高中数学：简化答案与解析几何运算的5个技巧

高考数学解析几何高分秘籍在高考数学中，解析几何一直是让众多考生头疼的难题之一。

它不仅需要扎实的数学基础知识，还要求具备较强的计算能力、逻辑推理能力和空间想象能力。

那么，如何在高考数学中拿下解析几何的高分呢？下面就为大家分享一些实用的秘籍。

一、扎实掌握基础知识要想在解析几何中取得高分，首先要对相关的基础知识有深入的理解和掌握。

这包括直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程、性质、参数方程等。

对于直线，要熟练掌握其点斜式、斜截式、两点式、一般式等方程形式，以及直线的斜率、倾斜角、平行与垂直的判定等知识。

圆的标准方程和一般方程要能熟练转换，并且要清楚圆心坐标和半径的求解方法。

椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、离心率、焦点坐标等是重点中的重点。

例如，椭圆的定义是平面内到两个定点的距离之和等于常数（大于两定点间的距离）的点的轨迹；双曲线则是平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于常数（小于两定点间的距离）的点的轨迹。

只有把这些基础知识牢记于心，才能在解题时迅速准确地运用。

二、注重图形结合解析几何的题目往往都与图形密切相关，因此要养成图形结合的解题习惯。

在解题过程中，先根据题目条件画出图形，这样可以直观地看出问题的关键所在，有助于寻找解题思路。

例如，对于直线与圆的位置关系问题，可以通过画出图形，观察圆心到直线的距离与圆半径的大小关系来判断。

对于椭圆、双曲线和抛物线的问题，画出图形可以帮助我们更好地理解曲线的形状和性质，从而更有效地进行计算和推理。

同时，在图形中标记出已知条件和所求问题，能够让我们更加清晰地把握解题的方向。

三、熟练运用公式和定理解析几何中有很多重要的公式和定理，如两点间距离公式、点到直线距离公式、弦长公式等，要熟练掌握并能灵活运用。

两点间距离公式：＄d ＝＼sqrt{（x_2 x_1)＾2 ＋（y_2 y_1)＾2}＄点到直线距离公式：＄d ＝＼frac{｜Ax_0 ＋ By_0 ＋ C|｝｛＼sqrt{A^2 ＋ B^2}｝＄弦长公式：对于直线$y ＝ kx ＋ b$与曲线$f(x,y) ＝ 0$相交于两点$A(x_1,y_1)＄，＄B(x_2,y_2)＄，弦长$｜AB| ＝＼sqrt{1 ＋ k^2}＼cdot\sqrt{（x_1 ＋ x_2)＾2 4x_1x_2}＄在解题时，准确运用这些公式可以大大提高解题的效率和准确性。

解析几何优化计算6大技巧中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步．特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面．为此，从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程．技巧一回归定义，以逸待劳回归定义的实质是重新审视概念，并用相应的概念解决问题，是一种朴素而又重要的策略和思想方法．圆锥曲线的定义既是有关圆锥曲线问题的出发点，又是新知识、新思维的生长点．对于相关的圆锥曲线中的数学问题，若能根据已知条件，巧妙灵活应用定义，往往能达到化难为易、化繁为简、事半功倍的效果．【例题】如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是()A.2B.3C.32D.62【解析】由已知，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)，设双曲线C 2的实半轴长为a ，由椭圆及双曲线的定义和已知，1|＋|AF 2|＝4，2|－|AF 1|＝2a ，1|2＋|AF 2|2＝12，解得a 2＝2，故a ＝ 2.所以双曲线C 2的离心率e ＝32＝62.【答案】D [关键点拨]本题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF 1|，|AF 2|的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a 的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量．[对点训练]1.如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是()A.|BF |－1|AF |－1 B.|BF |2－1|AF |2－1C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1解析：选A 由题意可得S△BCFS △ACF ＝|BC ||AC |＝x B x A ＝|BF |－p 2|AF |－p 2＝|BF |－1|AF |－1.2．抛物线y 2＝4mx (m ＞0)的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，若点A (－m,0)，则|PF ||P A |的最小值为________．解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，由抛物线的定义，知|PF |＝x P ＋m ，又|PA |2＝(x P ＋m )2＋y 2P＝(x P ＋m )2＋4mx P ，则＝(x P ＋m )2(x P ＋m )2＋4mx P ＝11＋4mx P (x P ＋m )2≥11＋4mx P (2x P ·m )2＝12(当且仅当x P ＝m 时取等号)，所以|PF ||PA |≥22，所以|PF ||PA |的最小值为22.答案：22技巧二设而不求，金蝉脱壳设而不求是解析几何解题的基本手段，是比较特殊的一种思想方法，其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少，通过设出相应的参数，利用题设条件加以巧妙转化，以参数为过渡，设而不求．【例题】已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的标准方程为()A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，＋y 21b 2＝1，＋y 22b2＝1，①②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝b 2a 2.又k AB ＝0＋13－1＝12，所以b 2a 2＝12.又9＝c 2＝a 2－b 2，解得b 2＝9，a 2＝18，所以椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.【答案】D [关键点拨](1)本题设出A ，B 两点的坐标，却不求出A ，B 两点的坐标，巧妙地表达出直线AB 的斜率，通过将直线AB 的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题．(2)在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”；②“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多．[对点训练]1．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ，若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为()A.13B.12C.23D.34解析：选A 设OE 的中点为G ，由题意设直线l 的方程为y ＝k (x ＋a )，分别令x ＝－c 与x ＝0得|FM |＝k (a －c )，|OE |＝ka ，由△OBG ∽△FBM ，得|OG ||FM |＝|OB ||FB |，即12ka k (a －c )＝a a ＋c，整理得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率e ＝13.2．过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)＋y 21b2＝1，＋y 22b 2＝1，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.∵y 1－y 2x 1－x 2＝－12，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，∴－b 2a 2＝－12，∴a 2＝2b 2.又∵b 2＝a 2－c 2，∴a 2＝2(a 2－c 2)，∴a 2＝2c 2，∴c a ＝22.即椭圆C 的离心率e ＝22.答案：22技巧三巧设参数，变换主元换元引参是一种重要的数学方法，特别是解析几何中的最值问题、不等式问题等，利用换元引参使一些关系能够相互联系起来，激活了解题的方法，往往能化难为易，达到事半功倍．常见的参数可以选择点的坐标、直线的斜率、直线的倾斜角等．在换元过程中，还要注意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值范围或改变原题条件．【例题】设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AP |＝|OA |，证明直线OP 的斜率k 满足|k |＞3.【解析】法一：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)．kx 0，＋y 20b2＝1，消去y 0并整理，得x 20＝a 2b2k 2a 2＋b2.①由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0.而x 0≠0，于是x 0＝－2a 1＋k 2，代入①，整理得(1＋k 2)2＝4k＋4.又a ＞b ＞0，故(1＋k 2)2＞4k 2＋4，即k 2＋1＞4，因此k 2＞3，所以|k |＞ 3.法二：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)．由点P 在椭圆上，得x 20a 2＋k 2x 20b2＝1.因为a ＞b ＞0，kx 0≠0，所以x 20a 2＋k 2x 20a2＜1，即(1＋k 2)x 20＜a 2.②由|AP |＝|OA |及A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，于是x 0＝－2a 1＋k2，代入②，得(1＋k2)·4a2(1＋k2)2＜a2，解得k2＞3，所以|k|＞ 3.法三：设P(a cosθ，b sinθ)(0≤θ＜2π)，则线段OP的中点Qθ，b2sin|AP|＝|OA|⇔A Q⊥OP⇔k A Q×k＝－1.又A(－a,0)，所以k A Q＝b sinθ2a＋a cosθ，即b sinθ－ak A Q cosθ＝2ak A Q.从而可得|2ak A Q|≤b2＋a2k2A Q＜a1＋k2A Q，解得|k A Q|＜33，故|k|＝1|k A Q|＞ 3.[关键点拨]求解本题利用椭圆的参数方程，可快速建立各点之间的联系，降低运算量．[对点训练]设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆C：(x－5)2＋y2＝r2(r＞0)相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，求r的取值范围．解：当斜率不存在时，有两条，当斜率存在时，不妨设直线l的方程为x＝ty＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入抛物线y2＝4x并整理得y2－4ty－4m＝0，则有Δ＝16t2＋16m＞0，y1＋y2＝4t，y1y2＝－4m，那么x1＋x2＝(ty1＋m)＋(ty2＋m)＝4t2＋2m，可得线段AB的中点M(2t2＋m,2t)，而由题意可得直线AB与直线MC垂直，即k MC·k AB＝－1，可得2t－02t2＋m－5·1t＝－1，整理得m＝3－2t2(当t≠0时)，把m＝3－2t2代入Δ＝16t2＋16m＞0，可得3－t2＞0，即0＜t2＜3，又由于圆心到直线的距离等于半径，即d ＝|5－m |1＋t 2＝2＋2t 21＋t 2＝21＋t 2＝r ，而由0＜t 2＜3可得2＜r ＜4.故r 的取值范围为(2,4)．技巧四数形结合，偷梁换柱著名数学家华罗庚说过：“数与形本是两相倚，焉能分作两边飞．数缺形时少直观，形少数时难入微．”在圆锥曲线的一些问题中，许多对应的长度、数式等都具有一定的几何意义，挖掘题目中隐含的几何意义，采用数形结合的思想方法，可解决一些相应问题．【例题】已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．【解析】设双曲线的左焦点为F 1，根据双曲线的定义可知|PF |＝2a ＋|PF 1|，则△APF 的周长为|PA |＋|PF |＋|AF |＝|PA |＋2a ＋|PF 1|＋|AF |＝|P A |＋|PF 1|＋|AF |＋2a ，由于|AF |＋2a 是定值，要使△APF 的周长最小，则|PA |＋|PF 1|最小，即P ，A ，F 1共线，由于A (0,66)，F 1(－3,0)，则直线AF 1的方程为x －3＋y 66＝1，即x ＝y26－3，代入双曲线方程整理可得y 2＋66y －96＝0，解得y ＝26或y ＝－86(舍去)，所以点P 的纵坐标为26，所以＝12×6×66－12×6×26＝12 6.【答案】126[关键点拨]要求△APF 的周长的最小值，其实就是转化为求解三角形三边长之和，根据已知条件与双曲线定义加以转化为已知边的长度问题与已知量的等价条件来分析，根据直线与双曲线的位置关系，通过数形结合确定点P 的位置，通过求解点P 的坐标进而利用三角形的面积公式来处理．[对点训练]1．椭圆x 25＋y 24＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点M ，N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是()A.55B.655C.855D.455解析：选C 如图所示，设椭圆的右焦点为F ′，连接MF ′，NF ′.因为|MF |＋|NF |＋|MF ′|＋|NF ′|≥|MF |＋|NF |＋|MN |，所以当直线x ＝m 过椭圆的右焦点时，△FMN 的周长最大．此时|MN |＝2b 2a ＝855，又c ＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以此时△FMN 的面积S ＝12×2×855＝855.故选C.2．设P 为双曲线x 2－y 215＝1右支上一点，M ，N 分别是圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4和圆C 2：(x－4)2＋y 2＝1上的点，设|PM |－|PN |的最大值和最小值分别为m ，n ，则|m －n |＝()A ．4 B.5C ．6D ．7解析：选C 由题意得，圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4的圆心为(－4,0)，半径为r 1＝2；圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1的圆心为(4,0)，半径为r 2＝1.设双曲线x 2－y 215＝1的左、右焦点分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)．如图所示，连接PF 1，PF 2，F 1M ，F 2N ，则|PF 1|－|PF 2|＝2.又|PM |max ＝|PF 1|＋r 1，|PN |min ＝|PF 2|－r 2，所以|PM |－|PN |的最大值m ＝|PF 1|－|PF 2|＋r 1＋r 2＝5.又|PM |min ＝|PF 1|－r 1，|PN |max ＝|PF 2|＋r 2，所以|PM |－|PN |的最小值n ＝|PF 1|－|PF 2|－r 1－r 2＝－1，所以|m －n |＝6.故选C.技巧五妙借向量，无中生有平面向量是衔接代数与几何的纽带，沟通“数”与“形”，融数、形于一体，是数形结合的典范，具有几何形式与代数形式的双重身份，是数学知识的一个交汇点和联系多项知识的媒介．妙借向量，可以有效提升圆锥曲线的解题方向与运算效率，达到良好效果．【例题】如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．【解析】把y ＝b 2代入椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1，可得x ＝±32a ，则－32a 而F (c,0)，则FB －32a －c FC －c 又∠BFC ＝90°，故有FB ·FC －32a －c －c c 2－34a 2＋14b 2＝c 2－34a 2＋14(a 2－c 2)＝34c 2－12a 2＝0，则有3c 2＝2a 2，所以该椭圆的离心率e ＝c a ＝63.【答案】63[关键点拨]本题通过相关向量坐标的确定，结合∠BFC ＝90°，巧妙借助平面向量的坐标运算来转化圆锥曲线中的相关问题，从形入手转化为相应数的形式，简化运算．[对点训练]设直线l 是圆O ：x 2＋y 2＝2上动点P (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)处的切线，l 与双曲线x 2－y 22＝1交于不同的两点A ，B ，则∠AOB 为()A ．90° B.60°C ．45°D ．30°解析：选A ∵点P (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)在圆O ：x 2＋y 2＝2上，∴x 20＋y 20＝2，圆在点P (x 0，y 0)处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝2.2－y 22＝1，0x ＋y 0y ＝2及x 20＋y 20＝2得(3x 20－4)x 2－4x 0x ＋8－2x 20＝0.∵切线l 与双曲线交于不同的两点A ，B ，且0＜x 20＜2，∴3x 20－4≠0，且Δ＝16x 20－4(3x 20－4)·(8－2x 20)＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4x 03x 20－4，x 1x 2＝8－2x 203x 20－4∵OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋1y 20(2－x 0x 1)(2－x 0x 2)＝x 1x 2＋12－x 20[4－2x 0(x 1＋x 2)＋x 2x 1x 2]＝8－2x 203x 20－4＋12－x 204－8x 203x 20－4＋x 20(8－2x 20)3x 20－4＝0，∴∠AOB ＝90°.技巧六巧用“根与系数的关系”某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系．后者往往计算量小，解题过程简捷．【例题】已知椭圆x 24＋y 2＝1的左顶点为A ，过A 作两条互相垂直的弦AM ，AN 交椭圆于M ，N 两点．(1)当直线AM 的斜率为1时，求点M 的坐标；(2)当直线AM 的斜率变化时，直线MN 是否过x 轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．【解析】(1)直线AM 的斜率为1时，直线AM 的方程为y ＝x ＋2，代入椭圆方程并化简得5x 2＋16x ＋12＝0.解得x 1＝－2，x 2＝－65，所以－65，(2)设直线AM 的斜率为k ，直线AM 的方程为y ＝k (x ＋2)，k (x ＋2)，y 2＝1，化简得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0.则x A ＋x M ＝－16k 21＋4k2，x M ＝－x A －16k 21＋4k 2＝2－16k 21＋4k 2＝2－8k 21＋4k2.同理，可得x N ＝2k 2－8k 2＋4.由(1)知若存在定点，则此点必为－65，证明如下：因为k MP ＝y M x M ＋65＝2－8k 21＋4k 2＋65＝5k 4－4k 2，同理可得k PN ＝5k 4－4k2.所以直线MN 过x 轴上的一定点－65，[关键点拨]本例在第(2)问中可应用根与系数的关系求出x M ＝2－8k 21＋4k2这体现了整体思想．这是解决解析几何问题时常用的方法，简单易懂，通过设而不求，大大降低了运算量．[对点训练]已知椭圆C ：x2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且经过点右焦点分别为F 1，F 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AF 2B 的内切圆半径为327，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程．解：(1)由c a ＝12，得a ＝2c ，所以a 2＝4c2，b 2＝3c 2，将点P c 2＝1，故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)可知F 1(－1,0)，设直线l 的方程为x ＝ty －1，代入椭圆方程，整理得(4＋3t 2)y 2－6ty －9＝0，显然判别式大于0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，△AF 2B 的内切圆半径为r 0，则有y 1＋y 2＝6t 4＋3t 2，y 1y 2＝－94＋3t2，r 0＝327，＝12r 0(|AF 1|＋|BF 1|＋|BF 2|＋|AF 2|)＝12r 0·4a ＝12×8×327＝1227所以12t 2＋14＋3t2＝1227，解得t 2＝1，因为所求圆与直线l 相切，所以半径r ＝2t 2＋1＝2，所以所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2.。

简化解几运算八法解析几何的本质特征是几何问题代数化，就是将抽象的几何问题转化为易于计算的代数问题，这提供了许多便利；但也不可避免地造成许多计算的繁琐，同时对运算能力提出较高要求。

其实，只要有简化运算的意识，注意探索简捷运算的技巧，并适时进行有关的规律总结，许多较为繁琐的计算过程是可以简化甚至避免的。

1.回归定义圆锥曲线的定义是圆锥曲线的本质属性。

许多美妙而有趣的性质和结论都是在其定义的基础上展开的，在分析求解时若考虑回归定义，可以使许多问题化繁为简。

例1 过椭圆左焦点倾斜角为60的直线交椭圆于点B A ,且FB FA 2=，则此椭圆离心率为._____解析 本题的常规解法是：联立⎪⎩⎪⎨⎧+==+)(3,12222c x y b y a x 再结合条件FB FA 2=求解，运算量大，作为填空题，不划算！如图1，考虑使用椭圆的定义和有关平面几何性质来求解：)2(31)(31B B A A B B A A B B FM '+'='-'+'=(31e AF +=另一方面，在F C B Rt '∆中C F BF C BF '=⇒='∠260, 故.2BFe BF M C C F FM +='+'=于是 =+)2(31e BFe AF 2BF e BF FM +=， 又FB FA 2=，所以可得.32=e例2 一种酒杯是抛物线22(0)x py y =>绕y 轴旋转而成的，将长为l 的玻璃棒（质地均匀）随意的放入酒杯内（杯壁足够高，能没入玻璃棒）解析：确定平衡位置即求玻璃棒中点M 到x 轴距离的最小值，如图2，应用抛物线的定义进行简捷求解：当p l AB 2≥=AB 可以经过焦点F ，如图2所示：AF A A BF B B ='=',，所以.2)2(22min pl d p d M M B B A A BF AF AB l -=⇒+='='+'=+≤= 显然当p l AB 2<=时平行于x 轴时最小为.82m i n pl d = 2．活用平几性质解决解析几何的运算问题，往往需要求解涉及含多个参数的两个以上方程组成的方程组，运算较为复杂，运算能力稍差的同学难以准确迅速求解，甚至半途而废；若能联想题目所涉及图形的几何性质，并利用有关几何性质来解决问题，常常可以峰回路转，收简捷巧妙解题之效果.例3 已知点P 到两定点)0,1(),0,1(N M -的距离比为2，点N 到直线PM 的距离为1，求直线PN 的方程。

高中数学简化运算的小技巧高中的题型中，思维难度最大的是数列和不等式，其次是函数，函数比较活，要靠平时积累。

然而会做高难度题型显然是不够的，很多人栽在时间不够和计算失误上。

在高考有限的时间内能尽可能挤出时间去解决高难度题型是得高分的关键之一。

下面推荐几个方法，可以减少不少运算，而且能有效提高计算准确率。

假如能在高考中节约10分钟，那都是异常宝贵的，更不用说提高计算准确率了。

注意：下面这些方法是高中没有讲的，在做题时一定注明用到的定理方法名称。

否则遇到钻牛角尖的改卷老师，只能白吃亏。

一.立体几何（强烈建议学会这个方法，其他的如果觉得理解困难可以不掌握。

）行列式简化运算（大概减少5分钟运算）在涉及法向量的计算时用行列式会非常简洁。

二阶行列式�a 11a 12a 21a 22�=a 11a 22−a 21a 12 （即对角线乘积之差）三阶行列式�a 11a 12a 13a 21a 22a 23a 31a 32a 33�可以按照某一行或者某一列展开（习惯按照行展开） �a 11a 12a 13a 21a 22a 23a 31a 32a 33�=a 11�a 22a 23a 32a 33�−a 12�a 21a 23a 31a 33�+a 13�a 21a 32a 31a 33� （即某个元素乘以剔除这个元素所在行和列后所得的新行列式，注意第二个展开式前面是负号，这里是最容易错的）立体几何里要用到向量乘法扩展。

1.求平面法向量 做立体几何的试题的模式化操作无非是建立直角坐标系，然而有点难度的题都会考法向量的应用，平常解方程组的方法求法向量非常麻烦，还要讨论方向。

但用这个方法非常简便，能节省不少时间。

（大一开始就要学这个，其实高中就应该学。

）这是行列式最有用最简洁的地方设方程组求解需要解三元一次方程还要指定一个变量为定值，比较麻烦而且容易出错。

下面的方法简单且容易记忆。

设n 是a =(x 1,y 1,z 1)，b =(x 2,y 2,z 2)所成的平面的法向量 则（i ，j ，k 是坐标轴单位向量）n =�i j k x 1y 1z 1x 2y 2z 2�按第一行展开，就求得n 的向量表达式 n =�i j k x 1y 1z 1x 2y 2z 2�=i �y 1z 1y 2z 2�−j �x 1z 1x 2z 2�+k �x 1y 1x 2y 2�当然，还可以写成更简单的坐标形式。

专题：简化解析几何运算的5个技巧中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步．特别是高考过程中，在规定的时间，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面．为此，从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程．技法一巧用定义，揭示本质以数形结合思想为指导，把定量的分析有机结合起来，则可使解题计算量大为简化，使解题构筑在较高的水平上．[典例] 如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A ．2B ． 3C ．32D ．62[解析] 由已知，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)，设双曲线C 2的实半轴长为a ，由椭圆及双曲线的定义和已知， 可得⎩⎪⎨⎪⎧|AF 1|＋|AF 2|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|AF 1|2＋|AF 2|2＝12，解得a 2＝2，故a ＝2．所以双曲线C 2的离心率e ＝32＝62． [答案] D [方法点拨]本题可巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF 1|，|AF 2|的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a 的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量．[对点演练]抛物线y 2＝4mx (m ＞0)的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，若点A (－m,0)，则|PF ||P A |的最小值为________．解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，由抛物线的定义，知|PF |＝x P ＋m ，又|P A |2＝(x P ＋m )2＋y 2P ＝(x P ＋m )2＋4mx P ，则⎝⎛⎭⎫|PF ||P A |2＝(x P ＋m )2(x P ＋m )2＋4mx P ＝11＋4mx P (x P ＋m )2≥11＋4mx P (2x P ·m )2＝12(当且仅当x P ＝m 时取等号)，所以|PF ||P A |≥22，所以|PF ||P A |的最小值为22． 答案：22对于直线与圆锥曲线相交所产生的中点弦问题，涉及求中点弦所在直线的方程，或弦的中点的轨迹方程的问题时，常常可以用代点法求解．[典例] 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的标准方程为( )A ．x 245＋y 236＝1B ．x 236＋y 227＝1C ．x 227＋y 218＝1D ．x 218＋y 29＝1[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，①②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝b 2a 2．又k AB ＝0＋13－1＝12，所以b 2a 2＝12．又9＝c 2＝a 2－b 2， 解得b 2＝9，a 2＝18，所以椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1．[答案] D [方法点拨]本题设出A ，B 两点的坐标，却不需求出A ，B 两点的坐标，巧妙地表达出直线AB 的斜率，通过将直线AB 的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题．[对点演练]过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2．∵y 1－y 2x 1－x 2＝－12，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，∴－b 2a 2＝－12，∴a 2＝2b 2．又∵b 2＝a 2－c 2，∴a 2＝2(a 2－c 2)，∴a 2＝2c 2，∴c a ＝22．即椭圆C 的离心率e ＝22． 答案：22某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系．后者往往计算量小，解题过程简捷．[典例] (2016·全国甲卷)已知椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ．(1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值围． [解] 设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0． (1)当t ＝4时，E 的方程为x 24＋y 23＝1，A (－2,0)．由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4．因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2．将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1，得7y 2－12y ＝0．解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127．因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449．(2)由题意知t >3，k >0，A (－t ，0)．将直线AM 的方程y ＝k (x ＋t )代入x 2t ＋y 23＝1，得(3＋tk 2)x 2＋2t ·tk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0． 由x 1·(－t )＝t 2k 2－3t 3＋tk 2，得x 1＝t (3－tk 2)3＋tk 2，故|AM |＝|x 1＋t |1＋k 2＝6t (1＋k 2)3＋tk 2．由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k (x ＋t )，故同理可得|AN |＝6k t (1＋k 2)3k 2＋t ．由2|AM |＝|AN |，得23＋tk 2＝k3k 2＋t， 即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)．当k ＝32时上式不成立，因此t ＝3k (2k －1)k 3－2．t >3等价于k 3－2k 2＋k －2k 3－2＝(k －2)(k 2＋1)k 3－2<0，即k －2k 3－2<0． 因此得⎩⎪⎨⎪⎧ k －2>0，k 3－2<0或⎩⎪⎨⎪⎧k －2<0，k 3－2>0，解得32<k <2． 故k 的取值围是(32，2)． [方法点拨]本例在第(2)问中可应用根与系数的关系求出x 1＝t (3－tk 2)3＋tk 2，这体现了整体思路．这是解决解析几何问题时常用的方法，简单易懂，通过设而不求，大大降低了运算量．[对点演练](2016·实战考试)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且经过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，左、右焦点分别为F 1，F 2．(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AF 2B 的切圆半径为327，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程．解：(1)由c a ＝12，得a ＝2c ，所以a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，将点P ⎝⎛⎭⎫1，32的坐标代入椭圆方程得c 2＝1， 故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1．(2)由(1)可知F 1(－1,0)，设直线l 的方程为x ＝ty －1， 代入椭圆方程，整理得(4＋3t 2)y 2－6ty －9＝0， 显然判别式大于0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，△AF 2B 的切圆半径为r 0， 则有y 1＋y 2＝6t 4＋3t 2，y 1y 2＝－94＋3t 2，r 0＝327，所以S △AF 2B ＝S △AF 1F 2＋S △BF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2|＝12|F 1F 2|·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12t 2＋14＋3t 2．而S △AF 2B ＝12|AB |r 0＋12|BF 2|r 0＋12|AF 2|r 0＝12r 0(|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|) ＝12r 0(|AF 1|＋|BF 1|＋|BF 2|＋|AF 2|) ＝12r 0·4a ＝12×8×327 ＝1227， 所以12t 2＋14＋3t 2＝1227，解得t 2＝1，因为所求圆与直线l 相切，所以半径r ＝2t 2＋1＝2， 所以所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2．利用曲线系解题，往往简捷明快，事半功倍，所以灵活运用曲线是解析几何中重要的解题方法和技巧之一．[典例] 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A ．x 236－y 2108＝1B ．x 29－y 227＝1C ．x 2108－y 236＝1D ．x 227－y 29＝1[解析] 由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，可设双曲线的方程为x 2－y 23＝λ(λ＞0)． 因为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，所以F (－6,0)是双曲线的左焦点，即λ＋3λ＝36，λ＝9，所以双曲线的方程为x 29－y 227＝1．[答案] B [方法点拨]本题利用共渐近线系双曲线方程，可使问题马上得到解决．避免了复杂的判断、可能的分类讨论、繁杂的解方程组，事半功倍．[对点演练]圆心在直线x －y －4＝0上，且经过两圆x 2＋y 2＋6x －4＝0和x 2＋y 2＋6y －28＝0的交点的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0B ．x 2＋y 2－x ＋7y －16＝0C ．x 2＋y 2－4x ＋4y ＋9＝0D ．x 2＋y 2－4x ＋4y －8＝0解析：选A 设经过两圆的交点的圆的方程为 x 2＋y 2＋6x －4＋λ(x 2＋y 2＋6y －28)＝0， 即x 2＋y 2＋61＋λx ＋6λ1＋λy －4＋28λ1＋λ＝0，其圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－31＋λ，－3λ1＋λ，又圆心在直线x －y －4＝0上，所以－31＋λ＋3λ1＋λ－4＝0，解得λ＝－7，故所求圆的方程为x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0．换元引参是一种重要的数学方法，特别是解析几何中的最值问题、不等式问题等，利用换元引参使一些关系能够相互联系起来，激活了解题的方法，往往能化难为易，达到事半功倍．常见的参数可以选择点的坐标、直线的斜率、直线的倾斜角等．在换元过程中，还要注意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值围或改变原题条件．[典例] 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AP |＝|OA |，证明直线OP 的斜率k 满足|k |＞3．[解] 法一：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)． 由条件，得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 20b 2＝1. 消去y 0并整理，得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b2．① 由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0． 而x 0≠0，于是x 0＝－2a 1＋k 2，代入①，整理得(1＋k 2)2＝4k 2⎝⎛⎭⎫a b 2＋4． 又a ＞b ＞0，故(1＋k 2)2＞4k 2＋4， 即k 2＋1＞4，因此k 2＞3，所以|k |＞3．法二：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)．由点P 在椭圆上，得x 20a 2＋k 2x 20b 2＝1．因为a ＞b ＞0，kx 0≠0，所以x 20a 2＋k 2x 20a 2＜1，即(1＋k 2)x 20＜a 2．②由|AP |＝|OA |及A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，于是x 0＝－2a 1＋k 2， 代入②，得(1＋k 2)·4a 2(1＋k 2)2＜a 2， 解得k 2＞3，所以|k |＞3．法三：设P (a cos θ，b sin θ)(0≤θ＜2π)， 则线段OP 的中点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2cos θ，b2sin θ． |AP |＝|OA |⇔AQ ⊥OP ⇔k AQ ×k ＝－1．又A (－a,0)，所以k AQ ＝b sin θ2a ＋a cos θ，即b sin θ－ak AQ cos θ＝2ak AQ ．从而可得|2ak AQ |≤b 2＋a 2k 2AQ ＜a 1＋k 2AQ ，解得|k AQ |＜33．故|k |＝1|k AQ |＞3． [方法点拨]求解本题利用椭圆的参数方程，可快速建立各点之间的联系，降低运算量． [对点演练](2016·市质量检测)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且离心率为12，点P 为椭圆上一动点，△F 1PF 2面积的最大值为3．(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆的左顶点为A 1，过右焦点F 2的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，连接A 1A ，A 1B 并延长分别交直线x ＝4于R ，Q 两点，问RF 2―→·QF 2―→是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．解：(1)已知椭圆的离心率为12，不妨设c ＝t ，a ＝2t ，则b ＝3t ，其中t ＞0，当△F 1PF 2面积取最大值时，点P 为短轴端点， 因此12·2t ·3t ＝3，解得t ＝1，则椭圆的方程为x 24＋y 23＝1．(2)由(1)可知F 2(1,0)，A 1(－2,0)．设直线AB 的方程为x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y 23＝1，可得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，则y 1＋y 2＝－6m 4＋3m 2，①y 1y 2＝－94＋3m 2，②直线AA 1的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，直线BA 1的方程为y ＝y 2x 2＋2(x ＋2)，则R⎝⎛⎭⎫4，6y 1x 1＋2，Q ⎝⎛⎭⎫4，6y 2x 2＋2，F 2R ―→＝⎝⎛⎭⎫3，6y 1x 1＋2，F 2Q ―→＝⎝⎛⎭⎫3，6y 2x 2＋2，则F 2R ―→·F 2Q ―→＝9＋6y 1x 1＋2·6y 2x 2＋2＝6y 1my 1＋3·6y 2my 2＋3＋9＝36y 1y 2m 2y 1y 2＋3m (y 1＋y 2)＋9＋9将①②两式代入上式，整理得F 2R ―→·F 2Q ―→＝0， 即F 2R ―→·F 2Q ―→为定值0．。

数学解析几何题解题技巧解析几何作为高中数学重要的一部分，是数学中的一门重要学科。

解析几何题目通常涉及到点、线、面等几何元素，并结合数学分析的方法进行求解。

解析几何题解题技巧的掌握对于学生的考试成绩和数学水平有着重要的影响。

本文将介绍一些解析几何题解题的常见技巧和方法。

一、坐标表示法在解析几何中，常常使用坐标表示法来解决问题。

坐标表示法利用数轴上的点与数的对应关系，将几何问题转化为数学问题进行求解。

在解析几何题目中，常用的坐标表示法包括直角坐标系、极坐标系等。

直角坐标系是最常见的坐标表示法之一。

在直角坐标系中，我们用x和y两个坐标轴来表示二维平面上的点。

在解析几何题目中，可以通过设定坐标原点，确定x轴和y轴的正负方向，来表示点的位置。

利用直角坐标系，我们可以计算线的斜率、距离等问题，从而解决解析几何题目。

极坐标系是另一种常用的坐标表示法。

在极坐标系中，我们用极径和极角来表示平面上的点。

极径表示点到坐标原点的距离，极角表示点与极轴的夹角。

利用极坐标系，我们可以更方便地表示圆、曲线等等问题，从而解决解析几何题目。

二、方程表示法方程表示法是解析几何题目中另一个重要的解题方法。

通过建立方程，可以用代数的方法求解几何问题。

在解析几何题目中，常常利用点、线、曲线的方程来表示几何元素的性质和关系。

例如，对于一条直线，可以通过两点式、点斜式、一般式等不同形式的方程来表示。

在解析几何题目中，可以通过已知条件，建立直线的方程，并结合其他几何元素的方程，解得问题的答案。

对于一条曲线，通常可以通过解析几何的知识，建立其方程，并通过求解方程，得到曲线上的点坐标等问题。

在解析几何题目中，方程表示法是解决问题的重要手段之一。

三、向量表示法向量表示法是解析几何题目中另一个常用的技巧。

向量表示法利用向量的性质和运算，可以更方便地表示点、线、面等几何元素，从而解决解析几何问题。

在解析几何题目中，常常通过设立向量的起点和终点，来表示点或线段。

解析几何中简化运算的策略在解析几何中，方程是刻画曲线性质的代数语言，而曲线又是描绘方程特征的图像语言，数与形的高度统一，使得两者浑然一体，相得益彰.在解决直线与圆锥曲线的问题时，常用方法就是将它们的方程转化为关于x 或y 的二次方程来解决，一般过程较繁.其实，相当一部分解几问题的运算量与选择的解题方法有关，只要把握问题本质，精心构思，就可以获得简捷明快的解题方法，不仅简化或避免复杂的运算、提高效率，而且能训练思维、开发智力、增强信心。

下面谈谈解几种简化运算的常用策略，供参考。

一．回归定义，彰显本质我们解决问题，总是希望寻找到最简单又不失本质的原理与方法，而这方面非“定义”莫属。

只要对问题进行深刻挖掘，彰显本质，然后利用定义解题，达到巧思妙解。

例1， 设)0,6(P ，Q 为圆922=+y x 上的动点，且M 在线段PQ 上，满足21=MQ PM ，求点M 的轨迹方程。

解：由21=MQ PM 想得到在OP 上取点R 使21=RO PR ，即取点)0,4(R ，则OQ MR //且MR 31=OQ 1=， 根据圆的定义知：M 点的轨迹是以R 为圆心、半径为1的圆。

所以M 点的轨迹方程为：()1422=+-y x例2．设F 是抛物线()02>=a ax y 的焦点，直线AB 过F 交抛物线于B A 、两点，点()b a M ,满足条件222b a =；（1） 证明：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切（2） 若P 是抛物线上一点，且PF +PM 的最小值为5，求b a 、的值。

解：（1）设AB 中点为C ，分别过C B A 、、点， 作准线l 的垂线，垂足分别为'''C B A 、、，由抛物线定义可知：AB =+=BF AF '2''CC BB AA =+ ，∴ 以AB 为直径的圆与准线相切（2）过M 作l MH ⊥于H ，交抛物线于点P ，则P 为所求。

快速解决解析几何题目的技巧解析几何是高中数学中的一个重要分支，它运用代数和几何的知识来解决平面和空间中的几何问题。

对于许多学生来说，解析几何是一个相对较难的主题。

然而，如果我们掌握一些技巧和方法，就能够更快速地解决解析几何题目。

本文将介绍一些有效的技巧，帮助大家快速解决解析几何题目。

一、画图是必要的在解析几何题目中，画图是必不可少的一步。

通过画图，我们可以更好地理解题目，把抽象的问题转化为具体的几何图形。

在画图时，我们需要按照题目的要求合理规划图形的大小和比例，保证画出的图形能准确地反映出题目的几何特征。

画图的同时，我们要注重细节，标注出各个角、边、点的关系，以便后续的解题过程。

二、理清问题的关键信息解析几何题目通常会给出一些关键信息，我们需要仔细阅读题目，理清这些关键信息。

这些关键信息有时会出现在题目的开头、中间或末尾，我们需要将其整理出来，在解题时用到。

理清问题的关键信息可以帮助我们更快地确定解题的方向和方法，减少解题过程中的迷惑。

三、利用几何性质和定理解析几何题目中，有许多几何性质和定理可以用来解决问题。

熟悉并合理运用这些几何性质和定理，可以大大提高解题的效率。

例如，对于平面几何问题，我们可以利用平行线与交线的性质、相似三角形的性质、等腰三角形的性质等来解决问题。

对于立体几何问题，我们可以利用立体的体积、表面积、空间几何关系等来解题。

因此，我们需要熟悉并灵活运用这些几何性质和定理，以便更快地解决解析几何题目。

四、代数与几何的结合解析几何是代数和几何知识的结合，因此我们可以通过代数的方法来解决一些几何问题。

例如，可以通过设置未知数，建立方程组来解决问题。

代数方法常常能够简化解题过程，帮助我们更快地求解问题。

在运用代数方法解决几何问题时，我们需要根据题目的要求设定合理的未知数，建立准确的方程，并通过方程组的解来得出问题的答案。

五、巧用试错法在遇到复杂的解析几何题目时，我们可以尝试使用试错法来解决。

解析几何中简化运算的常用技巧技巧一：弦长公式的“巧用”.①直线AB的方程为，与曲线联立后的一元二次方程为，所以直线与二次曲线相交的弦长公式又可以化为：②1.对于公式①在直线弦长的运用.例题1.已知椭圆C（a>b>0)的离心率为，直线：x+2y=4与椭圆有且只有一个交点T.（I）求椭圆C的方程和点T的坐标；（Ⅱ)O为坐标原点，与OT平行的直线与椭圆C交于不同的两点A，B，直线与直线交于点P，试判断是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由.(1)(2) 由第(1)知 ,设直线与直线：x+2y=4联立得与直线椭圆联立得:点评：该方法在求弦长的时候，巧妙运用了弦长公式，该弦长的一个端点在直线上，另一个端点在曲线上，大大简化了计算量.1.对于公式②在直线弦长的运用.例题2. 设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.（I）（）.（Ⅱ）当与轴不垂直时，设的方程为，， .由得 .过点且与垂直的直线：，到的距离为，所以 .故四边形的面积.可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为 .当与轴垂直时，其方程为，，，四边形的面积为12.综上，四边形面积的取值范围为 .点评：该方法在求弦长的时候，巧妙运用了简化后的弦长公式，绕开了韦达定理，大大简化了运算量.技巧二：巧设直线方程在直线与圆锥曲线联立的问题中，设直线的点斜式方程是最常用的一种手段，但具体在已知直线过点设方程的是时候，还是很有讲究.当给定的点不在坐标轴上，最好设直线的斜截式方程，计算完后再代点，可大大简化运算量.当给定的点在坐标轴上的时候，则选择直线的点斜式方程为多.【2014年广东，理20，14分】已知椭圆的一个焦点为，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程．解：（1），，，，椭圆的标准方程为：．方法二：若一切线垂直轴，则另一切线垂直于轴，则这样的点共4个，它们的坐标分别为，．若两切线不垂直与坐标轴，设切线方程为，将之代入椭圆方程得：即显然，这四点也满足以上方程，点的轨迹方程为．点评：本题采用设直线的斜截式方程，大大简化了计算量.若果才用设直线的点斜式方程，则计算量和计算难度会繁琐很多.技巧三：巧用平面几何性质已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( )A． B．C． D．【解析】设OE的中点为N，如图，因为MF∥OE，所以有＝，＝.又因为OE ＝2ON，所以有＝·，解得e＝＝，故选A．【答案】A此题也可以用解析法解决，但有一定的计算量，巧用三角形的相似比可简化计算．技巧四：设而不求，整体代换对于直线与圆锥曲线相交所产生的中点弦问题，涉及求中点弦所在直线的方程，或弦的中点的轨迹方程的问题时，常常可以用“点差法”求解．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E 于A，B两点．若AB的中点坐标为M(1，－1)，则E的标准方程为( )A．＋＝1 B．＋＝1C．＋＝1 D．＋＝1【解析】通解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，①－②得＋＝0，所以kAB＝＝－＝.又kAB＝＝，所以＝.又9＝c2＝a2－b2，解得b2＝9，a2＝18，所以椭圆E的标准方程为＋＝1.优解：由kAB ·kOM＝－得，×＝－得，a2＝2b2，又a2－b2＝9，所以a2＝18，b2＝9，所以椭圆E的标准方程为＋＝1.【答案】D本题设出A，B两点的坐标，却不求出A，B两点的坐标，巧妙地表达出直线AB的斜率，通过将直线AB的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题．技巧五巧妙“换元”减少运算量变量换元的关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而将非标准型问题转化为标准型问题，将复杂问题简单化．变量换元法常用于求解复合函数的值域、三角函数的化简或求值等问题．如图，已知椭圆C的离心率为，点A，B，F分别为椭圆的右顶点、上顶点和右焦点，且S△ABF＝1－.(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线l：y＝kx＋m与圆O：x2＋y2＝1相切，若直线l与椭圆C交于M，N两点，求△OMN面积的最大值．【解】(1)由已知椭圆的焦点在x轴上，设其方程为＋＝1(a＞b＞0)，则A(a，0)，B(0，b)，F(c，0)(c＝)．由已知可得e2＝＝，所以a2＝4b2，即a＝2b，可得c＝b①.S△AFB＝×|AF|×|OB|＝(a－c)b＝1－②.将①代入②，得(2b－b)b＝1－，解得b＝1，故a＝2，c＝.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)圆O的圆心为坐标原点，半径r＝1，由直线l：y＝kx＋m与圆O：x2＋y2＝1相切，得＝1，故有m2＝1＋k2③.由消去y，得x2＋2kmx＋m2－1＝0.由题可知k≠0，即(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，所以Δ＝16(4k2－m2＋1)＝48k2＞0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.所以|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－4×＝④.将③代入④中，得|x1－x2|2＝，故|x1－x2|＝.所以|MN|＝|x1－x2|＝×＝.故△OMN的面积S＝|MN|×1＝××1＝.令t＝4k2＋1，则t≥1，k2＝，代入上式，得S＝2＝＝＝＝＝，所以当t＝3，即4k2＋1＝3，解得k＝±时，S取得最大值，且最大值为×＝1.破解此类题的关键：一是利用已知条件，建立关于参数的方程，解方程，求出参数的值，二是通过变量换元法将所给函数转化为值域容易确定的另一函数，求得其值域，从而求得原函数的值域，形如y＝ax＋b±(a，b，c，d均为常数，且ac≠0)的函数常用此法求解，但在换元时一定要注意新元的取值范围，以保证等价转化，这样目标函数的值域才不会发生变化．。

简化解析几何运算的 5个技巧定义是导出其性质的“发源地”，解题时，应善于运用圆锥曲线的定义，以数形结合 思想为指导，把定量的分析有机结合起来，则可使解题计算量简化，使解题构筑在较高的 水平上.2［典例］如图，F i, F 2是椭圆Ci ：X4 + y 2= 1与双曲线C 2的公共焦点，A,B 分别是C i , C 2在第二、四象限的公共点•若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 一 2 3 C-3［方法演示］解析：由已知，得 F i ( — 3, 0), F 2( 3, 0), 设双曲线C 2的实半轴长为a , 由椭圆及双曲线的定义和已知，|AF i |+ AF 2|= 4,可得 |AF 2|— |AF i |= 2a , 解得 a 2= 2,」AF i |2+ |AF 2|2= i2,答案：D ［解题师说］本题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF i |, |AF 21的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a 的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量.［应用体验］i .抛物线y 2= 4mx(m > 0)的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，若点A( — m,0)，则罟三|PA|的最小值为 _________ .解析：设点P 的坐标为(X p , y p ),由抛物线的定义，知|PF|= x p + m ，又|PA|2=(X p + m)2 + y P = (x P + m)2 + 4mx P ，贝U 鷲 2=XP ^m=- > - =片当且 P 'P ' P ' |PA|X P + m 2+ 4mx p4mx p 4mx p 2(当旦i+ (XP + mf "(吋硕2 仅当x p = m 时取等号)，所以，所以 盟的最小值为 申.|PA| 2 |PA| 2B. 3D.故a = 2.所以双曲线C 2的离心率e = 斗6.答案：-2设而不求，整体代换对于直线与圆锥曲线相交所产生的中点弦问题，涉及求中点弦所在直线的方程，或弦 的中点的轨迹方程的问题时，常常可以用“代点法”求解.2 2［典例］已知椭圆E ：j + b 2= 1(a > b > 0)的右焦点为F(3,0)，过点F 的直线交 AB 的中点坐标为(1,— 1),贝U E 的标准方程为( )2 2 2y- = 1272—1 9［方法演示］解析：设 A(X 1, y 1), B(X 2, Y 2), 则 X 1+ X 2= 2, y p + y 2=— 2,吕1 + 36 36 22 y- = 1.X D. + 1818 B 两点.若 2A.45+2X Ch①—②得翌±2沖二空+ y l ±y L 2y l^ = 0ab，所以k AB = « —X 1 — X 2 b(X 1 + x 2) b ； a 2(y 1 + y2) a 22又k AB=出=-，所以* 2.又 9 = c 2= a 2— b 2, 解得 b 2= 9, a 2= 18,2 2 所以椭圆E 的方程为% + y= 1.18 9 答案：D ［解题师说］本题设出A , B 两点的坐标，却不求出A ,B 两点的坐标，巧妙地表达出直线率，通过将直线 AB 的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题.［应用体验］1 2 22.过点M(1,1)作斜率为一寸的直线与椭圆 C ： X2+書=1(a > b >0)相交于A ,- a b若M 是线段AB 的中点，则椭圆 C 的离心率等于 ____________ .AB 的斜B 两点,22.y i — b __ b x i + X 2 x i — X 2 孑 y i + y 2•••也__乎 __ i , x i + X 2_ 2, y i + y 2_ 2, X i — X 2 2又•/ b 2_ a 2— c 2,22222. C 2…a _ 2(a — c ),・.a _ 2c ,• • a_"^.即椭圆C 的离心率e _ 答案：2巧用“根与系数的关系”，化繁为简某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法 来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关 系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系•后者往往计算量小，解题过程简捷.2［典例］已知椭圆X4 + y 2_ i 的左顶点为 A ，过A 作两条互相垂直的弦 AM ，AN 交椭圆 于M ，N 两点.(1) 当直线AM 的斜率为i 时，求点M 的坐标；(2) 当直线AM 的斜率变化时，直线 MN 是否过X 轴上的一定点？若过定点，请给出证 明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由.［方法演示］解：⑴直线AM 的斜率为i 时，直线 AM 的方程为y _ x + 2,代入椭圆方程并化简得 5x + i6x + i2_ 0.解得 X i _— 2, X 2_— 5，所以 M — 5, 4 .⑵设直线AM 的斜率为k ,直线AM 的方程为y _ k(x + 2),解析:2 2欝 b 2=1, 设 A (X 1, y i ), B(X 2, y 2),贝y 2 21爭+ b 2= 1,b 22，.・.a 2_ 2b 2.0,化简得(1 + 4k 2)x 2+ 16k 2x + 16k 2-4 = 0. 2 —16k 2贝V X A + X M = 2,1 + 4k '2 2 216k- 16k 2— 8kX M — — X A2 = 2 —2 =・MA 1 + 4k 1 + 4k 1+ 4k由(1)知若存在定点，则此点必为 P — 5, 0 .证明如下:所以直线 MN 过x 轴上的一定点P — 6, 0 . ［解题师说］2 一 8 k 2本例在第(2)问中可应用根与系数的关系求出X M =2,这体现了整体思路.这是解1 + 4k决解析几何问题时常用的方法，简单易懂，通过设而不求，大大降低了运算量.x 2 y 2 1C :孑+ b 2= 1(a > b >0)的离心率为2，且经过点别为F 1, F 2.(1)求椭圆C 的方程；⑵过F 1的直线I 与椭圆C 相交于A , B 两点，若△ AF 2B 的内切圆半径为 乎，求以 F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程.解：(1)由 C =1，得 a = 2c ,所以 a 2= 4c 2, b 2= 3c 2,a 2 将点P 1,3的坐标代入椭圆方程得c 2= 1,2 2故所求椭圆方程为x +y = 1.联立方程$x 2ay= k (x + 2 ,同理，可得2k 2— 8 k 2+ 4.因为k MPy M2 — 8k 2k1+ 4k 2+22 =2 — 8k 65k 24—同理可计算得k pN 5k 4— 4k 2.［应用体验］P 1, 2，左、右焦点分4 3⑵由(1)可知F1( —1,0)，设直线l的方程为x= ty—1,代入椭圆方程，整理得（4+ 3t 2）y 2 — 6ty — 9 = 0,显然判别式大于0恒成立， 设 A(x i , y i )，B (X 2, y 2),A AF 2B 的内切圆半径为 r o , 则有 y i +y 2= 4+3?, y i y 2= 4+3^, r o =攀， 1 1 _________________________ 2 ____所以 S A AF 2B = S A AF 1F 2+ S △ BF I F 2= ?|F i F 2||y i — y 2|= Q|F i F 2| : y i + y 2 2— 4y 『2 = 12 t 2+ 1 4 + 3t 2 . 111 而 S A AF 2B = 2|AB|r o + ^BF 2|r o + Q |AF 2|r o 1 =2"(|AB|+ |BF 2| + |AF 2|)1=尹(|AF i |+ |BF i | + |BF 2|+ |AF 2|)=嘉细=1x 8X蛙,2r0 4a 2 77 ，所以1^+t 3+1 =雯7三解得t2=i ,因为所求圆与直线i 相切，所以半径 所以所求圆的方程为（x — 1）2+ y 2= 2.r= — t"+ 1 = 2，利用曲线系解题，往往简捷明快，事半功倍，所以灵活运用曲线是解析几何中重要的 解题方法和技巧之一. 2 2［典例］已知双曲线X "— b "= 1（a >0, b >0）的一条渐近线方程是 y = 3x ，它的一个焦点 在抛物线y 2= 24x 的准线上，则双曲线的方程为 （ ） x = 1 — y "36 108 9 27 2 2 2 2x -y = 1 x D.- y "108 36 27 9 2 2 2 2 =1 =1 CA 2 2［方法演示］解析：由双曲线X 2 —着=1（a > 0，b > 0）的一条渐近线方程是y = 3x ，可设双曲线的方a b2程为 X 2-: =e 0).因为双曲线 2 2j — b "= 1（a >0，b >0）的一个焦点在抛物线y 2= 24x 的准线上,所以F( — 6,0)是双曲线的左焦点，即H 3入=36, X= 9,2 2所以双曲线的方程为x —y = i.9 27 答案：B ［解题师说］本题利用了共渐近线系双曲线方程，可使问题马上得到解决•避免了复杂的判断、可 能的分类讨论、繁杂的解方程组，事半功倍.［应用体验］4.圆心在直线 x — y — 4= 0上，且经过两圆 x 2+ y 2 + 6x — 4= 0和x 2+ y 2 + 6y — 28= 0的 交点的圆的方程为()2 2A. x + y — x + 7y — 32= 0B. x 2+ y 2— x + 7y — 16= 0C. x 2 + y — 4x + 4y + 9= 02 2D. x + y — 4x + 4y — 8= 0解析：选A 设经过两圆的交点的圆的方程为 x 2 + y 2 + 6x — 4 + ?(x 2 + y 2 + 6y — 28) = 0,x— y—4= 0 上，所以—&芒—4= 0，故所求圆的方程为 x 2+ y 2— x + 7y — 32 = 0.巧引参数，方便运换元引参是一种重要的数学方法，特别是解析几何中的最值问题、不等式问题等，利 用换元引参使一些关系能够相互联系起来，激活了解题的方法，往往能化难为易，达到事 半功倍.常见的参数可以选择点的坐标、直线的斜率、直线的倾斜角等.在换元过程中，还要 注意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值范围或改变原题条件.2 2［典例］设椭圆?+器=1(a > b > 0)的左、右顶点分别为 A ,B ，点P 在椭圆上且异于 A , B 两点，O 为坐标原点.若|AP|=|OA|,证明直线 OP 的斜率k 满足|k|>.3.［方法演示］证明：法一：依题意，直线 OP 的方程为y = kx ,设点P 的坐标为(x 0, y 0).即x2+y 2+总+4 + 28 入 0 1+入其圆心坐标为3 — _3X )1 + X—1+又圆心在直线解得入=—7,y °= kx 。

高考数学如何应对复杂的解析几何题目解析几何作为高考数学的重点章节之一，经常出现在数学考试中。

对于一些学生来说，解析几何题目可能会显得比较复杂和难以理解。

然而，只要我们掌握了一些基本的解题方法和技巧，应对复杂的解析几何题目也不再是难题。

本文将介绍一些应对复杂解析几何题目的技巧和方法。

一、理解基本概念和公式在应对解析几何题目时，首先需要掌握一些基本的概念和公式。

例如，要理解什么是直线的方程和圆的方程，了解直线和圆的性质和特点等。

同时，需要熟悉直线的斜率公式、两点间距离公式、圆的标准方程以及其他与解析几何相关的公式。

只有对这些基本概念和公式有深入的理解，才能更好地应对复杂的解析几何题目。

二、画出几何图形和标注重要信息在解析几何题目中，几何图形是我们进行分析和推导的重要依据。

因此，在解题过程中，我们应该尽量将题目中的几何图形画出来，并标注出与题目相关的重要信息。

通过画图和标注，可以让我们更直观地理解问题，更准确地分析和解决问题。

三、利用几何性质和定理解析几何中有许多基本的几何性质和定理，例如平行线的性质、垂直线的性质、重要的三角形性质等。

在解决复杂的解析几何题目时，我们可以运用这些几何性质和定理来推导出相关的结论，进而解决问题。

因此，熟悉并灵活运用这些几何性质和定理是应对复杂解析几何题目的关键。

四、代数与几何相结合的解题思路解析几何不仅包含了几何知识，还需要运用一些代数方法。

因此，在解决复杂的解析几何题目时，我们可以将代数与几何相结合，采用代数的方法来求解。

例如，可以运用方程和不等式的知识进行推导和计算，从而得出解析几何题目的解答。

这种结合了代数思维的解题方法，可以帮助我们更好地理解和分析问题，提高解题的效率和准确性。

五、多做题，不断练习要想应对复杂的解析几何题目，需要不断地进行练习。

只有通过大量的练习，才能熟悉解析几何题目的解题思路和方法，掌握解题技巧。

建议学生多做一些经典的解析几何题目，通过反复练习，加深对解析几何知识的理解和掌握。

2008高考数学复习 简化解析几何运算的若干方法和技巧众所周知，运算复杂是成功解答解析几何的最大障碍之一；若在解题时选择的方法不恰当，又不注意探求优化解题过程、降低运算量的方法和技巧，则很容易陷入繁冗的运算而不能自拔，导致解题失败。

现介绍几种简化解析几何运算过程的方法和技巧，供大家参考。

一、巧用定义对于涉及圆锥曲线的焦点、准线有关的问题，若能恰当地利用圆锥曲线的定义，则能收到其他方法技巧所无法达到的效果。

例1 给定A(-2,2), 已知点B 是椭圆1162522=+y x 上的动点，F 是左焦点，当|AB|+53 |BF|取最小值时，求点B 的坐标。

解：如图1，由题意可知：a=5, b=4, c=3, e=c a =35 ,左准线方程为：x=-253 ,过B 点作左准线的垂线，垂足为N ，过点A 作左准线的垂线，垂足为M ，由椭圆的定义可知：|BN|=1e |BF|=53|BF|,于是，|AB|+53|BF|=|AB|+|BN| ≥|AN| ≥|AM|,当且仅当点B 是AM 与椭圆的交点时取等号，此时B(235-, 2)。

所以，当|AB|+53 |BF|取最小值时，点B 的坐标为B(235-, 2)。

评注：本题运用了椭圆的第二定义，真正发挥了定义的解题功能，达到了优化解题的目的。

二、巧用数形结合数形结合是解析几何的基本思想，它是在深刻分析方程或已知条件中的几何性质之下，以形助数的方法，往往使问题简捷、清晰地得以解决。

例2 椭圆14922=+y x 的焦点为F 1，F 2。

点P 为其上的一个动点，当∠F 1PF 2为钝角时，求点P 的横坐标的取值范围。

解：设以原点O 为圆心，OF 1（值 5 ）为半径的圆与椭圆14922=+y x 交一于A ，B ，C ，D （如图2），易求得其横坐标分别是553±.由此可知： 当点P 在椭圆弧AB 和CD 上，即在圆x 2+y 2=5内部，那么∠F 1PF 2是钝角， 故有.553553<<-p x 评注：本题若直接设椭圆上一点的横坐标，利用余弦定理来解，其运算量较大；现巧妙地借助于形，不但减少解题运算量，也给人一种耳目一新之感。

高考丨搞定解析几何，这些运算技巧超实用，建议收藏我们都知道，数学在高考中是重点，也是难点。

而在数学当中，解析几何可谓是重中之重，让很多考生伤透了脑筋，特别是大题，很多同学都被复杂的图形给吓到了。

今天就总结几点关于几何题的解题思路以及答题要点与模版，希望能帮助广大考生，一定要用心看完哦。

一、空间感可以练出来我们初中几何都是平面图，而到了高中，就接触立体图形了，这是一次艰难的飞跃，很多初中几何学得好的同学都折在这了。

但凡事需要一个过程啊，没有空间感，咱们就建立空间感。

同学们可以自制一些空间几何模型，反复观察练习，这有益于建立空间观念，是个好办法。

也可选择对一些立体图形进行观察、揣摩，并且判断其中的线线、线面、面面位置关系，探索各种角、各种垂线作法，这对于建立空间观念也是好方法。

二、基础知识要记牢要用图形、文字、符号三种形式表达概念、定理、公式，要及时不断地复习前面学过的内容。

这是因为几何的知识点前后联系紧密，前面内容是后面内容的基础，后面内容既巩固了前面的内容，又延伸了前面内容。

在解题中，要注意书写规范，①如用平行四边形ABCD表示平面时，可以写成平面AC，但不可以把平面两字省略掉；②要写出解题根据，不论对于计算题还是证明题都应该如此，不能想当然或全凭直观；③对于文字证明题，要写已知和求证，要画图；用定理时，必须把题目满足定理的条件逐一交待清楚，自己心中有数而不把它写出来是不行的。

④要学会用图帮助解决问题；要掌握求各种角、距离的基本方法和推理证明的基本方法。

三、积累解决问题的方法、提高分析的能力要注意积累解决问题的方法。

如将立体几何问题转化为平面问题，又如将求点到平面距离的问题，或转化为求直线到平面距离的问题，再继而转化为求点到平面距离的问题；或转化为体积的问题。

不断提高分析问题、解决问题的水平，加深对理论的认识水平，养成良好逻辑思维能力，几何题目便不在话下。

四、“转化”思想解立体几何的问题，要运用“转化”这种数学思想，要明确在转化过程中什么变了，什么没变，什么是变量、两者之间存在的联系，这是非常关键的。

解析几何是高中数学中的重要模块，解析几何问题的分值在高考试卷中占比较大.解析几何问题的常见命题形式有：求曲线的方程、求曲线中线段的最值、求参数的取值范围、判断点的存在性等.解析几何问题对同学们的逻辑思维和运算能力有较高的要求.下面介绍三个解答解析几何问题的技巧，以帮助同学们简化问题，提高解题的效率.一、巧用参数法有些解析几何问题较为复杂，涉及了较多的变量，为了便于解题，我们可引入合适的参数，设出相关点的坐标、直线的斜率、方程、曲线的方程等，然后将其代入题设中进行运算、推理，再通过恒等变换，消去参数或求得参数的值，便可求得问题的答案.例1.已知过椭圆C ：x 29+y 2=1左焦点F 1的直线交椭圆于M ,N 两点，设∠F 2F 1M =α(0≤α≤π).当α的值为何时，|MN |为椭圆C 的半长轴、半短轴长的等差中项？解：设过F 1的直线参数方程为：{x =-22+t cos α，y =t sin α，将其代入椭圆方程中可得()1+8sin 2αt 2-()42cos αt-1=0.则t 1+t 2=,t 1t 2=-11+8sin 2α，所以||MN =||t 1-t 2=()t 1+t 22-4t 1t 2=61+8sin 2α=2，可得sin 2α=14，解得α=π6或5π6.要求得|MN |，需知晓直线的方程，于是引入参数t 、α，设出直线MN 的参数方程，然后将其与椭圆的方程联立，构建一元二次方程，根据韦达定理和弦长公式求得|MN |，再根据等差中项的性质建立关系，求得α的值.运用参数法解题，只需引入参数，根据题意建立关系式，这样能有效地降低解题的难度.二、妙用射影性质射影性质是图形经过任何射影对应(变换)都不变的性质.若遇到涉及多条共线线段或平行线段的解析几何问题，我们可以巧妙利用射影性质来解题.首先根据题意画出相应的图形，然后在x 轴或y 轴上画出各条线段的射影，如此便可将问题中线段的长度、数量问题转化为x 轴或y 轴上的点或线段问题，进而简化运算.例2.已知椭圆的方程为x 224+y 216=1，点P 是直线l ：x 12+y 8=1上的任意一点，OP 的延长线交椭圆于点R ，点Q 在OP 上，且||OQ ∙||OP =|OR |2，求点Q 的轨迹方程.解：设P (x p ,y p )，Q (x ,y )，R (x R ,y R )在x 轴上的射影分别为P 0,Q 0,R 0，由||OQ ∙||OP =|OR |2可得x ∙x P =x 2R ，①当点P 不在y 轴上时，设OP :y =kx ，由ìíîïïy =kx ，x 224+y 216=1，可得x 2R =483k 2+2，②由ìíîïïy =kx ，x 12+y 8=1，可得x P =243k +2，③由①②③可得：(x -1)252+(y -1)253=1(y ≠0).当点P 在y 轴上时，Q 点的坐标为(0,2)，满足上式.所以点Q 的轨迹方程为(x -1)252+(y -1)253=1(y ≠0)，该方程表示的是中心为(1,1)，长轴长为10，短轴长为的椭圆(去除原点).找到P 、Q 、R 在x 轴上的射影，利用射影性质得到x ∙x P =x 2R ，然后通过联立方程求得x 、x P 、x 2R ，建立关系式，即可通过消元求得点Q 的轨迹方程.巧妙利用射影性质来解题，能有效简化运算，提升解题的效率.高双云图1思路探寻47探索探索与与研研究究三、建立极坐标系对于一些与线段长度有关的问题，我们可以结合图形的特征，建立极坐标系，通过极坐标运算来求得问题的答案.一般地，可将直角坐标系的原点看作极坐标系的原点，将直角坐标系的x 轴看作极坐标系的极轴，把线段用极坐标表示出来，这样便可将问题简化.以例2为例.图2解：以原点O 为极点，以Ox 轴的正半轴为极轴，建立如图2所示的极坐标系.则椭圆的极坐标方程为：ρ2=482+sin 2θ,直线l 的极坐标方程为：ρ=242cos θ+3sin θ，设P (ρP ,θ),Q (ρ,θ),R (ρR ,θ),因为||OQ ∙||OP =|OR |2，所以ρ∙ρP =ρ2R .即24ρ2cos θ+3sin θ=482+sin 2θ，可得ρ2()2+sin 2θ=4ρcos θ+6ρsin θ，而x =ρcos θ，y =ρsin θ，可得2x 2+3y 2-4x -6y =0(其中x ,y 不同为零),所以点Q 的轨迹是中心为(1,1)，长轴长为10，短轴长为的椭圆(去除原点).建立极坐标系后，分别求出椭圆的极坐标方程和直线的极坐标方程，再根据极坐标方程表示出点P 、Q 、R 的坐标，并根据几何关系||OQ ∙||OP =|OR |2建立关系式，最后将其转化为标准方程即可.运用极坐标法解题，需熟练地将极坐标方程与普通方程进行互化.可见，利用参数法、射影性质、极坐标系法，都能巧妙地简化运算，提升解题的效率.相比较而言，参数法的适用范围较广，另外两个技巧具有一定的限制.同学们在解题时，可根据解题需求，引入参数、画出射影、建立极坐标系，这样便可让解题变得更加高效.本文系江苏省教育科学“十三五”规划2020年度重点自筹课题“新课标下提升高中生数学学习力的实践研究”（课题编号：B-b/2020/02/158）阶段研究成果.（作者单位：江苏省泰兴中学）在教学中，细心的教师会发现，教材中的很多习题具有一定的代表性和探究性，且其解法非常巧妙.对于此类习题，教师可以将其作为重要的教学资源，在课堂教学中引导学生对其进行深入的探究、挖掘，以便学生掌握同一类题目的通性通法，帮助他们提升学习的效率.本文主要对人教A 版选择性必修第二册《一元函数的导数及其应用》的一道课后习题进行了探究.一、对习题及其解法的探究人教A 版选择性必修第二册第99页的第12题：利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证：（1）e x >1+x ,x ≠0；（2）ln x <x <e x ,x >0.证明:（1）设f (x )=e x -1-x ,∴f ′(x )=e x-1，∴f ′(x )=e x -1=0,∴x =0，∵f ′(x )>0,∴x >0,f ′(x )<0,∴x <0，∴函数f (x )在(0,+∞)为单调递增，在(-∞,0)为单调递减，∴函数在x =0处取得最小值，∴f (x )>f (0)=0，∴f (x )=e x -1-x >0,即e x >1+x .事实上，这个结论经常出现在很多试题中，不少教师在教学中也将该结论列为常用结论，并要求学生加以记忆.于是，笔者引导学生对该结论的背景和几何意义进行推导和探究.引理：（泰勒公式）若函数f (x )在包含x 0的某个区间[a ,b ]上具有n 阶导数，且在开区间(a ,b )上具有n +1阶导数，则对于闭区间[a ,b ]上的任意一点x =x 0，有f (x )=f (x 0)+f '(x 0)1!(x -x 0)+f ''(x 0)2!(x -x 0)2+f '''(x 0)3!(x -x 0)3+⋯+f n (x 0)n !(x -x 0)n +R n (x ).其中，f n (x 0)表示函数f (x )在x 0处的n 阶导数，上式称为函数f (x )在x =x 0处的泰勒公式，R n (x )称为泰勒公式的余项.特别地，当x 0=0时，若f (x )在x =0处n 阶连续可导，则称f (x )=周建韩丹娜48。

高中解析几何秒杀公式数学秒杀秘诀大全步骤一：（一化）口诀：见点化点、见直线化直线、见曲线化曲线。

1、见点化点：“点”用平面坐标系上的坐标表示，只要是题目中提到的点都要加以坐标化；2、见直线化直线：“直线”用二元一次方程表示，只要是题目中提到的直线都要加以方程化；3、见曲线化曲线：“曲线（圆、椭圆、抛物线、双曲线）”用二元二次方程表示，只要是题目中提到的曲线都要加以方程化。

步骤二：点与直线、曲线从属关系的代数化（二代）口诀：点代入直线、点代入曲线。

1、点代入直线：如果某个点在某条直线上，将点的坐标代入这条直线的方程；2、点代入曲线：如果某个点在某条曲线上，将点的坐标代入这条曲线的方程；1、点代入这两个点共同所在的直线把这两个点共同所在直线用点斜式方程（如y=kx+d）表示出来，将这两个点的坐标分别代入这条直线的方程；2、将这条直线的方程代入这条曲线的方程，获得一个一元二次方程；3、把这个一元二次方程的根用韦达定理来表示（这里表示出来的实际上就是这两个点的坐标之间的相互关系式）；4、把这个一元二次方程的二次项系数不等于零的条件列出来；5、把这个一元二次方程的判别式?>0列出来。

《集合与函数》内容子交并补集，还有幂指对函数。

性质奇偶与增减，观察图象最明显。

复合函数式出现，性质乘法法则辨，若要详细证明它，还须将那定义抓。

指数与对数函数，两者互为反函数。

底数非1的正数，1两边增减变故。

函数定义域好求。

分母不能等于0，偶次方根须非负，零和负数无对数正切函数角不直，余切函数角不平；其余函数实数集，多种情况求交集。

两个互为反函数，单调性质都相同；图象互为轴对称，y=x是对称轴。

求解非常有规律，反解换元定义域；反函数的定义域，原来函数的值域。

幂函数性质易记，指数化既约分数；函数性质看指数，奇母奇子奇函数，奇母偶子偶函数，偶母非奇偶函数；图象第一象限内，函数增减看正负。

《三角函数》三角函数是函数，象限符号坐标注。