高三数学曲线与方程(201908)

§16.1 曲线与方程考纲解读分析解读 求动点的轨迹方程及其应用江苏高考近5年没有考查,是命题的冷点,主要考查求抛物线方程以及方程的运用,难度中等.命题探究(1)抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为,由点在直线l:x-y-2=0上,得-0-2=0,即p=4.所以抛物线C 的方程为y 2=8x.(2)设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),线段PQ 的中点M(x 0,y 0). 因为点P 和Q 关于直线l 对称,所以直线l 垂直平分线段PQ,于是直线PQ 的斜率为-1,则可设其方程为y=-x+b.①由消去x 得y 2+2py-2pb=0.(*)因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点,所以y 1≠y 2, 从而Δ=(2p)2-4×(-2pb)>0,化简得p+2b>0.方程(*)的两根为y 1,2=-p±,从而y 0==-p.因为M(x 0,y 0)在直线l 上,所以x 0=2-p. 因此,线段PQ 的中点坐标为(2-p,-p). ②因为M(2-p,-p)在直线y=-x+b 上, 所以-p=-(2-p)+b,即b=2-2p.由①知p+2b>0,于是p+2(2-2p)>0,所以p<.因此,p 的取值范围是.五年高考考点 求曲线方程1.(2017课标全国Ⅱ理,20,12分)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足=.(1)求点P的轨迹方程;(2)设点Q在直线x=-3上,且·=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.解析本题考查了求轨迹方程的基本方法和定点问题.(1)设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0).由=得x0=x,y0=y.因为M(x0,y0)在C上,所以+=1.因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.(2)由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则=(-3,t),=(-1-m,-n),·=3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t-n).由·=1得-3m-m2+tn-n2=1,又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.所以·=0,即⊥.又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.2.(2016课标全国Ⅲ理,20,12分)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B 两点,交C的准线于P,Q两点.(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.解析由题设知F.设l1:y=a,l2:y=b,则ab≠0,且A,B,P,Q,R.记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(3分)(1)由于F在线段AB上,故1+ab=0.记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则k1=====-b=k2.所以AR∥FQ.(5分)(2)设l与x轴的交点为D(x1,0),则S△ABF=|b-a||FD|=|b-a|,S△PQF=.由题设可得2×|b-a|=,所以x1=0(舍去),或x1=1.(8分)设满足条件的AB的中点为E(x,y).当AB与x轴不垂直时,由k AB=k DE可得=(x≠1).而=y,所以y2=x-1(x≠1).当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以,所求轨迹方程为y2=x-1.(12分)3.(2015天津,19,14分)已知椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),离心率为,点M在椭圆上且位于第一象限,直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c,|FM|=.(1)求直线FM的斜率;(2)求椭圆的方程;(3)设动点P在椭圆上,若直线FP的斜率大于,求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围.解析(1)由已知有=,又由a2=b2+c2,可得a2=3c2,b2=2c2.设直线FM的斜率为k(k>0),则直线FM的方程为y=k(x+c).由已知,有+=,解得k=.(2)由(1)得椭圆方程为+=1,直线FM的方程为y=(x+c),两个方程联立,消去y,整理得3x2+2cx-5c2=0,解得x=-c或x=c.因为点M在第一象限,可得M的坐标为.由|FM|==,解得c=1,所以椭圆的方程为+=1.(3)设点P的坐标为(x,y),直线FP的斜率为t,得t=,即y=t(x+1)(x≠-1),与椭圆方程联立得消去y,整理得2x2+3t2(x+1)2=6.又由已知,得t=>,解得-<x<-1,或-1<x<0.设直线OP的斜率为m,得m=,即y=mx(x≠0),与椭圆方程联立,整理可得m2=-.①当x∈时,有y=t(x+1)<0,因此m>0,于是m=,得m∈.②当x∈(-1,0)时,有y=t(x+1)>0,因此m<0,于是m=-,得m∈.综上,直线OP的斜率的取值范围是∪.4.(2015湖北,21,14分)一种作图工具如图1所示.O是滑槽AB的中点,短杆ON可绕O转动,长杆MN通过N处铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且DN=ON=1,MN=3.当栓子D在滑槽AB内做往复运动时,N绕O转动一周(D不动时,N也不动),M处的笔尖画出的曲线记为C.以O为原点,AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.(1)求曲线C的方程;(2)设动直线l与两定直线l1:x-2y=0和l2:x+2y=0分别交于P,Q两点.若直线l总与曲线C有且只有一个公共点,试探究:△OPQ的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.图1图2解析(1)设点D(t,0)(|t|≤2),N(x0,y0),M(x,y),依题意,=2,且||=||=1,所以(t-x,-y)=2(x0-t,y0),且即且t(t-2x0)=0.由于当点D不动时,点N也不动,所以t不恒等于0,于是t=2x0,故x0=,y0=-,代入+=1,可得+=1,即曲线C的方程为+=1.(2)(i)当直线l的斜率不存在时,直线l为x=4或x=-4,都有S△OPQ=×4×4=8. (ii)当直线l的斜率存在时,设直线l:y=kx+m,由消去y,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0.因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,所以Δ=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-16)=0,即m2=16k2+4.①又由可得P;同理可得Q.由原点O到直线PQ的距离为d=和|PQ|=·|x P-x Q|,可得S△OPQ=|PQ|·d=|m||x P-x Q|=·|m|·=.②将①代入②得,S△OPQ==8.当k2>时,S△OPQ=8·=8>8;当0≤k2<时,S△OPQ=8·=8.因0≤k2<,则0<1-4k2≤1,≥2,所以S△OPQ=8≥8,当且仅当k=0时取等号.所以当k=0时,S△OPQ的最小值为8.综合(i)(ii)可知,当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时,△OPQ的面积取得最小值8.教师用书专用(5—8)5.(2014广东,20,14分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点为(,0),离心率为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.解析(1)由题意知c=,e==,∴a=3,b2=a2-c2=4,故椭圆C的标准方程为+=1.(2)设两切线为l1,l2,①当l1⊥x轴或l1∥x轴时,l2∥x轴或l2⊥x轴,可知P(±3,±2).②当l1与x轴不垂直且不平行时,x0≠±3,设l1的斜率为k,且k≠0,则l2的斜率为-,l1的方程为y-y0=k(x-x0),与+=1联立,整理得(9k2+4)x2+18(y0-kx0)kx+9(y0-kx0)2-36=0,∵直线l1与椭圆相切,∴Δ=0,即9(y0-kx0)2k2-(9k2+4)·[(y0-kx0)2-4]=0,∴(-9)k2-2x0y0k+-4=0,∴k是方程(-9)x2-2x0y0x+-4=0的一个根,同理,-是方程(-9)x2-2x0y0x+-4=0的另一个根,∴k·=,整理得+=13,其中x0≠±3,∴点P的轨迹方程为x2+y2=13(x≠±3).检验P(±3,±2)满足上式.综上,点P的轨迹方程为x2+y2=13.6.(2014湖北,21,14分)在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)设斜率为k的直线l过定点P(-2,1).求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围.解析(1)设点M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1,即=|x|+1,化简整理得y2=2(|x|+x).故点M的轨迹C的方程为y2=(2)在点M的轨迹C中,记C1:y2=4x,C2:y=0(x<0),依题意,可设直线l的方程为y-1=k(x+2).由方程组可得ky2-4y+4(2k+1)=0.①当k=0时,此时y=1.把y=1代入轨迹C的方程,得x=.故此时直线l:y=1与轨迹C恰好有一个公共点.当k≠0时,方程①的判别式为Δ=-16(2k2+k-1).②设直线l与x轴的交点为(x0,0),则由y-1=k(x+2),令y=0,得x0=-.③(i)若由②③解得k<-1或k>.即当k∈(-∞,-1)∪时,直线l与C1没有公共点,与C2有一个公共点, 故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.(ii)若或则由②③解得k∈或-≤k<0.即当k∈时,直线l与C1只有一个公共点,与C2有一个公共点.当k∈时,直线l与C1有两个公共点,与C2没有公共点.故当k∈∪时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点.(iii)若则由②③解得-1<k<-或0<k<.即当k∈∪时,直线l与C1有两个公共点,与C2有一个公共点,故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点.综上,当k∈(-∞,-1)∪∪{0}时,直线l与轨迹C恰好有一个公共点;当k∈∪时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点;当k∈∪时,直线l与轨迹C恰好有三个公共点.7.(2014湖南,21,13分)如图,O为坐标原点,椭圆C1:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为e1;双曲线C2:-=1的左、右焦点分别为F3、F4,离心率为e2,已知e1e2=,且|F2F4|=-1.(1)求C1,C2的方程;(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB,M为AB的中点,当直线OM与C2交于P,Q两点时,求四边形APBQ面积的最小值.解析(1)因为e1e2=,所以·=,即a4-b4=a4,因此a2=2b2,从而F2(b,0),F4(b,0),于是b-b=|F2F4|=-1,所以b=1,所以a2=2.故C1,C2的方程分别为+y2=1,-y2=1.(2)因为AB不垂直于y轴,且过点F1(-1,0),故可设直线AB的方程为x=my-1.由得(m2+2)y2-2my-1=0,易知此方程的判别式大于0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1,y2是上述方程的两个实根,所以y1+y2=,y1y2=.因此x1+x2=m(y1+y2)-2=,于是AB的中点M的坐标为.故直线PQ的斜率为-,则PQ的方程为y=-x,即mx+2y=0.由得(2-m2)x2=4,所以2-m2>0,且x2=,y2=,从而|PQ|=2=2.设点A到直线PQ的距离为d,则点B到直线PQ的距离也为d,所以2d=,因为点A,B在直线mx+2y=0的异侧,所以(mx1+2y1)(mx2+2y2)<0,于是|mx1+2y1|+|mx2+2y2|=|mx1+2y1-mx2-2y2|, 从而2d=.又因为|y1-y2|==,所以2d=.故四边形APBQ的面积S=|PQ|·2d==2.而0<2-m2<2,故当m=0时,S取得最小值2.综上所述,四边形APBQ面积的最小值为2.8.(2013陕西理,20,13分)已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程;(2)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是∠PBQ的角平分线,证明直线l过定点.解析(1)如图,设动圆圆心为O1(x,y),由题意知,|O1A|=|O1M|,当O1不在y轴上时,过O1作O1H⊥MN交MN于H,则H是MN的中点,∴|O1M|=,又|O1A|=,∴=,化简得y2=8x(x≠0).又当O1在y轴上时,O1与O重合,点O1的坐标(0,0)也满足方程y2=8x,∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x.(2)由题意,设直线l的方程为y=kx+b(k≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2),将y=kx+b代入y2=8x中,得k2x2+(2bk-8)x+b2=0.其中Δ=-32kb+64>0.由根与系数的关系得,x1+x2=,①x1x2=,②因为x轴是∠PBQ的角平分线,所以=-,即y1(x2+1)+y2(x1+1)=0,(kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0,2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0,③将①,②代入③得2kb2+(k+b)(8-2bk)+2k2b=0,∴k=-b,此时Δ>0,∴直线l的方程为y=k(x-1),即直线l过定点(1,0).三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点求曲线方程1.(苏教选2—1,二,6,6,变式)设A为圆(x-1)2+y2=1上的动点,PA是圆的切线,且PA=1,则动点P的轨迹方程是.答案(x-1)2+y2=22.(2016广东佛山六校联考,15)已知A(3,2)、B(1,0),P(x,y)满足=x1+x2(O是坐标原点),若x1+x2=1,则P的坐标满足的方程是.答案x-y-1=03.(2017江苏东海中学期末模拟)已知动点P(x,y)与两定点M(-1,0),N(1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0).(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)试根据λ的取值情况讨论轨迹C的形状;(3)当λ=-2时,过点F(0,1)的直线l与轨迹C交于A,B两点,求△OAB面积的最大值.解析(1)由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零,且k PM·k PN=·=λ,整理得x2-=1(λ≠0,x≠±1).(2)①当λ>0时,轨迹C为中心在原点,焦点在x轴上的双曲线(除去顶点);②当-1<λ<0时,轨迹C为中心在原点,焦点在x轴上的椭圆(除去长轴两个端点);③当λ=-1时,轨迹C是以原点为圆心,1为半径的圆(除去点(-1,0),(1,0));④当λ<-1时,轨迹C为中心在原点,焦点在y轴上的椭圆(除去短轴两个端点).(3)当λ=-2时,轨迹C的方程为x2+=1(x≠±1).由题意知,l的斜率存在,设l的方程为y=kx+1(k≠±1),代入椭圆方程中整理得(k2+2)x2+2kx-1=0.(*)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2为方程(*)的两个实根,∴x1+x2=-,x1x2=-.∴S△OAB=·OF·|x1-x2|===·=·≤,当且仅当k2+1=,即k=0时取等号.∴k=0时,△OAB的面积最大,最大值为.B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:20分时间:10分钟)一、填空题(每小题5分,共5分)1.(2017南京、盐城二模,11)在平面直角坐标系xOy中,直线l1:kx-y+2=0与直线l2:x+ky-2=0相交于点P,则当实数k变化时,点P到直线x-y-4=0的距离的最大值为.答案3二、解答题(共15分)2.(2017如东、前黄、栟茶、马塘四校联考,22)在平面直角坐标系xOy中,已知定点A(0,-8),M、N分别是x 轴、y轴上的点,点P在直线MN上,满足+=0,·=0.(1)求动点P的轨迹方程;(2)设F是P点轨迹的焦点,C,D为P点轨迹在第一象限内的任意两点,直线FC、FD的斜率分别为k1、k2,且满足k1+k2=0,求证:直线CD过定点.解析(1)设P点坐标为(x,y),M点坐标为(a,0),N点坐标为(0,b).由+=0,·=0,得消去a,b得x2=4y.故动点P的轨迹方程为x2=4y.(2)证明:设C,D两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则=4y1,=4y2,两式相减得-=4(y1-y2),所以k CD==,由(1)可知F的坐标为(0,1),则k1=,k2=,由k1+k2=0得x1y2+x2y1=x1+x2.所以x1·+x2·=x1+x2,化简得x1x2=4(显然x1+x2≠0).直线CD的方程为y-y1=(x-x1).令x=0,得y=y1-==-=-1.所以直线CD过定点(0,-1).C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 利用参数法求轨迹方程常用的方法与技巧1.(2016江苏无锡天一中学月考)已知动点A、B分别在x轴、y轴上,且满足AB=2,点P在线段AB上,且=t(t是不为零的常数).(1)求点P的轨迹C的方程;(2)若t=2,点M、N是C上关于原点对称的两个动点(M、N不在坐标轴上),点Q的坐标为,求△QMN的面积的最大值.解析(1)设A(a,0),B(0,b),P(x,y),因为=t,即(x-a,y)=t(-x,b-y),所以,所以由题意知t>0,因为AB=2,所以a2+b2=4,即(1+t)2x2+y2=4,所以点P的轨迹方程为+=1.(2)t=2时,C的方程为+y2=1,设M(x1,y1),则N(-x1,-y1),MN=2,易知直线MN的方程为y=x(x1≠0),则点Q到直线MN的距离d=,所以S△MNQ=×2×=,又+=1,所以9+=4.所以=4-9x1y1,而1=+≥-2··=-,所以-9x1y1≤4,当且仅当=-,即x1=-y1时,取等号.所以S△MNQ的最大值为2.方法2 轨迹方程及应用2.(2017江苏如东高级中学第二次学情调研)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,1),P是动点,△POA的三边所在直线的斜率满足k OP+k OA=k PA.(1)求点P的轨迹C的方程;(2)若Q是轨迹C上异于点P的一点,且=λ,直线OP与QA交于点M,请问:是否存在点P,使得△PQA和△PAM的面积满足S△PQA=2S△PAM?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.解析(1)设点P的坐标为(x,y),由k OP+k OA=k PA,得-1=,整理得轨迹C的方程为y=x2(x≠0且x≠-1).(2)存在.由(1)可设P(x1,),Q(x2,),由=λ,可知直线PQ∥OA,则k PQ=k OA,故=-1,即x2=-x1-1,易知直线OP的方程为y=x1x,①直线QA的斜率为=-x1-2,所以直线QA的方程为y-1=(-x1-2)(x+1),即y=-(x1+2)x-x1-1,②联立①②,解得x=-,所以点M的横坐标为定值-.由S△PQA=2S△PAM得QA=2AM,因为PQ∥OA,所以OP=2OM,由=2得x1=1,所以点P的坐标为(1,1).所以存在点P满足S△PQA=2S△PAM,且点P的坐标为(1,1).。

§9．8 曲线与方程１．曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）＝0的实数解建立了如下关系：（１）曲线上点的坐标都是这个方程的解．（２）以这个方程的解为坐标的点都在曲线上．那么这个方程叫作曲线的方程，这条曲线叫作方程的曲线．２．求动点的轨迹方程的一般步骤（１）建系——建立适当的坐标系．（２）设点——设轨迹上的任一点P（x，y）．（３）列式——列出动点P所满足的关系式．（４）代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简．（５）证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．３．两曲线的交点（１）由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．（２）两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题．１．判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）（１）f（x0，y0）＝0是点P（x0，y0）在曲线f（x，y）＝0上的充要条件．（√）（２）方程x２＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．（×）（３）到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x２＝y２. （×）（４）方程y＝错误!与x＝y２表示同一曲线．（×）２．方程（x２＋y２—４）错误!＝0的曲线形状是（）答案C解析由题意可得x＋y＋１＝0或错误!它表示直线x＋y＋１＝0和圆x２＋y２—４＝0在直线x＋y＋１＝0右上方的部分．３．已知点P是直线２x—y＋３＝0上的一个动点，定点M（—１,２），Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是（）Ａ．２x＋y＋１＝0 Ｂ．２x—y—５＝0Ｃ．２x—y—１＝0 Ｄ．２x—y＋５＝0答案D解析由题意知，M为PQ中点，设Q（x，y），则P为（—２—x,４—y），代入２x—y＋３＝0得２x—y＋５＝0．４．已知点A（—２,0）、B（３,0），动点P（x，y）满足错误!·错误!＝x２—6，则点P的轨迹方程是__________．答案y２＝x解析错误!＝（３—x，—y），错误!＝（—２—x，—y），∴错误!·错误!＝（３—x）（—２—x）＋y２＝x２—x—6＋y２＝x２—6，∴y２＝x.５．已知两定点A（—２,0）、B（１,0），如果动点P满足|PA|＝２|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积为________．答案４π解析设P（x，y），由|PA|＝２|PB|，得错误!＝２错误!，∴３x２＋３y２—１２x＝0，即x２＋y２—４x＝0．∴P的轨迹为以（２,0）为圆心，半径为２的圆．即轨迹所包围的面积等于４π.题型一定义法求轨迹方程例１已知两个定圆O １和O２，它们的半径分别是１和２，且|O１O２|＝４．动圆M与圆O１内切，又与圆O２外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．思维启迪利用两圆内、外切的充要条件找出点M满足的几何条件，结合双曲线的定义求解．解如图所示，以O１O２的中点O为原点，O１O２所在直线为x轴建立平面直角坐标系．由|O１O２|＝４，得O１（—２,0）、O２（２,0）．设动圆M的半径为r，则由动圆M与圆O１内切，有|MO１|＝r—１；由动圆M与圆O２外切，有|MO２|＝r＋２．∴|MO２|—|MO１|＝３．∴点M的轨迹是以O１、O２为焦点，实轴长为３的双曲线的左支．∴a＝错误!，c＝２，∴b２＝c２—a２＝错误!.∴点M的轨迹方程为错误!—错误!＝１（x≤—错误!）．思维升华求曲线的轨迹方程时，应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量．已知点F错误!，直线l：x＝—错误!，点B是l上的动点．若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是（）Ａ．双曲线Ｂ．椭圆Ｃ．圆Ｄ．抛物线答案D解析由已知得，|MF|＝|MB|.由抛物线定义知，点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线．题型二相关点法求轨迹方程例２设直线x—y＝４a与抛物线y２＝４ax交于两点A，B（a为定值），C为抛物线上任意一点，求△ABC 的重心的轨迹方程．思维启迪设△ABC的重心坐标为G（x，y），利用重心坐标公式建立x，y与△ABC的顶点C的关系，再将点C的坐标（用x，y表示）代入抛物线方程即得所求．解设△ABC的重心为G（x，y），点C的坐标为C（x0，y0），A（x１，y１），B（x２，y２）．由方程组：错误!消去y并整理得：x２—１２ax＋１6a２＝0．∴x１＋x２＝１２a，y１＋y２＝（x１—４a）＋（x２—４a）＝（x１＋x２）—8a＝４a.由于G（x，y）为△ABC的重心，∴错误!∴错误!又点C（x0，y0）在抛物线上，∴将点C的坐标代入抛物线的方程得：（３y—４a）２＝４a（３x—１２a），即（y—错误!）２＝错误!（x—４a）．又点C与A，B不重合，∴x≠（6±２错误!）a，∴△ABC的重心的轨迹方程为（y—错误!）２＝错误!（x—４a）（x≠（6±２错误!）a）．思维升华“相关点法”的基本步骤：（１）设点：设被动点坐标为（x，y），主动点坐标为（x１，y１）；（２）求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式错误!（３）代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．设F（１,0），M点在x轴上，P点在y轴上，且错误!＝２错误!，错误!⊥错误!，当点P 在y轴上运动时，求点N的轨迹方程．解设M（x0,0），P（0，y0），N（x，y），∵错误!⊥错误!，错误!＝（x0，—y0），错误!＝（１，—y0），∴（x0，—y0）·（１，—y0）＝0，∴x0＋y错误!＝0．由错误!＝２错误!得（x—x0，y）＝２（—x0，y0），∴错误!，即错误!.∴—x＋错误!＝0，即y２＝４x.故所求的点N的轨迹方程是y２＝４x.题型三直接法求轨迹方程例３（２0１３·陕西）已知动圆过定点A（４,0），且在y轴上截得弦MN的长为8．（１）求动圆圆心的轨迹C的方程；（２）已知点B（—１,0），设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ 的角平分线，证明：直线l过定点．思维启迪（１）利用曲线的求法求解轨迹方程，但要注意结合图形寻求等量关系；（２）设出直线方程，结合直线与圆锥曲线的位置关系转化为方程的根与系数的关系求解，要特别注意判别式与位置关系的联系．（１）解如图，设动圆圆心为O１（x，y），由题意，得|O１A|＝|O１M|，当O１不在y轴上时，过O１作O１H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点，∴|O１M|＝错误!，又|O１A|＝错误!，∴错误!＝错误!，化简得y２＝8x（x≠0）．又当O１在y轴上时，O１与O重合，点O１的坐标为（0,0）也满足方程y２＝8x，∴动圆圆心的轨迹C的方程为y２＝8x.（２）证明由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b（k≠0），P（x１，y１），Q（x２，y２），将y＝kx＋b代入y２＝8x中，得k２x２＋（２bk—8）x＋b２＝0．其中Δ＝—３２kb＋6４>0．由根与系数的关系得，x１＋x２＝错误!，１x１x２＝错误!，２因为x轴是∠PBQ的角平分线，所以错误!＝—错误!，即y１（x２＋１）＋y２（x１＋１）＝0，（kx１＋b）（x２＋１）＋（kx２＋b）（x１＋１）＝0，２kx１x２＋（b＋k）（x１＋x２）＋２b＝0 ３将１，２代入３得２kb２＋（k＋b）（8—２bk）＋２k２b＝0，∴k＝—b，此时Δ>0，∴直线l的方程为y＝k（x—１），即直线l过定点（１,0）．思维升华直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略．如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步．求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．如图所示，过点P（２,４）作互相垂直的直线l１，l２，若l１交x轴于A，l２交y轴于B，求线段AB中点M的轨迹方程．解设点M的坐标为（x，y），∵M是线段AB的中点，∴A点的坐标为（２x,0），B点的坐标为（0,２y）．∴错误!＝（２x—２，—４），错误!＝（—２,２y—４）．由已知错误!·错误!＝0，∴—２（２x—２）—４（２y—４）＝0，即x＋２y—５＝0．∴线段AB中点M的轨迹方程为x＋２y—５＝0．分类讨论思想在曲线与方程中的应用典例：（１２分）已知抛物线y２＝２px经过点M（２，—２错误!），椭圆错误!＋错误!＝１的右焦点恰为抛物线的焦点，且椭圆的离心率为错误!.（１）求抛物线与椭圆的方程；（２）若P为椭圆上一个动点，Q为过点P且垂直于x轴的直线上的一点，错误!＝λ（λ≠0），试求Q的轨迹．思维启迪由含参数的方程讨论曲线类型时，关键是确定分类标准，一般情况下，分类标准的确立有两点：一是二次项系数分别为0时的参数值，二是二次项系数相等时的参数值，然后确定分类标准进行讨论，讨论时注意表述准确．规范解答解（１）因为抛物线y２＝２px经过点M（２，—２错误!），所以（—２错误!）２＝４p，解得p＝２．[２分]所以抛物线的方程为y２＝４x，其焦点为F（１,0），即椭圆的右焦点为F（１,0），得c＝１．又椭圆的离心率为错误!，所以a＝２，可得b２＝４—１＝３，故椭圆的方程为错误!＋错误!＝１．[6分]（２）设Q（x，y），其中x∈[—２,２]，设P（x，y0），因为P为椭圆上一点，所以错误!＋错误!＝１，解得y错误!＝３—错误!x２.由错误!＝λ可得错误!＝λ２，故错误!＝λ２.得（λ２—错误!）x２＋λ２y２＝３，x∈[—２,２]．[9分]当λ２＝错误!，即λ＝错误!时，得y２＝１２，点Q的轨迹方程为y＝±２错误!，x∈[—２,２]，此轨迹是两条平行于x轴的线段；当λ２<错误!，即0<λ<错误!时，得到错误!＋错误!＝１，此轨迹表示实轴在y轴上的双曲线满足x∈[—２,２]的部分；[１１分]当λ２>错误!，即λ>错误!时，得到错误!＋错误!＝１，此轨迹表示长轴在x轴上的椭圆满足x∈[—２,２]的部分．[１２分]温馨提醒此题求轨迹既有直接法，又有相关点法．求出轨迹方程后，容易忽略x的范围，导致轨迹图形出错．备考建议：（１）区分求轨迹方程与求轨迹的问题．（２）对常见的曲线特征要熟悉掌握．（３）除此之外，正确进行化简与计算是必须具备的基本能力.方法与技巧求轨迹的常用方法（１）直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量（如距离与角）的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系转化为x、y的等式就得到曲线的轨迹方程．（２）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数．（３）定义法：其动点的轨迹符合某一基本轨迹（如直线或圆锥曲线）的定义，则可根据定义采用设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程．（４）代入法（相关点法）：当所求动点M是随着另一动点P（称之为相关点）而运动．如果相关点P所满足某一曲线方程，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把相关点代入曲线方程，就把相关点所满足的方程转化为动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫作相关点法或代入法．失误与防范１．求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系．检验可从以下两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合题目的实际意义．２．求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等．A组专项基础训练（时间：４0分钟）一、选择题１．已知命题“曲线C上的点的坐标是方程f（x，y）＝0的解”是正确的，则下列命题中正确的是（）Ａ．满足方程f（x，y）＝0的点都在曲线C上Ｂ．方程f（x，y）＝0是曲线C的方程Ｃ．方程f（x，y）＝0所表示的曲线不一定是CＤ．以上说法都正确答案C解析曲线C可能只是方程f（x，y）＝0所表示的曲线上的某一小段，因此只有C正确．２．设圆C与圆x２＋（y—３）２＝１外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为（）Ａ．抛物线Ｂ．双曲线Ｃ．椭圆Ｄ．圆答案A解析设圆C的半径为r，则圆心C到直线y＝0的距离为r.由两圆外切可得，圆心C到点（0,３）的距离为r＋１，也就是说，圆心C到点（0,３）的距离比到直线y＝0的距离大１，故点C到点（0,３）的距离和它到直线y＝—１的距离相等，符合抛物线的特征，故点C的轨迹为抛物线．３．设点A为圆（x—１）２＋y２＝１上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝１，则P点的轨迹方程为（）Ａ．y２＝２xＢ．（x—１）２＋y２＝４Ｃ．y２＝—２xＤ．（x—１）２＋y２＝２答案D解析由题意知P到圆心（１,0）的距离为错误!，∴P的轨迹方程为（x—１）２＋y２＝２．４．△ABC的顶点A（—５,0），B（５,0），△ABC的内切圆圆心在直线x＝３上，则顶点C的轨迹方程是（）Ａ．错误!—错误!＝１Ｂ．错误!—错误!＝１Ｃ．错误!—错误!＝１（x>３）Ｄ．错误!—错误!＝１（x>４）答案C解析如图，|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝２，|CD|＝|CF|，所以|CA|—|CB|＝8—２＝6．根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为错误!—错误!＝１（x>３）．５．有一动圆P恒过定点F（a,0）（a>0）且与y轴相交于点A、B，若△ABP为正三角形，则点P的轨迹为（）Ａ．直线Ｂ．圆Ｃ．椭圆Ｄ．双曲线答案D解析设P（x，y），动圆P的半径为R，由于△ABP为正三角形，∴P到y轴的距离d＝错误!R，即|x|＝错误!R.而R＝|PF|＝错误!，∴|x|＝错误!·错误!.整理得（x＋３a）２—３y２＝１２a２，即错误!—错误!＝１．∴点P的轨迹为双曲线．二、填空题6．设P是圆x２＋y２＝１00上的动点，点A（8,0），线段AP的垂直平分线交半径OP于M点，则点M的轨迹为__________．答案椭圆解析如图，设M（x，y），由于l是AP的垂直平分线，于是|AM|＝|PM|，又由于１0＝|OP|＝|OM|＋|MP|＝|OM|＋|MA|，即|OM|＋|MA|＝１0，也就是说，动点M到O（0,0）及A（8,0 ）的距离之和是１0，故动点M的轨迹是以O（0,0）、A（8,0）为焦点，中心在（４,0），长半轴长是５的椭圆．7．已知△ABC的顶点B（0,0），C（５,0），AB边上的中线长|CD|＝３，则顶点A的轨迹方程为________________．答案（x—１0）２＋y２＝３6（y≠0）解析设A（x，y），则D（错误!，错误!），∴|CD|＝错误!＝３，化简得（x—１0）２＋y２＝３6，由于A、B、C三点构成三角形，∴A不能落在x轴上，即y≠0．8．P是椭圆错误!＋错误!＝１上的任意一点，F１，F２是它的两个焦点，O为坐标原点，错误!＝错误!＋错误!，则动点Q的轨迹方程是________________．答案错误!＋错误!＝１解析由于错误!＝错误!＋错误!，又错误!＋错误!＝错误!＝２错误!＝—２错误!，设Q（x，y），则错误!＝—错误!错误!＝（—错误!，—错误!），即P点坐标为（—错误!，—错误!），又P在椭圆上，则有错误!＋错误!＝１上，即错误!＋错误!＝１．三、解答题9．已知曲线E：ax２＋by２＝１（a>0，b>0），经过点M（错误!，0）的直线l与曲线E交于点A，B，且错误!＝—２错误!.若点B的坐标为（0,２），求曲线E的方程．解设A（x0，y0），∵B（0,２），M（错误!，0），故错误!＝（—错误!，２），错误!＝（x0—错误!，y0）．由于错误!＝—２错误!，∴（—错误!，２）＝—２（x0—错误!，y0）．∴x0＝错误!，y0＝—１，即A（错误!，—１）．∵A，B都在曲线E上，∴错误!，解得错误!.∴曲线E的方程为x２＋错误!＝１．１0．已知点P是圆O：x２＋y２＝9上的任意一点，过P作PD垂直x轴于D，动点Q满足错误!＝错误!错误!.（１）求动点Q的轨迹方程；（２）已知点E（１,１），在动点Q的轨迹上是否存在两个不重合的点M、N，使错误!＝错误!（错误!＋错误!）（O是坐标原点）．若存在，求出直线MN的方程；若不存在，请说明理由．解（１）设P（x0，y0），Q（x，y），依题意，则点D的坐标为D（x0,0），∴错误!＝（x—x0，y），错误!＝（0，y0），又错误!＝错误!错误!，∴错误!，即错误!.∵P在圆O上，故x错误!＋y错误!＝9，∴错误!＋错误!＝１．∴点Q的轨迹方程为错误!＋错误!＝１．（２）存在．假设椭圆错误!＋错误!＝１上存在两个不重合的点M（x１，y１），N（x２，y２）满足错误!＝错误!（错误!＋错误!），则E（１,１）是线段MN的中点，且有错误!，即错误!.又M（x１，y１），N（x２，y２）在椭圆错误!＋错误!＝１上，∴错误!，两式相减，得错误!＋错误!＝0．∴k MN＝错误!＝—错误!，∴直线MN的方程为４x＋9y—１３＝0．∴椭圆上存在点M、N满足错误!＝错误!（错误!＋错误!），此时直线MN的方程为４x＋9y—１３＝0．B组专项能力提升（时间：３0分钟）１．已知定点P（x0，y0）不在直线l：f（x，y）＝0上，则方程f（x，y）—f（x0，y0）＝0表示一条（）Ａ．过点P且平行于l的直线Ｂ．过点P且垂直于l的直线Ｃ．不过点P但平行于l的直线Ｄ．不过点P但垂直于l的直线答案A解析由题意知f（x0，y0）≠0，又f（x0，y0）—f（x0，y0）＝0，∴直线f（x，y）＝0与直线f（x，y）—f（x0，y0）＝0平行，且点P在直线f（x，y）—f（x0，y0）＝0上．２．平面直角坐标系中，已知两点A（３,１），B（—１,３），若点C满足错误!＝λ１错误!＋λ２错误!（O 为原点），其中λ１，λ２∈R，且λ１＋λ２＝１，则点C的轨迹是（）Ａ．直线Ｂ．椭圆Ｃ．圆Ｄ．双曲线答案A解析设C（x，y），则错误!＝（x，y），错误!＝（３,１），错误!＝（—１,３），∵错误!＝λ１错误!＋λ２错误!，∴错误!，又λ１＋λ２＝１，∴x＋２y—５＝0，表示一条直线．３．点P是以F１、F２为焦点的椭圆上一点，过焦点作∠F１PF２外角平分线的垂线，垂足为M，则点M 的轨迹是（）Ａ．圆Ｂ．椭圆Ｃ．双曲线Ｄ．抛物线答案A解析如图，延长F２M交F１P延长线于N.∵|PF２|＝|PN|，∴|F１N|＝２a.连接OM，则在△NF１F２中，OM为中位线，则|OM|＝错误!|F１N|＝a.∴M的轨迹是圆．４．已知M（—２,0），N（２,0），则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是______________．答案x２＋y２＝４（x≠±２）解析设P（x，y），因为△MPN为直角三角形，∴|MP|２＋|NP|２＝|MN|２，∴（x＋２）２＋y２＋（x—２）２＋y２＝１6，整理得，x２＋y２＝４．∵M，N，P不共线，∴x≠±２，∴轨迹方程为x２＋y２＝４（x≠±２）．５．如图所示，正方体ABCD—A１B１C１D１的棱长为１，点M在AB上，且AM＝错误!AB，点P在平面ABCD上，且动点P到直线A１D１的距离的平方与P到点M的距离的平方差为１，在平面直角坐标系xAy中，动点P的轨迹方程是____________．答案y２＝错误!x—错误!解析过P作PQ⊥AD于Q，再过Q作QH⊥A１D１于H，连接PH、PM，可证PH⊥A１D１，设P（x，y），由|PH|２—|PM|２＝１，得x２＋１—错误!＝１，化简得y２＝错误!x—错误!.6．如图，DP⊥x轴，点M在DP的延长线上，且|DM|＝２|DP|.当点P在圆x２＋y２＝１上运动时．（１）求点M的轨迹C的方程；（２）过点T（0，t）作圆x２＋y２＝１的切线l交曲线C于A、B两点，求△AOB面积S的最大值和相应的点T的坐标．解（１）设点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0），则x＝x0，y＝２y0，所以x0＝x，y0＝错误!，１因为P（x0，y0）在圆x２＋y２＝１上，所以x错误!＋y错误!＝１．２将１代入２，得点M的轨迹C的方程为x２＋错误!＝１．（２）由题意知，|t|≥１．当t＝１时，切线l的方程为y＝１，点A、B的坐标分别为（—错误!，１），（错误!，１），此时|AB|＝错误!，当t＝—１时，同理可得|AB|＝错误!；当|t|>１时，设切线l的方程为y＝kx＋t，k∈R，由错误!得（４＋k２）x２＋２ktx＋t２—４＝0．３设A、B两点的坐标分别为（x１，y１）、（x２，y２），则由３得x１＋x２＝—错误!，x１x２＝错误!.又由l与圆x２＋y２＝１相切，得错误!＝１，即t２＝k２＋１，所以|AB|＝错误!＝错误!＝错误!.因为|AB|＝错误!＝错误!，且当t＝±错误!时，|AB|＝２，所以|AB|的最大值为２．依题意，圆心O到直线AB的距离为圆x２＋y２＝１的半径，所以△AOB面积S的最大值为错误!×２×１＝１，此时t＝±错误!，相应的点T的坐标为（0，—错误!）或（0，错误!）．。