高三数学集体备课记录
函数与方程
集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-
高三数学（理）集体备课记录
实施教学过程
一、 考点知识自主梳理
1．函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y ＝f (x )(x ∈D )，把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝
f (x )(x ∈D )的零点．
(2)几个等价关系 方程f (x )＝0有实数根?函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点?函数y ＝
f (x )有零点．
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并
且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存
在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个 c 也就是方程f (x )＝0的根．
2．二分法
对于在区间[a ，b ]上连续不断且f (a )·
f (b )<0的函数y ＝f (x )，通
过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点
逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
3．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与零点的关系
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点．( )
(2)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点(函数图象连续不断)，则f (a )·f (b )<0.( )
(3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．( )
(4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在b 2－4ac <0时没有零点．( )
(5)若函数f (x )在(a ，b )上单调且f (a )·f (b )<0，则函数f (x )在[a ，b ]
上有且只有一个零点．( )
二、考点突破与题型探究
题型一 函数零点的确定 命题点1 函数零点所在的区间
例 1 已知函数f (x )＝ln x －⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x －2的零点为x 0，则x 0所在的区间是( )
A ．(0,1)
B ．(1,2)
C ．(2,3)
D ．(3,4) 命题点2 函数零点个数的判断
例2 (1)函数f (x )＝⎩⎨⎧ x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是 ．
(2)若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，
f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－lo
g 3|x |的零点个数是( )
A．多于 4 B．4 C．3
D．2
命题点3求函数的零点
例3 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则
函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为( )
A．{1,3} B．{－3，－1,1,3} C．{2－7，1,3}
D．{－2－7，1,3}
思维升华(1)确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结
合法．(2)判断函数零点个数的方法：①解方程法；②零点存在性定理、
结合函数的性质；③数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数．
题型二函数零点的应用
例 4 若关于x的方程22x＋2x a＋a＋1＝0有实根，求实数a的取值范
围．
思维升华对于“a＝f(x)有解”型问题，可以通过求函数y＝f(x)的值
域来解决，解的个数可化为函数y＝f(x)的图象和直线y＝a交点的个
数．
题型三二次函数的零点问题
例5 已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比1大，一个零点比
1小，求实数a的取值范围．
思维升华解决与二次函数有关的零点问题：(1)可利用一元二次方程的
求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)
利用二次函数的图象列不等式组．
三、课时小结
易错警示
忽视定义域导致零点个数错误
典例定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝2 016x＋log2
f(x)的零点个数为 3 ．
016x，则在R上函数
易错分析得出当x>0时的零点个数后，容易忽略条件：定义在R上的奇函数，导致漏掉x<0时和x＝0时的情况．
温馨提醒
(1)讨论x>0时函数的零点个数也可利用零点存在性定理结合函数单调性确定．(2)函数的定义域是讨论函数其他性质的基础，要给予充分重视．方法与技巧
1．函数零点的判定常用的方法有
(1)零点存在性定理；
(2)数形结合：函数y＝f(x)－g(x)的零点，就是y＝f(x)和y＝g(x)图象交点的横坐标．
(3)解方程．
2．二次函数零点可利用求根公式、判别式、根与系数关系或结合函数图象列不等式(组)．
3．利用函数零点求参数范围的常用方法：直接法、分离参数法、数形结合法.
失误与防范
1．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象．2．判断零点个数要注意函数的定义域，不要漏解；画图时要尽量准确．
四、课后作业
《练出高分》 P
281
