复变函数论复变函数：若在复数平面上存在一个点集E ，对于E 中的每一点z ，按照一定的规律，有一个或多个复数值w 与之相对应，则说在点集E 上定义了一个复变函数，记作：)(z f w =，点集E 叫作函数的定义域令：iv u z f w +==)(，并将iy x z +=代入，则有： 初等复变函数：指数函数：)sin (cos y i y e e e e e x iy x iy x z +===+ 三角函数： ()iz iz e e i z --=21sin , z z z cos sin tan =, zzz sin cos cot = 1）因为z z sin )2sin(=+π，z z cos )2cos(=+π，所以z sin ，z cos 具有实周期π2 2）z sin ，z cos 为无界函数。
3）212121sin sin cos cos )cos(z z z z z z =± 双曲线函数：()z z e e shz --=21 ， ()z z e e chz -+=21 ， chzshzthz =对数函数： iArgz z Lnz iv u w +==+=ln 幂函数：为复常数）（αααααArgzi z Lnz e e e z ln == 一般指数函数：为复常数）（αααααziArg z zLn z e e e ln == 复变函数的导数：设函数)(z f w =是在区域E 上定义的单值函数，对于E 上的某点z ，如果极限zz f z z f z w z z ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim00存在，则称函数)(z f w =在点z 处可导，此极限叫作函数)(z f w =在点z 处的导数，表示为:复变函数可导的充要条件：复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导的充要条件是偏导数x y x u ∂∂),(，y y x u ∂∂),(，xy x v ∂∂),(，y y x v ∂∂),(存在、连续，并且满足柯西-黎曼条件，即：解析函数(全纯函数，正则函数)：如果函数)(z f 在0z 点及其邻域内处处可导，那么称)(z f 在0z 点解析。
