互斥事件有一个发生的概率

互斥事件有一个发生的概率学习指导1、互斥事件（1）两个互斥事件：不可能同时发生的两个事件（2）多个互斥事件：如果事件A1，A2，…，A n中的任何两个事件都是互斥事件，则说事件A1，A2，…，A n彼此互斥。

（3）从集合角度看：记某次试验的结果为全集U如果A、B是这次试验的两个互斥事件所含有的结果组成的集合，则A∩B=φ，A∪B≠⊂I。

如果事件A1，A2，…，A n彼此互斥，则由各个事件所含的结果组成的集合的交集是空集。

2、对立事件：如果两个互斥事件在一次试验中必然有一个发生，那么这样两个互斥事件叫做对立事件。

符号：事件A的对立事件用A表示从集合角度看，记某次试验的结果为全集U，A与A是两个对立事件的结果组成的集合，则A∩A=φ，A∪A=U。

也就是说，由事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集。

3、互斥事件与对立事件比较区别：互斥事件强调两个事件不可能同时发生，并非说明两个互斥事件不可能同时不发生，即在一次试验中两个互斥的事件可能都不发生，因此互斥事件不一定是对立事件。

如果A与B是互斥事件，那么在一次试验中可能出现的结果是：①A发生B不发生，②B发生A不发生，③A与B均不发生。

对立事件是指在一次试验中必然有一个发生的两个事件。

用Veen图表示联系：互斥事件与对立事件都不可能同时发生。

对立事件一定是互斥事件，对立事件是特殊的互斥事件，两个事件对立是两个事件互斥的充分非必要条件。

4、加法公式（1）两个互斥事件至少有一个发生的概率的计算公式①两个事件的和。

设A、B是两个事件，如果在一次试验中，A或B至少有一个发生。

符号A+B即A+B表示这样的事件：如果在一次试验中，A或B中至少有一个发生就表示该事件发生。

特例，当事件A与B互斥时②两个互斥事件的和：两个互斥事件至少有一个发生此时P(A+B)=P(A)+P(B) ……加法公式即两个互斥事件至少有一个发生的概率等于这两个事件分别发生的概率之和推广（2）多个互斥事件至少有一个发生的概率①多个事件的和：若事件A1，A2，…，，A n中至少有一个发生符号：A1+A2+…+A n特别地，当A1，A2，…，A n彼此互斥时②多个互斥事件的加法公式：如果事件A1，A2，…，A n彼此互斥，那么事件A1+A2+…+A n的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和。

互斥事件有一个发生的概率人教版高中数学必修系列：11.2互斥事件有一个发生的概率(备课资料)一、参考例题［例1］判断下列事件是否是互斥事件.(1)将一枚硬币连抛2次，设事件A：“两次出现正面”，事件B：“只有一次正面”；(2)对敌机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A：“两次都击中敌机”,事件B：“至少有一次击中敌机”.分析：(1)中两事件不可能同时发生;(2)因为事件B中的结果中含有“两次都击中敌机”，所以事件A、B有可能同时发生.解：(1)事件A与B是互斥事件.(2)事件A与B不是互斥事件.评述：关键在于判断事件的结果是否有包容关系.［例2］在一个袋内装有均匀红球5只，黑球4只，白球2只，绿球1只，今从袋中任意摸取一球，计算：(1)摸出红球或黑球的概率.(2)摸出红球或黑球或白球的概率.分析：(1)设事件A：“摸出一球是红球”，事件B：“摸出一球是黑球”.因为事件A与B不可能同时发生，所以它们是互斥的.(2)设事件C：“摸出一球是白球”，则A、B、C彼此互斥.解：设事件A：“摸出一球是红球”，设事件B：“摸出一球是黑球”，设事件C：“摸出一球是白球”.∵A与B、B与C、C与A两两互斥,且P(A)= ，P(B)= ，P(C)∴(1)由互斥事件的概率加法公式，可知“摸出红球或黑球”的概率为P(A+B)=P(A)+P(B)(2)由互斥事件的概率加法公式，可知“摸出红球或黑球或白球”的概率为P(A+B+C) =P(A)+P(B)+P(C)［例3］某医院一天内派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下.医生人数012345人以上概率0.10.160.30.40.20.04求：(1)派出医生至多2人的概率；(2)派出医生至少2人的概率.分析：设“不派出医生”为事件A，“派出1名医生”为事件B，“派出2名医生”为事件C，“派出3名医生”为事件D，“派出4名医生”为事件E，“派出5名以上医生”为事件F，则有P(A)=0.1，P(B)=0.16，P(C)=0.3，P(D)=0.4，P(E)=0.2，P(F)=0.04.由于事件A、B、C、D、E、F彼此互斥，因此，(1)、(2)中的概率可求.解：设事件A：“不派出医生”，事件B：“派出1名医生”，事件C：“派出2名医生”，事件D：“派出3名医生”，事件E：“派出4名医生”，事件F：“派出5名以上医生”.∵事件A、B、C、D、E、F彼此互斥，且(A)=0.1,P(B)=0.16,P(C)=0.3,P(D)=0P(E)=0.2,P(F)=0. 04,∴“派出医生至多2人”的概率为P(A+B+C) =P(A)+P(B)+P(C) =0.1+0.16+0.3=0“派出医生至少2人”的概率为P(C+D+E+F) =P(C)+P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.4+0.2+0.04=0［例4］一批产品共50件，其中5件次品，45件合格品，从这批产品中任意抽取2件，求其中出现次品的概率.分析：由于从这批产品中任意取2件，出现次品可看成是两个互斥事件A：“出现一个次品”和事件B：“出现两个次品”中，有一个发生，故根据互斥事件的概率加法公式可求“出现次品”的概率.解：设事件A：“出现一个次品”,事件B：“出现两个次品”,∴事件A与B互斥.∵“出现次品”是事件A和B中有一个发生,∴P(A)P(B)∴所求的“出现次品”的概率为P(A+B)=P(A)+P(B)评述：注意对互斥事件概率加法公式的灵活运用.二、参考练习1.选择题(1)有10名学生，其中4名男生，6名女生，从中任选2名,则恰好是2名男生或2名女生的概率为A. BD.答案：D(2)一个口袋内装有大小相同的7个白球，3个黑球，5个红球，从中任取1球是白球或黑球的概率为A. BD.答案：B(3)某工厂的产品分一、二、三等品三种，在一般的情况下，出现一等品的概率为95%,出现二等品的概率为3%，其余均为三等品，那么这批产品中出现非三等品的概率为A.0.50B.00.97D.0.2答案：B(4)从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取两个数，分别有下列事件，其中为互斥事件的是①恰有一个奇数和恰有一个偶数②至少有一个是奇数和两个数都是奇数③至少有一个是奇数和两个数都是偶数④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数A.①B.②④C.③D.①③答案：C2.填空题(1)若事件A与B________，则称事件A与B是互斥的；若事件A1，A2，…，An彼此互斥，则P(A1+A2+…+An)=________.答案：不可能同时发生P(A1)+P(A2)+…+P(An)(2)甲、乙两人下棋，两个下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙输的概率是________.答案：(3)口袋内装有100个大小相同的红球、白球和黑球，其中红球有45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率是0.23,则摸出黑球的概率是________.答案：0.32(4)3人都以相同概率分配到4个单位中的每一个，则至少有2人被分配到一个单位的概率为________.答案：解答题(1)某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示：年降水量(单位：mm)［１００，１５０］［１５０，２００］［２００，２５０］［２５０，３００］概率0.100.250.200.12求：①降水量在［２００，３００］范围内的概率；②降水量在［１００，２５０］范围内的概率.解：①P=0.20+0.12=0.32，∴降水量在［２００，３００］范围内的概率为0.32.②P=0.10+0.25+0.20=0∴降水量在［１００，２５０］范围内的概率为0(2)从装有大小相同的4个红球，3个白球，3个黄球的袋中，任意取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率.分析：“2个球颜色相同”这一事件包括“2个球是红球”“2个球是白球”“2个球是黄球”3种结果.解：记“取出2个球为红球”为事件A,“取出2个球为白球”为事件B,“取出2个球为黄球”为事则A、B、C彼此互斥,且P(A)P(B)P(C)“2个球颜色相同”则可记为A+B+C, ∴P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)(3)有币按面值分类如下：壹分5枚，贰分3枚，伍分2枚，从中随机抽取3枚，试计算：①至少有2枚币值相同的概率；②3枚币值的和为7分的概率.分析：①至少有2枚币值相同包括恰好有2枚币值相同和3枚币值全相同2种情况;②3枚币值的和为7分包括“1枚伍分，2枚壹分”1种情况.解：①由题意可设“任取3枚币值各不相同”为事件A，则“至少有2枚币值相同”为事又∵P(A)∴P( )=1- .②设“3枚币值和为7分”为事件B,则P(B)评述：要注意认真分析题意，灵活应用对立事件的概率公式.●备课资料?一、参考例题［例1］抛掷一个均匀的正方体玩具，记事件A“落地时向上的数是奇数”，B为事件“落地时向上的数是偶数”，C为事件“落地时向上的数是3的倍数”，问下列事件是不是互斥事件，是不是对立事件？(1)A与B;(2)A与C;(3)B与C.分析：利用互斥事件与对立事件的概念.解：(1)∵事件A与事件B不可能同时发生，而且在试验中必有一个发生,∴事件A与B是互斥事件，也是对立事件.(2)∵事件A与C都可能含有同一结果“落地时向上的数为3”，故A与C可能同时发生.∴A与C不是互斥事件，因而也不是对立事件.(3)∵事件B与C都可能含有同一结果“落地时向上的数为6”，故B与C可能同时发生.∴B与C不是互斥事件.故也不是对立事件.［例2］某射手在一次射击中射中10环、9环、8环的概率分别为0.24、0.28、0.19，计算这一射手在一次射击中，不够8环的概率.分析：由于事件“射击击中不够8环”与事件“射击击中8环或8环以上”是相互对立事件，而后者的概率运用互斥事件中有一个发生的概率公式可求，因此利用对立事件的概率公式可求解.解：设事件A：“一次射击击中的不够8环”，事件B：“一次射击击中8环或8环以上”，∴事件A与B是互斥事件.∵事件A与B中必有一个发生,∴事件A与B又是对立事件.∴P(A)=1-P(B).∴P(B)=0.24+0.28+0.19=0∴P(A)=1-0.71=0.29.∴该射手在一次射击中不够8环的概率为0.29.评述：注意利用互斥事件中有一个发生的概率公式及对立事件的概率公式.［例3］有三个人，每人都以相同概率被分配到四个房间中的每一间，试求：(1)三人都分配到同一个房间的概率；(2)至少有两人分配到同一房间的概率.分析：(1)因为每人都以相同概率被分配到四个房间中的每一间，所以三人被分配到四个房间中的一间共有4×4×4=43种等可能性的结果出现，而事件“三人都分配到同一个房间”中含有4个结果，故根据等可能性的概率公式可求.(2)设事件A“至少有两人分配到同一房间”,事件B“三人都分配到不同的房间”,故事件A与B是对立事件.而P(B)因此，利用对立事件的概率关系可求P(A).解：(1)根据等可能事件的概率公式,得三人都分配到同一个房间的概率为P∴三人都分配到同一房间的概率为 .(2)设事件A“至少有两人分配到同一房间”，事件B“三人都分配到不同的房间”.∵事件A与B是对立事件，且P(B)∴P(A)=1- .∴至少有两人分配到同一房间的概率为 .［例4］某电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任意取3个，试求至少有一个二级品的概率.分析：设事件A：“至少有一个二级品”，则事件A 是指事件“有一个二级品”“有两个二级品”“有三个二级品”中有一个发生，因而，可用互斥事件的概率加法公式计算.另外，事件A与事件“没有一个二级品”是对立事件，故利用对立事件的概率公式也可求解，且比较简便.解法一：设事件A：“至少有一个二级品”，它是指事件“有一个二级品”“有两个二级品”“有三个二级品”中有一个发生，由于上述三个事件是互斥的，∴P(A)= ≈0.2解法二：事件A与“没有一个二级品”是对立事件，而事件“没有一个二级品”的概率为 , ∴P(A)=1- ≈0.2∴至少有一个二级品的概率约为0.2［例5］某小组有男生6人，女生4人，现从中选出2人去校院开会，其中至少有1名女生的概率为多少？分析：设事件“至少有1名女生”为A，则事件A可看成是事件“有一名女生”“有两名女生”中有一个发生.而事件“有一名女生”和“有两名女生”是互斥的，所以P(A)可利用互斥事件概率加法公式求得.另外事件A 与事件“没有女生”是对立事件，而事件“没有女生”的概率P解法一：P(A)解法二：P(A)=1-P( )=1-∴至少有1名女生的概率是 .二、参考练习1.选择题(1)下列命题中，真命题的个数是①将一枚硬币抛两次，设事件A：“两次出现正面”，事件B：“只有一次出现反面”，则事件A与B是对立事件②若事件A与B为对立事件，则事件A与B为互斥事件③若事件A与B为互斥事件，则事件A与B为对立事件④若事件A与B为对立事件，则事件A+B为必然事件A.1B.2D.4答案：B(2)袋中装白球和黑球各3个，从中任取2球，则至多有1黑球的概率是A. BD.答案：B2.填空题(1)在10件产品中有8件一级品，2件二级品，现从中任选3件，设事件A：“所取的都是一级品”，则事件表示为________.答案：所取的不都是一级品(2)口袋内有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一球，摸出红球的概率是0.3,摸出黑球的概率是0.5，那么摸出白球的概率是________.答案：0.23.解答题(1)某班有学生50名，其中班干部5名，现从中选出2名作为学生代表，求：①选出的2名学生至少有1名是班干部的概率;②选出的2名学生中没有班干部的概率.解：①P=1- .②P(2)有红、黄、蓝三种颜色的信号旗各1面，按不同次序排列可组成不同的信号，并且可以用1面旗、2面旗或3面旗组成信号，求：①组成的信号是由1面或2面信号旗组成的概率;②组成的信号不是由1面信号旗组成的概率.解：①P= = ;②P=1- .(3)某班共有学生n(n≤50)个人，若一年以365天计算，列式表示至少有2人在同一天过生日的概率.解：记“至少有2人在同一天生日”为事件A，则“没有人在同一天生日”为事件A的对立事件，即 . ∵P( )∴P(A)=1- .(4)某单位的36人的血型分别是：A型的有12人，B 型的有10人，AB型的有8人，O型的有6人，如果从这个单位随机地找出两个人，那么这两个人具有不同的血型的概率是多少？解：记“两个人具有不同血型”为事件A，则“两个人血型相同”为事件A的对立事件，即，且“两个人为A型血”“两个人为B型血”“两个人为AB型血”“两个人为O型血”为彼此互斥事件，这些互斥事件只要有一个发生，则发生，而P( )∴P(A)=1-P( )=1- .(5)一个袋内装有3个红球，n个白球，从中任取2个，已知取出的球至少有一个是白球的概率是，求n的值.解：记“至少有一个是白球”为事件A，则“任取2球，全是红球”是事件A的对立事件，即 .又∵P( )由对立事件的概率公式P(A)+P( )=1，得P(A)=1-即n2+5n-204=0.解得n=12.评述：对于带有词语“至多”“至少”等类型的较复杂的概率计算问题，利用对立事件的概率公式可转化为求其对立事件的概率。

第二节 互斥事件有一个发生的概率一、基本知识概要：1、互斥事件：如果事件A 与B 不能同时发生（即A 发生B 必不发生或者B 发生A 必不发生），那么称事件A ，B 为互斥事件（或称互不相容事件）。

如果事件A 1，A 2，…n A 中任何两个都是互斥事件，那么称事件A 1，A 2，…A n 彼此互斥。

互斥事件的概率加法公式：如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）； 如果事件A 1，A 2，…n A 彼此互斥，则P （A 1+A 2+…+n A ）=P （A 1）+P （A 2）+…+P （n A ）；2、对立事件：如果事件A 与B 不能同时发生，且事件A 与B 必有一个发生，则称事件A 与B 互为对立事件，事件A 的对立事件通常记作A 。

对立事件A 与A 的概率和等于1，即：P （A ）+P （A ）=P （A+A ）=1；注：对立事件是针对两个事件来说的，一般地说，两个事件对立是这两个事件互斥的充分条件，但不是必要条件。

3、事件的和事件：对于事件A 与B ，如果事件 A 发生或事件B 发生，也即A ，B 中有一个发生称为事件A 与B 的和事件。

记作：A+B ， 此时P （A+B ）=P （A ）+P （B ）()B A P ⋂-；4、从集合的角度来理解互斥事件，对立事件及互斥事件的概率加法公式：设事件A 与B 它们所含的结果组成的集合分别是A ，B 。

若事件A 与B 互斥，即集合Φ=⋂B A ，若事件A 与B 对立，即集合Φ=⋂B A 且U B A =⋃，也即：B C A U =或A C B U =，对互斥事件A+B （即事件A 发生或事件B 发生）即可理解为集合B A ⋃。

有等可能事件的概率公式知： )()()()()()()()(U card B card A card U card B A card U card B A card B A P +=⋃=+=+ =)()(U card A card +)()(U card B card =P （A ）+P （B ） 二、重点难点: 互斥事件的概念和互斥事件的概率加法公式是重点；互斥事件、对立事件的概念及二者的联系与区别及应用是难点。

1．2 互斥事件有一个发生的概率学法导引本节主要是学会用事件的互斥分解的方式来解决概率问题．加强对互斥这一概念的理解和运用是掌握这节知识的关键，而对较复杂的概率问题，可多联想用求事件的对立事件的方法求解．知识要点精讲知识点2互斥事件的概率，如果事件A、B互斥，那么事件A＋B发生的概率等于事件A、B 分别发生的概率和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．知识点4 对立事件的概率对立事件概率的和等于1，即解题方法、技巧培养出题方向1 互斥事件至少有一个发生的概率互斥事件至少有一个发生的概率，通常情况下，可以使用公式例1 有10件产品分3个等级，其中一等品4件，二等品3件，三等品3件，从10件产品中任意取出2件，求取出的2件产品同等次的概率．出题方向2 利用事件分解解决互斥事件的概率．通过对事件的分解来解决互斥事件的概率问题，是概率问题中的一个主要方法之一．例2 现有10张奖券，其中2张是有奖的，由甲、乙、丙三人按顺序各抽一张，求：(1)乙中奖的概率；(2)甲未中奖的概率；(3)乙、丙至少有一人中奖的概率；(4)三人中只有一人中奖的概率．[分析] 设A、B、C分别表示甲、乙、丙中奖这一事件．(1)事件乙中奖，可以分解成甲中乙中丙不中、甲不中乙中丙中、甲不中乙中丙不中这三个事件的和事件．所以乙中奖的概率为：点拨利用分解的方式来处理复杂事件的概率，是一种特别有效的方法．出题方向3 利用对立事件的概率来求事件概率有时求一个事件的概率比较麻烦，我们就可以利用该事件的对立事件的概率来求该事件的概率．例3 两台雷达独立地工作，在一段时间内，甲雷达发现飞行目标的概率为0.9，乙雷达发现飞行目标的概率为0.85，计算在这段时间内，下列各事件的概率(1)至少有一台雷达发现飞行目标；(2)至多有一台雷达发现目标．[分析] 设事件A：甲雷达发现飞行目标；事件B：乙雷达发现飞行目标．因为两雷达独立工作，故事件A与事件B相互独立．[解法一] 因为至少有一台雷达发现目标，即事件：[解法二] ①因为事件至少有一台雷达发现飞行目标，与事件两台雷达均未发现目标是对立事件，所以所求的概率为[解法三] 至多有一台雷达发现目标与两台雷达同时发现目标是对立事件，可以利用对立事件的概率来求解．所求事件的概率为1－P(A·B)＝1－P(A)·P(B)＝1－0.9×0.85＝0.235．易错易混点警示例4有一个电路图如图所示，A、B、C、D、E、F为6个开关，其闭合的概率都是0.25，图中都是断开的位置，而且各开关是否闭合均为独立的，则灯亮的概率是多少．[错解] 分类讨论．当AB段成为通路时，是A、B同时闭合，其概率为0.25×0.25；同理，当EF段成为通路时，是E、F同时闭合，其概率也为0.25×0.25；又AB段、EF段、D段、C 段分别成为通路是互斥的，所以灯亮的概率为[错因分析] 在错解中AB段、EF段、D段、C段分别成为通路并不是互斥的，它们可能同时发生．[正解] 设A、B中至少有一个不闭合的事件为T，E、F中至少有一个不闭合的事件为R，则综合应用创新【综合能力升级】概率与解析几何的综合是常见的题型，解题时，通常采用分类思想，将复杂的事件化为彼此互斥的事件的和．例5 已知直线Ax＋By＋C＝0，若A、B、C、从－5，－3，－1，0，2，4，7，9八个数中选取不同的三个数，求确定斜率小于0的直线的概率．例6 袋中装有3个五分硬币，3个二分硬币，4个一分硬币，现从中随机取3个，求总数超过八分的概率．[分析] 设总分超过八分为事件A，则A包含以下四个事件：(1)取到3个五分硬币；(2)取到2个五分硬币和1个一分硬币；(3)取到2个五分硬币和1个一分硬币；(4)取到1个五分硬币和2个二分硬币，并且把这四个事件分别设为B、C、D、E，则事件A＝B＋C＋D＋E，由于这四个事件分别互斥，所以由此可见，分解成互斥事件的和事件的形式，是解决问题的一种好办法．【应用创新能力升级】互斥事件的概率可应用于体育项目用以检查运动员的综合水平，对立事件的概率广泛应用于含“至少”，“至多”等类型的实际问题．例7 甲击中目标的概率是0.5，乙击中目标的概率是0.4，两人各射击一次，“目标被击中的概率是0.5＋0.4＝0.9”，这种说法对吗？为什么？[分析] 本题不是计算题，不妨逆向思考，看其是否符合概率的某种类型．[解] 题中说法不对．因为“甲射击一次，击中目标”与“乙射击一次，击中目标”这两件事不互斥，而且有可能同时发生，因此不能运用互斥事件的概率加法公式来计算．例8房间里有500个人，问其中至少有1人的生日在10月1日的概率是多少？(一年365天)[分析] 直接按互斥的类型去思考入手较繁，可考虑对立事件．[解] 设A为至少有1个人的生日在10月1日，则A为没有1人的生日在10月1日．点拨“至少”、“至多”问题，一般采用求此事件的对立事件的概率．高考链接本节知识是高考考查的重点内容之一，主要考查如何将一事件分解为互斥事件或利用对立事件求某一事件的概率，题型多以大题的形式出现．例9 (2002年，天津)某单位6名员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5，而且相互独立．(1)求至少3人同时上网的概率；(2)至少几人同时上网的概率小于0.3．[分析] (1)至少3人同时上网的概率等于1减去至多2人同时上网的概率．因此，至少5人同时上网的概率小于0.3．例10 (2004年，四川)已知8支球队有3支弱队，以抽签的方式将这8支球队分成A、B。