冠军的概率.参考答案：1.A 表示四件产品中没有废品的事件；B 表示四件产品中没有废品或只有一件废品的事件.2.事件A 与C 、事件A 与D 、事件B 与C 分别为互斥事件.3. 2819相关高考真题一2001年 [全国高考 ]。

概率统计的解题技巧【例题解析】考点1. 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率解此类题目常应用以下知识:(1)等可能性事件(古典概型)的概率：P (A )＝)()(I card A card ＝n m ;等可能事件概率的计算步骤：① 计算一次试验的基本事件总数n;② 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ;③ 依公式()m P A n 求值; ④ 答，即给问题一个明确的答复.(2)互斥事件有一个发生的概率：P (A ＋B )＝P (A )＋P (B );特例：对立事件的概率：P (A )＋P (A )＝P (A ＋A )＝1.(3)相互独立事件同时发生的概率：P (A ·B )＝P (A )·P (B );(4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”：①求概率的步骤是：第一步，确定事件性质⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩等可能事件 互斥事件 独立事件 n次独立重复试验即所给的问题归结为四类事件中的某一种.第二步，判断事件的运算⎧⎨⎩和事件积事件即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件.第三步，运用公式()()()()()()()()(1)k k n kn nmP AnP A B P A P BP A B P A P BP k C p p-⎧=⎪⎪⎪+=+⎨⎪⋅=⋅⎪=-⎪⎩等可能事件:互斥事件：独立事件：n次独立重复试验:求解第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复.例1．在五个数字12345，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是（结果用数值表示）．[解答过程]0.3提示:1335C33.54C102P===⨯例2．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为．[解答过程]1.20提示:51.10020P==例3从自动打包机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g）：492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499根据的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g~501.5g之间的概率约为__________．[解答过程]在497.5g~501.5内的数共有5个，而总数是20个，所以有51. 204=例4.接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为__________.（精确到0.01）[解答提示]至少有3人出现发热反应的概率为33244555550.800.200.800.200.800.94C C C ⋅⋅+⋅⋅+⋅=故填0.94.+++例5．右图中有一个信号源和五个接收器.接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号.若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是( ) （A ）454（B ）361 （C ）154（D ）158[解答提示]由题意，左端的六个接线点随机地平均分成三组有2226423315C C C A =种分法，同理右端的六个接线点也随机地平均分成三组有2226423315C C C A =种分法；要五个接收器能同时接收到信号，则需五个接收器与信号源串联在同一个线路中，即五个接收器的一个全排列，再将排列后的第一个元素与信号源左端连接，最后一个元素与信号源右端连接，所以符合条件的连接方式共有55120A =种，所求的概率是120822515P ==，所以选D.例6．从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件：A “取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A =．（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p ；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B ：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率()P B ．[解答过程]（1）记0A 表示事件“取出的2件产品中无二等品”，1A 表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”． 则01A A ，互斥，且01A A A =+，故01()()P A P A A =+212012()()(1)C (1)1.P A P A p p p p =+=-+-=-于是20.961p =-． 解得120.20.2p p ==-，（舍去）．（2）记0B 表示事件“取出的2件产品中无二等品”，则若该批产品共100件，由（1）知其中二等品有1000.220⨯=件，故28002100C 316()C 495P B ==． 00316179()()1()1.495495P B P B P B ==-=-=例7．两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是 （结果用分数表示）．[解答提示]从两部不同的长篇小说8本书的排列方法有88A 种，左边4本恰好都属于同一部小说的的排列方法有442442A A A 种.所以, 将符合条件的长篇小说任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是 44244288135A A A P A ==种.所以,填135.例8．甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n 个白球.由甲，乙两袋中各任取2个球.(Ⅰ)若n=3，求取到的4个球全是红球的概率；(Ⅱ)若取到的4个球中至少有2个红球的概率为43，求n.[标准解答]（I ）记“取到的4个球全是红球”为事件A .22222245111().61060C C P A C C =⋅=⋅= （II ）记“取到的4个球至多有1个红球”为事件B ，“取到的4个球只有1个红球”为事件1B ，“取到的4个球全是白球”为事件. 2B 由题意，得31()1.44P B =-=2111122222122224242()n n n n C C C C C C P B C CC C ++⋅⋅=⋅+⋅22;3(2)(1)n n n =++22222242()n n C C P B C C +=⋅(1);6(2)(1)n n n n -=++ 所以,12()()()P B P B P B =+22(1)3(2)(1)6(2)(1)n n n n n n n -=+++++14=， 化简，得271160,n n --=解得2n =，或37n =-（舍去），故 2n =.例9.某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元．（Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；（Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率．[解答过程]（Ⅰ）记A 表示事件：“3位顾客中至少1位采用一次性付款”,23()(10.6)0.064P A =-=， ()1()10.0640.936P A P A =-=-=．（Ⅱ）记B 表示事件：“3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元”．0B 表示事件：“购买该商品的3位顾客中无人采用分期付款”．1B 表示事件：“购买该商品的3位顾客中恰有1位采用分期付款”．则01B B B =+．30()0.60.216P B ==，1213()0.60.40.432P B C =⨯⨯=． 01()()P B P B B =+01()()P B P B =+0.2160.432=+ 0.648=．例10．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是,,a b c ，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.（Ⅰ）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；（Ⅱ）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.（说明理由）[标准解答]记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A ，B,C ，则P (A )=a ，P (B )＝b ，P (C )=c.(Ⅰ) 应聘者用方案一考试通过的概率p 1=P (A ·B ·C )+P (A ·B ·C )+P (A ·B ·C )+P (A ·B ·C )=a ×b ×(1-c)+(1-a)×b ×c+a ×(1-b)×c+a ×b ×c =ab+bc+ca-2abc.应聘者用方案二考试通过的概率p 2=31P (A ·B )+31P (B ·C )+ 31P (A ·C )= 31×(a ×b+b ×c+c ×a)= 31(ab+bc+ca)(Ⅱ) p 1--- p 2= ab+bc+ca-2abc-31 (ab+bc+ca)=23( ab+bc+ca-3abc)≥23]3abc -=0-≥. ∴p 1≥p 2例11．某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为54、53、52、51，且各轮问题能否正确回答互不影响.（Ⅰ）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率; （Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率. [解答过程]（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(1234)i A i =，，，，则14()5P A =，23()5P A =，32()5P A =，41()5P A =， ∴该选手进入第四轮才被淘汰的概率412341234432496()()()()()5555625P P A A A A P A P A P A P P ===⨯⨯⨯=．（Ⅱ）该选手至多进入第三轮考核的概率 3112123()P P A A A A A A =++112123()()()()()()P A P A P A P A P A P A =++142433101555555125=+⨯+⨯⨯=．考点2离散型随机变量的分布列 1.随机变量及相关概念①随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母ξ、η等表示.②随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.③随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列①离散型随机变量的分布列的概念和性质一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为1x ，2x ，……，ix ，……，ξ取每一个值ix （=i 1，2，……）的概率P （ix =ξ）=iP ，则称下表.为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：（1）0≥iP ，=i 1，2，…;（2）++21P P …=1. ②常见的离散型随机变量的分布列： （1）二项分布n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数ξ是一个随机变量，其所有可能的取值为0，1，2，…n ，并且kn k k nkq p C k P P -===)(ξ，其中n k ≤≤0，p q -=1，随机变量ξ的分布列如下：称这样随机变量ξ服从二项分布，记作),(~p n B ξ，其中n 、p 为参数，并记：),;(p n k b q p C kn k k n=- . （2） 几何分布 在独立重复试验中，某事件第一次发生时所作的试验的次数ξ是一个取值为正整数的离散型随机变量，“k ξ=”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生. 随机变量ξ的概率分布为：例12．厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品.（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8,从中任意取出4件进行检验,求至少有1件是合格的概率；（Ⅱ）若厂家发给商家20件产品中,其中有3件不合格,按合同规定该商家从中任取2件.都进行检验,只有2件都合格时才接收这批产品.否则拒收,求出该商家检验出不合格产品数ξ的分布列及期望ξE ,并求出该商家拒收这批产品的概率.[考查目的]本题考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算，考察随机事件的分布列，数学期望等，考察运用所学知识与方法解决实际问题的能力.[解答过程]（Ⅰ）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A用对立事件A 来算，有()()4110.20.9984P A P A =-=-= （Ⅱ）ξ可能的取值为0,1,2．()2172201360190C P C ξ===，()11317220511190C CP C ξ===，()2322032190C P Cξ===136513301219019019010E ξ=⨯+⨯+⨯=．记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B ，则商家拒收这批产品的概率()136271119095P P B =-=-=．所以商家拒收这批产品的概率为2795． 例13．某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰. 已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为54、53、52,且各轮问题能否正确回答互不影响. （Ⅰ）求该选手被淘汰的概率;（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望.（注：本小题结果可用分数表示）[考查目的]本题考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算，考察随机事件的分布列，数学期望等，考察运用所学知识与方法解决实际问题的能力.[解答过程]解法一：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(123)iA i =，，，则14()5P A =，23()5P A =，32()5P A =， ∴该选手被淘汰的概率112223112123()()()()()()()P P A A A A A A P A P A P A P A P A P A =++=++142433101555555125=+⨯+⨯⨯=．（Ⅱ）ξ的可能值为123，，，11(1)()5P P A ξ===， 1212428(2)()()()5525P P A A P A P A ξ====⨯=，12124312(3)()()()5525P P A A P A P A ξ====⨯=． ξ∴的分布列为1812571235252525E ξ∴=⨯+⨯+⨯=．解法二：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(123)iA i =，，，则14()5P A =，23()5P A =，32()5P A =． ∴该选手被淘汰的概率1231231()1()()()P P A A A P A P A P A =-=-4321011555125=-⨯⨯=． （Ⅱ）同解法一．考点3 离散型随机变量的期望与方差 随机变量的数学期望和方差 (1)离散型随机变量的数学期望：++=2211p x p x E ξ…；期望反映随机变量取值的平均水平.⑵离散型随机变量的方差：+-+-=222121)()(p E x p E x D ξξξ…+-+nn p E x 2)(ξ…；方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.⑶基本性质：b aE b a E +=+ξξ)(；ξξD a b a D 2)(=+. (4)若ξ～B(n ，p)，则 np E =ξ ; D ξ =npq （这里q=1-p ） ;如果随机变量ξ服从几何分布，),()(p k g k P ==ξ，则p E 1=ξ，D ξ =2p q 其中q=1-p.例14．甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为ε、η，ε和η的分布列如下：则比较两名工人的技术水平的高低为 .思路启迪：一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值，即期望；二是要看出次品数的波动情况，即方差值的大小.解答过程：工人甲生产出次品数ε的期望和方差分别为：7.0103210111060=⨯+⨯+⨯=εE ，891.0103)7.02(101)7.01(106)7.00(222=⨯-+⨯-+⨯-=εD ；工人乙生产出次品数η的期望和方差分别为：7.0102210311050=⨯+⨯+⨯=ηE ，664.0102)7.02(103)7.01(105)7.00(222=⨯-+⨯-+⨯-=ηD 由E ε=E η知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但D ε>D η，可见乙的技术比较稳定. 小结：期望反映随机变量取值的平均水平；方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度. 例15.某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()P A ； （Ⅱ）求η的分布列及期望E η．[考查目的] 本小题主要考查概率和离散型随机变量分布列和数学期望等知识.考查运用概率知识解决实际问题的能力.[解答过程]（Ⅰ）由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”2()(10.4)0.216P A =-=， ()1()10.2160.784P A P A =-=-=．（Ⅱ）η的可能取值为200元，250元，300元． (200)(1)0.4P P ηξ====，(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=，(300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=． η的分布列为=（元）．Eη=⨯+⨯+⨯2402000.42500.43000.2小结：离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.本题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力.例16.某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的成绩有误，甲实得80分却记为50分，乙实得70分却记为100分，更正后平均分和方差分别是A.70，25B.70，50C.70，1.04D.65，25解答过程：易得x没有改变，x=70，而s2=1［（x12+x22+…+502+1002+…+x482）－48x2］=75，48s′2=1［（x12+x22+…+802+702+…+x482）－48x2］48=1［（75×48+48x2－12500+11300）－48x2］48=75－1200=75－25=50.48答案：B考点4 抽样方法与总体分布的估计抽样方法1．简单随机抽样：设一个总体的个数为N，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样.常用抽签法和随机数表法.2．系统抽样：当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样）.3．分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样.总体分布的估计由于总体分布通常不易知道，我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确.总体分布：总体取值的概率分布规律通常称为总体分布.当总体中的个体取不同数值很少时，其频率分布表由所取样本的不同数值及相应的频率表示，几何表示就是相应的条形图.当总体中的个体取值在某个区间上时用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布.总体密度曲线：当样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线.典型例题例17.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5.现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件.那么此样本的容量n= .解答过程：A种型号的总体是210，则样本容量n=1016802⨯=.例18．一个总体中有100个个体，随机编号0，1，2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m k +的个位数字相同，若6m =，则在第7组中抽取的号码是 ． 解答过程：第K 组的号码为(1)10k - ，(1)101k -+，…，(1)109k -+，当m=6时，第k 组抽取的号的个位数字为m+k 的个位数字，所以第7组中抽取的号码的个位数字为3 ，所以抽取号码为63．例19．考查某校高三年级男生的身高，随机抽取40名高三男生，实测身高数据（单位：cm ）如下： 171 163 163 166 166 168 168 160 168 165 171 169 167 169 151 168 170 160 168 174 165 168 174 159 167 156 157 164 169 180 176 157 162 161 158 164 163 163 167 161 ⑴作出频率分布表；⑵画出频率分布直方图. 思路启迪：确定组距与组数是解决“总体中的个体取不同值较多”这类问题的出发点.解答过程：⑴最低身高为151，最高身高180，其差为180-151=29。

互斥事件有一个发生的概率知识要点1．试验时不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件或互不相容事件.2．彼此互斥:一般地，如果事件A1，A2，……，A n中的任何两个都是互斥事件，那么就说事件A1，A2，……，A n彼此互斥.3．互斥事件的概率加法公式:设事件A、B互斥,把A、B中有一个发生的事件记为(A+B),则:P(A+B)=P(A)+P(B).4．推广:如果事件A1，A2，……，A n两两彼此互斥，那么事件A1+A2+……+A n发生的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P(A1+A2+……+A n)=P(A1)+P(A2)+……+P(A n)5．对立事件:试验时如果两个互斥事件A、B中必有一个发生，那么就称A、B为对立事件.6．一个事件A的对立事件记为，则P()=1-P(A).理解互斥事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率.典型题目例1．判断下列每对事件是不是互斥事件？（1）x>；0和x=0；（2）在一个盒子内放有大小相等的2003个白球、2004个黑球，从中摸出2个球，“摸出2个白球”与“摸出2个白球或2个黑球”.解:（1）当x>；0和x=0是互斥事件.这是因为:不存在这样的实数x，它既是大于10的实数又是零；从事件的角度讲，事件x>；10与事件x=0不可能同时发生.从集合的角度可解释为: {x|x>；10}∩{x|x=0}=；图形见图.（2）从放有大小相等的2003个白球、2004个黑球的盒子内摸出2个球，这一事件是随机事件，其结果有三种可能两白球；两黑球；一白球、一黑球.本题中的两个事件是指令性的事件，即事件A={摸出2个白球}；事件B={摸出2个白球或2个黑球}.对事件B应理解为:摸出2个白球也可以，摸出2个黑球也可以，于是事件A与事件B有可能同时发生，所以，本题中的这对事件不是互斥事件.例2．15台电视机中，有10台是神星牌，有5台是仙乐牌.从中任意选取两台，问两台中至少有一台是神星牌的概率是多少？分析:应首先求出两个互斥事件的概率，以便解决问题.解:依题设条件可得:从15台中选出两台就是一个试验结果，也就是一个基本事件.因为这两台没有顺序差别，所以，基本事件共=15·7=105个.每次选取是任意的，因此，我们可以假定这些基本事件都是等可能的.这样就可用古典定义来解决问题.下一步是将“两台中至少有一台神星牌”这一事件分解为两个互斥事件的和，令A=“两台中恰有1台神星牌”.B=“两台中恰有2台神星牌.”显然，A与B是互斥事件，而A+B=“两台中至少有一台神星牌”.由分步计数原理可知，A所含的基本事件总数为=50，B所含的基本事件总数为=45.于是P(A)=, P(B)=, 而P(A+B)=P(A)+P(B)=+=.点评:在常见的习题中，已知P(A)、P(B)，并且A、B互斥，因而能直接地运用公式P(A+B)=P(A)+P(B)的并不多，往往必须先将要求概率的事件分解为若干个彼此互斥的事件的和，然后再运用概率加法公式.例3．某人衣袋里有人民币10张，其中伍元的2张，贰元的3张，壹元的5张.该人从衣袋里随意掏出3张，求这3张人民币中至少有2张的币值相等的概率.解:该人从衣袋里随意掏出3张人民币，共有结果=120种.设A={3张人民币中至少有2张的币值相等}，则={3张人民币中任何2张的币值都不相等}；所以，发生就是从伍元、贰元、壹元的人民币中各取1张，它所含的基本事件数是=30，所以P() =, P(A)=1-.例4．8个蓝球队中有2个强队.先任意将这8个队分成两个组（每组4个队）进行比赛，这两个强队被分在一个组内的概率是多少？分析:应抓住两个强队被分在一个组和不在同一组是对立的事件，由此入手解决问题.解:依题意，有我们用a、b分别为八个队中的两个强队.令C=“a队与b队分在同一组”，则=“a队与b队不在同一组”.a队与b队不在同一组，只能分成两种情况:a队在第一组，b队在第二组，此时有种分法；a 队在第二组，b队在第一组，此时有种分法.种.每一种分法是一个基本事件，任何两个基本事件都是八个队平分成的两组的分法共/2等可能的.这样，P()==，∴P(C)=1-P.点评:在概率计算中，用P()=1-P(A)有时比较简便.课外练习1．军训时，某同学在一次打靶射击中射中10环、9环、8环的概率分别是0.21, 0.29, 0.18.计算这个同学在一次射击中:（1）射中10环或9环或8环的概率；（2）不足9环的概率.2．某电脑体育彩票销售中心首批销售体育彩票2003000注，这家销售中心在首批销售中共设立三个奖项；特等奖1个，一等奖2个，二等奖5个.求:（1）购买1注彩票获得特等奖的概率；（2）购买1注彩票获得一等奖或二等奖的概率；（3）购买1注彩票未获奖的概率.参考答案:1．（1）0.21+0.29+0.18=0.68.（2）1-0.21-0.29=0.5.2．（1）；（2）（3）1-.在线测试选择题1．在10个乒乓球中，有5个白球，5个黄球，从中任取3个，其中至少有1个为白球的概率是( )A 、B 、C 、D 、2．某投资咨询公司对投资者的投资去向作了一个调查，获得如下结果.①外汇交易占20%；②债券占30%；③存银行占7%；④高风险股票占18%；⑤中等风险股票占25%.假如任选一位投资者，求他的资金不会投入股票市场的概率( )A、67%B、57%C、45%D、43%3．在一个50人的班级中至少有二人生日相同（同月同日）的概率是( )A、0.95B、0.96C、0.87D、0.974．在40本教辅书中，有35本是北大出版的，有5本是其他出版社出版的.从中任取3本，其中至少有1本是其他出版社出版的概率是多少（结果用组合数表示）( )A 、B 、C 、D 、答案与解析答案：1、A 2、B 3、D 4、A解析：1.答案：A。