简化解析几何运算的技巧

147分学霸分享丨解析几何的解题方法数学学习有困难的同学，对解析几何有抵触情绪的同学，想要在拉分最明显的题型中拿到高分的同学。

具体经验解析几何是高中数学的重要部分，一般来说，解析几何会在选择填空中出现一到两题，并且会在必做大题中作为压轴题出现。

分值很大，重要性不言而喻，而且难度比较大，想要学好这方面的知识，不是很容易，因此，掌握一定的技巧与方法很重要。

针对高三学生，在学习解析几何的相关内容上，我有一些心得与体会，希望能与大家分享。

大家都知道高考数学卷中解析几何和导数是最不容易的两道大题，最近几年的数学卷趋向基础，只要细心多数同学可以拿到百分之七八十的分数，而想要在数学上力争顶尖的同学就要把握好这两道大题带来的机会。

然而相对于导数需要较强的技巧和想法来讲，解析几何更重要考察的是心里素质。

为什么这样说：第一因为解析几何的题型是有规律可循的，只要接触过类似的题型，拿到其他题的时候一定不会完全没有思路，但要想了解各个题型是需要不怕难题的勇气的。

第二是因为解析几何要求大量的计算，我高三学习解析几何的时候常常一道题写好几张草稿纸，要想完美的完成一道题需要静下心来，需要耐心。

第三是因为这个题型作为压轴题位于试卷的末尾，我在做高考卷的时候也习惯于先做选做题，再回来做导数和解析几何，在考试的最后，时间往往剩下的不多，这往往考察每个同学的定力，能不能不紧张，细心认真的做完自己所有会的步骤。

毋庸置疑，解析几何很花费时间，因此在复习的过程中不能“吝啬”，要肯花精力与时间，数学是对分析能力要求比较高的学科，复习时着重锻炼自己的分析能力，尽量选择整块的时间解决数学问题，否则思路被打断，效率会比较低。

解析几何作为高考的重点，考查项目不仅要求分析，还要求计算能力，大多数人都会觉得解析几何大题中的式子很长，就可能出现心烦意乱，懒得算下去的现象，但其实平时就是一个积累经验与树立信心的过程，越是在平日里认真地、一步步地算，才越有可能在考场上快速地，准确地算出结果。

解析几何图形的关键技巧几何学是数学的一个重要分支，它研究空间和形状的属性以及它们之间的关系。

在几何学中，解析几何是一种重要的工具，它将代数和几何相结合，通过数学方法来研究图形的性质和变换。

在解析几何中，有一些关键的技巧可以帮助我们更好地理解和分析图形。

一、坐标系的选择在解析几何中，坐标系是非常重要的工具。

通过在平面上引入坐标系，我们可以将点和图形用数学的方式来表示和描述。

选择合适的坐标系对于解析几何的研究是至关重要的。

一般来说，我们可以选择直角坐标系或极坐标系。

直角坐标系适用于研究平面上的图形，而极坐标系则适用于研究圆形和曲线。

二、方程的建立在解析几何中，我们通常通过建立方程来描述和分析图形。

方程可以帮助我们确定图形的性质和特征。

对于直线、圆、椭圆、抛物线和双曲线等图形，我们可以通过建立相应的方程来研究它们的性质。

例如，对于直线，我们可以使用一般式方程或斜截式方程来表示，而对于圆，我们可以使用标准方程或一般方程来表示。

三、图形的性质在解析几何中，了解图形的性质是非常重要的。

通过研究图形的性质，我们可以更好地理解它们的特点和规律。

例如，直线的性质包括斜率、截距和与其他直线的关系等。

圆的性质包括半径、直径、圆心和与其他图形的关系等。

了解这些性质可以帮助我们更好地分析和解决与图形相关的问题。

四、图形的变换在解析几何中，图形的变换是一个重要的研究方向。

通过对图形进行平移、旋转、缩放和镜像等变换，我们可以研究它们的对称性、相似性和等价性等。

例如，通过平移变换，我们可以将一个图形移动到另一个位置，而不改变它的形状和大小。

通过旋转变换，我们可以改变图形的朝向和角度。

通过缩放变换，我们可以改变图形的大小。

通过镜像变换，我们可以在平面上生成图形的镜像。

五、向量的运用在解析几何中，向量是非常重要的工具。

通过向量的运用，我们可以更好地描述和分析图形的运动和变换。

向量可以表示图形的位移和方向。

在解析几何中，我们可以使用向量来表示直线的方向和长度，圆的半径和圆心的位置等。

解析几何化减技巧解析几何是数学中一个重要的分支，它研究的是几何对象（如点、线、面）在坐标系中的表示和变换。

在解析几何中，我们经常需要化简一些复杂的表达式或方程，以提高计算的效率和准确性。

以下是一些常用的解析几何化简技巧：1. 代数运算：这是最基本的方法，包括加、减、乘、除、乘方等。

例如，对于两个向量的点积，我们可以使用分配律和结合律进行化简。

2. 坐标变换：如果我们有一个表达式涉及到多个坐标点或向量，我们可以考虑使用坐标变换来简化这个表达式。

例如，如果我们有两个参考系，并且知道它们之间的转换关系，我们就可以将一个坐标点从一种参考系转换到另一种参考系。

3. 向量运算：向量运算（如加法、数乘、点积、叉积等）在解析几何中非常常见。

理解这些运算的性质和规则可以帮助我们更有效地进行化简。

4. 矩阵运算：在解析几何中，矩阵经常被用来表示变换（如旋转、平移、缩放等）。

理解矩阵的运算法则（如乘法、转置、逆等）可以帮助我们更有效地进行化简。

5. 参数方程：对于一些复杂的几何形状（如椭圆、抛物线、双曲线等），我们经常使用参数方程来表示它们。

参数方程可以将一个复杂的几何问题转化为一个简单的代数问题，从而更容易进行化简。

6. 极坐标与直角坐标转换：在解析几何中，极坐标和直角坐标是两种常用的坐标系。

理解这两种坐标系之间的转换关系可以帮助我们更有效地进行化简。

7. 对称性：许多几何形状和表达式都具有对称性。

利用这些对称性可以帮助我们更有效地进行化简。

8. 代数恒等式：一些基本的代数恒等式（如平方差公式、完全平方公式等）在解析几何中非常有用。

掌握这些恒等式可以帮助我们更有效地进行化简。

9. 使用软件工具：现代的数学软件工具（如 MATLAB、Geometer's Sketchpad 等）可以帮助我们更方便地进行解析几何的化简和计算。

以上就是一些常用的解析几何化简技巧。

在实际应用中，我们需要根据具体的问题和情况选择合适的方法进行化简。

专题：简化解析几何运算的5个技巧中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步．特别是高考过程中，在规定的时间，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面．为此，从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程．技法一巧用定义，揭示本质以数形结合思想为指导，把定量的分析有机结合起来，则可使解题计算量大为简化，使解题构筑在较高的水平上．[典例] 如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A ．2B ． 3C ．32D ．62[解析] 由已知，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)，设双曲线C 2的实半轴长为a ，由椭圆及双曲线的定义和已知， 可得⎩⎪⎨⎪⎧|AF 1|＋|AF 2|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|AF 1|2＋|AF 2|2＝12，解得a 2＝2，故a ＝2．所以双曲线C 2的离心率e ＝32＝62． [答案] D [方法点拨]本题可巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF 1|，|AF 2|的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a 的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量．[对点演练]抛物线y 2＝4mx (m ＞0)的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，若点A (－m,0)，则|PF ||P A |的最小值为________．解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，由抛物线的定义，知|PF |＝x P ＋m ，又|P A |2＝(x P ＋m )2＋y 2P ＝(x P ＋m )2＋4mx P ，则⎝⎛⎭⎫|PF ||P A |2＝(x P ＋m )2(x P ＋m )2＋4mx P ＝11＋4mx P (x P ＋m )2≥11＋4mx P (2x P ·m )2＝12(当且仅当x P ＝m 时取等号)，所以|PF ||P A |≥22，所以|PF ||P A |的最小值为22． 答案：22对于直线与圆锥曲线相交所产生的中点弦问题，涉及求中点弦所在直线的方程，或弦的中点的轨迹方程的问题时，常常可以用代点法求解．[典例] 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的标准方程为( )A ．x 245＋y 236＝1B ．x 236＋y 227＝1C ．x 227＋y 218＝1D ．x 218＋y 29＝1[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，①②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝b 2a 2．又k AB ＝0＋13－1＝12，所以b 2a 2＝12．又9＝c 2＝a 2－b 2， 解得b 2＝9，a 2＝18，所以椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1．[答案] D [方法点拨]本题设出A ，B 两点的坐标，却不需求出A ，B 两点的坐标，巧妙地表达出直线AB 的斜率，通过将直线AB 的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题．[对点演练]过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2．∵y 1－y 2x 1－x 2＝－12，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，∴－b 2a 2＝－12，∴a 2＝2b 2．又∵b 2＝a 2－c 2，∴a 2＝2(a 2－c 2)，∴a 2＝2c 2，∴c a ＝22．即椭圆C 的离心率e ＝22． 答案：22某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系．后者往往计算量小，解题过程简捷．[典例] (2016·全国甲卷)已知椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ．(1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值围． [解] 设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0． (1)当t ＝4时，E 的方程为x 24＋y 23＝1，A (－2,0)．由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4．因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2．将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1，得7y 2－12y ＝0．解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127．因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449．(2)由题意知t >3，k >0，A (－t ，0)．将直线AM 的方程y ＝k (x ＋t )代入x 2t ＋y 23＝1，得(3＋tk 2)x 2＋2t ·tk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0． 由x 1·(－t )＝t 2k 2－3t 3＋tk 2，得x 1＝t (3－tk 2)3＋tk 2，故|AM |＝|x 1＋t |1＋k 2＝6t (1＋k 2)3＋tk 2．由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k (x ＋t )，故同理可得|AN |＝6k t (1＋k 2)3k 2＋t ．由2|AM |＝|AN |，得23＋tk 2＝k3k 2＋t， 即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)．当k ＝32时上式不成立，因此t ＝3k (2k －1)k 3－2．t >3等价于k 3－2k 2＋k －2k 3－2＝(k －2)(k 2＋1)k 3－2<0，即k －2k 3－2<0． 因此得⎩⎪⎨⎪⎧ k －2>0，k 3－2<0或⎩⎪⎨⎪⎧k －2<0，k 3－2>0，解得32<k <2． 故k 的取值围是(32，2)． [方法点拨]本例在第(2)问中可应用根与系数的关系求出x 1＝t (3－tk 2)3＋tk 2，这体现了整体思路．这是解决解析几何问题时常用的方法，简单易懂，通过设而不求，大大降低了运算量．[对点演练](2016·实战考试)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且经过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，左、右焦点分别为F 1，F 2．(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AF 2B 的切圆半径为327，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程．解：(1)由c a ＝12，得a ＝2c ，所以a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，将点P ⎝⎛⎭⎫1，32的坐标代入椭圆方程得c 2＝1， 故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1．(2)由(1)可知F 1(－1,0)，设直线l 的方程为x ＝ty －1， 代入椭圆方程，整理得(4＋3t 2)y 2－6ty －9＝0， 显然判别式大于0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，△AF 2B 的切圆半径为r 0， 则有y 1＋y 2＝6t 4＋3t 2，y 1y 2＝－94＋3t 2，r 0＝327，所以S △AF 2B ＝S △AF 1F 2＋S △BF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2|＝12|F 1F 2|·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12t 2＋14＋3t 2．而S △AF 2B ＝12|AB |r 0＋12|BF 2|r 0＋12|AF 2|r 0＝12r 0(|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|) ＝12r 0(|AF 1|＋|BF 1|＋|BF 2|＋|AF 2|) ＝12r 0·4a ＝12×8×327 ＝1227， 所以12t 2＋14＋3t 2＝1227，解得t 2＝1，因为所求圆与直线l 相切，所以半径r ＝2t 2＋1＝2， 所以所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2．利用曲线系解题，往往简捷明快，事半功倍，所以灵活运用曲线是解析几何中重要的解题方法和技巧之一．[典例] 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A ．x 236－y 2108＝1B ．x 29－y 227＝1C ．x 2108－y 236＝1D ．x 227－y 29＝1[解析] 由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，可设双曲线的方程为x 2－y 23＝λ(λ＞0)． 因为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，所以F (－6,0)是双曲线的左焦点，即λ＋3λ＝36，λ＝9，所以双曲线的方程为x 29－y 227＝1．[答案] B [方法点拨]本题利用共渐近线系双曲线方程，可使问题马上得到解决．避免了复杂的判断、可能的分类讨论、繁杂的解方程组，事半功倍．[对点演练]圆心在直线x －y －4＝0上，且经过两圆x 2＋y 2＋6x －4＝0和x 2＋y 2＋6y －28＝0的交点的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0B ．x 2＋y 2－x ＋7y －16＝0C ．x 2＋y 2－4x ＋4y ＋9＝0D ．x 2＋y 2－4x ＋4y －8＝0解析：选A 设经过两圆的交点的圆的方程为 x 2＋y 2＋6x －4＋λ(x 2＋y 2＋6y －28)＝0， 即x 2＋y 2＋61＋λx ＋6λ1＋λy －4＋28λ1＋λ＝0，其圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－31＋λ，－3λ1＋λ，又圆心在直线x －y －4＝0上，所以－31＋λ＋3λ1＋λ－4＝0，解得λ＝－7，故所求圆的方程为x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0．换元引参是一种重要的数学方法，特别是解析几何中的最值问题、不等式问题等，利用换元引参使一些关系能够相互联系起来，激活了解题的方法，往往能化难为易，达到事半功倍．常见的参数可以选择点的坐标、直线的斜率、直线的倾斜角等．在换元过程中，还要注意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值围或改变原题条件．[典例] 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AP |＝|OA |，证明直线OP 的斜率k 满足|k |＞3．[解] 法一：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)． 由条件，得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 20b 2＝1. 消去y 0并整理，得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b2．① 由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0． 而x 0≠0，于是x 0＝－2a 1＋k 2，代入①，整理得(1＋k 2)2＝4k 2⎝⎛⎭⎫a b 2＋4． 又a ＞b ＞0，故(1＋k 2)2＞4k 2＋4， 即k 2＋1＞4，因此k 2＞3，所以|k |＞3．法二：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)．由点P 在椭圆上，得x 20a 2＋k 2x 20b 2＝1．因为a ＞b ＞0，kx 0≠0，所以x 20a 2＋k 2x 20a 2＜1，即(1＋k 2)x 20＜a 2．②由|AP |＝|OA |及A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，于是x 0＝－2a 1＋k 2， 代入②，得(1＋k 2)·4a 2(1＋k 2)2＜a 2， 解得k 2＞3，所以|k |＞3．法三：设P (a cos θ，b sin θ)(0≤θ＜2π)， 则线段OP 的中点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2cos θ，b2sin θ． |AP |＝|OA |⇔AQ ⊥OP ⇔k AQ ×k ＝－1．又A (－a,0)，所以k AQ ＝b sin θ2a ＋a cos θ，即b sin θ－ak AQ cos θ＝2ak AQ ．从而可得|2ak AQ |≤b 2＋a 2k 2AQ ＜a 1＋k 2AQ ，解得|k AQ |＜33．故|k |＝1|k AQ |＞3． [方法点拨]求解本题利用椭圆的参数方程，可快速建立各点之间的联系，降低运算量． [对点演练](2016·市质量检测)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且离心率为12，点P 为椭圆上一动点，△F 1PF 2面积的最大值为3．(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆的左顶点为A 1，过右焦点F 2的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，连接A 1A ，A 1B 并延长分别交直线x ＝4于R ，Q 两点，问RF 2―→·QF 2―→是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．解：(1)已知椭圆的离心率为12，不妨设c ＝t ，a ＝2t ，则b ＝3t ，其中t ＞0，当△F 1PF 2面积取最大值时，点P 为短轴端点， 因此12·2t ·3t ＝3，解得t ＝1，则椭圆的方程为x 24＋y 23＝1．(2)由(1)可知F 2(1,0)，A 1(－2,0)．设直线AB 的方程为x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y 23＝1，可得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，则y 1＋y 2＝－6m 4＋3m 2，①y 1y 2＝－94＋3m 2，②直线AA 1的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，直线BA 1的方程为y ＝y 2x 2＋2(x ＋2)，则R⎝⎛⎭⎫4，6y 1x 1＋2，Q ⎝⎛⎭⎫4，6y 2x 2＋2，F 2R ―→＝⎝⎛⎭⎫3，6y 1x 1＋2，F 2Q ―→＝⎝⎛⎭⎫3，6y 2x 2＋2，则F 2R ―→·F 2Q ―→＝9＋6y 1x 1＋2·6y 2x 2＋2＝6y 1my 1＋3·6y 2my 2＋3＋9＝36y 1y 2m 2y 1y 2＋3m (y 1＋y 2)＋9＋9将①②两式代入上式，整理得F 2R ―→·F 2Q ―→＝0， 即F 2R ―→·F 2Q ―→为定值0．。

解析几何中简化运算的策略在解析几何中，方程是刻画曲线性质的代数语言，而曲线又是描绘方程特征的图像语言，数与形的高度统一，使得两者浑然一体，相得益彰.在解决直线与圆锥曲线的问题时，常用方法就是将它们的方程转化为关于x 或y 的二次方程来解决，一般过程较繁.其实，相当一部分解几问题的运算量与选择的解题方法有关，只要把握问题本质，精心构思，就可以获得简捷明快的解题方法，不仅简化或避免复杂的运算、提高效率，而且能训练思维、开发智力、增强信心。

下面谈谈解几种简化运算的常用策略，供参考。

一．回归定义，彰显本质我们解决问题，总是希望寻找到最简单又不失本质的原理与方法，而这方面非“定义”莫属。

只要对问题进行深刻挖掘，彰显本质，然后利用定义解题，达到巧思妙解。

例1， 设)0,6(P ，Q 为圆922=+y x 上的动点，且M 在线段PQ 上，满足21=MQ PM ，求点M 的轨迹方程。

解：由21=MQ PM 想得到在OP 上取点R 使21=RO PR ，即取点)0,4(R ，则OQ MR //且MR 31=OQ 1=， 根据圆的定义知：M 点的轨迹是以R 为圆心、半径为1的圆。

所以M 点的轨迹方程为：()1422=+-y x例2．设F 是抛物线()02>=a ax y 的焦点，直线AB 过F 交抛物线于B A 、两点，点()b a M ,满足条件222b a =；（1） 证明：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切（2） 若P 是抛物线上一点，且PF +PM 的最小值为5，求b a 、的值。

解：（1）设AB 中点为C ，分别过C B A 、、点， 作准线l 的垂线，垂足分别为'''C B A 、、，由抛物线定义可知：AB =+=BF AF '2''CC BB AA =+ ，∴ 以AB 为直径的圆与准线相切（2）过M 作l MH ⊥于H ，交抛物线于点P ，则P 为所求。

y 双根法是优化解析几何运算的又一利器蓝云波（广东省兴宁市第一中学，514500）解析几何历来都是高考中的重点和难点，由于其方法巧妙，运算复杂，故常令人望而生畏.特别 是涉及繁冗运算的圆锥曲线综合解答题，即使学生在思路顺畅的情况下，都难于得出结果.因此，如 何提高解析几何的运算能力变得至关重要.要解决解析几何中的复杂运算，算理就显得非常重要.如常见优化解析几何运算的方法有：利用圆锥曲线的定义、巧设直线方程、利用参数方程、运用点差法、合理利用平面几何知识等等，本文提供另外一种优化解析几何运算的方法——双根法，它在解决一类圆锥曲线问题中常能达到化繁为简、举重若轻的效果.我们知道，二次函数有三种形式，分别是一般式、顶点式、双根式.其中双根式可以把一般式y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0)表示为 y = a (x - x )(x - x )(a ≠ 0)，x , x 为方程 ax 2 + bx + c = 0 的两根.1212例 1（2012 年高考重庆卷第 20 题）如图所示，设椭圆的中心为原点O ，长轴在 x 轴上，上顶点 为 A ，左、右焦点分别为 F 1 , F 2 ，线段OF 1 , OF 2 的中点分别为 B 1 , B 2 ，且△ AB 1B 2 角三角形.（1）求该椭圆的离心率和标准方程；（2）过 B 1 作直线l 交椭圆于 P , Q 两点，使 PB 2 ⊥ QB 2 ，求直线l 的方程.是面积为4 的直分析：本题是一道典型的直线与圆锥曲线的综合解答题，通常的做法是联立直线与圆锥曲线的 方程，利用韦达定理消元解决.结合本题，问题的关键是解决 PB 2 ⊥ QB 2 这个条件转换为向量的数量积为零之后的复杂运算，思路虽然清晰，但运算比较复杂.传统解法：（1）该椭圆的离心率e= x 2 2，标准方程为 + 5 20 4= 1； （2）由（1）知 B 1 (- 2,0), B 2 (2,0).当直线l 垂直于 x 轴时，显然不成立. 当直线l 不垂直于 x 轴时，可设其方程为 y = k (x + 2). P (x 1 , y 1 ), Q (x 2 , y 2 ).2 51 2⎧ y = k (x + 2), ⎪ 由 ⎨ x 2 + y= 1, 得 x 2 + 5k 2 (x + 2)2 - 20 = 0 .即(1+ 5k 2 )x 2 + 20k 2 x + 20k 2 - 20 = 0，⎪⎩ 20 4- 20k 220k 2 - 20 ∴ x 1 + x 2 =1+ 5k2, x 1 x 2 =.1+ 5k 2PB 2 ⊥ QB 2 ，∴ PB 2 • 2 = (2 - x 1 )(2 - x 2 )+ y 1 y 2 = 0 .因为点 P , Q 在直线 y = k (x + 2) 上，所以 y 1 = k (x 1 + 2), y 2 = k (x 2 + 2) .所以(2 - x )(2 - x ) + k 2(x + 2)(x + 2) = 01212所以 4 - 2(x + x ) + x x + k 2 x x + 2k 2 (x + x ) + 4k 2= 0121 21 212化简得(1+ k 2 )x x + (2k 2 - 2)(x + x ) + 4k 2+ 4 = 0.所以(1+ k 2) ⨯ 20k 2 - 20 1+ 5k 2+ (2k 2 - 2) ⨯ - 20k 2 1+ 5k 2 + 4k 2+ 4 = 0 ，所以(1+ k 2) ⨯ 5k 2 - 5 1+ 5k 2+ (2k 2- 2) ⨯ - 5k 2 1+ 5k 2 + k 2+1 = 0 ，故(1+ k 2 )(5k 2 - 5) + (2k 2 - 2)(-5k 2 ) + (k 2 +1)(1+ 5k 2) = 0， 所以5k 4+ 5k 4-10k 4+10k 2+ k 2+ 5k 2- 5 +1 = 0 ，故16k 2- 4 = 0 ， k = ± 1.2 1故直线l 的方程为 y = ± (x + 2) ，即 x + 2 y + 2 = 0或 x - 2 y + 2 = 0 .2点评：此法虽然思路清晰，但运算极为繁琐.特别是在紧张的考试中，学生能算出最后结果的微 乎其微.本题中，如何化简(2 - x )(2 - x ) + k 2(x + 2)(x + 2) = 0 是运算的难点.上述的解法虽然可行，1212但效率却不够高，且极容易出错.事实上，我们只要能把(2 - x 1 )(2 - x 2 ) 和(x 1 + 2)(x 2 + 2) 用 k 来表示，问题便能得到解决.如若注意到 x 1 , x 2 是方程的两根，可把 x 2+ 5k 2(x + 2)2- 20 = 0 左端的式子用双根法表示，然后进行合理赋值，就能轻而易举得到结果.1 2 23 优化解法：同传统解法可得 x 2+ 5k 2(x + 2)2- 20 = 0 与(2 - x )(2 - x ) + k 2 (x + 2)(x + 2) = 0 ，因为 x , x 是方程x 2 + 5k 2 (x + 2)2 - 20 = 0 的两根，所以 121212x 2 + 5k 2 (x + 2)2 - 20 = (1+ 5k 2 )(x - x )(x - x ) ①，12①式中令 x = 2 得， 22 + 5k 2 (2 + 2)2 - 20 = (1+ 5k 2)(2 - x )(2 - x ) ，12所以(2 - x 1 )(2 - x 2 ) =80k 2 -16 ，1+ 5k2①式中令 x = -2得， (-2)2+ 5k 2(2 - 2)2- 20 = (1+ 5k 2)(-2 - x )(-2 - x ) ，12-16所以(x 1 + 2)(x 2 + 2) =1+ 5k2 ，∴(2 - x 1 )(2 - x 2 ) + k (x 1 + 2)(x 2 + 2) = 80k 2 -16 1+ 5k 2+ k 2 ⨯ -16 = 1+ 5k 2 64k 2 -16 1+ 5k 2= 0. 所以64k 2-16 = 0，即 k = ± 1 .下同传统解法.2点评：此法通过巧设双根式并进行合理赋值，运算极为简洁，真正达到了化繁为简的效果，可 以说几乎没有什么运算了，令人叹为观止！【变式 1】：（2013 年上海春季高考理科第 28 题） 已知椭圆C 的两个焦点分别为 F 1 (-1,0)、F 2 (1,0)，短轴的两个端点分别为 B 1 , B 2 .（1）若△ F 1B 1B 2 为等边三角形，求椭圆C 的方程；（2）若椭圆C 的短轴长为 2 ，过点 F 2 的直线l 与椭圆C 相交于 P , Q 两点，且 F 1⊥ F 1，求直线l 的方程.（答案：（1） 3x 24+ 3y 2 = 1；（2）直线l 的方程为 x + 7 y -1 = 0 或 x - 7 y -1 = 0 ） 我们现在再来看更为复杂的例 2，若用传统解法解决，几乎不能算出来，而双根法则显示出巨大的威力.例 2（2014 年高考辽宁理科数学第 20 题）圆 x 2+ y 2= 4 的切线与 x 轴正半轴， y 轴正半轴围x 2 y 2成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为 P （如图）.双曲线C 1 ： a 2 - b2 = 1过点 P 且离心率为 .（1）求C 1 的方程；22 2111 2 （2）椭圆C 2 过点 P 且与C 1 有相同的焦点，直线l 过C 2 的右焦点且与C 2 交于 A , B 两点.若以线段 AB 为直径的圆过点 P ，求l 的方程.解析：（1）可求得点 P 的坐标为 ( 2, )， C 1 的方程为 x 2-y 2 = 21；（略）(-) ( )x 2+ y 2 =（2）由（1）知C 2 的焦点坐标为3,0 , 3,0 ，由此设C 2 的方程为 3 + b 2 2 1，其中 1> ( )2+2= 2 = x 2 + y 2 =b 10.由点 P 2, 在C 2 上，得3 + b 221，解得b 1 1 3.因此C 2 的方程为 6 31.显然l 的斜率不为0 ，故可设l 的方程为 x = my + 3 .点 A (x 1 , y 1 ), B (x 2 , y 2 )，⎧x = my + 3,⎪ 由 ⎨ x 2 + y = 1, 得(m 2 + 2)y 2 + 2 3my - 3 = 0 ，因为 y 1 , y 2 是方程的两根， ⎪ ⎩ 故有(m 2+ 2)y 2+ 23my - 3 = (m 2+ 2)(y - y )(y - y )①因为 AP = (- x 1 , - y 1 )， BP = (- x 2 , - y 2 )，所以 AP • BP = ( 2 - x 1)( 2 - x 2)+ ( - y 1)( 2 - y 2)= ( 2 - my 1- 3)( 2 - my 2- 3)+ ( - y 1)( 2 - y 2)= m - y ⎪ - y ⎪ + ( - y )( 2 - y)= 0②2⎛ 2 - 3⎝ m⎫⎛ 2 - 3 ⎫1⎭⎝ m2⎭1 2①式中令 y = 得 2(m 2+ 2)+ 2 6m - 3 = (m 2+ 2)( 2 - y 1)( 2 - y 2)，所以( - y 1)( - y 2)=，③m 2 + 2①式中再令 y =m2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2m 2 + 2 6m +1 2 -3 b b 6 2 32 -3 2 -3 ⎪ 14 2 ⎛ 2 -3 ⎫2⎛ 2 - 3⎫⎛ 2 - 3⎫得(m 2+ 2)⎪ + 2 3m ⨯ - 3 = (m 2+ 2)- y ⎪ - y ⎪，⎝m⎭m2⎛ ⎫⎛ ⎫ ⎝ m⎭⎝m2⎭所以 m ⎝ m - y 1 ⎪ ⎭⎝ m - y 2 ⎪ = ⎭. ④m 2+ 2③、④代入②易得 2m 2- 2 6m + 4 -11 = 0 ，故可解得 m =±1，⎛ 因此直线l 的方程为 x -⎝ ⎫ -1⎪ y - 2 ⎭ ⎛ = 0 或 x - ⎝ ⎫+1⎪ y - 2⎭ = 0. 点评：本题方法使用了巧设直线方程的技巧，有效地降低了运算，在此基础上运用双根法，更是达到了优化运算的效果，可以说是双剑合璧！x 2+ y 2= ( > > )(0, 【变式 2】：（2015 年高考福建理科数学第 18 题）已知椭圆 E :a22 )，且离心率为2 ．2（1）求椭圆 E 的方程；1 a b b20 过点（2）设直线 x = my -1(m ∈ R )交椭圆 E 于 A ， B 两点，判断点G ⎛ - 9 ,0⎫与以线段 AB 为直⎪ ⎝ ⎭径的圆的位置关系，并说明理由．（答案：（1） x + y 4 2 = 1；（2）点G ⎛ - ⎝ 9 ,0⎫在以线段 AB 为直径的圆的圆外）4 ⎭我们通过上面几道高考题的分析，我们发现，双根法在解决解析几何中涉及 MA • MB = λ（其中λ为常数， M 为定点， A , B 为直线与圆锥曲线的交点）的问题时具有巨大的威力，能使问题得到有效的解决.使得繁琐的运算变成简单可行的任务，能极大地提高解题效率！2 -3 - 4m 2+10 - 4 6 6 3 623 3 3 3 6 6 2。